UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 9 Introduction to Euclid s Geometry Ex 9.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 9 Introduction To Euclid's Geometry Ex 9.1 यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय

Ex 9.1 Introduction To Euclid's Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. एक बिन्दु की विमायें ज्ञात कीजिए ।
Answer: 0
In simple words: एक बिंदु की कोई विमा नहीं होती, यह केवल एक स्थिति को दर्शाता है।

🎯 Exam Tip: बिंदु की विमाओं के बारे में यह एक मूलभूत ज्यामितीय अवधारणा है जिसे याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 2. एक ठोस की विमायें ज्ञात कीजिए ।
Answer: 3
In simple words: एक ठोस वस्तु की तीन विमाएँ (लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई) होती हैं, जिससे वह स्थान घेरती है।

🎯 Exam Tip: ठोस की विमाएँ उसकी स्थानिक उपस्थिति का प्रतिनिधित्व करती हैं और त्रि-आयामी ज्यामिति का आधार हैं।

Question 3. एक सतह की विमायें ज्ञात कीजिए ।
Answer: 2
In simple words: एक सतह की दो विमाएँ (लंबाई और चौड़ाई) होती हैं, लेकिन कोई मोटाई नहीं होती।

🎯 Exam Tip: सतह की विमाएँ उसे द्वि-आयामी बनाती हैं और यह ठोस की सीमाओं का निर्माण करती है।

Question 4. तीन असंरेख बिन्दुओं से गुजरने वाले समतलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer: 1
In simple words: तीन असंरेख बिंदु हमेशा एक अद्वितीय समतल को परिभाषित करते हैं, जिससे केवल एक ही समतल गुजर सकता है।

🎯 Exam Tip: यह यूक्लिडियन ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण अभिगृहीत है जो समतलों की अद्वितीयता को बताता है।

Question 5. सतह की सीमाओं के नाम लिखो ।
Answer: वक्र
In simple words: एक सतह की सीमाएं रेखाएं या वक्र हो सकती हैं जो सतह के किनारों को परिभाषित करती हैं।

🎯 Exam Tip: सतह की सीमाएं उस आकृति की पहचान करने में मदद करती हैं और ज्यामितीय गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण होती हैं।

Question 6. ठोस की सीमाओं के नाम लिखो ।
Answer: पृष्ठ
In simple words: एक ठोस वस्तु की सीमाएं पृष्ठ या सतहें होती हैं, जो वस्तु को बाहरी वातावरण से अलग करती हैं।

🎯 Exam Tip: ठोस की सीमाओं को उसके "फलक" या "सतह" के रूप में भी जाना जाता है और ये ठोस के आयतन को घेरती हैं।

Question 7. यदि दो बराबर संख्याओं में एक बराबर संख्या जोड़ी जाती है तो परिणामी संख्याएँ बराबर होती हैं यह है (a) अभिग्रहित (b) परिभाषा (c) उपपत्ति (d) अभिधारणा
Answer: (a) अभिग्रहित
In simple words: यह यूक्लिड का एक मूलभूत अभिग्रहित है जो बताता है कि बराबर चीजों में बराबर जोड़ने पर परिणाम भी बराबर रहते हैं।

🎯 Exam Tip: अभिग्रहित ऐसे कथन होते हैं जिन्हें बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है और ये ज्यामिति की नींव होते हैं।

Ex 9.1 Introduction To Euclid's Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 8. (i) एक दिये गये बिन्दु से कितनी रेखाएं खींची जा सकती है? (ii) एक रेखा के निरूपण हेतु कितने बिन्दुओं की आवश्यकता होगी? (iii) क्या, रेखा की कोई लम्बाई होती है? (iv) तीन संरेख बिन्दुओं से निर्धारित होने वाले रेखाखण्ड का नाम बताइये ।
Answer: (i) अनन्त
(ii) दो
(iii) नहीं
(iv) यदि P, Q, R तीन संरेख बिन्दु है तो PQ, QR, PR रेखाखण्ड होंगे।
In simple words: एक बिंदु से अनंत रेखाएँ गुजर सकती हैं, दो बिंदु एक रेखा को परिभाषित करते हैं, एक रेखा की कोई निश्चित लंबाई नहीं होती, और तीन संरेख बिंदु कई रेखाखंड बनाते हैं।

🎯 Exam Tip: रेखा और बिंदु के ये गुण यूक्लिडियन ज्यामिति के आधारभूत सिद्धांत हैं और इन्हें अच्छी तरह समझना चाहिए।

Question 9. संलग्न चित्र में निम्न के नाम बताइये । (i) 6 बिन्दु (ii) 5 रेखाखण्ड (iii) 4 किरणें (iv) 4 रेखाएं (v) 4 संरेख बिन्दु
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें विभिन्न बिंदु (A, B, C, D, E, F, G, H, M, N, P, Q, R, S) और रेखाएं/किरणें/रेखाखंड दिखाए गए हैं। बिंदु M, E, G, B एक ही रेखा पर स्थित हैं और यह चित्र विभिन्न ज्यामितीय तत्वों जैसे बिंदुओं, रेखाखंडों, किरणों और रेखाओं को दर्शाता है।
Answer: हलः
(i) 6 बिन्दु = A, B, C, D, E, F
(ii) 5 रेखाखण्ड = \( \overline{\boldsymbol{E} \boldsymbol{F}}, \overline{\boldsymbol{G} \boldsymbol{H}}, \overline{\boldsymbol{E} \boldsymbol{G}}, \overline{\boldsymbol{F} \boldsymbol{H}}, \overline{\boldsymbol{M} \boldsymbol{N}} \)
(iii) 4 किरणों = \( \overrightarrow{E P}, \overrightarrow{G R}, \overrightarrow{G B}, \overrightarrow{H D} \)
(iv) 4 रेखाएं = \( \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{AB}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{CD}}, \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{PQ}} \stackrel{\leftrightarrow}{\mathrm{RS}} \)
(v) 4 संरेख बिन्दु = M, E, G, B
In simple words: दिए गए चित्र में विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों को पहचानना और उनके नाम बताना शामिल है, जैसे कि बिंदु, रेखाखंड, किरणें और रेखाएं, साथ ही संरेख बिंदुओं की पहचान करना।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय चित्रों को ध्यान से देखना और उनमें निहित तत्वों (जैसे बिंदु, रेखाखंड, किरण) को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है।

Question 10. निम्न में से कौन सा कथन सत्य है? (i) एक रेखाखण्ड की कोई लम्बाई नहीं होती । (ii) एक रेखाखण्ड का एक ही सिरा होता है। (iii) प्रत्येक किरण की लम्बाई निश्चित होती है। (iv) किरण AB = किरण BA (v) दो विभिन्न बिन्दु सदैव एक रेखा को निर्धारित करते हैं। (vi) एक बिन्दु से एक ही रेखा गुजरती है। (vii) तीन रेखाएं समवर्ती होती हैं यदि उनका एक ही उभयनिष्ठ बिन्दु है ।
Answer: हलः
(i) असत्य
(ii) असत्य
(iii) असत्य
(iv) असत्य
(v) सत्य
(vi) असत्य
(vii) सत्य
In simple words: यह प्रश्न ज्यामिति के मूलभूत कथनों की सत्यता का परीक्षण करता है, जैसे कि रेखाखंड की लंबाई, किरण की दिशा और रेखाओं के निर्धारण के नियम।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति की बुनियादी परिभाषाओं और अभिगृहीतों को समझना महत्वपूर्ण है ताकि ऐसे कथनों की सत्यता का मूल्यांकन किया जा सके।

Question 11. प्रमेय एवं अभिग्रहित में क्या अन्तर है?
Answer: हलः पहले से प्राप्त परिणामों के आधार पर कुछ अभिग्रहित जो कथन बनाते हैं उस प्रमेय कहते हैं। तथा वे कल्पनाऐं जिन्हें बिना सिद्ध किये सत्य कथन मान लिया गया तथा जिन्हें निरन्तर प्रयोग किया गया, अभिग्रहित कहलाते हैं। जैसे- (i) बराबर के आधे भी बराबर होते हैं। (ii) यदि a = b तब \( \frac{1}{2} \)a = \( \frac{1}{2} \) b एक अभिग्रहित है।
In simple words: अभिग्रहित बिना प्रमाण के स्वीकार किए गए सत्य कथन होते हैं, जबकि प्रमेय वे कथन होते हैं जिन्हें तार्किक रूप से सिद्ध किया जाता है।

🎯 Exam Tip: प्रमेय और अभिग्रहित के बीच का अंतर ज्यामिति और गणितीय तर्क में मौलिक है; अभिग्रहित नींव होते हैं और प्रमेय उन पर निर्मित होते हैं।

Question 12. कब किरण XY, रेखाखण्ड XZ के समान्तर होगी?
Answer: हलः जब X, Y, Z संरेख हों ।
In simple words: किरण XY और रेखाखंड XZ तभी समांतर होंगे जब बिंदु X, Y, और Z एक ही सीधी रेखा पर स्थित हों।

🎯 Exam Tip: समानांतर होने की स्थिति तभी उत्पन्न होती है जब ज्यामितीय आकृतियाँ संरेखता या एक विशेष दिशा में हों, अन्यथा वे प्रतिच्छेद करेंगी या अलग दिशा में होंगी।

Question 13. संलग्न चित्र से निम्न के उत्तर दीजिए। (a) क्या A, B, C संरेख बिन्दु हैं? (b) क्या A, B, D संरेख बिन्दु हैं? (c) BD + DE = BE? (d) AC ∩ BC = BC?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें एक रेखा पर स्थित बिंदु A, B, C, D दिखाए गए हैं और बाहरी बिंदु E, P, Q भी दर्शाए गए हैं। यह चित्र विभिन्न बिंदुओं और रेखाओं के बीच की ज्यामितीय स्थितियों को समझने में मदद करता है।
Answer: हलः
(a) हाँ
(b) नहीं
(c) हाँ
(d) हाँ
In simple words: चित्र को देखकर संरेख बिंदुओं, रेखाखंडों के योग और सेट इंटरसेक्शन जैसे ज्यामितीय संबंधों का मूल्यांकन करना है।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, दृश्य निरीक्षण और ज्यामितीय परिभाषाओं का सटीक अनुप्रयोग सही उत्तर तक पहुंचने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 14. रिक्त स्थानों की पूर्ति करें। (a) एक रेखाखण्ड के - सिरे होते हैं। (b) समवर्ती रेखायें ..........., बिन्दु (ओं) से गुजरती हैं।
Answer: हलः
(a) दो
(b) एक
In simple words: एक रेखाखंड के दो अंत बिंदु होते हैं, और समवर्ती रेखाएँ एक ही बिंदु से गुजरती हैं।

🎯 Exam Tip: रेखाखंड और समवर्ती रेखाओं की परिभाषाएँ यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत घटक हैं, जिन्हें याद रखना चाहिए।

Ex 9.1 Introduction To Euclid's Geometry बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. निम्न में किसकी उपपत्ति की आवश्यकता होती है। (a) प्रमेय (b) अभिग्रहित (c) अभिधारणा (d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) प्रमेय अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: प्रमेय को तार्किक रूप से सिद्ध करने की आवश्यकता होती है, जबकि अभिग्रहित और अभिधारणाएँ बिना प्रमाण के स्वीकार की जाती हैं।

🎯 Exam Tip: यह समझना कि किन गणितीय कथनों को प्रमाण की आवश्यकता है, गणितीय तर्क का एक केंद्रीय हिस्सा है।

Question 2. यूक्लिड ने अपनी पाठय पुस्तक 'दी इलीमैन्ट' को कितने भागों में बाँटा? (a) 12 अध्याय (b) 13 अध्याय (c) 11 अध्याय (d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) 13 अध्याय अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: यूक्लिड की प्रसिद्ध पुस्तक 'दी इलीमैन्ट' में ज्यामिति और संख्या सिद्धांत पर 13 अध्याय शामिल थे।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड की 'दी इलीमैन्ट' ज्यामिति के इतिहास में एक मील का पत्थर है और इसके संगठनात्मक ढांचे को जानना एक सामान्य ज्ञान का प्रश्न हो सकता है।

Question 3. यदि x = 23, y = 23 तब x = y, यह यूक्लिड का कौन-सा अभिग्रहित है? (a) 6 वाँ (b) 5 वाँ (c) 4 वाँ (d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः 6वाँ अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: यदि दो मात्राएँ एक ही मात्रा के बराबर हैं, तो वे आपस में भी बराबर होती हैं - यह यूक्लिड का छठा अभिग्रहित है।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड के अभिग्रहितों को समझना और उन्हें पहचानना ज्यामितीय प्रमाणों और तर्कों के लिए आवश्यक है।

Question 4. पिरामिड का आधार (a) केवल आयत (b) केवल त्रिभुज (c) कोई बहुभुज (d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः कोई बहुभुज । अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: एक पिरामिड का आधार कोई भी बहुभुज हो सकता है, जैसे त्रिभुज, वर्ग, पंचभुज, आदि।

🎯 Exam Tip: पिरामिड एक 3D आकृति है जिसका आधार एक बहुभुज होता है और सभी शीर्ष एक बिंदु पर मिलते हैं; आधार का आकार पिरामिड के प्रकार को निर्धारित करता है।

Ex 9.1 Introduction To Euclid's Geometry स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. निम्न में से सही कथन के लिए सत्य तथा गलत के लिए असत्य लिखें । (i) वह कथन जिसे सिद्ध किया गया है, अभिग्रहित कहलाता है। (ii) एक सतह की भुजाएँ, वक्र होती हैं। (iii) दो प्रतिच्छेदी रेखाएं कभी समान्तर नहीं होती। (iv) दो बराबर वस्तुओं को दोगुना करने पर प्राप्त संख्याएँ भी बराबर होती हैं। (v) ठोस की सीमाएँ, वक्र होती हैं।
Answer: हलः
(i) असत्य
(ii) सत्य
(iii) सत्य
(iv) सत्य
(v) असत्य
In simple words: इस प्रश्न में ज्यामितीय परिभाषाओं और यूक्लिड के अभिगृहीतों पर आधारित कथनों की सत्यता या असत्यता का मूल्यांकन करना है।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति के मूल सिद्धांतों और परिभाषाओं की स्पष्ट समझ ऐसे सत्य/असत्य प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 2. निम्न कथन को पढ़ें एक वर्ग ऐसा बहुभुज है जो चार बराबर रेखाखण्डों से बना है तथा सभी कोण समकोण होते हैं। वह पद बताइये जो इस परिभाषा के लिए आवश्यक है।
Answer: हलः यूक्लिड की अभिधारणा।
In simple words: यह एक वर्ग की परिभाषा है, और इस परिभाषा को स्थापित करने के लिए 'अभिधारणा' नामक ज्यामितीय अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सटीक शब्दों और अवधारणाओं को जानना महत्वपूर्ण है।

Question 3. दो अभिधारणायें लें (i) दो भिन्न-2 बिन्दुओं A व B के बीच, एक तीसरे बिन्दु C का अस्तित्व है। जो A व B के बीच है। (ii) तीन विभिन्न बिन्दुओं का अस्तित्व है जो एक रेखा पर नहीं है। क्या इन अभिकल्पनाओं में कोई अपरिभाषित पद है? क्या ये यूक्लिड अभिग्रहित का अनुसरण करते हैं?
Answer: हलः ये यूक्लिड के अभिग्रहित का अनुसरण करते हैं।
In simple words: ये दोनों कथन यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत अभिग्रहितों का पालन करते हैं, जो बिंदुओं और रेखाओं के अस्तित्व और व्यवस्था को परिभाषित करते हैं।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड के अभिग्रहित ज्यामितीय तर्क की नींव हैं और बताते हैं कि बिंदु और रेखाएं कैसे व्यवहार करती हैं।

Question 4. संलग्न चित्र में यदि ∠ABC = ∠ACB, ∠3 = ∠4, तब सिद्ध कीजिए कि ∠1 = ∠2.
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC है जिसमें एक बिंदु D भुजा BC पर स्थित है। कोणों को 1, 2, 3, 4 से चिह्नित किया गया है, जहाँ कोण 1 और 2 बिंदु C पर, कोण 3 और 4 बिंदु B पर हैं। यह आकृति कोणों के संबंधों को दर्शाती है।
Answer: हलः ∠ABC = ∠ACB \( \implies \) Z4 + ∠1 = ∠3 + ∠2 : 3 – 4 (दिया है) \( \implies \) 1 = ∠2
In simple words: दिए गए कोण संबंधों का उपयोग करते हुए, हम समीकरणों को हल करके यह सिद्ध कर सकते हैं कि कोण 1 कोण 2 के बराबर है।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति में कोणों के योग और घटाव के सिद्धांतों को समझना ऐसे प्रमाणों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 5. सिद्ध कीजिए कि किसी दिये रेखाखण्ड पर एक समबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समबाहु त्रिभुज ABC है जहाँ तीनों भुजाएं समान लंबाई की हैं और तीनों आंतरिक कोण 60° के हैं। यह आकृति समबाहु त्रिभुज की मूलभूत ज्यामितीय संरचना को स्पष्ट करती है।
Answer: हलः यदि BC एक रेखाखण्ड दिया है। बिन्दु B तथा C पर रेखाखण्ड BC के बराबर दो रेखाखण्ड AB तथा AC काटें, जिससे ∠ABC तथा ∠ACB 60° के कोण बनते हैं। इस प्रकार AB तथा AC को मिलाया। अतः △ABC एक समबाहु △ बनेगा ।
In simple words: किसी भी रेखाखंड को आधार मानकर, उसी लंबाई की भुजाओं के साथ दो चाप खींचकर और उन्हें जोड़कर एक समबाहु त्रिभुज बनाया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय रचनाएँ अक्सर यूक्लिड के अभिग्रहीतों और उपपत्तियों पर आधारित होती हैं, और यह एक मानक रचना है।

Question 6. सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक मध्य बिन्दु होता है।
Answer: हलः यूक्लिड के अभिग्रहित से एक ही वस्तु के आधे परस्पर बराबर होते हैं। अतः प्रत्येक रेखाखण्ड का एक और केवल एक मध्य बिन्दु होता है।
In simple words: यूक्लिड के अभिग्रहितों के अनुसार, प्रत्येक रेखाखंड को केवल एक ही बिंदु पर ठीक आधे में विभाजित किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: यह एक महत्वपूर्ण अवधारणा है जो रेखाखंडों को विभाजित करने की अद्वितीयता को दर्शाती है।

Question 7. क्या यूक्लिड की पांचवी अभिधारणा समान्तर रेखाओं का अस्तित्व स्वीकार करती है।
Answer: हलः इसके अनुसार यदि दो रेखायें एक ही रेखा के समान्तर हैं तो वे एक दूसरे के भी समान्तर होंगे।
In simple words: यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा प्रत्यक्ष रूप से समांतर रेखाओं के अस्तित्व को स्वीकार करती है, यह बताती है कि एक बिंदु से दी गई रेखा के समानांतर एक ही रेखा खींची जा सकती है।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा (समांतर अभिधारणा) गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास के लिए महत्वपूर्ण थी, इसलिए इसे समझना आवश्यक है।

Question 8. किसी रेखा के समान्तर, दो समान्तर रेखाएं परस्पर समान्तर होती हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आकृति दो समांतर रेखाओं 'm' और 'n' को दर्शाती है, जो एक दूसरे के समानांतर हैं और अनंत तक फैली हुई हैं। यह समांतर रेखाओं के संबंध को स्पष्ट करती है।
Answer: हलः माना m तथा n के समान्तर नही हैं तब m और n एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है - इस प्रकार । के बाहर एक बिन्दु P से, दो रेखायें m और n, I के समान्तर है। यह (समान्तर जो समान्तर अभिग्रहित का विलोम है, हमारी कल्पना गलत है। m || n
In simple words: यदि दो रेखाएँ एक ही तीसरी रेखा के समानांतर हैं, तो वे दोनों रेखाएँ भी आपस में समानांतर होती हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं का यह गुण ज्यामिति में एक मूलभूत प्रमेय है और इसे अक्सर प्रमाणों में उपयोग किया जाता है।

Question 9. दो विभिन्न रेखाओं का एक से अधिक उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं हो सकता। सिद्ध कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आकृति दो रेखाओं 'l' और 'm' को दर्शाती है जो एक दूसरे को प्रतिच्छेद कर रही हैं। यह विभिन्न रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु और उनकी स्थिति को प्रदर्शित करती है।
Answer: हलः यदि । और m दो भिन्न रेखायें है माना I∩m में दो बिन्दु P व Q है तब ! के बिन्दु P और Q हैं। तथा m के बिन्दु P और Q हैं। किन्तु यहाँ दो भिन्न बिन्दुओं से केवल और केवल एक। रेखा गुजरती है इसलिए I = m अतः यह मानना कि और m दो भिन्न रेखायें है, गलत है अतः दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं हो सकता।
In simple words: यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, दो अलग-अलग रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु होने का मतलब होगा कि वे वास्तव में एक ही रेखा हैं।

🎯 Exam Tip: यह एक मौलिक ज्यामितीय सिद्धांत है जो बताता है कि दो बिंदुओं से होकर केवल एक ही अद्वितीय रेखा गुजर सकती है।

Question 10. दिये गये चित्र में AD = \( \frac{1}{2} \) AB तथा BE = \( \frac{1}{2} \) BC, यदि AB = BC सिद्ध कीजिए कि AD = CE
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक रेखाखंड AE है जिस पर बिंदु B, C, D स्थित हैं। इस आकृति में AD और BE के संबंध को स्पष्ट किया गया है, जहाँ D, AB का मध्यबिंदु है और E, BC का मध्यबिंदु है।
Answer: हलः : AB = BC
\( \implies \) \( \frac{1}{2} \) AB = \( \frac{1}{2} \) BC
In simple words: चूंकि AB और BC बराबर हैं, तो उनके आधे हिस्से भी बराबर होंगे, जिससे AD और BE बराबर सिद्ध होते हैं।

🎯 Exam Tip: यूक्लिड के अभिगृहीतों में से एक कहता है कि "यदि बराबर चीजों के आधे हिस्से किए जाते हैं, तो उनके परिणाम भी बराबर होते हैं।"

Question 11. माना किसी रेखा पर तीन बिन्दु P, Q व R हैं यदि P व R के बीच बिन्दु Q है तब सिद्ध C कीजिए कि PR – QR = PQ
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली (X-Y तल) है जिसमें मूल बिंदु O है। इसमें तीन बिंदु P, Q, R दर्शाए गए हैं, जो सदिशों की अवधारणा को समझने में मदद करते हैं और उनके परिमाणों की गणना के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं।
Answer: हलः यदि एक सरल रेखा पर तीन बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि Q, P तथा R के बीच में स्थित है, तब सिद्ध करना है : PR – QR = PQ उपपत्ति : सदिश विश्लेषण से,
\( \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} \)
\( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} \)
\( \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \)
बायाँ पक्ष = PR - QR
= \( \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} \) - (\( \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} \))
= \( \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} \) = PQ = दायाँ पक्ष
PR – QR = PQ
In simple words: जब तीन बिंदु एक सीधी रेखा पर होते हैं और Q, P और R के बीच होता है, तो रेखाखंडों की लंबाई के संबंध से PR - QR = PQ सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: रेखाखंडों के बीच संबंधों को सिद्ध करने के लिए बिंदु संरेखता और सदिश बीजगणित का उपयोग करना एक सामान्य और प्रभावी तरीका है।

Question 12. संलग्न चित्र में AC = XD व C, AB का तथा D, XY के मध्य बिन्दु हैं। यूक्लिड अभिग्रहित का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि AB = XY
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आकृति दो रेखाखंड AB और XY को दर्शाती है। बिंदु C, AB का मध्यबिंदु है, और बिंदु D, XY का मध्यबिंदु है। यह आकृति इन रेखाखंडों और उनके मध्यबिंदुओं के बीच के संबंधों को समझने में सहायक है।
Answer: हलः . C, AB का मध्य बिन्दु है, तब AC = BC = \( \frac{AB}{2} \) ..........(1) यदि D, XY का मध्य बिन्दु है, तब XD = DY = \( \frac{X Y}{2} \) दिया है : AC = XD \( \implies \) \( \frac{AB}{2} \) = \( \frac{X Y}{2} \) [समी॰ (1) व (2) से] \( \implies \) AB = XY यही सिद्ध करना था।
In simple words: चूंकि AC और XD बराबर हैं और वे क्रमशः AB और XY के आधे हिस्से हैं, इसलिए AB और XY भी आपस में बराबर होंगे।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण यूक्लिड के अभिग्रहीत "यदि बराबर चीजों के आधे हिस्से बराबर हों, तो वे चीजें भी बराबर होंगी" का उपयोग करता है।

Question 13. नीचे दिये गये चित्र से सिद्ध कीजिए कि AB = CD, यदि AC = BD
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आकृति एक रेखाखंड AD को दर्शाती है जिस पर बिंदु B और C स्थित हैं। यह रेखाखंडों AB, BC, CD, AC, BD और AD के बीच की लंबाई के संबंधों को समझने में मदद करती है।
Answer: हलः यदि AC = BD AD = AB + BD ................(1) AD = AC + CD ................(2) समी॰ (1) व (2) से, AB + BD = AC + CD [::AC = BD] AB = CD
In simple words: यदि AC और BD बराबर हैं, तो रेखाखंडों को घटाने के नियम का उपयोग करके हम सिद्ध कर सकते हैं कि AB और CD भी बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: रेखाखंडों के घटाव का सिद्धांत (यदि बराबर से बराबर घटाया जाए, तो परिणाम बराबर होते हैं) ऐसे प्रमाणों में उपयोगी होता है।

Question 14. यदि कोई बिन्दु 0, बिन्दुओं P व R के मध्य स्थित है तथा PO = OR तब सिद्ध कीजिए कि PO = \( \frac{1}{2} \)PR
Answer: हलः ... बिन्दु 0, बिन्दुओं P व R के मध्य स्थित है, तब PO = OR = PR – PO \( \implies \) PO + PO = PR \( \implies \) 2PO = PR \( \implies \) PO = \( \frac{1}{2} \) PR
In simple words: यदि बिंदु O रेखाखंड PR का मध्यबिंदु है, तो PO की लंबाई PR की आधी होगी।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु की परिभाषा और रेखाखंडों के योग का सिद्धांत इस प्रकार के प्रमाणों के लिए महत्वपूर्ण हैं।

Question 15. यदि कोई बिन्दु E बिन्दुओं D व F के बीच इस प्रकार स्थित है कि DE = EF, सिद्ध कीजिए कि DE = \( \frac{1}{2} \) DF
Answer: हलः दिया है, DE = EF = DF – DE \( \implies \) DE + DE = DF \( \implies \) 2DE = DF \( \implies \) DE = \( \frac{1}{2} \) DF
In simple words: यदि बिंदु E रेखाखंड DF का मध्यबिंदु है, तो DE की लंबाई पूरे रेखाखंड DF की आधी होगी।

🎯 Exam Tip: यह प्रमाण मध्यबिंदु की परिभाषा और रेखाखंडों के जोड़ के गुणों का सीधा अनुप्रयोग है।