UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 8 Coordinate Geometry Ex 8.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 8 Coordinate Geometry Ex 8.1 निर्देशांक ज्यामिति

Ex 8.1 Coordinate Geometry अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

 

Question 1. किसी बिन्दु का भुज किस चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है?
Answer: II तथा III चतुर्थांश में ।
In simple words: भुज (x-निर्देशांक) द्वितीय और तृतीय चतुर्थांश में ऋणात्मक होता है।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों में x और y निर्देशांकों के चिन्हों को याद रखना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

 

Question 2. दो निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेद बिन्दु का नाम बताओ ।
Answer: दो निर्देशांक अक्षों का प्रतिच्छेद बिन्दु मूल बिन्दु कहलाता है।
In simple words: निर्देशांक अक्षें जिस बिंदु पर मिलती हैं उसे मूल बिंदु कहते हैं।

🎯 Exam Tip: मूल बिंदु निर्देशांक ज्यामिति में संदर्भ बिंदु है और इसके निर्देशांक हमेशा (0,0) होते हैं।

 

Question 3. बिन्दु (0, -9) किस अक्ष पर स्थित है?
Answer: X-अक्ष निर्देशांक 0 है। इसलिए बिन्दु (0, -9) Y-अक्ष पर स्थित है।
In simple words: यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक शून्य हो, तो वह Y-अक्ष पर स्थित होता है।

🎯 Exam Tip: किसी बिंदु का अक्ष पर स्थान निर्धारित करने के लिए, देखें कि कौन सा निर्देशांक शून्य है; यदि x-निर्देशांक शून्य है, तो बिंदु Y-अक्ष पर है, और यदि y-निर्देशांक शून्य है, तो बिंदु X-अक्ष पर है।

 

Question 4. बिन्दु (0, -6) की मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात करो।
Answer: बिन्दु (0, -6) में x-अक्ष निर्देशांक 0 है तथा y-अक्ष निर्देशांक -6 है इसलिए बिन्दु (0, -6) की मूल बिन्दु से दूरी 6 मात्रक है।
In simple words: मूल बिंदु (0,0) से किसी बिंदु (0, y) की दूरी \( |y| \) होती है, अतः दूरी 6 मात्रक है।

🎯 Exam Tip: मूल बिंदु से किसी अक्ष पर स्थित बिंदु की दूरी हमेशा उस बिंदु के गैर-शून्य निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है।

 

Question 5. यदि बिन्दु A(2, 0), B(-6, 0) तथा C(3, a – 3) x-अक्ष पर स्थित है तो a का मान ज्ञात करो।
Answer: बिन्दु C, x-अक्ष पर स्थित है ।
\( \implies \) बिन्दु C का y-अक्ष निर्देशांक = 0
\( a – 3 = 0 \)
\( \implies a = 3 \)
In simple words: x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है, इसलिए \( a-3 = 0 \) से \( a = 3 \) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक हमेशा 0 होता है; इस अवधारणा का उपयोग करके अज्ञात चर आसानी से ज्ञात किए जा सकते हैं।

Ex 8.1 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न - I (Short Answer Type Questions - I)

 

Question 6. वह चतुर्थांश ज्ञात कीजिए जिसमें निम्न बिन्दु स्थित हैं
(i) (-1,-4)
(ii) (4, 1)
(iii) (3, -2)
(iv) (-3, 1)
(v) (7, 2)
(vi) (-3, -2)
(vii) (-6, 4)
(viii) (2, -2)
Answer:
(i) (-1, -4) स्थित होगा - तृतीय चतुर्थांश
(ii) (4, 1) स्थित होगा - प्रथम चतुर्थांश
(iii) (3, -2) स्थित होगा - चतुर्थ चतुर्थांश
(iv) (-3, 1) स्थित होगा - द्वितीय चतुर्थांश
(v) (7, 2) स्थित होगा - प्रथम चतुर्थांश
(vi) (-3, -2) स्थित होगा - तृतीय चतुर्थांश
(vii) (-6, 4) स्थित होगा - द्वितीय चतुर्थांश
(viii) (2, -2) स्थित होगा - चतुर्थ चतुर्थांश
In simple words: निर्देशांकों के चिन्हों के आधार पर बिंदुओं का चतुर्थांश ज्ञात किया जाता है: (+,+) प्रथम; (-,+) द्वितीय; (-,-) तृतीय; (+,-) चतुर्थ।

🎯 Exam Tip: चतुर्थांशों के चिन्हों को याद रखें: I(+,+), II(-,+), III(-,-), IV(+,-); यह किसी भी बिंदु के चतुर्थांश को तुरंत पहचानने में मदद करता है।

Ex 8.1 Coordinate Geometry लघु उत्तरीय प्रश्न - II (Short Answer Type Questions - II)

 

Question 11. निम्न अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली दिखाई गई है जिस पर सात बिंदु अंकित हैं। X और Y अक्षों पर संख्याएँ दी गई हैं, और प्रत्येक बिंदु को उसके संबंधित x और y निर्देशांक के साथ दर्शाया गया है।
Answer: बिन्दु P = (4, -6) बिन्दु G = (3, 2) बिन्दु N = (-1,-1) बिन्दु Q = (-1, 3) बिन्दु H = (-3, 1) बिन्दु S = (5, 6) बिन्दु I = (3, -2)
In simple words: दिए गए चित्र में विभिन्न बिंदुओं के निर्देशांक सीधे पढ़कर ज्ञात किए जा सकते हैं, जैसे बिंदु P का x-निर्देशांक 4 और y-निर्देशांक -6 है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ पेपर पर बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते समय, x-अक्ष और y-अक्ष पर संबंधित संख्याओं को ध्यान से पढ़ना सुनिश्चित करें।

Ex 8.1 Coordinate Geometry बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

 

Question 1. किसी बिन्दु A(4, 3) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी
(a) 4 इकाई
(b) 3 इकाई
(c) 2 इकाई
(d) इनमें से कोई नहीं
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय तल को दर्शाता है जिसमें बिंदु A(4,3) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। इसमें बिंदु A की y-अक्ष से लंबवत दूरी को x-निर्देशांक 4 के रूप में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है।
Answer: (a) 4 इकाई
हलः बिन्दु A (4, 3) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी = 4 इकाई
In simple words: किसी बिंदु की y-अक्ष से लंबवत दूरी उस बिंदु का x-निर्देशांक होती है, जो यहां 4 है।

🎯 Exam Tip: किसी बिंदु \((x, y)\) की y-अक्ष से दूरी \(|x|\) होती है, और x-अक्ष से दूरी \(|y|\) होती है।

 

Question 2. वह बिन्दु जिसके दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, वह किस चतुर्थांश में स्थित होगा
(a) IV
(b) III
(c) II
(d) I
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक कार्तीय तल को चार चतुर्थांशों में विभाजित करके दिखाया गया है। प्रत्येक चतुर्थांश के साथ उसके x और y निर्देशांकों के चिन्हों को भी इंगित किया गया है, जैसे तृतीय चतुर्थांश में (-,-) चिन्ह होते हैं।
Answer: (b) III
हल: जिस बिन्दु के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों, वह बिन्दु तीसरे चतुर्थांश में होगा ।.
In simple words: जब किसी बिंदु के x और y दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं, तो वह बिंदु तीसरे चतुर्थांश में स्थित होता है।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि तृतीय चतुर्थांश में x और y दोनों निर्देशांकों का मान ऋणात्मक होता है।

 

Question 3. बिन्दु A(7, 5) की y-अक्ष से लम्बवत् दूरी (इकाई में)- .
(a) 35 इकाई
(b) 12 इकाई
(c) 7 इकाई
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) 7 इकाई
हलः x = 7
In simple words: किसी बिंदु की y-अक्ष से दूरी उसका x-निर्देशांक होता है, जो यहां 7 है।

🎯 Exam Tip: y-अक्ष से किसी बिंदु की दूरी उस बिंदु के x-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होती है।

 

Question 4. द्वितीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के भुज एवं कोटि के चिह्न हैं
(a) (+, +)
(b) (+, -)
(c) (-, +)
(d) (-, -)
Answer: (c) (-, +)
हलः द्वितीय चतुर्थांश में किसी बिन्दु के भुज एवं कोटि के चिह्न (-, +) होगा।
In simple words: द्वितीय चतुर्थांश में x-निर्देशांक ऋणात्मक होता है और y-निर्देशांक धनात्मक होता है, इसलिए चिन्ह (-, +) होते हैं।

🎯 Exam Tip: द्वितीय चतुर्थांश में बिंदु x-अक्ष के बाईं ओर और y-अक्ष के ऊपर स्थित होते हैं, जिससे x ऋणात्मक और y धनात्मक होता है।

 

Question 5. किसी बिन्दु की कोटि धनात्मक किस चतुर्थांश में होती है?
(a) I, II
(b) II, III
(c) III, IV
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) I, II
हल: किसी बिन्दु की कोटि धानात्मक प्रथम तथा द्वितीय चतुर्थांश में होगी।
In simple words: कोटि (y-निर्देशांक) धनात्मक पहले और दूसरे चतुर्थांश में होता है, क्योंकि इन दोनों में बिंदु x-अक्ष के ऊपर स्थित होते हैं।

🎯 Exam Tip: y-निर्देशांक (कोटि) धनात्मक तब होता है जब बिंदु x-अक्ष के ऊपर स्थित होता है, जो प्रथम और द्वितीय चतुर्थांश में होता है।

 

Question 6. x-अक्ष पर सभी बिन्दुओं के भुज का मान
(a) 0
(b) धनात्मक वास्तविक संख्या
(c) कोई वास्तविक संख्या
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) कोई वास्तविक संख्या
हलः कोई वास्तविक संख्या ।
In simple words: x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का भुज (x-निर्देशांक) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, जबकि उसका y-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है, लेकिन x-निर्देशांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।

 

Question 7. वह बिन्दु, जिसके दोनों निर्देशांक धनात्मक हो, किस चतुर्थांश में स्थित होगा?
(a) I
(b) II
(c) III
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (a) I
हलः प्रथम चतुर्थांश ।
In simple words: जब किसी बिंदु के x और y दोनों निर्देशांक धनात्मक होते हैं, तो वह बिंदु प्रथम चतुर्थांश में स्थित होता है।

🎯 Exam Tip: प्रथम चतुर्थांश में बिंदु x-अक्ष के दाईं ओर और y-अक्ष के ऊपर स्थित होते हैं, जिससे दोनों निर्देशांक धनात्मक होते हैं।

 

Question 8. यदि \( x \neq y \), तब \( (x, y) \neq (y, x) \), परन्तु यदि \( x = y \) तब
(a) \( (x, y) \neq (y, x) \)
(b) \( (x, y) = (y, x) \)
(c) \( (x, y) = (-x, y) \)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (b) \( (x, y) = (y, x) \)
हलः \( (x, y) = (y, x) \)
In simple words: क्रमित युग्म तभी समान होते हैं जब उनके संगत घटक समान हों; यदि \( x = y \) है, तो \( (x, y) \) और \( (y, x) \) समान होंगे।

🎯 Exam Tip: क्रमित युग्मों की समानता की मूल परिभाषा यह है कि उनके संगत निर्देशांक बराबर होने चाहिए।

 

Question 9. यदि \( A = A(-2, 3), B = B(-3, 5 ) \) तब (A का भुज) – (B का भुज) =
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) -3
Answer: (a) 1
हलः A का भुज – B का भुज = -2 + 3 = 1
In simple words: बिंदु A का भुज -2 है और बिंदु B का भुज -3 है; उनका अंतर \( -2 - (-3) = -2 + 3 = 1 \) होगा।

🎯 Exam Tip: किसी बिंदु का भुज उसका x-निर्देशांक होता है; दिए गए बिंदुओं के भुजों को सही चिन्हों के साथ घटाकर उत्तर प्राप्त करें।

 

Question 10. यदि \( O(0, 0), A(4, 0) \) तथा \( B (0, 6) \) तब \( \triangle OAB \) का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में)
(a) 8
(b) 10
(c) 12
(d) इनमें से कोई नहीं
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय तल में मूलबिंदु O(0,0), बिंदु A(4,0) और बिंदु B(0,6) से बनने वाले एक समकोण त्रिभुज OAB को दर्शाता है। त्रिभुज की भुजाएँ OA और OB क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष पर स्थित हैं।
Answer: (c) 12
हल: \( \triangle OAB \) का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 4 \times 6 = 12 \) वर्ग इकाई
In simple words: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई होता है; यहाँ आधार OA = 4 और ऊँचाई OB = 6 है, इसलिए क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है।

🎯 Exam Tip: यदि एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष अक्षों पर या मूल बिंदु पर हों, तो क्षेत्रफल की गणना के लिए आधार और ऊँचाई को सीधे अक्षों पर दूरियों के रूप में लिया जा सकता है।

Ex 8.1 Coordinate Geometry स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

 

Question 1. निम्न बिन्दुओं को ग्राफ पेपर पर अंकित करें।
(i) (3, 5)
(ii) (-3, 4)
(iii) (-3, -4)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली पर तीन बिंदु A(3,5), B(-3,4) और C(-3,-4) को उनके संबंधित चतुर्थांशों में दर्शाया गया है। बिंदु A प्रथम, बिंदु B द्वितीय और बिंदु C तृतीय चतुर्थांश में है।
Answer: दिए गए चित्र में बिंदु (3, 5), (-3, 4) और (-3, -4) को ग्राफ पेपर पर अंकित करके दिखाया गया है।
In simple words: बिंदुओं को ग्राफ पर अंकित करने के लिए, उनके x और y निर्देशांकों के अनुसार सही चतुर्थांश में स्थान निर्धारित करें।

🎯 Exam Tip: ग्राफ पर बिंदुओं को सटीक रूप से प्लॉट करने के लिए, x-निर्देशांक के लिए क्षैतिज और y-निर्देशांक के लिए ऊर्ध्वाधर दूरी को ध्यान से मापें।

 

Question 2. बिन्दु A(2, 0), B(5, 0) तथा C(5, 3) को ग्राफ पर अंकित करें तथा एक बिन्द D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसके लिए ABCD एक वर्ग है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय तल में बिंदुओं A(2,0), B(5,0), C(5,3) और D(2,3) को दर्शाता है जो मिलकर एक वर्ग ABCD बनाते हैं। इसमें प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक स्पष्ट रूप से अंकित हैं।
Answer: ABCD एक वर्ग होगा यदि \( AB = BC = CD = DA \) हो। ग्राफ से स्पष्ट है कि \( AB = BC = CD = DA = 3 \) इकाई।
\( \implies \) बिन्दु D के निर्देशांक \( = (2, 3) \)
In simple words: एक वर्ग बनाने के लिए, चौथे बिंदु D के निर्देशांक ऐसे होने चाहिए कि AB और CD समानांतर हों, और BC और DA समानांतर हों तथा सभी भुजाएँ समान लंबाई की हों; बिंदु D का x-निर्देशांक A के समान (2) और y-निर्देशांक C के समान (3) होगा।

🎯 Exam Tip: वर्ग या आयत के चौथे शीर्ष को ज्ञात करने के लिए, ज्ञात शीर्षों के निर्देशांकों का उपयोग करके समानांतरता और समान लंबाई की शर्तों का पालन करें।

 

Question 3. x-अक्ष पर मूल बिन्दु के दायीं ओर, y-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर एक बिन्दु है। यदि यह y-अक्ष पर मूल बिन्दु से नीचे x-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर है तो उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करो।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में कार्तीय तल पर दो बिंदु M(5,0) और N(0,-5) दर्शाए गए हैं। बिंदु M x-अक्ष पर मूलबिंदु के दाईं ओर 5 इकाई दूरी पर है, जबकि बिंदु N y-अक्ष पर मूलबिंदु से नीचे 5 इकाई दूरी पर है।
Answer: बिन्दु M के निर्देशांक \( = (5, 0) \)
बिन्दु N के निर्देशांक \( = (0, -5) \)
In simple words: x-अक्ष पर मूल बिंदु के दाईं ओर 5 इकाई दूरी पर बिंदु का y-निर्देशांक 0 होगा, जिससे (5, 0) मिलेगा; y-अक्ष पर मूल बिंदु से नीचे 5 इकाई दूरी पर बिंदु का x-निर्देशांक 0 होगा, जिससे (0, -5) मिलेगा।

🎯 Exam Tip: x-अक्ष पर स्थित बिंदु का रूप \((x, 0)\) होता है, और y-अक्ष पर स्थित बिंदु का रूप \((0, y)\) होता है, जहाँ x और y दूरियों को दर्शाते हैं।

 

Question 4. वे क्रमित युग्म ज्ञात कीजिए जिसके लिए \( x + 3y = 6 \) तथा उनका अभिलम्ब ज्ञात कीजिए। इस तरह के कितने क्रमित युग्म प्राप्त किये जा सकते हैं तथा कितनों का आलेखन किया जा सकता है?
Answer: हलः \( x + 3y = 6 \)
\( x = 6 – 3y \)

इस प्रकार \( (6, 0) (3, 1) \) तथा \( (0, 2) \) क्रमित युग्म प्राप्त हो सकते हैं। इस प्रकार अनन्त क्रमित युग्मों का आलेखन किया जा सकता है।
In simple words: समीकरण \( x + 3y = 6 \) के लिए, y के विभिन्न मानों के लिए x के मान ज्ञात करके क्रमित युग्म प्राप्त किए जा सकते हैं, और चूंकि एक रैखिक समीकरण के अनंत हल होते हैं, इसलिए अनंत क्रमित युग्म संभव हैं।

🎯 Exam Tip: रैखिक समीकरणों के अनंत क्रमित युग्म हल होते हैं, जिन्हें ग्राफ पर एक सीधी रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है।

 

Question 5. संलग्न चित्र में, ABCD एक आयत है जिसकी लम्बाई 6 सेमी तथा चौड़ाई 3 सेमी है। O, रेखा AB का मध्य बिन्दु है। A, B, C व D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक कार्तीय तल में आयत ABCD दर्शाया गया है, जिसकी भुजाएँ x और y अक्षों के समानांतर हैं। मूलबिंदु O, भुजा AB का मध्यबिंदु है, और आयत के शीर्षों A(-3,0), B(3,0), C(3,3) तथा D(-3,3) को स्पष्ट रूप से अंकित किया गया है।
Answer: बिन्दु \( A = (-3, 0) \)
बिन्दु \( B = (3, 0) \)
बिन्दु \( C = (3, 3) \)
बिन्दु \( D = (-3, 3) \)
In simple words: चूँकि O, AB का मध्यबिंदु है और लंबाई 6 सेमी है, इसलिए A और B x-अक्ष पर \( \pm 3 \) पर होंगे; चौड़ाई 3 सेमी होने के कारण C और D के y-निर्देशांक 3 होंगे, जिससे सभी शीर्षों के निर्देशांक प्राप्त होते हैं।

🎯 Exam Tip: आयत के गुणों का उपयोग करें जैसे कि विपरीत भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं, और कोण 90 डिग्री होते हैं, जिससे शीर्षों के निर्देशांक आसानी से निर्धारित किए जा सकते हैं।

 

Question 6. बिन्दु \( P = (2, -6) \) को ग्राफ पेपर पर आलेखित कीजिए तथा x व y-अक्ष पर इस बिन्दु से लम्ब क्रमशः PM व PN डालें तो M तथा N के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र कार्तीय तल में बिंदु P(2,-6) को दर्शाता है जो चतुर्थ चतुर्थांश में है। बिंदु P से x-अक्ष पर PM और y-अक्ष पर PN लंब खींचे गए हैं, जिससे बिंदु M(2,0) और N(0,-6) के निर्देशांक स्पष्ट रूप से प्रदर्शित होते हैं।
Answer: बिन्दु \( P = (2, -6) \) से x-अक्ष पर PM तथा y-अक्ष पर PN लम्ब डालें ।
बिन्दु M के निर्देशांक \( = (2, 0) \)
बिन्दु N के निर्देशांक \( = (0, -6) \)
In simple words: किसी बिंदु से x-अक्ष पर लंब डालने पर, लंबपाद का y-निर्देशांक 0 होता है; y-अक्ष पर लंब डालने पर, लंबपाद का x-निर्देशांक 0 होता है।

🎯 Exam Tip: किसी बिंदु से अक्षों पर लंबपाद के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, दूसरे निर्देशांक को शून्य कर दें और मूल निर्देशांक को बनाए रखें।

 

Question 7. तृतीय चतुर्थांश में स्थित उस आयत के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। जिसकी लम्बाई x-अक्ष पर \( p \) इकाई तथा y-अक्ष पर चौड़ाई \( q \) इकाई है।
Answer: हलः तृतीय चतुर्थांश में आयत OPQR स्थित है।
बिन्दु O के निर्देशांक \( = (0, 0) \)
बिन्दु P के निर्देशांक \( = (0, -q) \)
बिन्दु Q के निर्देशांक \( = (-p, -4) \)
बिन्दु R के निर्देशांक \( = (-p, 0) \)
In simple words: यदि एक आयत की भुजाएँ अक्षों के समानांतर हों और वह तीसरे चतुर्थांश में मूलबिंदु से शुरू होता हो, तो उसके शीर्षों के निर्देशांक \( (0,0), (0,-q), (-p,-q), (-p,0) \) होंगे, जहाँ p लंबाई और q चौड़ाई है।

🎯 Exam Tip: जब कोई आयत मूलबिंदु से शुरू होकर किसी चतुर्थांश में विस्तारित होता है, तो उसके निर्देशांक अक्षों पर उसकी लंबाई और चौड़ाई के अनुसार होते हैं, जो चतुर्थांश के चिन्ह नियमों का पालन करते हैं।

 

Question 8. बिन्दुओं \( B(-5, 3), E(-3, -2), S(4, -2) \) तथा \( T(1, 3) \) को ग्राफ पेपर पर आलेखन करें तथा इनको क्रम से मिलायें, यह भी बताइये कि ये बिन्दु किस चतुर्थांश में स्थित हैं?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक कार्तीय तल पर चार बिंदु B(-5,3), T(1,3), E(-3,-2) और S(4,-2) अंकित किए गए हैं। इन बिंदुओं को क्रम से जोड़ने पर एक चतुर्भुज बनता है, और प्रत्येक बिंदु अपने संबंधित चतुर्थांश में स्थित है।
Answer: बिन्दु B \( (-5, 3) \), II चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु E \( (-3, -2) \), III चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु S \( (4, -2) \), IV चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु T \( (1, 3) \), I चतुर्थांश में स्थित है।
In simple words: बिंदुओं को उनके x और y निर्देशांकों के चिन्हों के अनुसार ग्राफ पर आलेखित किया जाता है, जिससे उनके चतुर्थांशों का निर्धारण होता है: B दूसरे, E तीसरे, S चौथे और T पहले चतुर्थांश में है।

🎯 Exam Tip: दिए गए निर्देशांकों के चिन्हों को देखकर आप तुरंत पहचान सकते हैं कि बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित है।

 

Question 9. बिन्दु M के निर्देशांक \( (-2, 9) \) है इसको \( (1 + x, y^2) \) तथा \( y > 0 \) से भी निरूपित करते हैं। निम्न बिन्दु किस चतुर्थांश में स्थित है, यह ज्ञात कीजिए। \( P(y, x), Q(s, x), R(x^2, y – 1), S(2x, -3y) \)
Answer: हलः
\( \implies \) बिन्दु M के निर्देशांक \( = (-2, 9) \)
बिन्दु M के निर्देशांक \( = (1 + x, y^2) \)
x निर्देशांक की तुलना से, \( 1 + x = -2 \)
\( x = -2 - 1 = -3 \)
Y निर्देशांक की तुलना से, \( y^2 = 9 \)
\( y = \sqrt{9} = +3 \) [ \( y > 0 \) ]
\( \implies \) बिन्दु P के निर्देशांक \( = (y, x) = (3, -3) \) जो IV चतुर्थांश में है।
बिन्दु Q के निर्देशांक \( = (z, x) = (2, -3) \) जो IV चतुर्थांश में है।
बिन्दु R के निर्देशांक \( = (x^2, y – 1) = (9, 2) \) जो I चतुर्थांश में है।
बिन्दु S के निर्देशांक \( = (2x, -3y) = (-6, -9) \) जो III चतुर्थांश में है ।
In simple words: पहले दिए गए बिंदु M के निर्देशांकों का उपयोग करके \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात किए जाते हैं, फिर इन मानों का उपयोग करके अन्य बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं ताकि उनके चतुर्थांश पहचाने जा सकें।

🎯 Exam Tip: अज्ञात चर ज्ञात करने के लिए समान निर्देशांक वाले बिंदुओं की तुलना करें और फिर इन मानों का उपयोग करके अन्य बिंदुओं के निर्देशांकों को हल करें और उनके चतुर्थांशों का निर्धारण करें।

 

Question 10. संलग्न चित्र में, PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसके बिन्दु \( Q \) व \( R \) के निर्देशांक क्रमशः \( (0, 6) \) व \( (0, -6) \) हैं । शीर्ष P के निर्देशांक ज्ञात करो।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कार्तीय तल में एक समबाहु त्रिभुज PQR को दर्शाता है। बिंदु Q y-अक्ष पर (0,6) पर और R y-अक्ष पर (0,-6) पर स्थित है। शीर्ष P x-अक्ष पर इस प्रकार स्थित है कि OP, QR पर लंब है और त्रिभुज समबाहु है।
Answer: हलः बिन्दु \( Q = (0, 6) \), बिन्दु \( R = (0, -6) \)
\( \implies OQ = 6 \) मात्रक, \( OR = 6 \) मात्रक
\( \implies QR = 6 + 6 = 12 \) मात्रक
\( \therefore PR = PQ = 12 \) मात्रक
समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई \( OP = QR \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \)
\( \implies \) बिन्दु P \( = (6 \sqrt{3}, 0) \)
In simple words: एक समबाहु त्रिभुज में, यदि आधार y-अक्ष पर केंद्रित हो, तो ऊँचाई x-अक्ष पर होगी और इसकी लंबाई आधार की लंबाई के \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) गुना होगी।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के गुणों (सभी भुजाएँ समान, ऊँचाई = \( \frac{\sqrt{3}}{2} \times \) भुजा) और निर्देशांक ज्यामिति के नियमों का संयोजन ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।