NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 14 Probability (प्रायिकता) Exercise 14.1 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए:
(i) घटना 'E' की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = ______ है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है ______ है। ऐसी घटना ______ कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग ______ है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता ______ से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा उसके बराबर होती है तथा ______ से छोटी या बराबर होती है।

Answer:

(i) घटना 'E' की प्रायिकता + घटना 'E नहीं' की प्रायिकता = 1 है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती 0 है। ऐसी घटना असंभव घटना कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है 1 है। ऐसी घटना निश्चित घटना कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है या उसके बराबर होती है तथा 1 से छोटी या बराबर होती है।

Exam Tips:

a) प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 के बीच होता है।
b) असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
c) निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

Question 2: निम्नलिखित प्रयोगों में से किन - किन प्रयोगों के परिणाम साम्प्रदायिक हैं? स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ हो जाती है या कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) सत्य - असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या एक लड़की है।

Answer:

(i) जब ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। तो कार प्रायः चलना प्रारम्भ हो जाती है, यदि कार में कोई खराबी न हो। अतः यह साम्प्रदायिक नहीं है।
(ii) खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं ये बातें खिलाड़ी पर निर्भर करती हैं। एक अच्छा खिलाड़ी अधिकार बार बॉल बास्केट में डाल पाती है। अतः यह साम्प्रदायिक नहीं है।
(iii) सत्य - असत्य प्रश्न का अनुमान लगाना साम्प्रदायिक है क्योंकि इसमें दो ही विकल्प हैं और दोनों के चुनने के समान अवसर हैं।
(iv) जब बच्चे का जन्म होता है तो वह एक लड़का है या एक लड़की है दोनों के होने के समान अवसर हैं। अतः यह साम्प्रदायिक है।

Exam Tips:

a) साम्प्रदायिक परिणाम वे होते हैं जिनके होने की संभावना समान होती है।
b) मानवीय कौशल या यांत्रिक स्थिति पर निर्भर प्रयोग सामान्यतः साम्प्रदायिक नहीं होते।

Question 3: फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय यह निर्णय लेने के लिए कि कौन सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि क्यों माना जाता है?

Answer:

सिक्का उछालना एक न्यायसंगत विधि इसलिए माना जाता है क्योंकि सिक्के के तो ही पहलू होते हैं। चित या पट दोनों की प्रायिकता समान है।

Exam Tips:

a) सिक्के में केवल दो समसंभाव्य परिणाम चित और पट होते हैं।
b) न्यायसंगत विधि निष्पक्ष निर्णय के लिए आवश्यक होती है।

Question 4: निम्नलिखित में से कौन सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
\)
(A) \( \frac{2}{3}\)
\)
(B) \( -1.5\)
\)
(C) \( 15\%\)
\)
(D) \( 0.7\)

Answer:

\)
(B) \( -1.5\(
क्योंकि प्रायिकता कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती। अर्थात \(0 \le P(E) \le 1।

Exam Tips:

a) प्रायिकता का मान कभी भी 0 से कम (ऋणात्मक) या 1 से अधिक नहीं हो सकता।
b) प्रतिशत रूप में मान \(0\%\) से \(100\%\) के बीच होता है।

Question 5: यदि \(P(E) = 0.05\) है, तो 'E नहीं' की प्रायिकता क्या है?

Answer:

हम जानते हैं कि P(E) + P(नहीं E) = 1 \), इसलिए \(0.05 + P(नहीं E) = 1\(
\(
\Rightarrow P(नहीं E) = 1 - 0.05 = 0.95 \)
अतः 'E नहीं' की प्रायिकता \(0.95 है।

Exam Tips:

a) पूरक घटनाओं का योग हमेशा 1 होता है।
b) किसी घटना के नहीं होने की प्रायिकता \(1 - P(E) \) से निकाली जाती है।

Question 6: एक थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झांके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गई गोली
(i) संतरे की महक वाली है?
(ii) नींबू की महक वाली है?

Answer:

(i) थैले में संतरे की महक वाली मीठी गोलियाँ नहीं हैं इसलिए संतरे की गोली निकलना एक असंभव घटना है।
P(संतरे की महक वाली गोली) = 0\(
(ii) थैले में केवल नींबू की महक वाली मीठी गोलियाँ हैं इसलिए नींबू की गोली निकलना एक निश्चित घटना है।
\(P(नींबू की महक वाली गोली) = 1 \)

Exam Tips:

a) असंभव घटना की प्रायिकता शून्य होती है।
b) निश्चित घटना की प्रायिकता एक होती है।

Question 7: यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता \(0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन 2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो?

Answer:

हम जानते हैं कि P(E) + P(नहीं E) = 1\(
इसलिए, \(P(2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही দিন हो) + P(2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक दिन न हो) = 1 \)
\(
\Rightarrow P(2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो) + 0.992 = 1\(
\(
\Rightarrow P(2 विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन हो) = 1 - 0.992 = 0.008 \)

Exam Tips:

a) पूरक घटना के सूत्र का प्रयोग करें।
b) दशमलव घटाव करते समय अंकों का सही मिलान करें।

Question 8: एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद (i) लाल हो? (ii) लाल नहीं हो?

Answer:

लाल गेंदें = 3, काली गेंदें = 5, कुल गेंदें = \(3 + 5 = 8\(
\(P(लाल गेंद) = \frac{लाल गेंदें}{कुल गेंदें} = \frac{3}{8} \)
हम जानते हैं कि \(P(E) + P(नहीं E) = 1\(
इसलिए, \(P(लाल गेंद) + P(लाल गेंद नहीं) = 1 \)
\(
\Rightarrow \frac{3}{8} + P(लाल गेंद नहीं) = 1\(
\(
\Rightarrow P(लाल गेंद नहीं) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{8 - 3}{8} = \frac{5}{8} \)

Exam Tips:

a) पहले कुल परिणामों की संख्या ज्ञात करें।
b) अनुकूल परिणामों को कुल परिणामों से विभाजित करें।

Question 9: एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा (i) लाल है (ii) सफेद है (iii) हरा नहीं है?

Answer:

लाल कंचे = 5
सफेद कंचे = 8
हरे कंचे = 4
कुल कंचे = \(5 + 8 + 4 = 17\(
(i) \(P(लाल कंचे) = \frac{लाल कंचे}{कुल कंचे} = \frac{5}{17} \)
(ii) \(P(सफेद कंचे) = \frac{सफेद कंचे}{कुल कंचे} = \frac{8}{17}\(
(iii)
हम जानते हैं कि \(P(E) + P(नहीं E) = 1 \)
इसलिए, \(P(हरे कंचे) + P(हरे कंचे नहीं) = 1\(
\(
\Rightarrow \frac{4}{17} + P(हरे कंचे नहीं) = 1 \)
\(
\Rightarrow P(हरे कंचे नहीं) = 1 - \frac{4}{17} = \frac{17 - 4}{17} = \frac{13}{17}\(

Exam Tips:

a) सभी कंचों को जोड़कर कुल संख्या निकालें।
b) 'नहीं' वाले भाग के लिए कुल प्रायिकता 1 में से घटायें।

Question 10: एक पिग्गी बैंक (piggy bank) में, 50 पैसे के सौ सिक्के हैं, ₹ 1 के पचास सिक्के हैं, ₹ 2 के बीस सिक्के और ₹ 5 के दस सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर उल्टा करने पर कोई एक सिक्का गिरने के परिणाम साम्प्रदायिक हैं, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का (i) 50 पैसे का होगा? (ii) ₹ 5 का नहीं होगा?

Answer:

50 पैसे के सिक्के = 100
₹ 1 के सिक्के = 50
₹ 2 के सिक्के = 20
₹ 5 के सिक्के = 10
कुल सिक्के = \(100 + 50 + 20 + 10 = 180 \)
(i) \(P(50 पैसे के सिक्के) = \frac{50 पैसे के सिक्के}{कुल सिक्के} = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}\(
(ii) \(P(₹ 5 के सिक्के) = \frac{₹ 5 के सिक्के}{कुल सिक्के} = \frac{10}{180} = \frac{1}{18} \)
हम जानते हैं कि \(P(E) + P(नहीं E) = 1\(
इसलिए, \(P(₹ 5 के सिक्के) + P(₹ 5 के सिक्के नहीं) = 1 \)
\(
\Rightarrow \frac{1}{18} + P(₹ 5 के सिक्के नहीं) = 1\(
\(
\Rightarrow P(₹ 5 के सिक्के नहीं) = 1 - \frac{1}{18} = \frac{18 - 1}{18} = \frac{17}{18} \)

Exam Tips:

a) सभी सिक्कों की कुल संख्या सही से जोड़ें।
b) भिन्न को सरलतम रूप में बदलें।

Question 11: गोपी अपने जल - जीव कुंड के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछली और 8 मादा मछली है, में से एक मछली यादृच्छया उसे देने के लिए निकालती है (देखिए आकृति 15.4) | इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गई मछली नर मछली है?

आकृति का विवरण: एक व्यक्ति मछली के टैंक से जाल द्वारा मछली निकाल रहा है, जिसमें नर और मादा मछलियाँ हैं।

Answer:

नर मछली = 5
मादा मछली = 8
कुल मछली = \(5 + 8 = 13\(
\(P(नर मछली) = \frac{नर मछली}{कुल मछली} = \frac{5}{13} \)

Exam Tips:

a) कुल मछलियों की संख्या हर (denominator) में होगी।
b) नर मछलियों की संख्या अंश (numerator) में होगी।

Question 12: संयोग (chance) के एक खेल में, एक तीर को घुमाया जाता है, जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए आकृति 15.5)। यदि ये सभी परिणाम साम्प्रदायिक हों तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?

आकृति का विवरण: एक वृत्ताकार पहिया जिस पर 1 से 8 तक की संख्याएँ अंकित हैं और एक तीर का निशान है।

Answer:

कुल संख्याएँ = 8
(i) 8 की आवृत्ति = 1
\(P(8) = \frac{8 की आवृत्ति}{कुल संख्याएँ} = \frac{1}{8}\(
(ii) विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7
कुल विषम संख्याएँ = 4
\(P(एक विषम संख्या) = \frac{कुल विषम संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \)
(iii) 2 से बड़ी संख्याएँ 3, 4, 5, 6, 7, 8
कुल 2 से बड़ी संख्याएँ = 6
\(P(2 से बड़ी संख्या) = \frac{2 से बड़ी संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\(
(iv) 9 से छोटी संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
कुल 9 से छोटी संख्याएँ = 8
\(P(9 से छोटी संख्या) = \frac{कुल 9 से छोटी संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{8}{8} = 1 \)

Exam Tips:

a) पहिए पर कुल 8 अंक हैं इसलिए कुल परिणाम 8 होंगे।
b) प्रत्येक भाग के लिए अनुकूल परिणामों की गिनती सावधानी से करें।

Question 13: एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) एक अभाज्य संख्या (ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या (iii) एक विषम संख्या

Answer:

पासे को एक बार फेंकने पर कुल परिणाम = 1, 2, 3, 4, 5, 6
(i) अभाज्य संख्याएँ = 2, 3, 5
\(P(एक अभाज्य संख्या) = \frac{कुल अभाज्य संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\(
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित संख्याएँ = 3, 4, 5
\(P(2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या) = \frac{2 और 6 के बीच स्थित कुल संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
(iii) विषम संख्याएँ = 1, 3, 5
\(P(एक विषम संख्या) = \frac{कुल विषम संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\(

Exam Tips:

a) पासे के कुल संभव परिणाम 6 होते हैं।
b) अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जो 1 और स्वयं से विभाजित होती हैं (जैसे 2, 3, 5)।

Question 14: 52 पत्तों की अच्छी प्रकार से फेटी गई एक गद्दी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:
(i) लाल रंग का बादशाह
(ii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता
(iii) पान का गुलाम
(iv) हुकुम का पत्ता
(v) ईंट की बेगम वाला पत्ते
(vi) ईंट की बेगम

Answer:

गद्दी में कुल पत्ते = 52
(i) लाल रंग के कुल बादशाह (1 पान का और 1 ईंट का) = 2
\(P(लाल रंग का बादशाह) = \frac{लाल रंग के कुल बादशाह}{गद्दी में कुल पत्ते} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26} \)
(ii) तस्वीर वाले कुल पत्ते (3 पान के, 3 हुकुम के, 3 चिड़ी के और 3 ईंट के) = 12
\(P(तस्वीर वाला पत्ता) = \frac{तस्वीर वाले कुल पत्ते}{गद्दी में कुल पत्ते} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}\(
(iii) लाल रंग के तस्वीर वाले कुल पत्ते (3 पान के और 3 ईंट के) = 6
\(P(लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता) = \frac{लाल रंग के तस्वीर वाले कुल पत्ते}{गद्दी में कुल पत्ते} = \frac{6}{52} = \frac{3}{26} \)
(iv) पान के कुल गुलाम = 1
\(P(पान का गुलाम) = \frac{पान के कुल गुलाम}{गद्दी में कुल पत्ते} = \frac{1}{52}\(
(v) हुकुम वाले कुल पत्ते = 13
\(P(हुकुम का पत्ता) = \frac{हुकुम वाले कुल पत्ते}{गद्दी में कुल पत्ते} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \)
(vi) ईंट की बेगम वाले कुल पत्ते = 1
\(P(एक ईंट की बेगम) = \frac{ईंट की बेगम वाले कुल पत्ते}{गद्दी में कुल पत्ते} = \frac{1}{52}\(

Exam/Tips:

a) ताश की गद्दी में कुल 52 पत्ते होते हैं जिसमें 26 लाल और 26 काले पत्ते होते हैं।
b) प्रत्येक सूट (पान, ईंट, हुकुम, चिड़ी) में 13 पत्ते होते हैं।

Question 15: ताश के पाँच पत्तों - ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का - को पलट करके अच्छी प्रकार फेंटा जाता है। फिर इनमें से यादृच्छया एक पत्ता निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह पत्ता एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता\)
(a) \( एक इक्का है?\)
(b) \( एक बेगम है?

Answer:

कुल पत्ते (ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का) = 5
(i) इन पाँच पत्तों में बेगम के कुल पत्ते = 1
\(P(एक बेगम वाला पत्ता) = \frac{बेगम के कुल पत्ते}{कुल पत्ते} = \frac{1}{5} \)
(ii) बेगम को अलग रखने पर कुल पत्ते = 4
\)
(a) \( बेगम को अलग रखने पर, इसके के कुल पत्ते = 1
\(P(एक इक्का) = \frac{इक्के के कुल पत्ते}{कुल पत्ते} = \frac{1}{4}\(
\)
(b) \( बेगम को अलग रखने पर, बेगम के कुल पत्ते = 0
\(P(एक बेगम) = \frac{बेगम के कुल पत्ते}{कुल पत्ते} = \frac{0}{4} = 0 \)

Exam Tips:

a) बिना प्रतिस्थापन (without replacement) के कुल पत्तों की संख्या कम हो जाती है।
b) जब एक पत्ता हटा दिया जाता है, तो कुल परिणाम 5 से घटकर 4 रह जाते हैं।

Question 16: किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिल गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से, एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Answer:

खराब पेन = 12, अच्छे पेन = 132, कुल पेन = \(132 + 12 = 144\(
\(P(अच्छे पेन) = \frac{कुल अच्छे पेन}{कुल पेन} = \frac{132}{144} = \frac{11}{12} \)

Exam Tips:

a) कुल पेनों की संख्या निकालने के लिए अच्छे और खराब पेनों को जोड़ें।
b) भिन्न को सरल करने के लिए 12 से काटें।

Question 17: (i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?

Answer:

खराब बल्ब = 4 तथा अच्छे बल्ब = 16
कुल बल्ब = 20
(i) \(P(खराब बल्ब) = \frac{कुल खराब बल्ब}{कुल बल्ब} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\(
(ii) यदि निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है,
खराब बल्ब = 4
अच्छे (खराब नहीं) बल्ब = \(16 - 1 = 15 \)
कुल बल्ब = \(20 - 1 = 19\(
\(P(खराब नहीं बल्ब) = \frac{कुल खराब नहीं बल्ब}{कुल बल्ब} = \frac{15}{19} \)

Exam Tips:

a) दूसरे भाग में एक बल्ब कम हो जाता है, इसलिए कुल संख्या 19 होगी।
b) बची हुई स्थिति के अनुसार अनुकूल परिणाम गिनें।

Question 18: एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 90 तक संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी: (i) दो अंकों की एक संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या (iii) 5 से विभाज्य एक संख्या

Answer:

कुल संख्याएँ = 90
(i) दो अंकों की कुल संख्याएँ \( (10, 11, 12 ... 90) = 81\(
\(P(दो अंकों की एक संख्या) = \frac{दो अंकों की कुल संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{81}{90} = \frac{9}{10} \)
(ii) पूर्ण वर्ग की कुल संख्याएँ \( (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81) = 9\(
\(P(एक पूर्ण वर्ग संख्या) = \frac{पूर्ण वर्ग की कुल संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} \)
(iii) 5 से विभाज्य कुल संख्याएँ \( (5, 10, 15, 20 ... 90) = 18\(
\(P(5 से विभाज्य एक संख्या) = \frac{5 से विभाज्य कुल संख्याएँ}{कुल संख्याएँ} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5} \)

Exam Tips:

a) 1 से 90 तक कुल 90 परिणाम हैं।
b) पूर्ण वर्ग और 5 के गुणजों को ध्यान से गिनें।

Question 19: एक बच्चे के पास ऐसा पासा है जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं:
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) A प्राप्त हो? (ii) D प्राप्त हो?

Answer:

कुल अक्षर = 6
(i) कुल अक्षर A = 2
\(P(A प्राप्त हो) = \frac{कुल अक्षर A}{कुल अक्षर} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\(
(ii) कुल अक्षर D = 1
\(P(D प्राप्त हो) = \frac{कुल अक्षर D}{कुल अक्षर} = \frac{1}{6} \)

Exam Tips:

a) मानक पासे की तरह इसमें 1 से 6 नहीं बल्कि अक्षर दिए गए हैं।
b) किसी अक्षर की आवृत्ति को कुल फलकों (6) से भाग दें।

Question 20: मान लीजिए आप एक पासे को आकृति 15.6 में दर्शाए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा?

आकृति का विवरण: एक आयत जिसकी लंबाई 3 m और चौड़ाई 2 m है, उसके अंदर एक वृत्त बना है जिसका व्यास 1 m है।

Answer:

वृत्त का व्यास = \(1 m\(
इसलिए वृत्त की त्रिज्या \( (r) = \frac{1}{2} m = 0.5 m \)
वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r^2 = 3.14 \times (0.5)^2 = 3.14 \times 0.25 = 0.785 m^2\(
आयत का क्षेत्रफल = \(3 \times 2 = 6 m^2 \)
\(P(पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अंदर गिरेगा) = \frac{वृत्त का क्षेत्रफल}{आयत का क्षेत्रफल} = \frac{0.785}{6} = 0.13\(

Exam Tips:

a) ज्यामितीय प्रायिकता में अनुकूल क्षेत्र के क्षेत्रफल को कुल क्षेत्रफल से विभाजित किया जाता है।
b) वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi r^2 और आयत का क्षेत्रफल लंबाई \(\times\) चौड़ाई होता है।

Question 21: 144 बॉल पेनों के एक समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप वह पेन खरीदेंगे?
(ii) आप वह पेन नहीं खरीदेंगे?

Answer:

कुल पेन = 144 तथा कुल खराब पेन = 20
कुल अच्छे पेन = 144 - 20 = 122 \)
(i) \(P(आप वह पेन खरीदेंगे) = \frac{कुल अच्छे पेन}{कुल पेन} = \frac{122}{144} = \frac{61}{72}\(
(ii) \(P(आप वह पेन नहीं खरीदेंगे) = \frac{कुल खराब पेन}{कुल पेन} = \frac{20}{144} = \frac{5}{36} \)

Exam Tips:

a) खरीदे जाने वाले पेन अच्छे पेन हैं।
b) न खरीदे जाने वाले पेन खराब पेन हैं।

Question 22: उदाहरण 13 को देखिए। (i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए:
घटना: दोनों पासों की संख्याओं का योग: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
प्रायिकता: \(\frac{1}{36} ? \(\frac{1}{36}\)
(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि 'यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं।
अतः, प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac{1}{11}\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं? सकारण उत्तर दीजिए।

Answer:

(i) सारणी के अनुसार प्रायिकताएँ:
योग 2: \(\frac{1}{36}\), योग 3: \(\frac{2}{36}\), योग 4: \(\frac{3}{36}\), योग 5: \(\frac{4}{36}\), योग 6: \(\frac{5}{36}\), योग 7: \(\frac{6}{36}\), योग 8: \(\frac{5}{36}\), योग 9: \(\frac{4}{36}\), योग 10: \(\frac{3}{36}\), योग 11: \(\frac{2}{36}\), योग 12: \frac{1}{36}\(
(ii) यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 और 12 हैं, परन्तु ये सभी साम्प्रदायिक नहीं हैं अर्थात इन सभी की प्रायिकता समान नहीं है।
अतः, प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac{1}{11} नहीं होगी।

Exam Tips:

a) दो पासों के फेंकने पर कुल 36 परिणाम होते हैं।
b) योग के परिणाम साम्प्रदायिक नहीं होते क्योंकि कुछ योग (जैसे 7) अधिक बार आ सकते हैं।

Question 23: एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर, अर्थात् तीन चित या पट प्राप्त होने पर, हनीफ खेल में जीत जाएगा, अन्यथा वह हार जाएगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकलित कीजिए।

Answer:

एक रुपए के सिक्के को तीन बार संभावित परिणाम = (HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT)
अतः, कुल संभावित परिणाम = 8
हनीफ के जीतने के अनुकूल कुल परिणाम = (HHH, TTT)
अतः, हनीफ के खेल में जीतने के अनुकूल कुल परिणाम = 2
P(हनीफ के खेल में जीतने की प्रायिकता) = \frac{हनीफ के खेल में जीतने के अनुकूल कुल परिणाम}{कुल परिणाम} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)
हम जानते हैं कि \(P(E) + P(नहीं E) = 1\(
इसलिए, \(P(हनीफ खेल में जीत जाएगा) + P(हनीफ खेल में हार जाएगा) = 1 \)
\(
\Rightarrow \frac{1}{4} + P(हनीफ खेल में हार जाएगा) = 1\(
\(
\Rightarrow P(हनीफ खेल में हार जाएगा) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4} \)

Exam Tips:

a) तीन सिक्कों को उछालने पर कुल \(2^3 = 8 परिणाम मिलते हैं।
b) हारने की प्रायिकता निकालने के लिए 1 में से जीतने की प्रायिकता घटायें।

Question 24: एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि (i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा? (ii) 5 कम से कम एक बार आएगा?
[संकेत: एक पासे को दो बार फेंकना और दो पासे एक साथ फेंकना एक ही प्रयोग माना जाता है]

Answer:

एक पासे को दो बार फेंकने पर कुल परिणाम निम्नलिखित हैं:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)
कुल परिणाम = 36
(i) 5 किसी भी बार में नहीं आएगा के कुल परिणाम निम्नलिखित हैं:
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6)
कुल परिणाम = 25
P(5 किसी भी बार में नहीं आएगा) = \frac{25}{36}\(
(ii)
हम जानते हैं कि \(P(E) + P(नहीं E) = 1 \)
इसलिए, \(P(5 किसी भी बार में नहीं आएगा) + P(5 कम से कम एक बार आएगा) = 1\(
\(
\Rightarrow \frac{25}{36} + P(5 कम से कम एक बार आएगा) = 1 \)
\(
\Rightarrow P(5 कम से कम एक बार आएगा) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}\(

Exam Tips:

a) दो पासों के प्रयोग में कुल 36 परिणाम होते हैं।
b) 'कम से कम एक बार 5 आने' की प्रायिकता निकालने के लिए 'एक बार भी 5 न आने' की प्रायिकता को 1 से घटाना सबसे आसान तरीका है।

Question 25: निम्नलिखित में से कौन से तर्क सही हैं और कौन से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए। (i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन संभावित परिणाम - दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं।
अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac{1}{3} है। (ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो संभावित परिणाम - एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है।

Answer:

(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके कुल संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं: (HH, HT, TH, TT)
इस प्रकार इसके तीन संभावित परिणाम - दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार हैं। परन्तु ये तीनों परिणाम साम्प्रदायिक नहीं हैं। क्योंकि दो चित की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है, दो पट की प्रायिकता \frac{1}{4} \) है लेकिन प्रत्येक एक बार आने की प्रायिकता \(\frac{2}{4} है।
अतः, इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac{1}{3}\) नहीं है। अतः ये तर्क असत्य है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके कुल संभावित परिणाम निम्नलिखित हैं: (1, 2, 3, 4, 5, 6)
इसमें तीन सम संख्याएँ तथा तीन विषम संख्याएँ हैं। तो इसके दो संभावित परिणाम - एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अतः एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) है। अतः ये तर्क सत्य है।

Exam Tips:

a) परिणामों की संख्या गिनने के साथ यह भी देखना जरूरी है कि वे साम्प्रदायिक हैं या नहीं।
b) पासे के मामले में सम और विषम संख्याओं की संख्या बराबर (3 और 3) होने के कारण प्रायिकता \(\frac{1}{2}\) होती है।