Official NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 13 सांख्यिकी
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 13 सांख्यिकी
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Question 1: विद्यार्थियों के एक समूह द्वारा अपने पर्यावरण संवेतना अभियान के अंतर्गत एक सर्वेक्षण किया गया, जिसमें उन्होंने एक मोहल्ले के 20 घरों में लगे हुए पौधों से संबंधित निम्नलिखित आँकड़े एकत्रित किए। प्रति घर पौधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
पौधों की संख्या: 0-2, 2-4, 4-6, 6-8, 8-10, 10-12, 12-14
घरों की संख्या: 1, 2, 1, 5, 6, 2, 3
माध्य ज्ञात करने के लिए आपने किस विधि का प्रयोग किया और क्यों?
Answer:
प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
तथा \( f_ix_i \) की गणना निम्नलिखित है:
\( \Sigma f_i = 20 \) और \( \Sigma f_ix_i = 162 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( \frac{\Sigma f_ix_i}{\Sigma f_i} \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = \frac{162}{20} = 8.1 \)
अतः, प्रति घर माध्य पौधों की संख्या 8.1 है।
यहाँ, माध्य ज्ञात करने के लिए प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग किया है क्योंकि \( x_i \) और \( f_i \) के मान छोटे हैं।
Exam Tips:
a) वर्ग अंतराल के लिए ऊपरी और निचली सीमाओं को जोड़कर आधा करने से वर्ग चिह्न प्राप्त होता है।
b) जब बारंबारता और वर्ग चिह्न के मान छोटे हों, तब प्रत्यक्ष विधि की गणना सरल होती है।
c) गणना में दशमलव स्थान का विशेष ध्यान रखें।
Question 2: किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक मजदूरी के निम्नलिखित बारंबार बारंबारता बंटन पर विचार कीजिए:
दैनिक मजदूरी (₹ में): 100-120, 120-140, 140-160, 160-180, 180-200
श्रमिकों की संख्या: 12, 14, 8, 6, 10
एक उपयुक्त विधि का प्रयोग करते हुए, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
बंटन का वर्गमाप (\( h \)) = 20 है। 150 को कल्पित माध्य (\( a \)) लेकर, \( d_i \) और \( f_iu_i \) का मान निम्नलिखित सरणी से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 50 \), \( \Sigma f_iu_i = -12 \), \( a = 150 \) और \( h = 20 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \left(\frac{\Sigma f_iu_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 150 + \left(\frac{-12}{50}\right) \times 20 \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 150 - \frac{24}{5} \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 150 - 4.8 = 145.2 \)
अतः, इस फैक्टरी के श्रमिकों की माध्य दैनिक मजदूरी ₹ 145.20 है।
Exam Tips:
a) पग-विचलन विधि का उपयोग तब करना चाहिए जब वर्गमाप समान हो और \( d_i \) के मान किसी उभयनिष्ठ गुणनखंड से विभाजित होते हों।
b) कल्पित माध्य को हमेशा केंद्रीय वर्ग अंतराल से चुनना गणना को आसान बनाता है।
c) चिह्न (+/-) की त्रुटियों से बचने के लिए गुणा-भाग सावधानी से करें।
Question 3: निम्नलिखित बंटन एक मोहल्ले के बच्चों के दैनिक जेबखर्च दर्शाता है। माध्य जेबखर्च ₹ 18 है। लुप्त बारंबारता \( f \) ज्ञात कीजिए।
दैनिक जेब भत्ता (₹ में): 11-13, 13-15, 15-17, 17-19, 19-21, 21-23, 23-25
बच्चों की संख्या: 7, 6, 9, 13, \( f \), 5, 4
Answer:
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
दिया है कि माध्य जेबखर्च ₹ 18 है। 18 को कल्पित माध्य (\( a \)) लेकर, \( d_i \) और \( f_id_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 44 + f \), \( \Sigma f_id_i = 2f - 40 \) और \( a = 18 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \frac{\Sigma f_id_i}{\Sigma f_i} \)
\(
\Rightarrow\) \( 18 = 18 + \left(\frac{2f - 40}{44 + f}\right) \)
\(
\Rightarrow\) \( 0 = \frac{2f - 40}{44 + f} \)
\(
\Rightarrow\) \( 2f - 40 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2f = 40 \)
\(
\Rightarrow\) \( f = 20 \)
अतः, लुप्त बारंबारता \( f \) का मान 20 है।
Exam Tips:
a) जब कोई बारंबारता लुप्त हो और माध्य दिया हो, तब कल्पित माध्य विधि का उपयोग करना सबसे आसान होता है।
b) यदि \( a \) का मान दिए गए माध्य के बराबर चुना जाए, तो गणना में समीकरण सरल हो जाते हैं।
c) समीकरण हल करते समय वज्र गुणन (Cross multiplication) का सही नियम पालन करें।
Question 4: किसी अस्पताल में, एक डॉक्टर द्वारा 30 महिलाओं की जाँच की गई और उनके हृदय स्पंदन (beats) की प्रति मिनट संख्या नोट करके नीचे दर्शाए अनुसार संक्षिप्त रूप में लिखी गई। एक उपयुक्त विधि चुनते हुए, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या ज्ञात कीजिए:
हृदय स्पंदन की प्रति मिनट संख्या: 65-68, 68-71, 71-74, 74-77, 77-80, 80-83, 83-86
महिलाओं की संख्या: 2, 4, 3, 8, 7, 4, 2
Answer:
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
बंटन का वर्गमाप (\( h \)) = 3
75.5 को कल्पित मान (\( a \)) लेते हुए, \( d_i, u_i \) और \( f_iu_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 30 \), \( \Sigma f_iu_i = 4 \), \( a = 75.5 \) और \( h = 3 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \left(\frac{\Sigma f_iu_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 75.5 + \left(\frac{4}{30}\right) \times 3 \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 75.5 + \frac{4}{10} = 75.5 + 0.4 = 75.9 \)
अतः, इन महिलाओं के हृदय स्पंदन की प्रति मिनट माध्य संख्या 75.9 है।
Exam Tips:
a) पग-विचलन विधि का प्रयोग करते समय यह सुनिश्चित करें कि वर्गमाप समान हो।
b) \( u_i \) निकालने के लिए \( \frac{x_i - a}{h} \) के सूत्र का सावधानी से पालन करें।
c) अंत में दशमलव जोड़ करते समय सही स्थान पर दशमलव रखें।
Question 5: किसी फुटकर बाजार में, फल विक्रेता पेटियों में रखे आम बेच रहे थे। इन पेटियों में आमों की संख्याएँ भिन्न - भिन्न थीं। पेटियों की संख्या के अनुसार, आमों का बंटन निम्नलिखित था:
आमों की संख्या: 50-52, 53-55, 56-58, 59-61, 62-64
पेटियों की संख्या: 15, 110, 135, 115, 25
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या ज्ञात कीजिए। आपने माध्य ज्ञात करने की किस विधि का प्रयोग किया है?
Answer:
यहाँ वर्ग संतत नहीं हैं। दो क्रमागत वर्गों की ऊपर और निम्न सीमाओं में 1 का अंतर है।
अतः, वर्गों को संतत बनाने के लिए \( \frac{1}{2} (= 0.5) \) उपरि सीमा में जोड़ देते हैं तथा निम्न सीमा से \( \frac{1}{2} (= 0.5) \) घटा देते हैं।
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
बंटन का वर्ग माप (\( h \)) = 3 है। 57 को कल्पित माध्य (\( a \)) लेते हुए, \( d_i, u_i \) और \( f_iu_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 400 \), \( \Sigma f_iu_i = 25 \), \( a = 57 \) और \( h = 3 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \left(\frac{\Sigma f_iu_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 57 + \left(\frac{25}{400}\right) \times 3 \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 57 + \frac{3}{16} = 57 + 0.1875 = 57.1875 = 57.19 \)
एक पेटी में रखे आमों की माध्य संख्या 57.19 है।
यहाँ, पग-विचलन विधि का प्रयोग किया गया है क्योंकि \( f_i, d_i \) के मान बड़े हैं और \( d_i \) के सभी मानों में एक उभयनिष्ठ भाजक है।
Exam Tips:
a) यदि वर्ग अंतराल असंतत (discontinuous) हों, तो उन्हें पहले संतत (continuous) बनाना अनिवार्य है।
b) संतत बनाने के लिए निचले अंतर को आधा करके निचली सीमा में घटाएं और ऊपरी सीमा में जोड़ें।
c) बड़ी संख्याओं के लिए पग-विचलन विधि समय बचाती है।
Question 6: निम्नलिखित सरणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:
दैनिक व्यय (₹ में): 100-150, 150-200, 200-250, 250-300, 300-350
परिवारों की संख्या: 4, 5, 12, 2, 2
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
यहाँ, वर्गमाप = 50 है। 225 को कल्पित माध्य (\( a \)) लेकर, \( d_i \) और \( f_id_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 25 \), \( \Sigma f_id_i = -7 \), \( a = 225 \) और \( h = 50 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \left(\frac{\Sigma f_id_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 225 + \left(\frac{-7}{25}\right) \times 50 \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 225 - 7 \times 2 = 225 - 14 = 211 \)
अतः, भोजन पर हुआ माध्य व्यय ₹ 211 है।
Exam Tips:
a) जहाँ \( h \) बड़ा हो और \( d_i \) के मान 50 के गुणज हों, वहाँ कल्पित माध्य विधि अत्यधिक प्रभावी होती है।
b) ऋणात्मक मानों के गुणन में चिह्न का विशेष ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर के साथ मुद्रा इकाई (₹) लिखना न भूलें।
Question 7: वायु में सल्फर डाइऑक्साइड (\( \text{SO}_2 \)) की सांद्रता (भाग प्रति मिलियन में) को ज्ञात करने के लिए, एक नगर के 30 मोहल्लों से आँकड़े एकत्रित किए गए, जिन्हें नीचे प्रस्तुत किया गया है:
\( \text{SO}_2 \) की सांद्रता: 0.00-0.04, 0.04-0.08, 0.08-0.12, 0.12-0.16, 0.16-0.20, 0.20-0.24
बारंबारता: 4, 9, 9, 2, 4, 2
वायु में \( \text{SO}_2 \) की सांद्रता का माध्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
यहाँ, वर्गमाप = 0.04 है। 0.14 को कल्पित माध्य (\( a \)), \( d_i \) और \( f_iu_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 30 \), \( \Sigma f_iu_i = -31 \), \( a = 0.14 \) और \( h = 0.04 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \left(\frac{\Sigma f_iu_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 0.14 + \left(\frac{-31}{30}\right) \times (0.04) = 0.14 - 0.04133 = 0.09867 = 0.099 \)
अतः, वायु में \( \text{SO}_2 \) की सांद्रता का माध्य 0.099 भाग प्रति मिलियन है।
Exam Tips:
a) दशमलव वाले आंकड़ों में पग-विचलन विधि का उपयोग करते समय दशमलव स्थानों का मिलान ठीक से करें।
b) भाग देते समय परिणाम को तीन दशमलव स्थानों तक संनिकटित (round off) करें।
c) सारणी बनाते समय प्रत्येक कॉलम के शीर्ष स्पष्ट लिखें।
Question 8: किसी कक्षा अध्यापिका ने पूरे सत्र के लिए अपनी कक्षा के 40 विद्यार्थियों की उपस्थिति निम्नलिखित रूप में रिकार्ड की। एक विद्यार्थी जितने दिन अनुपस्थित रहा उनका माध्य ज्ञात कीजिए:
दिनों की संख्या: 0-6, 6-10, 10-14, 14-20, 20-28, 28-38, 38-40
विद्यार्थियों की संख्या: 11, 10, 7, 4, 4, 3, 1
Answer:
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
यहाँ, 17 को कल्पित माध्य (\( a \)) लेकर, \( d_i \) और \( f_id_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 40 + f, \Sigma f_id_i = -181 \) और \( a = 17 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \frac{\Sigma f_id_i}{\Sigma f_i} \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 17 + \left(\frac{-181}{40}\right) = 17 - 4.525 = 12.475 = 12.48 \)
अतः, एक विद्यार्थी के अनुपस्थित रहने का माध्य 12.48 दिन है।
Exam Tips:
a) इस प्रश्न में वर्गमाप असमान हैं, इसलिए पग-विचलन विधि का प्रयोग न करके कल्पित माध्य या प्रत्यक्ष विधि का प्रयोग करें।
b) असमान वर्गमाप वाले प्रश्नों में वर्ग चिह्न निकालते समय सावधानी रखें।
c) भागफल को दो दशमलव स्थानों तक निकालें।
Question 9: निम्नलिखित सरणी 35 नगरों की साक्षरता दर (प्रतिशत में) दर्शाती है। माध्य साक्षरता दर ज्ञात कीजिए:
साक्षरता दर (% में): 45-55, 55-65, 65-75, 75-85, 85-95
नगरों की संख्या: 3, 10, 11, 8, 3
Answer:
प्रत्येक वर्ग-अंतराल के लिए वर्ग चिह्न (\( x_i \)) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करेंगे:
वर्ग चिह्न x_i = \frac{उपरि वर्ग सीमा + निचली वर्ग सीमा}{2}
बंटन का वर्गमाप (\( h \)) = 10 है। 70 को कल्पित माध्य (\( a \)), \( d_i, u_i \) और \( f_iu_i \) का मान निम्नलिखित से प्राप्त कर सकते हैं:
यहाँ, सरणी से हमें निम्नलिखित मान प्राप्त होते हैं:
\( \Sigma f_i = 35 \), \( \Sigma f_iu_i = -2 \), \( a = 70 \) और \( h = 10 \)
माध्य (\( \bar{x} \)) = \( a + \left(\frac{\Sigma f_iu_i}{\Sigma f_i}\right) \times h \)
\(
\Rightarrow\) \( \bar{x} = 70 + \left(\frac{-2}{35}\right) \times 10 = 70 - \frac{4}{7} = 70 - 0.57 = 69.43 \)
अतः, नगर की माध्य साक्षरता दर 69.43% है।
Exam Tips:
a) प्रतिशत से संबंधित आंकड़ों में अंत में उत्तर के साथ प्रतिशत चिन्ह (%) लगाना न भूलें।
b) समान वर्ग माप वाले प्रश्नों में पग-विचलन विधि गणना को बेहद आसान बना देती है।
c) योग (\( \Sigma f_i \)) का मिलान कुल नगरों की संख्या से अवश्य करें।
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