NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 08 Introduction to Trigonometry (त्रिकोणमिति का परिचय) Exercise 8.1 in Hindi

Question 1: \(\Delta ABC\) में, जिसका कोण B समकोण है, \(AB = 24\text{ cm}\) और \(BC = 7\text{ cm}\) है। निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
(i) \(\sin A, \cos A\)
(ii) \(\sin C, \cos C\)

Answer:

आकृति का विवरण: एक समकोण त्रिभुज \(ABC\) दिखाया गया है जिसमें कोण \(B\) समकोण है, \(AB = 24\text{ cm}\), \(BC = 7\text{ cm}\) और कर्ण \(AC\) अज्ञात है।

\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (24\text{ cm})^2 + (7\text{ cm})^2\)
\(= (576 + 49)\text{ cm}^2 = 625\text{ cm}^2\)
\(
\Rightarrow AC = \sqrt{625} = 25\text{ cm}\)
(i) \(\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}\) और \(\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}\)
(ii) \(\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{25}\) और \(\cos C = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{25}\)
अतः अभीष्ट मान \( \frac{7}{25}, \frac{24}{25} \) तथा \( \frac{24}{25}, \frac{7}{25} \) हैं।

Exam Tips:

a) समकोण त्रिभुज में तीसरी भुजा ज्ञात करने के लिए हमेशा पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करें।
b) त्रिकोणमितीय अनुपात निकालते समय लंब और आधार की स्थिति कोण के अनुसार बदलती है, इसका ध्यान रखें।
c) गणना करते समय इकाइयों (\(\text{cm}\)) का विशेष ध्यान रखें।

Question 2: आकृति में, \(\tan P - \cot R\) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

आकृति का विवरण: एक समकोण त्रिभुज \(PQR\) दिया गया है जिसमें कोण \(Q\) समकोण है, \(PQ = 12\text{ cm}\) और \(PR = 13\text{ cm}\) है।

\(\Delta PQR\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(QR^2 = PR^2 - PQ^2 = (13)^2 - (12)^2\)
\(= 169 - 144 = 25
\Rightarrow QR = \sqrt{25} = 5\text{ cm}\)
\(\tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}\)
\(\cot R = \frac{QR}{PQ} = \frac{5}{12}\)
\(
\Rightarrow \tan P - \cot R = \frac{5}{12} - \frac{5}{12} = 0\)
अतः \(\tan P - \cot R\) का मान \(0\) है।

Exam Tips:

a) कोण \(P\) के लिए लंब \(QR\) और आधार \(PQ\) होगा।
b) कोण \(R\) के लिए लंब \(PQ\) और आधार \(QR\) होगा।
c) समान मानों को घटाने पर परिणाम शून्य प्राप्त होता है।

Question 3: यदि \(\sin A = \frac{3}{4}\), तो \(\cos A\) और \(\tan A\) का मान परिकलित कीजिए।

Answer:

दिया है \(\sin A = \frac{3}{4}\)
माना \(\sin A = \frac{3k}{4k}\), जहाँ \(k\) एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(AB^2 = AC^2 - BC^2 = (4k)^2 - (3k)^2 = 16k^2 - 9k^2 = 7k^2\)
\(
\Rightarrow AB = \sqrt{7k^2} = \sqrt{7}k\)
इसलिए, \(\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{7}k}{4k} = \frac{\sqrt{7}}{4}\) और \(\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{3k}{\sqrt{7}k} = \frac{3}{\sqrt{7}}\)
अतः \(\cos A = \frac{\sqrt{7}}{4}\) और \(\tan A = \frac{3}{\sqrt{7}}\) है।

Exam Tips:

a) अनुपात वाले प्रश्नों में \(k\) का गुणा करना आवश्यक है क्योंकि यह आनुपातिक लंबाई को दर्शाता है।
b) त्रिकोणमितीय अनुपातों के मानक सूत्रों का सही प्रयोग करें।
c) अंतिम उत्तर को सरलतम रूप में लिखें।

Question 4: यदि \(15 \cot A = 8\) हो तो \(\sin A\) और \(\sec A\) का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है \(15 \cot A = 8\)
\(
\Rightarrow \cot A = \frac{8}{15}\)
माना \(\cot A = \frac{8k}{15k}\), जहाँ \(k\) एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (8k)^2 + (15k)^2 = 64k^2 + 225k^2 = 289k^2\)
\(
\Rightarrow AC = \sqrt{289k^2} = 17k\)
इसलिए, \(\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{15k}{17k} = \frac{15}{17}\) और \(\sec A = \frac{AC}{AB} = \frac{17k}{8k} = \frac{17}{8}\)
अतः \(\sin A = \frac{15}{17}\) तथा \(\sec A = \frac{17}{8}\) है।

Exam Tips:

a) समीकरण को पहले \cot A = \frac{आधार}{लंब} के रूप में व्यवस्थित करें।
b) वर्गमूल निकालते समय अभाज्य गुणनखंड विधि या सीधे मान का प्रयोग करें (\(17^2 = 289\))।
c) अनुपातों को उनके सरल रूप में ही छोड़ें।

Question 5: यदि \(\sec \theta = \frac{13}{12}\) हो तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।

Answer:

दिया है \(\sec \theta = \frac{13}{12}\)
माना \(\sec \theta = \frac{13k}{12k}\), जहाँ \(k\) एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(BC^2 = AC^2 - AB^2\)
\(= (13k)^2 - (12k)^2\)
\(= 169k^2 - 144k^2 = 25k^2\)
\(
\Rightarrow BC = \sqrt{25k^2} = 5k\)
इसलिए, \(\sin \theta = \frac{BC}{AC} = \frac{5k}{13k} = \frac{5}{13}\)
\(\cos \theta = \frac{AB}{AC} = \frac{12k}{13k} = \frac{12}{13}\)
\(\tan \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{5k}{12k} = \frac{5}{12}\)
\(\csc \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{13k}{5k} = \frac{13}{5}\)
और \(\cot \theta = \frac{AB}{BC} = \frac{12k}{5k} = \frac{12}{5}\)
अतः अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात प्राप्त हो गए हैं।

Exam Tips:

a) \(\sec \theta\) कर्ण और आधार का अनुपात होता है।
b) एक अनुपात ज्ञात होने पर बाकी सभी को व्युत्क्रम या पाइथागोरस प्रमेय से आसानी से निकाला जा सकता है।
c) सभी अनुपातों के नाम और उनके सूत्र स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 6: यदि \(\angle A\) और \(\angle B\) न्यून कोण हों, जहाँ \(\cos A = \cos B\), तो दिखाइए कि \(\angle A = \angle B\).

Answer:

दिया है \(\cos A = \cos B\)
समकोण त्रिभुज में \(\cos A = \frac{AP}{AQ}\) और \(\cos B = \frac{BC}{BD}\)
माना \(\frac{AP}{BC} = \frac{AQ}{BD} = k\)
\(
\Rightarrow AP = k(BC) \) तथा \(AQ = k(BD) \)
पाइथागोरस प्रमेय के प्रयोग से \(PQ\) और \(CD\) का अनुपात ज्ञात करने पर दोनों त्रिभुज समरूप सिद्ध होते हैं।
अतः \(\Delta APQ \sim \Delta BCD\) [SSS समरूपता कसौटी से]
इसलिए, \(\angle A = \angle B\) (समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं)।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के ज्यामितीय प्रश्नों में त्रिभुजों की समरूपता का नियम उपयोग करें।
b) संगत भुजाओं का अनुपात समान दिखाने के लिए अचर \(k\) का प्रयोग करें।
c) अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 7: यदि \(\cot \theta = \frac{7}{8}\), तो
(i) \(\frac{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)}\)
(ii) \(\cot^2 \theta\) का मान निकालिए।

Answer:

दिया है \(\cot \theta = \frac{7}{8}\)
माना \(\cot \theta = \frac{7k}{8k}\), जहाँ \(k\) एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(AC^2 = BC^2 + AB^2 = (8k)^2 + (7k)^2 = 64k^2 + 49k^2 = 113k^2\)
\(
\Rightarrow AC = \sqrt{113k^2} = \sqrt{113}k\)
इसलिए,
(i) \(\frac{(1 + \sin \theta)(1 - \sin \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)} = \frac{1 - \sin^2 \theta}{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \cot^2 \theta\)
\(= \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}\)
(ii) \(\cot^2 \theta = (\cot \theta)^2 = \left(\frac{7}{8}\right)^2 = \frac{49}{64}\)
अतः दोनों भागों के मान \(\frac{49}{64}\) हैं।

Exam Tips:

a) बीजीय सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2\) का प्रयोग करके गणना को सरल बनाएं।
b) \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) के मान रखकर सीधे हल कर सकते हैं या सर्वसमिका का उपयोग कर सकते हैं।
c) वर्ग निकालते समय अंश और हर दोनों का अलग-अलग वर्ग करें।

Question 8: यदि \(3 \cot A = 4\), तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A\) है या नहीं।

Answer:

दिया है \(3 \cot A = 4\)
\(
\Rightarrow \cot A = \frac{4}{3}\)
माना \(\cot A = \frac{4k}{3k}\), जहाँ \(k\) एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(AC^2 = BC^2 + AB^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 9k^2 + 16k^2 = 25k^2\)
\(
\Rightarrow AC = \sqrt{25k^2} = 5k\)
इसलिए,
\(\tan A = \frac{3}{4}\), \(\sin A = \frac{3}{5}\), \(\cos A = \frac{4}{5}\)
बायां पक्ष (LHS) = \(\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 + (3/4)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 + 9/16} = \frac{7/16}{25/16} = \frac{7}{25}\)
दायां पक्ष (RHS) = \(\cos^2 A - \sin^2 A = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}\)
चूँकि \(\text{LHS} = \text{RHS}\), अतः \(\frac{1 - \tan^2 A}{1 + \tan^2 A} = \cos^2 A - \sin^2 A\) है।

Exam Tips:

a) जाँच वाले प्रश्नों में बाएं पक्ष और दाएं पक्ष को अलग-अलग हल करें।
b) भिन्नों के जोड़-घटाव में लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करें।
c) अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि दोनों पक्ष बराबर हैं या नहीं।

Question 9: त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि \(\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}\), तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) \(\sin A \cos C + \cos A \sin C\)
(ii) \(\cos A \cos C - \sin A \sin C\)

Answer:

दिया है \(\tan A = \frac{1}{\sqrt{3}}\)
माना \(\tan A = \frac{1k}{\sqrt{3}k}\), जहाँ \(k\) एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।
\(\Delta ABC\) में, पाइथागोरस प्रमेय से
\(AC^2 = BC^2 + AB^2 = (1k)^2 + (\sqrt{3}k)^2 = k^2 + 3k^2 = 4k^2
\Rightarrow AC = \sqrt{4k^2} = 2k\)
इसलिए, \(\sin A = \frac{1}{2}, \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos C = \frac{1}{2}\)
(i) \(\sin A \cos C + \cos A \sin C = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{4}{4} = 1\)
(ii) \(\cos A \cos C - \sin A \sin C = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0\)
अतः मान क्रमशः \(1\) और \(0\) हैं।

Exam Tips:

a) कोण बदलने पर लंब और आधार के मान बदल जाते हैं, इसका विशेष ध्यान रखें।
b) गुणन और जोड़ की क्रियाओं को सावधानीपूर्वक हल करें।
c) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का भी प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष उपयोग हो सकता है।

Question 10: \(\Delta PQR\) में, जिसका कोण Q समकोण है, \(PR + QR = 25\text{ cm}\) और \(PQ = 5\text{ cm}\) है। \(\sin P, \cos P\) और \(\tan P\) के मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

दिया है \(\Delta PQR\) में कोण \(Q\) समकोण है। माना \(QR = x\), इसलिए \(PR = 25 - x\)
\(\Delta PQR\) में, पाइथागोरस प्रमेय से, \(PR^2 = PQ^2 + QR^2\)
\( (25 - x)^2 = (5)^2 + (x)^2
\Rightarrow 625 - 50x + x^2 = 25 + x^2\)
\(
\Rightarrow 625 - 50x = 25
\Rightarrow 50x = 600
\Rightarrow x = 12
\Rightarrow QR = 12\text{ cm}\)
इसलिए, \(PR = 25 - 12 = 13\text{ cm}\)
अब, \(\sin P = \frac{QR}{PR} = \frac{12}{13}\), \(\cos P = \frac{PQ}{PR} = \frac{5}{13}\) और \(\tan P = \frac{QR}{PQ} = \frac{12}{5}\)
अतः \(\sin P, \cos P\) और \(\tan P\) के मान क्रमशः \(\frac{12}{13}, \frac{5}{13}\) और \(\frac{12}{5}\) हैं।

Exam Tips:

a) जब दो भुजाओं का योग दिया हो, तो एक भुजा को \(x\) मानकर दूसरी को \(25-x\) के रूप में व्यक्त करें।
b) बीजगणितीय समीकरण को हल करते समय \(x^2\) पद दोनों पक्षों से कट जाते हैं जिससे रैखिक समीकरण बनता है।
c) सभी भुजाएं ज्ञात होने के बाद त्रिकोणमितीय अनुपात आसानी से लिखे जा सकते हैं।

Question 11: बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) \(\tan A\) का मान सदैव \(1\) से कम होता है।
(ii) कोण \(A\) के किसी मान के लिए \(\sec A = \frac{12}{5}\)
(iii) \(\cos A\), कोण \(A\) के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) \(\cot A\), \(\cot\) और \(A\) का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण \(\theta\) के लिए \(\sin \theta = \frac{4}{3}\)

Answer:

(i) असत्य, क्योंकि \(\tan A\) का मान \(1\) से अधिक भी हो सकता है क्योंकि लंब आधार से बड़ा हो सकता है।
(ii) सत्य, क्योंकि \sec A = \frac{कर्ण}{आधार} होता है और कर्ण हमेशा आधार से बड़ा होता है, अत: मान \(1\) से अधिक हो सकता है।
(iii) असत्य, क्योंकि \(\cos A\), cosine का संक्षिप्त रूप है जबकि cosecant का संक्षिप्त रूप \(\csc A\) है।
(iv) असत्य, क्योंकि \(\cot A\) किसी कोण \(A\) की cotangent है, यह गुणनफल नहीं होता।
(v) असत्य, क्योंकि \sin \theta = \frac{लंब}{कर्ण} होता है और कर्ण हमेशा सबसे लंबी भुजा होती है, इसलिए \(\frac{4}{3}\) (जो कि \(1\) से बड़ा है) संभव नहीं है।

Exam Tips:

a) सत्य/असत्य प्रश्नों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों की मूल परिभाषाओं को अच्छे से समझें।
b) याद रखें कि \(\sin \theta\) और \(\cos \theta\) का मान कभी भी \(1\) से अधिक नहीं हो सकता।
c) \(\sec \theta\) और \(\csc \theta\) का मान हमेशा \(1\) के बराबर या उससे अधिक होता है।