NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 08 Introduction to Trigonometry (त्रिकोणमिति का परिचय) Exercise 8.2 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित के मान निकालिए:
(i) \( \sin 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \cos 60^\circ \)
(ii) \( 2 \tan^2 45^\circ + \cos^2 30^\circ - \sin^2 60^\circ \)
(iii) \( \frac{\cos 45^\circ}{\sec 30^\circ + \cosec 30^\circ} \)
(iv) \( \frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \cosec 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ} \)
(v) \( \frac{5 \cos^2 60^\circ + 4 \sec^2 30^\circ - \tan^2 45^\circ}{\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ} \)

Answer:

(i) मान रखने पर, \( \sin 60^\circ \cos 30^\circ + \sin 30^\circ \cos 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \)
(ii) मान रखने पर, \( 2 \tan^2 45^\circ + \cos^2 30^\circ - \sin^2 60^\circ = 2(1)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2 + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 2 \)
(iii) मान रखने पर, \( \frac{\cos 45^\circ}{\sec 30^\circ + \cosec 30^\circ} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + 2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}(1 + \sqrt{3})} \)
(iv) मान रखने पर, \( \frac{\sin 30^\circ + \tan 45^\circ - \cosec 60^\circ}{\sec 30^\circ + \cos 60^\circ + \cot 45^\circ} = \frac{\frac{1}{2} + 1 - \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2} + 1} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{3}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{3\sqrt{3} + 4} \)
(v) मान रखने पर, \( \frac{5 \cos^2 60^\circ + 4 \sec^2 30^\circ - \tan^2 45^\circ}{\sin^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ} = \frac{5\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - (1)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{5\left(\frac{1}{4}\right) + 4\left(\frac{4}{3}\right) - 1}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{5}{4} + \frac{16}{3} - 1}{1} = \frac{15 + 64 - 12}{12} = \frac{67}{12} \)

Exam Tips:

a) त्रिकोणमितीय सारणी के मान याद रखें ताकि गलती न हो।
b) भिन्नों को हल करते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सावधानी से निकालें।
c) हर का परिमेयकरण (Rationalization) करते समय बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें।

Question 2: सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए:
(i) \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1 + \tan^2 30^\circ} = \)
\)
(A) \( \sin 60^\circ \)
\)
(B) \( \cos 60^\circ \)
\)
(C) \( \tan 60^\circ \)
\)
(D) \( \sin 30^\circ \)
(ii) \( \frac{1 - \tan^2 45^\circ}{1 + \tan^2 45^\circ} = \)
\)
(A) \( \tan 90^\circ \)
\)
(B) \( 1 \)
\)
(C) \( \sin 45^\circ \)
\)
(D) \( 0 \)
(iii) \( \sin 2A = 2 \sin A \) तब सत्य होता है, जबकि \( A \) बराबर है:
\)
(A) \( 0^\circ \)
\)
(B) \( 30^\circ \)
\)
(C) \( 45^\circ \)
\)
(D) \( 60^\circ \)
(iv) \( \frac{2 \tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} = \)
\)
(A) \( \cos 60^\circ \)
\)
(B) \( \sin 60^\circ \)
\)
(C) \( \tan 60^\circ \)
\)
(D) \( \sin 30^\circ \)

Answer:

(i) मान रखने पर, \( \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
हम जानते हैं कि \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
इसलिए, विकल्प\)
(A) \( सही है।
(ii) मान रखने पर, \( \frac{1 - (1)^2}{1 + (1)^2} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 \)
इसलिए, विकल्प\)
(D) \( सही है।
(iii)
हम जानते हैं कि \( \sin 0^\circ = 0 \), इसलिए विकल्प\)
(A) \( सही है।
(iv) मान रखने पर, \( \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \sqrt{3} \)
हम जानते हैं कि \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)
इसलिए, विकल्प\)
(C) \( सही है।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सीधे मान रखकर उत्तर जांचें।
b) \( \sin 2A \) और \( \tan 2A \) जैसे सूत्रों की समझ स्पष्ट रखें।
c) गणना में चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

Question 3: यदि \( \tan (A + B) = \sqrt{3} \) और \( \tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}} \); \( 0^\circ < A + B \le 90^\circ; A > B \) तो \( A \) और \( B \) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है \( \tan (A + B) = \sqrt{3} \)
\(
\Rightarrow\) \( \tan (A + B) = \tan 60^\circ \) [क्योंकि \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \)]
\(
\Rightarrow\) \( A + B = 60^\circ \) ... (i)
दिया है \( \tan (A - B) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\(
\Rightarrow\) \( \tan (A - B) = \tan 30^\circ \) [क्योंकि \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)]
\(
\Rightarrow\) \( A - B = 30^\circ \) ... (ii)
समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर,
\( 2A = 90^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \( A = 45^\circ \)
समीकरण (i) से, \( 45^\circ + B = 60^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \( B = 15^\circ \)
इसलिए, \( A = 45^\circ \) और \( B = 15^\circ \)

Exam Tips:

a) प्रतिस्थापन या विलोपन विधि का प्रयोग करके रैखिक समीकरण युग्म को हल करें।
b) कोणों की दी गई शर्तों (\( 0^\circ < A + B \le 90^\circ \)) की पुष्टि अवश्य करें।
c) त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक मानों का सही मिलान करें।

Question 4: बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) \( \sin (A + B) = \sin A + \sin B \)
(ii) \( \theta \) में वृद्धि होने के साथ \( \sin \theta \) के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) \( \theta \) में वृद्धि होने के साथ \( \cos \theta \) के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) \( \theta \) के सभी मानों पर \( \sin \theta = \cos \theta \)
(v) \( A = 0^\circ \) पर \( \cot A \) परिभाषित नहीं है।

Answer:

(i) असत्य,
माना \( A = 30^\circ \) और \( B = 60^\circ \),
इस प्रकार, \( \text{LHS} = \sin (30^\circ + 60^\circ) = \sin 90^\circ = 1 \) और
\( \text{RHS} = \sin A + \sin B = \sin 30^\circ + \sin 60^\circ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \neq 1 \)
अतः, \( \sin (A + B) \neq \sin A + \sin B \)
(ii) सत्य,
क्योंकि,
हम जानते हैं कि \( \sin 0^\circ = 0, \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) और \( \sin 90^\circ = 1 \)
इस प्रकार, \( \theta \) में वृद्धि होने के साथ \( \sin \theta \) के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) असत्य,
क्योंकि,
हम जानते हैं कि \( \cos 0^\circ = 1, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) और \( \cos 90^\circ = 0 \)
इस प्रकार, \( \theta \) में वृद्धि होने के साथ \( \cos \theta \) के मान में कमी होती है।
(iv) असत्य,
क्योंकि \( \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) लेकिन \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) होता है।
(v) सत्य,
क्योंकि \( \cot 0^\circ = 0 \),
हम जानते हैं कि \( \cot 0^\circ = \frac{1}{\tan 0^\circ} = \frac{1}{0} \) परिभाषित नहीं है।

Exam Tips:

a) सत्य/असत्य के लिए उपयुक्त उदाहरण या काउंटर-उदाहरण दें।
b) त्रिकोणमितीय अनुपातों की सारणी के मानों का व्यवहार याद रखें।
c) अपरिभाषित मानों के गणितीय अर्थ को समझें।