UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.1

Ex 10.1 Lines and Angle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. यदि दो पूरक कोणों के बीच का अनुपात 2 : 3 है। तब कोण ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः माना दो पूरक (कोटिपूरक) कोण = 2x, 3x : दो पूरक कोणों का योग 90° होता है ।
.. 2x + 3x = 90°
5x = 90
x = \(\frac{90}{5}\) = 18
.. दो पूरक कोण = 2 × 18 =36° तथा 3 × 18 = 54°
In simple words: दो पूरक कोणों का अनुपात 2:3 दिया है। उनका योग 90° होता है, जिससे 5x = 90 मिलता है। x का मान 18 ज्ञात करके, कोणों का मान 36° और 54° प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों का योग 90° होता है, यह याद रखना महत्वपूर्ण है। अनुपातों को चर (variable) के रूप में व्यक्त करके समीकरण बनाना एक सामान्य हल विधि है।

Question 2. यदि दो सम्पूरक कोणों के बीच का अन्तर 40° है। तब कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना दो सम्पूरक कोण = x, 180 - x
दो सम्पूरक कोणों का अन्तर = 40
x - (180 - x) = 40
x - 180 + x = 40
2x = 220
x = \(\frac{220}{2}\) = 110
सम्पूरक कोण = 110°, 70°
In simple words: दो सम्पूरक कोणों का अंतर 40° है। यदि एक कोण x है, तो दूसरा 180-x होगा। समीकरण x - (180-x) = 40 को हल करने पर x का मान 110° मिलता है, जिससे दूसरे कोण का मान 70° होता है।

🎯 Exam Tip: सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है। कोणों को x और 180-x मानकर समीकरण बनाना और हल करना सीखें।

Question 3. एक त्रिभुज का बाह्य कोण 110° है और इसके दो अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। तब ये कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना ∠ABC = ∠BAC = x
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें C पर एक बाह्य कोण बनाया गया है, जिसे D तक बढ़ाया गया है। त्रिभुज के शीर्षों को A, B, C से दर्शाया गया है, और बहिष्कोण 110° है। त्रिभुज के भीतर कोण A और B को 'x' के रूप में दर्शाया गया है।
A का बहिष्कोण, अपने सम्मुख अन्तः कोणो के योग के बराबर होता है
.. ∠ACD = ∠BAC + ∠ABC
110 = x + x
110 = 2x
x = \(\frac{110}{2}\)
.. x = 55°
In simple words: त्रिभुज का बहिष्कोण उसके सम्मुख आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है। चूंकि दोनों आंतरिक कोण बराबर (x) हैं और बहिष्कोण 110° है, तो 2x = 110° होगा, जिससे x = 55° प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के बहिष्कोण प्रमेय को याद रखें। यह प्रमेय बताता है कि एक त्रिभुज का बाह्य कोण अपने दो सम्मुख आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।

Question 4. यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तब त्रिभुज का नाम बताइये?
Answer: हलः माना △ के कोण = x, y, z
' x + y = z (दिया है)
(i) * △ के तीनों कोणो का योग = 180°
x + y + z = 180°
समीकरण (1) से, z + z = 180°
2z = 180°
z = \(\frac{180}{2}\) = 90°
.. यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।
In simple words: यदि त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर है, तो त्रिभुज के सभी कोणों का योग 180° होने के कारण, वह कोण 90° का होगा। अतः, यह एक समकोण त्रिभुज कहलाता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। इस मूलभूत गुणधर्म का उपयोग करके विशेष प्रकार के त्रिभुजों की पहचान की जाती है।

Question 5. एक त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2 : 3 : 4 है। तब त्रिभुज का नाम बताइए ।
Answer: हलः माना △ के तीन कोण = 2x, 3x, 4x
△ के तीनो कोणो का योगफल = 180°
2x + 3x +4x = 180°
9x = 180°
x = \(\frac{180}{9}\) = 20
. △ के कोण = 40°, 60°, 80°
.. यह एक न्यूनकोण △ है।
In simple words: त्रिभुज के कोणों का अनुपात 2:3:4 है। कोणों के योग को 180° के बराबर रखने पर x का मान 20° मिलता है। इससे कोण 40°, 60° और 80° होते हैं। चूंकि सभी कोण 90° से कम हैं, यह एक न्यूनकोण त्रिभुज है।

🎯 Exam Tip: कोणों के अनुपातों को जोड़कर कुल अनुपात को 180° के बराबर करें। यदि त्रिभुज के सभी कोण न्यूनकोण (90° से कम) हों तो वह न्यूनकोण त्रिभुज होता है।

Question 6. यदि एक त्रिभुज का एक कोण 110° है तब अन्य दो कोणों के समअर्द्धको के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हल: △ABC में माना ∠A = x ∠C = y ∠B = 110°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें कोण B का मान 110° है। कोण A और C को क्रमशः x और y के रूप में दर्शाया गया है। चित्र में कोण A और C के समद्विभाजक एक बिंदु पर मिलते हुए दिखाए गए हैं, और उनके बीच के कोण को z से दर्शाया गया है।
∠A + ∠B + ∠C = 180°

⇒ x + 110 + y = 180

⇒ x + y = 180 - 110 = 70
: \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=\frac{70}{2}\) = 35
माना ∠A व ∠C के समअर्द्धको के बीच का कोण = z तब
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+z\) = 180°
समीकरण (1) से, 35 + z = 180°
z = 180 - 35 = 145°
In simple words: त्रिभुज के एक कोण (B) का मान 110° है, तो शेष दो कोणों (A+C) का योग 70° होगा। इन दोनों कोणों के समद्विभाजकों के बीच का कोण (z) ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि समद्विभाजकों द्वारा बने त्रिभुज में, z + (A/2 + C/2) = 180°। चूंकि (A+C)/2 = 35°, तो z = 180° - 35° = 145°।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म (180°) और कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बने त्रिभुज के कोणों के संबंध को समझें। \(I = 90 + \frac{A}{2}\) जैसे सूत्र भी सहायक होते हैं।

Ex 10.1 Lines and Angle लघु उत्तरीय प्रश्न - I (Short Answer Type Questions – I)

Question 7. निम्नलिखित को परिभाषित कीजिए (i) कोण (ii) एक कोण का अभ्यन्तर (iii) न्यूनकोण (iv) अधिक कोण (v) सम्पूरक कोण (vi) पूरक कोण
Answer: हलः
(i) कोण- दो रेखाओं के परस्पर झुकाव से बनने वाली आकृति को कोण कहते है। जैसे AB व AC दो किरणें हैं। AB तथा AC के झुकाव से ∠BAC बनता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक कोण ∠BAC को दर्शाता है, जो किरण AB और किरण AC के एक उभयनिष्ठ बिंदु A पर मिलने से बनता है। बिंदु A कोण का शीर्ष है, और किरणें AB व AC कोण की भुजाएँ हैं।
(ii) एक कोण का अभ्यन्तर (Interior of an Angle)- समतल का वह भाग जो किरण AB व AC के बीच स्थित है। ∠BAC का अभ्यन्तर कहलाता है।
(iii) न्यूनकोण- 90° से छोटे या कम कोण को न्यूनकोण कहते हैं।
(iv) अधिक कोण- 90° से बड़े कोण को अधिक कोण कहते हैं।
(v) सम्पूरक कोण- जिन दो कोणों का योग 180° होता है, सम्पूरक कोण कहलाते हैं जैसे 40° का सम्पूरक कोण 140° है।
(vi) पूरक कोण- जिन दो कोणों का योग 90° होता है, पूरक कोण कहलाते हैं जैसे 40° का पूरक कोण 50° होता है।
In simple words: यह प्रश्न विभिन्न ज्यामितीय शब्दों को परिभाषित करता है। कोण दो किरणों के मिलन से बनता है। अभ्यन्तर कोण के अंदर का क्षेत्र है। न्यूनकोण 90° से छोटा, अधिक कोण 90° से बड़ा होता है। सम्पूरक कोणों का योग 180° और पूरक कोणों का योग 90° होता है।

🎯 Exam Tip: इन सभी ज्यामितीय परिभाषाओं को ठीक से याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है। स्पष्ट और सटीक परिभाषाएँ लिखने का अभ्यास करें।

Question 8. कौन-सा कोण स्वयं का कोटिपूरक होता है?
Answer: हलः माना कोण = x
पूरक कोण = x
∴ x + x = 90
2x = 90

⇒ x = \(\frac{90}{2}\) = 45
.. कोण = 45° स्वयं का कोटिपूरक होता है।
In simple words: यदि एक कोण स्वयं का पूरक है, तो वह कोण 90° के आधे के बराबर होगा। इसलिए, 45° का कोण स्वयं का पूरक होता है क्योंकि 45° + 45° = 90°।

🎯 Exam Tip: कोटिपूरक (पूरक) कोणों का योग 90° होता है। इस अवधारणा पर आधारित सरल बीजगणितीय समीकरणों को हल करने का अभ्यास करें।

Question 9. कौन-सा कोण स्वयं का सम्पूरक होता है?
Answer: हलः माना कोण = x
सम्पूरक कोण = x
* x + x = 180°
2x = 180

⇒ x = \(\frac{180}{2}\) = 90°
.. कोण = 90° स्वयं का सम्पूरक कोण होता है।
In simple words: यदि एक कोण स्वयं का संपूरक है, तो वह कोण 180° के आधे के बराबर होगा। इसलिए, 90° का कोण स्वयं का संपूरक होता है क्योंकि 90° + 90° = 180°।

🎯 Exam Tip: सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है। इस अवधारणा पर आधारित सरल बीजगणितीय समीकरणों को हल करने का अभ्यास करें।

Question 10. निम्नलिखित प्रत्येक के सम्पूरक कोण का मापन ज्ञात कीजिए । (i) 54° (ii) 1300 (iii) 1720
Answer: हलः
(i) 54° का सम्पूरक कोण = 180 - 54 = 126°
(ii) 130° का सम्पूरक कोण = 180 - 130 = 50°
(iii) 172° का सम्पूरक कोण = 180 - 172 = 8°
In simple words: सम्पूरक कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण को 180° में से घटाना होता है। इस प्रकार, 54° का सम्पूरक 126°, 130° का सम्पूरक 50° और 172° का सम्पूरक 8° है।

🎯 Exam Tip: सम्पूरक कोण की परिभाषा को याद रखें (दो कोणों का योग 180°)। तीव्र गणना महत्वपूर्ण है।

Question 11. निम्नलिखित प्रत्येक कोण का पूरक कोण लिखिए। (i) 77° (ii) 65°10'20” (iii) 485942"
Answer: हलः
(i) 77° का पूरक कोण = 90 - 77 = 13°
(ii) 65°10′ 20″ का पूरक कोण = 90 - (65°10′ 20″) = 24°49'40"
(iii) 48°59'42" का पूरक कोण = 90 - (48°59′42″) =41°0′18″
In simple words: पूरक कोण ज्ञात करने के लिए दिए गए कोण को 90° में से घटाना होता है। डिग्री, मिनट और सेकंड में कोणों के लिए, 90° को 89°59′60″ के रूप में व्यक्त करके घटाव करें।

🎯 Exam Tip: पूरक कोण की परिभाषा को याद रखें (दो कोणों का योग 90°)। डिग्री, मिनट और सेकंड में घटाव करते समय, 1° = 60′ और 1′ = 60″ याद रखें।

Question 12. यदि एक कोण, उसके पूरक में, 10° का अन्तर है। कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना कोण = x
पूरक कोण = 90 - x
x - (90 - x) = 10
x - 90 + x = 10
2x = 100
x = 50°
.. कोण = 50°
In simple words: एक कोण (x) और उसके पूरक (90-x) का अंतर 10° है। समीकरण x - (90-x) = 10 को हल करने पर 2x = 100 मिलता है, जिससे कोण का मान 50° आता है।

🎯 Exam Tip: पूरक कोण की अवधारणा का उपयोग करके समीकरण बनाने का अभ्यास करें। सटीक बीजगणितीय हल महत्वपूर्ण है।

Question 13. यदि कोण (2x - 10)° और (x - 5)° पूरक कोण है तब x ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः कोण (2x - 10) तथा (x - 5) पूरक कोण है।
.. 2x - 10 + x - 5 = 90
3x - 15 = 90
3x = 90 + 15
3x = 105
x = \(\frac{105}{3}\) = 35°
In simple words: यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनका योग 90° होता है। दिए गए कोणों को जोड़कर 90° के बराबर रखें और समीकरण को हल करके x का मान 35° ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों की परिभाषा को लागू करते हुए समीकरणों को सावधानीपूर्वक स्थापित करें। बीजगणितीय गणनाओं में कोई त्रुटि न करें।

Question 14. यदि एक कोण का सम्पूरक, उसके पूरक के तीन गुने के बराबर है। तो कोण का मापन ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना कोण = x
पूरक कोण = 90 - x
सम्पूरक कोण = 180 - x
प्रश्नानुसार, 180 - x = 3(90 - x)
180 - x = 270 - 3x
-x + 3x = 270 - 180
2x = 90
x = \(\frac{90}{2}\) = 45
कोण = 45°
In simple words: एक कोण का संपूरक (180-x) उसके पूरक (90-x) के तीन गुना के बराबर है। समीकरण 180-x = 3(90-x) को हल करने पर x का मान 45° प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: सम्पूरक और पूरक कोणों की परिभाषाओं को स्पष्ट रूप से समझें। प्रश्न में दी गई शर्त को बीजगणितीय समीकरण में सही ढंग से रूपांतरित करना महत्वपूर्ण है।

Question 15. दो सम्पूरक कोण 3 : 7 के अनुपात में हैं, कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः माना पहला कोण = 3x
दूसरा कोण = 7x
प्रश्नानुसार, 3x + 7x = 180°
10x = 180°
x = \(\frac{180}{10}\) = 18
.. पहला कोण = 3 × 18 = 54°
दूसरा कोण = 7 × 18 = 126°
In simple words: दो सम्पूरक कोण 3:7 के अनुपात में हैं। चूंकि सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है, इसलिए 3x + 7x = 180°। इसे हल करने पर x = 18° मिलता है, जिससे कोण 54° और 126° हो जाते हैं।

🎯 Exam Tip: अनुपातों को चर (variable) के साथ व्यक्त करें और सम्पूरक कोणों के योग 180° का उपयोग करके समीकरण बनाएं।

Ex 10.1 Lines and Angle लघु उत्तरीय प्रश्न - II (Short Answer Type Questions – II)

Question 16. दी गयी आकृति में, OA और OB विपरीत किरणें हैं। x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠AOC तथा ∠BOD भी ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीधी रेखा पर स्थित चार कोणों को दर्शाता है, जहाँ OA और OB विपरीत किरणें हैं। कोण AOC = (x+20)°, कोण COD = x°, और कोण BOD = (x+10)° है। ये सभी कोण एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।
∠AOB = 180°
∠AOC + ∠COD + ∠BOD = 180°
x + 20 + x + x + 10 = 180
3x + 30 = 180
3x = 180 - 30
3x = 150
x = \(\frac{150}{3}\) = 50°
.. ∠AOC = 50 + 20 = 70°
∠BOD = 50 + 10 = 60°
In simple words: OA और OB विपरीत किरणें होने का अर्थ है कि AOB एक सीधी रेखा है, और उस पर बने कोणों का योग 180° होता है। दिए गए कोणों (x+20°, x°, x+10°) का योग 180° के बराबर रखने पर x = 50° मिलता है। इससे ∠AOC = 70° और ∠BOD = 60° हो जाते हैं।

🎯 Exam Tip: एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है (रैखिक युग्म अभिगृहीत)। इसे लागू करके चर के मान और अन्य कोणों को ज्ञात किया जा सकता है।

Question 17. चित्र में, AB और AC विपरीत किरणें हैं। यदि (a - 3b) = 20° तो कोण a और b ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीधी रेखा BC को दर्शाता है, जहाँ बिंदु A पर एक किरण AD ऊपर की ओर जाती है। कोण DAB को 'b' और कोण CAD को 'a' से दर्शाया गया है। किरण AB और AC विपरीत किरणें हैं, जिससे BAC एक सीधी रेखा है।
.. हम जानते हैं कि किरण CAB में a + b = 180° है।
a - 3b = 20 ... (1)
a + b = 180 ... (2)
घटाने पर
-4b = -160
b = \(\frac{160}{4}\) = 40°
समीकरण (1) में b का मान रखने पर
a - 3 × 40 = 20
a = 20 + 120
a = 140°
In simple words: AB और AC विपरीत किरणें हैं, तो a और b रैखिक युग्म बनाते हैं, इसलिए a+b = 180°। एक अन्य शर्त (a-3b=20°) दी गई है। इन दो समीकरणों को हल करने पर b=40° और a=140° प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म की अवधारणा का उपयोग करके समीकरणों की एक प्रणाली स्थापित करें। युगपत समीकरणों को हल करने की क्षमता महत्वपूर्ण है।

Question 18. दी गई आकृति में, दो सरल रेखाएं AB और CD एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है। यदि ∠BOD = x° और ∠AOD = (4x - 5)° तो x का मान ज्ञात कीजिए तथा निम्न को ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ AB और CD को दर्शाता है, जो बिंदु O पर एक-दूसरे को काटती हैं। कोण BOD को x° और कोण AOD को (4x-5)° से दर्शाया गया है।
(i) ∠BOD
(ii) ∠AOD
(iii) ∠AOC
(iv) ∠BOC
हलः ∠BOD + ∠AOD = 180
x + 4x - 5 = 180°
5x - 5 = 180
5x = 180 + 5
5x = 185
x = \(\frac{185}{5}\) = 37°
(i) ∠BOD = 37°
(ii) ∠AOD = 4x - 5 = 4 × 37 - 5 = 148 - 5 = 143°
(iii) ∠AOC = ∠BOD = 37° (शीर्षाभिमुख कोण)
(iv) ∠BOC = ∠AOD = 143° (शीर्षाभिमुख कोण)
In simple words: प्रतिच्छेदी रेखाओं पर ∠BOD और ∠AOD रैखिक युग्म बनाते हैं, जिनका योग 180° होता है। समीकरण x + (4x-5) = 180 को हल करने पर x = 37° मिलता है। इससे अन्य कोण भी ज्ञात हो जाते हैं, जहाँ शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्मों का योग 180° होता है और शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। इन दो प्रमुख ज्यामितीय गुणों का उपयोग करके प्रतिच्छेदी रेखाओं से संबंधित समस्याओं को हल करें।

Question 19. दी गयी आकृति में, AOC एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीधी रेखा AOC को दर्शाता है, जिस पर बिंदु O पर किरण OB खड़ी है। कोण AOB का मान 70° है और कोण BOC का मान 2x° है।
हल: AOC एक सरल रेखा है।
70 + 2x = 180°
2x = 180 - 70
2x = 110
x = \(\frac{110}{2}\) = 55°
In simple words: चूंकि AOC एक सीधी रेखा है, इस पर बने कोणों (70° और 2x°) का योग 180° होगा। समीकरण 70 + 2x = 180 को हल करने पर x का मान 55° प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है (रैखिक युग्म)। अज्ञात चर को खोजने के लिए इस गुण का उपयोग करें।

Question 20. दी गयी आकृति में, BAC एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠CAE व ∠BAD ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीधी रेखा BAC को दर्शाता है, जिस पर बिंदु A से तीन किरणें AD, AE और AF (स्पष्ट नहीं) निकल रही हैं। कोण CAE को (3x-5)°, कोण EAD को 55°, और कोण DAB को (x+20)° से दर्शाया गया है।
हलः
.. बिन्दु A पर बने तीनों कोणों का योग = 180°
.. 3x - 5 + 55 + x + 20 = 180°
4x + 70 = 180
4x = 180 - 70
4x = 110
x = \(\frac{110}{4}\) = 27°30′
.: ∠CAE = (3x 27°30′ - 5) = (82°30′ - 5°)= 77°30′
.. ∠BAD = 27°30′ + 20 = 47°30′
In simple words: BAC एक सीधी रेखा होने के कारण, इस पर बने सभी कोणों का योग 180° होता है। दिए गए कोणों के व्यंजकों को जोड़कर 180° के बराबर रखें और x का मान 27°30′ ज्ञात करें। फिर इस मान का उपयोग करके ∠CAE और ∠BAD ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: एक सीधी रेखा पर बने आसन्न कोणों का योग 180° होता है। डिग्री और मिनट में कोणों की गणना करते समय सावधानी बरतें।

Question 21. दी गयी आकृति में, POS एक रेखा है। x का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीधी रेखा POS को दर्शाता है, जिस पर बिंदु O पर दो किरणें OQ और OR खड़ी हैं। कोण POQ = 60°, कोण QOR = 4x°, और कोण ROS = 40° हैं।
हल: :: POS एक सरल रेखा है।
∠POQ + ∠QOR + ∠ROS = 180°
60 + 4x + 40 = 180
4x + 100 = 180
4x = 180 - 100
4x = 80
x = \(\frac{80}{4}\) = 20°
In simple words: POS एक सीधी रेखा है, इसलिए इस पर बने आसन्न कोणों का योग 180° होता है। दिए गए कोणों (60°, 4x°, 40°) को जोड़कर 180° के बराबर रखें और x का मान 20° ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सीधी रेखा पर स्थित कोणों का योग 180° होता है। यह एक मूल ज्यामितीय सिद्धांत है जो ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

Question 22. निम्न दी गयी आकृति में, तीन समरेखीय रेखायें एक बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। रुपीय कोण दर्शाये (चित्र में) गये हैं। a, b, c और d के मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह तीन प्रतिच्छेदी रेखाओं को दर्शाता है जो एक बिंदु O पर काटती हैं, जिससे विभिन्न कोण बनते हैं। कुछ कोणों के मान दिए गए हैं: 70° और 80°। अन्य कोणों को a, b, c, और d से चिह्नित किया गया है, और उनके मान ज्ञात करने हैं।
हलः ·.· ∠b = 70° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠c = 80° (शीर्षाभिमुख कोण)
: PQ एक सरल रेखा है।
∠a + ∠b + ∠c = 180°
∠a + 70 + 80 = 180°
∠a + 150 = 180°
∠a = 180 - 150° = 30°
∠d = ∠a = 30° (शीर्षाभिमुख कोण)
In simple words: प्रतिच्छेदी रेखाओं में, शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं (b=70°, c=80°)। एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है (a+b+c=180°), जिससे a=30° मिलता है। d, a का शीर्षाभिमुख कोण है, इसलिए d=30°।

🎯 Exam Tip: शीर्षाभिमुख कोणों के बराबर होने और एक सीधी रेखा पर बने कोणों के योग 180° होने के गुणों का उपयोग करें। इन दोनों अवधारणाओं का सही अनुप्रयोग महत्वपूर्ण है।

Question 23. सभी में आसन्न कोणों के कितने युग्म है? दी गयी आकृति में इन्हें क्या नाम दे सकते हैं?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करने वाली कई रेखाओं (किरणों) को दर्शाता है, जिससे कई आसन्न कोण बनते हैं। किरणें OA, OB, OC, OD, OE और OF (यदि मौजूद हो) हैं।
हलः 10 युग्म है, जो निम्न प्रकार है।
∠AOB तथा ∠BOC
∠AOB तथा ∠BOD
∠AOB तथा ∠BOE
∠AOC तथा ∠COD
∠AOC तथा ∠COE
∠AOD तथा ∠DOE
∠BOC तथा ∠COD
∠BOC तथा ∠COE
∠BOD तथा ∠DOE
∠COD तथा ∠DOE
In simple words: इस आकृति में कुल 10 आसन्न कोणों के युग्म हैं। आसन्न कोण वे होते हैं जिनका एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, लेकिन कोई उभयनिष्ठ आंतरिक बिंदु नहीं होता। प्रत्येक आसन्न युग्म को किरणों के नामों से पहचाना जाता है।

🎯 Exam Tip: आसन्न कोणों की परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझें (एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा)। सभी संभावित युग्मों की पहचान करने के लिए व्यवस्थित रहें।

Question 24. चित्र में, यदि ∠AOC + ∠BOD = 284° तो सभी चार कोण ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दो प्रतिच्छेदी रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जो बिंदु O पर एक-दूसरे को काटती हैं। इससे चार कोण ∠AOC, ∠BOD, ∠AOD और ∠BOC बनते हैं।
हलः यदि ∠AOC + ∠BOD = 284°
माना ∠AOD = ∠BOC = x
∠AOC + ∠BOD + ∠AOD + ∠BOC = 360
284 + ∠AOD + ∠BOC = 360
∠AOD + ∠BOC = 360 - 284 = 76
: x + x = 76
2x = 76

⇒ x = \(\frac{76}{2}\) = 38°
:: ∠AOC = 180° - 38 = 142°
∠BOD = 142° (शीर्षाभिमुख कोण)
In simple words: प्रतिच्छेदी रेखाओं पर बने सभी चार कोणों का योग 360° होता है। यदि ∠AOC + ∠BOD = 284° है, तो ∠AOD + ∠BOC = 360° - 284° = 76°। चूंकि ∠AOD और ∠BOC शीर्षाभिमुख कोण हैं और बराबर होते हैं, तो प्रत्येक कोण 38° होगा। फिर, ∠AOC = 180° - ∠AOD = 142°।

🎯 Exam Tip: एक बिंदु पर बने सभी कोणों का योग 360° होता है, और शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं। इन गुणों का उपयोग करके अज्ञात कोणों को ज्ञात करें।

Question 25. चित्र में, ∠ACB एक रेखा इस प्रकार है कि ∠DCA = 5x और ∠DCB = 4x, x का मान ज्ञात कीजिए तथा ∠DCB और ∠DCA ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक सीधी रेखा ACB को दर्शाता है, जिस पर बिंदु C पर एक किरण CD खड़ी है। कोण DCA को 5x° और कोण DCB को 4x° से दर्शाया गया है।
हल: ∠ACB एक सरल कोण है।
.. ∠ACD + ∠BCD = 180

⇒ 5x + 4x = 180

⇒ 9x = 180

⇒ x = \(\frac{180}{9}\) = 20
.. ∠BCD = 4x = 4 × 20 = 80°
तथा ∠ACD = 5x = 5 × 20 = 100°
In simple words: ACB एक सीधी रेखा है, इसलिए ∠DCA और ∠DCB एक रैखिक युग्म बनाते हैं और उनका योग 180° होता है। समीकरण 5x + 4x = 180° को हल करने पर x = 20° प्राप्त होता है। इस x मान से ∠DCB = 80° और ∠DCA = 100° ज्ञात होते हैं।

🎯 Exam Tip: सीधी रेखा पर बने कोणों का योग 180° होता है (रैखिक युग्म)। बीजगणितीय व्यंजकों का उपयोग करके कोणों को सही ढंग से जोड़ें और हल करें।