UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 8 Quadrilaterals

Up Board Solutions For Class 9 Maths Chapter 8 Quadrilaterals (चतुर्भुज)

प्रश्नावली 8.1

Question 1. एक चतुर्भुज के कोण 3 : 5 : 9 : 13 के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: चतुर्भुज के कोणों का अनुपात 3 : 5 : 9 : 13 है। अतः माना कि चतुर्भुज के कोण क्रमशः 3x, 6x, 9x और 13x हैं। चतुर्भुज के (अन्तः) कोणों का योग = 360° \(3x + 5x + 9x + 13x = 360°\)
\( \implies 30x = 360°\)
\( \implies x = 12°\) पहला कोण = \(3x = 3 \times 12 = 36°\) दूसरा कोण = \(5x = 5 \times 12 = 60°\) तीसरा कोण = \(9x = 9 \times 12 = 108°\) तथा चौथा कोण = \(13x = 13 \times 12 = 156°\) अतः चतुर्भुज के कोण क्रमशः 36°, 60°, 108° व 156° हैं।
In simple words: The sum of all interior angles of a quadrilateral is 360 degrees. By setting up an equation using the given ratio, we can find the value of 'x' and then calculate each angle.

🎯 Exam Tip: Remember the angle sum property of a quadrilateral (360°) as it's fundamental for solving such ratio-based problems. Clearly show each step of calculation for full marks.

Question 2. यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चतुर्भुज ABCD दर्शाया गया है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह चित्र यह समझने में मदद करता है कि विकर्णों की समानता आयत के गुणों को कैसे प्रभावित करती है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जिसमें विकर्ण AC = BD है। विकर्णों का प्रतिच्छेद बिन्दु O है। सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक आयत है। उपपत्ति : समान्तर चतुर्भुज ABCD के बिकर्ण AC और BD हैं जो O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तथा AC = BD AO + OC = BO + OD (चित्र से) ... (1) AC और BD समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण हैं और बिन्दु O पर काटते हैं। AO = OC और BO = OD ......(2) तब समीकरण (1) व (2) से, AO + AO = BO + BO
\( \implies AO = BO\) AO = BO = CO = OD तब △OAD में, AO = OD
\( \implies \angle ADO = \angle DAO\) (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।) ∠AOB, △OAD का बहिष्कोण है। ∠AOB = ∠DAO + ∠ADO
\( \implies \angle AOB = DAO + \angle DAO\) (∠ADO = ∠DAO)
\( \implies \angle AOB = 2 \angle DAO\) ...(3) और △OAB में भी, AO = OB
\( \implies \angle ABO = \angle BAO\) (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।) ∠AOD, △OAB का बहिष्कोण है, ∠AOD = ∠BAO + ∠ABO ∠AOD = ∠ BAO + ∠BAO (∠ABO = ∠BAO) ∠AOD = 2 ∠BAO ...(4) समीकरण (3) व (4) को जोड़ने पर, ∠AOB + ∠AOD = 2 ∠DAO + 2 ∠BAO
\( \implies \angle BOD = 2 (\angle DAO + \angle BAO)\)
\( \implies = 2 \angle BAD\) (चित्र से) 2 ∠BAD = 180° (क्योंकि BOD एक ऋजु रेखा है।) ∠BAD = 90° चतुर्भुज ABCD में ∠A = 90° चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा ∠A + ∠D = 180° (अन्तःकोणों का योग) ∠D = ∠A = ∠D = 90° (∠A = 90°) तब ∠B और ∠C में से भी प्रत्येक 90° होगा। समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AB = CD और BC = DA और ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° अतः समान्तर चतुर्भुज ABCD एक आयत है। Proved.
In simple words: If a parallelogram has equal diagonals, it means that the triangles formed by the diagonals and sides are congruent, leading to all interior angles being 90 degrees, thus proving it is a rectangle.

🎯 Exam Tip: When proving a parallelogram is a rectangle, showing that one angle is 90 degrees or that diagonals are equal is key. Clearly state congruence criteria (S.A.S., C.P.C.T.) for each step.

Question 3. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह दर्शाता है कि विकर्ण एक-दूसरे को 90 डिग्री पर काटते हैं और विभाजित करते हैं।
Answer: ज्ञात है : एक चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। अर्थात् ∠AOD = ∠COD = 90° तथा OA = OC तथा OB = OD सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है। उपपत्तिः △AOD तथा △COB में, OA = OC (दिया है।) ∠AOD = ∠ COB (शीर्षाभिमुख कोण हैं।) OD = OB (दिया है।) △AOD \(\cong\) △COB (S.A.S. से) ∠OAD = ∠OCB (C.P.C.T.) परन्तु ∠OAD = ∠CAD तथा ∠OCB = ∠ACB ∠CAD = ∠ACB इससे प्रदर्शित होता है कि AD और BC को तिर्यक रेखा AC द्वारा काटने पर बने एकान्तर अन्त: कोण CAD तथा ACB बराबर हैं जो केवल तभी सम्भव है जबकि AD एवं BC एक-दूसरे के समान्तर हों। AD एवं BC एक-दूसरे के समान्तर हैं। ... (1) इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि AB एवं DC एक-दूसरे के समान्तर हैं। इस प्रकार सिद्ध हुआ कि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। अब हम दिखाएँगे कि AB = BC = CD = DA △AOD तथा △COD में, OA = OC (दिया है।) ∠AOD = ∠COD = 90° (दिया है।) OD = OD (उभयनिष्ठ है।) △AOD \(\cong\) △COD (S.A.S. से) इससे प्रदर्शित होता है कि ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी क्रमागत भुजाओं का एक युग्म AD, CD बराबर है। अतः समान्तर चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है। Proved.
In simple words: When a quadrilateral's diagonals bisect each other at right angles, it implies that all four triangles formed are congruent, leading to all four sides being equal and opposite sides being parallel, thus proving it is a rhombus.

🎯 Exam Tip: The key properties to use here are "diagonals bisect each other at 90 degrees" and using SAS congruence to show that adjacent sides are equal. This directly leads to the definition of a rhombus.

Question 4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वर्ग ABCD का चित्र जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहाँ प्रतिच्छेद बिंदु पर 90° का कोण बन रहा है। यह विकर्णों की समानता और समकोण पर समद्विभाजन को दर्शाता है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं। सिद्ध करना है: AC = BD और ∠AOB एक समकोण या 90° उपपत्तिः चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। AB = BC = CD = DA ∠A = ∠B= ∠C = ∠D = 90° तब △ABC और ABCD समकोण त्रिभुज हैं। अब △ABC और △DCB में, AB = DC (वर्ग की भुजाएँ हैं।) ∠B= ∠C (प्रत्येक 90°) BC = BC (उभयनिष्ठ भुजा है।) △ABC \(\cong\) ∆DCB (S.A.S. से) AC = BD (C.P.C.T.) चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। AB = BC = CD = DA AB = CD और BC = DA चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज भी है। इसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर (बिन्दु O पर) समद्विभाजित करेंगे। AO = BO = CO = DO अब △AOB और △COB में, AO = CO (ऊपर सिद्ध किया है।) AB = CB (वर्ग की भुजाएँ हैं।) BO = BO (उभयनिष्ठ भुजा है।) △AOB \(\cong\) △COB (S.S.S. से) ∠AOB = ∠COB (C.P.C.T.) ...(1) परन्तु AOC (विकर्ण) एक ऋजु रेखा है, ∠AOB + ∠BOC = 180° ...(2) समीकरण (1) व (2) के हल से, ∠AOB = ∠COB = 90° अतः वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। Proved.
In simple words: To prove that a square's diagonals are equal and bisect each other at right angles, we use congruence of triangles to show diagonal equality and then again for angle bisection at 90 degrees, leveraging the properties of a square's sides and angles.

🎯 Exam Tip: This proof combines showing diagonal equality (using SAS) and perpendicular bisection (using SSS). Clearly identify corresponding parts of congruent triangles (CPCTC) for each conclusion.

Question 5. दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और वे परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें तो वह एक वर्ग होता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसमें विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। विकर्ण बराबर हैं और समकोण पर समद्विभाजित होते हैं, जैसा कि प्रतिच्छेद बिंदु पर 90° के कोणों से दर्शाया गया है।
Answer: दिया है: ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC और BD बराबर हैं तथा एक-दूसरे को बिन्दु O पर इस प्रकार काटते हैं कि AO = OC तथा BO = OD तथा AC \(\perp\) BD सिद्ध करना है : चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। उपपत्ति : चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर समद्विभाजित करते हैं। चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AB = CD ... (1) तथा AB || CD ... (2) अब △ABC और △DCB में, AB = DC (ऊपर सिद्ध किया है।) AC = DB (दिया है।) BC = BC (उभयनिष्ठ भुजा है।) △ABC \(\cong\) ∆DCB (S.S.S. से) ∠B = ∠C (C.P.C.T.) ...(3) AB || CD समीकरण (2) से, और BC एक तिर्यक प्रतिच्छेदी रेखा है। ∠B + ∠C = 180° (अन्तःकोणों का योग) ...(4) समीकरण (3) व (4) से, ∠B = 90° और ∠C = 90° इस प्रकार चतुर्भुज ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण 90° है। AC = BD और ये बिन्दु O पर परस्पर समद्विभाजित होते हैं। AO = BO = CO = DO AC \(\perp\) BD
\( \implies \angle AOB = 90°\) तथा ∠ BOC = 90° तब △AOB तथा △COB में, AO = CO (विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।) ∠AOB= ∠COB (प्रत्येक समकोण है।) BO = BO (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है।) △AOB \(\cong\) △COB (S.A.S. से) AB = BC (C.P.C.T.) तब चतुर्भुज ABCD में, AB = BC, AB = CD और BC = DA AB = BC = CD = DA और ∠B = 90° अर्थात् चारों भुजाएँ बराबर हैं और अन्तःकोण समकोण हैं। अतः चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। Proved.
In simple words: If a quadrilateral's diagonals are equal and bisect each other at 90 degrees, it means it satisfies both the conditions for a rectangle (equal diagonals) and a rhombus (perpendicularly bisecting diagonals), making it a square.

🎯 Exam Tip: This is the converse of Question 4. The proof requires showing that the quadrilateral is first a parallelogram, then a rectangle (due to equal diagonals), and finally a rhombus (due to perpendicular diagonals), combining these to prove it is a square.

Question 6. समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसमें विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता हुआ दिखाया गया है। यह दर्शाता है कि AC कोण A को दो बराबर भागों में बाँट रहा है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है अर्थात् ∠ BAC = ∠DAC सिद्ध करना है : (i) विकर्ण AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है। (ii) ABCD एक समचतुर्भुज है। उपपत्ति : (i) चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AB || CD तथा BC || DA AB || CD और AC एक तिर्यक रेखा है। ∠ BAC = ∠ACD (एकान्तर कोण) ... (1) इसी प्रकार, BC || DA और AC एक तिर्यक रेखा है। ∠DAC = ∠ACB (एकान्तर कोण) ...(2) AC, ∠A को समद्विभाजित करता है। ∠BAC = ∠DAC समीकरण (1) व (2) से, ∠ACB = ∠ACD अर्थात् AC, ∠C को भी समद्विभाजित करती है। (ii) ∠BAC = ∠DAC और ∠DAC = ∠ACB ∠BAC = ∠ACB तब ∆ABC में, ∠BAC = ∠ACB BC = AB (त्रिभुज में समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।) परन्तु ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AB = CD तथा BC = DA AB = BC = CD = DA चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज होगा। Proved.
In simple words: If a diagonal of a parallelogram bisects one angle, it uses alternate interior angles to show it also bisects the opposite angle, and then proves that adjacent sides are equal, thus making it a rhombus.

🎯 Exam Tip: Use the property of alternate interior angles for parallel lines to show angle bisection. To prove it's a rhombus, you need to show that adjacent sides are equal, which follows from angles opposite equal sides in a triangle.

Question 7. ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए विकर्ण AC कोणों A और C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD, कोणों B और D दोनों को समद्विभाजित करता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समचतुर्भुज ABCD का चित्र जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। यह चित्र विकर्णों द्वारा कोणों के समद्विभाजन को दर्शाता है।
Answer: दिया है : ABCD एक समचतुर्भुज है। सिद्ध करना है : विकर्ण AC, ∠A और ∠C दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण BD, ∠B तथा ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है। उपपत्ति : चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है। AB = BC = CD = DA ∆ABC में, AB = BC के ∠ACB = ∠BAC ... (1) (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।) समचतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज भी होता है। AB || CD और AC तिर्यक रेखा है। ∠BAC = ∠ACD (एकान्तर कोण) ...(2) समीकरण (1) व (2) से, ∠ACB = ∠ACD अर्थात् AC, ∠C का समद्विभाजक है। BC || DA तथा AC तिर्यक रेखा है के ∠ACB= ∠DAC (एकान्तर कोण) ... (4) तब समीकरण (1) व (4) से, ∠DAC = ∠BAC अर्थात् AC, ∠A का समद्विभाजक है। अतः AC, ∠A व ∠C दोनों का समद्विभाजक है। BC || DA और BD तिर्यक रेखा है। ∠ADB = ∠CBD (एकान्तर कोण) ... (5) इसी प्रकार ∠ABD = ∠ BDC (एकान्तर कोण) ...(6) और : ABCD में, BC = CD
\( \implies \angle BDC = \angle CBD\) ...(7) (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।) तब समीकरण (5) व (7) से, ∠ADB = ∠BDC अर्थात् BD, ∠D का समद्विभाजक है। समीकरण (6) व (7) से, ∠ABD = ∠CBD अर्थात् BD, ∠B का समद्विभाजक है। BD, ∠B व ∠D दोनों का समद्विभाजक है। अतः विकर्ण AC, ∠A व ∠C को समद्विभाजित करता है और BD, ∠B व ∠D को समद्विभाजित करता है। Proved.
In simple words: In a rhombus, all sides are equal. This property, along with alternate interior angles, can be used to show that each diagonal bisects the angles at both vertices it connects.

🎯 Exam Tip: Remember that a rhombus is also a parallelogram. Use the properties of equal sides (angles opposite equal sides are equal) and parallel sides (alternate interior angles) to demonstrate angle bisection by diagonals.

Question 8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC दोनों कोणों A व C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि
(i) ABCD एक वर्ग है।
(ii) BD, दोनों कोणों B और D को समद्विभाजित करता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक आयत ABCD का चित्र है जिसमें विकर्ण AC कोणों A और C को समद्विभाजित करता हुआ दिखाया गया है, और विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु पर 90° का कोण दर्शाया गया है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC, ∠A व ∠C दोनों को समद्विभाजित करता है। BD आयत का दूसरा विकर्ण है। सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। (ii) BD, ∠B और ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है। उपपत्ति : (i) चतुर्भुज ABCD एक आयत है। AB = CD तथा ∠A = 90° विकर्ण AC, ∠A तथा ∠C दोनों को समद्विभाजित करता है। ∠BAC = ∠DAC और ∠BCA = ∠DCA ΔΑΒC तथा △ADC में, ∠BAC =∠DAC (दिया है।) AC = AC (उभयनिष्ठ भुजा है।) ∠BCA = ∠DCA (दिया है।) △ABC \(\cong\) ∆ADC (A.S.A. से) AB = DA (C.P.C.T.) ... (1) चतुर्भुज ABCD में, AB = CD; BC = DA; AB = BC = CD = DA तथा ∠A = 90° [समीकरण (1) से ] अतः चतुर्भुज ABCD एक वर्ग है। Proved. (ii) △BCD में, BC = CD
\( \implies BDC = \angle CBD\) (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।) अब वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समान्तर होती हैं। अर्थात AB || CD और BD तिर्यक रेखा है। ∠BDC = ∠ABD (एकान्तर कोण) ... (2) समीकरण (1) व (2) से, ∠ABD = ∠CBD अर्थात् BD, ∠B का समद्विभाजक है। इसी प्रकार, BC || DA और BD तिर्यक रेखा है। ∠CBD = ∠ADB (एकान्तर कोण) ... (3) समीकरण (1) व (3) से, ∠BDC = ∠ADB अर्थात् BD, ∠D का समद्विभाजक है। अतः BD, ∠B तथा ∠D दोनों को समद्विभाजित करता है। Proved.
In simple words: If a diagonal of a rectangle bisects the angles at its endpoints, it implies that adjacent sides are equal, thus transforming the rectangle into a square, and the other diagonal also exhibits angle bisection due to the square's properties.

🎯 Exam Tip: This question tests the conversion of a rectangle to a square. Use Angle-Side-Angle (ASA) congruence to show that adjacent sides are equal, and then use alternate interior angles to prove the bisection by the second diagonal.

Question 9. समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD पर दो बिन्दु P और Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। दर्शाइए कि
(i) △APD = △CQB
(ii) AP = CQ
(iii) △AQB = △CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसके विकर्ण BD पर बिंदु P और Q स्थित हैं। DP और BQ की समानता दर्शाई गई है, जिससे AP, AQ, CP, CQ रेखाखंडों द्वारा बना नया चतुर्भुज APCQ बनता है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है और BD उसका एक विकर्ण है। BD पर P और Q दो बिन्दु इस प्रकार स्थित हैं कि DP = BQ है। AP, AQ, CP वे C रेखाखण्ड खींचे गए हैं जिनसे चतुर्भुज APCQ बनता है। सिद्ध करना है : (i) △APD \(\cong\) △CQB (ii) AP = CQ (iii) △AQB \(\cong\) △CPD (iv) AQ = CP (v) APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है। उपपत्ति : चतुर्भुज ABCD समान्तर चतुर्भुज है। AB = CD तथा और AB || CD तथा BC|| DA (i) BC || DA और BD एक तिर्यक रेखा है। ∠ADB = ∠CBD
\( \implies \angle ADP = \angle CBQ\) (एकान्तर कोण) अब, △APD और △CQB में, DA = BC (दिया है।) ∠ADP = ∠CBQ (ऊपर सिद्ध किया है।) DP = BQ (दिया है।) △APD \(\cong\) △CQB (S.A.S. से) Proved. (ii) △APD \(\cong\) △CQB AP = CQ (C.P.C.T.) Proved. (iii) AB || CD और BD तिर्यक रेखा है। ∠ABD = ∠BDC के ∠ABQ = ∠PDC (एकान्तर कोण) अब △AQB और △CPD में, AB = CD (दिया है।) ∠ABQ = ∠PDC (ऊपर सिद्ध किया है।) BQ = DP (दिया है।) △AQB \(\cong\) △CPD (S.A.S. से) Proved. (iv) △AQB \(\cong\) △CPD AQ = CP (C.P.C.T.) Proved. (v) चतुर्भुज APCR में सम्मुख भुजाएँ AP = CQ और AQ = CP [भाग (i) तथा (iv) से] अतः चतुर्भुज APCQ एक समान्तर चतुर्भुज है। Proved.
In simple words: This problem uses the properties of parallel lines and parallelograms to prove triangle congruences (SAS), which in turn shows that opposite sides of the inner quadrilateral APCQ are equal, thus establishing it as a parallelogram.

🎯 Exam Tip: Focus on using the given information (DP = BQ, ABCD is a parallelogram) along with alternate interior angles to set up SAS congruence conditions for the triangles. CPCTC will then yield the desired side equalities for APCQ.

Question 10. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा AP और CQ शीर्षों A और C से विकर्ण BD पर क्रमशः लम्ब हैं। दर्शाइए कि
(i) △APB = △CQD
(ii) AP = CQ
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसमें शीर्ष A से विकर्ण BD पर लंब AP और शीर्ष C से विकर्ण BD पर लंब CQ खींचे गए हैं। यह लंब AP और CQ की स्थिति और संबंधित कोणों को दर्शाता है।
Answer: दिया है: चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक विकर्ण BD है। BD पर शीर्ष A से AP और शीर्ष C से CQ लम्ब खींचा गया है। सिद्ध करना है : (i) △APB \(\cong\) △CQD (ii) AP = CQ उपपत्ति: (i) चतुर्भुज ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AB = CD तथा AB || CD AB || CD और विकर्ण BD एक तिर्यक रेखा है। ∠ABD = ∠BDC (एकान्तर कोण) ∠1 = ∠2 AP \(\perp\) BD
\( \implies \angle APB= 90°\) △APB में, ∠PAB = 180° - (∠APB + ∠ABP) (त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग 180° होता है।) ∠PAB = 180° - (90° + ∠1) = 90° - ∠1 ∠3 = 90° - ∠1 इसी प्रकार, CQ \(\perp\) BD
\( \implies \angle CQD = 90°\) △CQD में, ∠QCD = 180° - (∠CQD + ∠CDQ) = 180° - 90° - ∠2 = 90° - ∠2 ∠4 = 90° - ∠1 (∠1 = ∠2) ∠3 = 90° - ∠1 और ∠4 = 90° - ∠1 ∠3 = ∠4 ...(2) तब △APB और △CQD की तुलना करने पर, ∠1 = ∠2 [समीकरण (1) से] AB = CD (दिया है।) ∠3 = ∠4 [समीकरण (2) से] △AΡΒ \(\cong\) △CQD (A.S.A. से) Proved. (ii) ∆ΑΡΒ \(\cong\) ∆CQD AP = CQ (C.P.C.T.) Proved.
In simple words: By using the properties of a parallelogram (opposite sides equal, alternate interior angles) and the fact that AP and CQ are perpendiculars, we can prove the congruence of triangles APB and CQD using the Angle-Side-Angle (ASA) criterion, which then shows that AP = CQ.

🎯 Exam Tip: Look for opportunities to use ASA congruence when dealing with perpendiculars in parallelograms. Identifying alternate interior angles and right angles is crucial for setting up the congruence conditions correctly.

Question 11. △ABC और △DEF में, AB = DE, AB || DE, BC = EF और BC || EF है। शीर्षों A, B और C को क्रमशः शीर्षों D, E और F से जोड़ा जाता है। दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज ABED एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) AD || CF और AD = CF है।
(iv) चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) AC = DF है।
(vi) ∆ABC = ∆DEF है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): दो त्रिभुज △ABC और △DEF के साथ उनके शीर्षों A, B, C को क्रमशः D, E, F से जोड़ने वाले रेखाखंड दर्शाए गए हैं। यह चित्र ABED और BEFC जैसे चतुर्भुज बनाता है, जो समान्तर चतुर्भुज की अवधारणाओं को समझने में सहायक है।
Answer: दिया है : △ABC और △DEF दो त्रिभुज हैं जिनमें AB = DE और AB || DE तथा BC = EF और BC || EF हैं। शीर्षों A, B व C को क्रमशः शीर्षों D, E व F से ऋजु रेखाखण्डों द्वारा जोड़ा गया है। सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज ABED एक समान्तर चतुर्भुज है। (ii) चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है। (iii) AD || CF और AD = CF है। (iv) चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है। (v) AC = DF है। (vi) △ABC \(\cong\) △DEF है। उपपत्ति : (i) चतुर्भुज ABED में, AB = DE और AB || DE चतुर्भुज ABED की सम्मुख भुजाओं AB वे DE का एक युग्म बराबर और समान्तर है। अतः चतुर्भुज ABED एक समान्तर चतुर्भुज है। Proved. (ii) चतुर्भुज BEFC में, BC = EF और BC || EF चतुर्भुज BEFC की सम्मुख भुजाओं BC और EF का एक युग्म बराबर और समान्तर है। अतः चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है। Proved. (iii) चतुर्भुज ABED समान्तर चतुर्भुज है। AD = BE और AD || BE चतुर्भुज BEFC एक समान्तर चतुर्भुज है। BE = CF BE || CF दोनों को मिलाकर, AD = BE = CF और AD || BE || CF अतः AD = CF और AD || CF Proved. (iv) चतुर्भुज ACFD में, अर्थात् सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर है। अतः चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है। Proved. (v) चतुर्भुज ACFD एक समान्तर चतुर्भुज है। सम्मुख भुजाओं के युग्म बराबर होंगे। अत: AC = DF Proved. (vi) △ABC और △DEF की तुलना करने पर, AB = DE (दिया है।) AC = DF (अभी सिद्ध किया है।) BC = EF (दिया है।) ∆ABC \(\cong\) △DEF (S.S.S. से) Proved.
In simple words: This problem involves proving multiple quadrilaterals as parallelograms by using the property that if one pair of opposite sides is equal and parallel, the quadrilateral is a parallelogram. These steps then lead to proving the congruence of the two original triangles using SSS criterion.

🎯 Exam Tip: This question is a multi-part proof. Systematically address each part, using the definition of a parallelogram (one pair of opposite sides equal and parallel) and then SSS congruence for triangles. Ensure clear logical flow between parts.

Question 12. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है। दर्शाइए कि
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ∆ABC = ∆BAD
(iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): (शीर्ष चित्र) एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसमें AB || DC और AD = BC है। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं। (निचला चित्र) समलम्ब चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसे E तक बढ़ाया गया है, जहाँ C से CE रेखा DA के समानांतर खींची गई है, जिससे ADCE एक समान्तर चतुर्भुज बनता है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है। सिद्ध करना है : (i) ∠A = ∠B (ii) ∠C = ∠D (iii) ∆ΑΒC \(\cong\) ∆ΒAD (iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD रचना : विकर्ण AC तथा BD खींचे। AB को आगे बढ़ाया और बिन्दु C से DA के समान्तर रेखा खींची जो बढ़ी हुई ABP को बिन्दु E पर काटे। उपपत्ति : (i) : समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB|| DC और AB को बढ़ाया गया है। AE || DC और AD || CE (रचना से) ...(2) चतुर्भुज ADCE एक समान्तर चतुर्भुज है। ∠DAE = ∠DCE (सम्मुख कोण) ... (3) ∠ADC = ∠AEC (सम्मुख कोण) ...(4) AB || DC और BC एक तिर्यक रेखा है ∠BCD = ∠CBE (एकान्तर कोण) ... (5) चतुर्भुज ADCE एक समान्तर चतुर्भुज है। AD = CE परन्तु दिया है कि BC = CE ∠BEC = ∠CBE (त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं।) ... (6) अब समान्तर चतुर्भुज ADCE में, ∠A = ∠DCE (समीकरण (3) से) = ∠ BCD + ∠BCE (चित्र से) = ∠CBE + ∠BCE (समीकरण (5) से) = ∠ BEC+∠BCE (समीकरण (6) से) = ∠CBA (∠CBA, ABCE का बहिष्कोण है।) ∠A = ∠B (समलम्ब ABCD में) Proved. (ii) AB || CD और AD तिर्यक रेखा है। ∠A + ∠D = 180° (अन्तःकोणों का योग) ∠D = 180° - ∠A ∠D = 180° - ∠B [∠A= ∠B भाग (i) से)] इसी प्रकार, AB || CD और BC तिर्यक रेखा है। ∠ABC + ∠BCD = 180° (अन्तःकोणों का योग) ∠ BCD = 180° - ∠ABC ∠C = 180° - ∠B तब ∠C व ∠D की तुलना करने पर, ∠C = ∠D Proved. (iii) ∆ΑBC और △BAD में, BC = AD (दिया है।) ∠A = ∠B [भाग (1) से)] AB = AB (उभयनिष्ठ भुजा है।) △ABC \(\cong\) ∆BAD (S.A.S. से) (iv) △ABC \(\cong\) ∆BAD AC = BD (C.P.C.T.) अतः समलम्ब का विकर्ण AC = विकर्ण BD Proved.
In simple words: This complex problem involves constructing a parallel line to form a parallelogram, then using its properties and the given conditions of an isosceles trapezium to prove angle equalities, triangle congruence (SAS), and finally the equality of diagonals (CPCTC).

🎯 Exam Tip: This is a comprehensive proof for an isosceles trapezium. The construction of a parallel line is a key step. Ensure you correctly apply properties of parallelograms, angle sum of a straight line, and SAS congruence for the triangles.

प्रश्नावली 8.2

Question 1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। AC उसका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i) SR || AC और SR = \( \frac{1}{2} \) AC है।
(ii) PQ = SR है।
(iii) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चतुर्भुज ABCD का चित्र जिसमें भुजाओं AB, BC, CD, DA के मध्य-बिंदु P, Q, R, S दर्शाए गए हैं, जो एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं, और विकर्ण AC भी खींचा गया है। यह मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुप्रयोग को समझने में मदद करता है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD में P, Q, R व S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD व DA के मध्ये-बिन्दु हैं। P, Q, R व S को ऋजु रेखाखण्ड PQ, QR, RS व SP द्वारा जोड़कर चतुर्भुज PQRS प्राप्त किया गया है। सिद्ध करना है : (i) SR || AC और SR = \( \frac{1}{2} \) AC (ii) PQ = SR (iii) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। उपपत्ति : (i) △ACD में, CD का मध्य-बिन्दु R तथा AD का मध्य-बिन्दु S है। किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के समान्तर और तीसरी भुजा का आधा होता है। अतः रेखाखण्ड SR || AC और SR = \( \frac{1}{2} \) AC होगा। ... (1) Proved. (ii) △ABC में, AB का मध्य-बिन्दु P है और BC का मध्यबिन्दु Q है। रेखाखण्ड PQ || AC और PQ = \( \frac{1}{2} \) AC ...(2) अब (1) और (2) से PQ || SR और PQ = SR अतः PQ = SR Proved. (iii) ऊपर सिद्ध हुआ है कि PQ || SR और PQ = SR चतुर्भुज PQRS में P और RS सम्मुख भुजाओं का युग्म है जो परस्पर बराबर भी है और समान्तर भी। अतः चतुर्भुज PQRS एक समान्तर चतुर्भुज होगी। Proved.
In simple words: This problem is a direct application of the Mid-point Theorem. By repeatedly applying the theorem to different triangles within the quadrilateral, we can show that the segments connecting mid-points are parallel and half the length of the diagonal, leading to the formation of a parallelogram.

🎯 Exam Tip: The Mid-point Theorem is crucial here. Clearly state it and apply it to △ACD and △ABC to establish the parallel and equal conditions for SR and PQ, which are essential for proving PQRS is a parallelogram.

Question 2. ABCD एक समचतुर्भुज है और P, Q, R, S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समचतुर्भुज ABCD का चित्र जिसमें भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु P, Q, R, S दर्शाए गए हैं, जो एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं। यह चित्र PQRS को एक आयत के रूप में प्रस्तुत करता है।
Answer: दिया है: ABCD एक समचतुर्भुज है। जिसकी भुजाओं AB, BC, CD, DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R, S हैं। सिद्ध करना है : PQRS एक आयत है। रचना : रेखाखण्ड QS को मिलाया। उपपत्ति : ABCD एक समचतुर्भुज है, AB = BC = CD = DA तथा ∠A = ∠C और ∠B = ∠D P, Q, R, S क्रमश: AB, BC, CD, DA के मध्य-बिन्दु हैं। AP = BP = BQ = CQ = CR = RD = DS = AS △APS और ∆QCR में, AP = CR (दिया है।) ∠A = ∠C (दिया है।) AS = CQ (दिया है।) △APS \(\cong\) △CRQ (S.A.S. से) PS = QR (C.P.C.T.) ...(1) △PBQ तथा △RDS में, BP = DR (दिया है।) ∠B = ∠D (दिया है।) BQ = DS (दिया है।) △PBQ \(\cong\) ∆RDS (S.A.S. से) PQ = RS (C.P.C.T.) ...(2) AB || CD और बिन्दु Q तथा S क्रमशः BC और DA के मध्य-बिन्दु हैं। QS || AB तथा QS = \( \frac{1}{2} \) CD QS || AB और PS तिर्यक रेखा है। ∠PSQ= ∠ APS (एकान्तर कोण) परन्तु ∠ APS = ∠ASP (AS = AP) ∠ PSQ = ∠ ASP ...(3) इसी प्रकार, ∠RSQ = ∠DSR ...(4) ∠ ASP +∠PSQ + ∠RSQ +∠DSR = 180° (एक रेखा पर बने कोण) ∠PSQ + ∠ PSQ + ∠RSQ + ∠RSQ = 180° [समीकरण (3) व (4) से] 2 (∠PSQ + ∠RSQ) = 180° 2 ∠S = 180°
\( \implies \angle S = 90°\) (∠S = ∠PSQ + ∠RSQ)...(5) समीकरण (1) और (2) से, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है और समीकरण (5) से उसका एक अन्तःकोण समकोण है। अतः PQRS एक आयत है। Proved.
In simple words: First, prove that PQRS is a parallelogram using the mid-point theorem. Then, by showing that one of its interior angles is 90 degrees using triangle congruences and linear pairs, you can conclude that PQRS is a rectangle.

🎯 Exam Tip: To prove PQRS is a rectangle, you first need to establish it as a parallelogram (using the mid-point theorem as in Q1). Then, use SAS congruence for the corner triangles (e.g., △APS and △PBQ) and properties of linear pairs to show that one angle of PQRS is 90 degrees.

Question 3. ABCD एक आयत है जिसमें P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक आयत ABCD का चित्र है जिसमें भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु P, Q, R, S दर्शाए गए हैं, जो एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं। यह चित्र PQRS को एक समचतुर्भुज के रूप में प्रस्तुत करता है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक आयत है जिसकी भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R और S हैं। रेखाखण्ड PG, QR, RS और SP एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं। सिद्ध करना है : चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज है। उपपत्तिः ∆APS और ADRS में, AS = DS (S, AD का मध्य-बिन्दु है)। ∠A = ∠D (आयत के अन्तःकोण) AP = DR (P, AB का तथा R, CD का मध्य बिन्दु है तथा AB = CD) ∆ΑΡS \(\cong\) ADRS (S.A.S. से) SP = SR (C.P.C.T.) ...(1) △APS और ABPQ में, AP = BP (P, AB का मध्य-बिन्दु है) ∠A = ∠B (आयत के अन्तःकोण) AS = BQ (AD = BC और S तथा Q इनके क्रमशः मध्य-बिन्दु हैं) ∆APS \(\cong\) ABPQ (S.A.S. से) SP = QP (C.P.C.T.) ...(2) ∆APS और ACRQ में, AP = CR (AP = AB = CD = RC) (प्रत्येक समकोण) ZA = ZC AS = CQ (AS = BC = QC) ∆ΑΡS \(\cong\) ACRQ (S.A.S. से) SP = QR (C.P.C.T.) ... (3) समीकरण (1), (2) और (3) से, SP = RS = PQ = QR PQRS एक समचतुर्भुज है। Proved.
In simple words: By using the properties of an rectangle (equal and parallel opposite sides, 90-degree angles) and the definition of mid-points, we can prove the congruence of triangles at the corners (SAS). This leads to all sides of PQRS being equal, thus proving it is a rhombus.

🎯 Exam Tip: To prove PQRS is a rhombus, the main goal is to show all its sides are equal. Use SAS congruence for the four corner triangles (e.g., △APS, △BPQ, △CQR, △DRS). Remember that mid-points divide the sides into equal halves and angles of a rectangle are 90°.

Question 4. ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || CD है। साथ ही BD एक विकर्ण है और E भुजा AD का मध्य-बिन्दु है। E से होकर एक रेखा AB के समान्तर खींची गई है जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि F भुजा BC का मध्य-बिन्दु है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसमें AB || CD है, BD एक विकर्ण है और AD का मध्य-बिंदु E है। E से एक रेखा EF AB के समानांतर खींची गई है जो BC को F पर और विकर्ण BD को O पर प्रतिच्छेद करती है।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || CD है। BD. समलम्ब ABCD का एक विकर्ण है। भुजा AD का मध्य-बिन्दु E है। E से AB के समान्तर एक रेखा EF खींची गई है जो BC को बिन्दु F पर तथा BD को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करना है : F, BC का मध्य-बिन्दु है। उपपत्ति : ∆ABD में, बिन्दु E भुजा AD का मध्य-बिन्दु है और चूँकि EF, AB के समान्तर है। बिन्दु O, BD को समद्विभाजित करेगा अर्थात् O, भुजा BD का मध्य-बिन्दु है। AB || CD और EF || AB EF || CD या OF || CD अब ABCD में, O, BD को मध्य-बिन्दु है और OF || CD, जो BC को F पर प्रतिच्छेद करती है। अत: F, BC का मध्य-बिन्दु है। Proved.
In simple words: This problem uses the converse of the Mid-point Theorem. If a line drawn through the mid-point of one side of a triangle is parallel to another side, it bisects the third side. Applying this theorem twice, first in triangle ABD and then in triangle BCD, proves that F is the mid-point of BC.

🎯 Exam Tip: The converse of the Mid-point Theorem is the key. Identify the triangles (△ABD and △BCD) where you can apply this theorem sequentially. Clearly state which lines are parallel and which point is a mid-point in each step.

Question 5. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में E और F क्रमशः भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि रेखाखण्ड AF और CE विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का चित्र है जिसमें E और F क्रमशः AB और CD के मध्य-बिंदु हैं। रेखाखंड AF और CE खींचे गए हैं जो विकर्ण BD को P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह चित्र विकर्ण के समत्रिभाजन को दर्शाता है।
Answer: दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। बिन्दु E और F क्रमशः उसकी भुजाओं AB तथा CD के मध्य-बिन्दु हैं। उसका विकर्ण BD, रेखाखण्डों AF तथा CE से क्रमशः बिन्दुओं P और Q पर विभक्त होता है। सिद्ध करना है : BD को AF और CE तीन बराबर भागों में बाँटते हैं अर्थात् DP = PQ = QB उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AB || CD तथा AB = CD और E तथा F क्रमश: AB और CD के मध्य-बिन्दु हैं। AE || CF और AE = CF AECF एक समान्तर चतुर्भुज है। AF || CE ......(1) AP|| EQ ...(2) PF || CQ ... (3) △DQC में, बिन्दु F, भुजा CD का मध्य-बिन्दु है। (ज्ञात है।) और PF || CQ (समीकरण (3) से) P, DQ का मध्य-बिन्दु है। DP = PQ ...(4) पुनः ∆ABP में, बिन्दु E भुजा AB का मध्य-बिन्दु है और EQ || AP (समीकरण (2) से) Q, BP का मध्य-बिन्दु है। QB = PQ ...(5) समीकरण (4) और (5) से, DP = PQ = QB अतः रेखाखण्ड AF और CE, विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में विभक्त करते हैं। Proved.
In simple words: This problem uses the Mid-point Theorem's converse. By identifying AECF as a parallelogram and then applying the theorem in △DQC and △ABP, we can show that the segments AF and CE divide the diagonal BD into three equal parts.

🎯 Exam Tip: The key here is to first prove AECF is a parallelogram, which implies AF || CE. Then, apply the converse of the Mid-point Theorem in two different triangles (△DQC and △ABP) to show that the diagonal is trisected. Clearly identify the mid-points and parallel lines in each application.

Question 6. दर्शाइए कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चतुर्भुज ABCD का चित्र जिसमें भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु P, Q, R, S दर्शाए गए हैं। रेखाखंड PR और QS खींचे गए हैं जो सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को जोड़ते हैं।
Answer: दिया है : चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दु क्रमशः P, Q, R, S हैं। सम्मुख भुजाओं AB और CD के मध्य-बिन्दुओं P और R को मिलाकर रेखाखण्ड PR बनता है तथा BC और DA के मध्य-बिन्दुओं Q और S को मिलाकर रेखाखण्ड QS बनता है। सिद्ध करना है : PR और QS परस्पर समद्विभाजित करते हैं। रचना : रेखाखण्ड PQ, QR, RS और SP को मिलाइए तथा विकर्ण AC और BD खीचिए। उपपत्तिः ∆ABC में, P, AB का तथा Q, BC का मध्य-बिन्दु है। PQ = \( \frac{1}{2} \) AC और PQ || AC ...(1) पुनः ∆ACD में, R, CD का ओर S, DA का मध्य-बिन्दु है। RS = \( \frac{1}{2} \) AC और RS || AC ...(2) समीकरण (1) व (2) से] PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। समान्तर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR तथा SQ हैं। अतः PR तथा SQ परस्पर समद्विभाजित करते हैं। Proved.
In simple words: By using the Mid-point Theorem to show that connecting the mid-points of the sides of any quadrilateral forms a parallelogram, we can conclude that the diagonals of this newly formed parallelogram (which are the lines connecting mid-points of opposite sides of the original quadrilateral) bisect each other.

🎯 Exam Tip: The core idea is to prove that the quadrilateral formed by joining the mid-points of the sides (PQRS) is a parallelogram. Once that's established, the property that "diagonals of a parallelogram bisect each other" directly proves the statement. The Mid-point Theorem is essential here.

Question 7. ABC एक त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिन्दु M से होकर BC के समान्तर खींची गई रेखा AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि :
(i) D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है।
(ii) MD \(\perp\) AC है।
(iii) CM = MA = \( \frac{1}{2} \) AB है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): (शीर्ष चित्र) एक त्रिभुज ABC का चित्र जिसका कोण C समकोण है, और कर्ण AB का मध्य-बिंदु M है। M से BC के समानांतर एक रेखा खींची गई है जो AC को D पर प्रतिच्छेद करती है। (निचला चित्र) त्रिभुज ABC का चित्र जिसमें कर्ण AB का मध्य-बिंदु M से BC के समानांतर एक रेखा खींची गई है जो AC को D पर प्रतिच्छेद करती है, और CM रेखाखंड खींचा गया है।
Answer: दिया है: ∆ABC में ∠C समकोण है और AB कर्ण है जिसका मध्य-बिन्दु M है। बिन्दु M से एक रेखा BC के समान्तर खींची गई है जो AC को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध करना है : (i) D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है। (ii) MD \(\perp\) AC (iii) CM = MA = \( \frac{1}{2} \) AB रचना : रेखाखण्ड CM खींचा। उपपत्ति : (i) ∆ABC में, M कर्ण AB का मध्य-बिन्दु है और M से BC के समान्तर खींची गई Aरेखा AC को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है जिससे MD || BC है। अतः बिन्दु D, AC का मध्य-बिन्दु होगा। Proved. (ii) MD || BC और तिर्यक रेखा AC इन्हें प्रतिच्छेद करती है। ∠MDA = ∠C ∠MDA = 90° MD \(\perp\) AD या MD \(\perp\) AC Proved. (iii) AMDA तथा △MDC में, AD = CD (D, AC का मध्य-बिन्दु है।) ∠MDA = ∠MDC (MD \(\perp\) AC) MD = MD (उभयनिष्ठ भुजा है।) AMDA \(\cong\) △MDC (S.A.S. से) MA = CM (C.P.C.T.) परन्तु M, AB का मध्य-बिन्दु है जिससे MA = \( \frac{1}{2} \) AB अतः CM = MA = \( \frac{1}{2} \) AB Proved.
In simple words: This problem involves applying the converse of the Mid-point Theorem to show D is the mid-point of AC, then using properties of parallel lines to prove MD is perpendicular to AC, and finally using SAS congruence to show CM = MA, which equals half of AB.

🎯 Exam Tip: This question combines several geometric concepts: the converse of the Mid-point Theorem, properties of parallel lines and transversals, and SAS congruence. Carefully identify the conditions for each part of the proof, especially the 90-degree angle from parallel lines and the side equality from CPCTC.