NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 11 Areas Related to Circles (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल) Exercise 11.1 in Hindi

Question 1: 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण \( 60^\circ \) है। (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: OACB एक वृत्त का त्रिज्यखंड है जिसका केंद्रीय कोण \( 60^\circ \) और त्रिज्या \( 6 cm \) है।

OACB वृत्त का त्रिज्यखंड है
हम जानते हैं कि
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
इसलिए, त्रिज्यखंड OACB का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \frac{22}{7} \times (6)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 6 \times 6 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{132}{7} cm^2 \)

Exam Tips:

a) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \) हमेशा याद रखें।
b) यदि प्रश्न में \(\pi\) का मान विशेष रूप से दिया गया हो, तो केवल उसी मान का प्रयोग करें।
c) गणना करते समय अंश और हर के समान पदों को पहले काट कर सरल कर लें।

Question 2: एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि \( 22 cm \) है। (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: एक वृत्त दिखाया गया है जिसमें एक चतुर्थांश का केंद्रीय कोण \( 90^\circ \) है।

माना वृत्त की त्रिज्या = \( r \)
परिधि = \( 22 cm \)
इसलिए, \( 2\pi r = 22 \)
\(
\Rightarrow\) \( r = \frac{22}{2\pi} = \frac{11}{\pi} \)
वृत्त का चतुर्थांश वृत्त के केंद्र पर \( 90^\circ \) का कोण अंतरित करता है।
इसलिए, चतुर्थांश का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \left(\frac{11}{\pi}\right)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{4} \times \pi \times \frac{11}{\pi} \times \frac{11}{\pi} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{121}{4\pi} = \frac{121}{4 \times \frac{22}{7}} = \frac{121 \times 7}{4 \times 22} = \frac{77}{8} cm^2 \)

Exam Tips:

a) वृत्त के चतुर्थांश का कोण हमेशा \( 90^\circ \) होता है।
b) परिधि से त्रिज्या ज्ञात करने के लिए \( 2\pi r \) सूत्र का उपयोग करें।
c) भिन्न की गणना में हर के हर को अंश में ले जाकर सरल करें।

Question 3: एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लंबाई \( 14 cm \) है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: एक घड़ी दर्शाई गई है जिसमें मिनट की सुई 12 से 1 पर जाती है और \( 30^\circ \) का कोण बनाती है।

हम जानते हैं कि मिनट की सुई 1 घंटे में \( 360^\circ \) का कोण बनाती है।
अतः, मिनट में बनाया गया कोण = \( \frac{360^\circ}{60} \times 5 = 30^\circ \)
इसप्रकार, इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = \( 30^\circ \) के
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{30^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{12} \times \pi (14)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{12} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{154}{3} cm^2 \)

Exam Tips:

a) घड़ी की सुई द्वारा 1 मिनट में बनाया गया कोण \( 6^\circ \) होता है।
b) सुई की लंबाई को ही वृत्त की त्रिज्या \( r \) माना जाता है।
c) इकाई हमेशा वर्ग सेंटीमीटर (\( cm^2 \)) में लिखें।

Question 4: 10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) संगत लघु वृत्तखंड (ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड (\(\pi = 3.14\) का प्रयोग कीजिए)।

Answer:

आकृति का विवरण: एक वृत्त में केंद्र पर \( 90^\circ \) का कोण बनता है, जिसमें लघु वृत्तखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड दर्शाए गए हैं।

(i) माना AB वृत्त की कोई जीवा केंद्र O पर एक समकोण अंतरित करती है।
\( 90^\circ \) के
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi (10)^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 10 \times 10 = 78.5 cm^2 \)
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 cm^2 \)
लघु
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = लघु
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल -
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( 78.5 cm^2 - 50 cm^2 = 28.5 cm^2 \)
(ii) दीर्घ
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \pi r^2 - \frac{1}{4}\pi r^2 = \left(1 - \frac{1}{4}\right)\pi r^2 = \frac{3}{4}\pi r^2 = \frac{3}{4} \times \pi (10)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{3}{4} \times 3.14 \times 10 \times 10 = 235.5 cm^2 \)

Exam Tips:

a)
वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाया जाता है।
b) समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) होता है।
c) दीर्घ त्रिज्यखंड के लिए कुल क्षेत्रफल में से लघु त्रिज्यखंड घटा सकते हैं या \( \frac{360^\circ - \theta}{360^\circ} \) का प्रयोग कर सकते हैं।

Question 5: त्रिज्या \( 21 cm \) वाले एक वृत्त का एक चाप केंद्र पर \( 60^\circ \) का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए: (i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए
वृत्तखंड का क्षेत्रफल (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)।

Answer:

आकृति का विवरण: केंद्र O पर \( 60^\circ \) का कोण बनाने वाला त्रिज्यखंड दिखाया गया है जिसकी त्रिज्या \( 21 cm \) है।

वृत्त की त्रिज्या = \( 21 cm \)
(i) चाप की लंबाई
\(
\Rightarrow\) \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{1}{6} \times 2 \times \pi \times 21 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 22 cm \)
(ii) चाप द्वारा बनाए गए
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \pi (21)^2 = \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 231 cm^2 \)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) चाप द्वारा बनाए गए
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - \(\Delta OAB\) का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( 231 cm^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}(21)^2 cm^2 \) [क्योंकि त्रिभुज OAB एक
समबाहु त्रिभुज है]
\(
\Rightarrow\) \( 231 cm^2 - 441 \frac{\sqrt{3}}{4} cm^2 = \left[231 - \frac{441\sqrt{3}}{4}\right] cm^2 \)

Exam Tips:

a) चाप की लंबाई का सूत्र \( \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r \) होता है।
b) जब केंद्रीय कोण \( 60^\circ \) हो, तब बनने वाला त्रिभुज हमेशा
समबाहु त्रिभुज होता है।
c)
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2 \) होता है।

Question 6: 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर \( 60^\circ \) का कोण अंतरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 3.14\) और \(\sqrt{3} = 1.73\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: त्रिज्या \( 15 cm \) और केंद्रीय कोण \( 60^\circ \) वाला वृत्तखंड दर्शाया गया है।

वृत्त की त्रिज्या = \( 15 cm \)
चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड OPRQ का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times 3.14 \times 15 \times 15 = 117.75 cm^2 \)
संगत लघु
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड OPRQ का क्षेत्रफल - \(\Delta OPQ\) का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( 117.75 cm^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} (15)^2 cm^2 \) [चूँकि त्रिभुज OPQ एक
समबाहु त्रिभुज है]
\(
\Rightarrow\) \( 117.75 cm^2 - 225 \frac{\sqrt{3}}{4} cm^2 = 117.75 cm^2 - 56.25 \times 1.73 cm^2 = 117.75 - 97.3125 cm^2 = 20.4375 cm^2 \)
दीर्घ
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - लघु
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \pi r^2 - 20.4375 cm^2 = [\pi (15)^2 - 20.4375] cm^2 = [3.14 \times 15 \times 15 - 20.4375] cm^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( [706.5 - 20.4375] cm^2 = 686.0625 cm^2 \)

Exam Tips:

a) \(\sqrt{3}\) का मान \( 1.73 \) रखना न भूलें जब तक अन्यथा न कहा जाए।
b) दीर्घ वृत्तखंड निकालने के लिए पूरे वृत्त के क्षेत्रफल में से लघु
वृत्तखंड का क्षेत्रफल घटाना सबसे आसान तरीका है।
c) दशमलव के बाद कम से कम चार अंकों तक सटीकता बनाए रखें।

Question 7: त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केंद्र पर \( 120^\circ \) का कोण अंतरित करती है। संगत
वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 3.14\) और \(\sqrt{3} = 1.73\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: वृत्त में जीवा द्वारा केंद्र पर \( 120^\circ \) का कोण बनाया गया है और लम्ब OV डाला गया है।

केंद्र O से जीवा ST पर डाला गया लम्ब OV, जीवा ST को समद्विभाजित करता है।
अतः, \( SV = VT \)
\(\Delta OVS\) में,
\( \frac{OV}{OS} = \cos 60^\circ \) \(
\Rightarrow\) \( \frac{OV}{12} = \frac{1}{2} \) \(
\Rightarrow\) \( OV = 6 cm \)
\( \frac{SV}{OS} = \sin 60^\circ \) \(
\Rightarrow\) \( \frac{SV}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \(
\Rightarrow\) \( SV = 6\sqrt{3} cm \)
\( ST = 2 \times SV = 2 \times 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} cm \)
\(\Delta OST\) का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{2} \times ST \times OV = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} \times 6 \)
\(
\Rightarrow\) \( 36\sqrt{3} = 36 \times 1.73 = 62.28 cm^2 \)
चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड OSUT का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{120^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{3} \times \pi (12)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{3} \times 3.14 \times 12 \times 12 = 150.72 cm^2 \)
वृत्तखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड OSUT का क्षेत्रफल - \(\Delta OST\) का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( (150.72 - 62.28) cm^2 = 88.44 cm^2 \)

Exam Tips:

a) जब कोण \( 90^\circ \) से अधिक हो (\( 120^\circ \)), तब त्रिकोणमिति का उपयोग करके त्रिभुज की ऊँचाई और आधार ज्ञात करते हैं।
b) केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
c) त्रिकोणमितीय मानों (\(\sin 60^\circ\), \(\cos 60^\circ\)) का सही प्रतिस्थापन करें।

Question 8: \( 15 m \) भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूंटे से एक घोड़े को \( 5 m \) लंबी रस्सी से बाँध दिया गया है। ज्ञात कीजिए: (i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है। (ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि, यदि घोड़े को \( 5 m \) लंबी रस्सी के स्थान पर \( 10 m \) लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए। (\(\pi = 3.14\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: एक वर्गाकार मैदान के कोने पर खूंटे से बंधी रस्सी के त्रिज्यखंड को दर्शाया गया है।

मैदान का वह भाग जहाँ घोड़ा घास चर सकता है, एक त्रिज्यखंड कोण \( 90^\circ \) है।
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है
\(
\Rightarrow\) = त्रिज्यखंड OABO का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 5^2 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 25 = 19.625 m^2 \)
(ii) यदि घोड़े को \( 5 m \) लंबी रस्सी के स्थान पर \( 10 m \) लंबी रस्सी से बाँध दिया जाए, मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा चर सकता है
\(
\Rightarrow\) = त्रिज्यखंड OABO का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi (10)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = 78.50 m^2 \)
चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि = \( (78.50 - 19.625) m^2 = 58.875 m^2 \)

Exam Tips:

a) वर्ग का प्रत्येक कोण \( 90^\circ \) होता है, अतः कोने पर बनने वाला त्रिज्यखंड का कोण \( 90^\circ \) होगा।
b) रस्सी की लंबाई ही त्रिज्यखंड की त्रिज्या \( r \) होती है।
c) क्षेत्रफल में वृद्धि ज्ञात करने के लिए बड़े त्रिज्यखंड में से छोटे त्रिज्यखंड को घटाएँ।

Question 9: एक वृत्ताकार ब्रूच (brooch) को चाँदी के तार से बनाया जाना है जिसका व्यास \( 35 mm \) है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में भी प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखंडों में विभाजित करता है जैसा की आकृति में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए: (i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई (ii) ब्रूच के प्रत्येक
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: एक वृत्ताकार ब्रूच जिसमें 5 व्यास और 10 बराबर त्रिज्यखंड बने हैं, दर्शाया गया है।

व्यास = \( 35 mm \)
इसलिए, त्रिज्या = \( 35/2 mm \)
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लंबाई
\(
\Rightarrow\) = \( 5 \times \text{व्यास} + \text{परिधि} = 5 \times 35 + 2\pi r \)
\(
\Rightarrow\) \( = 175 + 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} = 175 + 110 = 285 mm \)
(ii) आकृति के अनुसार कुल 10 त्रिज्यखंड हैं।
इसलिए, प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण = \( \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ \)
ब्रूच के प्रत्येक
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{36^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{10} \times \pi \left(\frac{35}{2}\right)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2} = \frac{385}{4} mm^2 \)

Exam Tips:

a) कुल तार की लंबाई में परिधि के साथ-साथ सभी व्यासों की लंबाई भी जोड़ी जाती है।
b) त्रिज्यखंडों की कुल संख्या से \( 360^\circ \) को भाग देकर प्रत्येक त्रिज्यखंड का कोण ज्ञात करें।
c) अंश और हर की संख्याओं को सावधानीपूर्वक काटें ताकि गलती न हो।

Question 10: एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। छतरी को \( 45 cm \) त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए, इसकी दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: एक खुली हुई छतरी दिखाई गई है जिसमें 8 बराबर त्रिज्यखंड बने हैं।

त्रिज्या = \( 45 cm \)
आकृति के अनुसार कुल 8 त्रिज्यखंड हैं।
इसलिए, प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण = \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \)
दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल = एक
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{8} \times \pi (45)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{8} \times \frac{22}{7} \times 45 \times 45 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{22275}{28} cm^2 \)

Exam Tips:

a) तानों की संख्या से \( 360^\circ \) को विभाजित करके केंद्रीय कोण निकालें।
b) छतरी को एक वृत्त मानकर त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र लगाएं।
c) अंतिम भिन्न को यदि सरल न किया जा सके तो वैसे ही छोड़ दें।

Question 11: किसी कार के दो वाइपर (Wipers) हैं, परस्पर कभी आच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लंबाई \( 25 cm \) है और \( 115^\circ \) के कोण तक घूम कर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 22/7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: दो वाइपर दिखाए गए हैं जो \( 115^\circ \) के कोण पर घूमते हैं और जिनकी त्रिज्या \( 25 cm \) है।

प्रत्येक वाइपर द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण = \( 115^\circ \) तथा त्रिज्या = \( 25 cm \)
पत्तियों की बुहार के साथ साफ होने वाला क्षेत्रफल = प्रत्येक वाइपर द्वारा बने
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{115^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{23}{72} \times \pi (25)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{23}{72} \times \frac{22}{7} \times 25 \times 25 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{158125}{252} cm^2 \)
दोनों वाइपर द्वारा बने त्रिज्यखंड का कुल क्षेत्रफल = \( 2 \times \frac{158125}{252} = \frac{158125}{126} cm^2 \)

Exam Tips:

a) चूंकि दो वाइपर हैं, इसलिए एक वाइपर के क्षेत्रफल को 2 से गुणा करना न भूलें।
b) \( 115^\circ \) और \( 360^\circ \) को 5 से सरल करके \( \frac{23}{72} \) प्राप्त करें।
c) गणना में सावधानी बरतें क्योंकि संख्याएँ बड़ी हो सकती हैं।

Question 12: जहाजों को समुद्र में जलस्तर के नीचे स्थित चट्टानों की चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (light house) \( 80^\circ \) कोण वाले एक त्रिज्यखंड में \( 16.5 km \) की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (\(\pi = 3.14\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: लाइट हाउस से \( 80^\circ \) कोण और \( 16.5 km \) त्रिज्या वाला त्रिज्यखंड प्रदर्शित है।

लाइट हाउस \( 80^\circ \) कोण वाले एक त्रिज्यखंड में \( 16.5 km \) की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है।
इसलिए,
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{80^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{2}{9} \times \pi (16.5)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{2}{9} \times 3.14 \times 16.5 \times 16.5 = 189.97 km^2 \)

Exam Tips:

a) दूरी \( 16.5 km \) को त्रिज्या \( r \) माना जाता है।
b) \( \pi \) का मान \( 3.14 \) प्रयोग करें जैसा कि प्रश्न में निर्दिष्ट है।
c) क्षेत्रफल की इकाई वर्ग किलोमीटर (\( km^2 \)) होगी।

Question 13: एक गोल मेजपोश पर छः समान डिज़ाइन बने हैं जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या \( 28 cm \) है, तो ₹ \( 0.35 \) प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से इन डिज़ाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (\(\pi = 22/7\) और \(\sqrt{3} = 1.7\) का प्रयोग कीजिए)

Answer:

आकृति का विवरण: एक गोल मेजपोश पर 6 सममित डिज़ाइन और त्रिज्यखंड दर्शाए गए हैं।

मेजपोश पर छः समान डिज़ाइन = छः समान वृत्तखंड
इसलिए, प्रत्येक त्रिज्यखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण = \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \)
\(\Delta OAB\) में, \( OA = OB \) [क्योंकि \( OA = OB \)]
\(
\Rightarrow\) \(\angle OAB = \angle OBA\)
\(
\Rightarrow\) \(\angle AOB = 60^\circ\)
\(\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\)
\(
\Rightarrow\) \( 2\angle OAB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \(\angle OAB = 60^\circ\)
इसप्रकार, \(\Delta OAB\) एक
समबाहु त्रिभुज है।
त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{60^\circ}{360^\circ} \times \pi r^2 = \frac{1}{6} \times \pi (28)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{6} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28 = \frac{1232}{3} cm^2 \)
समबाहु
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \frac{\sqrt{3}}{4} (28)^2 = 196\sqrt{3} = 196 \times 1.7 = 333.2 cm^2 \)
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल - समबाहु
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( \left(\frac{1232}{3} - 333.2\right) cm^2 \)
मेजपोश पर छः ডিজাইनों का क्षेत्रफल
\(
\Rightarrow\) \( 6 \times \left(\frac{1232}{3} - 333.2\right) cm^2 = (2464 - 1999.2) cm^2 = 464.8 cm^2 \)
\( 1 cm^2 \) डिज़ाइन को बनाने की लागत = ₹ 0.35
इसलिए, \( 464.8 cm^2 \) वर्ग सेंटीमीटर डिज़ाइन को बनाने की
कुल लागत = ₹ \( 0.35 \times 464.8 \) = ₹ 162.68

Exam Tips:

a) 6 समान डिज़ाइनों के लिए एक
वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालकर उसे 6 से गुणा करते हैं।
b) लागत निकालने के लिए कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से गुणा करें।
c) मुद्रा प्रतीक (₹) को हमेशा गणितीय व्यंजक के बाहर रखें।

Question 14: निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए: त्रिज्या R वाले वृत्त के उस
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण \( P^\circ \) है, निम्नलिखित है:
\)
(A) \( \frac{P}{180} \times 2\pi R \)
\)
(B) \( \frac{P}{180} \times \pi R^2 \)
\)
(C) \( \frac{P}{360} \times 2\pi R \)
\)
(D) \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 \)

Answer:

आकृति का विवरण: त्रिज्या R और कोण \( P^\circ \) वाला एक त्रिज्यखंड दिखाया गया है।

हम जानते हैं कि
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल जिसका कोण \( P^\circ \) है
\(
\Rightarrow\) \( \frac{P}{360^\circ} \times \pi R^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{P}{360^\circ \times 2} \times 2 \times \pi R^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{P}{720} \times 2\pi R^2 \)
इसलिए,\)
(D) \( विकल्प सही है।

Exam Tips:

a) त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का मूल सूत्र \( \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi R^2 \) होता है।
b) यदि विकल्प में हर में 720 दिया गया हो, तो अंश और हर दोनों को 2 से गुणा करके मिलान करें।
c) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सभी विकल्पों को ध्यान से जाँचें।