NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 05 Arithmetic Progressions (समांतर श्रेढियाँ) Exercise 5.3 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित समांतर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए:
(i) \( 2, 7, 12, \dots, 10 \) पदों तक
(ii) \( -37, -33, -29, \dots, 12 \) पदों तक
(iii) \( 0.6, 1.7, 2.8, \dots, 100 \) पदों तक
(iv) \( \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \dots, 11 \) पदों तक

Answer:

(i) A. P.: \( 2, 7, 12, \dots \)
यहाँ, \( a = 2 \) तथा \( d = 7 - 2 = 5 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{10} = \frac{10}{2}[2(2) + (10 - 1)(5)] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{10} = 5[4 + 45] = 245 \)
(ii) A. P.: \( -37, -33, -29, \dots \)
यहाँ, \( a = -37 \) तथा \( d = -33 - (-37) = 4 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{12} = \frac{12}{2}[-37 + (12 - 1)(4)] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{12} = 6[-74 + 44] = -180 \)
(iii) A. P.: \( 0.6, 1.7, 2.8, \dots \)
यहाँ, \( a = 0.6 \) तथा \( d = 1.7 - 0.6 = 1.1 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{100} = \frac{100}{2}[2(0.6) + (100 - 1)(1.1)] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{100} = 50[1.2 + 99 \times 1.1] = 50[110.1] = 5505 \)
(iv) A. P.: \( \frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \dots \)
यहाँ, \( a = \frac{1}{15} \) तथा \( d = \frac{1}{12} - \left(\frac{1}{15}\right) = \frac{1}{60} \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{11} = \frac{11}{2}\left[2\left(\frac{1}{15}\right) + (11 - 1)\left(\frac{1}{60}\right)\right] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{11} = \frac{11}{2}\left[\frac{2}{15} + \frac{10}{60}\right] = \frac{11}{2}\left[\frac{2}{15} + \frac{1}{6}\right] = \frac{11}{2}\left[\frac{4 + 5}{30}\right] = \frac{33}{20} \)

Exam Tips:

a) प्रथम पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) सही प्रकार से निकालें।
b) योग के सूत्र \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \) का प्रयोग सावधानी से करें।
c) भिन्न और दशमलव वाली संख्याओं की गणना में सावधानी बरतें।

Question 2: नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए:
(i) \( 7 + 10\frac{1}{2} + 14 + \dots + 84 \)
(ii) \( 34 + 32 + 30 + \dots + 10 \)
(iii) \( -5 + (-8) + (-11) + \dots + (-230) \):

Answer:

(i) यहाँ, \( a = 7 \) तथा \( d = 10\frac{1}{2} - 7 = \frac{21}{2} - 7 = \frac{7}{2} \) है,
माना, A. P. का \( n \) वाँ पद 84 है।
इसलिए \( a_n = 84 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 84 \)
\(
\Rightarrow\) \( 7 + (n - 1)\left(\frac{7}{2}\right) = 84 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)\left(\frac{7}{2}\right) = 77 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 22 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 23 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{23} = \frac{23}{2}[7 + 84] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{23} = \frac{23}{2}[91] = \frac{2093}{2} = 1046\frac{1}{2} \)
(ii) यहाँ, \( a = 34 \) तथा \( d = 32 - 34 = -2 \) है,
माना, A. P. का \( n \) वाँ पद 10 है।
इसलिए \( a_n = 10 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 10 \)
\(
\Rightarrow\) \( 34 + (n - 1)(-2) = 10 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(-2) = -24 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 12 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 13 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{13} = \frac{13}{2}[34 + 10] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{13} = \frac{13}{2}[44] = 13 \times 22 = 286 \)
(iii) यहाँ, \( a = -5 \) तथा \( d = -8 - (-5) = -3 \) है,
माना, A. P. का \( n \) वाँ पद \( -230 \) है।
इसलिए \( a_n = -230 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = -230 \)
\(
\Rightarrow\) \( -5 + (n - 1)(-3) = -230 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(-3) = -225 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 75 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 76 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{76} = \frac{76}{2}[-5 - 230] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{76} = \frac{76}{2}[-235] = -38 \times 235 = -8930 \)

Exam Tips:

a) अंतिम पद वाले प्रश्नों में पहले पदों की संख्या \( n \) ज्ञात करें।
b) \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \) सूत्र का उपयोग गणना को सरल बनाता है।
c) ऋनात्मक चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।

Question 3: एक A. P. में,
(i) \( a = 5, d = 3 \) और \( a_n = 50 \) दिया है। \( n \) और \( S_n \) ज्ञात कीजिए।
(ii) \( a = 7 \) और \( a_{13} = 35 \) दिया है। \( d \) और \( S_{13} \) ज्ञात कीजिए।
(iii) \( a_{12} = 37 \) और \( d = 3 \) दिया है। \( a \) और \( S_{12} \) ज्ञात कीजिए।
(iv) \( a_3 = 15 \) और \( S_{10} = 125 \) दिया है। \( d \) और \( a_{10} \) ज्ञात कीजिए।
(v) \( d = 5 \) और \( S_9 = 75 \) दिया है। \( a \) और \( a_9 \) ज्ञात कीजिए।
(vi) \( a = 2, d = 8 \) और \( S_n = 90 \) दिया है। \( n \) और \( a_n \) ज्ञात कीजिए।
(vii) \( a = 8, a_n = 62 \) और \( S_n = 210 \) दिया है। \( n \) और \( d \) ज्ञात कीजिए।
(viii) \( a_n = 4, d = 2 \) और \( S_n = -14 \) दिया है। \( n \) और \( a \) ज्ञात कीजिए।
(ix) \( a = 3, n = 8 \) और \( S = 192 \) दिया है। \( d \) ज्ञात कीजिए।
(x) \( l = 28, S = 144 \) और कुल 9 पद हैं। \( a \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) यहाँ, \( a = 5, d = 3 \) तथा \( a_n = 50 \) है,
A. P. का \( n \) वाँ पद 50 है।
इसलिए \( a_n = 50 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 50 \)
\(
\Rightarrow\) \( 5 + (n - 1)(3) = 50 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(3) = 45 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 15 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 16 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{16} = \frac{16}{2}[5 + 50] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{16} = 8[55] = 440 \)
(ii) यहाँ, \( a = 7 \) तथा \( a_{13} = 35 \) है,
A. P. का 13वाँ पद 35 है।
इसलिए \( a_{13} = 35 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (13 - 1)d = 35 \)
\(
\Rightarrow\) \( 7 + 12d = 35 \)
\(
\Rightarrow\) \( 12d = 28 \)
\(
\Rightarrow\) \( d = \frac{28}{12} = \frac{7}{3} \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{13} = \frac{13}{2}[7 + 35] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{13} = \frac{13}{2}[42] = 273 \)
(iii) यहाँ, \( d = 3 \) तथा \( a_{12} = 37 \) है,
A. P. का 12वाँ पद 37 है।
इसलिए \( a_{12} = 50 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (12 - 1)d = 37 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 11(3) = 37 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 37 - 33 = 4 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 15 - 2d \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{12} = \frac{12}{2}[4 + 37] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{12} = 6[41] = 246 \)
(iv) यहाँ, \( a_3 = 15 \) तथा \( S_{10} = 125 \) है,
\( a_3 = 15 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (3 - 1)d = 15 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 2d = 15 \) ... (1)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10 - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 125 = 5[2a + 9d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 2a + 9d = 25 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 2(15 - 2d) + 9d = 25 \)
\(
\Rightarrow\) \( 30 - 4d + 9d = 25 \)
\(
\Rightarrow\) \( 5d = -5 \)
\(
\Rightarrow\) \( d = -1 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\(
\Rightarrow\) \( a = 15 - 2(-1) = 17 \)
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( a_{10} = 17 + (10 - 1)(-1) = 17 - 9 = 8 \)
\(
\Rightarrow\) \( a_{10} = 8 \)
(v) यहाँ, \( d = 5 \) तथा \( S_9 = 75 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_9 = \frac{9}{2}[2a + (9 - 1)(5)] \)
\(
\Rightarrow\) \( 75 = \frac{9}{2}[2a + 40] \)
\(
\Rightarrow\) \( 75 = 9a + 180 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = -\frac{105}{9} = -\frac{35}{3} \)
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( a_9 = -\frac{35}{3} + (9 - 1)(5) = -\frac{35}{3} + 40 = \frac{85}{3} \)
\(
\Rightarrow\) \( a_{10} = \frac{85}{3} \)
(vi) यहाँ, \( a = 2, d = 8 \) तथा \( S_n = 90 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 90 = \frac{n}{2}[2(2) + (n - 1)(8)] \)
\(
\Rightarrow\) \( 90 = \frac{n}{2}[4 + 8n - 8] \)
\(
\Rightarrow\) \( 90 = \frac{n}{2}[8n - 4] \)
\(
\Rightarrow\) \( 90 = 4n^2 - 2n \)
\(
\Rightarrow\) \( 2n^2 - n - 45 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2n^2 - 10n + 9n - 45 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( (2n + 9)(n - 5) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 5 = 0 \) [\( \because 2n + 9 \neq 0 \) क्योंकि \( n \neq -\frac{9}{2} \)]
\(
\Rightarrow\) \( n = 5 \)
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( a_5 = 2 + (5 - 1)(8) = 2 + 32 = 34 \)
\(
\Rightarrow\) \( a_{10} = 34 \)
(vii) यहाँ, \( a = 8, a_n = 62 \) तथा \( S_n = 210 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( 210 = \frac{n}{2}[8 + 62] \)
\(
\Rightarrow\) \( 210 = 35n \)
\(
\Rightarrow\) \( n = \frac{210}{35} = 6 \)
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 62 = 8 + (6 - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 54 = 5d \)
\(
\Rightarrow\) \( d = \frac{54}{5} \)
(viii) यहाँ, \( a_n = 4, d = 2 \) तथा \( S_n = -14 \) है,
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 4 = a + (n - 1)(2) \)
\(
\Rightarrow\) \( 4 = a + 2n - 2 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 6 - 2n \) ... (1)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( -14 = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)(2)] \)
\(
\Rightarrow\) \( -14 = n[a + n - 1] \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\(
\Rightarrow\) \( -14 = n[6 - 2n + n - 1] \)
\(
\Rightarrow\) \( -14 = n[5 - n] \)
\(
\Rightarrow\) \( -14 = 5n - n^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( n^2 - 5n - 14 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n^2 - 7n + 2n - 14 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n(n - 7) + 2(n - 7) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 7)(n + 2) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 7 = 0 \) [\( \because n + 2 \neq 0 \) क्योंकि \( n \neq -2 \)]
\(
\Rightarrow\) \( n = 7 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\(
\Rightarrow\) \( a = 6 - 2(7) = -8 \)
(ix) यहाँ, \( a = 3, n = 8 \) तथा \( S = 192 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( 192 = \frac{8}{2}[3 + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( 192 = 4[3 + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( 3 + a_n = \frac{192}{4} = 48 \)
\(
\Rightarrow\) \( a_n = 45 \)
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 45 = 3 + (8 - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 42 = 7d \)
\(
\Rightarrow\) \( d = 6 \)
(x) यहाँ, \( l = 28, S = 144 \) तथा \( n = 9 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + l] \)
\(
\Rightarrow\) \( 144 = \frac{9}{2}[a + 28] \)
\(
\Rightarrow\) \( 144 \times \frac{2}{9} = a + 28 \)
\(
\Rightarrow\) \( 32 = a + 28 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 4 \)

Exam Tips:

a) दिए गए मानों को पहचानकर उचित सूत्र चुनें।
b) द्विघात समीकरण को हल करते समय \( n \) के ऋणात्मक या भिन्न मानों को छोड़ दें।
c) समीकरणों को प्रतिस्थापन या विलोपन विधि से हल करें।

Question 4: 636 योग प्राप्त करने के लिए A. P.: \( 9, 17, 25, \dots \) के कितने पद लेने चाहिए?

Answer:

यहाँ, \( a = 9, d = 17 - 9 = 8 \) तथा \( S_n = 636 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 636 = \frac{n}{2}[2(9) + (n - 1)(8)] \)
\(
\Rightarrow\) \( 636 = n[9 + 4n - 4] \)
\(
\Rightarrow\) \( 4n^2 + 5n - 636 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( 4n^2 + 53n - 48n - 636 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 12)(4n + 53) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 12 = 0 \) [\( \because 4n + 53 \neq 0 \) क्योंकि \( n \neq -\frac{53}{4} \)]
\(
\Rightarrow\) \( n = 12 \)
अतः, 636 योग प्राप्त करने के लिए A. P.: \( 9, 17, 25, \dots \) के 12 पद लेने चाहिए।

Exam Tips:

a) द्विघात समीकरण बनाते समय संख्याओं का गुणा सावधानी से करें।
b) \( n \) का मान हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।

Question 5: किसी A.P का प्रथम पद 5, अंतिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer:

यहाँ, \( a = 5, a_n = 45 \) तथा \( S_n = 400 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( 400 = \frac{n}{2}[5 + 45] \)
\(
\Rightarrow\) \( 400 = 25n \)
\(
\Rightarrow\) \( n = \frac{400}{25} = 16 \)
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 45 = 5 + (16 - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 40 = 15d \)
\(
\Rightarrow\) \( d = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \)
अतः, पदों की संख्या 16 और सार्व अंतर \( \frac{8}{3} \) है।

Exam Tips:

a) जब प्रथम और अंतिम पद दिए हों, तो \( S_n \) के छोटे सूत्र का प्रयोग करें।
b) गणना को सरल बनाने के लिए भिन्नों को सरलतम रूप में बदलें।

Question 6: किसी A. P के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्व अंतर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

Answer:

यहाँ, \( a = 17, a_n = 350 \) तथा \( d = 9 \) है,
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 350 = 17 + (n - 1)9 \)
\(
\Rightarrow\) \( 350 = 8 + 9n \)
\(
\Rightarrow\) \( n = \frac{342}{9} = 38 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{38} = \frac{38}{2}[17 + 350] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{38} = 19 \times 367 = 6973 \)
अतः, इसमें 38 पद हैं और इनका योग 6973 है।

Exam Tips:

a) पहले \( a_n \) के सूत्र से \( n \) का मान निकालें।
b) योग ज्ञात करने के लिए \( S_n \) के उपयुक्त सूत्र का प्रयोग करें।

Question 7: उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें \( d = 7 \) है और 22वाँ पद 149 है।

Answer:

यहाँ, \( d = 7, a_n = 149 \) तथा \( n = 22 \) है,
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 149 = a + (22 - 1)(7) \)
\(
\Rightarrow\) \( 149 = a + 147 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 2 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[a + a_n] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{22} = \frac{22}{2}[2 + 149] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{22} = 11 \times 151 = 1661 \)
अतः, A.P. के प्रथम 22 पदों का योग 1661 है।

Exam Tips:

a) \( a_n \) से प्रथम पद \( a \) ज्ञात करना अनिवार्य है।
b) \( S_n \) निकालते समय पदों की संख्या \( n = 22 \) रखें।

Question 8: उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं।

Answer:

यहाँ, \( a_2 = 14, a_3 = 18 \) तथा \( n = 51 \) है,
\( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( a_2 = a + (2 - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 14 = a + d \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 14 - d \) ... (1)
और \( a_3 = a + (3 - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 18 = a + 2d \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 18 = 14 - d + 2d \)
\(
\Rightarrow\) \( d = 4 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर, \( a = 14 - 4 = 10 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{51} = \frac{51}{2}[2(10) + (51 - 1)(4)] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{51} = \frac{51}{2}[20 + 200] = \frac{51}{2}[220] = 5610 \)

Exam Tips:

a) दूसरे और तीसरे पद से दो समीकरण बनाकर \( a \) और \( d \) ज्ञात करें।
b) योग के विस्तृत सूत्र का उपयोग करें।

Question 9: यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम \( n \) पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer:

यहाँ, \( S_7 = 49 \) तथा \( S_{17} = 289 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_7 = \frac{7}{2}[2a + (7 - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 49 = \frac{7}{2}[2a + 6d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 49 = 7(a + 3d) \)
\(
\Rightarrow\) \( 7 = a + 3d \) ... (1)
और \( S_{17} = \frac{17}{2}[2a + (17 - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 289 = \frac{17}{2}[2a + 16d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 289 = 17(a + 8d) \)
\(
\Rightarrow\) \( 17 = a + 8d \) ... (2)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 17 = 7 - 3d + 8d \)
\(
\Rightarrow\) \( 5d = 10 \)
\(
\Rightarrow\) \( d = 2 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर, \( a = 7 - 3 \times 2 = 1 \)
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_n = \frac{n}{2}[2(1) + (n - 1)(2)] = \frac{n}{2}[2 + 2n - 2] = n^2 \)

Exam Tips:

a) \( S_7 \) और \( S_{17} \) के लिए समीकरण बनाकर रेखीय युग्م को हल करें।
b) अंत में \( a \) और \( d \) के मान \( S_n \) के सूत्र में प्रतिस्थापित करें।

Question 10: दर्शाइए कि \( a_1, a_2, \dots, a_n \) से एक A.P. बनती है, यदि \( a_n \) नीचे दिए अनुसार परिभाषित है:
(i) \( a_n = 3 + 4n \)
(ii) \( a_n = 9 - 5n \)
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer:

(i) \( a_n = 3 + 4n \)
\( n \) का मान 1 रखने पर, \( a_1 = 3 + 4(1) = 7 \)
\( n \) का मान 2 रखने पर, \( a_2 = 3 + 4(2) = 11 \)
\( n \) का मान 3 रखने पर, \( a_3 = 3 + 4(3) = 15 \)
\( n \) का मान 4 रखने पर, \( a_4 = 3 + 4(4) = 19 \)
क्रमागत पदों में अंतर:
\( a_2 - a_1 = 11 - 7 = 4 \)
\( a_3 - a_2 = 15 - 11 = 4 \)
\( a_4 - a_3 = 19 - 15 = 4 \)
क्रमागत पदों में अंतर समान है।
अतः, \( a_1, a_2, \dots, a_n \) से एक A.P. बनती है।
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{15} = \frac{15}{2}[2(7) + (15 - 1)(4)] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{15} = \frac{15}{2}[70] = 525 \)
(ii) \( a_n = 9 - 5n \)
\( n \) का मान 1 रखने पर, \( a_1 = 9 - 5(1) = 4 \)
\( n \) का मान 2 रखने पर, \( a_2 = 9 - 5(2) = -1 \)
\( n \) का मान 3 रखने पर, \( a_3 = 9 - 5(3) = -6 \)
\( n \) का मान 4 रखने पर, \( a_4 = 9 - 5(4) = -11 \)
क्रमागत पदों में अंतर:
\( a_2 - a_1 = -1 - 4 = -5 \)
\( a_3 - a_2 = -6 - (-1) = -5 \)
\( a_4 - a_3 = -11 - (-6) = -5 \)
क्रमागत पदों में अंतर समान है।
अतः, \( a_1, a_2, \dots, a_n \) से एक A.P. बनती है।
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{15} = \frac{15}{2}[2(4) + (15 - 1)(-5)] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{15} = \frac{15}{2}[-62] = -465 \)

Exam Tips:

a) A.P. सिद्ध करने के लिए कम से कम तीन क्रमिक पदों का अंतर समान दिखाना आवश्यक है।
b) योग ज्ञात करने के लिए प्रथम पद और सार्व अंतर स्पष्ट रूप से पहचानें।

Question 11: यदि किसी A.P. के प्रथम \( n \) पदों का योग \( 4n - n^2 \) है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् \( a_1 \)) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और \( n \) वें पद ज्ञात कीजिए।

Answer:

A. P. के प्रथम \( n \) पदों का योग \( S_n = 4n - n^2 \)
\( n \) का मान 1 रखने पर
प्रथम पद \( a = a_1 = S_1 = 4(1) - (1)^2 = 3 \)
\( n \) का मान 2 रखने पर
प्रथम दो पदों का योग = \( a_1 + a_2 = S_2 = 4(2) - (2)^2 = 4 \)
\(
\Rightarrow\) \( 3 + a_2 = 4 \) [\( \because \) प्रथम पद \( a_1 = 3 \)]
\(
\Rightarrow\) \( a_2 = 1 \)
अतः, दूसरा पद 1 है।
सार्व अंतर \( d = a_2 - a_1 = 1 - 3 = -2 \)
इसलिए, दसवाँ पद = \( a_{10} = a + 9d = 3 + 9(-2) = -16 \)
इसी प्रकार, \( n \) वाँ पद = \( a_n = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1)(-2) = 5 - 2n \)

Exam Tips:

a) \( S_1 \) और \( a_1 \) सदैव समान होते हैं।
b) \( a_n = S_n - S_{n-1} \) संबंध का भी उपयोग किया जा सकता है।

Question 12: ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

Answer:

प्रथम 40 धन पूर्णांक, जो 6 से विभाज्य हैं: \( 6, 12, 18, \dots, 240 \)
यहाँ, \( a = 6, d = 12 - 6 = 6 \) तथा \( n = 40 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{40} = \frac{40}{2}[2(6) + (40 - 1)(6)] \)
\(
\Rightarrow\) \( 20[12 + 234] \)
\(
\Rightarrow\) \( 20(246) \)
\(
\Rightarrow\) \( 4920 \)
अतः, 6 से विभाज्य, प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग 4920 है।

Exam Tips:

a) A.P. की श्रेणी बनाते समय पहली संख्या और सार्व अंतर सही रखें।
b) गणना करते समय कोष्ठक के अंदर की क्रियाओं को पहले हल करें।

Question 13: 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

Answer:

8 के प्रथम 15 गुणज: \( 8, 16, 24, \dots, 120 \)
यहाँ, \( a = 8, d = 16 - 8 = 8 \) तथा \( n = 15 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{15} = \frac{15}{2}[2(8) + (15 - 1)(8)] = \frac{15}{2}[16 + 112] = \frac{15}{2}(128) = 960 \)
अतः, 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग 960 है।

Exam Tips:

a) गुणज का अर्थ उस संख्या के पहाड़े (multiples) से है।
b) श्रेणी बनाकर \( a \) और \( d \) स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 14: 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Answer:

0 और 50 के बीच की विषम संख्याएँ: \( 1, 3, 5, \dots, 49 \)
यहाँ, \( a = 1, d = 3 - 1 = 2 \) तथा \( n = 25 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{25} = \frac{25}{2}[2(1) + (25 - 1)(2)] = \frac{25}{2}[2 + 48] = (50) = 625 \)
अतः, 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है।

Exam Tips:

a) विषम संख्याओं की श्रेणी \( 1, 3, 5, \dots \) होती है।
b) अंतिम पद की सहायता से पदों की कुल संख्या \( n \) निकालें।

Question 15: निर्माण कार्य से संबंधित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलंब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है: पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक दिनोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलंब कर देता है?

Answer:

जुर्माने के रूप में अदा की गई राशि निम्नलिखित समांतर श्रेणी में है:
\( 200, 250, 300, 350, \dots \)
यहाँ, \( a = 200, d = 250 - 200 = 50 \) तथा \( n = 30 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{30} = \frac{30}{2}[2(200) + (30 - 1)(50)] = 15[400 + 1450] \)
\(
\Rightarrow\) \( 15(1850) = 27750 \)
अतः, एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में ₹ 27750 राशि अदा करनी पड़ेगी।

Exam Tips:

a) भाषा वाले प्रश्नों से A.P. की पहचान करें।
b) कुल राशि निकालने के लिए योग के सूत्र का प्रयोग करें।

Question 16: किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना, पहला पुरस्कार = \( x \) तथा कुल पुरस्कार = 7
कुल राशि = ₹ 700
इसलिए, 7 पुरस्कार देने के लिए रखी गई राशि
\( (x) + (x - 20) + (x - 40) + (x - 60) + (x - 80) + (x - 100) + (x - 120) = 700 \)
\(
\Rightarrow\) \( 7x - 420 = 700 \)
\(
\Rightarrow\) \( 7x = 1120 \)
\(
\Rightarrow\) \( x = \frac{1120}{7} = 160 \)
अतः, 7 पुरस्कारों की राशि: \( 160, 140, 120, 100, 80, 60 \) तथा 40 है।

Exam Tips:

a) पुरस्कारों को \( x, x-20, x-40 \) आदि के रूप में मानें।
b) सभी पदों का योग कुल राशि के बराबर रखें।

Question 17: एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अंदर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

Answer:

कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा तथा प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं।
इसलिए,
कक्षा I के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या = \( 3 \times 1 = 3 \)
कक्षा II के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या = \( 3 \times 2 = 6 \)
कक्षा III के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या = \( 3 \times 3 = 9 \)
अतः, प्रत्येक कक्षा द्वारा लगाए गए पेड़ों की संख्या इसप्रकार है: \( 3, 6, 9, \dots, 36 \)
यहाँ, \( a = 3, d = 6 - 3 = 3 \) तथा \( n = 12 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{12} = \frac{12}{2}[2(3) + (12 - 1)(3)] = 6[6 + 33] = 6(39) = 234 \)
अतः, इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या 234 है।

Exam Tips:

a) प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभागों को ध्यान में रखकर पदों की सूची बनाएं।
b) कुल पदों की संख्या कक्षा 12 तक यानी \( n = 12 \) होगी।

Question 18: केंद्र \( A \) से प्रारंभ करते हुए, बारी-बारी से केंद्रों \( A \) और \( B \) को लेते हुए, त्रिज्याओं \( 0.5\text{ cm}, 1.0\text{ cm}, 1.5\text{ cm}, 2.0\text{ cm}, \dots \) वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई क्या है? \left(\pi = \frac{22}{7} लीजिए\right) :

आकृति का विवरण: इसमें केंद्र A और B को लेकर क्रमशः 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm आदि त्रिज्याओं वाले अर्धवृत्तों से बने सर्पिल को दर्शाया गया है।

Answer:

अर्धवृत्त का परिमाप = \( \frac{1}{2}(2\pi r) = \pi r \)
अर्धवृत्तों की त्रिज्याएँ: \( 0.5\text{ cm}, 1.0\text{ cm}, 1.5\text{ cm}, 2.0\text{ cm}, \dots \)
इसलिए, पहले सर्पिल की लंबाई \( l_1 = \pi(0.5)\text{ cm} \)
दूसरे सर्पिल की लंबाई \( l_2 = \pi(1.0)\text{ cm} \)
इसीप्रकार, \( l_1, l_2, l_3, l_4, \dots \) की लंबाई निम्नलिखित है:
\( \pi(0.5)\text{ cm}, \pi(1.0)\text{ cm}, \pi(1.5)\text{ cm}, \pi(2.0)\text{ cm}, \pi(2.5)\text{ cm}, \dots \)
यहाँ, \( a = 0.5\pi, d = 1.0\pi - 0.5\pi = 0.5\pi \) तथा \( n = 13 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{13} = \frac{13}{2}[2(0.5\pi) + (13 - 1)(0.5\pi)] \)
\(
\Rightarrow\) \( = 6.5[\pi + 6\pi] = 6.5\left(7 \times \frac{22}{7}\right) \)
\(
\Rightarrow\) \( = 6.5 \times 22 = 143\text{ cm} \)
अतः, तेरह क्रमागत अर्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लंबाई \( 143\text{ cm} \) है।

Exam Tips:

a) अर्धवृत्त के परिमाप के सूत्र का सही उपयोग करें।
b) \( \pi \) का मान \( \frac{22}{7} \) रखकर गणना को आसान बनाएं।

Question 19: 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है: सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति)। ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे हैं?

आकृति का विवरण: इसमें लकड़ी के लट्ठों को एक के ऊपर एक घटते क्रम में ढेरी के रूप में व्यवस्थित दिखाया गया है।

Answer:

सबसे नीचे वाली पंक्ति में लट्ठे = 20
उससे अगली पंक्ति में लट्ठे = 19
उससे अगली पंक्ति में लट्ठे = 18
इसप्रकार, लट्ठों की समांतर श्रेणी निम्नलिखित होगी:
\( 20, 19, 18, 17, \dots \)
यहाँ, \( a = 20, d = 19 - 20 = -1 \) तथा \( S_n = 200 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( 200 = \frac{n}{2}[2(20) + (n - 1)(-1)] \)
\(
\Rightarrow\) \( 400 = n[40 - n + 1] \)
\(
\Rightarrow\) \( 400 = 41n - n^2 \)
\(
\Rightarrow\) \( n^2 - 41n + 400 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n^2 - 16n - 25n + 400 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n(n - 16) - 25(n - 16) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 16)(n - 25) = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 16 = 0 \) या \( n - 25 = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 16 \) या \( n = 25 \)
यदि, \( n = 16, a_{16} = a + 15d = 20 + 15(-1) = 5 \)
यदि, \( n = 25, a_{25} = a + 24d = 20 + 24(-1) = -4 \), जो कि संभव नहीं है।
अतः, ये 200 लट्ठे 16 पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे हैं।

Exam Tips:

a) द्विघात समीकरण से \( n \) के दो मान मिलने पर दोनों की जाँच करें।
b) \( a_n \) का मान ऋणात्मक न हो, यह सुनिश्चित करें।

Question 20: एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारंभिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से \( 5\text{ m} \) की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर \( 3\text{ m} \) की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं (देखिए आकृति)।
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारंभ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाए। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
[संकेत: पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = \( 2 \times 5 + 2 \times (5 + 3) \) है]

आकृति का विवरण: इसमें एक सीधी रेखा पर बाल्टी और कुछ निश्चित दूरियों पर रखे गए आलू दिखाए गए हैं, जिन्हें उठाकर बाल्टी में डालना है।

Answer:

पहले आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ती गई दूरी = \( 2 \times 5 = 10 \)
दूसरे आलू को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ती गई दूरी = \( 2 \times (5 + 3) = 16 \)
इसप्रकार, प्रत्येक आलू को उठाकर लाने में तय दूरी की समांतर श्रेणी निम्नलिखित है: \( 10, 16, 22, 28, \dots \)
यहाँ, \( a = 10, d = 16 - 10 = 6 \) तथा \( n = 10 \) है,
A. P. का \( n \) पदों तक का योग \( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] \)
\(
\Rightarrow\) \( S_{10} = \frac{10}{2}[2(10) + (10 - 1)(6)] \)
\(
\Rightarrow\) \( = 5[20 + 54] = 5(74) = 370\text{ m} \)
अतः, प्रतियोगी को कुल \( 370\text{ m} \) दूरी दौड़नी पड़ेगी।

Exam Tips:

a) आने और जाने दोनों की दूरी शामिल है, इसलिए प्रत्येक दूरी को 2 से गुणा किया गया है।
b) पदों की कुल संख्या \( n = 10 \) लें।