Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 06 त्रिभुज
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Question 1: आकृति (i) और (ii) में, \( DE \parallel BC \) है। (i) में \( EC \) और (ii) में \( AD \) ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: दो त्रिभुज \( ABC \) दिए गए हैं जिनमें \( DE \parallel BC \) है। पहली आकृति में \( AD = 1.5 \) सेमी, \( DB = 3 \) सेमी, \( AE = 1 \) सेमी और \( EC \) अज्ञात है। दूसरी आकृति में \( AD \) अज्ञात है, \( DB = 7.2 \) सेमी, \( AE = 1.8 \) सेमी और \( EC = 5.4 \) सेमी है।
(i)
माना \( EC = x \) सेमी
दिया है, \( DE \parallel BC \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
\(
\Rightarrow \frac{1.5}{3} = \frac{1}{x} \)
\(
\Rightarrow x = \frac{3 \times 1}{1.5} \)
\(
\Rightarrow x = 2 \)
\(
\Rightarrow EC = 2 \) सेमी
(ii)
माना \( AD = x \) सेमी
दिया है, \( DE \parallel BC \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \)
\(
\Rightarrow \frac{x}{7.2} = \frac{1.8}{5.4} \)
\(
\Rightarrow x = \frac{1.8 \times 7.2}{5.4} \)
\(
\Rightarrow x = 2.4 \)
\(
\Rightarrow AD = 2.4 \) सेमी
Exam Tips:
a) हमेशा थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) का प्रयोग तभी करें जब त्रिभुज में रेखा किसी भुजा के समांतर दी गई हो।
b) गणना करते समय दशमलव बिंदुओं का विशेष ध्यान रखें ताकि उत्तर गलत न हो।
c) अंत में परिणाम के साथ उचित मात्रक (सेमी) अवश्य लिखें।
Question 2: किसी \( \Delta PQR \) की भुजाओं \( PQ \) और \( PR \) पर क्रमशः बिंदु \( E \) और \( F \) स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या \( EF \parallel QR \) है:
(i) \( PE = 3.9 \) सेमी, \( EQ = 3 \) सेमी, \( PF = 3.6 \) सेमी और \( FR = 2.4 \) सेमी
(ii) \( PE = 4 \) सेमी, \( QE = 4.5 \) सेमी, \( PF = 8 \) सेमी और \( RF = 9 \) सेमी
(iii) \( PQ = 1.28 \) सेमी, \( PR = 2.56 \) सेमी, \( PE = 0.18 \) सेमी और \( PF = 0.63 \) सेमी
Answer:
आकृति का विवरण: एक त्रिभुज \( PQR \) दिया गया है जिसकी भुजाओं \( PQ \) और \( PR \) पर बिंदु \( E \) और \( F \) स्थित हैं, जिन्हें मिलाने वाली रेखा \( EF \) है।
(i) दिया है, \( PE = 3.9 \) सेमी, \( EQ = 3 \) सेमी, \( PF = 3.6 \) सेमी, \( FR = 2.4 \) सेमी
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3 \) तथा \( \frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = 1.5 \)
क्योंकि \( \frac{PE}{EQ} \neq \frac{PF}{FR} \)
अतः \( EF \) और \( QR \) समांतर नहीं हैं।
(ii) दिया है, \( PE = 4 \) सेमी, \( QE = 4.5 \) सेमी, \( PF = 8 \) सेमी, \( RF = 9 \) सेमी
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{4}{4.5} = \frac{8}{9} \) तथा \( \frac{PF}{FR} = \frac{8}{9} \)
क्योंकि \( \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \)
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, \( EF \) और \( QR \) समांतर हैं।
(iii) दिया है, \( PQ = 1.28 \) सेमी, \( PR = 2.56 \) सेमी, \( PE = 0.18 \) सेमी, \( PF = 0.36 \) सेमी
\( EQ = PQ - PE = 1.28 - 0.18 = 1.10 \) सेमी
\( FR = PR - PF = 2.56 - 0.36 = 2.20 \) सेमी
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{0.18}{1.10} = \frac{9}{55} \) तथा \( \frac{PF}{FR} = \frac{0.36}{2.20} = \frac{9}{55} \)
क्योंकि \( \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \)
अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से, \( EF \) और \( QR \) समांतर हैं।
Exam Tips:
a) यह जांचने के लिए कि रेखा समांतर है या नहीं, भुजाओं के अनुपातों की तुलना करें।
b) यदि अनुपात बराबर आते हैं, तो थेल्स प्रमेय का विलोम लागू होता है।
c) तीसरे भाग में संपूर्ण भुजा दी गई थी, इसलिए पहले बची हुई भुजा की लंबाई निकालनी आवश्यक है।
Question 3: आकृति में, यदि \( LM \parallel CB \) और \( LN \parallel CD \) हो तो सिद्ध कीजिए कि \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: एक चतुर्भुज नुमा ज्यामिति में दो त्रिभुज बने हैं जिनमें रेखाएँ \( LM \) और \( LN \) क्रमशः \( CB \) और \( CD \) के समांतर हैं।
दिया है, \( LM \parallel CB \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AM}{MB} = \frac{AL}{LC} \) (इसको उल्टा करके लिख सकते हैं)
अतः \( \frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} \) ...(1)
इसी प्रकार
दिया है, \( LN \parallel CD \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AN}{ND} = \frac{AL}{LC} \)
अतः \( \frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
\( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} \)
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों में अनुपातों को पूर्ण भुजा के साथ तुलना करके लिखना अधिक सुविधाजनक होता है।
b) दोनों भागों में उभयवैध अनुपात \( \frac{AL}{AC} \) का उपयोग करके समीकरणों की तुलना करें।
c) सिद्ध करने वाले परिणाम को स्पष्ट रूप से अंतिम चरण में दर्शाएं।
Question 4: आकृति में, \( DE \parallel AC \) और \( DF \parallel AE \) है। सिद्ध कीजिए कि \( \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: एक त्रिभुज \( ABC \) जिसमें \( DE \) भुजा \( AC \) के समांतर है और \( DF \) भुजा \( AE \) के समांतर है।
दिया है, \( \Delta ABC \) में, \( DE \parallel AC \)
इसलिए, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{BD}{DA} = \frac{BE}{EC} \) ...(1)
इसी प्रकार
\( \Delta ABC \) में, \( DF \parallel AE \)
इसलिए, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{BD}{DA} = \frac{BF}{FE} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
\( \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} \)
Exam Tips:
a) त्रिभुज को अलग-अलग भागों में विभाजित करके थेल्स प्रमेय का उपयोग करें।
b) दोनों समीकरणों में एक पक्ष समान होने पर दूसरे पक्ष की स्वतः तुलना हो जाती है।
c) प्रमेय के बयानों को सटीक रूप से लिखें।
Question 5: आकृति में, \( DE \parallel OQ \) और \( DF \parallel OR \) है। दर्शाइए कि \( EF \parallel QR \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: बिंदु \( P \) से शुरू होने वाले त्रिभुज में एक बिंदु \( O \) अंदर है, जिससे \( PQ \) और \( PR \) पर रेखाएँ खींची गई हैं।
दिया है, \( \Delta POQ \) में, \( DE \parallel OQ \)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{PD}{DO} \) ...(1)
इसी प्रकार
\( \Delta POR \) में, \( DF \parallel OR \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{PF}{FR} = \frac{PD}{DO} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \)
अब, त्रिभुज \( PQR \) में,
\( \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} \) (ऊपर सिद्ध किया गया है)
इसलिए,
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से
\( EF \parallel QR \)
Exam Tips:
a) इस प्रश्न में थेल्स प्रमेय और उसका विलोम दोनों एक साथ प्रयोग होते हैं।
b) पहले छोटे त्रिभुजों में प्रमेय लगाकर अनुपात बराबर करें।
c) अंत में बड़े त्रिभुज \( PQR \) में विलोम का प्रयोग करके समांतर सिद्ध करें।
Question 6: आकृति में, क्रमशः \( OP, OQ \) और \( OR \) पर स्थित बिंदु \( A, B \) और \( C \) इस प्रकार हैं कि \( AB \parallel PQ \) और \( AC \parallel PR \) है। दर्शाइए कि \( BC \parallel QR \) है।
Answer:
आकृति का विवरण: एक त्रिभुज \( PQR \) के भीतर एक बिंदु \( O \) है, जिससे रेखाएँ \( OP, OQ, OR \) निकलती हैं और जिन पर बिंदु \( A, B, C \) स्थित हैं।
दिया है, \( \Delta POQ \) में,
\( AB \parallel PQ \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{OA}{AP} = \frac{OB}{BQ} \) ...(1)
इसी प्रकार,
\( \Delta POR \) में,
\( AC \parallel PR \), इसलिए
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{OA}{AP} = \frac{OC}{CR} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
\( \frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} \)
अब, त्रिभुज \( OQR \) में,
\( \frac{OB}{BQ} = \frac{OC}{CR} \) (ऊपर सिद्ध किया गया है)
इसलिए,
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से
\( BC \parallel QR \)
Exam Tips:
a) दो अलग त्रिभुजों से समान अनुपात प्राप्त करके तीसरे त्रिभुज का आधार तैयार करें।
b) समीकरणों की तुलना करते समय उभयनिष्ठ अनुपात को हटाएं।
c) अंत में विलोम प्रमेय लिखकर अपना उत्तर पूर्ण करें।
Question 7: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (प्रमेय 6.1) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाज करती है।
Answer:
माना \( PQ \), त्रिभुज \( ABC \) की भुजा \( AB \) के मध्य-बिंदु \( P \) से होकर, दूसरी भुजा \( BC \) के समांतर खींची गई रेखा है। अर्थात \( PQ \parallel BC \), इसलिए
त्रिभुज \( ABC \) में, आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \)
\( 1 = \frac{AQ}{QC} \) (क्योंकि \( AP = PB \))
\(
\Rightarrow AQ = QC \),
अर्थात \( Q, \) भुजा \( AB \) का मध्य बिंदु है।
Exam Tips:
a) मध्य-बिंदु का अर्थ है कि दोनों खंड आपस में बराबर हैं (\( AP = PB \))।
b) प्रमेय का उपयोग करके अनुपात को 1 के बराबर रखें।
c) अंत में समद्विभाजित होने की पुष्टि करें।
Question 8: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम (प्रमेय 6.2) का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
Answer:
माना \( PQ \), त्रिभुज \( ABC \) की भुजा \( AB \) के मध्य-बिंदु \( P \) तथा दूसरी भुजा \( AC \) के मध्य-बिंदु \( Q \) से होकर जाने वाली रेखा है।
इसलिए, \( AP = PB \) और \( AQ = QC \)
\(
\Rightarrow \frac{AP}{PB} = 1 \) और \( \frac{AQ}{QC} = 1 \)
अर्थात \( \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} = 1 \)
अब, त्रिभुज \( ABC \) में,
\( \frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC} \) (ऊपर सिद्ध किया गया है)
इसलिए,
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से,
\( PQ \parallel BC \)
Exam Tips:
a) मध्य-बिंदुओं की दी गई शर्त से अनुपातों का मान 1 प्राप्त होता है।
b) अनुपात समान होने पर विलोम प्रमेय सीधे लागू होती है।
c) रेखाओं के समांतर होने का निष्कर्ष लिखें।
Question 9: \( ABCD \) एक समलंब है जिसमें \( AB \parallel DC \) है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिंदु \( O \) पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO \) है।
Answer:
O से होती हुई तथा \( CD \) के समांतर एक रेखा \( EF \) खींची। ताकि \( EF \parallel CD \) हो।
\(\Delta ADC\) में, \( EO \parallel CD \)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC} \) ...(1)
इसीप्रकार
\(\Delta ABD\) में, \( EO \parallel AB \)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
\( \frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} \)
\(
\Rightarrow \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \)
Exam Tips:
a) समलंब के ऐसे प्रश्नों में एक समांतर रेखा अपनी ओर से रचना (Construction) के रूप में खींचनी पड़ती है।
b) त्रिभुज को दो भागों में बांटकर थेल्स प्रमेय लगाएं।
c) अंत में पदों को क्रमित (Cross-multiply) करके वांछित परिणाम प्राप्त करें।
Question 10: एक चतुर्भुज \( ABCD \) के विकर्ण परस्पर बिंदु \( O \) पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \) है। दर्शाइए कि \( ABCD \) एक समलंब है।
Answer:
माना \( ABCD \) एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण परस्पर बिंदु \( O \) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
O से होती हुई तथा \( CD \) के समांतर एक रेखा \( EO \) खींची। ताकि \( EO \parallel CD \) हो।
\(\Delta ABD\) में, \( EO \parallel AB \)
आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से
\( \frac{AE}{ED} = \frac{BO}{OD} \) ...(1)
परन्तु, दिया है
\( \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} \)
\(
\Rightarrow \frac{AO}{CO} = \frac{BO}{DO} \) ...(2)
समीकरण (1) और (2) से
\( \frac{AE}{ED} = \frac{AO}{OC} \)
\(
\Rightarrow EO \parallel DC \) (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से)
\Rightarrow AB \parallel OE \parallel DC\(
\(
\Rightarrow AB \parallel CD \)
अतः \( ABCD एक समलंब है।
Exam Tips:
a) यह प्रश्न पिछले प्रश्न का ठीक विलोम है, जिसमें समलंब सिद्ध करना है।
b) दिए गए अनुपात को पुनर्व्यवस्थित करके थेल्स विलोम का मार्ग प्रशस्त करें।
c) अंत में रेखाओं की समांतरता सिद्ध करके चतुर्भुज को समलंब घोषित करें।
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