NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 08 Introduction to Trigonometry (त्रिकोणमिति का परिचय) Exercise 8.3 in Hindi

Question 1: त्रिकोणमितीय अनुपातों \(\sin A\), \(\cos A\) और \(\tan A\) को \(\cot A\) के पदों में व्यक्त कीजिए।

Answer:

(i). \(\sin A\)
\(= \sqrt{\sin^2 A}\)
= \sqrt{\frac{1}{\csc^2 A}}\quad [क्योंकि \sin A = \frac{1}{\csc A}]
\(= \sqrt{\frac{1}{1 + \cot^2 A}}\quad [क्योंकि \csc^2 A = 1 + \cot^2 A]
\(= \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 A}}

(ii). \(\cos A\)
\(= \sqrt{\cos^2 A}\)
= \sqrt{1 - \sin^2 A}\quad [क्योंकि \cos^2 A = 1 - \sin^2 A]
\(= \sqrt{1 - \frac{1}{\csc^2 A}}\quad [क्योंकि \sin A = \frac{1}{\csc A}]
\(= \sqrt{1 - \frac{1}{1 + \cot^2 A}}\quad [क्योंकि \csc^2 A = 1 + \cot^2 A]
\(= \sqrt{\frac{1 + \cot^2 A - 1}{1 + \cot^2 A}}
\(= \frac{\cot A}{\sqrt{1 + \cot^2 A}}

(iii). \tan A = \frac{1}{\cot A}\quad [क्योंकि \tan A = \frac{1}{\cot A}]

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का सही उपयोग करें।
b) वर्गमूल लेते समय चिन्हों का ध्यान रखें।
c) अंतिम उत्तर को हमेशा दिए गए पद के रूप में ही छोड़ें।

Question 2: \(\angle A\) के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को \(\sec A\) के पदों में लिखिए।

Answer:

(i). \(\sin A\)
= \sqrt{\sin^2 A} = \sqrt{1 - \cos^2 A}\quad [क्योंकि \sin^2 A = 1 - \cos^2 A]
\(= \sqrt{1 - \frac{1}{\sec^2 A}}\quad [क्योंकि \cos A = \frac{1}{\sec A}]
\(= \sqrt{\frac{\sec^2 A - 1}{\sec^2 A}} = \frac{\sqrt{\sec^2 A - 1}}{\sec A}

(ii). \(\cos A\)
\cos A = \frac{1}{\sec A}\quad [क्योंकि \cos A = \frac{1}{\sec A}]

(iii). \(\tan A\)
= \sqrt{\tan^2 A} = \sqrt{\sec^2 A - 1}\quad [क्योंकि \sec^2 A = 1 + \tan^2 A]

(iv). \(\csc A
\(= \sqrt{\csc^2 A} = \sqrt{1 + \cot^2 A} = \sqrt{1 + \frac{1}{\tan^2 A}} = \sqrt{1 + \frac{1}{\sec^2 A - 1}}
\(= \sqrt{\frac{\sec^2 A - 1 + 1}{\sec^2 A - 1}} = \frac{\sec A}{\sqrt{\sec^2 A - 1}}\)

(v). \(\cot A\)
\(= \sqrt{\cot^2 A} = \sqrt{\frac{1}{\tan^2 A}} = \sqrt{\frac{1}{\sec^2 A - 1}} = \frac{1}{\sqrt{\sec^2 A - 1}}\)

Exam Tips:

a) सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A में बदलने के लिए व्युत्क्रम संबंधों का प्रयोग करें।
b) वर्गमूल और सर्वसमिकाओं का चरणबद्ध तरीके से पालन करें।

Question 3: सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए:
(i) \(9\sec^2 A - 9\tan^2 A\) बराबर है:
\)
(A) \( 1\)
\)
(B) \( 9\)
\)
(C) \( 8\)
\)
(D) \( 0\)
(ii) \( (1 + \tan \theta + \sec \theta)(1 + \cot \theta - \csc \theta) \) बराबर है:
\)
(A) \( 0\)
\)
(B) \( 1\)
\)
(C) \( 2\)
\)
(D) \( -1\)
(iii) \( (\sec A + \tan A)(1 - \sin A) \) बराबर है:
\)
(A) \( \sec A\)
\)
(B) \( \sin A\)
\)
(C) \( \csc A\)
\)
(D) \( \cos A\)
(iv) \(\frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A}\) बराबर है:
\)
(A) \( \sec^2 A\)
\)
(B) \( -1\)
\)
(C) \( \cot^2 A\)
\)
(D) \( \tan^2 A\)

Answer:

(i) दिया है \(9\sec^2 A - 9\tan^2 A\)
= 9(\sec^2 A - \tan^2 A)
\(= 9(1) = 9\quad [क्योंकि \sec^2 A - \tan^2 A = 1]
\Rightarrow
अतः, विकल्प\)
(B) \( सही है।

(ii) दिया है \( (1 + \tan \theta + \sec \theta)(1 + \cot \theta - \csc \theta) \)
= \left(1 + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{1}{\sin \theta}\right)
\(= \left(\frac{\cos \theta + \sin \theta + 1}{\cos \theta}\right)\left(\frac{\sin \theta + \cos \theta - 1}{\sin \theta}\right)
\(= \frac{(\cos \theta + \sin \theta)^2 - 1^2}{\cos \theta \sin \theta}
\(= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta - 1}{\cos \theta \sin \theta}
\(= \frac{1 + 2\sin \theta \cos \theta - 1}{\cos \theta \sin \theta}\quad [क्योंकि \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1]
\(= \frac{2\sin \theta \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta} = 2
\Rightarrow
अतः, विकल्प\)
(C) \( सही है।

(iii) दिया है \( (\sec A + \tan A)(1 - \sin A) \)
\(= \left(\frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A}\right)(1 - \sin A)
\(= \left(\frac{1 + \sin A}{\cos A}\right)(1 - \sin A)
\(= \frac{1 - \sin^2 A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A}{\cos A} = \cos A
\Rightarrow\)
अतः, विकल्प\)
(D) \( सही है।

(iv) दिया है \(\frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A}\)
\(= \frac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \frac{\frac{1}{\cos^2 A}}{\frac{1}{\sin^2 A}}
\(= \frac{1}{\cos^2 A} \times \frac{\sin^2 A}{1} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A
\Rightarrow\)
अतः, विकल्प\)
(D) \( सही है।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सीधे मान रखने के बजाय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।
b) भिन्नों को सरल करने के लिए लघुत्तम (LCM) का सही उपयोग करें।

Question 4: निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए, जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित हैं, न्यून कोण हैं:
(i) \( (\csc \theta - \cot \theta)^2 = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}\)
(ii) \(\frac{\cos A}{1 + \sin A} + \frac{1 + \sin A}{\cos A} = 2\sec A\)
(iii) \(\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \sec \theta \csc \theta\)
(iv) \(\frac{1 + \sec A}{\sec A} = \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A}\)
(v) सर्वसमिका \(\csc^2 A = 1 + \cot^2 A\) को लागू करके \(\frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1} = \csc A + \cot A\) सिद्ध कीजिए:
(vi) \(\sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}} = \sec A + \tan A\)
(vii) \(\frac{\sin \theta - 2\sin^3 \theta}{2\cos^3 \theta - \cos \theta} = \tan \theta\)
(viii) \( (\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A\)
(ix) \( (\csc A - \sin A)(\sec A - \cos A) = \frac{1}{\tan A + \cot A}\)
(x) \(\left(\frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A}\right) = \left(\frac{1 - \tan A}{1 - \cot A}\right)^2 = \tan^2 A\)

Answer:

(i) वाम पक्ष \(= (\csc \theta - \cot \theta)^2\)
= \left(\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^2 = \left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right)^2
\(= \frac{(1 - \cos \theta)^2}{\sin^2 \theta} = \frac{(1 - \cos \theta)^2}{1 - \cos^2 \theta}\quad [क्योंकि \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta]
\(= \frac{(1 - \cos \theta)(1 - \cos \theta)}{(1 - \cos \theta)(1 + \cos \theta)} = \frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta} = दाँया पक्ष

(ii) वाम पक्ष \(= \frac{\cos A}{1 + \sin A} + \frac{1 + \sin A}{\cos A}\)
= \frac{\cos^2 A + (1 + \sin A)^2}{(1 + \sin A)\cos A} = \frac{\cos^2 A + 1 + \sin^2 A + 2\sin A}{(1 + \sin A)\cos A}
\(= \frac{1 + 1 + 2\sin A}{(1 + \sin A)\cos A}\quad [क्योंकि \sin^2 A + \cos^2 A = 1]
\(= \frac{2 + 2\sin A}{(1 + \sin A)\cos A} = \frac{2(1 + \sin A)}{(1 + \sin A)\cos A}
\(= \frac{2}{\cos A} = 2\sec A = दाँया पक्ष

(iii) वाम पक्ष \(= \frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta}\)
\(= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 - \frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{1 - \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}
\(= \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\sin \theta - \cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\frac{\cos \theta}{\sin \theta}}{\frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta}}
\(= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta - \cos \theta)} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\cos \theta - \sin \theta)}
\(= \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta(\sin \theta - \cos \theta)} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta(\sin \theta - \cos \theta)}
\(= \frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\cos \theta \sin \theta(\sin \theta - \cos \theta)}
\(= \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta)}{\cos \theta \sin \theta(\sin \theta - \cos \theta)}
\(= \frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta} = \frac{1}{\cos \theta \sin \theta} + 1 = \sec \theta \csc \theta + 1 =\) दाँया पक्ष

(iv) वाम पक्ष \(= \frac{1 + \sec A}{\sec A} = \frac{1 + \frac{1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}}
\(= \frac{\frac{\cos A + 1}{\cos A}}{\frac{1}{\cos A}} = \cos A + 1
\Rightarrow\) दाँया पक्ष \(= \frac{\sin^2 A}{1 - \cos A} = \frac{1 - \cos^2 A}{1 - \cos A} = \frac{(1 - \cos A)(1 + \cos A)}{1 - \cos A} = 1 + \cos A
\Rightarrow\)
अतः, वाम पक्ष \(=\) दाँया पक्ष

(v) वाम पक्ष \(= \frac{\cos A - \sin A + 1}{\cos A + \sin A - 1}\)
अंश और हर को \(\sin A\) से भाग करने पर:
= \frac{\cot A - 1 + \csc A}{\cot A + 1 - \csc A} = \frac{(\cot A + \csc A) - (\csc^2 A - \cot^2 A)}{\cot A + 1 - \csc A}\quad [क्योंकि \csc^2 A - \cot^2 A = 1]
\(= \frac{(\cot A + \csc A) - (\csc A - \cot A)(\csc A + \cot A)}{\cot A + 1 - \csc A}
\(= \frac{(\cot A + \csc A)(1 - \csc A + \cot A)}{\cot A + 1 - \csc A} = \cot A + \csc A = दाँया पक्ष

(vi) वाम पक्ष \(= \sqrt{\frac{1 + \sin A}{1 - \sin A}}\)
\(= \sqrt{\frac{(1 + \sin A)(1 + \sin A)}{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{1 - \sin^2 A}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin A)^2}{\cos^2 A}}
\(= \frac{1 + \sin A}{\cos A} = \frac{1}{\cos A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \sec A + \tan A =\) दाँया पक्ष

(vii) वाम पक्ष = \frac{\sin \theta - 2\sin^3 \theta}{2\cos^3 \theta - \cos \theta} = \frac{\sin \theta(1 - 2\sin^2 \theta)}{\cos \theta(2\cos^2 \theta - 1)}
\(= \frac{\sin \theta(1 - 2\sin^2 \theta)}{\cos \theta(2(1 - \sin^2 \theta) - 1)}\quad [क्योंकि \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta]
\(= \frac{\sin \theta(1 - 2\sin^2 \theta)}{\cos \theta(2 - 2\sin^2 \theta - 1)} = \frac{\sin \theta(1 - 2\sin^2 \theta)}{\cos \theta(1 - 2\sin^2 \theta)} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = दाँया पक्ष

(viii) वाम पक्ष = (\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2
\(= \sin^2 A + \csc^2 A + 2\sin A \csc A + \cos^2 A + \sec^2 A + 2\cos A \sec A
\(= (\sin^2 A + \cos^2 A) + \csc^2 A + \sec^2 A + 2(1) + 2(1)\quad [क्योंकि \sin A \csc A = 1, \cos A \sec A = 1]
\(= 1 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A) + 2 + 2\quad [क्योंकि \csc^2 A = 1 + \cot^2 A, \sec^2 A = 1 + \tan^2 A]
\(= 7 + \tan^2 A + \cot^2 A = दाँया पक्ष

(ix) वाम पक्ष \(= (\csc A - \sin A)(\sec A - \cos A)
\(= \left(\frac{1}{\sin A} - \sin A\right)\left(\frac{1}{\cos A} - \cos A\right) = \left(\frac{1 - \sin^2 A}{\sin A}\right)\left(\frac{1 - \cos^2 A}{\cos A}\right)
\(= \left(\frac{\cos^2 A}{\sin A}\right)\left(\frac{\sin^2 A}{\cos A}\right) = \sin A \cos A
\Rightarrow\) दाँया पक्ष \(= \frac{1}{\tan A + \cot A} = \frac{1}{\frac{\sin A}{\cos A} + \frac{\cos A}{\sin A}} = \frac{1}{\frac{\sin^2 A + \cos^2 A}{\sin A \cos A}} = \sin A \cos A
\Rightarrow\)
अतः, वाम पक्ष \(=\) दाँया पक्ष

(x) वाम पक्ष \(= \frac{1 + \tan^2 A}{1 + \cot^2 A} = \frac{\sec^2 A}{\csc^2 A} = \frac{\frac{1}{\cos^2 A}}{\frac{1}{\sin^2 A}} = \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} = \tan^2 A
\Rightarrow\) मध्य पक्ष \(= \left(\frac{1 - \tan A}{1 - \cot A}\right)^2 = \left(\frac{1 - \frac{\sin A}{\cos A}}{1 - \frac{\cos A}{\sin A}}\right)^2 = \left(\frac{\frac{\cos A - \sin A}{\cos A}}{\frac{\sin A - \cos A}{\sin A}}\right)^2
\(= \left(-\frac{\sin A}{\cos A}\right)^2 = (-\tan A)^2 = \tan^2 A
\Rightarrow\)
अतः, वाम पक्ष \(=\) मध्य पक्ष \(=\) दाँया पक्ष

Exam Tips:

a) सिद्ध करने वाले प्रश्नों में हमेशा वाम पक्ष (LHS) को लेकर हल शुरू करें और दाँया पक्ष (RHS) प्राप्त करें।
b) सभी पदों को साइन (\(\sin\)) और कोसाइन (\(\cos\)) के पदों में बदलना सबसे आसान तरीका है।
c) बीजगणितीय सर्वसमिकाओं जैसे \( (a+b)^2\) और \( (a^3-b^3) \) का सही अभ्यास करें।