Official NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 10 वृत्त
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 10 वृत्त
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Question 1: एक बिंदु \(Q\) से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई तथा केंद्र से दूरी है। वृत्त की त्रिज्या है:
(A) \(7\text{ cm}\)
(B) \(12\text{ cm}\)
(C) \(15\text{ cm}\)
(D) \(24.5\text{ cm}\)
Answer:
मानो वृत्त का केंद्र \(O\) है।
दिया है: \(OQ = 25\text{ cm}\) और \(PQ = 24\text{ cm}\)
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए, \(OP \perp PQ\)
\(\triangle OPQ\) में, पाइथागोरस प्रमेय से,
\(OP^2 + PQ^2 = OQ^2 \Rightarrow OP^2 + 24^2 = 25^2 \Rightarrow OP^2 = 625 - 576\)
\(\Rightarrow OP^2 = 49 \Rightarrow OP = 7\)
इसलिए, वृत्त की त्रिज्या \(7\text{ cm}\) है।
इसलिए, विकल्प (A) सही है।
Exam Tips:
a) हमेशा याद रखें कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
b) समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते समय वर्गों की गणना सावधानीपूर्वक करें।
c) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सही विकल्प चुनकर स्पष्ट हल अवश्य दर्शाएँ।
Question 2: आकृति में, यदि \(TP, TQ\) केंद्र \(O\) वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि \(\angle POQ = 110^\circ\) तो \(\angle PTQ\) बराबर है:
(A) \(60^\circ\)
(B) \(70^\circ\)
(C) \(80^\circ\)
(D) \(90^\circ\)
Answer:
दिया है: \(TQ\) और \(TP\) वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, \(OP \perp TP\) और \(OQ \perp TQ\)
\(\angle OPT = 90^\circ\) और \(\angle OQT = 90^\circ\)
चतुर्भुज \(POQT\) में, \(\angle OPT + \angle POQ + \angle OQT + \angle PTQ = 360^\circ\)
\(\Rightarrow 90^\circ + 110^\circ + 90^\circ + \angle PTQ = 360^\circ \Rightarrow \angle PTQ = 360^\circ - 290^\circ = 70^\circ\)
इसलिए, विकल्प (B) सही है।
Exam Tips:
a) चतुर्भुज के चारों कोणों का योग हमेशा \(360^\circ\) होता है, इस गुण का उपयोग करें।
b) स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण \(90^\circ\) होता है।
c) आकृति को ध्यान से समझकर प्रमेय का सही अनुप्रयोग करें।
Question 3: यदि एक बिंदु \(P\) से \(O\) केंद्र वाले किसी वृत्त पर \(PA, PB\) स्पर्श रेखाएँ परस्पर \(80^\circ\) के कोण पर झुकी हों तो \(\angle POA\) बराबर है:
(A) \(50^\circ\)
(B) \(60^\circ\)
(C) \(70^\circ\)
(D) \(80^\circ\)
Answer:
दिया है: \(PA\) और \(PB\) वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, \(OA \perp PA\) और \(OB \perp PB\)
\(\angle OBP = 90^\circ\) और \(\angle OAP = 90^\circ\)
चतुर्भुज \(AOBP\) में,
\(\angle OAP + \angle APB + \angle PBO + \angle AOB = 360^\circ\)
\(\Rightarrow 90^\circ + 80^\circ + 90^\circ + \angle AOB = 360^\circ\)
\(\Rightarrow \angle BOA = 360^\circ - 260^\circ = 100^\circ\)
\(\triangle OPB\) और \(\triangle OPA\) में, \( AP = BP \) [एक ही बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ] \( OA = OB \) [वृत्त की त्रिज्याएँ] \( OP = OP \) [उभयनिष्ठ]
इसलिए, \(\triangle OPB \cong \triangle OPA\) [SSS सर्वांगसम प्रमेय]
अतः, \(\angle POB = \angle POA\)
\(\angle POA = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2}(100^\circ) = 50^\circ\)
इसलिए, विकल्प (A) सही है।
Exam Tips:
a) बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
b) सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करके कोणों को समद्विभाजित करना सीखें।
c) ज्यामितीय प्रमाण में प्रत्येक पद के साथ कारण को कोष्ठक में अवश्य लिखें।
Question 4: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
Answer:
मानो \(AB\) व्यास है तथा \(PQ\) और \(RS\) सिरों पर खींची गई समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं।
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, \(OA \perp RS\) और \(OB \perp PQ\)
\(\angle OAR = 90^\circ\) और \(\angle OAS = 90^\circ\)
\(\angle OBP = 90^\circ\)
\(\angle OBQ = 90^\circ\)
उपरोक्त से हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:
\(\angle OAR = \angle OBQ\) [एकान्तर कोण]
\(\angle OAS = \angle OBP\) [एकान्तर कोण]
क्योंकि एकान्तर कोण बराबर हैं, इसलिए रेखाएँ \(PQ\) और \(PS\) समांतर होंगी।
Exam Tips:
a) एकान्तर अंतः कोणों के बराबर होने पर रेखाएँ समांतर होती हैं, इस अभिगृहीत को याद रखें।
b) व्यास के सिरों पर स्पर्श रेखाओं का लंबवत होना आवश्यक प्रमेय है।
c) चित्र में स्पष्ट रूप से लंब और समांतर रेखाओं को प्रदर्शित करें।
Question 5: सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिंदु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
Answer:
माना \(O\) केंद्र वाले वृत्त पर \(AB\) एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को \(P\) पर स्पर्श करती है।
हमें सिद्ध करना है कि स्पर्श बिंदु \(P\) से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र \(O\) से होकर जाता है। हम इसे विरोधाभास विधि से सिद्ध करेंगे।
मान लीजिए कि बिंदु \(p\) से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र \(O\) से होकर नहीं जाता है। यह एक और बिंदु \(O'\) से होकर जाता है। \( OP \) तथा \(O'P\) मिलाया। \( P \) से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र \(O'\) से होकर जाता है। इसलिए,
\(\angle O'PB = 90^\circ\) ... (1)
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है। इसलिए,
\(\therefore \angle OPB = 90^\circ\) ... (2)
समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर:
\(\angle O'PB = \angle OPB\) ... (3)
आकृति से हमें स्पष्ट होता है कि,
\(\angle O'PB < \angle OPB\) ... (4)
इसलिए, \(\angle O'PB = \angle OPB\) संभव नहीं है। ये तभी संभव है जब \(OP\) और \(O'P\) संपाती रेखाएँ हों।
इसलिए, \(P\) से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र \(O\) से होकर जाता है।
Exam Tips:
a) विरोधाभास विधि (Proof by contradiction) का अभ्यास करें।
b) मानकर चलें कि केंद्र अन्य बिंदु पर है और फिर असंभव परिणाम दिखाएँ।
c) प्रमेय के कथन को भली-भांति समझकर तार्किक चरण लिखें।
Question 6: एक बिंदु \(A\) से, जो एक वृत्त के केंद्र से \(5\text{ cm}\) दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई \(4\text{ cm}\) है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना \(O\) केंद्र वाले वृत्त पर \(AB\) एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को \(B\) पर स्पर्श करती है।
दिया है: \(OA = 5\text{ cm}\) और \(AB = 4\text{ cm}\)
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, \(\triangle ABO\) में, \(OB \perp AB\)
\(\triangle ABO\) में, पाइथागोरस प्रमेय से,
\(AB^2 + BO^2 = OA^2 \Rightarrow 4^2 + BO^2 = 5^2\)
\(\Rightarrow 16 + BO^2 = 25\)
\(\Rightarrow BO^2 = 9 \Rightarrow BO = 3\)
इसलिए, वृत्त की त्रिज्या \(3\text{ cm}\) है।
Exam Tips:
a) समकोण त्रिभुज में कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है।
b) पाइथागोरस त्रिक (3, 4, 5) को पहचानकर सीधे परिणाम की पुष्टि करें।
c) गणना करते समय इकाइयों (\(\text{cm}\)) का विशेष ध्यान रखें।
Question 7: दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ \(5\text{ cm}\) तथा \(3\text{ cm}\) हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।
Answer:
माना \(O\) केंद्र वाले दो संकेंद्रीय वृत्त की त्रिज्याएँ \(5\text{ cm} (OP)\) तथा \(3\text{ cm} (OA)\) हैं। \(PQ\) बड़े वृत्त की जीवा है, जो छोटे वृत्त को \(A\) पर स्पर्श करती है। अतः \(PQ\) छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है।
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, \(\triangle PQO\) में, \(OA \perp PQ\)
\(\triangle APO\) में, पाइथागोरस प्रमेय से, \(OA^2 + AP^2 = OP^2\)
\(\Rightarrow 3^2 + AP^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + AP^2 = 25 \Rightarrow AP^2 = 16 \Rightarrow AP = 4\)
\(\triangle OPQ\) में, \(OA \perp PQ\), \( AP = AQ \) [केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है]
अतः, \(PQ = 2AP = 2 \times 4 = 8\)
इसलिए, बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई \(8\text{ cm}\) है।
Exam Tips:
a) वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इस प्रमेय का प्रयोग करें।
b) संकेंद्रीय वृत्तों के प्रश्नों में उभयनिष्ठ केंद्र का उपयोग करके समकोण त्रिभुज बनाएँ।
c) अर्ध-जीवा की लंबाई निकालकर उसे दुगुना करना न भूलें।
Question 8: एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज \(ABCD\) खींचा गया है। सिद्ध कीजिए: \(AB + CD = AD + BC\)
Answer:
हम जानते हैं कि एक ही बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं इसलिए, \( DR = DS \) [बिंदु \(D\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (1) \( CR = CQ \) [बिंदु \(C\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (2) \( BP = BQ \) [बिंदु \(B\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (3) \( AP = AS \) [बिंदु \(A\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (4)
समीकरण (1), (2), (3) और (4) को जोड़ने पर, \(DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS\)
\(\Rightarrow (DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)\)
\(\Rightarrow CD + AB = AD + BC\)
Exam Tips:
a) स्पर्श रेखाओं की लंबाई के प्रमेय का सही समीकरणों में व्यवस्थित करें।
b) समान बिंदुओं से आने वाले स्पर्श रेखा खंडों को एक साथ जोड़ें।
c) अंतिम सिद्ध करने वाले पद के अनुसार भुजाओं को व्यवस्थित करें।
Question 9: आकृति में, \(XY\) तथा \(X'Y'\), \(O\) केंद्र वाले کسی वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिंदु \(C\) पर स्पर्श रेखा \(AB\), \(XY\) को \(A\) तथा \(X'Y'\) को \(B\) पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि \(\angle AOB = 90^\circ\)।
Answer:
\(C\) को \(O\) से मिलाया।
\(\triangle OPA\) और \(\triangle OCA\) में, \( OP = OC \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ] \( AP = AC \) [बिंदु \(A\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] \( AO = AO \) [उभयनिष्ठ]
\(\triangle OPA \cong \triangle OCA\) [SSS सर्वांगसम प्रमेय]
अतः, \(\angle POA = \angle COA\) ... (i)
इसी तरह से, \(\triangle OQB \cong \triangle OCB\)
अतः, \(\angle QOB = \angle COB\) ... (ii)
क्योंकि \(POQ\) एक व्यास है इसलिए एक सरल रेखा है।
अतः, \(\angle POA + \angle COA + \angle COB + \angle QOB = 180^\circ\)
समीकरण (i) और (ii) से
\(2\angle COA + 2\angle COB = 180^\circ \Rightarrow \angle COA + \angle COB = 90^\circ\)
\(\angle AOB = 90^\circ\)
Exam Tips:
a) वृत्त के व्यास पर बने कोण और रेखा के सरल कोण (\(180^\circ\)) के गुणों का प्रयोग करें।
b) त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करके संगत कोणों को बराबर दिखाएँ।
c) समीकरणों को जोड़कर वांछित कोण प्राप्त करें।
Question 10: सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
Answer:
मानो \(O\) केंद्र वाले वृत्त पर \(PA\) तथा \(PB\) स्पर्श रेखाएँ हैं जो वृत्त को \(A\) और \(B\) पर स्पर्श करती हैं। \( OA \) और \(OB\) को मिलाया।
हम जानते हैं कि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब होती है।
इसलिए, \(\angle OAP = 90^\circ\) और \(\angle OBP = 90^\circ\)
चतुर्भुज \(OAPB\) में, \(\angle OAP +\angle APB +\angle PBO +\angle BOA = 360^\circ\)
\(\Rightarrow 90^\circ + \angle APB + 90^\circ + \angle BOA = 360^\circ\)
\(\Rightarrow \angle APB + \angle BOA = 180^\circ\)
इस प्रकार यह सिद्ध हो जाता है कि किसी बाह्य बिंदु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है।
Exam Tips:
a) संपूरक कोणों का योग \(180^\circ\) होता है, यह बात ध्यान रखें।
b) चतुर्भुज के चारों कोणों के योग के नियम का उपयोग करें।
c) प्रश्न के कथनों को गणितीय रूप में बदलकर आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।
Question 11: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
Answer:
क्योंकि एक समांतर चतुर्भुज है, अतः: \( AB = CD \) ... (1) \( BC = AD \) ... (2)
हम जानते हैं कि एक ही बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं इसलिए, \( DR = DS \) [बिंदु \(D\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (3) \( CR = CQ \) [बिंदु \(C\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (4) \( BP = BQ \) [बिंदु \(B\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (5) \( AP = AS \) [बिंदु \(A\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] ... (6)
समीकरण (3), (4), (5) और (6) को जोड़ने पर, \(DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS\)
\(\Rightarrow (DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)\)
\(\Rightarrow CD + AB = AD + BC\)
\(\Rightarrow CD + AB = AD + BC\) [समीकरण (1) और (2) से, \(2AB = 2BC\)]
\(\Rightarrow AB = BC\) ... (7)
समीकरण (1), (2) और (7) से, \(AB = BC = CD = DA\)
अतः, \(ABCD\) समचतुर्भुज है।
Exam Tips:
a) समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, यह गुण सिद्ध करना है।
b) समांतर चतुर्भुज के सम्मुख भुजाओं के बराबर होने के गुण का उपयोग करें।
c) स्पर्श रेखाओं की लंबाई के नियमों को सुव्यवस्थित ढंग से जोड़ें।
Question 12: \(4\text{ cm}\) त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज \(ABC\) इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड \(BD\) और \(DC\) (जिनमें स्पर्श बिंदु \(D\) द्वारा \(BC\) विभाजित है) की लंबाईयाँ क्रमशः \(8\text{ cm}\) और \(6\text{ cm}\) हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ \(AB\) और \(AC\) ज्ञात कीजिए।
Answer:
मानो वृत्त \(AB\) और \(AC\) को क्रमशः \(E\) और \(F\) पर स्पर्श करता है। माना \(AF\) की लंबाई \(x\) है।
\(\triangle ABC\) में,
हम जानते हैं कि एक ही बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं इसलिए,
\(CF = CD = 6\text{ cm}\) [बिंदु \(C\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ]
\(BE = BD = 8\text{ cm}\) [बिंदु \(B\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] \( AE = AF = x \) [बिंदु \(A\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] \( AB = AE + EB = x + 8 \) \( BC = BD + DC = 8 + 6 = 14 \) \( CA = CF + FA = 6 + x \) \( 2s = AB + BC + CA = x + 8 + 14 + 6 + x = 28 + 2x \)
\(\therefore s = 14 + x\)
\(\triangle ABC\) का क्षेत्रफल
\(= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\)
\(= \sqrt{[14 + x][(14 + x) - 14][(14 + x) - (8 + x)][(14 + x) - (6 + x)]}\)
\(= \sqrt{(14 + x)(x)(6)(8)}\)
\(= \sqrt{48x(14 + x)}\text{ cm}^2\)
\(= 4\sqrt{3(14 + x^2)}\text{ cm}^2\)
\(\triangle OBC\) का क्षेत्रफल \(= \frac{1}{2} \times OD \times BC = \frac{1}{2} \times 4 \times 14 = 28\text{ cm}^2\)
\(\triangle OCA\) का क्षेत्रफल \(= \frac{1}{2} \times OF \times AC = \frac{1}{2} \times 4 \times (6 + x) = 12 + 2x\text{ cm}^2\)
\(\triangle OAB\) का क्षेत्रफल \(= \frac{1}{2} \times OE \times AB = \frac{1}{2} \times 4 \times (8 + x) = 16 + 2x\text{ cm}^2\)
\(\triangle ABC\) का क्षेत्रफल \(= \triangle OBC\) का क्षेत्रफल \(+\) \(\triangle OCA\) का क्षेत्रफल \(+\) \(\triangle OAB\) का क्षेत्रफल
\(4\sqrt{3(14 + x^2)} = 28 + 12 + 2x + 16 + 2x \Rightarrow 4\sqrt{3(14 + x^2)} = 56 + 4x \Rightarrow \sqrt{3(14 + x^2)} = 14 + x\)
\(\Rightarrow 3(14 + x^2) = (14 + x)^2 \Rightarrow 3(14 + x^2) = 196 + x^2 + 28x \Rightarrow 42x + 3x^2 = 196 + x^2 + 28x\)
\(\Rightarrow 2x^2 + 14x - 196 = 0 \Rightarrow x^2 + 7x - 98 = 0 \Rightarrow x^2 + 14x - 7x - 98 = 0 \Rightarrow x(x + 14) - 7(x + 14) = 0\)
\(\Rightarrow (x + 14)(x - 7) = 0 \Rightarrow x = -14\) या \(x - 7 = 0\)
इसलिए, \(x = -14\) या \(7\)
परंतु त्रिभुज की भुजा कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती है अतः \(x \neq -14\)
इसलिए, \(x = 7\)
इसप्रकार, \(AB = x + 8 = 7 + 8 = 15\text{ cm}\) और \(CA = 6 + x = 6 + 7 = 13\text{ cm}\)
Exam Tips:
a) हीरोन के सूत्र (Heron's formula) का त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सही अभ्यास करें।
b) त्रिभुज को तीन छोटे त्रिभुजों (\(\triangle OBC, \triangle OCA, \triangle OAB\)) में बाँटकर क्षेत्रफल की तुलना करें।
c) लंबाई हमेशा धनात्मक होती है, इसलिए ऋणात्मक मान को अस्वीकार करें।
Question 13: सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने - सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
Answer:
चतुर्भुज \(ABCD\) केंद्र \(O\) वाले वृत्त के परिगत बना है जो वृत्त को \(P, Q, R\) और \(S\) पर स्पर्श करता है। \(P, Q, R\) और \(S\) से केंद्र \(O\) को मिलाया।
\(\triangle OAP\) और \(\triangle OAS\) में, \( OP = OS \) [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ] \( AP = AS \) [बिंदु \(A\) से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ] \( AO = AO \) [उभयनिष्ठ]
\(\triangle OPA \cong \triangle OAS\) [SSS सर्वांगसम प्रमेय]
अतः, \(\angle POA = \angle SOA\) अर्थात \(\angle 1 = \angle 8\)
इसीप्रकार, \(\angle 2 = \angle 3\)
\(\angle 4 = \angle 5\)
\(\angle 6 = \angle 7\)
बिंदु \(O\) पर बने सभी कोणों का योग \(360^\circ\) होगा। अतः:
\(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 + \angle 5 + \angle 6 + \angle 7 + \angle 8 = 360^\circ\)
\(\Rightarrow (\angle 1 + \angle 8) + (\angle 2 + \angle 3) + (\angle 4 + \angle 5) + (\angle 6 + \angle 7) = 360^\circ\)
\(\Rightarrow 2\angle 1 + 2\angle 2 + 2\angle 5 + 2\angle 6 = 360^\circ \Rightarrow 2(\angle 1 + \angle 2) + 2(\angle 5 + \angle 6) = 360^\circ\)
\(\Rightarrow (\angle 1 + \angle 2) + (\angle 5 + \angle 6) = 180^\circ\)
\(\Rightarrow \angle AOB + \angle COD = 180^\circ\)
इसीप्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि \(\angle BOC + \angle DOA = 180^\circ\)
अतः, चतुर्भुज की आमने - सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
Exam Tips:
a) कोणों को क्रमांकित (\(\angle 1, \angle 2\) आदि) करके समीकरण हल करना सरल बनाता है।
b) सर्वांगसमता की मदद से आसन्न कोणों को बराबर दिखाएँ।
c) एक संपूर्ण चक्कर के कोणों का योग \(360^\circ\) होता है, इस नियम का प्रयोग करें।
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