NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 04 द्विघात समीकरण
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 04 द्विघात समीकरण
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Question 1: गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए:
(i) \( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
(ii) \( 2x^2 + x - 6 = 0 \)
(iii) \( \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \)
(iv) \( 2x^2 - x + \frac{1}{8} = 0 \)
(v) \( 100x^2 - 20x + 1 = 0 \)
Answer:
(i) \( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर
\( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 5x + 2x + 10 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(x - 5) + 2(x - 5) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 5)(x + 2) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 5) = 0 \) या \( (x + 2) = 0 \)
अर्थात \( x = 5 \) या \( x = -2 \)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \( 5 \) और \( -2 \) हैं।
(ii) \( 2x^2 + x - 6 = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर
\( 2x^2 + x - 6 = 0 \)
\(
\Rightarrow 2x^2 - 4x + 3x - 6 = 0 \)
\(
\Rightarrow 2x(x - 2) + 3(x - 2) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 2)(2x + 3) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 2) = 0 \) या \( (2x + 3) = 0 \)
अर्थात \( x = 2 \) या \( x = -\frac{3}{2} \)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \( 2 \) और \( -\frac{3}{2} \) हैं।
(iii) \( \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर
\( \sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0 \)
\(
\Rightarrow \sqrt{2}x^2 + 5x + 2x + 5\sqrt{2} = 0 \)
\(
\Rightarrow x(\sqrt{2}x + 5) + \sqrt{2}(\sqrt{2}x + 5) = 0 \)
\(
\Rightarrow (\sqrt{2}x + 5)(x + \sqrt{2}) = 0 \)
\(
\Rightarrow (\sqrt{2}x + 5) = 0 \) या \( (x + \sqrt{2}) = 0 \)
अर्थात \( x = -\frac{5}{\sqrt{2}} \) या \( x = -\sqrt{2} \)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \( -\frac{5}{\sqrt{2}} \) और \( -\sqrt{2} \) हैं।
(iv) \( 2x^2 - x + \frac{1}{8} = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर
\( 16x^2 - 8x + 1 = 0 \)
\(
\Rightarrow 16x^2 - 4x - 4x + 1 = 0 \)
\(
\Rightarrow 4x(4x - 1) - 1(4x - 1) = 0 \)
\(
\Rightarrow (4x - 1)(4x - 1) = 0 \)
\(
\Rightarrow (4x - 1) = 0 \) या \( (4x - 1) = 0 \)
अर्थात \( x = \frac{1}{4} \) या \( x = \frac{1}{4} \)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{1}{4} \) और \( \frac{1}{4} \) हैं।
(v) \( 100x^2 - 20x + 1 = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर, \( 100x^2 - 20x + 1 = 0 \)
\(
\Rightarrow 100x^2 - 10x - 10x + 1 = 0 \)
\(
\Rightarrow 10x(10x - 1) - 10(10x - 1) = 0 \)
\(
\Rightarrow (10x - 1)(10x - 1) = 0 \)
\(
\Rightarrow (10x - 1) = 0 \) या \( (10x - 1) = 0 \)
अर्थात \( x = \frac{1}{10} \) या \( x = \frac{1}{10} \)
अतः दिए गए द्विघात समीकरण के मूल \( \frac{1}{10} \) और \( \frac{1}{10} \) हैं।
Exam Tips:
a) मध्य पद को इस प्रकार विभाजित करें कि उनका गुणनफल प्रथम और अंतिम पद के गुणनफल के बराबर हो।
b) गुणनखंड बनाते समय चिह्न का विशेष ध्यान रखें ताकि गलती न हो।
c) भिन्न वाली संख्याओं में समीकरण को सरल करने के लिए पहले लघुत्तम लें।
Question 2: उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल कीजिए।
[उदाहरण में दी गई समस्याएँ \( x^2 - 45x + 324 = 0 \) और \( x^2 - 55x + 750 = 0 \) हैं।]
Answer:
\( x^2 - 45x + 324 = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर, \( x^2 - 45x + 324 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 36x - 9x + 324 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(x - 36) - 9(x - 36) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 36)(x - 9) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 36) = 0 \) या \( (x - 9) = 0 \)
अर्थात \( x = 36 \) या \( x = 9 \)
अतः जॉन और जीवंती के पास आरम्भ में \( 36 \) और \( 9 \) कंचे थे।
\( x^2 - 55x + 750 = 0 \)
द्विघात समीकरण को सरल करने पर
\( x^2 - 55x + 750 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 30x - 25x + 750 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(x - 30) - 25(x - 30) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 30)(x - 25) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 30) = 0 \) या \( (x - 25) = 0 \)
अर्थात \( x = 30 \) या \( x = 25 \)
अतः उस दिन निर्मित किए गए खिलौनों की संख्या \( 30 \) या \( 25 \) है।
Exam Tips:
a) शाब्दिक प्रश्नों को ध्यान से पढ़कर पहले द्विघात समीकरण का निर्माण करें।
b) गुणनखंड विधि से समीकरण को हल करके चर का मान ज्ञात करें।
c) परिणामों की सत्यता की जाँच प्रश्न की शर्तों के अनुसार अवश्य करें।
Question 3: ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग \( 27 \) हो और गुणनफल \( 182 \) हो।
Answer:
माना पहली संख्या = \( x \)
इसलिए, दूसरी संख्या = \( 27 - x \)
प्रश्नुसार, गुणनफल = \( x(27 - x) = 182 \)
\(
\Rightarrow 27x - x^2 = 182 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 27x + 182 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 13x - 14x + 182 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(x - 13) - 14(x - 13) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 13)(x - 14) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 13) = 0 \) या \( (x - 14) = 0 \) अर्थात \( x = 13 \) या \( x = 14 \)
अतः \( 13 \) और \( 14 \) अभीष्ट दो संख्याएँ हैं।
Exam Tips:
a) दो संख्याओं का योग दिए जाने पर एक को \( x \) तथा दूसरी को कुल योग में से \( x \) घटाकर मानें।
b) द्विघात समीकरण के गुणनखंड निकालते समय सावधानी बरतें।
c) दोनों संभावित उत्तरों को प्रश्न की शर्तों के अनुसार सत्यापित करें।
Question 4: दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग \( 365 \) हो।
Answer:
माना पहली संख्या = \( x \),
इसलिए, दूसरी संख्या = \( x + 1 \)
प्रश्नुसार, गुणनफल = \( x^2 + (x + 1)^2 = 365 \)
\(
\Rightarrow x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365 \)
\(
\Rightarrow 2x^2 + 2x - 364 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 + x - 182 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 13x + 14x + 182 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(x - 13) + 14(x - 13) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 13)(x + 14) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 13) = 0 \) या \( (x + 14) = 0 \) अर्थात \( x = 13 \) या \( x = -14 \)
अतः, \( 13 \) और \( 14 \) दो अभीष्ट क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं।
Exam Tips:
a) क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों को \( x \) और \( x + 1 \) मानना सबसे सरल तरीका है।
b) ऋणात्मक मान को प्रश्न में धनात्मक पूर्णांक की शर्त के कारण छोड़ दिया जाता है।
c) समीकरण को सरल रूप में बदलने के लिए उभयनिष्ठ संख्या से भाग दे सकते हैं।
Question 5: एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से \( 7 \) cm कम है। यदि कर्ण \( 13 \) cm का हो, तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना आधार = \( x \) cm
इसलिए, ऊँचाई = \( x - 7 \) cm
दिया है, कर्ण = \( 13 \) cm
पाइथागोरस प्रमेय से, \( x^2 + (x - 7)^2 = 13^2 \)
\(
\Rightarrow x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169 \)
\(
\Rightarrow 2x^2 - 14x - 120 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 7x - 60 = 0 \)
\(
\Rightarrow x^2 - 12x + 5x - 60 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(x - 12) + 5(x - 12) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 12)(x + 5) = 0 \)
\(
\Rightarrow (x - 12) = 0 \) या \( (x + 5) = 0 \) अर्थात \( x = 12 \) या \( x = -5 \)
लेकिन \( x \neq -5 \), क्योंकि \( x \) त्रिभुज की भुजा है।
इसलिए, \( x = 12 \) और दूसरी भुजा \( x - 7 = 12 - 7 = 5 \)
अतः, अन्य दो भुजाएँ \( 12 \) cm और \( 5 \) cm हैं।
Exam Tips:
a) समकोण त्रिभुज के प्रश्नों में हमेशा पाइथागोरस प्रमेय ( आधार^2 + लंब^2 = कर्ण^2 ) का उपयोग करें।
b) भुजा की लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए ऋणात्मक मान को अस्वीकार करें।
c) इकाई (cm) लिखना न भूलें।
Question 6: एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए गए बर्तनों की संख्या के दुगुने से \( 3 \) अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ \( 90 \) थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना बर्तनों की संख्या = \( x \)
इसलिए, एक नग की लागत = \( 2x + 3 \)
प्रश्नुसार, कुल निर्माण लागत = \( x(2x + 3) = 90 \)
\(
\Rightarrow 2x^2 + 3x = 90 \)
\(
\Rightarrow 2x^2 + 3x - 90 = 0 \)
\(
\Rightarrow 2x^2 + 15x - 12x - 90 = 0 \)
\(
\Rightarrow x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0 \)
\(
\Rightarrow (2x + 15)(x - 6) = 0 \)
\(
\Rightarrow (2x + 15) = 0 \) या \( (x - 6) = 0 \)
अर्थात \( x = -\frac{15}{2} \) या \( x = 6 \)
लेकिन \( x \neq -\frac{15}{2} \), क्योंकि \( x \) बर्तनों की संख्या है।
इसलिए, \( x = 6 \) और प्रत्येक नग की लागत = \( 2x + 3 = 2 \times 6 + 3 = 15 \)
अतः, बर्तनों की संख्या = \( 6 \) और प्रत्येक नग की लागत ₹ \( 15 \) है।
Exam Tips:
a) लागत और संख्या के गुणनफल को
कुल लागत के बराबर रखें।
b) वस्तुओं की संख्या एक पूर्ण संख्या और धनात्मक होनी चाहिए।
c) उत्तर में बर्तनों की संख्या और मूल्य दोनों स्पष्ट रूप से लिखें।
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