NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 02 Polynomials (बहुपद) Exercise 2.2 in Hindi

Question 1: निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यांक ज्ञात कीजिए और शून्यांकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए: (i) \( x^2 - 2x - 8 \) (ii) \( 4s^2 - 4s + 1 \) (iii) \( 6x^2 - 3 - 7x \) (iv) \( 4u^2 + 8u \) (v) \( t^2 - 15 \) (vi) \( 3x^2 - x - 4 \)

Answer:

(i) \( x^2 - 2x - 8 \)
हम पाते हैं:
\( x^2 - 2x - 8 \)
\(= x^2 - 4x + 2x - 8\)
\(= x(x - 4) + 2(x - 4) \)
\(= (x + 2)(x - 4) \)
इसलिए, \( x^2 - 2x - 8 \) का मान शून्य है, जब \( x + 2 = 0 \) है या \( x - 4 = 0 \) है,
अर्थात जब \( x = -2 \) या \( x = 4 \) हो।
इसलिए, \( x^2 - 2x - 8 \) के शून्यांक \( -2 \) और \( 4 \) हैं। अब
शून्यांकों का योग = -2 + 4 = 2 = \frac{-(-2)}{1} = \frac{-(x का गुणांक)}{x^2 का गुणांक}
शून्यांकों का गुणनफल = (-2) \times 4 = -8 = \frac{-8}{1} = \frac{अचर पद}{x^2 का गुणांक}
(ii) \( 4s^2 - 4s + 1 \)
हम पाते हैं:
\( 4s^2 - 4s + 1 \)
\(= 4s^2 - 2s - 2s + 1\)
\(= 2s(2s - 1) - 1(2s - 1) \)
\(= (2s - 1)(2s - 1) \)
इसलिए, \( 4s^2 - 4s + 1 \) का मान शून्य है, जब \( 2s - 1 = 0 \) है,
अर्थात जब \( s = \frac{1}{2} \) हो।
इसलिए, \( 4s^2 - 4s + 1 \) के शून्यांक \( \frac{1}{2} \) और \( \frac{1}{2} \) हैं। अब
शून्यांकों का योग = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = \frac{-(-4)}{4} = \frac{-(s का गुणांक)}{s^2 का गुणांक}
शून्यांकों का गुणनफल = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{अचर पद}{s^2 का गुणांक}
(iii) \( 6x^2 - 3 - 7x \)
हम पाते हैं:
\( 6x^2 - 3 - 7x = 6x^2 - 7x - 3 = 6x^2 - 9x + 2x - 3 = 3x(2x - 3) + 1(2x - 3) \)
\(= (3x + 1)(2x - 3) \)
इसलिए, \( 6x^2 - 7x - 3 \) का मान शून्य है, जब \( 3x + 1 = 0 \) है या \( 2x - 3 = 0 \) है,
अर्थात जब \( x = -\frac{1}{3} \) या \( x = \frac{3}{2} \) हो।
इसलिए, \( 6x^2 - 7x - 3 \) के शून्यांक \( -\frac{1}{3} \) और \( \frac{3}{2} \) हैं। अब
शून्यांकों का योग = -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{-2 + 9}{6} = \frac{7}{6} = \frac{-(-7)}{6} = \frac{-(x का गुणांक)}{x^2 का गुणांक}
शून्यांकों का गुणनफल = \left(-\frac{1}{3}\right) \times \frac{3}{2} = -\frac{3}{6} = \frac{-3}{6} = \frac{अचर पद}{x^2 का गुणांक}
(iv) \( 4u^2 + 8u \)
हम पाते हैं:
\( 4u^2 + 8u = 4u^2 + 8u = 4u(u + 2) \)
इसलिए, \( 4u^2 + 8u \) का मान शून्य है, जब \( 4u = 0 \) है या \( u + 2 = 0 \) है,
अर्थात जब \( u = 0 \) या \( u = -2 \) हो।
इसलिए, \( 4u^2 + 8u \) के शून्यांक \( 0 \) और \( -2 \) हैं। अब
शून्यांकों का योग = 0 + (-2) = -2 = \frac{-(8)}{4} = \frac{-(u का गुणांक)}{u^2 का गुणांक}
शून्यांकों का गुणनफल = 0 \times (-2) = 0 = \frac{0}{4} = \frac{अचर पद}{u^2 का गुणांक}
(v) \( t^2 - 15 \)
हम पाते हैं:
\( t^2 - 15 = t^2 - (\sqrt{15})^2 = (t + \sqrt{15})(t - \sqrt{15}) \)
इसलिए, \( t^2 - 15 \) का मान शून्य है, जब \( t + \sqrt{15} = 0 \) है या \( t - \sqrt{15} = 0 \) है,
अर्थात जब \( x = -\sqrt{15} \) या \( x = \sqrt{15} \) हो।
इसलिए, \( t^2 - 15 \) के शून्यांक \( -\sqrt{15} \) और \( \sqrt{15} \) हैं। अब
शून्यांकों का योग = -\sqrt{15} + \sqrt{15} = 0 = \frac{-(0)}{1} = \frac{-(t का गुणांक)}{t^2 का गुणांक}
शून्यांकों का गुणनफल = (-\sqrt{15}) \times \sqrt{15} = -15 = \frac{-15}{1} = \frac{अचर पद}{t^2 का गुणांक}
(vi) \( 3x^2 - x - 4 \)
हम पाते हैं:
\( 3x^2 - x - 4 = 3x^2 - 4x + 3x - 4 = x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (3x - 4)(x + 1) \)
इसलिए, \( 3x^2 - x - 4 \) का मान शून्य है, जब \( 3x - 4 = 0 \) है या \( x + 1 = 0 \) है,
अर्थात जब \( x = \frac{4}{3} \) या \( x = -1 \) हो।
इसलिए, \( 3x^2 - x - 4 \) के शून्यांक \( \frac{4}{3} \) और \( -1 \) हैं। अब
शून्यांकों का योग = \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3} = \frac{-(-1)}{3} = \frac{-(x का गुणांक)}{x^2 का गुणांक}
शून्यांकों का गुणनफल = \frac{4}{3} \times (-1) = -\frac{4}{3} = \frac{-4}{3} = \frac{अचर पद}{x^2 का गुणांक}

Exam Tips:

a) मध्य पद को विभक्त करके गुणनखंड विधि का अभ्यास करें।
b) शून्यकों तथा गुणांकों के संबंधों के सूत्रों को ठीक से याद रखें।
c) गणना करते समय धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों का विशेष ध्यान रखें।

Question 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यांकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्याएँ हैं: (i) \( \frac{1}{4}, -1 \) (ii) \( \sqrt{2}, \frac{1}{3} \) (iii) \( 0, \sqrt{5} \) (iv) \( 1, 1 \) (v) \( -\frac{1}{4}, \frac{1}{4} \) (vi) \( 4, 1 \)

Answer:

(i) माना कोई द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) है और इसके शून्यांक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम पाते हैं: \( \alpha + \beta = \frac{1}{4} = \frac{-b}{a} \), \( \alpha\beta = -1 = \frac{-4}{4} = \frac{c}{a} \)
तुलना करने पर, \( a = 4, b = -1 \) और \( c = -4 \)
अतः, वह द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं, \( 4x^2 - x - 4 \) है।
(ii) माना कोई द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) है और इसके शून्यांक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम पाते हैं: \( \alpha + \beta = \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \frac{-b}{a} \), \( \alpha\beta = \frac{1}{3} = \frac{c}{a} \)
तुलना करने पर, \( a = 3, b = -3\sqrt{2} \) और \( c = 1 \)
अतः, वह द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं, \( 3x^2 - 3\sqrt{2}x + 1 \) है।
(iii) माना कोई द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) है और इसके शून्यांक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम पाते हैं: \( \alpha + \beta = 0 = \frac{0}{1} = \frac{-b}{a} \), \( \alpha\beta = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \frac{c}{a} \)
तुलना करने पर, \( a = 1, b = 0 \) और \( c = \sqrt{5} \)
अतः, वह द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं, \( x^2 + 0.x + \sqrt{5} \) है।
(iv) माना कोई द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) है और इसके शून्यांक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम पाते हैं: \( \alpha + \beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{-b}{a} \), \( \alpha\beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{c}{a} \)
तुलना करने पर, \( a = 1, b = -1 \) और \( c = 1 \)
अतः, वह द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं, \( x^2 - x + 1 \) है।
(v) माना कोई द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) है और इसके शून्यांक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम पाते हैं: \( \alpha + \beta = -\frac{1}{4} = \frac{-b}{a} \), \( \alpha\beta = \frac{1}{4} = \frac{c}{a} \)
तुलना करने पर, \( a = 4, b = 1 \) और \( c = 1 \)
अतः, वह द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं, \( 4x^2 + x + 1 \) है।
(vi) माना कोई द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) है और इसके शून्यांक \( \alpha \) और \( \beta \) हैं।
हम पाते हैं: \( \alpha + \beta = 4 = \frac{4}{1} = \frac{-b}{a} \), \( \alpha\beta = 1 = \frac{1}{1} = \frac{c}{a} \)
तुलना करने पर, \( a = 1, b = -4 \) और \( c = 1 \)
अतः, वह द्विघात बहुपद, जिसमें दी गई शर्ते संतुष्ट होती हैं, \( x^2 - 4x + 1 \) है।

Exam Tips:

a) मानक द्विघात बहुपद \( ax^2 + bx + c \) के रूप को हमेशा याद रखें।
b) योग और गुणनफल को \( -b/a \) और \( c/a \) के पदों में तुलना करके गुणांक निकालें।
c) भिन्नों को हल करते समय हर (denominator) को समान करना न भूलें।