NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 04 Quadratic Equations (द्विघात समीकरण) Exercise 4.3 in Hindi

Question 1: निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो तो उन्हें ज्ञात कीजिए।
(i) \( 2x^2 - 3x + 5 = 0 \)
(ii) \( 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0 \)
(iii) \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \)

Answer:

(i) \( 2x^2 - 3x + 5 = 0 \)
दिया गया समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के प्रकार का है, जहाँ \( a = 2, b = -3 \) और \( c = 5 \) है।
इसलिए, विविक्तकर \( b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 5 = 9 - 40 = -31 < 0 \)
अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
(ii) \( 3x^2 - 4\sqrt{3}x + 4 = 0 \)
दिया गया समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के प्रकार का है, जहाँ \( a = 3, b = -4\sqrt{3} \) और \( c = 4 \) है।
इसलिए, विविक्तकर \( b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \times 3 \times 4 = 48 - 48 = 0 \)
अतः दिए गए समीकरण के वास्तविक और समान मूल हैं।
अतः \( x = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) [क्योंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)]
अतः दिए गए समीकरण के मूल \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) और \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) हैं।
(iii) \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \)
दिया गया समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के प्रकार का है, जहाँ \( a = 2, b = -6 \) और \( c = 3 \) है।
इसलिए, विविक्तकर \( b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 36 - 24 = 12 > 0 \)
अतः दिए गए समीकरण के वास्तविक और असमान मूल हैं।
अतः \( x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} \) [क्योंकि \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)]
अर्थात \( x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \) या \( x = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \) और \( \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \) हैं।

Exam Tips:

a) द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति जानने के लिए सबसे पहले विविक्तकर (\( D = b^2 - 4ac \)) की गणना करें।
b) यदि \( D \ge 0 \) हो, तभी द्विघात सूत्र का उपयोग करके मूल ज्ञात करें।
c) करणी (Square root) वाले पदों को सरल करते समय सावधानी बरतें।

Question 2: निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में \( k \) का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों।
(i) \( 2x^2 + kx + 3 = 0 \)
(ii) \( kx(x - 2) + 6 = 0 \)

Answer:

(i) \( 2x^2 + kx + 3 = 0 \)
\( 2x^2 + kx + 3 = 0 \) के लिए: यहाँ \( a = 2, b = k, c = 3 \) है।
इसलिए \( b^2 - 4ac = (k)^2 - 4 \times 2 \times 3 = k^2 - 24 \) है।
क्योंकि समीकरण के दोनों मूल बराबर हैं, अतः \( k^2 - 24 = 0 \)
\(
\Rightarrow k^2 = 24 \)
\(
\Rightarrow k = \pm\sqrt{24} \)
\(
\Rightarrow k = \pm 2\sqrt{6} \)
(ii) \( kx(x - 2) + 6 = 0 \)
सरल करने पर \( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \)
\( kx^2 - 2kx + 6 = 0 \) के लिए: यहाँ \( a = k, b = -2k, c = 6 \) है।
इसलिए \( b^2 - 4ac = (-2k)^2 - 4 \times k \times 6 = 4k^2 - 24k \) है।
क्योंकि समीकरण के दोनों मूल बराबर हैं, अतः \( 4k^2 - 24k = 0 \)
\(
\Rightarrow 4k(k - 6) = 0 \)
\(
\Rightarrow 4k = 0 \) या \( (k - 6) = 0 \)
\(
\Rightarrow k = 0 \) या \( k = 6 \)
लेकिन \( k \neq 0 \) क्योंकि यह समीकरण \( kx(x - 2) + 6 = 0 \) को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए \( k = 6 \)

Exam Tips:

a) बराबर मूल होने की शर्त \( b^2 - 4ac = 0 \) का प्रयोग करें।
b) समीकरण को मानक रूप \( ax^2 + bx + c = 0 \) में बदलकर ही \( a, b, c \) के मान निकालें।
c) \( x^2 \) के गुणांक का मान शून्य नहीं होना चाहिए, इसलिए \( k \) के मान की जाँच अवश्य करें।

Question 3: क्या ऐसी आम की बगिया बनाना संभव है जिसकी लंबाई, चौड़ाई से दुगुनी हो और उसका क्षेत्रफल \( 800\text{ m}^2 \) हो? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना बगिया की चौड़ाई = \( x\text{ m} \)
इसलिए, बगिया की लंबाई = \( 2x\text{ m} \)
इसलिए, क्षेत्रफल = \( x \times 2x = 2x^2 \)
प्रश्नुसार, \( 2x^2 = 800 \)
\(
\Rightarrow x^2 = 400 \)
\(
\Rightarrow x = \pm 20 \)
क्योंकि बगिया की चौड़ाई ऋनात्मक नहीं हो सकती, अतः बगिया की चौड़ाई = \( 20\text{ m} \)
इसलिए, बगिया की लंबाई = \( 2 \times 20 = 40\text{ m} \)

Exam Tips:

a) लंबाई और चौड़ाई जैसी विमाएँ कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकती हैं।
b) समीकरण को हल करने के बाद व्यावहारिक स्थिति के अनुसार मान का चयन करें।
c) क्षेत्रफल की इकाई वर्ग मीटर (\( \text{m}^2 \)) में लिखें।

Question 4: क्या निम्न स्थिति संभव है? यदि है तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।

Answer:

माना पहले मित्र की आयु = x वर्ष
इसलिए, दूसरे मित्र की आयु = 20 - x वर्ष
चार वर्ष पूर्व:
पहले मित्र की आयु = x - 4 वर्ष
दूसरे मित्र की आयु = 20 - x - 4 = 16 - x वर्ष
प्रश्नुसार,
\( (x - 4)(16 - x) = 48 \)
\(
\Rightarrow 16x - x^2 - 64 + 4x = 48 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 20x + 112 = 0 \)
\( x^2 - 20x + 112 = 0 \) के लिए: यहाँ \( a = 1, b = -20, c = 112 \) है।
इसलिए \( b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \times 1 \times 112 = 400 - 448 = -48 < 0 \) है।
अतः दिए गए समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
इसलिए, यह स्थिति संभव नहीं है।

Exam Tips:

a) आयु से संबंधित प्रश्नों में वर्तमान आयु को चर (\( x \)) मानकर आगे की या भूतकाल की आयु निकालें।
b) विविक्तकर की जाँच करके ही यह सुनिश्चित करें कि दी गई स्थिति संभव है या नहीं।
c) गुणनफल करते समय बीजगणितीय नियमों का ध्यान रखें।

Question 5: क्या परिमाप \( 80\text{ m} \) तथा क्षेत्रफल \( 400\text{ m}^2 \) के एक पार्क को बनाना संभव है? यदि है, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Answer:

माना पार्क की लंबाई = \( x \)
परिमाप = \( 80\text{ m} \)
इसलिए, पार्क की चौड़ाई = \( 40 - x\text{ m} \) [क्योंकि परिमाप = 2(लंबाई + चौड़ाई) ]
प्रश्नुसार, क्षेत्रफल = \( x(40 - x) = 400 \)
\(
\Rightarrow 40x - x^2 = 400 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 40x + 400 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 20x - 20x + 400 = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 20)(x - 20) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 12)^2 = 0 \) या \( (x - 13) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 20) = 0 \), अर्थात \( x = 20 \)
इसलिए, पार्क की लंबाई = \( 20\text{ m} \)
और पार्क की चौड़ाई = \( 40 - 20 = 20\text{ m} \)

Exam Tips:

a) आयत के परिमाप और क्षेत्रफल के सूत्रों का सही उपयोग करें।
b) यदि द्विघात समीकरण के समान मूल आते हैं, तो लंबाई और चौड़ाई बराबर (वर्ग) होंगी।
c) अंत में उत्तर की सत्यता की जाँच परिमाप और क्षेत्रफल के सूत्रों में मान रखकर कर सकते हैं।