NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 01 Real Numbers (वास्तविक संख्याएँ) Exercise 1.2 in Hindi

Question 1: सिद्ध कीजिए कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

Answer:

मान लीजिए कि \( \sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, माना
\( \sqrt{5} = \frac{a}{b}, \quad b \neq 0. \)
जहाँ \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं तथा \( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
\( a = \sqrt{5}b \)
\( \Rightarrow a^2 = 5b^2 \quad \dots (1) \)
अतः, \( 5, a^2 \) को विभाजित करता है।
इसलिए, \( 5, a \) को विभाजित करेगा। \quad \( \dots (2) \)
अब, माना, \( a = 5k \), जहाँ \( k \) कोई पूर्णांक है।
समीकरण (1) में \( a \) मान रखने पर,
\( (5k)^2 = 5b^2 \)
\( \Rightarrow 5k^2 = b^2 \)
अतः, \( 5, b^2 \) को विभाजित करता है।
इसलिए, \( 5, b \) को विभाजित करेगा। \quad \( \dots (3) \)
इस प्रकार, समीकरण (2) और (3) से, हमें यह पता चलता है कि \( a \) और \( b \) का उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 5 \) है। जो हमारी कल्पना (\( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है) के विपरीत है।
यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि \( \sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है। अतः, \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

Exam Tips:

a) इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए हमेशा विरोधाभास विधि (Method of Contradiction) का प्रयोग करें।
b) पूर्णांकों और उनके अभाज्य गुणनखंडों के संबंध (प्रमेय) का सही उल्लेख करना न भूलें।
c) अंत में निष्कर्ष स्पष्ट रूप से लिखें कि आपकी शुरुआती मान्यता गलत थी।

Question 2: सिद्ध कीजिए कि \( 3 + 2\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

Answer:

मान लीजिए कि \( 3 + 2\sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, माना
\( 3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}, \quad b \neq 0. \)
जहाँ \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं तथा \( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
\( 3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b} \)
\( \Rightarrow 2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 \)
\( \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b} - 3\right) \)
क्योंकि \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं, इसलिए \( \left(\frac{a}{b} - 3\right) \) एक परिमेय संख्या है। इसलिए, \( \sqrt{5} \) भी एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु हम जानते हैं कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि \( 3 + 2\sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है। अतः, \( 3 + 2\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

Exam Tips:

a) अपरिमेय पद (\( \sqrt{5} \)) को समीकरण के एक तरफ अकेला करने का प्रयास करें।
b) यह दर्शाएं कि परिमेय संख्याओं का अंतर या भागफल भी परिमेय होता है।
c) ज्ञात तथ्य कि \( \sqrt{5} \) अपरिमेय है, का उपयोग करके अपना उत्तर सिद्ध करें।

Question 3: सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं: (i) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) (ii) \( 7\sqrt{5} \) (iii) \( 6 + \sqrt{2} \)

Answer:

(i) \( \frac{1}{\sqrt{2}} \)
मान लीजिए कि \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, माना
\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b}, \quad b \neq 0. \)
जहाँ \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं तथा \( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
\( \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{b} \)
\( \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{b}{a} \)
\( \Rightarrow 2a^2 = b^2 \quad \dots (1) \)
अतः, \( 2, b^2 \) को विभाजित करता है।
इसलिए, \( 2, b \) को विभाजित करेगा। \quad \( \dots (2) \)
अब, माना, \( b = 2k \), जहाँ \( k \) कोई पूर्णांक है।
समीकरण (1) में \( b \) मान रखने पर,
\( 2a^2 = (2k)^2 \)
\( \Rightarrow a^2 = 2k^2 \)
अतः, \( 2, a^2 \) को विभाजित करता है।
इसलिए, \( 2, a \) को विभाजित करेगा। \quad \( \dots (3) \)
इस प्रकार, समीकरण (2) और (3) से, हमें यह पता चलता है कि \( a \) और \( b \) का उभयनिष्ठ गुणनखंड \( 2 \) है। जो हमारी कल्पना (\( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है) के विपरीत है।
यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक परिमेय संख्या है। अतः, \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) एक अपरिमेय संख्या है।

(ii) \( 7\sqrt{5} \)
मान लीजिए कि \( 7\sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, माना
\( 7\sqrt{5} = \frac{a}{b}, \quad b \neq 0. \)
जहाँ \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं तथा \( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
\( 7\sqrt{5} = \frac{a}{b} \)
\( \Rightarrow \sqrt{5} = \frac{a}{7b} \)
क्योंकि \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं, इसलिए \( \frac{a}{7b} \) एक परिमेय संख्या है। इसलिए, \( \sqrt{5} \) भी एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु हम जानते हैं कि \( \sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि \( 7\sqrt{5} \) एक परिमेय संख्या है। अतः, \( 7\sqrt{5} \) एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) \( 6 + \sqrt{2} \)
मान लीजिए कि \( 6 + \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है।
इसलिए, माना
\( 6 + \sqrt{2} = \frac{a}{b}, \quad b \neq 0. \)
जहाँ \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं तथा \( a \) और \( b \) में, \( 1 \) के अतिरिक्त, कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।
\( 6 + \sqrt{2} = \frac{a}{b} \)
\( \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{a}{b} - 6 \)
\( \Rightarrow \sqrt{2} = \frac{a - 6b}{b} \)
क्योंकि \( a \) और \( b \) पूर्णांक हैं, इसलिए \( \frac{a - 6b}{b} \) एक परिमेय संख्या है। इसलिए, \( \sqrt{2} \) भी एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु हम जानते हैं कि \( \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण हुआ है कि \( 6 + \sqrt{2} \) एक परिमेय संख्या है। अतः, \( 6 + \sqrt{2} \) एक अपरिमेय संख्या है।

Exam Tips:

ا) भिन्न वाली संख्या (\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)) के लिए व्युत्क्रम (reciprocal) लेकर हल करें।
b) गुणन वाले प्रश्नों (\( 7\sqrt{5} \)) में अचर संख्या को हर (denominator) में भेजकर परिमेय भाग अलग करें।
c) योग वाले प्रश्नों (\( 6 + \sqrt{2} \)) में परिमेय पद का पक्षांतर करके अपरिमेय पद को अकेला छोड़ें।