Download NCERT Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 09 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
Review structured textbook solutions for Class 10 Mathematics Chapter 09 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग. Built according to NCERT guidelines for the 2026-27 academic year, these downloadable answers support daily revision and problem-solving accuracy.
Access NCERT Solutions and Answers
Navigate directly to the solved Mathematics textbook exercises using the digital viewer below. Each solution includes detailed step-by-step explanations, allowing students to instantly cross-check their work and identify areas requiring further revision.
Question 1: सर्कस का एक कलाकार एक \( 20\text{ m} \) लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंधा हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण \( 30^\circ \) का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक समकोण त्रिभुज \( ABC \) दिखाया गया है जिसमें \( AB \) खंभा है, \( AC = 20\text{ m} \) डोरी है तथा \( \angle C = 30^\circ \) है।
दी गई आकृति में AB खंभा है और AC डोर है।
\(\Delta ABC\) में,
\(\frac{AB}{AC} = \sin 30^\circ
\Rightarrow \frac{AB}{20} = \frac{1}{2}
\Rightarrow AB = \frac{20}{2} = 10\)
इसलिए, खंभे की ऊँचाई \( 10\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) हमेशा सही त्रिकोणमितीय अनुपात (जैसे \( \sin, \cos, \tan \)) का चयन करें जो दी गई और ज्ञात भुजाओं से संबंधित हो।
b) कोण और भुजाओं के मानों को सही ढंग से सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक (\( \text{m} \)) लिखना न भूलें।
Question 2: आंधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ \( 30^\circ \) का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, \( 8\text{ m} \) है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक टूटे हुए पेड़ का रेखाचित्र है जहाँ \( AB \) शेष खड़ा भाग है, \( BC \) टूटा हुआ भाग है जो जमीन पर बिंदु \( A' \) को छूता है तथा \( \angle A' = 30^\circ \) और \( CA' = 8\text{ m} \) है।
माना AC पेड़ है।
माना AB पेड़ के टूटने से पहले की स्थिति है और \( A'B \) पेड़ के टूटने के बाद की स्थिति है।
\(\Delta A'BC\) में,
\(\frac{BC}{A'C} = \tan 30^\circ
\Rightarrow \frac{BC}{8} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\Rightarrow BC = \frac{8}{\sqrt{3}}\text{ m}\)
तथा \(\frac{A'C}{A'B} = \cos 30^\circ
\Rightarrow \frac{8}{A'B} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\Rightarrow A'B = \frac{16}{\sqrt{3}}\text{ m}\)
पेड़ की ऊँचाई = \( AC = AB + BC = A'B + BC \)
\(= \frac{16}{\sqrt{3}} + \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}\text{ m}\)
इसलिए, पेड़ की ऊँचाई \( 8\sqrt{3}\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) पेड़ की कुल ऊँचाई निकालने के लिए खड़े भाग और टूटे हुए भाग (जो कर्ण बनता है) दोनों का योग करना आवश्यक है।
b) हर का परिमेयकरण (Rationalisation) करना न भूलें।
c) त्रिकोणमितीय मानों को ध्यान से याद रखें।
Question 3: एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनेपट्टी लगाना चाहती है। \( 5 \) वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनेपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर \( 1.5\text{ m} \) की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ के \( 30^\circ \) कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह \( 3\text{ m} \) की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनेपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ \( 60^\circ \) का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनेपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?
Answer:
आकृति का विवरण: दो समकोण त्रिभुज दर्शाए गए हैं। पहले में ऊँचाई \( 1.5\text{ m} \) और कोण \( 30^\circ \) है, तथा दूसरे में ऊँचाई \( 3\text{ m} \) और कोण \( 60^\circ \) है।
माना AC, \( 5 \) वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए (for younger children) एक ऐसी फिसलनेपट्टी (Slide) है जिसका शिखर \( 1.5\text{ m} \) की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ के \( 30^\circ \) कोण पर झुका हुआ हो। \(\Delta ABC\) में,
\(\frac{AB}{AC} = \sin 30^\circ
\Rightarrow \frac{1.5}{AC} = \frac{1}{2}
\Rightarrow AC = 3\text{ m}\)
माना PR, \( 5 \) वर्ष से अधिक उम्र के बच्चों के लिए (for older children) एक ऐसी फिसलनेपट्टी (Slide) है जिसका शिखर \( 3\text{ m} \) की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ के \( 60^\circ \) कोण पर झुका हुआ हो। \(\Delta PQR\) में,
\(\frac{PQ}{PR} = \sin 60^\circ
\Rightarrow \frac{3}{PR} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\Rightarrow PR = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\text{ m}\)
इसलिए, फिसलनेपट्टी की लंबाई \( 3\text{ m} \) और \( 2\sqrt{3}\text{ m} \) होनी चाहिए।
Exam Tips:
a) दोनों स्थितियों को अलग-अलग हल करें ताकि भ्रम न हो।
b) \( \sin \) अनुपात का प्रयोग करें क्योंकि लंब और कर्ण दिए/ज्ञात करने हैं।
c) करणी (Surds) को सरल करना सुनिश्चित करें।
Question 4: भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से \( 30\text{ m} \) की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक समकोण त्रिभुज \( ABC \) जिसमें \( AB \) मीनार है, आधार \( BC = 30\text{ m} \) है तथा \( \angle C = 30^\circ \) है।
माना AB मीनार है तथा C पाद-बिंदु से \( 30\text{ m} \) की दूरी पर एक बिंदु है।
\(\Delta ABC\) में,
\(\frac{AB}{BC} = \tan 30^\circ
\Rightarrow \frac{AB}{30} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\Rightarrow AB = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}\text{ m}\)
इसलिए, मीनार की ऊँचाई \( 10\sqrt{3}\text{ m} \) होगी।
Exam Tips:
a) जब पाद और उन्नयन कोण दिया हो, तो \( \tan \) का उपयोग करना सबसे आसान होता है।
b) \( \frac{30}{\sqrt{3}} \) को \( 10\sqrt{3} \) में बदलने के लिए \( \sqrt{3} \) से अंश और हर में गुणा करें।
c) इकाई लिखना न भूलें।
Question 5: भूमि से \( 60\text{ m} \) की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थाई रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव \( 60^\circ \) है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: समकोण त्रिभुज \( KLP \) जिसमें \( KL = 60\text{ m} \) पतंग की ऊँचाई है, \( KP \) डोरी है तथा \( \angle P = 60^\circ \) है।
माना K पतंग है और P वह बिंदु है जिससे पतंग में लगी डोरी को अस्थाई रूप से बांध दिया है। \(\Delta KLP\) में,
\(\frac{KL}{KP} = \sin 60^\circ
\Rightarrow \frac{60}{KP} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\Rightarrow KP = \frac{120}{\sqrt{3}} = 40\sqrt{3}\text{ m}\)
इसलिए, डोरी की लंबाई \( 40\sqrt{3}\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) पतंग की डोरी हमेशा समकोण त्रिभुज का कर्ण होती है।
b) लंब और कर्ण के बीच संबंध स्थापित करने के लिए \( \sin \) का प्रयोग करें।
c) गणना में सावधानी बरतें।
Question 6: \( 1.5\text{ m} \) लंबा एक लड़का \( 30\text{ m} \) ऊंचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊंचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) से \( 60^\circ \) हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।
Answer:
आकृति का विवरण: भवन \( PQ \) है, लड़का बिंदु S से T की ओर चलता है। आँख से शिखर के कोण \( 30^\circ \) और \( 60^\circ \) दर्शाए गए हैं।
माना PQ भवन है और AS \( 1.5\text{ m} \) लंबा एक लड़का है। वह भवन की ओर S से T तक चलकर गया है।
यहाँ, \( PQ = 30\text{ m} \)
इसलिए, \( PR = PQ - RQ = (30 - 1.5)\text{ m} = 28.5\text{ m} = \frac{57}{2}\text{ m} \)
\(\Delta PAR\) में,
\(\frac{PR}{AR} = \tan 30^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{57}{2AR} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\Rightarrow AR = \frac{57}{2}\sqrt{3}\text{ m}\)
\(\Delta PRB\) में,
\(\frac{PR}{BR} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{57}{2BR} = \sqrt{3}\)
\(
\Rightarrow BR = \frac{57}{2\sqrt{3}} = \frac{19}{2}\sqrt{3}\text{ m}\)
भवन की ओर चली गई दूरी = \( ST = AB \)
\(= AR - BR = \frac{57}{2}\sqrt{3} - \frac{19}{2}\sqrt{3} = \frac{38}{2}\sqrt{3} = 19\sqrt{3}\text{ m}\)
इसलिए, भवन की ओर चली गई दूरी \( 19\sqrt{3}\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) प्रेक्षक की लंबाई को कुल ऊँचाई में से घटाकर वास्तविक भवन की ऊँचाई ज्ञात करना न भूलें।
b) दोनों त्रिभुजों \( PAR \) और \( PRB \) को अलग-अलग हल करें।
c) चली गई दूरी दोनों दूरियों का अंतर होती है।
Question 7: भूमि के एक बिंदु से एक \( 20\text{ m} \) ऊंचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः \( 45^\circ \) और \( 60^\circ \) हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: BC भवन है (\( 20\text{ m} \)), AB संचार मीनार है, D भूमि पर बिंदु है जहाँ से उन्नयन कोण \( 45^\circ \) और \( 60^\circ \) बनते हैं।
माना BC भवन है और AB एक संचार मीनार है।
\(\Delta BCD\) में,
\(\frac{BC}{CD} = \tan 45^\circ
\Rightarrow \frac{20}{CD} = 1
\Rightarrow CD = 20\text{ m}\)
\(\Delta ACD\) में,
\(\frac{AC}{CD} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{AB + BC}{CD} = \sqrt{3}\)
\(
\Rightarrow \frac{AB + 20}{20} = \sqrt{3}
\Rightarrow AB = (20\sqrt{3} - 20)\text{ m} = 20(\sqrt{3} - 1)\text{ m}\)
इसलिए, संचार मीनार की ऊँचाई \( 20(\sqrt{3} - 1)\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) छोटे त्रिभुज से आधार की लंबाई ज्ञात करें और उसका उपयोग बड़े त्रिभुज में करें।
b) \( \tan 45^\circ = 1 \) होने से गणना सरल हो जाती है।
c) सामान्य गुणनखंड को बाहर निकालकर उत्तर को संक्षिप्त रूप में लिखें।
Question 8: एक पेडस्टल के शिखर पर \( 1.6\text{ m} \) ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण \( 45^\circ \) है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: BC पेडस्टल है, AB मूर्ति है (\( 1.6\text{ m} \)), D बिंदु से कोण \( 45^\circ \) और \( 60^\circ \) हैं।
माना BC एक पेडस्टल है और AB पेडस्टल के शिखर पर \( 1.6\text{ m} \) ऊँची मूर्ति है।
\(\Delta BCD\) में,
\(\frac{BC}{CD} = \tan 45^\circ
\Rightarrow \frac{BC}{CD} = 1
\Rightarrow BC = CD\)
\(\Delta ACD\) में,
\(\frac{AB + BC}{CD} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{AB + BC}{BC} = \sqrt{3}
\Rightarrow 1.6 + BC = BC\sqrt{3}\)
\(
\Rightarrow BC(\sqrt{3} - 1) = 1.6
\Rightarrow BC = \frac{1.6}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1.6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = 0.8(\sqrt{3} + 1)\text{ m}\)
इसलिए, पेडस्टल की ऊँचाई \( 0.8(\sqrt{3} + 1)\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) \( BC = CD \) संबंध का उपयोग करके समीकरण को एक ही चर में बदलें।
b) डिनॉमिनेटर (हर) में करणी हटाने के लिए conjugate से गुणा करें।
c) बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) का प्रयोग करें।
Question 9: एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है। यदि मीनार \( 50\text{ m} \) ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: CD मीनार है (\( 50\text{ m} \)), AB भवन है, दोनों के बीच की दूरी BD है। उन्नयन कोण \( 30^\circ \) और \( 60^\circ \) हैं।
माना CD \( 50\text{ m} \) ऊँची मीनार है और AB भवन है।
\(\Delta CDB\) में,
\(\frac{CD}{BD} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{50}{BD} = \sqrt{3}
\Rightarrow BD = \frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Delta ABD\) में,
\(\frac{AB}{BD} = \tan 30^\circ\)
\(
\Rightarrow AB = BD \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3}\text{ m}\)
इसलिए, भवन की ऊँचाई \( 16\frac{2}{3}\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) दोनों त्रिभुजों में साझा भुजा BD का मान पहले निकालें।
b) भिन्न रूप में या मिश्रित भिन्न में उत्तर दें जो मानक हो।
c) कोणों के स्थान को ध्यान से देखें ताकि गलत मान न रखा जाए।
Question 10: एक \( 80\text{ m} \) चौड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंबे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभे के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभे के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः \( 60^\circ \) और \( 30^\circ \) हैं। खंभे की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: BD सड़क है (\( 80\text{ m} \)), AB और CD समान लंबाई के दो खंभे हैं। बीच में बिंदु O से कोण \( 60^\circ \) और \( 30^\circ \) हैं।
माना BD एक \( 80\text{ m} \) चौड़ी सड़क है और AB, CD आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंबे हैं।
\(\Delta ABO\) में,
\(\frac{AB}{BO} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{AB}{BO} = \sqrt{3}
\Rightarrow BO = \frac{AB}{\sqrt{3}}\)
\(\Delta CDO\) में,
\(\frac{CD}{DO} = \tan 30^\circ
\Rightarrow \frac{CD}{80 - BO} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\Rightarrow CD\sqrt{3} = 80 - BO\)
\(
\Rightarrow CD\sqrt{3} = 80 - \frac{AB}{\sqrt{3}}
\Rightarrow CD\sqrt{3} + \frac{AB}{\sqrt{3}} = 80\)
क्योंकि खंभे समान लंबाई के हैं।
अतः, \( CD = AB \)
\(
\Rightarrow CD\sqrt{3} + \frac{CD}{\sqrt{3}} = 80
\Rightarrow CD\left(\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 80
\Rightarrow CD\left(\frac{3+1}{\sqrt{3}}\right) = 80
\Rightarrow CD = \frac{80\sqrt{3}}{4} = 20\sqrt{3}\text{ m}\)
\( BO = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 20\text{ m}\)
\( DO = BD - BO = (80 - 20)\text{ m} = 60\text{ m}\)
इसलिए, खंभे की ऊँचाई \( 20\sqrt{3}\text{ m} \) है और खंभों से बिंदु की दूरी \( 20\text{ m} \) तथा \( 60\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) एक कुल दूरी को \( x \) और \( 80 - x \) के रूप में विभाजित करें।
b) खंभों की लंबाई बराबर होने की शर्त का उपयोग करें।
c) दोनों दूरियों को स्पष्ट रूप से अलग से दर्शाएं।
Question 11: एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर ऊर्ध्वाधरतः खड़ा है। टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है। इसी तट पर इस बिंदु से \( 20\text{ m} \) दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण \( 30^\circ \) है। टॉवर की ऊँचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: AB टॉवर है, BC नहर की चौड़ाई है, C से \( 20\text{ m} \) दूर बिंदु D है। कोण \( 60^\circ \) और \( 30^\circ \) हैं।
माना AB एक टीवी टॉवर है और BC नहर की चौड़ाई है।
\(\Delta ABC\) में,
\(\frac{AB}{BC} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{AB}{BC} = \sqrt{3}
\Rightarrow BC = \frac{AB}{\sqrt{3}}\)
\(\Delta ABD\) में,
\(\frac{AB}{BD} = \tan 30^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{AB}{BC + CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\Rightarrow \frac{AB}{\frac{AB}{\sqrt{3}} + 20} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(
\Rightarrow \frac{AB\sqrt{3}}{AB + 20\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(
\Rightarrow 3AB = AB + 20\sqrt{3}\)
\(
\Rightarrow 2AB = 20\sqrt{3}
\Rightarrow AB = 10\sqrt{3}\text{ m}\)
और \( BC = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10\text{ m}\)
इसलिए, टीवी टॉवर की ऊँचाई \( 10\sqrt{3}\text{ m} \) और नहर की चौड़ाई \( 10\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) \( BD \) को \( BC + CD \) के रूप में लिखें।
b) समीकरण को हल करते समय वज्र गुणन (Cross multiplication) का सही प्रयोग करें।
c) अंत में दोनों मान (ऊँचाई और चौड़ाई) अलग-अलग स्पष्ट लिखें।
Question 12: \( 7\text{ m} \) ऊंचे भवन के शिखर से एक केबल टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है और इसके पाद का अवनमन कोण \( 45^\circ \) है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: AB भवन है (\( 7\text{ m} \)), CD केबल टॉवर है। भवन के शिखर से टॉवर के शिखर का उन्नयन \( 60^\circ \) और पाद का अवनमन \( 45^\circ \) है।
माना AB भवन है और CD केबल टॉवर है।
\(\Delta ABD\) में,
\(\frac{AB}{BD} = \tan 45^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{7}{BD} = 1
\Rightarrow BD = 7\text{ m}\)
\(\Delta ACE\) में,
\( AC = BD = 7\text{ m} \)
\(\frac{CE}{AE} = \tan 60^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{CE}{7} = \sqrt{3}
\Rightarrow CE = 7\sqrt{3}\text{ m}\)
\( CD = CE + ED = 7\sqrt{3} + 7 = 7(\sqrt{3} + 1)\text{ m} \)
इसलिए, केबल टॉवर की ऊँचाई \( 7(\sqrt{3} + 1)\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) एकांतर कोणों (Alternate interior angles) का उपयोग करके अवनमन कोण को उन्नयन कोण में बदलें।
b) टॉवर की कुल ऊँचाई भवन की ऊँचाई और शेष भाग \( CE \) का योग होती है।
c) गुणनखंड विधि से उत्तर को सरल बनाएं।
Question 13: समुद्र-तल से \( 75\text{ m} \) ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण \( 30^\circ \) और \( 45^\circ \) हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: AB लाइट हाउस है (\( 75\text{ m} \)), C और D दो जहाज हैं। अवनमन कोण \( 30^\circ \) और \( 45^\circ \) हैं।
माना AB \( 75\text{ m} \) ऊँची लाइट हाउस है और C तथा D दो समुद्री जहाज हैं।
\(\Delta ABC\) में,
\(\frac{AB}{BC} = \tan 45^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{75}{BC} = 1
\Rightarrow BC = 75\text{ m}\)
\(\Delta ABD\) में,
\(\frac{AB}{BD} = \tan 30^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{75}{BC + CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(
\Rightarrow \frac{75}{75 + CD} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(
\Rightarrow 75\sqrt{3} = 75 + CD\)
\(
\Rightarrow CD = 75\sqrt{3} - 75\)
\(
\Rightarrow CD = 75(\sqrt{3} - 1)\text{ m}\)
इसलिए, दो जहाजों के बीच की दूरी \( 75(\sqrt{3} - 1)\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) अवनमन कोणों को क्षैतिज रेखा के सापेक्ष नीचे की ओर आरेखित करें।
b) जहाजों के बीच की दूरी \( CD \) ज्ञात करने के लिए कुल दूरी में से नजदीकी जहाज की दूरी घटाएं।
c) सही त्रिकोणमितीय मानों का प्रयोग करें।
Question 14: \( 1.2\text{ m} \) लंबी एक लड़की भूमि से \( 88.2\text{ m} \) की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण \( 60^\circ \) है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर \( 30^\circ \) हो जाता है। इस अंतराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: लड़की की स्थिति से दो गुब्बारा स्थितियों के बीच की क्षैतिज दूरी ज्ञात करनी है। कुल ऊँचाई \( 88.2\text{ m} \) है जिसमें से \( 1.2\text{ m} \) घटाया जाता है।
माना CD \( 1.2\text{ m} \) लंबी एक लड़की है और FG गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी है।
\(\Delta ACE\) में,
\(\frac{AE}{CE} = \tan 60^\circ
\Rightarrow \frac{AF - EF}{CE} = \tan 60^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{88.2 - 1.2}{CE} = \sqrt{3}\)
\(
\Rightarrow \frac{87}{CE} = \sqrt{3}
\Rightarrow CE = \frac{87}{\sqrt{3}} = 29\sqrt{3}\text{ m}\)
\(\Delta BCG\) में,
\(\frac{BG}{CG} = \tan 30^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{88.2 - 1.2}{CG} = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(
\Rightarrow CG = 87\sqrt{3}\text{ m}\)
गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी = \( EG = CG - CE = 87\sqrt{3} - 29\sqrt{3} \)
\(= 58\sqrt{3}\text{ m}\)
इसलिए, गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी \( 58\sqrt{3}\text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) लड़की की ऊँचाई को गुब्बारे की कुल ऊँचाई से अवश्य घटाएं।
b) दोनों समकोण त्रिभुजों के आधार निकाल कर उनका अंतर लें।
c) करणी के घटाव के नियमों का सावधानी से पालन करें।
Question 15: एक सीधा राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को \( 30^\circ \) के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण \( 60^\circ \) हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: CD राजमार्ग है, AB मीनार है। कार C से D की ओर गति करती है। कोण \( 30^\circ \) और \( 60^\circ \) हैं।
माना CD राजमार्ग है और AB मीनार है। C कार की पहली स्थिति है और D छः सेकंड बाद की स्थिति है।
\(\Delta ADB\) में,
\(\frac{AB}{BD} = \tan 60^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{AB}{BD} = \sqrt{3}
\Rightarrow DB = \frac{AB}{\sqrt{3}}\)
\(\Delta ABC\) में,
\(\frac{AB}{BC} = \tan 30^\circ\)
\(
\Rightarrow \frac{AB}{BD + DC} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\Rightarrow AB\sqrt{3} = BD + DC\)
\(
\Rightarrow DC = AB\sqrt{3} - \frac{AB}{\sqrt{3}}\)
\(= AB \left(\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = AB \left(\frac{3-1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2AB}{\sqrt{3}}\)
\( DC \left(= \frac{2AB}{\sqrt{3}}\right) \) दूरी तय करने में कार द्वारा लिया गया समय = \( 6 \) सेकंड
इसलिए, कार की चाल = \frac{दूरी}{समय} = \frac{\left(\frac{2AB}{\sqrt{3}}\right)}{6} = \frac{AB}{3\sqrt{3}} m/s
\( BD \left(= \frac{AB}{\sqrt{3}}\right) \) दूरी तय करने में कार द्वारा लिया गया समय = \frac{दूरी}{चाल} = \frac{\left(\frac{AB}{\sqrt{3}}\right)}{\left(\frac{AB}{3\sqrt{3}}\right)} = 3 सेकंड
इसलिए, मीनार के पाद तक पहुंचने में कार द्वारा लिया गया समय \( 3 \) सेकंड है।
Exam Tips:
a) चाल, दूरी और समय के संबंध ( समय = \frac{दूरी}{चाल} ) का प्रयोग करें।
b) दोनों दूरियों को मीनार की ऊँचाई \( AB \) के पदों में व्यक्त करें ताकि \( AB \) कट जाए।
c) गणना को क्रमिक रूप से हल करें।
Free study material for Mathematics
NCERT Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 09 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 09 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
Review comprehensive exercise answers for Class 10 Mathematics Chapter 09 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग. Fully updated to match current NCERT syllabus guidelines, these textbook solutions help students verify their work and maintain accurate study notes.
Mastering Theoretical and Practical Questions
Each solution includes detailed reasoning to foster genuine comprehension of Chapter 09 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग concepts. Reviewing these step-by-step breakdowns allows learners to master both analytical and descriptive questions expected in school evaluations.
Effective Self-Study and Homework Assistance
Frequent review of these structured answers builds strong analytical capabilities and response efficiency. Maximize your academic readiness by combining these textbook solutions with our curated study materials and mock evaluations for Class 10 Mathematics.
FAQs
The complete and updated NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 09 Some Applications of Trigonometry (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) Exercise 9.1 in Hindi is available for free on StudiesToday.com. These solutions for Class 10 Mathematics are as per latest NCERT curriculum.
Yes, our experts have revised the NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 09 Some Applications of Trigonometry (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) Exercise 9.1 in Hindi as per 2026 exam pattern. All textbook exercises have been solved and have added explanation about how the Mathematics concepts are applied in case-study and assertion-reasoning questions.
Toppers recommend using NCERT language because NCERT marking schemes are strictly based on textbook definitions. Our NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 09 Some Applications of Trigonometry (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) Exercise 9.1 in Hindi will help students to get full marks in the theory paper.
Yes, we provide bilingual support for Class 10 Mathematics. You can access NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 09 Some Applications of Trigonometry (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) Exercise 9.1 in Hindi in both English and Hindi medium.
Yes, you can download the entire NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 09 Some Applications of Trigonometry (त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग) Exercise 9.1 in Hindi in printable PDF format for offline study on any device.