NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 13 सांख्यिकी
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 13 सांख्यिकी
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Question 1: निम्नलिखित सरणी किसी अस्पताल में एक विशेष वर्ष में भर्ती हुए रोगियों की आयु को दर्शाती है:आयु (वर्षों में) 5 - 15, 15 - 25, 25 - 35, 35 - 45, 45 - 55, 55 - 65 रोगियों की संख्या 6, 11, 21, 23, 14, 5 उपर्युक्त आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों केन्द्रीय प्रवृत्ति की मापों की तुलना कीजिए और उनकी व्याख्या कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: इस प्रश्न में अस्पताल में भर्ती रोगियों की आयु और उनकी संख्या को दर्शाने वाली एक बारंबारता सारणी दी गई है।
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिन्ह (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिन्ह x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
यहाँ, 30 को कल्पित माध्य (\( a \)) लेकर, \( d_i \) और \( f_id_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
वर्ग ( वर्षों में ), रोगियों की संख्या (\( f_i \)), वर्गचिन्ह (\( x_i \)), \( d_i = x_i - 30 \), \( f_id_i \)
5 - 15, 6, 10, -20, -120
15 - 25, 11, 20, -10, -110
25 - 35, 21, 30, 0, 0
35 - 45, 23, 40, 10, 230
45 - 55, 14, 50, 20, 280
55 - 65, 5, 60, 30, 150
योग, \(\sum f_i = 80\), \(\sum f_id_i = 430\) और \( a = 30 \)
यहाँ, सारणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\(\sum f_i = 80\), \(\sum f_id_i = 430\) और \( a = 30 \)
माध्य \( (\bar{x}) = a + \left(\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}\right) = 30 + \left(\frac{430}{80}\right) = 30 + 5.375 = 35.375 = 35.38\)
अतः, बटन का माध्य \(35.38\) है।
यहाँ, रोगियों की आयु का औसत माध्य \(35.38\) वर्ष है। यह स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारंबारता \(23\) है जो कि वर्ग \(35 - 45\) में है। इसलिए बहुलक वर्ग \(35 - 45\) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (\(l\)) = \(35\)
बहुलक वर्ग की बारंबारता (\(f_1\)) = \(23\)
वर्गमाप (\(h\)) = \(10\)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_0\)) = \(21\)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_2\)) = \(14\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 35 + \left(\frac{23 - 21}{2 \times 23 - 21 - 14}\right) \times 10 = 35 + \frac{2}{11} \times 10 = 35 + 1.81 = 36.81\)
अतः, इस बंटन का बहुलक \(36.8\) है। यह दर्शाता है कि अस्पताल में भर्ती अधिकतम रोगी \(36.8\) वर्ष के हैं।
Exam Tips:
a) वर्ग अंतराल की लंबाई (\(h\)) हमेशा समान होनी चाहिए ताकि गणना सटीक हो सके।
b) बहुलक और माध्य के सूत्रों में मान रखते समय चिह्नों (+ और -) का विशेष ध्यान रखें।
c) कल्पित माध्य विधि से गणना करने पर बड़ी संख्याओं से बचा जा सकता है जिससे त्रुटि की संभावना कम होती है।
Question 2: निम्नलिखित आँकड़े, 225 बिजली उपकरणों के प्रेक्षित जीवन काल (घंटों में) की सूचना देते हैं: जीवनकाल (घंटों में) 0 - 20, 20 - 40, 40 - 60, 60 - 80, 80 - 100, 100 - 120 बारंबारता 10, 35, 52, 61, 38, 29 उपकरणों का बहुलक जीवनकाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: इस प्रश्न में उपकरणों के जीवनकाल और उनकी बारंबारता को दर्शाने वाली सारणी दी गई है।
यहाँ, ये स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारंबारता \(61\) है जो कि वर्ग \(60 - 80\) में है। इसलिए बहुलक वर्ग \(60 - 80\) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (\(l\)) = \(60\) तथा बहुलक वर्ग की बारंबारता (\(f_1\)) = \(61\)
वर्गमाप (\(h\)) = \(20\)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_0\)) = \(52\)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_2\)) = \(38\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 60 + \left(\frac{61 - 52}{2 \times 61 - 52 - 38}\right) \times 20 = 60 + \frac{9}{32} \times 20 = 60 + 5.625 = 65.625\)
अतः, उपकरणों का बहुलक जीवनकाल \(65.625\) घंटे है।
Exam Tips:
a) बहुलक वर्ग वह वर्ग होता है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक होती है।
b) हर में \(2f_1 - f_0 - f_2\) की गणना सावधानीपूर्वक करें ताकि ऋनात्मक चिह्न की गलती न हो।
c) अंतिम उत्तर को दशमलव के दो या तीन स्थानों तक लिखकर छोड़ें।
Question 3: निम्नलिखित आँकड़े किसी गाँव के 200 परिवारों के कुल मासिक घरेलू व्यय के बंटन को दर्शाते हैं। इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ज्ञात कीजिए। साथ ही, माध्य मासिक व्यय भी ज्ञात कीजिए। व्यय (₹ में): 1000 - 1500, 1500 - 2000, 2000 - 2500, 2500 - 3000, 3000 - 3500, 3500 - 4000, 4000 - 4500, 4500 - 5000 परिवारों की संख्या: 24, 40, 33, 28, 30, 22, 16, 7
Answer:
आकृति का विवरण: इस प्रश्न में परिवारों के मासिक व्यय और परिवारों की संख्या को दर्शाने वाली सारणी दी गई है।
यहाँ, ये स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारंबारता \(40\) है जो कि वर्ग \(1500 - 2000\) में है। इसलिए बहुलक वर्ग \(1500 - 2000\) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (\(l\)) = \(1500\)
बहुलक वर्ग की बारंबारता (\(f_1\)) = \(40\)
वर्गमाप (\(h\)) = \(500\)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_0\)) = \(24\)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_2\)) = \(33\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 1500 + \left(\frac{40 - 24}{2 \times 40 - 24 - 33}\right) \times 500 = 1500 + \frac{16}{23} \times 500 = 1500 + 347.826 = 1847.83\)
अतः, इन परिवारों का बहुलक मासिक व्यय ₹ \( 1847.83\) है।
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिन्ह (\(x_i\)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिन्ह x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
बंटन का वर्गमाप (\(h\)) = \(500\).
यहाँ, \(2750\) को कल्पित माध्य (\(a\)) लेकर, \(d_i, u_i\) और \(f_iu_i\) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
व्यय (₹ में), परिवारों की संख्या (\(f_i\)), \(x_i\), \(d_i = x_i - 2750\), \(u_i = \frac{d_i}{500}\), \(f_iu_i\)
1000 - 1500, 24, 1250, -1500, -3, -72
1500 - 2000, 40, 1750, -1000, -2, -80
2000 - 2500, 33, 2250, -500, -1, -33
2500 - 3000, 28, 2750, 0, 0, 0
3000 - 3500, 30, 3250, 500, 1, 30
3500 - 4000, 22, 3750, 1000, 2, 44
4000 - 4500, 16, 4250, 1500, 3, 48
4500 - 5000, 7, 4750, 2000, 4, 28
Total, 200, , , , -35
यहाँ, सारणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\(\sum f_i = 200, \sum f_iu_i = -35, a = 3250\) और \(h = 500\)
माध्य \( (\bar{x}) = a + \left(\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}\right)h = 2750 + \left(\frac{-35}{200}\right) \times 500 = 2750 - 87.5 = 2662.50\)
अतः, परिवारों का माध्य मासिक व्यय ₹ \( 2662.50\) है।
Exam Tips:
a) बड़े आँकड़ों के लिए पग-विचलन विधि (Step-deviation method) का प्रयोग करना समय बचाता है।
b) मुद्रा प्रतीक (₹) को उत्तर के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाएँ।
c) बहुलक और माध्य दोनों के मानों की तुलना करके निष्कर्ष भी निकाला जा सकता है।
Question 4: निम्नलिखित बंटन भारत के उच्चतर माध्यमिक स्कूलों में, राज्यों के अनुसार, शिक्षक-विद्यार्थी अनुपात को दर्शाता है। इन आँकड़ों के बहुलक और माध्य ज्ञात कीजिए। दोनों मापकों की व्याख्या कीजिए। प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या 15 - 20, 20 - 25, 25 - 30, 30 - 35, 35 - 40, 40 - 45, 45 - 50, 50 - 55 राज्य/संघीय क्षेत्रों की संख्या 3, 8, 9, 10, 3, 0, 0, 2
Answer:
आकृति का विवरण: इस प्रश्न में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या और राज्यों/संघीय क्षेत्रों की संख्या दी गई है।
यहाँ, ये स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारंबारता \(10\) है जो कि वर्ग \(30 - 35\) में है। इसलिए बहुलक वर्ग \(30 - 35\) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (\(l\)) = \(30\)
बहुलक वर्ग की बारंबारता (\(f_1\)) = \(10\)
वर्गमाप (\(h\)) = \(5\)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_0\)) = \(9\)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_2\)) = \(3\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 30 + \left(\frac{10 - 9}{2 \times 10 - 9 - 3}\right) \times 5 = 30 + \frac{1}{8} \times 5 = 30 + 0.625 = 30.625\)
यहाँ, ये आँकड़े दर्शाते हैं कि अधिकतर राज्यों/संघीय क्षेत्रों में प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या \(30.6\) है।
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिन्ह (\(x_i\)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिन्ह x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
यहाँ, \(32.5\) को कल्पित माध्य (\(a\)) लेकर, \(d_i, u_i\) और \(f_iu_i\) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या, राज्यों/संघीय क्षेत्रों की संख्या (\(f_i\)), \(x_i\), \(d_i = x_i - 32.5\), \(u_i = \frac{d_i}{5}\), \(f_iu_i\)
15 - 20, 3, 17.5, -15, -3, -9
20 - 25, 8, 22.5, -10, -2, -16
25 - 30, 9, 27.5, -5, -1, -9
30 - 35, 10, 32.5, 0, 0, 0
35 - 40, 3, 37.5, 5, 1, 3
40 - 45, 0, 42.5, 10, 2, 0
45 - 50, 0, 47.5, 15, 3, 0
50 - 55, 2, 52.5, 20, 4, 8
Total, 35, , , , -23
यहाँ, सारणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\(\sum f_i = 35, \sum f_iu_i = -23, a = 32.5\) और \(h = 5\)
माध्य \( (\bar{x}) = a + \left(\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}\right)h = 32.5 + \left(\frac{-23}{35}\right) \times 5 = 32.5 - \frac{23}{7} = 32.5 - 3.28 = 29.22\)
अतः, इस बंटन का माध्य \(29.2\) है। यह दर्शाता है कि प्रति शिक्षक विद्यार्थियों की संख्या \(29.2\) है।
Exam Tips:
a) माध्य और बहुलक दोनों निकालकर उनकी तुलना करना केंद्रीय प्रवृत्ति को समझने में मदद करता है।
b) शून्य बारंबारता वाले वर्गों को सारणी में शामिल रखना आवश्यक है।
c) गणना में भिन्नों को दशमलव में बदलते समय सावधानी बरतें।
Question 5: दिया हुआ बंटन विश्व के कुछ श्रेष्ठतम बल्लेबाजों द्वारा एकदिवसीय अंतर्राष्ट्रीय क्रिकेट मैचों में बनाए गए रनों को दर्शाता है: बनाए गए रन 3000 - 4000, 4000 - 5000, 5000 - 6000, 6000 - 7000, 7000 - 8000, 8000 - 9000, 9000 - 10000, 10000 - 11000 बल्लेबाजों की संख्या 4, 18, 9, 7, 6, 3, 1, 1 इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: इस प्रश्न में बल्लेबाजों द्वारा बनाए गए रन और उनकी संख्या को दर्शाने वाली सारणी दी गई है।
यहाँ, ये स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारंबारता \(18\) है जो कि वर्ग \(4000 - 5000\) में है। इसलिए बहुलक वर्ग \(4000 - 5000\) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (\(l\)) = \(4000\)
बहुलक वर्ग की बारंबारता (\(f_1\)) = \(18\)
वर्गमाप (\(h\)) = \(1000\)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_0\)) = \(4\)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_2\)) = \(9\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 4000 + \left(\frac{18 - 4}{2 \times 18 - 4 - 9}\right) \times 1000 = 4000 + \frac{14}{23} \times 1000 = 4000 + 608.695 = 4608.695\)
अतः, इस बंटन का बहुलक \(4608.7\) रन है।
Exam Tips:
a) बहुलक के सूत्र में सभी मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।
b) बड़े वर्ग अंतराल (जैसे 1000) में गुणा करते समय गणना की सटीकता जाँच लें।
c) परिणाम को उपयुक्त दशमलव स्थान तक लिखकर समाप्त करें।
Question 6: एक विद्यार्थी ने एक सड़क के किसी स्थान से होकर जाती हुई कारों की संख्याएँ नोट कीं और उन्हें नीचे दी गई सरणी में बनाए गए रनों के रूप में व्यक्त किया। सरणी में दिया प्रत्येक प्रेक्षण 3 मिनट के अन्तराल में उस स्थान से होकर जाने वाली कारों की संख्याओं से संबंधित है। ऐसे 100 अंतरालों पर प्रेक्षण लिए गए। इन आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। कारों की संख्या 0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50, 50 - 60, 60 - 70, 70 - 80 बारंबारता 7, 14, 13, 12, 20, 11, 15, 8
Answer:
आकृति का विवरण: इस प्रश्न में कारों की संख्या और अंतरालों की बारंबारता दर्शाने वाली सारणी दी गई है।
यहाँ, ये स्पष्ट है कि सबसे अधिक बारंबारता \(20\) है जो कि वर्ग \(40 - 50\) में है। इसलिए बहुलक वर्ग \(40 - 50\) है।
बहुलक वर्ग की निम्न सीमा (\(l\)) = \(40\)
बहुलक वर्ग की बारंबारता (\(f_1\)) = \(20\)
वर्गमाप (\(h\)) = \(10\)
बहुलक वर्ग से ठीक पहले आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_0\)) = \(12\)
बहुलक वर्ग से ठीक बाद में आने वाले वर्ग की बारंबारता (\(f_2\)) = \(11\)
बहुलक = \(l + \left(\frac{f_1 - f_0}{2f_1 - f_0 - f_2}\right) \times h = 40 + \left(\frac{20 - 12}{2 \times 20 - 12 - 11}\right) \times 10 = 40 + \frac{8}{17} \times 10 = 40 + 4.7 = 44.7\)
अतः, इन आँकड़ों का बहुलक \(44.7\) कारे हैं।
Exam Tips:
a) बारंबारता सारणी में सबसे बड़ी संख्या को पहचान कर बहुलक वर्ग का चयन करें।
b) सूत्र में \(f_0, f_1, f_2\) के मानों का क्रम न भूलें।
c) गणना को सरल बनाने के लिए अंत में दशमलव मान ठीक से निकालें।
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