Official NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 06 त्रिभुज
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Chapter-wise Solutions for Mathematics: Chapter 06 त्रिभुज
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Question 1: बताइए कि आकृति में दिए त्रिभुजों में युग्मों में से कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
Answer:
आकृति का विवरण: छह अलग-अलग त्रिभुजों के युग्म दिए गए हैं जिनमें विभिन्न कोण और भुजाओं की माप दर्शाई गई है।
(i) \( \angle A = \angle P = 60^\circ \)
\( \angle B = \angle Q = 80^\circ \)
\( \angle C = \angle R = 40^\circ \)
इसलिए, \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) [AAA समरूपता कसौटी से]
(ii) \( \frac{AB}{QR} = \frac{BC}{RP} = \frac{CA}{PQ} \)
\( \therefore \triangle ABC \sim \triangle QRP \) [SSS समरूपता कसौटी से]
(iii) त्रिभुज समरूप नहीं हैं क्योंकि संगत भुजाएँ समानुपाती नहीं हैं।
(iv) त्रिभुज समरूप नहीं हैं क्योंकि संगत भुजाएँ समानुपाती नहीं हैं।
(v) त्रिभुज समरूप नहीं हैं क्योंकि संगत भुजाएँ समानुपाती नहीं हैं।
(vi) \( \triangle DEF \) में, \( \angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ
\Rightarrow 70^\circ + 80^\circ + \angle F = 180^\circ
\Rightarrow \angle F = 30^\circ \)
इसीप्रकार, \( \triangle PQR \) में, \( \angle P + \angle Q + \angle R = 180^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \( \angle P + 80^\circ + 30^\circ = 180^\circ
\Rightarrow \angle P = 70^\circ \)
\( \triangle DEF \) और \( \triangle PQR \) में,
\( \angle D = \angle P \) [प्रत्येक \( 70^\circ \)]
\( \angle E = \angle Q \) [प्रत्येक \( 80^\circ \)]
\( \angle F = \angle R \) [प्रत्येक \( 30^\circ \)]
\( \therefore \triangle DEF \sim \triangle PQR \) [AAA समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) संगत कोणों की तुलना करके AAA कसौटी की जाँच करें।
b) भुजाओं के अनुपात का मिलान करके SSS कसौटी लागू करें।
c) त्रिभुज के तीनों कोणों के योग गुणधर्म का उपयोग करके अज्ञात कोण ज्ञात करें।
Question 2: आकृति में, \( \triangle ODC \sim \triangle OBA \), \( \angle BOC = 125^\circ \) और \( \angle CDO = 70^\circ \) है। \( \angle DOC \), \( \angle DCO \) और \( \angle OAB \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक रेखाखण्ड DB और AC बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं जिससे दो त्रिभुज बनते हैं।
DOB एक सरल रेखा है।
\(\therefore\) \( \angle DOC + \angle COB = 180^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \( \angle DOC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ \)
\( \triangle DOC \) में,
\( \angle DCO + \angle CDO + \angle DOC = 180^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \( \angle DCO + 70^\circ + 55^\circ = 180^\circ \)
\(
\Rightarrow\) \( \angle DCO = 55^\circ \)
दिया है, \( \triangle ODC \sim \triangle OBA \)。
\(\therefore\) \( \angle OAB = \angle OCD \) [समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं]
\(
\Rightarrow\) \( \angle OAB = 55^\circ \)
Exam Tips:
a) रैखिक युग्म अभिगृहीत का उपयोग करके सरल रेखा पर कोण ज्ञात करें।
b) त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का प्रयोग करें।
c) समरूप त्रिभुजों के संगत गुणों का ध्यान रखें।
Question 3: समलंब ABCD, जिसमें \( AB \parallel DC \) है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए, दर्शाइए कि \( \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: एक समलंब चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
\( \triangle DOC \) और \( \triangle BOA \) में,
\( \angle DOC = \angle BOA \) [शीर्षाभिमुख कोण]
\( \angle CDO = \angle ABO \) [एकांतर कोण]
\( \angle DCO = \angle BAO \) [एकांतर कोण]
\(\therefore\) \( \triangle DOC \sim \triangle BOA \) [AAA समरूपता कसौटी से]
\(
\Rightarrow\) \( \frac{DO}{BO} = \frac{CO}{AO} = \frac{DC}{AB} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} \)
Exam Tips:
a) एकांतर अंतः कोणों की पहचान करें क्योंकि रेखाएँ समांतर हैं।
b) शीर्षाभिमुख कोणों का सही उपयोग करें।
c) समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का आनुपातिक संबंध लिखें।
Question 4: आकृति में, \( \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} \) तथा \( \angle 1 = \angle 2 \) है। दर्शाइए कि \( \triangle PQS \sim \triangle TQR \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: एक त्रिभुज PQR जिसमें ST रेखाखण्ड भुजाओं पर इस प्रकार है कि कोण 1 और कोण 2 बराबर हैं।
\( \triangle PQR \) में, \( \angle PQR = \angle PRQ \)
\(\therefore\) \( PQ = PR \) ... (1)
दिया है, \( \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PR} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{PQ} \) [समीकरण (1) से] ... (2)
\( \triangle PQS \) और \( \triangle TQR \) में,
\( \frac{QR}{QS} = \frac{QT}{QP} \) [समीकरण (2) से]
\( \angle Q = \angle Q \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle PQS \sim \triangle TQR \) [SAS समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) समान कोणों की सम्मुख भुजाओं की बराबर लंबाई का नियम उपयोग करें।
b) अनुपातों को सही क्रम में व्यवस्थित करें।
c) उभयनिष्ठ कोण की पहचान करें।
Question 5: \( \triangle PQR \) की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि \( \angle P = \angle RTS \) है। दर्शाइए कि \( \triangle RPQ \sim \triangle RTS \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: त्रिभुज PQR में बिंदु S और T क्रमशः भुजा PR और QR पर स्थित हैं।
\( \triangle RPQ \) और \( \triangle RST \) में,
\( \angle RTS = \angle QPS \) [दिया है]
\( \angle R = \angle R \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle RPQ \sim \triangle RTS \) [AA समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) दिए गए कोणों की समानता को स्पष्ट रूप से दर्शाएं।
b) उभयनिष्ठ कोण को दोनों त्रिभुजों के लिए समान रूप से लिखें।
c) AA कसौटी का सही नामकरण करें।
Question 6: आकृति में, यदि \( \triangle ABE \cong \triangle ACD \) हैं, तो दर्शाइए कि \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: त्रिभुज ABC जिसके शीर्ष पर A है और अंदर एक त्रिभुज ADE बना हुआ है।
दिया है, \( \triangle ABE \cong \ACD \)。
\(\therefore\) \( AB = AC \) [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ] ... (1)
और, \( AD = AE \) [सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ] ... (2)
\( \triangle ADE \) और \( \triangle ABC \) में,
\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) [समीकरण (1) और (2) से]
\( \angle A = \angle A \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \) [SAS समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों (CPCT) का गुणधर्म याद रखें।
b) भुजाओं का अनुपात समान दिखाएं।
c) उभयनिष्ठ कोण का प्रयोग करें।
Question 7: आकृति में, \( \triangle ABC \) के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि:
(i) \( \triangle AEP \sim \triangle CDP \)
(ii) \( \triangle ABD \sim \triangle CBE \)
(iii) \( \triangle AEP \sim \triangle ADB \)
(iv) \( \triangle APDC \sim \triangle ABEC \)
Answer:
आकृति का विवरण: त्रिभुज ABC जिसमें दो शीर्षलंब AD और CE बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
(i) \( \triangle AEP \) और \( \triangle CDP \) में,
\( \angle APE = \angle CPD \) [शीर्षाभिमुख कोण]
\( \angle AEP = \angle CDP \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\(\therefore\) \( \triangle AEP \sim \triangle CDP \) [AA समरूपता कसौटी से]
(ii) \( \triangle ABD \) और \( \triangle CBE \) में,
\( \angle ADB = \angle CEB \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\( \angle ABD = \angle CBE \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle ABD \sim \triangle CBE \) [AA समरूपता कसौटी से]
(iii) \( \triangle AEP \) और \( \triangle ADB \) में,
\( \angle AEP = \angle ADB \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\( \angle PAE = \angle DAB \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle AEP \sim \triangle ADB \) [AA समरूपता कसौटी से]
(iv) \( \triangle PDC \) और \( \triangle BEC \) में,
\( \angle PDC = \angle BEC \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\( \angle PCD = \angle BCE \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle PDC \sim \triangle BEC \) [AA समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) शीर्षलंबों द्वारा बनाए गए \( 90^\circ \) के कोणों को पहचानें।
b) शीर्षाभिमुख और उभयनिष्ठ कोणों का सही चयन करें।
c) AA कसौटी का बार-बार उपयोग करें।
Question 8: समांतर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि \( \triangle ABE \sim \triangle CFB \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: एक समांतर चतुर्भुज ABCD जिसकी बढ़ाई गई भुजा AD पर बिंदु E है और रेखा BE, CD को F पर काटती है।
\( \triangle ABE \) और \( \triangle CFB \) में,
\( \angle A = \angle C \) [समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण]
\( \angle AEB = \angle CBF \) [एकांतर कोण, क्योंकि \( AE \parallel BC \)]
\(\therefore\) \( \triangle ABE \sim \triangle CFB \) [AA समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) समांतर चतुर्भुज के गुणों को ध्यान में रखें।
b) एकांतर कोणों की पहचान करें।
c) AA समरूपता का उपयोग करें।
Question 9: आकृति में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं, जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) \( \triangle ABC \sim \triangle AMP \)
(ii) \( \frac{CA}{PA} = \frac{BC}{MP} \)
Answer:
आकृति का विवरण: दो समकोण त्रिभुज ABC और AMP दिए गए हैं जो B और M पर समकोण हैं।
(i) \( \triangle ABC \) और \( \triangle AMP \) में,
\( \angle ABC = \angle AMP \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\( \angle A = \angle A \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle ABC \sim \triangle AMP \) [AA समरूपता कसौटी से]
(ii) \( \triangle ABC \sim \triangle AMP \)
\(\therefore\) \( \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} \) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ]
Exam Tips:
a) समकोणों की समानता स्पष्ट करें।
b) उभयनिष्ठ कोण को दर्शाइए।
c) संगत भुजाओं का अनुपात सही रूप में लिखें।
Question 10: CD और GH क्रमशः \( \angle ACB \) और \( \angle EGF \) के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमशः \( \triangle ABC \) और \( \triangle FEG \) की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं। यदि \( \triangle ABC \sim \triangle FEG \) है, तो दर्शाइए कि:
(i) \( \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG} \)
(ii) \( \triangle ACD \sim \triangle AHGE \)
(iii) \( \triangle ADCA \sim \triangle AHGF \)
Answer:
आकृति का विवरण: दो समरूप त्रिभुज ABC और FEG जिनके कोणों के समद्विभाजक CD और GH खींचे गए हैं।
(i) दिया है, \( \triangle ABC \sim \triangle FFEG \)
\(\therefore\) \( \angle A = \angle F \), \( \angle B = \angle E \) और \( \angle ACB = \angle FGE \), \( \angle ACB = \angle FGE \)
\(\therefore\) \( \angle ACD = \angle FGH \) [CD और GH समान कोणों के कोण समद्विभाजक हैं]
और, \( \angle DCB = \angle HGE \) [CD और GH समान कोणों के कोण समद्विभाजक हैं]
\( \triangle ACD \) और \( \triangle FHGE \) में,
\( \angle A = \angle F \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\( \angle ACD = \angle FGH \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\(\therefore\) \( \triangle AACD \sim \triangle AFGH \) [AA समरूपता कसौटी से]
\( \frac{CD}{GH} = \frac{AC}{FG} \)
(ii) \( \triangle ADCB \) और \( \triangle AHGE \) में,
\( \angle DCB = \angle HGE \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\( \angle B = \angle E \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\(\therefore\) \( \triangle ADCB \sim \triangle AHGE \) [AA समरूपता कसौटी से]
(iii) \( \triangle ADCA \) और \( \triangle AHGF \) में,
\( \angle ACD = \angle FGH \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\( \angle A = \angle F \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\(\therefore\) \( \triangle ADCA \sim \triangle AHGF \) [AA समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) कोण समद्विभाजक के गुणों का उपयोग करें।
b) समरूप त्रिभुजों के संगत कोणों की समानता का ध्यान रखें।
c) AA समरूपता का उचित प्रयोग करें।
Question 11: आकृति में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिंदु है। यदि \( AD \perp BC \) और \( EF \perp AC \) है तो सिद्ध कीजिए कि \( \triangle ABD \sim \triangle ECF \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: समद्विबाहु त्रिभुज ABC जिसकी भुजा CB को E तक बढ़ाया गया है, और लंब AD व EF खींचे गए हैं।
दिया है, ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
\(\therefore\) \( AB = AC \)
\(
\Rightarrow\) \( \angle ABD = \angle ECF \)
\( \triangle ABD \) और \( \triangle ECF \) में,
\( \angle ADB = \angle EFC \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\( \angle ABD = \angle ECF \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\(\therefore\) \( \triangle AABD \sim \triangle EECF \) [AA समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) समद्विबाहु त्रिभुज के सम्मुख कोणों की समानता का प्रयोग करें।
b) लंब रेखाओं द्वारा बनाए गए \( 90^\circ \) के कोणों को दर्शाएं।
c) AA कसौटी लागू करें।
Question 12: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: दो त्रिभुज ABC और PQR जिनकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD और PM हैं।
AD और PM त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं। इसलिए
\( BD = BC/2 \) और \( QM = QR/2 \)
दिया है, \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{AD}{PM} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{PQ} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}QR} = \frac{AD}{PM} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM} \)
\( \triangle ABD \) और \( \triangle PQ M \) में,
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM} \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\(\therefore\) \( \triangle AABD \sim \triangle APQM \) [SSS समरूपता कसौटी से]
\(
\Rightarrow\) \( \angle ABD = \angle PQ M \) [समरूप त्रिभुजों के संगत कोण]
\( \triangle ABC \) और \( \triangle PQR \) में,
\( \angle ABD = \angle PQ M \) [ऊपर सिद्ध किया गया है]
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} \)
\(\therefore\) \( \triangle AABC \sim \triangle APQR \) [SAS समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) माध्यिका द्वारा भुजा को समद्विभाजित करने के गुण का उपयोग करें।
b) SSS और SAS दोनों कसौटियों का क्रमिक प्रयोग करें।
c) संगत कोणों की समानता स्थापित करें।
Question 13: एक त्रिभुज ABC की भुजा पर बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि \( \angle ADC = \angle BAC \) है। दर्शाइए कि \( CA^2 = CB \times CD \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: त्रिभुज ABC जिसके अंदर भुजा BC पर बिंदु D है जो कोण BAC से संबंधित है।
\( \triangle ADC \) और \( \triangle BAC \) में,
\( \angle ADC = \angle BAC \) [दिया है]
\( \angle ACD = \angle BCA \) [उभयनिष्ठ]
\(\therefore\) \( \triangle AADC \sim \triangle ABAC \) [AA समरूपता कसौटी से]
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं। इसलिए
\( \frac{CA}{CB} = \frac{CD}{CA} \)
\(
\Rightarrow\) \( CA^2 = CB \times CD \)
Exam Tips:
a) दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ कोण पहचानें।
b) AA कसौटी से समरूपता सिद्ध करें।
c) संगत भुजाओं के अनुपात से वज्र गुणन करके परिणाम प्राप्त करें।
Question 14: एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: दो त्रिभुज ABC और PQR जिनकी भुजाएँ और माध्यिकाएँ AD व PM समानुपाती हैं।
दिया है,
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM} \)
AD और PM को क्रमशः बिंदु E और L तक इस प्रकार बढ़ाया ताकि
\( AD = DE \) तथा \( PM = DE \) हो।
B को E से, C को E से, Q को L से और R को L से मिलाया।
AD और PM त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं। इसलिए
\( BD = DC \) और \( QM = MR \)
तथा, \( AD = DE \) [रचना से]
और, \( PM = ML \) [रचना से]
चतुर्भुज ABEC में, विकर्ण AE और BC एक दूसरे को बिंदु D पर समद्विभाजित करते हैं। अतः ABEC एक समांतर चतुर्भुज है।
इसीप्रकार, PQLR भी एक समांतर चतुर्भुज है।
\(\therefore\) \( AC = BE \) और \( AB = EC \) तथा \( PR = QL \) और \( PQ = LR \)
दिया है,
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL} \)
\(\therefore\) \( \triangle AABE \sim \triangle APQL \) [SSS समरूपता कसौटी से]
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
\(\therefore\) \( \angle BAE = \angle QPL \) ... (1)
इसीप्रकार \( \triangle AAEC \sim \triangle APLR \) और
\( \angle CAE = \angle RPL \) ... (2)
समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर
\( \angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL \)
\(
\Rightarrow\) \( \angle CAB = \angle RPQ \) ... (3)
\( \triangle ABC \) और \( \triangle PQR \) में,
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} \) [दिया है]
\( \angle CAB = \angle RPQ \) [समीकरण (3) से]
\(\therefore\) \( \triangle AABC \sim \triangle APQR \) [SAS समरूपता कसौटी से]
Exam Tips:
a) त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करने के लिए उपयुक्त रचना करें।
b) समांतर चतुर्भुज के गुणों का प्रयोग करें।
c) कोणों के योग और SAS कसौटी का उपयोग करके अंतिम निष्कर्ष निकालें।
Question 15: लंबाई 6 m वाले एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ की भूमि पर छाया की लंबाई 4 m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ और एक मीनार जिनकी सूर्य के प्रकाश में परछाइयाँ (छाया) बन रही हैं, जिससे समकोण त्रिभुज बनते हैं।
माना CD स्तंभ है और AB मीनार है।
अतः DF स्तंभ की छाया है और BE मीनार की छाया है।
\( \triangle ABE \) और \( \triangle CDF \) में,
\( \angle DCF = \angle BAE \) [एक ही समय पर सूर्य का कोण]
\( \angle CDF = \angle ABE \) [प्रत्येक \( 90^\circ \)]
\(\therefore\) \( \triangle AABE \sim \triangle ACDF \) [AA समरूपता कसौटी से]
\( \frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DF} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{6} = \frac{28}{4} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{6} = 7 \)
\(
\Rightarrow\) \( AB = 42 \) m
इसलिए, मीनार की ऊँचाई 42 m है।
Exam Tips:
a) सूर्य के उन्नयन कोण समान समय पर समान होते हैं।
b) समकोण त्रिभुजों की समरूपता का नियम लागू करें।
c) संगत भुजाओं के अनुपात से अज्ञात ऊँचाई की गणना करें।
Question 16: AD और PM त्रिभुजों ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं, जबकि \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \) है। सिद्ध कीजिए कि \( \frac{AB}{PQ} = \frac{AD}{PM} \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: दो समरूप त्रिभुज ABC और PQR जिनकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD और PM हैं।
दिया है, \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \)
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं। इसलिए
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{BC}{QR} \) ... (1)
तथा, \( \angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \) ... (2)
AD और PM त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं। इसलिए
\( BD = BC/2 \) और \( QM = QR/2 \) ... (3)
समीकरण (1) और (3) से
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} \) ... (4)
\( \triangle ABD \) और \( \triangle PQ M \) में,
\( \angle B = \angle Q \) [समीकरण (2) से]
\( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} \) [समीकरण (4) से]
\(\therefore\) \( \triangle AABD \sim \triangle APQM \) [SAS समरूपता कसौटी से]
\(
\Rightarrow\) \( \frac{AB}{PQ} = \frac{BD}{QM} = \frac{AD}{PM} \)
Exam Tips:
a) समरूप त्रिभुजों के गुणों का सही उपयोग करें।
b) माध्यिका द्वारा भुजाओं के आधे होने के संबंध को समझें।
c) SAS समरूपता कसौटी का प्रयोग करके अनुपात स्थापित करें।
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