Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
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Question 1: एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ \( 1 \text{ cm} \) हैं तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन \( \pi \) के पदों में ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक ठोस एक अर्धगोले के ऊपर खड़े शंकु के रूप में दिखाया गया है, जहाँ शंकु की ऊँचाई और अर्धगोले की त्रिज्या दोनों \( 1 \text{ cm} \) हैं।
दिया है: शंकाकार भाग की ऊँचाई \( (h) \) = शंकाकार भाग की त्रिज्या \( (r) = 1 \text{ cm} \)
शंकाकार भाग की त्रिज्या \( (r) \) = अर्धागोलाकार भाग की त्रिज्या \( (r) = 1 \text{ cm} \)
ठोस का आयतन = शंकाकार भाग का आयतन + अर्धागोलाकार भाग का आयतन
\(= \frac{1}{3}\pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{1}{3}\pi . 1^2 . 1 + \frac{2}{3}\pi . 1^3 = \pi \text{ cm}^3\)
Exam Tips:
a) जब ठोस संयुक्त हों, तो कुल आयतन अलग-अलग भागों के आयतनों का योग होता है।
b) यदि प्रश्न में \( \pi \) के मान के लिए विशेष निर्देश न हो और उत्तर \( \pi \) के पदों में माँगा जाए, तो मान प्रतिस्थापित न करें।
c) त्रिज्या और ऊँचाई की इकाइयों की एकरूपता की हमेशा जाँच करें।
Question 2: एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेन से एक पतली एल्युमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हों। इस मॉडल का व्यास \( 3 \text{ cm} \) है और इसकी लंबाई \( 12 \text{ cm} \) है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई \( 2 \text{ cm} \) हो तो रचेन द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आंतरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।)
Answer:
आकृति का विवरण: एक बेलनाکار मॉडल जिसके दोनों सिरों पर शंकाकार हिस्से जुड़े हैं। मॉडल की कुल लंबाई \( 12 \text{ cm} \), व्यास \( 3 \text{ cm} \), और प्रत्येक शंकु की ऊँचाई \( 2 \text{ cm} \) है।
शंकाकार भाग की ऊँचाई \( (h_1) = 2 \text{ cm} \)
शंकाकार भाग की त्रिज्या \( (r) \) = बेलनाकार भाग की त्रिज्या \( (r) = 3/2 \text{ cm} \)
बेलनाकार भाग की ऊँचाई \( (h_2) = 12 - 2 \times \) शंकाकार भाग की ऊँचाई = \( 12 - 2 \times 2 = 8 \text{ cm} \)
मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + \( 2 \times \) शंकाकार भाग का आयतन
\(= \pi r^2 h_2 + 2 \times \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 = \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 . 8 + 2 \times \frac{1}{3}\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 . 2\)
\(= 18\pi + 3\pi = 21\pi = 21 \times \frac{22}{7} = 66 \text{ cm}^3\)
Exam Tips:
a) बेलन की लंबाई कुल लंबाई में से दोनों शंकुओं की ऊँचाइयाँ घटाकर निकाली जाती है।
b) दोनों तरफ समान शंकु होने पर एक शंकु के आयतन को दो से गुणा करते हैं।
c) गणना को सरल बनाने के लिए समान पदों को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं।
Question 3: एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग \( 30\% \) चीनी की चाशनी होती है। \( 45 \) गुलाबजामुन में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्धगोलाकार हैं तथा इसकी लंबाई \( 5 \text{ cm} \) और व्यास \( 2.8 \text{ cm} \) है (देखिए आकृति)।
Answer:
आकृति का विवरण: एक गुलाबजामुन का चित्र दिया गया है जिसके मध्य में बेलनाकार भाग और दोनों सिरों पर अर्धगोलाकार भाग हैं। कुल लंबाई \( 5 \text{ cm} \) और व्यास \( 2.8 \text{ cm} \) है।
अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या \( (r) \) = बेलनाकार भाग की त्रिज्या \( (r) = 2.8/2 = 1.4 \text{ cm} \)
अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई = अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या = \( 1.4 \text{ cm} \)
बेलनाकार भाग की ऊँचाई \( (h_2) = 5 - 2 \times \) अर्धगोलाकार भाग की ऊँचाई = \( 5 - 2 \times 1.4 = 2.2 \text{ cm} \)
एक गुलाबजामुन का आयतन = बेलनाकार भाग का आयतन + \( 2 \times \) अर्धगोलाकार भाग का आयतन
\(= \pi r^2 h + 2 \times \frac{2}{3}\pi r^3 = \pi r^2 h + \frac{4}{3}\pi r^3 = \pi \times (1.4)^2 \times 2.2 + \frac{4}{3}\pi \times (1.4)^3\)
\(= \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \times 2.2 + \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1.4 \times 1.4 \times 1.4\)
\(= 13.552 + 11.498 = 25.05 \text{ cm}^3\)
\(45\) गुलाबजामunों का आयतन = \(45 \times 25.05 = 1127.25 \text{ cm}^3\)
चीनी की चाशनी का आयतन = \(45\) गुलाबजामुनॊं के आयतन का \(30\%\)
\(= \frac{30}{100} \times 1127.25 = 338.17 = 338 \text{ cm}^3\)
Exam Tips:
a) बेलन की ऊँचाई निकालते समय कुल लंबाई में से दोनों अर्धगोलो की त्रिज्याएँ घटाई जाती हैं।
b) दशमलव के गुणन में गणना सावधानीपूर्वक करें ताकि त्रुटि न हो।
c) प्रतिशत निकालते समय कुल आयतन को प्रतिशत दर से गुणा करके \(100\) से भाग देते हैं।
Question 4: एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंकाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ \( 15 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times 3.5 \text{ cm} \) हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या \( 0.5 \text{ cm} \) और गहराई \( 1.4 \text{ cm} \) है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
Answer:
आकृति का विवरण: एक घनाभ आकार का कलमदान जिसमें चार शंकाकार गड्ढे खुदे हुए हैं। घनाभ की विमाएँ और शंकु की माप दर्शाई गई हैं।
गड्ढे की गहराई \( (h) = 1.4 \text{ cm} \) तथा गड्ढे की त्रिज्या \( (r) = 0.5 \text{ cm} \)
पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन - \( 4 \times \) गड्ढे का आयतन
\(= lbh - 4 \times \frac{1}{3}\pi r^2 h\)
\(= 15 \times 10 \times 3.5 - 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times 1.4\)
\(= 525 - 1.47 = 523.53 \text{ cm}^3\)
Exam Tips:
a) जब किसी ठोस से कुछ भाग निकाला जाता है, तो शेष ठोस का आयतन निकालने के लिए निकाले गए भागों के आयतन को कुल आयतन से घटाते हैं।
b) शंकाकार गड्ढों की संख्या से एक शंकु के आयतन को गुणा करना न भूलें।
c) भिन्न और दशमलव को हल करते समय सरलतम रूप का प्रयोग करें।
Question 5: एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई \( 8 \text{ cm} \) है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या \( 5 \text{ cm} \) है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में शीशे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक \( 0.5 \text{ cm} \) त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई शीशे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक उल्टे शंकाकार बर्तन में पानी भरा हुआ है, जिसकी ऊँचाई \( 8 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 5 \text{ cm} \) है।
शंकाकार बर्तन की ऊँचाई \( (h) = 8 \text{ cm} \) तथा शंकाकार बर्तन की त्रिज्या \( (r_1) = 5 \text{ cm} \)
शीशे की गोली की त्रिज्या \( (r_2) = 0.5 \text{ cm} \)
माना बर्तन में डाली गई शीशे की गोलियों की संख्या = \( n \)
इसलिए, बाहर निकले पानी का आयतन = \( n \times \) शीशे की गोली کا आयतन
\(= \frac{1}{4} \times \) शंकाकार बर्तन का आयतन = \( n \times \) शीशे की गोली का आयतन
\(
\Rightarrow \frac{1}{4} \times \frac{1}{3}\pi r_1^2 h = n \times \frac{4}{3}\pi r_2^3
\Rightarrow r_1^2 h = n \times 16r_2^3\)
\(
\Rightarrow 5^2 \times 8 = n \times 16 \times (0.5)^3
\Rightarrow n = \frac{25 \times 8}{16 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3} = 100\)
इसलिए, बर्तन में डाली गई शीशे की गोलियों की संख्या \(100\) है।
Exam Tips:
a) बाहर निकले पानी का आयतन बर्तन के कुल आयतन का एक चौथाई दिया गया है, जिसे सीधे समीकरण में प्रयोग करें।
b) दोनों पक्षों में \( \pi \) और अन्य समान पदों को काटकर समीकरण को सरल बनाएं।
c) गोलियों की संख्या हमेशा एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए।
Question 6: ऊँचाई \( 220 \text{ cm} \) और आधार व्यास \( 24 \text{ cm} \) वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई \( 60 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 8 \text{ cm} \) वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तंभ बना है। इस स्तंभ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है \( 1 \text{ cm}^3 \) लोहे का द्रव्यमान लगभग \( 8 \text{ g} \) होता है। (\( \pi = 3.14 \) लीजिए)।
Answer:
आकृति का विवरण: एक बड़े बेलन के ऊपर एक छोटा बेलन आरोपित है। बड़े बेलन की ऊँचाई \( 220 \text{ cm} \) और व्यास \( 24 \text{ cm} \); छोटे बेलन की ऊँचाई \( 60 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 8 \text{ cm} \text{ } \) है।
बड़े बेलन की त्रिज्या \( (r_1) = 12 \text{ cm} \) तथा बड़े बेलन की ऊँचाई \( (h_1) = 220 \text{ cm} \)
छोटे बेलन की त्रिज्या \( (r_2) = 8 \text{ cm} \)
छोटे बेलन की ऊँचाई \( (h_2) = 60 \text{ cm} \)
स्तंभ का आयतन = बड़े बेलन का आयतन + छोटे बेलन का आयतन
\(= \pi r_1^2 h_1 + \pi r_2^2 h_2 = \pi [(12)^2 \times 220 + \pi (8)^2 \times 60]\)
\(= \pi [144 \times 220 + 64 \times 60] = 3.14 \times 35520 = 111532.8 \text{ cm}^3\)
\(1 \text{ cm}^3\) लोहे का द्रव्यमान = \(8 \text{ g}\)
इसलिए, \(111532.8 \text{ cm}^3\) लोहे का द्रव्यमान = \(111532.8 \times 8 = 892262.4 \text{ g} = 892.262 \text{ kg}\)
Exam Tips:
a) व्यास को त्रिज्या में बदलना न भूलें (r = व्यास/2)।
b) जब \( \pi = 3.14 \) दिया हो, तो भिन्न के स्थान पर \(3.14\) का ही प्रयोग करें।
c) ग्राम को किलोग्राम में बदलने के लिए \(1000\) से भाग दें।
Question 7: एक ठोस में, ऊँचाई \( 120 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 60 \text{ cm} \) वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो \( 60 \text{ cm} \) त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या \( 60 \text{ cm} \) है और ऊँचाई \( 180 \text{ cm} \) है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक बेलन के अंदर एक ठोस रखा है जिसमें अर्धगोले पर शंकु आरोपित है। बेलन की ऊँचाई \( 180 \text{ cm} \) और त्रिज्या \( 60 \text{ cm} \) है।
अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या = शंकाकार भाग की त्रिज्या = बेलनाकार भाग की त्रिज्या = \( 60 \text{ cm} \)
बेलनाकार भाग की ऊँचाई \( (h_1) = 180 \text{ cm} \)
शंकाकार भाग की ऊँचाई \( (h_2) = 120 \text{ cm} \)
बेलन में शेष बचे पानी का आयतन
= बेलन का आयतन - (अर्धगोलाकार भाग का आयतन + शंकाकार भाग का आयतन)
\(= \pi r^2 h_1 - \left(\frac{2}{3}\pi r^3 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2\right) \)
\(= \pi (60)^2 \times 180 - \left[\frac{2}{3}\pi (60)^3 + \frac{1}{3}\pi (60)^2 \times 120\right]\)
\(= \pi (60)^2 [180 - (40 + 40)]\)
\(= \frac{22}{7} \times 60 \times 60 \times 100 = 1131428.57 \text{ cm}^3 = 1.131 \text{ m}^3\)
Exam Tips:
a) शेष पानी का आयतन निकालने के लिए बेलन के कुल आयतन में से डूबे हुए ठोस का कुल आयतन घटाया जाता है।
b) यहाँ बेलन की त्रिज्या और ठोस की त्रिज्या समान है, जिससे गणना में उभयनिष्ठ पद लेने में आसानी होती है।
c) घन सेंटीमीटर को घन मीटर में बदलने के लिए \(10^6\) से भाग देते हैं।
Question 8: एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आधार की गर्दन है जिसकी लंबाई \( 8 \text{ cm} \) है और व्यास \( 2 \text{ cm} \) है जबकि गोलाकार भाग का व्यास \( 8.5 \text{ cm} \) है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन \( 345 \text{ cm}^3 \) है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त मापन आंतरिक मापन है और \( \pi = 3.14 \)।
Answer:
आकृति का विवरण: एक गोलाकार बर्तन जिसके ऊपर एक लंबी बेलनाकार गर्दन है। गोले का व्यास \( 8.5 \text{ cm} \) और बेलन की ऊँचाई \( 8 \text{ cm} \), व्यास \( 2 \text{ cm} \) है।
गोलाकार भाग की त्रिज्या \( (r_1) = 4.25 \text{ cm} \)
बेलनाकार भाग की ऊँचाई \( (h) = 8 \text{ cm} \)
बेलनाकार भाग की त्रिज्या \( (r_2) = 1 \text{ cm} \)
बर्तन का आयतन = गोलाकार भाग का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन
\(= \frac{4}{3}\pi r_1^3 + \pi r_2^2 h\)
\(= \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8.5}{2}\right)^3 + \pi (1)^2 \times 8\)
\(= \frac{4}{3} \times 3.14 \times 76.765625 + 8 \times 3.14\)
\(= 321.392 + 25.12\)
\(= 346.512 = 346.51 \text{ cm}^3\)
अतः, उस बच्चे का उत्तर सही नहीं है।
Exam Tips:
a) गोले और बेलन की त्रिज्याओं में अंतर को स्पष्ट रूप से समझें (गोले का व्यास \(8.5\) है अतः त्रिज्या \(4.25\) होगी)।
b) \( \pi = 3.14 \) का प्रयोग करते समय दशमलव के बाद कम से कम तीन अंकों तक मान निकालें।
c) प्रश्न के अंत में तुलना करके निष्कर्ष अवश्य लिखें कि उत्तर सही है या नहीं।
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NCERT Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
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