NCERT Solutions for Class 10 Mathematics: Chapter 01 वास्तविक संख्याएँ
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Practice Class 10 Mathematics Solutions: Chapter 01 वास्तविक संख्याएँ
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Question 1: निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए: (i) \(140\) (ii) \(156\) (iii) \(3825\) (iv) \(5005\) (v) \(7429\)
Answer:
(i) \(140 = 2 \times 2 \times 5 \times 7 = 2^2 \times 5 \times 7\)
(ii) \(156 = 2 \times 2 \times 3 \times 13 = 2^2 \times 3 \times 13\)
(iii) \(3825 = 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 = 3^2 \times 5^2 \times 17\)
(iv) \(5005 = 5 \times 7 \times 11 \times 13\)
(v) \(7429 = 17 \times 19 \times 23\)
Exam Tips:
a) अभाज्य गुणनखंड करते समय सबसे छोटी अभाज्य संख्या यानी 2, 3, 5 से शुरू करें।
b) घातांको के रूप में लिखते समय समान आधार वाली संख्याओं की घातों को जोड़ें।
c) बड़ी संख्याओं जैसे \(7429\) में 17, 19, 23 जैसे बड़े अभाज्यीय अंकों से भाग देकर जाँच करें।
Question 2: पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = \(HCF \times LCM\) है। (i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54
Answer:
(i) 26 और 91
\(26 = 2 \times 13\)
\(91 = 7 \times 13\)
\(HCF = 13\)
\(LCM = 2 \times 7 \times 13 = 182\)
दो संख्याओं का गुणनफल = \(26 \times 91 = 2366\)
\(HCF \times LCM = 13 \times 182 = 2366\)
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = \(HCF \times LCM\)
(ii) 510 और 92
\(510 = 2 \times 3 \times 5 \times 17\)
\(92 = 2 \times 2 \times 23\)
\(HCF = 2\)
\(LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23 = 23460\)
दो संख्याओं का गुणनफल = \(510 \times 92 = 46920\)
\(HCF \times LCM = 2 \times 23460 = 46920\)
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = \(HCF \times LCM\)
(iii) 336 और 54
\(336 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7 = 2^4 \times 3 \times 7\)
\(54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^3\)
\(HCF = 2 \times 3 = 6\)
\(LCM = 2^4 \times 3^3 \times 7 = 3024\)
दो संख्याओं का गुणनफल = \(336 \times 54 = 18144\)
\(HCF \times LCM = 6 \times 3024 = 18144\)
इस प्रकार, दो संख्याओं का गुणनफल = \(HCF \times LCM\)
Exam Tips:
a) HCF निकालते समय सभी उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घात लें।
b) LCM निकालते समय सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घात का गुणा करें।
c) उत्तर की जाँच का सूत्र \( \text{Product} = HCF \times LCM \) केवल दो संख्याओं के लिए ही मान्य है।
Question 3: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए: (i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25
Answer:
(i) 12, 15 और 21
\(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\), \(15 = 3 \times 5\) और \(21 = 3 \times 7\)
\(HCF = 3\)
\(LCM = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420\)
(ii) 17, 23 और 29
\(17 = 1 \times 17\)
\(23 = 1 \times 23\)
\(29 = 1 \times 29\)
\(HCF = 1\)
\(LCM = 17 \times 23 \times 29 = 11339\)
(iii) 8, 9 और 25
\(8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3\)
\(9 = 3 \times 3 = 3^2\)
\(25 = 5 \times 5 = 5^2\)
\(HCF = 1\)
\(LCM = 2^3 \times 3^2 \times 5^2 = 8 \times 9 \times 25 = 1800\)
Exam Tips:
a) तीन संख्याओं वाले प्रश्नों में HCF वह संख्या होती है जो तीनों में सर्वनिष्ठ हो।
b) यदि संख्याओं में कोई भी उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो, तो उनका HCF सदैव 1 होता है।
c) अभाज्य संख्याओं का HCF हमेशा 1 और उनका LCM उनके गुणनफल के बराबर होता है।
Question 4: \(HCF (306, 657) = 9\) दिया है। \(LCM (306, 657)\) ज्ञात कीजिए।
Answer:
\(HCF (306, 657) = 9\)
हम जानते हैं कि,
\(LCM \times HCF = \text{दो संख्याओं का गुणनफल}\)
इसलिए,
\(LCM = \frac{\text{दो संख्याओं का गुणनफल}}{HCF}\)
\(LCM = \frac{306 \times 657}{9}\)
\(LCM = 22338\)
इसप्रकार, \(LCM (306, 657) = 22338\)
Exam Tips:
a) इस प्रकार के प्रश्नों में सीधे सूत्र \(LCM = (\text{संख्याओं का गुणनफल}) \div HCF\) का उपयोग करें।
b) गणना को सरल बनाने के लिए पहले अंश की किसी एक संख्या को हर से काट सकते हैं।
c) उत्तर की पुष्टि के लिए प्राप्त LCM को HCF से गुणा करके संख्याओं के गुणनफल से मिलान करें।
Question 5: जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या \(n\) के लिए, संख्या \(6^n\) अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।
Answer:
यदि कोई संख्या अंक 0 पर समाप्त हो सकती है, तो वह 10 से विभाजित होती है या दूसरे शब्दों में यह संख्या 2 और 5 से विभाजित होगी।
क्योंकि \(10 = 2 \times 5\)
\(6^n\) का अभाज्य गुणनखंडन = \((2 \times 3)^n = 2^n \times 3^n\)
\(6^n\) के अभाज्य गुणनखंडन में 5 नहीं है।
इसलिए \(6^n\), 5 से विभाजित नहीं होगा।
गणित की आधारभूत प्रमेय की अद्वितीयता हमें यह निश्चित कराती है कि \(6^n\) के गुणनखंडन में 2 और 3 के अतिरिक्त और कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।
अतः, किसी भी प्राकृत संख्या \(n\) के लिए, संख्या \(6^n\) अंक 0 पर समाप्त नहीं हो सकती है।
Exam Tips:
a) किसी भी संख्या को शून्य पर समाप्त होने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंडों में 2 और 5 दोनों का होना आवश्यक है।
b) गुणनखंडन की अद्वितीयता प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) का स्पष्ट उल्लेख करें।
c) तर्क को स्पष्ट रूप से लिखकर समझाएं कि 5 की अनुपस्थिति शून्य अंत को असंभव बनाती है।
Question 6: व्याख्या कीजिए कि \(7 \times 11 \times 13 + 13\) और \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5\) भाज्य संख्याएँ क्यों हैं।
Answer:
भाज्य संख्याओं के दो से अधिक भाजक होते हैं।
दी गई संख्या = \(7 \times 11 \times 13 + 13\)
\(= 13 \times (7 \times 11 + 1\)
\(= 13 \times (77 + 1)\)
\(= 13 \times 78\)
\(= 13 \times 13 \times 6\)
इसप्रकार, इस संख्या के दो से अधिक भाजक (\(1, 6, 13\) और ये संख्या) हैं। इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
अब दूसरी दी गई संख्या
\(= 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 5\)
\(= 5 \times (7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 + 1\)
\(= 5 \times (1008 + 1)\)
\(= 5 \times 1009\)
इसप्रकार, इस संख्या के दो से अधिक भाजक (\(1, 5, 1009\) और ये संख्या) हैं। इसलिए यह एक भाज्य संख्या है।
Exam Tips:
a) भाज्य संख्या की परिभाषा याद रखें: ऐसी संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड (भाजक) हों।
b) दिए गए व्यंजक में से उभयनिष्ठ (common) संख्या को बाहर निकालकर गुणनखंड के रूप में प्रदर्शित करें।
c) यह दिखाएं कि संख्या को दो या दो से अधिक अभाज्य या भाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।
Question 7: किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रारम्भ स्थान पर मिलेंगे?
Answer:
रवि को 12 मिनट लगते हैं जबकि सोनिया को 18 मिनट लगते हैं। एक समय बाद दोनों अपने प्रारम्भ स्थान पर होंगे और वह समय 12 और 18 का LCM होगा।
\(18 = 2 \times 3 \times 3\) और,
\(12 = 2 \times 2 \times 3\)
12 और 18 का \(LCM = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 36\)
इसप्रकार, रवि और सोनिया 36 मिनट बाद दोनों अपने प्रारम्भ स्थान पर होंगे।
Exam Tips:
a) ऐसे वृत्ताकार पथ वाले प्रश्नों में जहाँ मिलने का समय पूछा जाए, हमेशा LCM निकाला जाता है।
b) दी गई समय अवधियों (12 और 18) का अभाज्य गुणनखंड विधि से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें।
c) अंतिम उत्तर में मात्रक (मिनट) लिखना न भूलें।
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