NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 05 Arithmetic Progressions (समांतर श्रेढियाँ) Exercise 5.2 in Hindi

Question 1: निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ AP का प्रथम पद \( a \), सार्व अंतर \( d \) और \( n \) वाँ पद \( a_n \) है:
(i) \( a = 7, d = 3, n = 8, a_n = ? \)
(ii) \( a = -18, d = \text{---}, n = 10, a_n = 0 \)
(iii) \( a = \text{---}, d = -3, n = 18, a_n = -5 \)
(iv) \( a = -18.9, d = 2.5, n = \text{---}, a_n = 3.6 \)
(v) \( a = 3.5, d = 0, n = 105, a_n = \text{---} \)

Answer:

(i) यहाँ, \( a = 7, d = 3 \) तथा \( n = 8 \) है, इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\( a_n = 7 + (8 - 1)(3) \)
\(
\Rightarrow\) \( a_n = 7 + 21 = 28 \)
(ii) यहाँ, \( a = -18, n = 10 \) तथा \( a_n = 0 \) है, इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\( 0 = -18 + (10 - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( 18 = 9d \)
\(
\Rightarrow\) \( d = 2 \)
(iii) यहाँ, \( d = -3, n = 18 \) तथा \( a_n = -5 \) है, इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\(-5 = a + (18 - 1)(-3) \)
\(
\Rightarrow\) \(-5 = a - 51\)
\(
\Rightarrow\) \( a = 46 \)
(iv) यहाँ, \( a = -18.9, d = 2.5 \) तथा \( a_n = 3.6 \) है, इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\( 3.6 = -18.9 + (n - 1)(2.5) \)
\(
\Rightarrow\) \( 3.6 = -18.9 + 2.5n - 2.5 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2.5n = 3.6 + 21.4 = 25.0 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 10 \)
(v) यहाँ, \( a = 3.5, d = 0 \) तथा \( n = 105 \) है, इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\( a_n = 3.5 + (105 - 1)(0) \)
\(
\Rightarrow\) \( a_n = 3.5 + 0 = 3.5 \)

Exam Tips:

a) हमेशा एपी के एनवें पद के सामान्य सूत्र \( a_n = a + (n-1)d \) का उपयोग करें।
b) समीकरण हल करते समय धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) दशमलव संख्याओं के जोड़ और घटाव की गणना सावधानीपूर्वक करें।

Question 2: निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए:
(i) A.P.: \( 10, 7, 4, \dots \), का 30वाँ पद है:
\)
(A) \( 97
\)
(B) \( 77
\)
(C) \( -77
\)
(D) \( -87
(ii) A.P.: \( -3, -\frac{1}{2}, 2, \dots \), का 11वाँ पद है:
\)
(A) \( 28
\)
(B) \( 22
\)
(C) \( -38
\)
(D) \( -48\frac{1}{2}

Answer:

(i) यहाँ, \( a = 10, d = 7 - 10 = -3 \) तथा \( n = 30 \) है,
इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\( a_{30} = 10 + (30 - 1)(-3) \) \(
\Rightarrow\) \( a_{30} = 10 - 87 = -77 \)
अतः, विकल्प\)
(C) \( सही है।
(ii) यहाँ, \( a = -3, d = -\frac{1}{2} - (-3) = \frac{5}{2} \) तथा \( n = 11 \) है,
इसलिए \( a_n = a + (n - 1)d \) में मान रखने पर
\( a_{11} = -3 + (11 - 1)\left(\frac{5}{2}\right) \) \(
\Rightarrow\) \( a_{11} = -3 + 25 = 22 \)
अतः, विकल्प\)
(B) \( सही है।

Exam Tips:

a) बहुविकल्पीय प्रश्नों में सही विकल्प चुनने से पहले पूरी गणना अवश्य करें।
b) भिन्न या परिमेय संख्याओं का सार्व अंतर निकालते समय लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) का सही उपयोग करें।
c) ऋणात्मक पदों के साथ गुणा करते समय चिह्न नियम का पालन करें।

Question 3: निम्नलिखित समांतर श्रेणियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए:
(i) \( 2, \dots, 26 \)
(ii) \( \dots, 13, \dots, 3 \)
(iii) \( 5, \dots, \dots, 9\frac{1}{2} \)
(iv) \( -4, \dots, \dots, \dots, \dots, 6 \)
(v) \( \dots, 38, \dots, \dots, \dots, -22 \)

Answer:

(i) यहाँ, दिया है \( a = 2 \) तथा \( a_3 = 26 \) है, ज्ञात करना है: \( a_2 \)
दिया है: \( a_3 = a + (3 - 1)d = 26 \) \(
\Rightarrow\) \( 2 + 2d = 26 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 12 \)
इसलिए \( a_2 = a + (2 - 1)d = 2 + 12 = 14 \)
(ii) यहाँ, दिया है \( a_2 = 13 \) तथा \( a_4 = 3 \) है, ज्ञात करना है: \( a_1 \) तथा \( a_3 \)
दिया है: \( a_2 = a + (2 - 1)d = 13 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + d = 13 \) ...(1)
तथा \( a_4 = 3 \) \(
\Rightarrow\) \( a + 3d = 3 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 13 - d + 3d = 3 \) \(
\Rightarrow\) \( 2d = -5 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 13 - (-5) = 18 \)
इसलिए \( a_1 = 18 \) तथा \( a_3 = a + (3 - 1)d = 18 + 2(-5) = 8 \)
(iii) यहाँ, दिया है \( a = 5 \) तथा \( a_4 = 9\frac{1}{2} \) है, ज्ञात करना है: \( a_2 \) तथा \( a_3 \)
दिया है: \( a_4 = a + (4 - 1)d = 9\frac{1}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( 5 + 3d = \frac{19}{2} \) \(
\Rightarrow\) \( 3d = \frac{19}{2} - 5 = \frac{9}{2} \) \(
\Rightarrow\) \( d = \frac{3}{2} \)
इसलिए \( a_2 = a + d = 5 + \frac{3}{2} = 6\frac{1}{2} \) तथा \( a_3 = a + 2d = 5 + 2\left(\frac{3}{2}\right) = 8 \)
(iv) यहाँ, दिया है \( a = -4 \) तथा \( a_6 = 6 \) है, ज्ञात करना है: \( a_2, a_3, a_4 \) तथा \( a_5 \)
दिया है: \( a_6 = a + (6 - 1)d = 6 \)
\(
\Rightarrow\) \(-4 + 5d = 6 \) \(
\Rightarrow\) \( 5d = 10 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 2 \)
इसलिए \( a_2 = a + d = -4 + 2 = -2 \)
\( a_3 = a + 2d = -4 + 2(2) = 0 \)
\( a_4 = a + 3d = -4 + 3(2) = 2 \)
\( a_5 = a + 4d = -4 + 4(2) = 4 \)
(v) यहाँ, दिया है \( a_2 = 38 \) तथा \( a_6 = -22 \) है, ज्ञात करना है: \( a_1, a_3, a_4 \) तथा \( a_5 \)
दिया है: \( a_2 = a + (2 - 1)d = 38 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + d = 38 \) ...(1)
\(
\Rightarrow\) \( a = 38 - d \)
तथा \( a_6 = -22 \) \(
\Rightarrow\) \( a + 5d = -22 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 38 - d + 5d = -22 \) \(
\Rightarrow\) \( 4d = -60 \) \(
\Rightarrow\) \( d = -15 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 38 - (-15) = 53 \)
इसलिए \( a_1 = a = 53 \)
\( a_3 = a + 2d = 53 + 2(-15) = 23 \)
\( a_4 = a + 3d = 53 + 3(-15) = 8 \)
\( a_5 = a + 4d = 53 + 4(-15) = -7 \)

Exam Tips:

a) लुप्त पदों को ज्ञात करने के लिए रैखिक समीकरण युग्म (Linear Equations) का प्रयोग करें।
b) प्रथम पद \( a \) और सार्व अंतर \( d \) निकालने के बाद कोई भी पद आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
c) भिन्नों की गणना में सटीकता बनाए रखें।

Question 4: A.P.: \( 3, 8, 13, 18, \dots \) का कौन सा पद 78 है?

Answer:

यहाँ, \( a = 3 \) तथा \( d = 8 - 3 = 5 \) है,
माना, A.P. का \( n \) वाँ पद 78 है।
इसलिए \( a_n = 78 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 78 \)
\(
\Rightarrow\) \( 3 + (n - 1)(5) = 78 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(5) = 75 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 15 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 16 \)
अतः, A.P.: \( 3, 8, 13, 18, \dots \) का 16वाँ पद 78 है।

Exam Tips:

a) \( n \) का मान हमेशा एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।
b) सूत्र में मान रखकर समीकरण को सरल तरीके से हल करें।
c) अंतिम कथन स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 5: निम्नलिखित समांतर श्रेणियों में से प्रत्येक श्रेणी में कितने पद हैं?
(i) \( 7, 13, 19, \dots, 205 \)
(ii) \( 18, 15\frac{1}{2}, 13, \dots, -47 \)}

Answer:

(i) यहाँ, \( a = 7 \) तथा \( d = 13 - 7 = 6 \) है,
माना, समांतर श्रेणी में \( n \) पद हैं।
इसलिए \( a_n = 205 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 205 \) \(
\Rightarrow\) \( 7 + (n - 1)(6) = 205 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(6) = 198 \) \(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 33 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = 34 \)
अतः, समांतर श्रेणी में 34 पद हैं।
(ii) यहाँ, \( a = 18 \) तथा \( d = 15\frac{1}{2} - 18 = -\frac{5}{2} \) है,
माना, समांतर श्रेणी में \( n \) पद हैं।
इसलिए \( a_n = -47 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = -47 \)
\(
\Rightarrow\) \( 18 + (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right) = -47 \) \(
\Rightarrow\) \( (n - 1)\left(-\frac{5}{2}\right) = -65 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 26 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 27 \)
अतः, समांतर श्रेणी में 27 पद हैं।

Exam Tips:

a) अंतिम पद को \( a_n \) मानकर \( n \) का मान ज्ञात किया जाता है।
b) ऋणात्मक सार्व अंतर के साथ गणना करते समय चिह्नों की त्रुटि से बचें।
c) पदों की संख्या हमेशा पूर्ण संख्या होती है।

Question 6: क्या A.P.: \( 11, 8, 5, 2, \dots \) का एक पद -150 है क्यों?

Answer:

यहाँ, \( a = 11 \) तथा \( d = 8 - 11 = -3 \) है,
माना, A.P. का \( n \) वाँ पद -150 है।
इसलिए \( a_n = -150 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = -150 \)
\(
\Rightarrow\) \( 11 + (n - 1)(-3) = -150 \)
\(
\Rightarrow\) \( 11 - 3n + 3 = -150 \)
\(
\Rightarrow\) \(-3n = -164 \)
\(
\Rightarrow\) \( n = \frac{164}{3} = 54\frac{2}{3} \)
यहाँ, \( n \) एक पूर्णांक संख्या नहीं है।
अतः, -150, A.P.: \( 11, 8, 5, 2, \dots \) का पद नहीं है।

Exam Tips:

a) यदि \( n \) का मान भिन्न या दशमलव में आता है, तो वह संख्या दी गई A.P. का पद नहीं हो सकती।
b) समीकरण हल करते समय पक्षांतर के नियमों का पालन करें।
c) निष्कर्ष स्पष्ट रूप से दें।

Question 7: उस A.P. का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।

Answer:

दिया है: \( a_{11} = 38 \) तथा \( a_{16} = 73 \) है, ज्ञात करना है: \( a_{31} \)
दिया है: \( a_{11} = a + (11 - 1)d = 38 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 10d = 38 \) ...(1)
तथा \( a_{16} = 73 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 15d = 73 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 38 - 10d + 15d = 73 \)
\(
\Rightarrow\) \( 5d = 35 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 7 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 38 - 10(7) = -32 \)
इसलिए, \( a_{31} = a + 30d = -32 + 30(7) = 178 \)
अतः, A.P का 31वाँ पद 178 है।

Exam Tips:

a) दो अज्ञात राशियों \( a \) और \( d \) को निकालने के लिए दो रैखिक समीकरण बनाएं।
b) विलोपन या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें।
c) अंतिम पद ज्ञात करने के लिए सामान्य सूत्र का प्रयोग करें।

Question 8: एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अंतिम पद 106 है। इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Answer:

यहाँ, दिया है \( a_3 = 12 \) तथा \( a_{50} = 106 \) है, ज्ञात करना है: \( a_{29} \)
दिया है: \( a_3 = a + (3 - 1)d = 12 \) \(
\Rightarrow\) \( a + 2d = 12 \) ...(1)
तथा \( a_{50} = 106 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 49d = 106 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 12 - 2d + 49d = 106 \) \(
\Rightarrow\) \( 47d = 94 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 2 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 12 - 2(2) = 8 \)
इसलिए, \( a_{29} = a + 28d = 8 + 28(2) = 64 \)
अतः, A.P का 29वाँ पद 64 है।

Exam Tips:

a) कुल पदों की संख्या से अंतिम पद \( a_{50} \) का समीकरण बनता है।
b) समीकरण हल करते समय गणना की जाँच अवश्य करें।
c) सही मान रखकर अंतिम उत्तर प्राप्त करें।

Question 9: यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?

Answer:

यहाँ, दिया है \( a_3 = 4 \) तथा \( a_9 = -8 \) है, ज्ञात करना है: \( n \), जहाँ \( a_n = 0 \)。
दिया है: \( a_3 = a + (3 - 1)d = 4 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 2d = 4 \) ...(1)
\(
\Rightarrow\) \( a = 4 - 2d \)
तथा \( a_9 = -8 \) \(
\Rightarrow\) \( a + 8d = -8 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर
\( 4 - 2d + 8d = -8 \) \(
\Rightarrow\) \( 6d = -12 \) \(
\Rightarrow\) \( d = -2 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर
\( a = 4 - 2(-2) = 8 \)
इसलिए, \( a_n = 0 \) में मान रखने पर, \( a + (n - 1)d = 0 \)
\(
\Rightarrow\) \( 8 + (n - 1)(-2) = 0 \) \(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 4 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 5 \)
अतः, इस A.P का 5वाँ पद शून्य होगा।

Exam Tips:

a) शून्य पद के लिए \( a_n = 0 \) रखकर \( n \) का मान हल किया जाता है।
b) समीकरणों को हल करते समय चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।
c) चरणबद्ध तरीके से उत्तर हल करें।

Question 10: किसी A.P. का 17वाँ पद उसके 10वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना, पहला पद = \( a \) तथा सार्व अंतर = \( d \)
प्रश्नुसार, \( a_{17} = a_{10} + 7 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 16d = a + 9d + 7 \)
\(
\Rightarrow\) \( 7d = 7 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 1 \)
अतः, इस A.P. का सार्व अंतर 1 है।

Exam Tips:

a) दी गई शर्त के अनुसार रैखिक समीकरण बनाएं।
b) दोनों पक्षों से समान पदों को काटें।
c) गणना सरल और स्पष्ट रखें।

Question 11: A.P.: \( 3, 15, 27, 39, \dots \) का कौन-सा पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा?

Answer:

यहाँ, \( a = 3 \) तथा सार्व अंतर = \( 15 - 3 = 12 \)
माना, इस A.P. का \( n \) वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।
प्रश्नुसार, \( a_n = a_{54} + 132 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = a + 53d + 132 \) \(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(12) = 53 \times 12 + 132 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(12) = \frac{768}{12} \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 64 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 65 \)
अतः, इस A.P. का 65वाँ पद उसके 54वें पद से 132 अधिक होगा।

Exam Tips:

a) 'अधिक' शब्द का अर्थ समीकरण में जोड़ना होता है।
b) सामान्य पद के सूत्र का प्रयोग करके समीकरण को हल करें।
c) गुणा और भाग की क्रियाएं सावधानी से करें।

Question 12: दो समांतर श्रेणियों का सार्व अंतर समान है। यदि इनके 100वें पदों का अंतर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अंतर क्या होगा?

Answer:

माना, पहली समांतर श्रेणी का पहला पद = \( A \) तथा सार्व अंतर = \( d \)
माना, दूसरी समांतर श्रेणी का पहला पद = \( a \) तथा सार्व अंतर = \( d \)
इनके 100वें पदों का अंतर = \( A_{100} - a_{100} = 100 \)
\(
\Rightarrow\) \( (A + 99d) - (a + 99d) = 100 \)
\(
\Rightarrow\) \( A - a = 100 \)
इनके 1000वें पदों का अंतर = \( A_{1000} - a_{1000} \)
\(
\Rightarrow\) \( (A + 999d) - (a + 999d) \)
\(
\Rightarrow\) \( A - a = 100 \) [∵ \( A - a = 100 \)]
अतः, इन A.P. के 1000वें पदों का अंतर 100 होगा।

Exam Tips:

a) दोनों श्रेणियों के सार्व अंतर समान हैं, इसलिए उन्हें \( d \) माना गया है।
b) समीकरणों को सरल बनाने पर सार्व अंतर कट जाते हैं।
c) गुणधर्म का उपयोग करके उत्तर सीधे प्राप्त किया जा सकता है।

Question 13: तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

Answer:

तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्याएँ: \( 105, 112, 119, \dots, 994 \)
माना, तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य कुल संख्याएँ \( n \) हैं।
यहाँ, दिया है \( a = 105 \) तथा \( d = 112 - 105 = 7 \) है, ज्ञात करना है: \( n \), जहाँ \( a_n = 994 \)。
दिया है: \( a_n = a + (n - 1)d = 994 \)
\(
\Rightarrow\) \( 105 + (n - 1)(7) = 994 \)
\(
\Rightarrow\) \( 7(n - 1) = 889 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = \frac{889}{7} = 127 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 128 \)
अतः, तीन अंकों वाली 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

Exam Tips:

a) सबसे पहले 7 से विभाजित होने वाली सबसे छोटी और सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या खोजें।
b) इसे समांतर श्रेणी मानकर \( n \) का मान निकालें।
c) भाग की प्रक्रिया की पुनरावृत्ति करके जाँच करें।

Question 14: 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज हैं?

Answer:

10 और 250 के बीच में 4 के गुणज: \( 12, 16, 20, \dots, 248 \)
माना, 10 और 250 के बीच में 4 के कुल गुणज \( n \) हैं।
यहाँ, दिया है \( a = 12 \) तथा \( d = 16 - 12 = 4 \) है, ज्ञात करना है: \( n \), जहाँ \( a_n = 248 \)。
दिया है: \( a_n = a + (n - 1)d = 248 \)
\(
\Rightarrow\) \( 12 + (n - 1)(4) = 248 \)
\(
\Rightarrow\) \( 4(n - 1) = 236 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = \frac{236}{4} = 59 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 60 \)
अतः, 10 और 250 के बीच में 4 के 60 गुणज हैं।

Exam Tips:

a) दी गई सीमा के भीतर गुणजों की श्रृंखला (AP) बनाएं।
b) प्रथम पद और सार्व अंतर को पहचानें।
c) \( a_n \) के सूत्र का उपयोग करके पदों की संख्या ज्ञात करें।

Question 15: \( n \) के किस मान के लिए, दोनों समांतर श्रेणियों \( 63, 65, 67, \dots \) और \( 3, 10, 17, \dots \) के \( n \) वें पद बराबर होंगे?

Answer:

पहली समांतर श्रेणी का पहला पद = \( A = 63 \) तथा सार्व अंतर = \( D = 65 - 63 = 2 \)
इसलिए, \( A_n = A + (n - 1)D \)
\(
\Rightarrow\) \( A_n = 63 + (n - 1)2 \)
दूसरी समांतर श्रेणी का पहला पद = \( a = 3 \) तथा सार्व अंतर = \( d = 10 - 3 = 7 \)
इसलिए, \( a_n = a + (n - 1)d \)
\(
\Rightarrow\) \( a_n = 3 + (n - 1)7 \)
प्रश्नुसार, \( A_n = a_n \)
\(
\Rightarrow\) \( 63 + (n - 1)2 = 3 + (n - 1)7 \) \(
\Rightarrow\) \( 63 + 2n - 2 = 3 + 7n - 7 \)
\(
\Rightarrow\) \( 65 = 5n \) \(
\Rightarrow\) \( n = 13 \)
अतः, दोनों समांतर श्रेणियों के 13वें पद बराबर होंगे।

Exam Tips:

a) दोनों श्रेणियों के लिए अलग-अलग चर (जैसे \( A_n \) और \( a_n \)) का उपयोग करें।
b) दोनों को बराबर रखकर समीकरण हल करें।
c) समीकरण हल करते समय पक्षांतर के नियम ध्यान रखें।

Question 16: वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।

Answer:

माना, समांतर श्रेणी का पहला पद = \( a \) तथा सार्व अंतर = \( d \)
तीसरा पद = 16
\(
\Rightarrow\) \( a_3 = 16 \) \(
\Rightarrow\) \( a + 2d = 16 \) ...(1)
7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।
इसलिए, \( a_7 = a_5 + 12 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 6d = a + 4d + 12 \) \(
\Rightarrow\) \( 2d = 12 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 6 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर, \( a + 2(6) = 16 \)
\(
\Rightarrow\) \( a = 4 \)
अतः, A.P. = \( a, a + d, a + 2d, \dots = 4, 10, 16, \dots \)

Exam Tips:

a) शर्तों के अनुसार समीकरण बनाकर उन्हें हल करें।
b) \( a \) और \( d \) का मान ज्ञात करने के बाद श्रेणी के पद आसानी से लिखे जा सकते हैं।
c) श्रेणी के कम से कम तीन पद लिखकर दिखाएं।

Question 17: A.P.: \( 3, 8, 13, \dots, 253 \) में अंतिम पद से 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

Answer:

\( 3, 8, 13, \dots, 253 \) में अंतिम पद से 20वाँ पद = \( 253, \dots, 13, 8, 3 \) में आरंभ से 20वाँ पद
A.P.: \( 253, \dots, 13, 8, 3 \) में, पहला पद = 253 तथा सार्व अंतर = \( 3 - 8 = -5 \)
इसलिए, \( a_{20} = a + 19d \)
\(
\Rightarrow\) \( a_{20} = 253 + 19(-5) = 253 - 95 = 158 \)

Exam Tips:

a) जब अंतिम पद से पद पूछा जाए, तो श्रेणी को उल्टा करके प्रथम पद और सार्व अंतर बदल लें।
b) सार्व अंतर निकालते समय ध्यान रखें कि दिशा बदल चुकी है।
c) गणना को ध्यानपूर्वक हल करें।

Question 18: किसी A.P. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना, A.P. का पहला पद = \( a \) तथा सार्व अंतर = \( d \)
पहली शर्त के अनुसार, \( a_4 + a_8 = 24 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 3d + a + 7d = 24 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2a + 10d = 24 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 5d = 12 \) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार, \( a_6 + a_{10} = 44 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 5d + a + 9d = 44 \)
\(
\Rightarrow\) \( 2a + 14d = 44 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + 7d = 22 \)
समीकरण (1) से \( a \) का मान रखने पर,
\( (12 - 5d) + 7d = 22 \) \(
\Rightarrow\) \( 2d = 10 \) \(
\Rightarrow\) \( d = 5 \)
समीकरण (1) में \( d \) का मान रखने पर, \( a = 12 - 5(5) = -13 \)
इस A.P. के प्रथम तीन पद: \( a, a + d, a + 2d = -13, -8, -3 \) हैं।

Exam Tips:

a) दोनों शर्तों से दो रैखिक समीकरण बनाएं।
b) समीकरणों को हल करके \( a \) और \( d \) का मान निकालें।
c) प्रथम तीन पद निकालने के लिए श्रेणी के मानक रूप का प्रयोग करें।

Question 19: सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरंभ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उनका वेतन ₹ 7000 हो गया?

Answer:

आरंभिक मासिक वेतन = \( a = \text{₹ } 5000 \) तथा प्रत्येक वर्ष वेतन वृद्धि (सार्व अंतर) = \( d = \text{₹ } 200 \)
माना, \( n \) वर्ष में उनका वेतन ₹ 7000 हो गया।
इसलिए, \( a_n = 7000 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 7000 \)
\(
\Rightarrow\) \( 5000 + (n - 1)(200) = 7000 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(200) = 2000 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = 10 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 11 \)
अतः, 11वें वर्ष में उनका वेतन ₹ 7000 हो गया।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के व्यावहारिक प्रश्नों में पहले A.P. के पद पहचानें।
b) \( a \) और \( d \) के मान लिखकर सूत्र में रखें।
c) अंतिम वर्ष ज्ञात करने के लिए गणना करें।

Question 20: रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बढ़ती गई। यदि \( n \) वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो \( n \) ज्ञात कीजिए।

Answer:

प्रथम सप्ताह की बचत = \( a = \text{₹ } 5 \) तथा बढ़ाई गई साप्ताहिक बचत (सार्व अंतर) = \( d = \text{₹ } 1.75 \)
\( n \) वर्ष में साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है।
इसलिए, \( a_n = 20.75 \)
\(
\Rightarrow\) \( a + (n - 1)d = 20.75 \)
\(
\Rightarrow\) \( 5 + (n - 1)(1.75) = 20.75 \)
\(
\Rightarrow\) \( (n - 1)(1.75) = 15.75 \)
\(
\Rightarrow\) \( n - 1 = \frac{15.75}{1.75} = 9 \) \(
\Rightarrow\) \( n = 10 \)
अतः, \( n \) का मान 10 है।

Exam Tips:

a) प्रारंभिक राशि को प्रथम पद \( a \) और वृद्धि को सार्व अंतर \( d \) मानें।
b) दशमलव संख्याओं के भाग को सावधानी से हल करें।
c) उत्तर की सत्यता की जांच करें।