NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 03 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 03 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
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Question 1: निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।
(i) कक्षा \( X \) के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो, तो प्रतियोगिता में भाग लिए लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: इसमें दो रैखिक समीकरणों \( x + y = 10 \) और \( x - y = 4 \) तथा \( 5x + 7y = 50 \) और \( 7x + 5y = 46 \) के ग्राफीय निरूपण को दर्शाया गया है जिसमें दोनों रेखाएँ एक निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(i) माना, लड़कियों की संख्या \( = x \) तथा माना, लड़कों की संख्या \( = y \)
विद्यार्थियों की कुल संख्या \( = 10 \)
इसलिए, \( x + y = 10 \) ... (1)
प्रश्नुसार, लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक है, इसलिए
\( x = y + 4 \) ... (2)
ग्राफीय रूप इसप्रकार है: प्रत्येक समीकरण के तीन हल के लिए, समीकरण (1) से
\( x = 10 - y \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 5, 4, 6 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 5, 6, 4 \)
समीकरण (2) से
\( x = y + 4 \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 5, 4, 3 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 1, 0, -1 \)
(ii) माना, एक पेंसिल का मूल्य \( = \text{₹ } x \) तथा माना, एक कलम का मूल्य \( = \text{₹ } y \)
पहली शर्त के अनुसार, \( 5x + 7y = 50 \) ... (1)
दूसरी शर्त के अनुसार, \( 7x + 5y = 46 \) ... (2)
ग्राफीय रूप इसप्रकार है:
प्रत्येक समीकरण के तीन हल के लिए, समीकरण (1) से
\( x = \frac{50 - 7y}{5} \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 3, 10, -4 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 5, 0, 10 \)
समीकरण (2) से
\( x = \frac{46 - 5y}{7} \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 8, 3, -2 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( -2, 5, 12 \)
लड़कियों की संख्या 7 और लड़कों की संख्या 3 है। पेंसिल का मूल्य ₹ 3 और कलम का मूल्य ₹ 5 है।
Exam Tips:
a) ग्राफीय विधि से हल निकालते समय रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक सावधानीपूर्वक पढ़ें।
b) समीकरण बनाते समय चरों (variables) को सही ढंग से परिभाषित करें।
c) सारणी बनाते समय कम से कम तीन मानों की गणना करें ताकि त्रुटि की संभावना न रहे।
Question 2: अनुपातों \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} \) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं अथवा संपाती हैं:
(i) \( 5x - 4y + 8 = 0 \) और \( 7x + 6y - 9 = 0 \)
(ii) \( 9x + 3y + 12 = 0 \) और \( 18x + 6y + 24 = 0 \)
(iii) \( 6x - 3y + 10 = 0 \) और \( 2x - y + 9 = 0 \)
Answer:
(i) \( 5x - 4y + 8 = 0 \)
\( 7x + 6y - 9 = 0 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), इसलिए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
(ii) \( 9x + 3y + 12 = 0 \)
\( 18x + 6y + 24 = 0 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ संपाती हैं।
(iii) \( 6x - 3y + 10 = 0 \)
\( 2x - y + 9 = 0 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = \frac{3}{1} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समांतर हैं।
Exam Tips:
a) मानक रूप \( ax + by + c = 0 \) से तुलना करते समय चिन्हों का विशेष ध्यान रखें।
b) अनुपातों को हमेशा सरलतम रूप में लिखकर तुलना करें।
Question 3: अनुपातों \( \frac{a_1}{a_2}, \frac{b_1}{b_2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} \) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं या असंगत:
(i) \( 3x + 2y = 5; 2x - 3y = 7 \)
(ii) \( 2x - 3y = 8; 4x - 6y = 9 \)
(iii) \( \frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7; 9x - 10y = 14 \)
(iv) \( 5x - 3y = 11; -10x + 6y = -22 \)
(v) \( \frac{4}{3}x + 2y = 8; 2x + 3y = 12 \)
Answer:
(i) \( 3x + 2y = 5 \)
\( 2x - 3y = 7 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{2} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{-3} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।
(ii) \( 2x - 3y = 8 \)
\( 4x - 6y = 9 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{9} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं।
(iii) \( \frac{3}{2}x + \frac{5}{3}y = 7 \)
\( 9x - 10y = 14 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{3/2}{9} = \frac{1}{6} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{5/3}{-10} = \frac{-1}{6} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।
(iv) \( 5x - 3y = 11 \)
\( -10x + 6y = -22 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{-10} = \frac{-1}{2} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{6} = \frac{-1}{2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{11}{-22} = \frac{-1}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।
(v) \( \frac{4}{3}x + 2y = 8 \)
\( 2x + 3y = 12 \)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3} \), \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{3} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।
Exam Tips:
a) संगत युग्म के लिए अद्वितीय हल या अपरिमित रूप से अनेक हल होने आवश्यक हैं।
b) असंगत युग्म केवल समांतर रेखाओं के स्थिति में होता है जब कोई हल नहीं होता।
Question 4: निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए।
(i) \( x + y = 5, 2x + 2y = 10 \)
(ii) \( x - y = 8, 3x - 3y = 16 \)
(iii) \( 2x + y - 6 = 0, 4x - 2y - 4 = 0 \)
(iv) \( 2x - 2y - 2 = 0, 4x - 4y - 5 = 0 \)}
Answer:
आकृति का विवरण: इसमें रैखिक समीकरणों के युग्मों के ग्राफीय निरूपण को दिखाया गया है जिसमें संपाती और प्रतिच्छेदी रेखाओं के हल प्रदर्शित किए गए हैं।
(i) \( x + y = 5 \) ... (1)
\( 2x + 2y = 10 \) ... (2)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।
प्रत्येक समीकरण के तीन हल के लिए, समीकरण (1) से \( x = 5 - y \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 4, 3, 2 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 1, 2, 3 \)
समीकरण (2) से \( x = \frac{10 - 2y}{2} \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 4, 3, 2 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 1, 2, 3 \)
(ii) \( x - y = 8 \) ... (1)
\( 3x - 3y = 16 \) ... (2)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं।
(iii) \( 2x + y - 6 = 0 \) ... (1)
\( 4x - 2y - 4 = 0 \) ... (2)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \) और \( \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।
प्रत्येक समीकरण के तीन हल के लिए, समीकरण (1) से \( x = \frac{6 - y}{2} \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 0, 1, 2 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 6, 4, 2 \)
समीकरण (2) से \( x = \frac{4 + 2y}{4} \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 1, 2, 3 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 0, 2, 4 \)
(iv) \( 2x - 2y - 2 = 0 \) ... (1)
\( 4x - 4y - 5 = 0 \) ... (2)
यहाँ \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \) और \( \frac{c_1}{c_2} = \frac{-2}{-5} = \frac{2}{5} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \), इसलिए रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं।
Exam Tips:
a) संगत होने पर ही ग्राफीय विधि से हल ज्ञात करें।
b) यदि रेखाएँ संपाती हैं, तो उनके अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।
Question 5: एक आयताकार बाग, जिसकी लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्dhपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: इस आरेख में आयताकार बाग की विमाओं को ज्ञात करने के लिए दो रैखिक समीकरणों के ग्राफीय प्रतिच्छेदन बिंदु \( (16, 20) \) को दर्शाया गया है।
माना, आयताकार बाग की चौड़ाई \( = x \text{ m} \) तथा
माना, आयताकार बाग की लंबाई \( = y \text{ m} \)
अर्धपरिमाप \( = 36 \text{ m} \)
\(
\Rightarrow\) \( \frac{1}{2}(2(x + y)) = 36 \)
\(
\Rightarrow\) \( x + y = 36 \) ... (1)
प्रश्नुसार, बाग की लंबाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, इसलिए
\( y = x + 4 \) ... (2)
समीकरण (1) से \( x = 36 - y \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 0, 36, 16 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 36, 0, 20 \)
समीकरण (2) से \( y = x + 4 \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 0, 8, 12 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 4, 8, 16 \)
दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिंदु \( (16, 20) \) है। अतः बाग की चौड़ाई \( 16 \text{ m} \) तथा लंबाई \( 20 \text{ m} \) है।
Exam Tips:
a) अर्धपरिमाप का अर्थ लंबाई और चौड़ाई का योग होता है।
b) उत्तर ज्ञात करने के बाद उसे प्रश्न की शर्तों के साथ सत्यापित अवश्य करें।
Question 6: एक रैखिक समीकरण \( 2x + 3y - 8 = 0 \) दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामिति निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समांतर रेखाएँ हों।
(iii) संपाती रेखाएँ हों।
Answer:
(i) दी गई रेखा \( 2x + 3y - 8 = 0 \) तथा प्रतिच्छेद करती रेखा \( x + 3y - 10 = 0 \), क्योंकि \( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)
(ii) दी गई रेखा \( 2x + 3y - 8 = 0 \) तथा समांतर रेखा \( 4x + 6y - 9 = 0 \), क्योंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} \)
(iii) दी गई रेखा \( 2x + 3y - 8 = 0 \) तथा संपाती रेखा \( 4x + 6y - 16 = 0 \), क्योंकि \( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} \)
Exam Tips:
a) ऐसे प्रश्नों के कई उत्तर संभव हो सकते हैं, शर्त केवल अनुपातों के नियमों का पालन करना है।
b) समीकरण लिखते समय गुणांकों के अनुपात की जाँच मन में अवश्य कर लें।
Question 7: समीकरणों \( x - y + 1 = 0 \) और \( 3x + 2y - 12 = 0 \) का ग्राफ खींचीए। \( x \)-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
Answer:
आकृति का विवरण: इस आरेख में समीकरणों \( x - y + 1 = 0 \) और \( 3x + 2y - 12 = 0 \) के ग्राफीय निरूपण को दिखाया गया है, जहाँ दोनों रेखाएँ और \( x \)-अक्ष मिलकर एक त्रिभुज बनाते हैं जिसके शीर्ष \( (-1, 0), (4, 0) \) और \( (2, 3) \) हैं।
प्रत्येक समीकरण के तीन हल के लिए, समीकरण (1) से \( x = y - 1 \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 0, 1, 2 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 1, 2, 3 \)
समीकरण (2) से \( x = \frac{12 - 2y}{3} \)
\( x \) के मान तालिका के अनुसार: \( 4, 2, 0 \)
\( y \) के मान तालिका के अनुसार: \( 0, 3, 6 \)
\( x \)-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक \( (-1, 0), (4, 0) \) और \( (2, 3) \) हैं।
Exam Tips:
a) त्रिभुज के शीर्ष निकालते समय ग्राफ पर \( x \)-अक्ष के कटान बिंदुओं को ध्यान से देखें।
b) छायांकित क्षेत्र को स्पष्ट रूप से दर्शाएँ ताकि परीक्षक को आसानी से दिखाई दे।
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