Step-by-Step Textbook Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 03 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
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Question 1: निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) \( x + y = 5 \) और \( 2x - 3y = 4 \)
(ii) \( 3x + 4y = 10 \) और \( 2x - 2y = 2 \)
(iii) \( 3x - 5y - 4 = 0 \) और \( 9x = 2y + 7 \)
(iv) \( \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \) और \( x - \frac{y}{3} = 3 \)
Answer:
(i) \( x + y = 5 \) ...(1)
\( 2x - 3y = 4 \) ...(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) में से घटाने पर
\( 2x + 2y = 10 \)
\( 2x - 3y = 4 \)
\(
\Rightarrow -5y = -6 \)
\(
\Rightarrow y = \frac{6}{5} \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( x + \frac{6}{5} = 5 \)
\(
\Rightarrow x = 5 - \frac{6}{5} \)
\(
\Rightarrow x = \frac{19}{5} \)
अतः, \( x = \frac{19}{5} \) तथा \( y = \frac{6}{5} \) है।
(ii) \( 3x + 4y = 10 \) ...(1)
\( 2x - 2y = 2 \) ...(2)
समीकरण (2) को 2 से गुणा करके समीकरण (1) में जोड़ने पर
\( 4x - 4y = 4 \)
\( 3x + 4y = 10 \)
\(
\Rightarrow 7x = 14 \)
\(
\Rightarrow x = \frac{14}{7} = 2 \)
\( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( 3(2) + 4y = 10 \)
\(
\Rightarrow 4y = 4 \)
\(
\Rightarrow y = 1 \)
अतः, \( x = 2 \) तथा \( y = 1 \) है।
(iii) \( 3x - 5y - 4 = 0 \) ...(1)
\( 9x - 2y = 7 \) ...(2)
समीकरण (1) को 3 से गुणा करके समीकरण (2) में से घटाने पर
\( 9x - 15y = 12 \)
\( 9x - 2y = 7 \)
\(
\Rightarrow 13y = -5 \)
\(
\Rightarrow y = -\frac{5}{13} \)
\( y \) का मान समीकरण (2) में रखने पर
\( 9x - 2\left(-\frac{5}{13}\right) = 7 \)
\(
\Rightarrow 9x = 7 - \frac{10}{13} \)
\(
\Rightarrow x = \frac{81}{13} \)
अतः, \( x = \frac{81}{13} \) तथा \( y = -\frac{5}{13} \) है।
(iv) \( \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \)
\(
\Rightarrow 3x + 4y = -6 \) ...(1)
और \( x - \frac{y}{3} = 3 \)
\(
\Rightarrow 3x - y = 9 \) ...(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) को घटाने पर
\( 3x + 4y = -6 \)
\( 3x - y = 9 \)
\(
\Rightarrow 5y = -15 \)
\(
\Rightarrow y = -3 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( 3x + 4(-3) = -6 \)
\(
\Rightarrow 3x = 6 \)
\(
\Rightarrow x = 2 \)
अतः, \( x = 2 \) तथा \( y = -3 \) है।
Exam Tips:
a) विलोपन विधि आमतौर पर प्रतिस्थापन विधि की तुलना में गणना में अधिक सरल और तेज़ होती है।
b) समीकरणों को हल करते समय चरांकों के गुणांकों को समान करना आवश्यक है।
c) अंत में प्राप्त मानों को मूल समीकरण में रखकर अपने उत्तर की जाँच अवश्य करें।
Question 2: निम्न समस्याएँ में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह \( \frac{1}{2} \) हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने-कितنے नोट प्राप्त किए।
(v) किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किया, जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) माना, अंश = \( x \) और माना, हर = \( y \)
इसलिए, परिमेय संख्या = \( \frac{x}{y} \)
पहली शर्त के अनुसार
\( \frac{x + 1}{y - 1} = 1 \)
\(
\Rightarrow x + 1 = y - 1 \)
\(
\Rightarrow x - y = -2 \) ...(1)
दूसरी शर्त के अनुसार
\( \frac{x}{y + 1} = \frac{1}{2} \)
\(
\Rightarrow 2x = y + 1 \)
\(
\Rightarrow 2x - y = 1 \) ...(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) में से घटाने पर
\( 2x - y = 1 \)
\( 2x - 2y = -4 \)
\(
\Rightarrow y = 5 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( x - 5 = -2 \)
\(
\Rightarrow x = 3 \)
अतः, परिमेय संख्या = \( \frac{3}{5} \) है।
(ii) माना, नूरी की वर्तमान आयु = \( x \) वर्ष
माना, सोनू की वर्तमान आयु = \( y \) वर्ष
पाँच वर्ष पूर्व
नूरी की आयु = \( x - 5 \) वर्ष
सोनू की आयु = \( y - 5 \) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\( x - 5 = 3(y - 5) \)
\(
\Rightarrow x - 5 = 3y - 15 \)
\(
\Rightarrow x - 3y = -10 \) ...(1)
दस वर्ष पश्चात्
नूरी की आयु = \( x + 10 \) वर्ष
सोनू की आयु = \( y + 10 \) वर्ष
प्रश्नानुसार,
\( x + 10 = 2(y + 10) \)
\(
\Rightarrow x + 10 = 2y + 20 \)
\(
\Rightarrow x - 2y = 10 \) ...(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) को घटाने पर
\( x - 3y = -10 \)
\( x - 2y = 10 \)
\(
\Rightarrow -y = -20 \)
\(
\Rightarrow y = 20 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( x - 3(20) = -10 \)
\(
\Rightarrow x = 50 \)
अतः, नूरी की वर्तमान आयु 50 वर्ष तथा सोनू की वर्तमान आयु 20 वर्ष है।
(iii) माना, इकाई का अंक = \( x \)
माना, दहाई का अंक = \( y \)
इसलिए, संख्या = \( 10y + x \)
संख्या के अंकों का योग 9 है।
इसलिए,
\( x + y = 9 \) ...(1)
संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या = \( 10x + y \)
शर्त के अनुसार, \( 9(10y + x) = 2(10x + y) \)
\(
\Rightarrow 90y + 9x = 20x + 2y \)
\(
\Rightarrow 11x - 88y = 0 \)
\(
\Rightarrow x - 8y = 0 \) ...(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) को घटाने पर
\( x + y = 9 \)
\( x - 8y = 0 \)
\(
\Rightarrow 9y = 9 \)
\(
\Rightarrow y = 1 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( x + 1 = 9 \)
\(
\Rightarrow x = 8 \)
इसलिए, संख्या = \( 10y + x \)
= \( 10(1) + 8 = 18 \)
अतः, दो अंकों की संख्या 18 है।
(iv) माना, ₹ 50 के नोटों की संख्या = \( x \)
माना, ₹ 100 के नोटों की संख्या = \( y \)
नोटों की कुल संख्या 25 है।
इसलिए,
\( x + y = 25 \) ...(1)
₹ 50 के नोटों और ₹ 100 के नोटों की कुल राशि = ₹ 2000, इसलिए
\( 50x + 100y = 2000 \)
\(
\Rightarrow x + 2y = 40 \) ...(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) को घटाने पर
\( x + y = 25 \)
\( x + 2y = 40 \)
\(
\Rightarrow -y = -15 \)
\(
\Rightarrow y = 15 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( x + 15 = 25 \)
\(
\Rightarrow x = 10 \)
अतः, ₹ 50 के नोटों की संख्या 10 तथा ₹ 100 के नोटों की संख्या 15 है।
(v) माना, प्रथम तीन दिनों का किराया = \( x \)
माना, प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = \( y \)
सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए किराया ₹ 27 है।
इसलिए,
\( x + 4y = 27 \) ...(1)
पाँच दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए किराया ₹ 21 है।
इसलिए,
\( x + 2y = 21 \) ...(2)
समीकरण (1) से समीकरण (2) को घटाने पर
\( x + 4y = 27 \)
\( x + 2y = 21 \)
\(
\Rightarrow 2y = 6 \)
\(
\Rightarrow y = 3 \)
\( y \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( x + 4(3) = 27 \)
\(
\Rightarrow x = 15 \)
अतः, नियत किराया ₹ 15 तथा अतिरिक्त दिन का किराया ₹ 3 है।
Exam Tips:
a) इबारती सवालों में दी गई शर्तों को ध्यानपूर्वक पढ़कर चरांकों के साथ समीकरण बनाएँ।
b) आयु संबंधी प्रश्नों में वर्तमान आयु को ही \( x \) और \( y \) मानना सबसे आसान होता है।
c) दो अंकों की संख्या वाले प्रश्नों में संख्या को हमेशा \( 10y + x \) के रूप में प्रदर्शित करें।
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NCERT Solutions for Class 10 Mathematics Chapter 03 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
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