NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 07 निर्देशांक ज्यामिति
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 07 निर्देशांक ज्यामिति
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Question 1: बिंदुओं के निम्नलिखित युग्मों के बीच की दूरियाँ ज्ञात कीजिए :
(i) \( (2, 3), (4, 1) \)
(ii) \( (-5, 7), (-1, 3) \)
(iii) \( (a, b), (-a, -b) \)
Answer:
(i) \( A(2, 3), B(4, 1) \)
दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का उपयोग करने पर,
बिंदुओं \( A(2, 3) \) और \( B(4, 1) \) के बीच की दूरी \( AB \)
\( = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
(ii) \( P(-5, 7), Q(-1, 3) \)
दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का उपयोग करने पर,
बिंदुओं \( P(-5, 7) \) और \( Q(-1, 3) \) के बीच की दूरी \( PQ \)
\( = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
(iii) \( M(a, b), N(-a, -b) \)
दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का उपयोग करने पर,
बिंदुओं \( M(a, b) \) और \( N(-a, -b) \) के बीच की दूरी \( MN \)
\( = \sqrt{(-a -\)
(a) \( ^2 + (-b - (-b))^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = 2\sqrt{a^2 + b^2} \)
Exam Tips:
a) दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए हमेशा दूरी सूत्र का सही प्रयोग करें।
b) ऋण चिह्न (- का ध्यान रखते हुए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें।
c) करणी (Square root) से मान बाहर निकालते समय गुणनखंड विधि का उपयोग करें।
Question 2: बिंदुओं \( (0, 0) \) और \( (36, 15) \) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। क्या अब आप अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं?
Answer:
यहाँ, \( P(0, 0) \) तथा \( Q(36, 15) \) हैं, दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का प्रयोग करने पर,
बिंदुओं \( P(0, 0) \) और \( Q(36, 15) \) के बीच की दूरी \( PQ = \sqrt{(36 - 0)^2 + (15 - 0)^2} = \sqrt{1296 + 225} = \sqrt{1521} = 39 \)
दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का प्रयोग करके हम अनुच्छेद 7.2 में दिए दोनों शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं।
Exam Tips:
a) मूलबिंदु से किसी बिंदु की दूरी सीधे \( \sqrt{x^2 + y^2} \) से भी निकाली जा सकती है।
b) बड़ी संख्याओं के वर्गमूल निकालते समय अभाज्य गुणनखंड विधि का प्रयोग करें।
c) व्यावहारिक समस्याओं में उत्तर के साथ मात्रक अवश्य लिखें।
Question 3: निर्धारित कीजिए कि क्या बिंदु \( (1, 5) \), \( (2, 3) \) और \( (-2, -11) \) संरेख हैं।
Answer:
यहाँ, \( A(1, 5), B(2, 3) \) तथा \( C(-2, -11) \) हैं। दूरी सूत्र \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) का प्रयोग करने पर,
\( AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \)
\( BC = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (-11 - 3)^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212} \)
\( CA = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - (-11))^2} = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265} \)
यहाँ, \( AB + BC = \sqrt{5} + \sqrt{212} \neq \sqrt{265} = AC \)
इसलिए, बिंदु \( A(1, 5), B(2, 3) \) तथा \( C(-2, -11) \) संरेख नहीं हैं।
Exam Tips:
a) तीन बिंदुओं के संरेख होने के लिए किन्हीं दो दूरियों का योग तीसरी दूरी के बराबर होना चाहिए।
b) करणी के अंदर की संख्याओं को जोड़ते समय सावधानी बरतें।
c) यदि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा के बराबर न हो, तो बिंदु संरेख नहीं होते।
Question 4: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु \( (5, -2) \), \( (6, 4) \) और \( (7, -2) \) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Answer:
दिया है: बिंदु \( A(5, -2) \), \( B(6, 4) \) और \( C(7, -2) \) त्रिभुज के शीर्ष हैं।
\( AB = \sqrt{(6 - 5)^2 + [4 - (-2)]^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \)
\( BC = \sqrt{(7 - 6)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \)
\( CA = \sqrt{(5 - 7)^2 + [-2 - (-2)]^2} = \sqrt{4 + 0} = 2 \)
यहाँ, \( AB = BC \neq AC \), इसलिए बिंदु \( A(5, -2), B(6, 4) \) और \( C(7, -2) \) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।
Exam Tips:
a) समद्विबाहु त्रिभुज साबित करने के लिए किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई बराबर होनी चाहिए।
b) ऋणात्मक मानों के घटाव में चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
c) तीनों दूरियाँ निकालने के बाद उनके मानों की तुलना स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 5: किसी कक्षा में, चार मित्र बिंदुओं A, B, C और D पर बैठे हुए हैं, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। चंपा और चमेली कक्षा के अंदर आती हैं और कुछ मिनट तक देखने के बाद, चंपा चमेली से पूछती है, "क्या तुम नहीं सोचती हो कि ABCD एक वर्ग है?" चमेली इससे सहमत नहीं है। दूरी सूत्र का प्रयोग करके, बताइए कि इनमें कौन सही है?
आकृति का विवरण: एक वर्गाकार कक्ष में चार विद्यार्थियों A, B, C और D की स्थितियों को दर्शाने वाला आलेख, जहाँ क्षैतिज अक्ष (स्तंभ) और ऊर्ध्वाधर अक्ष (पंक्ति) पर संख्याएँ अंकित हैं।
Answer:
आकृति से, बिंदुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः:
\( A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) \) और \( D(6, 1) \) हैं।
\( AB = \sqrt{(6 - 3)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(9 - 6)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
\( DA = \sqrt{(3 - 6)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अंतः, यह एक समचतुर्भुज अथवा एक वर्ग हो सकता है।
इसलिए विकर्णों की लंबाई ज्ञात करके इस तथ्य को स्पष्ट किया जा सकता है।
\( AC = \sqrt{(9 - 3)^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{36} + 0 = 6 \)
\( BD = \sqrt{(6 - 6)^2 + (1 - 7)^2} = \sqrt{0} + 36 = 6 \)
यहाँ, \( AB = BC = CD = DA \) तथा \( AC = BD \) है।
अतः, ABCD एक वर्ग है।
इसलिए, चंपा सही है।
Exam Tips:
a) वर्ग साबित करने के लिए चारों भुजाओं का बराबर होना और दोनों विकर्णों का बराबर होना आवश्यक है।
b) आलेख (Graph) से सही निर्देशांक पढ़ना सबसे महत्वपूर्ण चरण है।
c) केवल चारों भुजाएँ बराबर होने पर वह समचतुर्भुज भी हो सकता है, इसलिए विकर्ण जाँचें।
Question 6: निम्नलिखित बिंदुओं द्वारा बनने वाले चतुर्भुज का प्रकार (यदि कोई है तो) बताइए तथा अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए:
(i) \( (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0) \)
(ii) \( (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4) \)
(iii) \( (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) \)
Answer:
(i)
दिया है: बिंदु \( A(-1, -2), B(1, 0), C(-1, 2) \) और \( D(-3, 0) \) हैं।
\( AB = \sqrt{[1 - (-1)]^2 + [0 - (-2)]^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( BC = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( CD = \sqrt{[-3 - (-1)]^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
\( DA = \sqrt{[-1 - (-3)]^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह एक समचतुर्भुज अथवा एक वर्ग हो सकता है। इसलिए विकर्णों की लंबाई ज्ञात करके इस तथ्य को स्पष्ट किया जा सकता है।
\( AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + [2 - (-2)]^2} = \sqrt{0 + 16} = 4 \)
\( BD = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{16 + 0} = 4 \)
यहाँ, \( AB = BC = CD = DA \) तथा \( AC = BD \) है।
अतः, ABCD एक वर्ग है।
(ii)
दिया है: बिंदु \( A(-3, 5), B(3, 1), C(0, 3) \) और \( D(-1, -4) \) हैं।
\( AB = \sqrt{[3 - (-3)]^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
\( BC = \sqrt{(0 - 3)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)
\( CD = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)
\( DA = \sqrt{[-1 - (-3)]^2 + [5 - (-4)]^2} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85} \)
\( AC = \sqrt{[0 - (-3)]^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \)
\( BD = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \)
यहाँ, \( AC + BC = AB \) है। अर्थात् बिंदु \( C \) भुजा पर स्थित है।
अतः, चतुर्भुज ABCD संभव नहीं है। \( (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2) \)
(iii)
दिया है: बिंदु \( A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3) \) और \( D(1, 2) \) हैं।
\( AB = \sqrt{(7 - 4)^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
\( BC = \sqrt{(4 - 7)^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)
\( CD = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \)
\( DA = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \)
चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अतः, यह आयत अथवा एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है। विकर्णों की लंबाई ज्ञात करके इस तथ्य को स्पष्ट किया जा सकता है।
\( AC = \sqrt{(4 - 4)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{0 + 4} = 2 \)
\( BD = \sqrt{(1 - 7)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
यहाँ, \( AB = CD, BC = AD \) तथा \( AC \neq BD \) है।
अतः, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
Exam Tips:
a) चतुर्भुज के प्रकार (वर्ग, आयत, समचतुर्भुज, समांतर चतुर्भुज) की पहचान के लिए चारों भुजाओं और विकर्णों की दूरियाँ निकालें।
b) यदि तीन बिंदु संरेख हो जाएं तो वे चतुर्भुज नहीं बना सकते।
c) आयत और समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं परंतु विकर्ण केवल आयत में बराबर होते हैं।
Question 7: x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो \( (2, -5) \) और \( (-2, 9) \) से समदूरस्थ हैं।
Answer:
\( x \)-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिए जो \( (2, -5) \) और \( (-2, 9) \) से समदूरस्थ हैं।
माना, \( x \)-अक्ष पर कोई बिंदु \( P(x, 0) \) है, जो \( A(2, -5) \) और \( B(-2, 9) \) से समदूरस्थ हैं।
इसलिए, \( PA = PB \)
\(
\Rightarrow \sqrt{(2 - x)^2 + (-5 - 0)^2} = \sqrt{(-2 - x)^2 + (9 - 0)^2} \)
\(
\Rightarrow \sqrt{4 + x^2 - 4x + 25} = \sqrt{4 + x^2 + 4x + 81} \)
दोनों ओर वर्ग करने पर
\( 4 + x^2 - 4x + 25 = 4 + x^2 + 4x + 81
\Rightarrow -8x = 81 - 25 = 56 \)
\(
\Rightarrow x = \frac{56}{-8} = -7 \)
अतः, \( x \)-अक्ष पर वह बिंदु \( P(-7, 0) \) है, जो \( (2, -5) \) और \( (-2, 9) \) से समदूरस्थ है।
Exam Tips:
a) \( x \)-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक हमेशा \( (x, 0) \) होते हैं।
b) समदूरस्थ (Equidistant) होने पर दोनों दूरियों को बराबर रखकर समीकरण बनाएं।
c) समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर वर्गमूल का चिह्न हट जाता है जिससे हल करना आसान हो जाता है।
Question 8: y का वह मान ज्ञात कीजिए, जिसके लिए बिंदु \(P(2, -3) \) और \(Q(10, y) \) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
Answer:
बिंदु \( P(2, -3) \) और \( Q(10, y) \) के बीच की दूरी 10 मात्रक है।
\(
\Rightarrow \sqrt{(10 - 2)^2 + [y - (-3)]^2} = 10
\Rightarrow \sqrt{64 + y^2 + 9 + 6y} = 10 \)
दोनों ओर वर्ग करने पर
\( 64 + y^2 + 9 + 6y = 100 \)
\(
\Rightarrow y^2 + 6y - 27 = 0 \)
\(
\Rightarrow y^2 + 9y - 3y - 27 = 0 \)
\(
\Rightarrow y(y + 9) - 3(y + 9) = 0 \)
\(
\Rightarrow (y + 9)(y - 3) = 0 \)
\(
\Rightarrow (y + 9) = 0 \) या \( (y - 3) = 0 \)
\(
\Rightarrow y = -9 \) या \( y = 3 \)
Exam Tips:
a) दूरी दी होने पर दूरी सूत्र के बराबर उस मान को रखें और दोनों और वर्ग करें।
b) प्राप्त द्विघात समीकरण को गुणनखंड विधि (Splitting the middle term) से हल करें।
c) \( y \) के दो मान संभव हो सकते हैं, दोनों उत्तरों को स्पष्ट रूप से लिखें।
Question 9: यदि \(Q(0, 1) \) बिंदुओं \(P(5, -3) \) और \(R(x, 6) \) से समदूरस्थ है, तो x के मान ज्ञात कीजिए। दूरियाँ QR और PR भी ज्ञात कीजिए।
Answer:
यदि \( Q(0, 1) \) बिंदुओं \( P(5, -3) \) और \( R(x, 6) \) से समदूरस्थ है।
इसलिए, \( QP = QR \)
\(
\Rightarrow \sqrt{(5 - 0)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(x - 0)^2 + (6 - 1)^2} \)
\(
\Rightarrow \sqrt{25 + 16} = \sqrt{x^2 + 25} \)
दोनों ओर वर्ग करने पर
\( 25 + 16 = x^2 + 25 \)
\(
\Rightarrow x^2 = 16 \)
\(
\Rightarrow x = \pm 4 \)
यदि \( x = 4 \),
\( QR = \sqrt{(4 - 0)^2 + (6 - 1)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 25} \)
\( = \sqrt{41} \)
\( PR = \sqrt{(4 - 5)^2 + [6 - (-3)]^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \)
यदि \( x = -4 \),
\( QR = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (6 - 1)^2} \)
\( = \sqrt{16 + 25} \)
\( = \sqrt{41} \)
\( PR = \sqrt{(-4 - 5)^2 + [6 - (-3)]^2} \)
\( = \sqrt{81 + 81} \)
\( = \sqrt{162} \)
\( = 9\sqrt{2} \)
Exam Tips:
a) जब किसी चर का वर्ग \( x^2 = 16 \) हो, तो उसके दो मान \( +4 \) और \( -4 \) दोनों लिखे जाने चाहिए।
b) \( x \) के दोनों अलग-अलग मानों के लिए \( QR \) और \( PR \) की अलग-अलग गणना करें।
c) वर्गमूल निकालते समय बुनियादी अंकगणित नियमों का पालन करें।
Question 10: x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु \( (x, y) \) बिंदुओं \( (3, 6) \) और \( (-3, 4) \) से समदूरस्थ हो।
Answer:
बिंदु \( P(x, y) \) बिंदुओं \( A(3, 6) \) और \( B(-3, 4) \) से समदूरस्थ है।
इसलिए, \( PA = PB \)
\(
\Rightarrow \sqrt{(3 - x)^2 + (6 - y)^2} = \sqrt{(-3 - x)^2 + (4 - y)^2} \)
\(
\Rightarrow 9 + x^2 - 6x + 36 + y^2 - 12y \)
\( = \sqrt{9 + x^2 + 6x + 16 + y^2 - 8y} \)
दोनों ओर वर्ग करने पर
\( 9 + x^2 - 6x + 36 + y^2 - 12y = 9 + x^2 + 6x + 16 + y^2 - 8y \)
\(
\Rightarrow -12x - 4y = -20 \)
\(
\Rightarrow 3x + y = 5 \)
Exam Tips:
a) समदूरस्थ प्रतिबंध से समीकरण बनाते समय दोनों पक्षों के वर्गमूल को समान रखें।
b) बीजगणितीय सर्वसमिका \( (a-b)^2 \) और \( (a+b)^2 \) का सही विस्तार करें।
c) समान पदों को दोनों पक्षों से काटकर समीकरण को सरलतम रूप में लाएं।
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