UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 10 Circles

UP Board Solutions For Class 9 Maths Chapter 10 Circle (वृत्त)

प्रश्नावली 10.1

 

Question 1. खाली स्थान भरिए ।
(i) वृत्त का केन्द्र वृत्त के ............ में स्थित है (बहिर्भाग/अभ्यन्तर) ।
(ii) एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के ............ में स्थित होता है (बहिर्भाग/अभ्यन्तर)।
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का ............ होती है।
(iv) एक चाप ............ होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखण्ड एक चाप तथा ............ के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे ............ भागों में विभाजित करता है।
Answer:
(i) वृत्त का केन्द्र वृत्त के अभ्यन्तर में स्थित होता है।
(ii) एक बिन्दु, जिसकी वृत्त के केन्द्र से दूरी त्रिज्या से अधिक हो, वृत्त के बहिर्भाग में स्थित होता है।
(iii) वृत्त की सबसे बड़ी जीवा वृत्त का व्यास होती है।
(iv) एक चाप अर्धवृत्त होता है, जब इसके सिरे एक व्यास के सिरे हों।
(v) वृत्तखण्ड एक चाप तथा जीवा के बीच का भाग होता है।
(vi) एक वृत्त, जिस तल पर स्थित है, उसे तीन भागों में विभाजित करता है।
In simple words: These are fundamental definitions related to circles. The center is inside, a point beyond the radius is outside, the diameter is the longest chord, an arc becomes a semicircle if its ends are a diameter's ends, a segment is formed by an arc and a chord, and a circle divides its plane into three parts (interior, exterior, and the circle itself).

🎯 Exam Tip: Understanding these basic definitions is crucial for solving more complex problems related to circles. Memorize each term and its description.

 

Question 2. लिखिए, सत्य या असत्य । अपने उत्तर के कारण दीजिए।
(i) केन्द्र को वृत्त पर किसी बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त की त्रिज्या होती है।
(ii) एक वृत्त में समान लम्बाई की परिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक भाग दीर्घ चाप होता है।
(iv) वृत्त की एक जीवा, जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।
(v) त्रिज्यखण्ड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।
(vi) वृत्त एक समतल आकृति है।
Answer:
(i) 'केन्द्र को वृत्त पर किसी बिन्दु से मिलाने वाला रेखाखण्ड वृत्त की त्रिज्या होती है' कथन सत्य है।
(ii) एक वृत्त में समान लम्बाई की परिमित जीवाएँ होती हैं' कथन असत्य है क्योंकि किसी वृत्त में समान लम्बाई की अपरिमित जीवाएँ होती हैं।
(iii) 'यदि एक वृत्त को तीन बराबर चापों में बाँट दिया जाए, तो प्रत्येक भागे दीर्घ चाप होता है' कथन असत्य है। क्योंकि वृत्त के आधे से कम भाग को अन्तरित करने वाला चाप लघु चाप होता है।
(iv) 'वृत्त की एक जीवा, जिसकी लम्बाई त्रिज्या से दो गुनी हो, वृत्त का व्यास है।' कथन सत्य है ।
(v) 'त्रिज्यखण्ड, जीवा एवं संगत चाप के बीच का क्षेत्र होता है।' कथन असत्य है।
(vi) 'वृत्त एक समतल आकृति है' कथन सत्य है।
In simple words: This question tests basic circle properties. A radius connects the center to the circle, a circle has infinitely many equal chords, dividing a circle into three equal arcs does not make them major arcs, a chord twice the radius is the diameter, a sector is defined by two radii and an arc, and a circle is a 2D figure.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to definitions of "finite" vs. "infinite" and "sector" vs. "segment". False statements often test common misconceptions.

प्रश्नावली 10.2

 

Question 1. याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों । सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो अलग-अलग सर्वांगसम वृत्तों को दर्शाता है, जिनमें से प्रत्येक का एक केंद्र (O और O') और एक जीवा (AB और CD) है। वृत्त O में जीवा AB केंद्र O पर कोण AOB बनाती है, और वृत्त O' में जीवा CD केंद्र O' पर कोण CO'D बनाती है।
Answer: हल : दिया है : केन्द्र O वाला एक वृत्त है जिसकी एक जीवा AB है। केन्द्र O' वाला एक अन्य वृत्त है जिसकी एक जीवा CD है। दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं और जीवा AB जीवा CD के बराबर है। जीवा AB केन्द्र O पर \( \angle \) AOB तथा जीवा CD केन्द्र O' पर \( \angle \) CO'D अन्तरित करती है। सिद्ध करना है : \( \angle \) AOB = \( \angle \) COD रचना : त्रिज्याएँ OA, OB, O'C व O'D खीचिए। उपपत्तिः \( \triangle \) AOB तथा \( \triangle \) CO'D में,
AB = CD (दिया है ।)
OA = O'C (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।)
OB = O'D (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं)

\( \triangle \) AOB = \( \triangle \) COD (S.S.S. से)

\( \angle \) AOB = \( \angle \) COD (C.P.C.T.) Proved.
In simple words: If two circles are congruent (same radius) and have equal chords, then connecting the ends of these chords to their respective centers will form equal angles at the centers. This is proven using the SSS (Side-Side-Side) congruence rule for the triangles formed.

🎯 Exam Tip: Clearly state the given, to prove, construction, and proof steps. Using SSS congruence for triangles formed by radii and chords is the key scoring step.

 

Question 2. सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अन्तरित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो अलग-अलग सर्वांगसम वृत्तों को दर्शाता है, जिनमें से प्रत्येक का एक केंद्र (O और O') और एक जीवा (AB और CD) है। वृत्त O में जीवा AB केंद्र O पर कोण AOB बनाती है, और वृत्त O' में जीवा CD केंद्र O' पर कोण CO'D बनाती है। यहां दिखाया गया है कि केंद्र पर बने कोण बराबर हैं।
Answer: हल : दिया है : O तथा O' केन्द्रों वाले दो सर्वांगसम वृत्त हैं। जिनकी जीवाएँ AB व CD उनके केन्द्रों O तथा O' पर क्रमशः \( \angle \) AOB व \( \angle \) CO'D इस प्रकार अन्तरित करती हैं कि \( \angle \) AOB = \( \angle \) CO'D है। सिद्ध करना है : जीवा AB = जीवा CD उपपत्तिः \( \triangle \) AOB और \( \triangle \) CO'D में,
OA = O'C (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।)
\( \angle \) AOB = \( \angle \) COD (दिया है ।)
OB = O'D (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।)

\( \triangle \) AOB = \( \triangle \) COD (S.A.S. से)

AB = CD (C.P.C.T.) अतः जीवा AB = जीवा CD Proved.
In simple words: This is the converse of the previous question. If two congruent circles have chords that make equal angles at their centers, then those chords must be equal in length. This is demonstrated using the SAS (Side-Angle-Side) congruence rule for the triangles formed.

🎯 Exam Tip: This theorem is the converse of the previous one. Focus on using SAS congruence by leveraging equal radii and the given equal angles at the center.

प्रश्नावली 10.3

 

Question 1. वृत्तों के कई युग्म (जोड़े) खीचिए । प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं? उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या है?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र वृत्तों के विभिन्न युग्मों को दर्शाता है। पहले दो युग्मों में वृत्त एक-दूसरे को छूते नहीं हैं, जिससे कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। अगले दो युग्मों में वृत्त एक-दूसरे को एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं, जिससे एक उभयनिष्ठ बिंदु बनता है। अंतिम दो युग्मों में वृत्त एक-दूसरे को दो बिंदुओं पर काटते हैं, जिससे दो उभयनिष्ठ बिंदु बनते हैं।
Answer: हल : प्रश्न के निर्देश के अनुसार नीचे विभिन्न वृत्तों के युग्म खींचे गए हैं। इन्हें ध्यान से देखिए :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो एक-दूसरे को नहीं काटते या स्पर्श करते हैं। वे एक-दूसरे से अलग-अलग स्थित हैं, जिसके परिणामस्वरूप कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता है।
दोनों युग्मों में कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो एक-दूसरे को एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं। वे या तो अंदर से स्पर्श कर सकते हैं या बाहर से, जिससे उनके बीच ठीक एक उभयनिष्ठ बिंदु बनता है।
दोनों युग्मों में केवल एक बिन्दु उभयनिष्ठ है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो एक-दूसरे को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटते हैं। यह वृत्तों के लिए अधिकतम उभयनिष्ठ बिंदुओं को दर्शाता है।
प्रत्येक युग्म में दो बिन्दु उभयनिष्ठ हैं।
अतः दो वृत्तों के उभयनिष्ठ बिन्दु की अधिकतम संख्या = 2
In simple words: When two circles are drawn, they can intersect at zero, one, or at most two common points. The maximum number of common points between any two circles is two.

🎯 Exam Tip: This question requires drawing and observation. Make sure to clearly draw examples for 0, 1, and 2 intersection points to justify the maximum number.

 

Question 2. मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केन्द्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिस पर A, B और C तीन बिंदु लिए गए हैं। जीवा AB और BC खींची गई हैं, और उनके लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र O पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं।
Answer: हल : दिया है : अज्ञात केन्द्र वाला एक वृत्त ।। ज्ञात करना है : वृत्त का केन्द्र । रचना : (1) वृत्त की परिधि पर तीन बिन्दु A, B व C लिए। (2) जीवाएँ AB व BC खींचीं। (3) जीवा AB व जीवा BC दोनों के लम्ब समद्विभाजक खींचे जो परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं। बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।
In simple words: To find the center of a given circle, draw any two chords. Then, construct the perpendicular bisectors of these two chords. The point where the two perpendicular bisectors intersect is the center of the circle.

🎯 Exam Tip: This is a standard construction problem. Remember that the perpendicular bisector of any chord passes through the center of the circle.

 

Question 3. यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब-समद्विभाजक पर स्थित हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो A और B बिंदुओं पर एक-दूसरे को काटते हैं। केंद्र O और O' को एक रेखाखंड से जोड़ा गया है। AB उभयनिष्ठ जीवा है, और OO' रेखाखंड AB को बिंदु P पर लंबवत समद्विभाजित करता हुआ दिखाया गया है।
Answer: हल : दिया है : O तथा O' केन्द्र वाले दो वृत्त हैं जो परस्पर दो बिन्दुओं A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। AB वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है और OO' उनके केन्द्रों को मिलाने वाली रेखा है। AB और OO' एक-दूसरे को बिन्दु P पर काटते हैं। सिद्ध करना है : OO', AB का लम्ब समद्विभाजक है। रचना : वृत्तों की त्रिज्याएँ OA, OB, O'A व O'B खींचीं। उपपत्तिः \( \triangle \) OAO' तथा \( \triangle \) OBO' में,
OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।)
O'A= O'B (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।)
OO' = OO' (उभयनिष्ठ भुजा है)

\( \triangle \) OAO' = \( \triangle \) OBO' (S.S.S. से)

\( \triangle \) AOO' = \( \triangle \) BOO' या \( \angle \) AOP = \( \angle \) BOP (C.P.C.T.)
तब \( \triangle \) AOP और \( \triangle \) BOP में,
OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।)
\( \angle \) AOP = \( \angle \) BOP (ऊपर सिद्ध किया है ।)
OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा है)

\( \triangle \) AOP = \( \triangle \) BOP

AP = BP और \( \angle \) OPA = \( \angle \) OPB
AP = BP; अतः OO' बिन्दु P पर AB को समद्विभाजित करता है ।

\( \angle \) OPA = \( \angle \) OPB और APB एक रेखा (उभयनिष्ठ जीवा) है।

\( \angle \) OPA + \( \angle \) OPB = 180° हल करने पर, \( \angle \) OPA = 90° व \( \angle \) OPB = 90°
अतः OO” उभयनिष्ठ जीवा AB का लम्ब-समद्विभाजक है। Proved.
In simple words: When two circles intersect, the line connecting their centers is the perpendicular bisector of their common chord. This is proven by showing that the triangles formed by connecting the centers to the intersection points are congruent, leading to the conclusion that the common chord is bisected at a 90-degree angle.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental theorem. The key is to prove the congruence of triangles formed by the centers and the intersection points, first using SSS, then SAS, to establish both bisection and perpendicularity.

प्रश्नावली 10.4

 

Question 1. 5 सेमी और 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो एक-दूसरे को दो बिंदुओं पर काटते हैं। वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं, और उनके केंद्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा, जो दोनों वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ती है, को दर्शाया गया है। इसमें एक बिंदु P है जहाँ उभयनिष्ठ जीवा केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को काटती है।
Answer: हल : दिया है: O तथा O' केन्द्रों वाले वृत्तों की त्रिज्याएँ OA तथा O'A क्रमशः 5 सेमी व 3 सेमी हैं। उनके केन्द्रों के बीच की दूरी OO' = 4 सेमी है। ज्ञात करनी है : उभयनिष्ठ जीवा AB की माप । गणना \( \triangle \) OAO' की भुजाएँ O'A = 3 सेमी, OO' = 4 सेमी व OA = 5 सेमी हैं। तब,
\( OA^2 = (25) \)
और \( O'A^2 +(OO')^2 = (3)^2 + (4)^2 = 9+16=25 \)

\( OA^2 = O'A^2 + OO'^2 \) (पाइथागोरस प्रमेय से)
अतः \( \triangle \) OAO' समकोणीय है। \( \angle \) AOO' = 90° परन्तु APB उभयनिष्ठ जीवा है जो OO" पर लम्ब होना चाहिए। अतः P और O' एक ही बिन्दु है अर्थात् त्रिज्या AO' = उभयनिष्ठ जीवा का भाग AP उभयनिष्ठ जीवा का भाग AP = AO' = 3 सेमी केन्द्र रेखा OO' उभयनिष्ठ जीवा AB की लम्ब-समद्विभाजक होगी ।
AB = 2 x AP = 2 x 3 = 6 सेमी
अतः उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई = 6 सेमी ।
In simple words: Given two intersecting circles with radii 5cm and 3cm, and a center distance of 4cm, we need to find the length of the common chord. By analyzing the triangle formed by the centers and an intersection point, we find it's a right-angled triangle. This means one radius squared equals the sum of the other radius squared and the center distance squared, implying the common chord's perpendicular bisector aligns with one center. The common chord's half-length is 3cm, making the full length 6cm.

🎯 Exam Tip: This problem often involves applying the Pythagorean theorem. Identify the right-angled triangle formed by the centers and one intersection point. Remember that the line joining the centers perpendicularly bisects the common chord.

 

Question 2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसके भीतर दो समान जीवाएँ, AB और CD, बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्र O से जीवाओं AB और CD पर लंब OM और ON खींचे गए हैं। रेखाखंड OP भी दर्शाया गया है।
Answer: हल : दिया है : O केन्द्र वाले एक वृत्त की AB व CD दो बराबर जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को वृत्त के अन्दर बिन्दु P पर काटती हैं। सिद्ध करना है : AP = CP तथा BP = DP रचना : वृत्त के केन्द्र O से जीवा AB पर OM तथा जीवा CD पर ON लम्बे खींचे ।। रेखाखण्ड OP खींचा। उपपत्ति : OM \( \bot \) AB \( \implies \) \( \angle \) OMP = 90°
और ON \( \bot \) CD \( \implies \) \( \angle \) ONP = 90°
\( \triangle \) OMP और \( \triangle \) ONP समकोणीय हैं।
तब, समकोण \( \triangle \) OMP तथा \( \triangle \) ONP में,
OM = ON (जीवा AB = जीवा CD)
OP = OP (उभयनिष्ठ जीवा है ।)
\( \angle \) OMP = \( \angle \) ONP (प्रत्येक 90°)

\( \triangle \) OMP = \( \triangle \) ONP (R.H.S. से)

MP = NP (C.P.C.T.) ...(1)
OM \( \bot \) AB
AM = BM
AP + PM = BM
AP = BM - PM
AP = AB - PM ( \( \because \) AM = BM = ) .....(2)
और ON \( \bot \) CD
CN = DN
CP + PN = DN
CP = DN - PN
CP = CD - PN (CN = DN = )
CP = AB - PM [CD = AB तथा समीकरण (1) से PN = PM] ...(3)
अब समीकरण (2) व (3) से, AP = CP
AB = CD (दिया है ।)
AP + BP = CP + DP (चित्र से) परन्तु AP = CP (ऊपर सिद्ध किया है ।) घटाने पर BP = DP
अतः AP = CP और BP = DP अर्थात एक जीवा AB के खण्ड दूसरी जीवा CD के संगत खण्डों के बराबर हैं। Proved.
In simple words: If two equal chords intersect inside a circle, the segments of one chord are equal to the corresponding segments of the other chord. This is proven by drawing perpendiculars from the center to the chords and showing congruence of triangles formed, which establishes that the chords are equally distant from the center.

🎯 Exam Tip: This proof relies on the property that equal chords are equidistant from the center and the RHS congruence criterion. Clearly mark congruent triangles and use CPCTC effectively.

 

Question 3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसमें दो समान जीवाएँ AB और CD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती हैं। केंद्र O से जीवाओं पर लंब OM और ON खींचे गए हैं। रेखाखंड OP, प्रतिच्छेदन बिंदु P को केंद्र O से जोड़ता है।
Answer: हल : दिया है : केन्द्र O के वृत्त की दो बराबर जीवाएँ AB और CD जो बिन्दु P पर प्रतिच्छेदन करती हैं। सिद्ध करना है: रेखाखण्ड OP, से जीवाओं AB व CD द्वारा बने \( \angle \) BPO = \( \angle \) DPO रचना : केन्द्र O से AB और CD पर क्रमशः OM और ON लम्ब डाले। उपपत्ति : जीवा AB = जीवा CD
OM = ON
अब \( \triangle \) OPM और \( \triangle \) OPN में,
OM = ON (दिया है ।)
\( \angle \) OMP = \( \angle \) ONP (प्रत्येक समकोण है ।)
OP = OP (उभयनिष्ठ भुजा है ।)

\( \triangle \) OPM = \( \triangle \) OPN (R.H.S. से)

अतः \( \angle \) MPO = NPO यो \( \angle \) BPO = \( \angle \) DPO (C.P.C.T.) Proved.
In simple words: When two equal chords intersect inside a circle, the line segment connecting the point of intersection to the center of the circle bisects the angle between the chords. This is proven by showing that the triangles formed by the center, the perpendiculars to the chords, and the intersection point are congruent.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the RHS congruence rule after establishing that equal chords are equidistant from the center. The goal is to show the angles formed by OP with the chords are equal.

 

Question 4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्रीय वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र O है, A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए AB = CD है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो संकेन्द्रीय वृत्तों को दर्शाता है, जिनका केंद्र O है। एक सीधी रेखा इन वृत्तों को A, B, C और D बिंदुओं पर काटती है। केंद्र O से इस रेखा पर एक लंब OM खींचा गया है।
Answer: हल : दिया है : दो संकेन्द्रीय वृत्तों का केन्द्र O है। एक ऋजु रेखा वृत्तों को बिन्दुओं A, B, C और D पर प्रतिच्छेदित करती है। सिद्ध करना है : AB = CD रचना : वृत्त के केन्द्र O से हैं पर OM लम्ब डाला । उपपत्ति : रेखा । बड़े वृत्त को बिन्दुओं A तथा D पर काटती है। AB वृत्त की जीवा है और OM उस पर केन्द्र से डाला गया लम्ब है।
AM = MD ........(1)
रेखा । छोटे वृत्त को बिन्दुओं B तथा C पर काटती है। BC वृत्त की जीवा है और OM उस पर केन्द्र से खींचा गया लम्ब है।
BM = MC ........(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
AM – BM = MD – MC
अतः AB = CD Proved.
In simple words: When a line intersects two concentric circles, the segments formed between the circles are equal. This is proven by dropping a perpendicular from the center to the line. This perpendicular bisects both chords (of the larger and smaller circles), and subtracting the bisected segments of the smaller chord from those of the larger chord yields equal segments between the circles.

🎯 Exam Tip: The key here is the property that a perpendicular from the center to a chord bisects the chord. Apply this property to both the larger and smaller circles and then subtract the resulting segment lengths.

 

Question 5. एक पार्क में बने 5 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 मीटर हो तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्ताकार पार्क को दर्शाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 5 मीटर है। तीन लड़कियाँ, रेशमा (A), सलमा (B), और मनदीप (C), वृत्त की परिधि पर खड़ी हैं। रेशमा और सलमा (AB) के बीच की दूरी 6 मीटर है, और सलमा और मनदीप (BC) के बीच की दूरी भी 6 मीटर है। P वह बिंदु है जहाँ OB, AC को काटता है।
Answer: हल : दिया है। एक पार्क में 5 मीटर त्रिज्या का एक वृत्त बना है जिसका केन्द्र O है। तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमी और मनदीप वृत्त पर क्रमशः A, B व C स्थानों पर खड़ी हैं। रेशमा और सलमा के बीच की दूरी AB = 6 मीटर तथा सलमा और मनदीप के बीच दूरी BC = 6 मीटर है। ज्ञात करना है : रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी = AC गणना : त्रिज्याएँ OA और OB खींचीं और माना कि OB, AC को बिन्दु P पर काटती है। \( \triangle \) OAB में, OA = 5 मीटर (त्रिज्या), OB = 5मीटर (त्रिज्या) तथा AB = 6 मीटर । माना OA = 5 मीटर = a, OB = 5 मीटर = b और AB = 6 मीटर = c अर्धपरिमाप \( s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \)
तब, \( \triangle \) OAB का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)

\( = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} \)
\( = \sqrt{8 \times 3 \times 3 \times 2} = \sqrt{144} \)

= 12 वर्ग मीटर ...(1)
परन्तु \( \triangle \) OAB का क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times \) आधार \( \times \) ऊँचाई
\( = \frac{1}{2} \times OB \times AP \)
\( = \frac{1}{2} \times 5 \times AP = \frac{5}{2} AP \) वर्ग मीटर ...(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
\( \frac{5}{2} AP = 12 \)

\( \implies AP = \frac{12 \times 2}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 \) मीटर
इसी प्रकार CP = 4.8 मीटर
AC = AP + CP = 4.8+4.8 = 9.6 मीटर
अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी AC = 9.6 मीटर।
In simple words: Three girls (Reshma, Salma, Mandip) are on a circular park of radius 5m. Distances RS and SM are both 6m. To find the distance RM, we use Heron's formula to find the area of triangle ROS (where O is the center). Then, using the area formula (1/2 * base * height), we find the altitude from O to RS. Since RS = SM, this forms a symmetrical isosceles triangle, allowing us to find RM by adding segments. The distance between Reshma and Mandip is 9.6 meters.

🎯 Exam Tip: This is a challenging problem combining circle properties with triangle area calculation (Heron's formula). Recognize that the triangle formed by the center and two players is isosceles, and the common chord perpendicular bisector property is crucial.

 

Question 6. 20 मीटर त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र 20 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पार्क को दर्शाता है, जिसका केंद्र O है। तीन लड़के A, B और C बिंदुओं पर परिधि पर समान दूरी पर बैठे हैं, जिससे एक समबाहु त्रिभुज ABC बनता है। O' त्रिभुज का केंद्रक है, और AD, BE माध्यिकाएँ हैं।
Answer: हल : दिया है : O केन्द्र वाला एक वृत्त के आकार का पार्क है जिसकी त्रिज्या OA या OB = 20 मीटर है। वृत्त की परिधि पर तीन लड़के एक-दूसरे से बराबर दूरी पर A, B व C स्थानों पर ऐसे बैठे हैं कि AB = BC = AC ज्ञात करना है : डोरी की लम्बाई AB रचना : \( \triangle \) ABC की माध्यिकाएँ AD व BE खींची। गणना : A ABC में,
AB=BC= AC

\( \triangle \) ABC समबाहु त्रिभुज है जिसकी माध्यिकाएँ AD तथा BE परस्पर बिन्दु O' पर काटती हैं।
अब, AD, समबाहु त्रिभुज की माध्यिका है।

\( \implies \) AD \( \bot \) BC और BD = CD

AD, BC का लम्ब समद्विभाजक है।
AD वृत्त के केन्द्र O से जाएगा।
O और O' एक ही बिन्दु होगा।
त्रिभुज की माध्यिकाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु O' हैं।
AO': O'D = AO: OD = 2:1
त्रिज्या OA = 20 मीटर

\( \implies \) 20: OD = 2:1

\( \implies \) 2 \( \times \) OD = 20

\( \implies \) OD = 10
AD = OA + OD = 20+10=30 मीटर
तब, अब, समकोण \( \triangle \) ADB में,
\( AB^2= BD^2+ AD^2 \) (पाइथागोरस प्रमेय से)

\( = (\frac{BC}{2})^2 +(30)^2 \)

\( = (\frac{AB}{2})^2 + 900 \) ( \( \because \) BD = \( \frac{BC}{2} \) )

\( AB^2 = \frac{1}{4} AB^2 + 900 \) ( \( \because \) AB = BC)

\( AB^2 - \frac{1}{4} AB^2 = 900 \)

\( \frac{3AB^2}{4} = 900 \)

\( AB^2 = \frac{900 \times 4}{3} = 1200 \)

\( AB=\sqrt{1200} = \sqrt{2 \times 2 \times 3 \times 10 \times 10} = 20\sqrt{3} \)
अतः प्रत्येक डोरी की लम्बाई = \( 20\sqrt{3} \) मीटर।
In simple words: Three boys are equally spaced on a circular park of 20m radius. This means they form an equilateral triangle inside the circle. To find the length of the phone cords (sides of the triangle), we use the property that the median of an equilateral triangle passes through the circumcenter (which is the center of the park). The median is divided in a 2:1 ratio by the centroid. Using this, we find the height (median) of the triangle and then apply the Pythagorean theorem to find the side length.

🎯 Exam Tip: This problem connects properties of equilateral triangles (medians, centroid, circumcenter) with circle properties. Recognizing that the centroid and circumcenter coincide for an equilateral triangle is crucial. Be careful with calculations involving square roots.

प्रश्नावली 10.5

 

Question 1. केन्द्र O वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि \( \angle \)BOC = 30° तथा \( \angle \)AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है तो \( \angle \)ADC ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। वृत्त की परिधि पर तीन बिंदु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि केंद्र पर \( \angle \) AOB 60° और \( \angle \) BOC 30° है। D एक बिंदु है जो चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त के शेष भाग पर स्थित है।
Answer: हल : दिया है : O केन्द्र वाला एक वृत्त है जिसकी परिधि पर A, B और C तीन बिन्दु इस प्रकार हैं कि \( \angle \)AOB = 60° और \( \angle \)BOC = 30° हैं । चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु D है जो चाप ABC के साथ \( \angle \) ADC बनाता है। ज्ञात करना है: \( \angle \)ADC गणना : \( \angle \)AOB = 60° और \( \angle \)BOC = 30°
जोड़ने पर, \( \angle \)AOB + \( \angle \) BOC = 60° + 30°= 90°

\( \angle \) AOC = 90°
\( \angle \)AOC, चाप ABC द्वारा केन्द्र पर बना कोण है।
वृत्त की शेष परिधि पर चाप ABC द्वारा बना कोण \( \angle \)ADC, \( \angle \)AOC का आधा होगा।

\( \angle \)ADC = \( \frac{1}{2} \angle \)AOC = \( \frac{1}{2} \times \) 90° = 45°

\( \angle \)ADC = 45°
In simple words: Given angles AOB = 60° and BOC = 30° at the center O, the total angle AOC is 90°. The angle subtended by an arc at the center is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle. Therefore, the angle ADC, subtended by arc ABC on the remaining part of the circle, is half of angle AOC, which is 45°.

🎯 Exam Tip: Remember the theorem: "The angle subtended by an arc at the center is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle." This is the core concept for this problem.

 

Question 2. किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। जीवा AB वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। लघु चाप ACB पर एक बिंदु C है, और दीर्घ चाप ADB पर एक बिंदु D है।
Answer: हलः दिया है। एक वृत्त का केन्द्र O है। उसकी एक जीवा AB वृत्त की त्रिज्या OA के बराबर है। वृत्त के लघु चाप ACB पर एक बिन्दु C तथा दीर्घ चाप ADB पर एक बिन्दु D है। चाप ACB द्वारा बिन्दु D पर अन्तरित \( \angle \)ADB तथा चाप ADB द्वारा बिन्दु C पर अन्तरित \( \angle \)ACB है। ज्ञात करना है : \( \angle \)ACB व \( \angle \)ADB विश्लेषण व गणना :
जीवा AB = वृत्त की त्रिज्या OA या OB
AB = OA = OB

\( \triangle \) OAB समबाहु त्रिभुज है।

\( \angle \) AOB = 60° जो चाप ACB द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण है । :
चाप ACB द्वारा वृत्त की शेष परिधि के बिन्दु D पर अन्तरित \( \angle \)ADB = \( \frac{1}{2} \angle \)AOB

\( \angle \)ADB = \( \frac{1}{2} \times \) 60°

= 30°
इसी प्रकार, चाप ADB द्वारा वृत्त के केन्द्र O पर अन्तरित वृहत्कोण AOB = 360° – 60° = 300°
तब चाप ADB द्वारा वृत्त की शेष परिधि के बिन्दु C पर अन्तरित कोण ।

\( \angle \)ACB = वृहत्कोण \( \frac{1}{2} \angle \)AOB = \( \frac{1}{2} \times \) 300° = 150°
अतः \( \angle \)ACB = 150° तथा \( \angle \)ADB = 30°
In simple words: If a chord is equal to the radius, it forms an equilateral triangle with two radii. Thus, the angle at the center is 60°. The angle subtended by the minor arc at any point on the major arc is half of the central angle, so it's 30°. The angle subtended by the major arc at any point on the minor arc is half of the reflex central angle (360° - 60° = 300°), so it's 150°.

🎯 Exam Tip: This problem tests the relationship between the central angle and the angle subtended by an arc on the circumference. Remember to distinguish between the angle subtended by the minor arc and the major arc (which involves the reflex angle). Recognizing the equilateral triangle is key.

 

Question 3. \( \angle \)PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R, केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित Q बिन्दु हैं। \( \angle \)OPR ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। P, Q और R वृत्त की परिधि पर तीन बिंदु हैं। \( \angle \) PQR 100° है। रेखाखंड OP और OR, त्रिज्याएँ हैं जो केंद्र O को P और R से जोड़ती हैं।
Answer: हल : दिया है : O केन्द्र का एक वृत्त है जिसकी परिधि पर P, Q व R तीन बिन्दु हैं। ज्ञात करना है : \( \angle \)OPR गणना : दीर्घ चाप PR द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बना कोण वृहत्कोण \( \angle \)POR है और इस चाप द्वारा शेष परिधि PQR के बिन्दु Q पर बना \( \angle \)PQR है।
\( \angle \)PQR = \( \frac{1}{2} \) वृहत्कोण \( \angle \)POR
100° = \( \frac{1}{2} \) वृहत्कोण \( \angle \)POR

\( \implies \) वृहत्कोण \( \angle \) POR = 200°
तब, शेष कोण POR = 360° – 200° = 160°
अब, \( \triangle \) POR में, OR = OP (वृत्त की त्रिज्याएँ)

\( \implies \) \( \angle \)OPR = \( \angle \)ORP (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)
पुनः \( \triangle \) POR में,
\( \angle \)OPR + \( \angle \) POR + \( \angle \)ORP = 180° (त्रिभुज के अन्तःकोणों को योग 180° होता है ।)
\( \angle \)OPR + 160° + \( \angle \)OPR = 180° ( \( \angle \)ORP = \( \angle \)OPR)
2 \( \angle \)OPR = 180° – 160° = 20°

\( \angle \)OPR = 10°
अतः \( \angle \)OPR = 10°
In simple words: Given an angle PQR of 100° subtended by the major arc PR, the reflex angle POR at the center is 2 * 100° = 200°. The non-reflex angle POR is 360° - 200° = 160°. In triangle OPR, OP = OR (radii), so it's an isosceles triangle. Thus, angles OPR and ORP are equal. Using the angle sum property of a triangle (180°), we find 2 * OPR + 160° = 180°, which gives OPR = 10°.

🎯 Exam Tip: Be careful to distinguish between the angle subtended by an arc at the circumference and the reflex angle at the center. Applying the angle sum property in the isosceles triangle formed by the radii is also critical.

 

Question 4. \( \angle \)ABC = 69° और \( \angle \)ACB = 31° हो, तो \( \angle \)BDC ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसमें A, B, C और D बिंदु परिधि पर स्थित हैं। \( \triangle \) ABC वृत्त के भीतर बना हुआ है, जहाँ \( \angle \) ABC 69° और \( \angle \) ACB 31° है। D बिंदु उसी चाप पर स्थित है जिस पर A है, ताकि \( \angle \) BDC को मापा जा सके।
Answer: हल : दिया है : दी गई आकृति में \( \angle \)ABC = 69° और \( \angle \)ACB = 31° है। ज्ञात करना है : \( \angle \)BDC का मान । गणना : \( \triangle \)ABC में,
\( \angle \) BAC + \( \angle \)ABC + \( \angle \) ACB = 180° (त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग 180° होता है ।)
\( \angle \) BAC + 69° + 31° = 180°

\( \angle \) BAC = 180° – (69° + 31°)

\( \angle \) BAC = 180° – 100°

\( \angle \) BAC = 80°
\( \angle \) BAC व \( \angle \)BDC एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं और \( \angle \) BAC = 80° है।

\( \implies \) \( \angle \)BAC = \( \angle \) BDC = 80°
अतः \( \angle \)BDC = 80°
In simple words: Given angles ABC = 69° and ACB = 31° in a triangle inscribed in a circle, we first find angle BAC using the angle sum property of a triangle, which is 180° - (69° + 31°) = 80°. Since angles subtended by the same arc (BC) in the same segment of a circle are equal, angle BDC is equal to angle BAC, thus angle BDC = 80°.

🎯 Exam Tip: The critical theorem here is "Angles in the same segment of a circle are equal." First, find the missing angle in \( \triangle \)ABC using the angle sum property, then apply the circle theorem.

 

Question 5. एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिन्दु हैं। AC और BD एक बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \( \angle \) BEC = 130° तथा \( \angle \)ECD = 20° है । \( \angle \)BAC ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिस पर A, B, C, D चार बिंदु हैं। विकर्ण AC और BD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। \( \angle \) BEC 130° और \( \angle \) ECD 20° दिया गया है।
Answer: हल : दिया है : दी गई आकृति में एक वृत्त की परिधि पर A, B, C और D चार बिन्दु BF हैं। AC और BD बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। \( \angle \)BEC = 130° तथा \( \angle \)ECD = 20° ज्ञात करना है: \( \angle \)BAC रचना : AD को मिलाया। गणना :
\( \angle \) ECD = 20° या \( \angle \)ACD = 20°
\( \angle \)ABD वे \( \angle \)ACD एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।

\( \implies \) \( \angle \)ABD = 20° ( \( \angle \)ACD = 20°)
\( \angle \)ABE = 20°
\( \triangle \)ABE में \( \angle \)BEC बहिष्कोण है।

\( \angle \) BAE + \( \angle \) ABE = \( \angle \)BEC
\( \angle \) BAE + 20° = 130° (दिया है \( \angle \)BEC = 130°)

\( \angle \)BAE = 130° – 20° = 110°

\( \angle \) BAC = 110° ( \( \angle \)BAE = \( \angle \)BAC)
अतः \( \angle \)BAC = 110°
In simple words: Given \( \angle \)BEC = 130° and \( \angle \)ECD = 20° in a circle, we need to find \( \angle \)BAC. Since angles in the same segment are equal, \( \angle \)ABD = \( \angle \)ACD = 20°. In \( \triangle \)ABE, \( \angle \)BEC is an exterior angle, so \( \angle \)BEC = \( \angle \)BAE + \( \angle \)ABE. Substituting the values, 130° = \( \angle \)BAE + 20°, which gives \( \angle \)BAE = 110°. Since \( \angle \)BAE is the same as \( \angle \)BAC, \( \angle \)BAC = 110°.

🎯 Exam Tip: This problem involves two key concepts: angles in the same segment are equal, and the exterior angle of a triangle equals the sum of the two opposite interior angles. Apply these sequentially.

 

Question 6. ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि \( \angle \)DBC = 70° और \( \angle \)BAC = 30°हो तो \( \angle \)BCDज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो तो 2 ECD ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। \( \angle \) DBC 70° और \( \angle \) BAC 30° दिए गए हैं।
Answer: हल : दिया है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें विकर्ण AC व BD एक-दूसरे को बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। \( \angle \)DBC = 70° व \( \angle \)BAC = 30° और AB = BC है। ज्ञात करना है : \( \angle \) BCD और \( \angle \)ECD गणना :
\( \angle \)DAC व \( \angle \)DBC एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।

\( \implies \) \( \angle \)DAC = \( \angle \)DBC

\( \implies \) \( \angle \)DAC = 70° ( \( \angle \)DBC = 70°)
तब, चतुर्भुज ABCD में,
\( \angle \)DAB = \( \angle \)DAC + \( \angle \)BAC = 70° + 30°

\( \angle \)DAB = 100°
ABCD चक्रीय चतुर्भुज है।

\( \angle \)DAB + \( \angle \)BCD = 180° (सम्मुख कोणों का योग 180° होता है ।)
100° + \( \angle \)BCD = 180°

\( \angle \)BCD = 180° – 100° = 80°

\( \angle \)BCD = 80°
अब \( \triangle \)ABC में,
AB = BC

\( \implies \) \( \angle \)ACB = \( \angle \)BAC (समान भुजाओं के सम्मुख कोण)

\( \angle \)ACB = 30° ( \( \angle \) BAC = 30°)
ऊपर हम सिद्ध कर चुके हैं कि \( \angle \)BCD = 80°
\( \angle \)ACD + \( \angle \)ACB = 80°
(चित्र से) \( \angle \)ACD + 30° = 80° ( \( \angle \)ACB = 30°)

\( \angle \)ACD = 80° – 30° = 50°

\( \angle \)ECD = 50° ( \( \angle \) ECD = \( \angle \)ACD)
अतः \( \angle \)BCD = 80° और \( \angle \)ECD = 50°
In simple words: Given a cyclic quadrilateral ABCD with \( \angle \)DBC = 70° and \( \angle \)BAC = 30°. First, \( \angle \)DAC = \( \angle \)DBC = 70° (angles in the same segment). So, \( \angle \)DAB = \( \angle \)DAC + \( \angle \)BAC = 70° + 30° = 100°. In a cyclic quadrilateral, opposite angles sum to 180°, so \( \angle \)BCD = 180° - \( \angle \)DAB = 180° - 100° = 80°. If AB = BC, then \( \angle \)ACB = \( \angle \)BAC = 30°. Then, \( \angle \)ACD = \( \angle \)BCD - \( \angle \)ACB = 80° - 30° = 50°. \( \angle \)ECD is the same as \( \angle \)ACD.

🎯 Exam Tip: This problem tests several circle theorems: angles in the same segment are equal, and opposite angles of a cyclic quadrilateral are supplementary. Also, remember that angles opposite to equal sides in a triangle are equal.

 

Question 7. यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसमें एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD है। इसके विकर्ण AC और BD वृत्त के व्यास हैं और वे केंद्र O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
Answer: हल : दिया है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD वृत्त के व्यास हैं जो परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं। सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है। उपपत्ति : विकर्ण AC और BD व्यास हैं। AC = BD O वृत्त का केन्द्र है। OA = OC तथा OB = OD चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। ABCD समान्तर चतुर्भुज है। \( \angle \)B = \( \angle \)D परन्तु ABCD चक्रीय चतुर्भुज भी है जिससे \( \angle \)B + \( \angle \)D = 180° (सम्मुख कोणों का योग = 180°) उक्त दोनों तथ्यों से \( \angle \)B = 90° तथा \( \angle \)D = 90° इसी प्रकार, \( \angle \)A = 90° तथा \( \angle \)D = 90° इस प्रकार चतुर्भुज ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसके अन्तःकोण समकोण हैं। अतः ABCD एक आयत है। Proved.
In simple words: If the diagonals of a cyclic quadrilateral are diameters of the circle, then the quadrilateral is a rectangle. This is because angles in a semicircle are 90°, so all four angles of the quadrilateral will be 90°. A parallelogram with one angle as 90° is a rectangle.

🎯 Exam Tip: The crucial point here is that if diagonals are diameters, then all angles subtended at the circumference are 90° (angle in a semicircle). This immediately proves that it's a rectangle.

 

Question 8. यदि एक समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जहाँ AD और BC असमानांतर भुजाएँ हैं, और AD = BC दिया गया है। BE रेखाखंड को AD के समानांतर खींचा गया है, जिससे एक समांतर चतुर्भुज ABED बनता है।
Answer: हल : दिया है : समलम्ब चतुर्भुज ABCD में भुजा AD = भुजा BC . सिद्ध करना है : ABCD चक्रीय चतुर्भुज होगा। रचना : AD के समान्तर रेखाखण्ड BE खींचा। उपपत्ति : समान्तर चतुर्भुज ABED में,
\( \angle \)BAD = \( \angle \)BED .....(1)
परन्तु AD = BC (दिया है ।)
BC = BE
तब \( \triangle \) BEC एक समद्विबाहु त्रिभुज हुआ ।

\( \angle \)BEC = \( \angle \) BCE (समान भुजाओं के सम्मुख कोण) ...(2)
\( \angle \) BEC + \( \angle \) BED = 180° (ऋजु कोण)

\( \angle \) BCE + \( \angle \) BAD = 180° [समीकरण (1) व (2) से ]

\( \angle \) BCD + \( \angle \) BAD = 180°
इससे स्पष्ट है कि चतुर्भुज ABCD के दो सम्मुख अन्तः कोणों का योग दो समकोण के बराबर है। अतः चतुर्भुज ABCD चक्रीय चतुर्भुज है । Proved.
In simple words: If the non-parallel sides of a trapezium are equal (making it an isosceles trapezium), then it is cyclic. This can be proven by drawing a line parallel to one of the non-parallel sides, forming a parallelogram and an isosceles triangle. This allows us to show that the sum of opposite angles of the trapezium is 180°, which is the condition for a cyclic quadrilateral.

🎯 Exam Tip: The construction of a parallel line to one of the non-parallel sides is crucial. This helps create a parallelogram and an isosceles triangle, allowing you to establish the supplementary nature of opposite angles.

 

Question 9. दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBQवृत्तों को A, D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं। सिद्ध कीजिए कि \( \angle \)ACP = \( \angle \)QCD है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो B और C बिंदुओं पर एक-दूसरे को काटते हैं। B से दो रेखाखंड ABD और PBQ खींचे गए हैं, जो पहले वृत्त को A और P पर, और दूसरे वृत्त को D और Q पर काटते हैं। रेखाखंड AC, CP, CQ और QD को भी दर्शाया गया है।
Answer: हल : दिया है : दो वृत्त दी गई आकृति के अनुसार बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो रेखाखण्ड ABD और PBQ बिन्दु B से जाते हैं। पहला रेखाखण्ड ABD वृत्तों को A व D पर तथा दूसरी PBQ वृत्तों को Pव पर प्रतिच्छेद करता है। C से P और D को मिलाकर \( \angle \)ACP और \( \angle \)QCD बनाए गए हैं। सिद्ध करना है : \( \angle \)ACP = \( \angle \)QCD उपपत्ति : रेखाखण्ड ABD और PBQ परस्पर बिन्दु B पर काटते हैं।
\( \angle \)ABP = \( \angle \)QBD (शीर्षाभिमुख कोण) ...(1)
\( \angle \)ABP और \( \angle \)ACP एक वृत्तखण्ड के कोण हैं।

\( \implies \) \( \angle \)ABP = \( \angle \)ACP ...(2)
इसी प्रकार, \( \angle \)QCD और \( \angle \)QBD एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं।

\( \implies \) \( \angle \)QCD = \( \angle \)QBD ...... (3)
तब समीकरण (1) व (2) से,

\( \implies \) \( \angle \)ACP = \( \angle \)QBD ...(4)
अब समीकरण (3) व (4) से,

\( \implies \) \( \angle \)ACP = \( \angle \)QCD
अतः \( \angle \)ACP = \( \angle \)QCD Proved.
In simple words: When two circles intersect at B and C, and two lines ABD and PBQ pass through B intersecting the circles at A, D, P, Q respectively, we need to prove \( \angle \)ACP = \( \angle \)QCD. This is shown by recognizing that \( \angle \)ABP and \( \angle \)QBD are vertically opposite angles and thus equal. Also, \( \angle \)ACP = \( \angle \)ABP and \( \angle \)QCD = \( \angle \)QBD because angles in the same segment are equal. By substitution, \( \angle \)ACP = \( \angle \)QCD.

🎯 Exam Tip: The key here is to use two fundamental theorems: "Vertically opposite angles are equal" and "Angles in the same segment of a circle are equal." Identify the correct segments and vertical angles.

 

Question 10. यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है। भुजा AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है, जिसका केंद्र O है। भुजा AC को व्यास मानकर एक और वृत्त खींचा गया है, जिसका केंद्र O' है। ये दोनों वृत्त बिंदु X पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो भुजा BC पर स्थित है।
Answer: हल : दिया है : ABC एक त्रिभुज है जिसकी भुजाओं AB तथा AC को व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गए हैं जो परस्पर बिन्दु X पर काटते हैं। सिद्ध करना है : बिन्दु X, त्रिभुज की तीसरी भुजा BC पर स्थित है। रचना : रेखाखण्ड AX खीचिए । उपपत्ति : AB वृत्त का व्यास है तथा बिन्दु X वृत्त की परिधि पर स्थित है,
\( \angle \)AXB = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है ।)
पुनः AC वृत्त का व्यास है तथा बिन्दु X वृत्त की परिधि पर स्थित है,
\( \angle \)AXC = 90° (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है ।)
\( \angle \)AXB + \( \angle \)AXC = 90° + 90° = 180°
अर्थात \( \angle \) BXC = 180° = ऋजुकोण
अतः B, X और C एक ही रेखा में स्थित हैं। वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है। Proved.
In simple words: If circles are drawn taking two sides of a triangle as diameters, their point of intersection lies on the third side. This is proven by connecting the intersection point (X) to the common vertex (A) and showing that the angles AXB and AXC are both 90° (angles in a semicircle). Since their sum is 180°, BX C forms a straight line, meaning X lies on BC.

🎯 Exam Tip: The key theorem here is "The angle in a semicircle is a right angle." This immediately gives two 90° angles, whose sum proves collinearity.

 

Question 11. उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि \( \angle \) CAD = \( \angle \)CBD है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समकोण त्रिभुजों ABC और ADC को दर्शाता है, जिनका उभयनिष्ठ कर्ण AC है। बिंदु B और D क्रमशः वृत्त की परिधि पर हैं, और AC वृत्त का व्यास है।
Answer: हल : दिया है : \( \triangle \)ABC और \( \triangle \)ADC दो समकोण त्रिभुज हैं जिनका कर्ण AC उभयनिष्ठ है। रेखाखण्ड BD खींचा गया है। सिद्ध करना है : \( \angle \)CAD = \( \angle \)CBD रचना : AC को व्यास मानकर वृत्त खींचा। उपपत्ति \( \triangle \)ABC समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण AC है। \( \angle \)B = 90° पुनः \( \triangle \)ADC समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण AC है। \( \angle \) D = 90° तब चतुर्भुज ABCD में,
\( \angle \)B + \( \angle \)D = 180°
ABCD चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्मुख कोणों का योग 180° है ।)
बिन्दु A, B, C और D एक वृत्त पर हैं।
\( \angle \)CAD और \( \angle \)CBD एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं; अतः बराबर होंगे।
अतः \( \angle \) CAD = \( \angle \)CBD Proved.
In simple words: Given two right-angled triangles ABC and ADC sharing a common hypotenuse AC, we need to prove \( \angle \)CAD = \( \angle \)CBD. Since \( \angle \)B = 90° and \( \angle \)D = 90°, the quadrilateral ABCD is cyclic (opposite angles sum to 180°), and AC is its diameter. Angles \( \angle \)CAD and \( \angle \)CBD are angles in the same segment of this circle (subtended by arc CD), hence they are equal.

🎯 Exam Tip: The key idea is to recognize that if two right triangles share a hypotenuse, then all four vertices lie on a circle with that hypotenuse as the diameter. Once established as a cyclic quadrilateral, angles in the same segment are equal.

प्रश्नावली 10.6 (ऐच्छिक)

Question 1. सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों के केन्द्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिन्दुओं पर समान कोण अन्तरित करती है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो वृत्तों को दर्शाता है जो A और B बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं। वृत्त के केंद्र O₁ और O₂ को एक सीधी रेखा से जोड़ा गया है। यह रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिंदुओं A और B पर कोण बनाती है, जिन्हें समरूप सिद्ध करना है।
Answer: दिया है : O₁ तथा O₂ केन्द्रों वाले दो वृत्त एक-दूसरे को दो बिन्दुओं A तथा B पर प्रतिच्छेद करते हैं। केन्द्र रेखा \( O_1 O_2 \) प्रतिच्छेद बिन्दु A पर \( \angle O_1 A O_2 \) तथा B पर \( \angle O_1 B O_2 \) अन्तरित करती है। सिद्ध करना है : \( \angle O_1 A O_2 = \angle O_1 B O_2 \) उपपत्तिः \( \Delta O_1 A O_2 \) तथा \( \Delta O_1 B O_2 \) में, \( O_1 A = O_1 B \) (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।) \( O_2 A = O_2 B \) (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ बराबर होती हैं ।) \( O_1 O_2 = O_1 O_2 \) (दोनों त्रिभुजों की उभयनिष्ठ भुजा है) \( \Delta O_1 A O_2 = \Delta O_1 B O_2 \) (S.S.S. से)
\( \implies \angle O_1 A O_2 = \angle O_1 B O_2 \) (C.P.C.T.) Proved.
In simple words: जब दो वृत्त एक दूसरे को काटते हैं, तो उनके केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा दोनों कटान बिंदुओं पर समान कोण बनाती है। यह सर्वांगसम त्रिभुजों के गुणधर्म से सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: सर्वांगसमता कसौटियों (जैसे S.S.S.) का सही उपयोग और C.P.C.T. (Congruent Parts of Congruent Triangles) का सटीक उल्लेख महत्वपूर्ण स्कोरिंग पॉइंट हैं।

 

Question 2. एक वृत्त की 5 सेमी तथा 11 सेमी लम्बी दो जीवाएँ AB और CD समान्तर हैं और केन्द्रकी विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि AB और CD के बीच की दूरी 6 सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक वृत्त है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर दो समांतर जीवाएँ AB और CD हैं, जो केंद्र के विपरीत दिशा में स्थित हैं। केंद्र से जीवाओं पर लंब OM और ON खींचे गए हैं, और MN = 6 सेमी है। यह चित्र वृत्त की त्रिज्या (OA या OC) ज्ञात करने में मदद करता है।
Answer: दिया है : O त्रिज्या का एक वृत्त है जिसमें AB तथा CD दो समान्तर जीवाएँ केन्द्र O के विपरीत ओर स्थित हैं जिनकी लम्बाइयाँ क्रमशः 5 सेमी व 11 सेमी हैं। जीवाओं के बीच की (लाम्बिक) दूरी 6 सेमी है अर्थात \( MN = 6 \) सेमी जबकि \( MON \perp AB \) व \( MON \perp CD \) ज्ञात करना है : वृत्त की त्रिज्या OA। गणना : जीवाओं के बीच की दूरी \( MN = 6 \) सेमी माना जीवा AB की केन्द्र से दूरी \( OM = x \) सेमी है। \( OM \perp AB \)
\( \implies AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2} \) सेमी (केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।) तब, समकोण \( \Delta AMO \) में पाइथागोरस प्रमेय से, \( OA^2 = AM^2 + OM^2 \) \( = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + x^2 \) \( = \frac{25}{4} + x^2 \) ...(1) \( MN = 6 \) सेमी और \( OM = x \) सेमी \( ON = (6-x) \) सेमी \( ON \perp CD \)
\( \implies CN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \times 11 = \frac{11}{2} \) सेमी (केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।) तब, समकोण \( \Delta CNO \) में पाइथागोरस प्रमेय से, \( OC^2 = CN^2 + ON^2 \) \( = \left(\frac{11}{2}\right)^2 + (6-x)^2 \) \( = \frac{121}{4} + (6-x)^2 \) ...(2) OA और OC वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
\( \implies OA = OC \)
\( \implies OA^2 = OC^2 \) \( \frac{25}{4} + x^2 = \frac{121}{4} + (6-x)^2 \) (दोनों पक्षों का वर्ग करने पर) [समीकरण (1) व (2) से] \( x^2 - (6-x)^2 = \frac{121}{4} - \frac{25}{4} \) (पक्षान्तरण से) \( [x + (6-x)] [x- (6-x)] = \frac{96}{4} \) [\( a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) \)] \( 6 [x-6+x] = 24 \) \( [x-6+x] = \frac{24}{6} = 4 \) \( 2x - 6 = 4 \) \( 2x = 4+6 = 10 \) \( x = 5 \) तब, \( OA^2 = \frac{25}{4} + (x)^2 \) [समीकरण (1) से ] \( = \frac{25}{4} + (5)^2 \) ( \( \because x = 5 \) ) \( = \frac{25}{4} + 25 \) \( = \frac{25}{4} + \frac{100}{4} \) \( = \frac{125}{4} \)
\( \implies OA = \sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2} \) सेमी। अतः वृत्त की त्रिज्या \( = \frac{5\sqrt{5}}{2} \) सेमी।
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वृत्त की त्रिज्या ज्ञात की। पहले हमने जीवाओं की आधी लंबाइयों और केंद्र से उनकी दूरी का उपयोग करके दो समीकरण बनाए, फिर उन्हें बराबर करके केंद्र से जीवाओं की दूरी (x) निकाली। अंत में, x का मान वापस समीकरण में रखकर त्रिज्या प्राप्त की।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय और बीजगणितीय हल (जैसे \( a^2 - b^2 \) सूत्र) का सही प्रयोग ऐसे सवालों में पूरे अंक दिलाता है। चित्र बनाना और उस पर सभी मान अंकित करना भी महत्वपूर्ण है।

 

Question 3. किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को प्रदर्शित करता है जिसमें केंद्र O है और दो समांतर जीवाएँ AB और CD स्थित हैं। जीवा AB की लंबाई 6 सेमी है और CD की लंबाई 8 सेमी है। छोटी जीवा AB की केंद्र से दूरी OM = 4 सेमी है। चित्र का उद्देश्य यह दर्शाना है कि केंद्र से दूसरी जीवा CD की दूरी ON कैसे ज्ञात की जा सकती है।
Answer: दिया है : O केन्द्र वाले किसी वृत्त की दो समान्तर जीवाओं AB व CD की लम्बाइयाँ क्रमशः 6 सेमी व 8 सेमी हैं। छोटी जीवा AB की केन्द्र O से दूरी \( OM = 4 \) सेमी है। ज्ञात करना है : दूसरी जीवा CD की केन्द्र O से दूरी ON गणना : वृत्त की त्रिज्याएँ OA तथा OD खींचीं। जीवा AB की केन्द्र O से (लम्ब) दूरी \( OM = 4 \) सेमी (दिया है।) \( OM \perp AB \)
\( \implies AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \) सेमी (केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।) तब, समकोण \( \Delta AMO \) में, पाइथागोरस प्रमेय से, \( OA^2 = AM^2 + OM^2 \) \( = (3)^2 + (4)^2 = 9+16 = 25 \)
\( \implies OA = \sqrt{25} = 5 \) सेमी त्रिज्या \( OA = 5 \) सेमी तब वृत्त की त्रिज्या OD भी 5 सेमी होगी। \( ON \perp CD \)
\( \implies ND = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) सेमी (केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।) तब, समकोण \( \Delta DNO \) में, पाइथागोरस प्रमेय से, \( ON^2 + ND^2 = OD^2 \) \( ON^2 + (4)^2 = (5)^2 \) \( ON^2 = (5)^2 - (4)^2 = 25-16 = 9 \) \( ON^2 = (3)^2 \)
\( \implies ON = 3 \) सेमी अतः जीवा CD केन्द्र O से 3 सेमी दूर है।
In simple words: हमने पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वृत्त की त्रिज्या ज्ञात की, क्योंकि छोटी जीवा की केंद्र से दूरी और उसकी आधी लंबाई ज्ञात थी। फिर, उसी त्रिज्या का उपयोग करके, हमने बड़ी जीवा की आधी लंबाई और पाइथागोरस प्रमेय की मदद से केंद्र से बड़ी जीवा की दूरी ज्ञात की।

🎯 Exam Tip: जीवा पर केंद्र से लंब डालने पर वह जीवा को समद्विभाजित करता है, यह प्रमेय याद रखें। पाइथागोरस प्रमेय का सही अनुप्रयोग और गणना में सटीकता आवश्यक है।

 

Question 4. मान लीजिए कि कोण ABC का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ AD और CE काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि \( \angle ABC \) जीवाओं AC तथा DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोणों के अन्तर का आधा है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। बिंदु B वृत्त के बाहर स्थित है और कोण ABC की भुजाएं वृत्त को क्रमशः A, D और C, E पर काटती हैं, जिससे जीवाएँ AD और CE बनती हैं। यह चित्र कोण ABC और केंद्र पर जीवाओं AC तथा DE द्वारा बने कोणों के बीच संबंध स्थापित करने में मदद करता है।
Answer: दिया है : \( \angle ABC \) की कोण बनाने वाली भुजाएँ AB व BC एक वृत्त से जीवाएँ AD और CE काटती हैं। जीवा AC द्वारा वृत्त के केन्द्र O पर अन्तरित कोण \( \angle AOC \) है और DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण \( \angle DOE \) है। सिद्ध करना है : \( \angle ABC = \frac{1}{2} (\angle AOC - \angle DOE) \) रचना : रेखाखण्ड AE खींचा। उपपत्ति : जीवा AC वृत्त के केन्द्र पर \( \angle AOC \) और सम्मुख परिधि पर \( \angle AEC \) बनाती है।
\( \implies \angle AEC = \frac{1}{2} \angle AOC \) (प्रमेय-8 से) ...(1) इसी प्रकार, जीवा DE वृत्त के केन्द्र पर \( \angle DOE \) तथा शेष परिधि पर \( \angle DAE \) बनाती है।
\( \implies \angle DAE = \frac{1}{2} \angle DOE \) (प्रमेय-8 से) ...(2) समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर, \( \angle AEC - \angle DAE = \frac{1}{2} \angle AOC - \frac{1}{2} \angle DOE \) \( \angle AEC - \angle BAE = \frac{1}{2} (\angle AOC - \angle DOE) \) ...(3) ( \( \because \angle BAE = \angle DAE \) ) अब \( \Delta ABE \) में \( \angle AEC \) बहिष्कोण है।
\( \implies \angle ABE + \angle BAE = \angle AEC \)
\( \implies \angle ABE = \angle AEC - \angle BAE \) \( \angle ABC = \angle AEC - \angle BAE \) ...(4) ( \( \because \angle ABE = \angle ABC \) ) तब, समीकरण (3) व (4) से,
\( \implies \angle ABC = \frac{1}{2} (\angle AOC - \angle DOE) \) अथवा \( \angle ABC = \frac{1}{2} \times \) जीवाओं AC तथा DE द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोणों का अन्तर । Proved.
In simple words: हमने वृत्त के दो प्रमेय का उपयोग किया: केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है। इन प्रमेयों का उपयोग करके, हमने परिधि पर बने कोणों को केंद्र पर बने कोणों के आधे के रूप में व्यक्त किया। फिर, एक त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का उपयोग करके, हमने दिखाया कि बाहरी कोण ABC, केंद्र पर बने दो कोणों के अंतर का आधा होता है।

🎯 Exam Tip: "एक ही चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, शेष परिधि के किसी बिंदु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है" - इस प्रमेय का सही उपयोग और बहिष्कोण गुणधर्म को समझना इस प्रश्न को हल करने की कुंजी है।

 

Question 5. सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज की किसी भी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त, उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाता है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समचतुर्भुज ABCD है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक वृत्त को भुजा BC को व्यास मानकर खींचा गया है। यह चित्र इस तथ्य को दर्शाता है कि यह वृत्त समचतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु P से होकर गुजरता है।
Answer: दिया है ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें AC और BD विकर्ण हैं जिनका प्रतिच्छेद बिन्दु P है । भुजी BC को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है। सिद्ध करना है: BC को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु P से होकर जाएगा। उपपत्ति : ABCD एक समचतुर्भुज है और उसके विकर्ण AC तथा BD परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
\( \implies \angle CPB = 90^\circ \) \( \Delta CPB \) एक समकोण त्रिभुज है जिसका कर्ण BC है। तब समकोण \( \Delta CPB \) का P, अर्धवृत्त में स्थित होगा जिसका व्यास BC है। अतः BC को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त बिन्दु P (विकर्मों का प्रतिच्छेद बिन्दु) से होकर जाएगा। Proved.
In simple words: समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं। इसका मतलब है कि विकर्णों का कटान बिंदु और समचतुर्भुज की कोई भी भुजा एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जहाँ भुजा कर्ण होती है। एक प्रमेय के अनुसार, एक अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए कर्ण को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त समकोण वाले बिंदु से होकर गुजरेगा, जो कि विकर्णों का कटान बिंदु है।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के विकर्णों के गुणों (कि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं) और अर्धवृत्त में बने कोण के गुणधर्म (समकोण होना) को याद रखना इस प्रश्न को हल करने में मदद करेगा।

 

Question 6. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। A, B और C से जाने वाला वृत्त CD (यदि आवश्यक हो तो बढ़ाकर) को E पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि \( AE = AD \) है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समांतर चतुर्भुज ABCD है। एक वृत्त A, B और C बिंदुओं से होकर गुजरता है और भुजा CD को आगे बढ़ाने पर बिंदु E पर काटता है। इस व्यवस्था में, हमें सिद्ध करना है कि रेखाखंड AE की लंबाई AD की लंबाई के बराबर है।
Answer: दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके शीर्षों A, B और C से एक वृत्त खींचा गया है जो भुजा CD को E पर काटता है। सिद्ध करना है : \( AE = AD \) उपपत्ति : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है,
\( \implies \angle B = \angle D \) ...(1) (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।) A, B, C से जाने वाला वृत्त CD को E पर काटता है, ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है।
\( \implies \angle AED = \angle B \) ...(2) (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण) समीकरण (1) व (2) से,
\( \implies \angle AED = \angle D \) ( \( = \angle ADE \) ) \( \Delta ADE \) में, \( \angle AED = \angle ADE \) \( \Delta ADE \) समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें \( AD = AE \) (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं ।) Proved.
In simple words: हमने पहले दिखाया कि समांतर चतुर्भुज ABCD में सम्मुख कोण बराबर होते हैं। फिर, चूंकि ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है, तो उसके भी सम्मुख कोण बराबर होते हैं। इन दोनों तथ्यों को मिलाकर, हमने सिद्ध किया कि त्रिभुज ADE में कोण AED और ADE बराबर हैं, जिससे यह एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है और उसकी भुजाएँ AE और AD बराबर हो जाती हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के गुणों (सम्मुख कोण बराबर) और चक्रीय चतुर्भुज के गुणों (सम्मुख कोणों का योग 180° या बहिष्कोण अंदरूनी सम्मुख कोण के बराबर) का सही अनुप्रयोग इस तरह के ज्यामितीय प्रमाणों में महत्वपूर्ण है।

 

Question 7. AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए :
(i) AC और BD व्यास हैं।
(ii) ABCD एक आयत है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। दो जीवाएँ AC और BD एक दूसरे को बिंदु O पर समद्विभाजित करती हैं। यह चित्र यह समझने में मदद करता है कि यदि जीवाएँ एक दूसरे को समद्विभाजित करती हैं, तो वे व्यास क्यों होती हैं और उनसे बना चतुर्भुज आयत क्यों होता है।
Answer: दिया है: AC तथा BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो एक-दूसरे को बिन्दु O पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध करना है : (i) AC तथा BD वृत्त के व्यास हैं। (ii) ABCD एक आयत है। रचना : चतुर्भुज ABCD को पूरा किया। उपपत्ति : (i) जीवा AC और BD एक-दूसरे को बिन्दु O पर समद्विभाजित करती हैं।
\( \implies OA = OB = OC = OD \) तब, OA, OB, OC और OD एक ऐसे वृत्त की त्रिज्याएँ हैं जिसका केन्द्र O है। तब, \( AC = OA + OC = \) त्रिज्या \( + \) त्रिज्या \( = 2 \times \) त्रिज्या
\( \implies AC \) वृत्त का व्यास है। BD भी O से होकर जाती है, तब BD भी वृत्त का व्यास है । Proved. (ii) AC व्यास है, तब \( \angle B = 90^\circ \) तथा \( \angle D = 90^\circ \) (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है ।) और BD व्यास है, तब \( \angle A = 90^\circ \) तथा \( \angle C = 90^\circ \) (अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है ।) तब, ABCD एक ऐसा चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक अन्तः कोण \( 90^\circ \) है तथा विकर्ण एक-दूसरे को अर्धित करते हैं। अतः ABCD एक आयत है। Proved.
In simple words: यदि वृत्त की दो जीवाएँ एक दूसरे को समद्विभाजित करती हैं, तो इसका मतलब है कि उनका प्रतिच्छेद बिंदु वृत्त का केंद्र है। चूंकि जीवाएँ केंद्र से होकर गुजरती हैं, वे व्यास कहलाती हैं। जब व्यास से चतुर्भुज बनता है, तो अर्धवृत्त में बने कोण समकोण होते हैं, जिससे यह सिद्ध होता है कि सभी कोण 90 डिग्री हैं, और इस प्रकार चतुर्भुज एक आयत है।

🎯 Exam Tip: केंद्र से होकर जाने वाली जीवा व्यास होती है, और अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, ये दोनों प्रमेय इस प्रश्न के लिए महत्वपूर्ण हैं। आयत की परिभाषा (प्रत्येक कोण 90 डिग्री) को भी ध्यान में रखें।

 

Question 8. त्रिभुज ABC के कोणों A, B और C के समद्विभाजक उसके परिवृत्त को क्रमशः बिन्दुओं D, E और F पर प्रतिच्छेदित करते हैं । | सिद्ध कीजिए कि \( \Delta DEF \) के कोण \( 90^\circ - \frac{A}{2} \), \( 90^\circ - \frac{B}{2} \) और \( 90^\circ - \frac{C}{2} \) हैं।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक वृत्त है जो त्रिभुज ABC का परिवृत्त है। कोण A, B और C के समद्विभाजक AD, BE और CF परिवृत्त को क्रमशः D, E और F बिंदुओं पर काटते हैं। फिर इन बिंदुओं को मिलाकर एक नया त्रिभुज DEF बनता है। यह चित्र त्रिभुज DEF के कोणों और मूल त्रिभुज ABC के कोणों के बीच के संबंध को समझने में मदद करता है।
Answer: दिया है : \( \Delta ABC \) के कोणों A, B और C के समद्विभाजक AD, BE व CF त्रिभुज के परिवृत्त को क्रमशः बिन्दुओं D, E व F पर काटते हैं। बिन्दुओं D, E व F से त्रिभुज DEF बनाया गया है। सिद्ध करना है : \( \Delta DEF \) में, \( \angle D = 90^\circ - \frac{A}{2} \angle E = 90^\circ - \frac{B}{2} \) और \( \angle F = 90^\circ - \frac{C}{2} \) उपपत्ति :: \( \angle ADE \) और \( \angle ABE \) एक ही चाप AE द्वारा बने हैं।
\( \implies \angle ADE = \angle ABE \)
\( \implies \angle D = \frac{1}{2} \angle B \) ...(1) इसी प्रकार, \( \angle ADF \) और \( \angle ACF \) एक ही चाप AF द्वारा बने हैं।
\( \implies \angle ADF = \angle ACF \)
\( \implies \angle D = \frac{1}{2} \angle C \) ...(2) समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर,
\( \implies \angle D = \frac{1}{2} (\angle B + \angle C) \) ( \( \because \) त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग \( 180^\circ \) होता है अर्थात् \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \) )
\( \implies \angle D = \frac{1}{2} (180^\circ - \angle A) \)
\( \implies \angle D = 90^\circ - \frac{A}{2} \) इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि
\( \implies \angle E = 90^\circ - \frac{B}{2} \) तथा \( \angle F = 90^\circ - \frac{C}{2} \) अतः \( \angle D = 90^\circ - \frac{A}{2} \), \( \angle E = 90^\circ - \frac{B}{2} \) तथा \( \angle F = 90^\circ - \frac{C}{2} \) Proved.
In simple words: हमने वृत्त के अंदर कोणों के गुणों का उपयोग किया, जिसके अनुसार एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं। इससे हमने त्रिभुज DEF के कोणों को त्रिभुज ABC के कोणों के आधे के रूप में व्यक्त किया। फिर, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है, इस गुण का उपयोग करके, हमने त्रिभुज DEF के कोणों को \( 90^\circ \) में से मूल त्रिभुज के संबंधित कोणों के आधे को घटाकर प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: "एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं" और "त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है" - इन दोनों प्रमेयों का सही उपयोग इस प्रश्न को हल करने में निर्णायक है। कोणों के समद्विभाजक की अवधारणा को भी समझना महत्वपूर्ण है।

 

Question 9. दो सर्वांगसम वृत्त परस्पर बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से होकर कोई रेखाखण्ड PAQइस प्रकार खींचा गया है कि P और Q दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि \( BP = BQ \) है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो सर्वांगसम वृत्त हैं जो A और B बिंदुओं पर एक-दूसरे को काटते हैं। बिंदु A से होकर एक सीधी रेखा PAQ खींची गई है, जो पहले वृत्त को P पर और दूसरे वृत्त को Q पर काटती है। हमें यह सिद्ध करना है कि बिंदु B से P तक की दूरी (BP) और B से Q तक की दूरी (BQ) बराबर हैं।
Answer: दिया है : दो वृत्तों के केन्द्र \( O_1 \) व \( O_2 \) हैं और वे बिन्दुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A से एक रेखा PAQ खींची गई है जो वृत्तों से बिन्दुओं P और Q पर मिलती है। सिद्ध करना है : रेखाखण्ड \( BP = BQ \) रचना : जीवा AB तथा त्रिज्याएँ \( O_1 A, O_1 B, O_1 A \) तथा \( O_2 B \) खींचीं उपपत्ति : जीवा AB दोनों वृत्तों में उभयनिष्ठ है और दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं।
\( \implies O_1 \) केन्द्र वाले वृत्त का चाप AB \( = O_2 \) केन्द्र वाले वृत्त का चाप AB
\( \implies \angle A O_1 B = \angle A O_2 B \) (सर्वांगसम वृत्तों के समान चाप केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करते हैं।)
\( \implies \angle APB = \angle AQB \) (परिधि पर अन्तरित कोण) अब : \( \Delta QBP \) में, \( \angle APB = \angle AQB \) (ऊपर सिद्ध हुआ है।)
\( \implies \angle BPQ = \angle BQP \) अतः \( BQ = BP \) (सम्मुख कोण बराबर होने पर सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं।) Proved.
In simple words: हमने पहले दिखाया कि चूंकि दोनों वृत्त सर्वांगसम हैं और उनकी जीवा AB उभयनिष्ठ है, तो उनके केंद्रों पर बनने वाले कोण बराबर होंगे। इसके बाद, हमने एक ही चाप द्वारा परिधि पर बने कोणों के प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया कि कोण APB और AQB बराबर हैं। अंत में, त्रिभुज QBP में बराबर कोणों के सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं, इस गुण का उपयोग करके हमने BP = BQ सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: सर्वांगसम वृत्तों की अवधारणा, एक ही चाप द्वारा केंद्र और परिधि पर अंतरित कोणों के गुणधर्म, और त्रिभुज में समान कोणों के सामने की भुजाओं का बराबर होना- ये सभी प्रमेय इस प्रश्न के लिए आवश्यक हैं।

 

Question 10. किसी त्रिभुज ABC में, यदि \( \angle A \) का समद्विभाजक तथा BC का लम्बे समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्धकीजिए कि वे \( \Delta ABC \) के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे ।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज ABC है जो एक वृत्त के अंदर अंकित है, यह वृत्त त्रिभुज का परिवृत्त है। भुजा BC का लंब समद्विभाजक XY खींचा गया है, और कोण A का समद्विभाजक AD खींचा गया है। यह चित्र इस अवधारणा को दर्शाता है कि ये दोनों रेखाएँ (कोण समद्विभाजक और लंब समद्विभाजक) त्रिभुज के परिवृत्त पर एक ही बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती हैं।
Answer: दिया है : \( \Delta ABC \) के आधार BC का लम्ब समद्विभाजक XY है। ABDC, \( \Delta ABC \) का परिवृत्त है। लम्ब समद्विभाजक XY परिवृत्त को D पर काटता है। XY, BC को M पर काटता है। सिद्ध करना है : \( \angle A \) का समद्विभाजक भी बिन्दु D से होकर जाएगा। रचना : DB तथा DC को मिलाया। उपपत्ति : XY, BC का लम्ब समद्विभाजक है और यह परिवृत्त को बिन्दु D पर काटता है।
\( \implies \) बिन्दु D, परिवृत्त पर भी है और XY पर भी। \( \Delta BDM \) और \( \Delta CDM \) में, \( BM = CM \) (XY, BC का लम्ब समद्विभाजक है ।) \( \angle BMD = \angle CMD \) ( \( XY \perp BC \) अर्थात प्रत्येक \( 90^\circ \) ) \( MD = MD \) (उभयनिष्ठ भुजा है ।)
\( \implies \Delta BDM = \Delta CDM \) (S.A.S. से)
\( \implies BD = CD \) (C.P.C.T.) बिन्दु D, परिवृत्त पर भी स्थित है। परिवृत्त में, जीवा \( BD = \) जीवा CD
\( \implies \) चाप \( BD = \) चाप CD (समान चाप किसी वृत्त की समान जीवाएँ काटती हैं।) चाप BD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण \( = \) चाप CD द्वारा बिन्दु A पर अन्तरित कोण
\( \implies \angle BAD = \angle CAD \) अतः \( \angle A \) का समद्विभाजक AD भी बिन्दु D से होकर जाता है। Proved.
In simple words: हमने पहले BC के लंब समद्विभाजक XY और परिवृत्त के कटान बिंदु D पर ध्यान दिया। सर्वांगसम त्रिभुजों (BDM और CDM) के गुणों का उपयोग करके, हमने सिद्ध किया कि BD = CD। चूंकि ये जीवाएँ बराबर हैं, तो उनके संगत चाप भी बराबर होंगे। अंत में, एक ही चाप द्वारा परिधि पर बने कोण बराबर होते हैं, इस गुण का उपयोग करके हमने दिखाया कि AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

🎯 Exam Tip: सर्वांगसमता कसौटियां (S.A.S.), C.P.C.T., बराबर जीवाओं के संगत चाप बराबर होते हैं, और एक ही चाप द्वारा परिधि पर अंतरित कोण बराबर होते हैं - ये सभी प्रमेय इस प्रश्न के प्रमाण के लिए आवश्यक हैं।