NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 05 समांतर श्रेढियाँ
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 05 समांतर श्रेढियाँ
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Question 1: A.P.: 121, 117, 113, ... का कौन-सा सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत: \( a_n < 0 \) के लिए \( n \) ज्ञात कीजिए]
Answer:
यहाँ, \( a = 121 \) तथा \( d = 117 - 121 = -4 \) है,
माना, A.P. का \( n \) वाँ पद पहला ऋणात्मक पद है।
\(
\Rightarrow a_n < 0\)
\(
\Rightarrow a + (n - 1)d < 0\)
\(
\Rightarrow 121 + (n - 1)(-4) < 0\)
\(
\Rightarrow 121 - 4n + 4 < 0\)
\(
\Rightarrow 125 < 4n\)
\(
\Rightarrow n > \frac{125}{4}\)
\(
\Rightarrow n > 31.25\)
\(
\Rightarrow n = 32\)
अतः, इस A.P. का 32वाँ पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा।
Exam Tips:
a) ऋणात्मक पद ज्ञात करने के लिए हमेशा \( a_n < 0 \) की शर्त का उपयोग करें।
b) \( n \) का मान हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
c) \( 31.25 \) से ठीक बड़ा पूर्णांक 32 है, इसलिए 32वाँ पद अभीष्ट पद है।
Question 2: किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना, इस A.P. का पहला पद \( a \) तथा सार्व अंतर \( d \)
A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है, इसलिए
\( a_3 + a_7 = 6\)
\(
\Rightarrow a + 2d + a + 6d = 6
\Rightarrow 2a + 8d = 6
\Rightarrow a + 4d = 3\)
\(
\Rightarrow a = 3 - 4d \qquad \dots (1) \)
A.P. के तीसरे और सातवें पदों का गुणनफल 8 है। इसलिए
\( (a_3)(a_7) = 8\)
\(
\Rightarrow (a + 2d)(a + 6d) = 8\)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( (3 - 2d)(3 + 2d) = 8
\Rightarrow 3^2 - 4d^2 = 8
\Rightarrow 4d^2 = 1\)
\(
\Rightarrow d = \pm \frac{1}{2}\)
यदि, \( d = \frac{1}{2} \), समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 3 - 4\left(\frac{1}{2}\right) = 1\)
इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग
\( S_{16} = \frac{16}{2}[2a + (16 - 1)d] = 8 \left[2(1) + 15\left(\frac{1}{2}\right)\right] = 76\)
यदि, \( d = -\frac{1}{2} \), समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 3 - 4\left(-\frac{1}{2}\right) = 5\)
इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग
\( S_{16} = \frac{16}{2}[2a + (16 - 1)d] = 8 \left[2(5) + 15\left(-\frac{1}{2}\right)\right] = 20\)
अतः, इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग 76 या 20 होगा।
Exam Tips:
a) समीकरण युग्म को हल करते समय प्रतिस्थापन विधि का सावधानीपूर्वक प्रयोग करें।
b) सार्व अंतर \( d \) के दो मान संभव हैं, इसलिए दोनों स्थितियों के लिए योग अलग-अलग ज्ञात करें।
c) योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) का प्रयोग सही मान रखकर करें।
Question 3: एक सीढ़ी के क्रमागत डंडे परस्पर \( 25\text{ cm} \) की दूरी पर हैं (देखिए आकृति)। डंडे की लंबाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डंडे की लंबाई \( 45\text{ cm} \) है और सबसे ऊपर वाले डंडे की लंबाई \( 25\text{ cm} \) है। यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी \( 2\frac{1}{2}\text{ m} \) है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लंबाई की आवश्यकता होगी?
[संकेत: डंडों की संख्या \( = \frac{250}{25} + 1 \) है]
Answer:
आकृति का विवरण: एक सीढ़ी दर्शाई गई है जिसमें डंडे समानांतर रूप से व्यवस्थित हैं। निचले डंडे की लंबाई \( 45\text{ cm} \) और सबसे ऊपरी डंडे की लंबाई \( 25\text{ cm} \) है। दो क्रमागत डंडों के बीच की दूरी \( 25\text{ cm} \) है तथा कुल ऊँचाई \( 2\frac{1}{2}\text{ m} \) है।
यदि ऊपरी और निचले डंडे के बीच की दूरी \( 2\frac{1}{2}\text{ m} \) है तथा क्रमागत डंडे परस्पर \( 25\text{ cm} \) की दूरी पर हैं।
इसलिए, डंडों की संख्या \( = \frac{250}{25} + 1 = 11\)
डंडों की लंबाई समांतर श्रेणी में \( 25\text{ cm} \) से \( 45\text{ cm} \) तक बढ़ रही है।
जिसमें पहला पद \( a = 25 \) तथा अंतिम पद \( a_{11} = 45 \) है।
माना, इस A.P. का सार्व अंतर \( d \) है।
इसलिए,
\( a_{11} = 45\)
\(
\Rightarrow a + (11 - 1)d = 45
\Rightarrow 25 + 10d = 45
\Rightarrow d = \frac{20}{10} = 2\)
डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की लंबाई \( = S_{11}\)
\(= \frac{11}{2}[2a + (11 - 1)d] = \frac{11}{2}[2(25) + 10(2)] = 11 \times 35 = 385\text{ cm}\)
अतः, डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की \( 385\text{ cm} \) लंबाई की आवश्यकता होगी।
Exam Tips:
a) सभी दूरियों की इकाइयों को एक समान (जैसे सेंटीमीटर में) कर लें।
b) डंडों की कुल संख्या निकालने के लिए कुल दूरी को डंडों के बीच की दूरी से भाग देकर 1 जोड़ें।
c) श्रेणी के योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}(a + l) \) का उपयोग करके गणना को सरल बनाएं।
Question 4: एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि \( x \) का एक ऐसा मान है कि \( x \) से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। \( x \) का मान ज्ञात कीजिए।
[संकेत: \( S_{x-1} = S_{49} - S_x \) है]
Answer:
यहाँ, \( a = 1 \) तथा \( d = 1 \) है,
A.P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]\)
\( x \) से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों के योग के बराबर है।
इसलिए,
\( S_{x-1} = S_{49} - S_x\)
\(
\Rightarrow \frac{x-1}{2}[2a + (x - 1 - 1)d] = \frac{49}{2}[2a + (49 - 1)d] - \frac{x}{2}[2a + (x - 1)d]\)
\(
\Rightarrow \frac{x-1}{2}[2(1) + (x - 2)(1)] = \frac{49}{2}[2(1) + 48(1)] - \frac{x}{2}[2(1) + (x - 1)(1)]\)
\(
\Rightarrow (x-1)[x] = 49[50] - x[x + 1]\)
\(
\Rightarrow x^2 - x = 2450 - x^2 - x\)
\(
\Rightarrow 2x^2 = 2450
\Rightarrow x^2 = 1225
\Rightarrow x = 35\)
अतः, \( x \) का मान 35 है।
Exam Tips:
a) प्रश्न की शर्त के अनुसार \( S_{x-1} = S_{49} - S_x \) समीकरण को ठीक से स्थापित करें।
b) समीकरण को हल करते समय वर्ग समीकरण को सरल बनाने में सावधानी बरतें।
c) मकानों की संख्या \( x \) एक धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए।
Question 5: एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लंबाई \( 50\text{ m} \) है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में \(\frac{1}{4}\text{ m}\) की चढ़ाई है और \(\frac{1}{2}\text{ m}\) का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए आकृति)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत: पहली सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन \( = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50\text{ m}^3 \) है]
Answer:
आकृति का विवरण: एक चबूतरा दिखाया गया है जिस पर 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। प्रत्येक सीढ़ी की लंबाई \( 50\text{ m} \), चौड़ाई \( \frac{1}{2}\text{ m} \) और ऊँचाई (चढ़ाई) \( \frac{1}{4}\text{ m} \) है।
पहली सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन \( = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 = \frac{1}{4} \times 25\text{ m}^3\)
दूसरी सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन \( = \frac{2}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 = \frac{2}{4} \times 25\text{ m}^3\)
तीसरी सीढ़ी को बनाने में कंक्रीट का आयतन \( = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times 50 = \frac{3}{4} \times 25\text{ m}^3\)
सीढ़ियों का आयतन समांतर श्रेणी में बढ़ रहा है। जिसमें पहला पद \( a = \frac{1}{4} \times 25 \) तथा अंतिम पद \( a_{15} = \frac{15}{4} \times 25 \) है।
इस A.P. का सार्व अंतर
\( d = \frac{2}{4} \times 25 - \frac{1}{4} \times 25 = \frac{1}{4} \times 25 \) है।
इसलिए, इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन \( = S_{15}\)
\(= \frac{15}{2}\left[\left(\frac{1}{4} \times 25\right) + (15 - 1)\left(\frac{1}{4} \times 25\right)\right]\)
\(= \frac{15}{2}\left[\frac{25}{2} + \frac{175}{2}\right]\)
\(= \frac{15}{2} \times \frac{200}{2} = 750\text{ m}^3\)
अतः, इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन \( 750\text{ m}^3 \) है।
Exam Tips:
a) प्रत्येक सीढ़ी के आयतन (लंबाई \(\times\) चौड़ाई \(\times\) ऊँचाई) को ध्यान से निकालें।
b) श्रेणी के पदों को समांतर श्रेणी के रूप में पहचानकर \( S_n \) का सूत्र लगाएं।
c) भिन्न (fraction) की गणना करते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करें।
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