NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 10 Circles (वृत्त) Exercise 10.1 in Hindi

Question 1: एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

Answer:

एक वृत्त की अनन्त स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं क्योंकि एक वृत्त में उस पर असीम बिंदुओं की संख्या होती है और हर बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है।

Exam Tips:

a) याद रखें कि वृत्त के प्रत्येक बिंदु पर केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
b) वृत्त की परिधि पर बिंदुओं की संख्या अपरिमित होती है।
c) इस प्रकार, एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की कुल संख्या भी अपरिमित होती है।

Question 2: रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ________ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ________ कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की ________ समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ________ कहते हैं।

Answer:

(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।
(ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं।
(iii) एक वृत्त की दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।
(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को स्पर्श बिंदु कहते हैं।

Exam Tips:

a) स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक ही बिंदु पर स्पर्श करती है।
b) छेदक रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है।
c) व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हमेशा परस्पर समांतर होती हैं।

Question 3: \(5\) सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु \(P\) पर स्पर्श रेखा \(PQ\) केंद्र \(O\) से जाने वाली एक रेखा से बिंदु \(Q\) पर इस प्रकार मिलती है कि \(OP = 12\) सेमी। \(PQ\) की लंबाई है:
(A) \(12\) सेमी
(B) \(13\) सेमी
(C) \(8.5\) सेमी
(D) \(\sqrt{119}\) सेमी

Answer:

\(\triangle OPQ\) में, कोण \(P\) समकोण है [क्योंकि त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है]।
पाइथागोरस प्रमेय से, \(OQ^2 = PQ^2 + OP^2\)
\(\Rightarrow 12^2 = PQ^2 + 5^2\)
\(\Rightarrow 144 = PQ^2 + 25 \Rightarrow PQ^2 = 144 - 25 = 119 \Rightarrow PQ = \sqrt{119}\)
इसलिए, विकल्प (D) सही है।

Exam Tips:

a) प्रमेय याद रखें कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
b) समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का सावधानीपूर्वक उपयोग करें।
c) गणना करते समय वर्गों का पक्षांतर सही ढंग से करें।

Question 4: एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

Answer:

एक वृत्त बनाया जिसका केंद्र \(O\) है और माना \(AB\) दी गई रेखा है। अब, \(O\) को केंद्र मानकर \(AB\) पर एक शीर्षलम्ब खींचा जो \(AB\) को \(P\) पर काटता है।
अब, \(OP\) पर दो बिंदु \(X\) और \(Y\) इस प्रकार लेते हैं कि एक बिंदु वृत्त पर हो और दूसरा बिंदु वृत्त के अंदर हो। \(AB\) के समांतर तथा \(X\) और \(Y\) से होकर जाने वाली दो रेखाएँ \(CD\) और \(EF\) ही अभीष्ट रेखाएँ हैं।

Exam Tips:

a) रचना के चरणों को क्रमबद्ध रूप से लिखें ताकि स्पष्टता बनी रहे।
b) दी गई रेखा के समांतर रेखा खींचने के लिए उचित ज्यामितीय उपकरणों का प्रयोग करें।
c) स्पर्श रेखा और छेदक रेखा की परिभाषा के अनुसार उनके बिंदुओं का सही स्थान दर्शाएँ।