UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 10 Lines and Angle Ex 10.2

Ex 10.2 Lines And Angle अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. दी गयी आकृति में, AB || DE तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠BCD = 180°+ ∠CDE हलः बिन्दु C से होकर एक रेखा MCN खींची जबकि AB || MN माना ∠MCD = x ∠MCB = y
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक ज्यामितीय विन्यास दर्शाता है जहाँ दो समानांतर रेखाएँ AB और DE एक तिरछी रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं, और एक बिंदु C पर एक सहायक रेखा MCN खींची गई है। कोणों ∠ABC, ∠BCD, और ∠CDE को x और y के रूप में दर्शाया गया है, जिससे उनके संबंध को स्थापित किया जा सके।
Answer: ∠CDE = ∠ MCD = x
LHS :: ∠ABC + ∠BCD = 180 - y + x + y [:: ∠ABC = ∠BCN = 180°- y एकान्तर कोण]
= 180 + x = 180 + ∠CDE = RHS
In simple words: हमने बिंदु C से होकर AB के समानांतर एक रेखा MCN खींची। एकान्तर कोणों और रैखिक युग्मों के गुणों का उपयोग करके, हमने दिए गए कोणों के बीच संबंध स्थापित किया और सिद्ध किया कि ∠ABC + ∠BCD = 180° + ∠CDE।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं से बनने वाले एकान्तर कोण, संगत कोण और अन्तः कोण युग्मों के गुणों को हमेशा याद रखें। यह सिद्ध करने वाले प्रश्नों में महत्वपूर्ण होते हैं।

Question 2. दी गयी आकृति में, AB, CD के समान्तर है, x ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर रेखाओं AB और CD को दिखाता है, जिनके बीच एक बिंदु T पर एक तिर्यक रेखा MN खींची गई है। कुछ कोणों को 140° और 150° के रूप में दिया गया है, और कोण x का मान ज्ञात करना है, जो त्रिभुज ATN और NTC के कोणों का योग है।
Answer: AB||CD बिन्दु T से होती हुई AB तथा CD के समान्तर रेखा MN खींची।
∠ TAB + ∠ATN = 180° (अन्तः कोण युग्म)
140 + ∠ATN - 180°
∠ATN = 180 - 140 = 40°
:: ∠DCT + ∠NTC = 180°
150 + ∠NTC = 180°
∠NTC = 180 - 150 = 30°
.. x = ∠ATN + ∠NTC = 40 + 30 = 70°
In simple words: हमने बिंदु T से AB और CD के समानांतर एक रेखा MN खींची। अन्तः कोण युग्मों के गुण का उपयोग करके, हमने ∠ATN और ∠NTC का मान ज्ञात किया, फिर x के मान के लिए उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: जब दो समानांतर रेखाओं के बीच एक बिंदु होता है, तो उस बिंदु से समानांतर रेखाओं के समानांतर एक और रेखा खींचना अक्सर कोणों को ज्ञात करने में सहायक होता है।

Question 3. निम्न प्रत्येक आकृति में x° का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
(i) AB तथा CD के समान्तर एक रेखा FEM खींची।
∠ABE + ∠FEB = 180°
140 + ∠FEB = 180°
∠FEB = 180 - 140 = 40°
∠CDE + ∠FED = 180°
135 + ∠FED = 180° (अन्तः युग्म कोण)
∠FED = 180 - 135 = 45°
.:: ∠FEB + ∠FED = 40 + 45 = 85°
.. x = 85°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो असमांतर रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हुई दिख रही हैं, जिससे कोण x, 140° और 135° के संबंध में परिभाषित है। कोण x का मान ज्ञात करने के लिए सहायक समानांतर रेखा FEM खींची गई है।
In simple words: हमने एक सहायक रेखा FEM खींची जो AB और CD के समानांतर है। रैखिक युग्म और अन्तः कोण युग्मों के नियमों का उपयोग करके, हमने ∠FEB और ∠FED के मान निकाले, और फिर x का मान ज्ञात करने के लिए उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: जटिल कोण समस्याओं को हल करने के लिए अक्सर एक सहायक समानांतर रेखा खींचना सबसे अच्छा तरीका होता है, जिससे ज्ञात कोणों को अज्ञात कोणों से जोड़ा जा सके।

(ii) बिन्दु E से होती हुई एक रेखा MN खींची
∠MEA = ∠BAE = 50° (एकान्तर कोण)
∠MEC = ∠ECD = 70° (एकान्तर कोण)
∴ ∠MEA + ∠MEC = 50 + 70 = 120°
.: x = 120°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा द्वारा प्रतिच्छेदित किया गया है, और बिंदु E पर एक कोण x° और दो अन्य कोण 50° और 70° दर्शाए गए हैं। x का मान ज्ञात करने के लिए बिंदु E से एक सहायक रेखा MN खींची गई है।
In simple words: हमने बिंदु E से एक सहायक रेखा MN खींची। एकान्तर कोणों के नियम का उपयोग करके, हमने ∠MEA और ∠MEC के मान ज्ञात किए और x के मान के लिए उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: एकान्तर कोणों के सिद्धांत का उपयोग तब करें जब एक तिर्यक रेखा दो समानांतर रेखाओं को काटती है, क्योंकि यह अज्ञात कोणों को खोजने के लिए एक सीधा संबंध प्रदान करता है।

(iii) बिन्दु E से होती हुई MN रेखा खींची माना ∠MEB = a a = 180°- 60° = 120°
.. b = 180°- 30° = 150°
'' x = a + b = 120° + 150° = 270°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा से प्रतिच्छेदित हो रही हैं, और बिंदु E पर कोण x, 60° और 30° के साथ दिखाए गए हैं। एक सहायक रेखा MN को बिंदु E से खींचा गया है ताकि x का मान ज्ञात किया जा सके।
In simple words: हमने बिंदु E से एक सहायक रेखा MN खींची। रैखिक युग्मों के नियमों का उपयोग करके, हमने a और b के मान ज्ञात किए, और फिर x का मान ज्ञात करने के लिए उन्हें जोड़ा।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म कोणों के साथ-साथ समानांतर रेखाओं के कोण गुणों का उपयोग करके, आप अज्ञात कोणों की गणना कर सकते हैं।

Question 4. दी गयी आकृति में, AB|| CD तथा कोई बिन्दु P दर्शाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360° हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जिनके बीच एक बिंदु P है। बिंदु P से, AB और CD के साथ कोण ∠ABP, ∠BPD और ∠CDP बनाए गए हैं। हमें सिद्ध करना है कि इन तीनों कोणों का योग 360° होता है।
Answer: AB||CD तथा P बिन्दु से होती हुई एक सरल रेखा EF खींची
माना ∠BPE = x तथा ∠DPE = y
∠MBP = 180 - ∠ABP ..............(1)
तथा ∠NDP = 180 - ∠PDC ..............(2)
∠MBP = x (एकान्तर कोण)
∠NDP = y (एकान्तर कोण)
समीकरण (1) से 180 - ∠ABP = x ......... (3)
समीकरण (2) से 180 - ∠PDC = y .......... (4)
समीकरण (3) व (4) को जोडने पर,
180 - ∠ABP + 180 - ∠PDC = x + y
360 - ∠ABP - ∠CDP = ∠BPD
.. 360° = ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP
In simple words: हमने P से गुजरती हुई AB और CD के समानांतर एक रेखा EF खींची। एकान्तर कोणों और रैखिक युग्मों का उपयोग करके, हमने कोणों के बीच संबंधों को व्यवस्थित किया और सिद्ध किया कि ∠ABP + ∠BPD + ∠CDP = 360°।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, जटिल आकृतियों को सरल बनाने के लिए अक्सर एक सहायक रेखा खींचना प्रभावी होता है, खासकर जब समानांतर रेखाएं शामिल हों।

Question 5. दी गयी आकृति में, x ज्ञात कीजिए। हल: △ABC का बहिष्कोण = x △ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में एक त्रिभुज ABC दर्शाया गया है, जिसकी एक भुजा BD तक बढ़ाई गई है। त्रिभुज के अंदर दो कोण 70° और 60° दिए गए हैं, और बहिष्कोण x ज्ञात करना है।
Answer: .:: ∠CBD = ∠ACB + ∠CAB
∴∠CBD = 70 + 60 = 130°
.. x = 130°
In simple words: हमने त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का उपयोग किया, जिसके अनुसार बहिष्कोण उसके सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है, और x का मान 130° प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के बहिष्कोण का गुण (जो उसके सम्मुख आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है) कोण संबंधी समस्याओं को त्वरित रूप से हल करने के लिए एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

Question 6. दी गयी आकृति में, I||m||n और ∠1 = 60°, ∠2 ज्ञात कीजिए । हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख तीन समानांतर रेखाओं l, m, और n को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया है। कोण ∠1 का मान 60° दिया गया है, और हमें कोण ∠2 का मान ज्ञात करना है। इसमें संगत कोण और रैखिक युग्मों के संबंध भी दर्शाए गए हैं।
Answer: ∠1 = 60°
' l || m || n
∠1 = ∠3 (संगत कोण) = 60°
∴ ∠4 = 180° - 60° = 120°
∠2 = ∠4 = 120° (एकान्तर कोण)
In simple words: हमने संगत कोणों के गुण का उपयोग करके ∠3 का मान ज्ञात किया, फिर रैखिक युग्म के गुण से ∠4 का मान निकाला, और अंत में एकान्तर कोण के गुण से ∠2 का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं द्वारा बनने वाले विभिन्न कोण युग्मों (संगत, एकान्तर, अन्तः) के संबंधों को समझना आवश्यक है।

Question 7. आकृति में, भुजाओं BA और DC द्वारा निर्मित एक चतुर्भुज दर्शाया गया है तो सिद्ध कीजिए कि a + b = x + y यदि AB||DC. हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जहाँ भुजाएँ BA और DC को बढ़ाया गया है। कोण a, b, x, और y विभिन्न बिंदुओं पर दर्शाए गए हैं। हमें सिद्ध करना है कि a + b = x + y, यह मानते हुए कि AB || DC।
Answer: : ∠BCD = 180 - a
∠BAD = 180 - b
चतुर्भुज के चारो कोणों का योग = 360
180 - a + y + 180 - b + x = 360
x + y = a + b
In simple words: हमने चतुर्भुज के आंतरिक कोणों को रैखिक युग्मों की सहायता से a और b के पदों में व्यक्त किया, फिर चतुर्भुज के कोणों के योग गुण का उपयोग करके a + b = x + y सिद्ध किया।

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग (360°) और रैखिक युग्मों का सिद्धांत, ज्यामिति के सिद्ध करने वाले प्रश्नों में महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

Question 8. दी गयी आकृति में, AB||CD और ∠F = 30°, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ AB और CD हैं, जिन्हें दो तिर्यक रेखाएँ काट रही हैं। कोण ∠F का मान 30° दिया गया है, और हमें कोण ∠ECD का मान ज्ञात करना है, जिसमें एक 90° का कोण भी शामिल है।
Answer: ** ∠AFE = 30°
∠ECH = ∠AFE = 30° (एकान्तर कोण)
∠ECD = 30 + 90 = 120°
In simple words: हमने एकान्तर कोणों के गुण का उपयोग करके ∠ECH का मान ज्ञात किया, फिर इसे दिए गए 90° के कोण में जोड़कर ∠ECD का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: एकान्तर कोणों का पता लगाना और उन्हें अन्य ज्ञात कोणों के साथ जोड़ना, अज्ञात कोणों को ज्ञात करने में एक सीधी रणनीति है।

Question 9. दी गयी आकृति में, यदि AC||DE, तब x का मान ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ AC और DE हैं, और एक तिर्यक रेखा उन्हें काट रही है। कुछ कोण 55° और 28° के रूप में दिए गए हैं, और कोण x° का मान ज्ञात करना है, जो शीर्ष पर एक प्रतिच्छेदन बिंदु M पर स्थित है।
Answer: ∠MCD = 180° - ∠EDC = 180° - 55° = 125
x = ∠MCD (शीर्षाभिमुख कोण) = 125°
In simple words: हमने रैखिक युग्म के गुण का उपयोग करके ∠MCD का मान ज्ञात किया, और फिर शीर्षाभिमुख कोणों के गुण का उपयोग करके x का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म और शीर्षाभिमुख कोणों के गुण अज्ञात कोणों को ज्ञात करने के लिए बुनियादी लेकिन प्रभावी उपकरण हैं, खासकर प्रतिच्छेदित रेखाओं में।

Question 10. दी गयी आकृति में, ∠ABC की भुजाओं BA और BC, ∠DEF की क्रमशः भुजाओं ED और EF के समान्तर है तो सिद्ध कीजिए कि ∠ABC + ∠DEF = 180° हल: '.' ∠ABC + ∠EDC = 180° (अन्तः युग्म कोण)
.(1) परन्तु ∠EDC = ∠DEF
(2) समीकरण (2) का मान समीकरण (1) में रखने पर ∠ABC + ∠DEF = 180°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो कोण, ∠ABC और ∠DEF, दिखाए गए हैं, जहाँ ∠ABC की भुजाएँ BA और BC क्रमशः ∠DEF की भुजाओं ED और EF के समानांतर हैं। हमें सिद्ध करना है कि ∠ABC + ∠DEF = 180°। यह आरेख कोणों के बीच समानांतरता और उनके संबंधों को दर्शाता है।
Answer: '.' ∠ABC + ∠EDC = 180° (अन्तः युग्म कोण)
..............(1)
परन्तु ∠EDC = ∠DEF
..............(2)
समीकरण (2) का मान समीकरण (1) में रखने पर
∠ABC + ∠DEF = 180°
In simple words: हमने अन्तः कोण युग्मों के गुण का उपयोग करके ∠ABC और ∠EDC के बीच संबंध स्थापित किया। फिर, यह देखते हुए कि ∠EDC और ∠DEF बराबर हैं, हमने सिद्ध किया कि ∠ABC + ∠DEF = 180°।

🎯 Exam Tip: जब दो कोणों की भुजाएँ समानांतर हों, तो उनके बीच के संबंध (बराबर या संपूरक) को समझने के लिए अन्तः कोण युग्म या संगत कोणों के गुणों का उपयोग करें।

Question 11. दी गयी आकृति में AB||CD और DE||CF, तो x और y ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर रेखा युग्मों (AB||CD और DE||CF) को दिखाता है, जिन्हें तिर्यक रेखाओं द्वारा काटा गया है। एक कोण 50° दिया गया है, और कोण x और y को विभिन्न प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर दर्शाया गया है। हमें x और y के मान ज्ञात करने हैं।
Answer: AB || CD
.. ∠BAC = ∠ACD
50 = y (एकान्तर कोण) ..............(1)
DE ||CF
x = 70 + y (एकान्तर कोण) ............(2)
समीकरण (2) में y का मान रखने पर
x = 70 + 50 = 120°
In simple words: हमने पहले एकान्तर कोणों के गुण से y का मान ज्ञात किया, फिर उसी गुण का उपयोग करके x के मान के लिए y के मान को दूसरे समीकरण में रखा।

🎯 Exam Tip: कोणों को चरण-दर-चरण हल करें, एक ज्ञात संबंध का उपयोग करके एक अज्ञात चर का मान ज्ञात करें, और फिर उस मान को अन्य समीकरणों में प्रतिस्थापित करें।

Question 12. दी गयी आकृति में BD||CE, तो x, y और z ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर रेखाओं BD और CE को दिखाता है, जिन्हें तिर्यक रेखाओं द्वारा काटा गया है। इसमें कोण x, y और z के साथ-साथ कुछ ज्ञात कोण (120°, 70°, 60°) भी दर्शाए गए हैं। हमें x, y और z के मान ज्ञात करने हैं।
Answer: ∠ FDE = 180 - 120 = 60°
.: y = 60° (संगत कोण)
∠DBC = 180 - 70 = 110°
△ABD में, ∠DBC = ∠BAD + ∠ADB
110 = x + 60 (··· ∠ADB = 180 - 120 = 60°)
x = 110 - 60 = 50°
x = 50°
z = ∠BCE = 70° (संगत कोण)
In simple words: हमने रैखिक युग्म से ∠FDE और त्रिभुज के कोण योग गुण से x का मान ज्ञात किया। संगत कोणों का उपयोग करके हमने y और z के मान ज्ञात किए।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों का योग (180°) और रैखिक युग्म के गुण अक्सर जटिल कोण समस्याओं को हल करने के लिए एक साथ उपयोग किए जाते हैं।

Question 13. दी गयी आकृति में समान्तर रेखायें I, m, n एक तिर्यक रेखा P द्वारा क्रमशः x, y और z पर प्रतिच्छेद होती है। तो ∠1, ∠2 तथा ∠3 ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में तीन समानांतर रेखाएँ l, m, और n हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा P द्वारा काटा गया है। इसमें कोण x, y, z और ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 के साथ एक 50° का कोण दर्शाया गया है। हमें ∠1, ∠2, और ∠3 के मान ज्ञात करने हैं।
Answer: ∠4 = 180° - 50° = 130°
∠4 = ∠1 = 130° (संगत कोण)
∠1 = ∠2 = 130° (संगत कोण)
∠3 = ∠1 = 130° (एकान्तर कोण)
In simple words: हमने रैखिक युग्म से ∠4 का मान ज्ञात किया। फिर संगत कोणों और एकान्तर कोणों के गुणों का उपयोग करके ∠1, ∠2 और ∠3 का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: जब तीन या अधिक समानांतर रेखाएँ एक तिर्यक रेखा से काटी जाती हैं, तो संगत और एकान्तर कोणों के संबंध बार-बार लागू होते हैं।

Question 14. दी गयी आकृति में l₁||l₂ और m₁|| m2 क्यों हैं, कारण दीजिए? हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो रेखा युग्म (l₁, l₂) और (m₁, m₂) दिखाए गए हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया है। एकान्तर कोणों के रूप में 130° और 130° दर्शाए गए हैं, और हमें यह स्पष्ट करना है कि l₁||l₂ और m₁||m₂ क्यों हैं।
Answer: ∠NQR = ∠QRS = 130°
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
∴ m₁||m2
∠PQR = 180° - 130° = 50°
∠MPS = ∠PQR = 50° (संगत कोण)
l₁||l₂
In simple words: क्योंकि ∠NQR और ∠QRS एकान्तर कोण हैं और बराबर हैं, इसलिए m₁ और m₂ समानांतर हैं। इसी प्रकार, ∠MPS और ∠PQR संगत कोण हैं और बराबर हैं, इसलिए l₁ और l₂ समानांतर हैं।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं की पहचान करने के लिए एकान्तर कोणों या संगत कोणों के बराबर होने के गुण एक महत्वपूर्ण शर्त हैं।

Ex 10.2 Lines And Angle विविध प्रश्नावली

Question 1. चित्र में x और y के मान ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि AB||CD. हल: AB||CD x = 130° (संगत कोण) y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो रेखाएँ AB और CD एक तिर्यक रेखा द्वारा काटी गई हैं। कोण 50° और 130° दिए गए हैं, और हमें x और y के मान ज्ञात करने हैं, साथ ही यह भी सिद्ध करना है कि AB||CD। x और y शीर्ष पर बने कोण हैं।
Answer: AB||CD
x = 130° (संगत कोण)
y = 130° (शीर्षाभिमुख कोण)
In simple words: संगत कोणों के गुण का उपयोग करके x का मान 130° है। शीर्षाभिमुख कोणों के गुण का उपयोग करके y का मान भी 130° है।

🎯 Exam Tip: संगत कोण और शीर्षाभिमुख कोणों की पहचान करना और उनका उपयोग करना सीधी रेखाओं और प्रतिच्छेदन बिंदुओं से संबंधित कोणों को ज्ञात करने के लिए बुनियादी कौशल हैं।

Question 2. चित्र में, यदि AB||CD, CD||EF और y : z = 3 : 7, तो x का मान ज्ञात कीजिए। हलः ∠EPN = ∠CNM
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख तीन समानांतर रेखाएँ AB, CD, और EF को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया है। कोण y और z के बीच का अनुपात 3:7 दिया गया है, और हमें कोण x का मान ज्ञात करना है।
Answer: ∠EPN = ∠CNM
180 - z = y
.. y + z = 180° ..............(1)
माना ∠y = 3a
∠z = 7a
3a + 7a = 180
10a = 180

a = \( \frac{180}{10} \) = 18
.. y = 3 × 18 = 54°
'' z + y = 180
.. z + 54 = 180°
.. z = 180 - 54 = 126°
.. ∠x = 2x = 126° (संगत कोण)
In simple words: हमने y और z के बीच अनुपात का उपयोग करके उनके मान ज्ञात किए (y=54°, z=126°)। फिर, संगत कोणों के गुण का उपयोग करके x का मान (126°) निकाला।

🎯 Exam Tip: जब कोणों के बीच अनुपात दिया गया हो, तो चर का उपयोग करके उन्हें व्यक्त करें और समानांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग करके समीकरण बनाएं।

Question 3. चित्र में, यदि AB||CD, EF⊥CD और ∠GED = 126°, ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए। हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ AB और CD हैं, और एक तिर्यक रेखा EF उन्हें काट रही है। EF रेखा CD पर लम्बवत है, और ∠GED = 126° दिया गया है। हमें ∠AGE, ∠GEF, और ∠FGE के मान ज्ञात करने हैं।
Answer: * AB||CD
∠AGE = ∠GED = 126° (एकान्तर कोण)
∠GEF = 126° - ∠FED = 126° - 90° = 36°
∠FGE = 180° - ∠AGE = 180 - 126 = 54°
In simple words: हमने एकान्तर कोण के गुण का उपयोग करके ∠AGE का मान ज्ञात किया। चूंकि EF, CD पर लम्बवत है, हमने ∠FED को 90° मानकर ∠GEF निकाला। फिर, रैखिक युग्म के गुण का उपयोग करके ∠FGE का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: लम्बवत रेखाएं 90° का कोण बनाती हैं। इस जानकारी को एकान्तर कोणों और रैखिक युग्मों के गुणों के साथ संयोजित करने से कोणों को आसानी से हल किया जा सकता है।

Question 4. चित्र में यदि PQ||ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° तो ∠QRS ज्ञात कीजिए । हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर रेखाओं PQ और ST को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा QR और एक बिंदु M पर विस्तारित रेखा PM द्वारा काटा गया है। कोण ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° दिए गए हैं, और हमें ∠QRS का मान ज्ञात करना है।
Answer: PQ को आगे M तक बढ़ाया तथा ∠AMR = 130° (संगत कोण)
∠MQR = 180°- 110 = 70°
∠QMR = 180 - 130 = 50°
AQRM में तथा ∠QRS = 180°- (∠MQR + ∠QMR)
= 180°- (70 + 50) = 180 - 120 = 60°
In simple words: हमने PQ को M तक बढ़ाया। संगत कोणों और रैखिक युग्मों का उपयोग करके ∠MQR और ∠QMR ज्ञात किया। फिर, त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके ∠QRS का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों में, ज्ञात कोणों से अज्ञात कोणों तक पहुंचने के लिए सहायक रेखाओं को खींचना (जैसे PQ को M तक बढ़ाना) अक्सर आवश्यक होता है।

Question 5. चित्र में यदि AB||CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° तो और y ज्ञात कीजिए । हल: APQR में, AB||CD x = 50° (एकान्तर कोण) '.' बहिष्कोण ∠PRD = ∠QPR + ∠PQR ZPRD = y + x 127 = y + 50 127 - 50 = y 77° = y
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा PQ और एक अन्य रेखा PR द्वारा काटा गया है। कोण ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° दिए गए हैं, और हमें x और y के मान ज्ञात करने हैं।
Answer: AB||CD
x = 50° (एकान्तर कोण)
'.' बहिष्कोण ∠PRD = ∠QPR + ∠PQR
∠PRD = y + x
127 = y + 50
127 - 50 = y
77° = y
In simple words: हमने एकान्तर कोणों के गुण से x का मान ज्ञात किया। फिर, त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का उपयोग करके (जिसमें बहिष्कोण आंतरिक सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है) y का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: एकान्तर कोणों और त्रिभुज के बहिष्कोण गुण को एक साथ लागू करना उन समस्याओं में प्रभावी होता है जहाँ समानांतर रेखाएँ और त्रिभुज दोनों मौजूद हों।

Question 6. चित्र में PQ और RS दो दर्पण है जो एक-दूसरे के समान्तर रखे गये है। एक आपतन किरण AB दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण पथ BC पर चलकर दर्पण RS से C पर टकराती है तथा पुनः CD के अनुदिश परावर्तित हो जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB||CD है। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो समानांतर दर्पण PQ और RS को दर्शाता है। एक प्रकाश किरण AB दर्पण PQ से B पर टकराकर BC के रूप में परावर्तित होती है, फिर दर्पण RS से C पर टकराकर CD के रूप में पुनः परावर्तित होती है। हमें सिद्ध करना है कि आपतन किरण AB और अंतिम परावर्तित किरण CD समानांतर हैं। आरेख में आपतन और परावर्तन के कोण भी दिखाए गए हैं।
Answer: ∠3 = ∠4
..............(1)
P तथा ∠1 = ∠2
..............(2)
परन्तु ∠3 = ∠2
..............(3)
(एकान्तर कोण), समीकरण (1) व (3) से ∠2 = ∠4 ...............(4)
समीकरण (2) व (3) से ∠1 = ∠3 ...............(5)
समीकरण (4) व (5) को जोड़ने पर ∠2 + ∠1 = ∠4 + ∠3
.. ∠BCD = ∠ABC
परन्तु ये एकान्तर कोण है।
.. AB||CD
In simple words: हमने परावर्तन के नियम (आपतन कोण = परावर्तन कोण) और एकान्तर कोणों का उपयोग करके विभिन्न कोणों के बीच संबंधों को स्थापित किया। अंततः, हमने सिद्ध किया कि ∠ABC और ∠BCD एकान्तर कोण हैं और बराबर हैं, जिससे AB||CD सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: भौतिकी (परावर्तन के नियम) और ज्यामिति (एकान्तर कोण) के सिद्धांतों को संयोजित करने वाले प्रश्नों को हल करने के लिए दोनों विषयों की स्पष्ट समझ आवश्यक है।

Question 7. चित्र में △PQR की भुजाएँ QP और RQ को क्रमशः बिन्दुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° है और ∠PQT = 110° है तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए । हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में एक त्रिभुज PQR दर्शाया गया है, जिसकी भुजाएँ QP को S तक और RQ को T तक बढ़ाया गया है। बहिष्कोण ∠SPR = 135° और ∠PQT = 110° दिए गए हैं, और हमें त्रिभुज का आंतरिक कोण ∠PRQ ज्ञात करना है।
Answer: ∠QPR = 180 - 135 = 45°
∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ (△ का बहिष्कोण अपने सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है)
110 = 45 + ∠PRQ
110 - 45 = ∠PRQ
65° = ∠PRQ
In simple words: हमने रैखिक युग्म से ∠QPR का मान ज्ञात किया। फिर त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का उपयोग करके (∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ), हमने ∠PRQ का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म के कोणों और त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का संयुक्त उपयोग अज्ञात आंतरिक कोणों को कुशलता से हल करने के लिए एक मजबूत रणनीति है।

Question 8. चित्र में ∠X = 62°, ∠XYZ = 547, यदि ∆XYZ में YO और ZO क्रमशः ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए। हल: ∆XYZ में ∠XZY = 180°- (62 + 54) 180 - 116 = 64° : YO तथा ZO क्रमशः ∠XYZ तथा ∠XZY के समद्विभाजक है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में एक त्रिभुज XYZ दर्शाया गया है, जिसमें ∠X = 62° और ∠XYZ = 54° (संभवतः 54° OCR त्रुटि के कारण 547 दिख रहा है)। YO और ZO क्रमशः ∠XYZ और ∠XZY के कोण समद्विभाजक हैं। हमें ∠OZY और ∠YOZ का मान ज्ञात करना है।
Answer: ∆XYZ में ∠XZY = 180°- (62 + 54)
180 - 116 = 64°
: YO तथा ZO क्रमशः ∠XYZ तथा ∠XZY के समद्विभाजक है।
.: ∠OYZ = \( \frac{54}{2} \) = 27
तथा ∠OZY = \( \frac{64}{2} \) = 32°
∠YOZ = 180 - (27 + 32) = 180 - 59 = 121°
In simple words: हमने त्रिभुज के कोण योग गुण से ∠XZY ज्ञात किया। चूंकि YO और ZO कोण समद्विभाजक हैं, हमने ∠OYZ और ∠OZY के मान निकाले। फिर, त्रिभुज OYZ के कोण योग गुण से ∠YOZ का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजकों की अवधारणा और त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग अज्ञात कोणों को ज्ञात करने में महत्वपूर्ण है, विशेषकर त्रिभुजों के भीतर।

Question 9. चित्र में यदि AB||DE, ∠BAC = 35°, ∠CDE = 53° तो ∠DCE ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ AB और DE हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा AC और एक अन्य रेखा CD द्वारा जोड़ा गया है। कोण ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° दिए गए हैं, और हमें कोण ∠DCE ज्ञात करना है।
Answer: * AB||DE
∠BAC = ∠DEC = 35° (एकान्तर कोण)
△CDE में, ∠DCE = 180° - (53 + 35)
= 180 - 88 = 92°
In simple words: हमने एकान्तर कोणों के गुण से ∠DEC का मान ज्ञात किया। फिर, त्रिभुज CDE के कोण योग गुण का उपयोग करके ∠DCE का मान निकाला।

🎯 Exam Tip: एकान्तर कोणों के गुणों के साथ त्रिभुज के कोण योग गुण का प्रभावी ढंग से उपयोग करें ताकि जटिल आकृतियों में अज्ञात कोणों को हल किया जा सके।

Question 10. चित्र में यदि रेखाएं PQ और RS बिन्दु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75°, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए । हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो रेखाएँ PQ और RS एक बिंदु T पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° दिए गए हैं। हमें कोण ∠SQT का मान ज्ञात करना है।
Answer: △PRT में, PTR = 180 - (95 + 40)
= 180 - 135 = 45°
∠PTR = ∠QTS = 45° (शीर्षाभिमुख कोण)
∠TQS = 180 - (45 + 75)
= 180 - 120 = 60°
In simple words: हमने त्रिभुज PRT के कोण योग गुण से ∠PTR का मान ज्ञात किया। फिर, शीर्षाभिमुख कोणों के गुण से ∠QTS का मान निकाला, और अंत में त्रिभुज TQS के कोण योग गुण से ∠SQT का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: शीर्षाभिमुख कोण और त्रिभुज के कोण योग गुण प्रतिच्छेदित रेखाओं और त्रिभुजों वाली समस्याओं में अज्ञात कोणों को चरण-दर-चरण खोजने के लिए शक्तिशाली उपकरण हैं।

Question 11. चित्र में यदि PS | RS, PT||SR और ∠STR = 28° और ∠QRT = 65° तो x और y के मान ज्ञात कीजिए। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में एक रेखा PS है जो RS पर लम्बवत है (PS | RS), और PT||SR। कोण ∠STR = 28° और ∠QRT = 65° दिए गए हैं। हमें x और y के मान ज्ञात करने हैं।
Answer: बहिष्कोण ∠QRT = ∠STR + ∠TSR
65 = 28 + ∠TSR
65 - 28 = ∠TSR
37 = ∠TSR
x = 37° [एकान्तर कोण]
△TPS में, 90 + x + y = 180
90 + 37 + y = 180
127 + y = 180
y = 180 - 127

y = 53°
In simple words: हमने त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का उपयोग करके ∠TSR का मान ज्ञात किया। फिर, एकान्तर कोणों के गुण का उपयोग करके x का मान निकाला। अंत में, त्रिभुज TPS के कोण योग गुण का उपयोग करके y का मान ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: बहिष्कोण गुण और एकान्तर कोणों के गुण का एक साथ उपयोग करना उन स्थितियों में सहायक होता है जहाँ समानांतर रेखाएँ और त्रिभुज दोनों मौजूद हों।

Question 12. चित्र में △PQR की भुजा QR को एक बिन्दु तक बढाया गया। यदि ∠PQR और ∠PRS के समअर्द्धक, बिन्दु T पर मिलते है तब सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \( \frac{1}{2} \)∠QPR हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में एक त्रिभुज PQR है, जिसकी भुजा QR को S तक बढ़ाया गया है। ∠PQR और ∠PRS के कोण समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं। हमें सिद्ध करना है कि ∠QTR = \( \frac{1}{2} \)∠QPR। आरेख में कोण समद्विभाजक और विस्तारित भुजा को दर्शाया गया है।
Answer: ::: ∠QPR = 180 - ∠PQR - ∠PRQ
= 180 - 2∠TQR - (180 - ∠PRS)
= 180 - 2∠TQR - 180+∠PRS
= -2∠TQR + 2∠TRS
= 2(∠TRS - ∠TQR)
= 2∠QTR
या \( \frac{1}{2} \) ∠QPR = ∠QTR
In simple words: हमने बहिष्कोण गुण और कोण समद्विभाजक की परिभाषा का उपयोग करके ∠QTR और ∠QPR के बीच संबंध स्थापित किया, जिससे यह सिद्ध हो सके कि ∠QTR = \( \frac{1}{2} \)∠QPR।

🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजकों की परिभाषा को त्रिभुज के बहिष्कोण गुण के साथ जोड़कर सिद्ध करने वाले प्रश्न हल किए जा सकते हैं।

Ex 10.2 Lines And Angle बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. यहाँ x के किस मान के लिए I || m होगी? (a) 20 (b) 30 (c) 50 (d) 45 हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो रेखाएँ l और m हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा t द्वारा काटा गया है। एकान्तर कोणों को (2x-30)° और (x+20)° के रूप में दर्शाया गया है। हमें x का मान ज्ञात करना है जिसके लिए l||m होगी।
Answer: I||m होगी, यदि संगत कोण बराबर होंगे।
तब 2x - 30° = x + 20°

2x - x = 30° + 20°

x = 50°
अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: रेखाएँ l और m तब समानांतर होंगी जब उनके संगत कोण बराबर हों। हमने संगत कोणों को बराबर सेट किया और x के लिए हल किया, जिससे x = 50° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं की स्थिति में, संगत कोण हमेशा बराबर होते हैं। यह MCQ प्रश्नों के लिए एक त्वरित हल है।

Question 2. x के किस मान के लिए I||m होगी? (a) 25 (b) 35 (c) 45 (d) इनमें से कोई नहीं हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो रेखाएँ l और m हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा t द्वारा काटा गया है। आंतरिक कोणों को 4x° और (3x+5)° के रूप में दर्शाया गया है, जो तिर्यक रेखा के एक ही ओर हैं। हमें x का मान ज्ञात करना है जिसके लिए l||m होगी।
Answer: I||m होगी, यदि 4x + (3x + 5) - 180°

7x + 5 = 180°

7x = 180 - 5
= 175°

x = \( \frac{175^{\circ}}{7} \) = 25°
अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: रेखाएँ l और m तब समानांतर होंगी जब तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग 180° हो। हमने कोणों को जोड़ा, समीकरण बनाया और x के लिए हल किया, जिससे x = 25° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों का योग 180° होना समानांतर रेखाओं की एक महत्वपूर्ण विशेषता है; यह अक्सर x के मान ज्ञात करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

Question 3. यदि दो कोण परस्पर पूरक हैं तब प्रत्येक कोण है (a) न्यूनकोण (b) समकोण (c) अधिक कोण (d) इनमें से कोई नहीं हलः न्यूनकोण । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) न्यूनकोण
In simple words: पूरक कोण वे होते हैं जिनका योग 90° होता है। यदि दो कोण पूरक हैं, तो वे दोनों 90° से कम होंगे, यानी न्यूनकोण होंगे।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों की परिभाषा (योग 90°) को याद रखें, जिससे यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि प्रत्येक कोण न्यूनकोण होना चाहिए।

Question 4. एक कोण की माप उसके पूरक की 5 गुनी है तब कोण की माप है । (a) 25° (b) 50° (c) 75° (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना कोण = x°, पूरक कोण = (90 - x)° तब x = 5(90°- x) ⇒ x = 450° - 5x ⇒ x + 5x = 450° ⇒ 6x = 450 ⇒ x = \( \frac{450}{6} \) = 75° अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 75°
In simple words: हमने कोण को x और उसके पूरक को (90-x) माना। दिए गए संबंध (x = 5(90-x)) का उपयोग करके, हमने x के लिए हल किया, जिससे x = 75° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: पूरक कोणों की परिभाषा का उपयोग करके बीजीय समीकरण बनाएं और अज्ञात कोण को खोजने के लिए उसे हल करें।

Question 5. एक कोण जिसकी माप 180° से अधिक किन्तु 360° से कम हो, कहलाता है (a) परावर्तित कोण (b) न्यून कोण (c) अधिक कोण (d) ऋजु कोण हलः परावर्तित कोण अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) परावर्तित कोण
In simple words: वह कोण जिसकी माप 180° से अधिक और 360° से कम हो, उसे परावर्तित कोण कहते हैं।

🎯 Exam Tip: विभिन्न प्रकार के कोणों की परिभाषाओं को याद रखें (न्यूनकोण, समकोण, अधिक कोण, ऋजु कोण, परावर्तित कोण) ताकि MCQ प्रश्नों का सही उत्तर दिया जा सके।

Question 6. दो पूरक कोण इस प्रकार हैं कि एक की माप का दोगुना, अन्य की माप के तीन गुने के बराबर है। दो मापों का बड़ा है । (a) 54° (b) 64° (c) 63° (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना बड़ा कोण = x°, पूरक कोण = (90 - x)° 2x = 3 x (90 - x) 2x = 270° - 3x ⇒ 5x = 270° ⇒ x = \( \frac{270}{5} \) = 54° अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 54°
In simple words: हमने बड़ा कोण x और उसका पूरक (90-x) माना। दिए गए संबंध (2x = 3(90-x)) का उपयोग करके, हमने x के लिए हल किया, जिससे x = 54° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सुनिश्चित करें कि आप 'बड़ा' कोण या 'छोटा' कोण क्या पूछा गया है, इसकी पहचान करें ताकि सही उत्तर दिया जा सके।

Question 7. दो सरल रेखाएँ AB और CD, एक-दूसरे को 0 पर काटती हैं। यदि ∠BOD = 63° तब ∠BOC = (a) 63° (b) 17° (c) 153° (d) 117° हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह आरेख दो सरल रेखाएँ AB और CD को दर्शाता है जो एक बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। कोण ∠BOD = 63° दिया गया है, और हमें कोण ∠BOC का मान ज्ञात करना है।
Answer: ∠BOD + ∠ BOC = 180°

63° + ∠ BOC = 180°

∠BOC = 180° - 63°

∠BOC = 117°
अतः विकल्प (d) सही है।
In simple words: हमने रैखिक युग्म के गुण का उपयोग किया, जिसके अनुसार ∠BOD और ∠BOC का योग 180° होता है। ∠BOC के लिए हल करने पर 117° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म की अवधारणा (दो आसन्न कोण जिनका योग 180° होता है) प्रतिच्छेदित रेखाओं से संबंधित कोणों को हल करने के लिए मौलिक है।

Question 8. यदि AB = x + 3, BC = 2x और AC = 4x - 5, तब x के किस मान के लिए B, AC पर स्थित है? (a) 5 (b) 6 (c) 8 (d) इनमें से कोई नहीं हलः बिन्दु B, AC पर स्थित होगा, यदि AC = AB + BC ⇒ 4x - 5 = x + 3 + 2x → 4x - 5 = 3x + 3 ⇒ x = 8 अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 8
In simple words: यदि बिंदु B रेखाखंड AC पर स्थित है, तो AB + BC = AC। हमने दिए गए व्यंजकों को इस समीकरण में प्रतिस्थापित किया और x के लिए हल किया, जिससे x = 8 प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति में बिंदुओं की संरेखता का अर्थ है कि रेखाखंडों की लंबाई का योग बड़े रेखाखंड की लंबाई के बराबर होता है।

Question 9. कोण की माप जो स्वयं का पूरक है (a) 45° (b) 55° (c) 90° (d) इनमें से कोई नहीं हलः 45° अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 45°
In simple words: यदि एक कोण अपने पूरक के बराबर है, तो दोनों कोणों का योग 90° होगा, इसलिए प्रत्येक कोण 45° होगा।

🎯 Exam Tip: 'स्वयं का पूरक' या 'स्वयं का संपूरक' जैसे वाक्यांशों का अर्थ है कि कोण और उसका पूरक/संपूरक बराबर हैं।

Question 10. एक त्रिभुज का एक बाह्य कोण 110° और दो अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं। ये बराबर कोण है (a) 45° (b) 55° (c) 90° (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना अन्तःकोण = x° तब बाह्य कोण = अन्तःकोणों का योग 110° = x° + x° ⇒ 2x = 110° ⇒ x = \( \frac{110^{\circ}}{2} \) = 55° अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 55°
In simple words: हमने बहिष्कोण गुण का उपयोग किया, जिसके अनुसार बहिष्कोण (110°) उसके सम्मुख आंतरिक कोणों (दोनों x°) के योग के बराबर होता है। x के लिए हल करने पर 55° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के बहिष्कोण गुण का उपयोग करके दो बराबर आंतरिक कोणों को खोजने के लिए एक सीधा बीजीय समीकरण बनाया जा सकता है।

Question 11. यदि एक त्रिभुज का एक कोण, अन्य दो कोणों के योग के बराबर है तब त्रिभुज है (a) समकोण (b) समद्विबाहु (c) समबाहु (d) इनमें से कोई नहीं हलः समकोण । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) समकोण
In simple words: यदि एक त्रिभुज का एक कोण अन्य दो कोणों के योग के बराबर है, तो त्रिभुज के कोण योग गुण (180°) का अर्थ है कि वह कोण 90° होना चाहिए, जिससे वह एक समकोण त्रिभुज बन जाता है।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज के कोणों के योग गुण (180°) की मजबूत समझ आपको ऐसे वैचारिक प्रश्नों को आसानी से हल करने में मदद कर सकती है।

Question 12. यदि दो सम्पूरक कोणों के बीच का अन्तर 40° है तब कोण है. (a) 70°, 120° (b) 70°, 110° (c) 210°, 150° (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना कोण = x°; सम्पूरक कोण = (180° - x) x - (180° - x) = 40° ⇒ 2x = 220° ⇒ x = \( \frac{220}{2} \) = 110° सम्पूरक कोण = 180° - 110° = 70° अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 70°, 110°
In simple words: हमने एक कोण को x और उसके सम्पूरक को (180-x) माना। उनके अंतर को 40° के बराबर सेट किया (x - (180-x) = 40°), x के लिए हल किया (110°), और फिर दूसरे कोण (70°) को ज्ञात किया।

🎯 Exam Tip: जब कोणों के बीच अंतर दिया गया हो, तो दो चरों का उपयोग करने के बजाय एक चर में समीकरण बनाना अक्सर अधिक कुशल होता है।

Question 13. यदि दो पूरक कोणों के बीच का अनुपात 2 : 3 है तब कोण है (a) 36°, 54° (b) 30°, 60° (c) 20°, 70° (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना एक कोण = x°, पूरक कोण = (90° - x)
Answer: (a) 36°, 54°
In simple words: हमने कोणों को x और (90-x) माना, और उनके अनुपात को 2:3 पर सेट किया। समीकरण (x / (90-x) = 2/3) को हल करके, हमने x = 36° पाया, और दूसरा कोण 54° निकला।

🎯 Exam Tip: अनुपात के प्रश्नों में, कोणों को 2k और 3k के रूप में मानना और फिर उन्हें पूरक कोणों की परिभाषा में रखना (2k + 3k = 90°) एक सीधा दृष्टिकोण है।

Question 14. संलग्न चित्र में, यदि I||m, तब x = (a) 30° (b) 40° (c) 70° (d) इनमें से कोई नहीं हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ l और m हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया है। एक बिंदु पर एक कोण x° के साथ-साथ 70° और 30° के कोण दर्शाए गए हैं। हमें x का मान ज्ञात करना है।
Answer: यदि I||m, तब ∠EDO = ∠COB = 70°

∠BOA = 180° - 70° = 110°
△ABO में, x°+ 110°+ 30° = 180°
x = 180° - 140°

x = 40°
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: हमने संगत कोणों से ∠COB (70°) और रैखिक युग्म से ∠BOA (110°) ज्ञात किया। फिर, त्रिभुज ABO के कोण योग गुण का उपयोग करके x का मान (40°) निकाला।

🎯 Exam Tip: संगत कोणों, रैखिक युग्मों और त्रिभुज के कोण योग गुण का संयोजन जटिल ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में एक सामान्य और प्रभावी रणनीति है।

Question 15. संलग्न चित्र में, यदि AB||CD, तब x = (a) 110° (b) 115° (c) 100 (d) इनमें से कोई नहीं हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ AB और CD हैं, जिन्हें दो तिर्यक रेखाओं द्वारा काटा गया है। कुछ कोण 132°, 148° और x° के रूप में दिए गए हैं। हमें x का मान ज्ञात करना है।
Answer: ZFAE = 180 - 132 = 48°
* PF ||CE

∠FAE = ∠AEC = 48°
तथा AB||CD

∠AEC = ∠ECD = 48°
::: PA||CE

∠APG = ∠ECP = 180 - 148 =32°
अतः बिन्दु C पर x + ∠ECD + ∠ECP = 180°
x + 48 + 32 = 180°

x = 180° - 80

x = 100°
अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: हमने पहले रैखिक युग्म से ∠FAE ज्ञात किया। फिर, एकान्तर कोणों के गुणों का उपयोग करके ∠AEC और ∠ECD का मान निकाला। बिंदु C पर कोणों के योग के नियम का उपयोग करके x का मान 100° प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों में, अज्ञात कोणों को ज्ञात करने के लिए रैखिक युग्म, एकान्तर कोण और एक बिंदु पर कोणों के योग (180° या 360°) के गुणों को क्रमबद्ध तरीके से लागू करें।

Question 16. यदि AB और CD दो समान्तर रेखाएँ हैं, PQ, AB और CD को क्रमशः E तथा F पर काटती है। EL, ∠FEB का समद्विभाजक है यदि ∠LEB = 35%, तब ∠CFQ = (a) 90° (b) 65° (c) 110° (d) 140° हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ AB और CD हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा PQ द्वारा E और F पर काटा गया है। EL, ∠FEB का कोण समद्विभाजक है, और ∠LEB = 35° दिया गया है। हमें ∠CFQ का मान ज्ञात करना है।
Answer: दिया है, ∠LEB = 35°
'.' EL, ∠FEB का समद्विभाजक है, तब ∠FEL = 70°

∠AEF = 180° - 70° = 110°

∠CFQ = ∠AEF = 110° (एकान्तर कोण)
: ∠CFQ = 110°
अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: हमने कोण समद्विभाजक की परिभाषा से ∠FEB ज्ञात किया, फिर रैखिक युग्म के गुण से ∠AEF निकाला। अंत में, एकान्तर कोणों के गुण से ∠CFQ का मान 110° प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजकों और रैखिक युग्मों के साथ समानांतर रेखाओं के एकान्तर कोणों का उपयोग करना, अज्ञात कोणों को व्यवस्थित रूप से हल करने में सहायक होता है।

Question 17. तिर्यक रेखा के एक ही ओर यदि दो अन्तः कोणों का अनुपात 2 : 3 है तो बड़ा कोण = (a) 56° (b) 125° (c) 108° (d) इनमें से कोई नहीं हलः दो अन्तःकोणों का अनुपात = 2 : 3 अतः कोण = 2x तथा 3x तब 2x + 3x = 180° ⇒ 5x = 180° ⇒ x = \( \frac{180}{5} \) = 36° अतः बड़ा कोण = 3 × 36° = 108° अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 108°
In simple words: हमने दो अन्तः कोणों को 2x और 3x माना। चूंकि वे तिर्यक रेखा के एक ही ओर हैं, उनका योग 180° होता है। x के लिए हल करने पर x = 36° प्राप्त हुआ, जिससे बड़ा कोण 3x = 108° निकला।

🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं के साथ तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग 180° होता है। इस संबंध का उपयोग अनुपात में दिए गए कोणों को ज्ञात करने के लिए करें।

Question 18. एक कोण इसके सम्पूरक के तीन गुने के बराबर है। कोण की माप है (a) 125° (b) 130° (c) 135° (d) 120° हलः माना कोण = x°; सम्पूरक कोण = (180° - x) तब x = 3(180° - x) ⇒ x = 540 - 3x ⇒ 4x = 540 ⇒ x = \( \frac{540}{4} \) = 135° अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 135°
In simple words: हमने कोण को x और उसके सम्पूरक को (180-x) माना। दिए गए संबंध (x = 3(180-x)) का उपयोग करके, हमने x के लिए हल किया, जिससे x = 135° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: संपूरक कोणों की परिभाषा (योग 180°) का उपयोग करके एक चर में समीकरण बनाएं, और फिर अज्ञात कोण को ज्ञात करने के लिए उसे हल करें।

Question 19. दिया गया है कि ∠POR = 3x और ∠QOR = 2x + 10°, यदि POQ एक सरल रेखा है तब x = (a) 25° (b) 30° (c) 34° (d) 44° हल: * POQ एक सरल रेखा है। .. ∠POR + ∠QOR = 180° ⇒ 3x + 2x + 10 = 180° → 5x + 10 = 180° ⇒ 5x = 180° - 10 = 170 ⇒ x = \( \frac{170}{5} \) = 34° अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) 34°
In simple words: चूंकि POQ एक सरल रेखा है, ∠POR और ∠QOR का योग 180° होगा। दिए गए व्यंजकों को जोड़ा (3x + 2x + 10 = 180°) और x के लिए हल किया, जिससे x = 34° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: एक सीधी रेखा पर कोणों का योग हमेशा 180° होता है (रैखिक युग्म)। यह गुण अक्सर बीजीय व्यंजकों वाले कोणों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

Question 20. दो पूरक कोण इस प्रकार हैं कि एक की माप का दोगुना, अन्य की माप के तीन गुने के बराबर है। छोटे कोण की माप है । (a) 36° (b) 40° (c) 56° (d) इनमें से कोई नहीं हलः माना एक कोण = x°, पूरक कोण = (90° - x) ⇒ 3x
Answer: (a) 36°
In simple words: हमने एक कोण को x और उसके पूरक को (90-x) माना। दिए गए संबंध (3x = 2(90-x)) का उपयोग करके, हमने x के लिए हल किया, जिससे x = 36° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: 'छोटे कोण' या 'बड़े कोण' के लिए पूछे जाने पर सावधान रहें; सही उत्तर देने के लिए सभी कोणों की गणना करने के बाद अंत में जाँच करें।

Question 21. संलग्न चित्र में, यदि I||m तब x = (a) 95° (b) 45° (c) 55° (d) 65° हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में दो समानांतर रेखाएँ l और m हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा t द्वारा काटा गया है। दो आंतरिक कोण 55° और 40° दिए गए हैं, और कोण x° ज्ञात करना है, जो प्रतिच्छेदन बिंदु O पर रैखिक युग्म में है।
Answer: *. I||m तब ∠BAO = ∠OCD = 40
△OAB में, ∠OAB + ∠ABO + ∠BOA = 180°
40° + 55° + ∠BOA = 180°
∠BOA = 180° - 95 = 85°
अब बिन्दु O पर, x + ∠AOB = 180°

x + 85 = 180°

x = 180° - 85

x = 95°
अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: हमने एकान्तर कोणों के गुण का उपयोग करके ∠BAO ज्ञात किया। त्रिभुज OAB के कोण योग गुण से ∠BOA ज्ञात किया। फिर, रैखिक युग्म के गुण का उपयोग करके x का मान 95° प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: एक बिंदु पर कोणों का योग (180° या 360°) और त्रिभुज के कोण योग गुण का संयोजन समानांतर रेखाओं वाली समस्याओं में बहुत उपयोगी होता है।

Question 22. संलग्न चित्र में, I||m और m||n यदि x : y = 3 : 2 तब x = (a) 108° (b) 72° (c) 1200 (d) इनमें से कोई नहीं हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में तीन समानांतर रेखाएँ l, m, और n हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया है। कोण x और y दिए गए हैं, और उनके बीच का अनुपात x:y = 3:2 है। हमें x का मान ज्ञात करना है।
Answer: दिया है, x : y = 3 : 2

x = 3k, y = 2k
x + y = 3k +2k
5k = 180°

k = \( \frac{180^{\circ}}{5} \) = 36°

x = 3 × 36 = 108°
अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: चूंकि l||m||n, x और y तिर्यक रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोण हैं, इसलिए उनका योग 180° होगा। हमने अनुपात का उपयोग करके x और y को 3k और 2k के रूप में व्यक्त किया, फिर x के मान के लिए k के लिए हल किया।

🎯 Exam Tip: अनुपात में कोणों के लिए, एक सामान्य गुणक (जैसे k) का उपयोग करें, और फिर समानांतर रेखाओं के कोण गुणों का उपयोग करके k के लिए हल करें।

Question 23. एक त्रिभुज का एक बाह्य कोण 105° है तथा इसके अन्तः विपरीत कोण बराबर हैं तब प्रत्येक बराबर कोण की माप है हलः माना अन्तः कोण = x° तब त्रिभुज का बाह्य कोण = अन्तः कोणों का योग 105° = x + x = 2x = 105 ⇒ x = \( \frac{105}{2}=52 \frac{1}{2}^{\circ} \) अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) \( 52 \frac{1}{2}^{\circ} \)
In simple words: हमने बहिष्कोण गुण का उपयोग किया, जिसके अनुसार बहिष्कोण (105°) उसके सम्मुख बराबर आंतरिक कोणों (x+x) के योग के बराबर होता है। x के लिए हल करने पर 52.5° प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: यदि बहिष्कोण और आंतरिक कोणों के बीच संबंध दिया गया है, तो तुरंत एक समीकरण बनाएं और अज्ञात कोणों के लिए हल करें।

Question 24. यदि एक त्रिभुज का एक कोण 130, है तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण है (a) 145° (b) 155° (c) 65° (d) इनमें से कोई नहीं हल: ADAB में, ∠AOB = 130° तथा PA तथा PB क्रमशः ∠OAB तथा ∠OBA के समद्विभाजक हैं। माना ∠OAB = 2x, ∠OBA = 2y
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस आकृति में एक त्रिभुज AOB दर्शाया गया है, जिसमें ∠AOB = 130°। PA और PB क्रमशः ∠OAB और ∠OBA के कोण समद्विभाजक हैं। हमें ∠APB का मान ज्ञात करना है, जो कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन से बनता है।
Answer: तब ∠OAP = ∠PAB = x तथा ∠OBP = ∠PBA = y
△APB में, x + y + ∠APB = 180°
∠APB = 180° - (x + y) ..............(1)
△AOB में, 2x + 2y + 130° = 180°
2x + 2y = 50
x + y = 25 ..............(2)
समी० (2) से x + y का मान समी॰ (1) में रखने पर,
∠APB = 180 - 25 = 155°
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: हमने पहले △AOB में कोण योग गुण का उपयोग करके 2x + 2y का मान ज्ञात किया, फिर x+y का मान निकाला। अंत में, △APB में कोण योग गुण का उपयोग करके x+y के मान को प्रतिस्थापित करके ∠APB का मान 155° प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: कोण समद्विभाजकों की समस्याओं को हल करने के लिए अक्सर त्रिभुज के कोण योग गुण को दो अलग-अलग त्रिभुजों पर लागू करने की आवश्यकता होती है।

Question 24. यदि एक त्रिभुज का एक कोण 130, है तब अन्य दो कोणों के समद्विभाजकों के बीच कोण है (a) 145° (b) 155° (c) 65° (d) इनमें से कोई नहीं
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज APB को दर्शाता है जिसमें शीर्ष A से P और B से P तक कोण समद्विभाजक रेखाएँ खींची गई हैं। त्रिभुज के अंदर एक बिंदु O है, जिससे कोण AOB 130° है। कोण A को x और कोण B को y के रूप में विभाजित दिखाया गया है।
Answer: हल: ADAB में, \( \angle AOB = 130^\circ \) तथा PA तथा PB क्रमशः \( \angle OAB \) तथा \( \angle OBA \) के समद्विभाजक हैं। माना \( \angle OAB = 2x \), \( \angle OBA = 2y \) तब \( \angle OAP = \angle PAB = x \) तथा \( \angle OBP = \angle PBA = y \). \( \triangle APB \) में, \( x + y + \angle APB = 180^\circ \) \( \angle APB = 180^\circ - (x + y) \) ...(1)
\( \triangle AOB \) में, \( 2x + 2y + 130^\circ = 180^\circ \)
\( 2x + 2y = 50 \)
\( x + y = 25 \) ...(2)
समी० (2) से \( x + y \) का मान समी० (1) में रखने पर,
\( \angle APB = 180 - 25 = 155^\circ \)
अतः विकल्प (b) सही है।In simple words: The problem uses the angle sum property of a triangle and the concept of angle bisectors. By finding the sum of the bisected angles in the smaller triangle, we can determine the angle between the bisectors in the larger triangle.

🎯 Exam Tip: Remember that the sum of angles in any triangle is 180°, and angle bisectors divide an angle into two equal parts. Clearly label angles for easier calculation.

Question 25. दिए गए चित्र में ज्ञात कीजिए कि a + b = (a) 127° (b) 107° (c) 45° (d) 54°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसमें शीर्ष B के निकट कोण \( \frac{x}{2}+5 \) और \( \frac{x}{2}-1 \) हैं, शीर्ष D पर कोण \( x+9 \) है, तथा शीर्ष A पर कोण a और शीर्ष C पर कोण b हैं।
Answer: हलः चित्र से,
\( \left( \frac{x}{2}+5 \right) - \left( \frac{x}{2}-1 \right) + x + 9 = 180^\circ \)
\( \implies \frac{x}{2} + \frac{5x}{2} - 5 + x + 9 = 180^\circ \)
\( \implies 4x + 4 = 180^\circ \)
\( \implies 4x = 180^\circ - 176^\circ \)
\( \implies x = \frac{176}{4} = 44^\circ \) अतः विकल्प (a) सही है।
तब \( a + b + (x + 9) = 180^\circ \)
\( \implies a + b + (44 + 9) = 180^\circ \)
\( \implies a + b = 180^\circ - 53 = 127^\circ \)
अतः विकल्प (a) सही है।In simple words: This problem involves finding the value of 'a + b' using algebraic equations derived from given angles in a geometric figure. First, we solve for 'x' using one set of angle relationships, then substitute 'x' to find the required sum 'a + b'.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to angle relationships within the diagram (e.g., angles on a straight line, sum of angles in a triangle/quadrilateral). Algebraic precision is key to solving for unknown variables.

Question 26. संलग्न चित्र में, AOB एक सरल रेखा है। ∠COD की माप = (a) 80° (b) 60° (c) 120° (d) 160°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक सीधी रेखा AOB को दर्शाता है जिस पर एक बिंदु O है। इस बिंदु O से किरणें OC और OD निकल रही हैं। कोणों को \( x+20^\circ \), \( (2x-20)^\circ \) और \( 60^\circ \) के रूप में दर्शाया गया है।
Answer: हलः बिन्दु O पर,
\( x + 20 + 2x - 20 + 60 = 180^\circ \)
\( \implies 3x + 60^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 3x = 120^\circ \)
\( \implies x = 40^\circ \)
\( \angle COD = 2 \times 40 - 20 = 60^\circ \) अतः विकल्प (b) सही है।In simple words: Since AOB is a straight line, the sum of all angles formed at point O on this line is 180°. We form an equation with the given algebraic expressions for the angles, solve for 'x', and then calculate the measure of angle COD.

🎯 Exam Tip: Remember the linear pair axiom: angles on a straight line sum to 180°. Be careful with algebraic calculations and substitution.

Question 27. यदि एक कोण की माप, उसके सम्पूरक कोण की माप की दोगुनी है। तब इसकी माप है (a) 90° (b) 110° (c) 135° (d) 120°
Answer: हलः माना कोण = \( x \), सम्पूरक कोण = \( 180^\circ - x \)
\( x = 2(180^\circ - x) \)
\( \implies x = 360^\circ - 2x \)
\( \implies 3x = 360^\circ \)
\( \implies x = \frac{360^{\circ}}{3} = 120^\circ \) अतः विकल्प (d) सही है।In simple words: A supplementary angle pair sums to 180°. By setting up an equation where one angle is double its supplement, we solve for the unknown angle.

🎯 Exam Tip: Clearly define the angle and its supplement algebraically. The equation should correctly reflect the given relationship between them.

Question 28. एक कोण की माप जो स्वयं का सम्पूरक है (a) 90° (b) 110° (c) 45° (d) 135°
Answer: हलः 90° अतः विकल्प (a) सही है।In simple words: A supplementary angle pair adds up to 180°. If an angle is its own supplement, it means the angle is 90°, because 90° + 90° = 180°.

🎯 Exam Tip: Understand the definition of supplementary angles. An angle that is its own supplement must be exactly 90 degrees.

Question 29. (90°-x) का पूरक है (a) x (b) 90°+ x (c) -x (d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः \( (90^\circ - x) \) का पूरक कोण = \( 90^\circ - (90^\circ - x) = 90^\circ - 90^\circ + x = x \) अतः विकल्प (a) सही है।In simple words: Complementary angles sum to 90°. To find the complement of an angle, subtract it from 90°. When finding the complement of \( (90^\circ - x) \), the result is simply \( x \).

🎯 Exam Tip: Remember the definition of complementary angles. Be careful with algebraic signs, especially when subtracting an expression in parentheses.

Question 30. एक कोण की माप जो स्वयं का पूरक है (a) 30° (b) 90° (c) 45° (d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः माना कोण = \( x \), पूरक कोण = \( 90^\circ - x \)
\( x = 90^\circ - x \)
\( \implies x + x = 90^\circ \)
\( \implies 2x = 90^\circ \)
\( \implies x = \frac{90}{2} = 45^\circ \) अतः विकल्प (c) सही है।In simple words: Complementary angles add up to 90°. If an angle is its own complement, it means both parts are equal, so the angle must be 45°, as 45° + 45° = 90°.

🎯 Exam Tip: Clearly understand the definition of complementary angles. An angle that is its own complement must be exactly 45 degrees.

Ex 10.2 Lines And Angle स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. यह दिया गया है कि ∠XYZ = 64° और XY को एक बिन्दु P तक बढ़ाया गया है। दी गयी जानकारी से एक आकृति खीचिए। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समअर्द्धक करती है तो ∠XYQ और परावर्तित ∠QYP ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक रेखा PXY को दर्शाता है, जिसमें Y एक बिंदु है। Y से एक किरण YZ निकल रही है, जिससे कोण XYZ 64° है। एक अन्य किरण YQ, कोण ZYP को समद्विभाजित करती है।
Answer: हलः
.: YQ किरण, \( \angle ZYP \) को समअर्द्धक करती है
माना \( \angle ZYQ = \angle QYP = x \)
\( 64 + x + x = 180^\circ \)
\( 64 + 2x = 180^\circ \)
\( 2x = 180^\circ - 64 \)
\( = 116 \)
\( x = \frac{116}{2} = 58 \)
::: \( \angle XYQ = 64 + x = 64 + 58 = 122^\circ \)
\( \angle QYP = 58^\circ \) परावर्तित कोण \( \angle QYP = 360 - 58 = 302^\circ \)In simple words: We extend a line segment to form a straight angle (180°) and use the property of angle bisectors. By setting up an equation with the known and bisected angles, we solve for the unknown 'x' and then calculate the required angles.

🎯 Exam Tip: Drawing a clear diagram is crucial. Remember that angles on a straight line sum to 180°, and a reflex angle is 360° minus the angle itself.

Question 2. सिद्ध कीजिए कि यदि दो रेखायें परस्पर प्रतिच्छेद करती है तब शीर्षाभिमुख कोण बराबर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो प्रतिच्छेद करती हुई सीधी रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जो बिंदु O पर एक-दूसरे को काटती हैं। इससे बनने वाले कोण AOC, AOD, BOD, BOC दिखाए गए हैं।
Answer: हलः रेखा AB व CD एक दूसरे को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है।
\( \angle AOC + \angle AOD = 180^\circ \) ..............(1)
\( \angle AOD + \angle BOD = 180^\circ \) ...............(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से \( \angle AOC + \angle AOD = \angle AOD + \angle BOD \)
\( \implies \angle AOC = \angle BOD \) इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि \( \angle AOD = \angle BOC \).
.. शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।In simple words: When two lines intersect, they form vertically opposite angles. By using the linear pair axiom (angles on a straight line sum to 180°), we can prove that these vertically opposite angles are equal.

🎯 Exam Tip: Clearly state the linear pair axiom and how it applies to the intersecting lines. The comparison of equations is the key step to demonstrate equality of vertically opposite angles.

Question 3. सलंग्न चित्र में, OD, ∠AOC का और OE, ∠BOC का समद्विभाजक है तथा OD⊥OE तो सिद्ध कीजिए कि बिन्दु A, O और B सरेख हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बिंदु O को दर्शाता है जिससे किरणें OA, OB, OC, OD और OE निकल रही हैं। किरण OD कोण AOC को समद्विभाजित करती है और किरण OE कोण BOC को समद्विभाजित करती है। OD और OE परस्पर लंबवत (OD⊥OE) हैं।
Answer: हलः
::: OD⊥OE
::: \( \angle DOE = 90^\circ \) (1)
माना \( \angle AOC = 2x \) तथा \( \angle BOC = 2y \)
:: \( \angle AOD = \angle COD = x \) तथा \( \angle BOE = \angle COE = y \)
':' \( \angle AOD + \angle DOC + \angle COE + \angle BOE = x + x + y + y \)
\( = 2x + 2y = 2(x + y) \)
\( = 2 \times 90^\circ = 180^\circ \)
· समीकरण (1) से \( \angle DOE = \angle DOC + \angle COE = x + y = 90^\circ \)
.. AOB एक सरल रेखा है तथा A, O,B संरेख है।In simple words: If two angle bisectors (OD and OE) of adjacent angles (AOC and BOC) are perpendicular to each other, it implies that the total angle (AOB) formed by these adjacent angles is 180°. Therefore, points A, O, and B lie on a straight line.

🎯 Exam Tip: The key concept here is that if the bisectors of adjacent angles are perpendicular, the sum of those adjacent angles is 180°, making the non-common arms collinear. Clearly state definitions of angle bisectors and straight angles.

Question 4. यदि एक तिर्यक द्वारा दो समान्तर रेखायें प्रतिच्छेद होती हैं तब सिद्ध कीजिए कि किन्ही दो के संगत कोणों के समद्विभाजक समान्तर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समान्तर रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा MN बिंदु P और Q पर प्रतिच्छेद कर रही है। इसमें संगत कोणों के समद्विभाजक PT और QN को दिखाया गया है।
Answer: हल:
माना AB||CD तथा MN एक तिर्यक रेखा काटती है।
\( \angle MPB = \angle MQD \) (संगत कोण)
2 से भाग करने पर
\[ \frac{\angle MPB}{2}=\frac{\angle MQD}{2} \]
:: \( \angle MPT = \angle MQN \) परन्तु ये संगत कोण है
PT||QNIn simple words: When a transversal line intersects two parallel lines, their corresponding angles are equal. If we bisect these equal corresponding angles, the resulting bisecting lines will also be parallel because they form another pair of equal corresponding angles.

🎯 Exam Tip: This proof relies on the corresponding angles axiom. Ensure you clearly state that the bisectors create new corresponding angles which are also equal, thus proving their parallelism.

Question 5. संलग्न चित्र में △PQR की भुजा QR को एक बिन्दु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR और ∠PRS के समद्विभाजक बिन्दु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि ∠QTR = \[ \frac{1}{2} \]∠QPR
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज PQR को दर्शाता है, जिसकी भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। कोण PQR और कोण PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, जिससे एक छोटा त्रिभुज QTR बनता है।
Answer: हलः
::: \( \angle QPR = 180 - \angle PQR - \angle PRQ = 180 - 2\angle TQR - (180 - \angle PRS) = 180 - 2\angle TQR - 180 + \angle PRS = -2\angle TQR + 2\angle TRS = 2(\angle TRS - \angle TQR) = 2\angle QTR \) या \[ \frac{1}{2} \]
\( \angle QPR = \angle QTR \)In simple words: The solution provided attempts to relate the angles using angle sum properties and angle bisector definitions. It aims to demonstrate a relationship between ∠QPR and ∠QTR, though the final step seems incomplete or erroneous as presented.

🎯 Exam Tip: For proofs involving angle bisectors and exterior angles, clearly state each geometric property used. Ensure every step logically leads to the next to arrive at the desired conclusion. Double-check all algebraic manipulations.

Question 6. यदि एक तिर्यक रेखा द्वारा दो समान्तर रेखाएँ प्रतिच्छेद होती हैं तो सिद्ध कीजिए कि अन्तः कोणों के दो युग्मों के समद्विभाजक, एक आयत के रूप के हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समान्तर रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा MN बिंदु P और Q पर प्रतिच्छेद कर रही है। इसमें अंतः कोणों के समद्विभाजक PX, QX, PY, QY खींचे गए हैं जो एक चतुर्भुज PXQY (या PTQS) बनाते हैं।
Answer: हलः
\( \angle APQ, \angle BPQ \) तथा \( \angle PQC \) तथा \( \angle PQD \) के समद्विभाजक खीचें।
माना \( \angle BPQ = \angle QPB = x \)
*:' \( 2x + 2y = 180 \)
\( x + y = 90 \) .............. (1)
.* \( x + y = 90 \)
.. चारों कोण \( 90^\circ \) के होंगे।
\( \triangle PTQ \) तथा \( PSQ \) में सिद्ध कर सकते हैं कि \( PT = QS \) तथा \( TQ = PS \) अत: PTQS एक आयत है।In simple words: When a transversal intersects two parallel lines, the sum of consecutive interior angles is 180°. If we bisect these interior angles, the resulting quadrilateral formed by the bisectors will have all its angles as 90°, proving it's a rectangle.

🎯 Exam Tip: Focus on proving that all angles of the quadrilateral formed by the bisectors are 90°. Use the properties of parallel lines and transversals (sum of consecutive interior angles is 180°), along with angle bisector definitions.

Question 7. सिद्ध कीजिए कि एक युग्म के समद्विभाजकों के शीर्षाभिमुख कोण, एक समान सरल रेखा पर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हुई दो रेखाओं AD और BC को दर्शाता है। किरणें OE और OF, कोणों AOC और BOD के समद्विभाजक हैं, और किरणें OG और OH, कोणों AOB और COD के समद्विभाजक हैं (हालांकि OG और OH स्पष्ट रूप से नहीं दिखाए गए हैं, यह एक सामान्य ज्यामितीय संदर्भ है)।
Answer: हलः
\( \angle 1 = \angle 3 \) ................ (1)
\( \angle 2 = \angle 4 \) ................. (2)
एक रेखा EF खींची।
\( \angle 2 = \angle x + \angle y \)
\( \angle 2 + \angle 1 + \angle 4 + \angle 3 = 360^\circ \)
\( \angle 4 = \angle m + \angle n \) रखने पर
\( \angle x + \angle y + \angle 1 + \angle m + \angle n + \angle 3 = 360^\circ \)
\( (\angle x +\angle 1 + \angle m) + (\angle y + \angle 3 + \angle n) = 360^\circ \)
. प्रत्येक \( \angle x + \angle 1 + \angle m = \angle y + \angle 3 + \angle n \)
.. शीर्षाभिमुख कोण \( \angle 2 \) व \( \angle 4 \) एक समान रेखा पर स्थित हैं \( = 180^\circ \)In simple words: This proof involves showing that the bisectors of vertically opposite angles lie on the same straight line. Since vertically opposite angles are equal, their bisectors will also be collinear, extending each other to form a straight line.

🎯 Exam Tip: The core idea is that bisectors of vertically opposite angles (which are equal) will form a straight line. Focus on proving the collinearity of the bisectors by showing the angles add up to 180 degrees.

Question 8. यदि दो सरल रेखायें परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। तो सिद्ध कीजिए कि एक कोण के समद्विभाजक के विपरीत किरण, शीर्षाभिमुख कोण को प्रतिच्छेद करती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो प्रतिच्छेद करती हुई रेखाओं AD और BC को दर्शाता है, जो बिंदु O पर मिलती हैं। किरण OM कोण DOC को समद्विभाजित करती है, और किरण ON कोण AOB को समद्विभाजित करती है। कोणों को m, n, x, y, z के रूप में दर्शाया गया है।
Answer: हलः
माना \( \angle AOT = m \) तथा \( \angle TOD = n \)
\( m + z + y = 180 \) .......... (1)
\( n + x + y = 180 \) ........... (2)
स समीकरण (1) व (2) की तुलना से \( m + z + y = n + z + y \)
∴ \( m = n \)
.. रेखा TM, शीर्षाभिमुख कोण को प्रतिच्छेद करती हैं।In simple words: This problem proves that if a line bisects an angle, its opposite ray also bisects the vertically opposite angle. The fragment of the solution provided suggests equating sums of angles to establish the equality of 'm' and 'n', implying collinearity of the bisecting rays.

🎯 Exam Tip: Understanding vertically opposite angles and angle bisectors is critical. The proof usually involves showing that the bisector and its opposite ray form a straight line by summing angles to 180 degrees.

Question 9. यदि दो सरल रेखायें एक रेखा पर लम्ब है तो सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर समान्तर हों?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक सीधी रेखा AB को दर्शाता है, जिस पर दो अन्य सीधी रेखाएँ PQ और MN लंबवत हैं। यह दर्शाता है कि रेखा PQ बिंदु Q पर AB के लंबवत है, और रेखा MN बिंदु N पर AB के लंबवत है, जिससे 90° के कोण बनते हैं।
Answer: हलः
यदि PQ व MN रेखा AB पर लम्ब हैं।
: \( \angle AQP = \angle ANM = 90^\circ \) परन्तु ये संगत कोण हैं।
.. PQ||MNIn simple words: If two lines are both perpendicular to the same transversal line, they form equal corresponding angles (both 90°). According to the converse of the corresponding angles axiom, if corresponding angles are equal, then the two lines are parallel.

🎯 Exam Tip: This proof directly uses the corresponding angles axiom. Clearly state that perpendicularity implies 90° angles, and then identify these as corresponding angles to prove parallelism.

Question 10. सिद्ध कीजिए कि यदि एक कोण की दो भुजा, दूसरे कोण की भुजा के लम्बवत् है तो कोण या तो बराबर होंगे या सम्पूरक ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो कोणों को दर्शाता है जहाँ एक कोण की भुजाएँ (जैसे N-M और S-A) दूसरे कोण की भुजाओं (जैसे M-B और A-T) पर लंबवत हैं, जिससे 90° के कोण (जैसे \( \angle NMB \), \( \angle BSA \), \( \angle SMA \), \( \angle TMB \)) बनते हैं। यह दो संभावित विन्यासों को दिखाता है - एक जहां कोण बराबर होते हैं, और दूसरा जहां वे संपूरक होते हैं।
Answer: हलः
कोण बराबर होंगे यदि उनका योग \( 180^\circ \) होगा अर्थात् सम्पूरक होंगे।In simple words: If the arms of one angle are perpendicular to the arms of another angle, the two angles are either equal or supplementary. This depends on whether the angles are oriented in the same or opposite directions relative to each other.

🎯 Exam Tip: This theorem is about angles with perpendicular arms. Be ready to explain both cases: when the angles are equal (e.g., if both are acute or both are obtuse) and when they are supplementary (e.g., one acute, one obtuse).

Question 11. संलग्न चित्र में, यदि PQ⊥PS, PQ ||RS, ∠SQR = 28° तथा ∠QRT = 65° तो x, y और z के मान ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समान्तर रेखाओं PQ और RS को दर्शाता है। एक तिर्यक रेखा QR उन्हें काट रही है। PQ पर एक लंब PT है। कोण SQR 28° है और कोण QRT 65° है। इसमें अज्ञात कोण x, y और z चिह्नित हैं।
Answer: हलः
** PQ⊥PS तथा \( \angle SPQ = 90^\circ \)
\( \triangle SQR \) में, \( z = 180 - 65 = 115^\circ \)
':' PQ||RS, \( \angle PQR = \angle QRT \)
\( x + 28 = 65 \)
\( x = 65 - 28 = 37^\circ \)
समकोण \( \triangle PSQ \) में,
\( y = 180 - (90 + 37) \)
\( = 180 - 127 \)
\( = 53^\circ \)In simple words: This problem involves using properties of parallel lines, transversal lines, and angle sum in triangles. We use alternate interior angles, linear pairs, and the fact that a perpendicular line forms a 90° angle to solve for the unknown angles x, y, and z.

🎯 Exam Tip: Systematically apply geometric theorems: alternate interior angles for parallel lines, angle sum property for triangles, and the definition of perpendicular lines. Work step-by-step to find each unknown angle.

Question 12. दिये गये चित्र में, यदि ∠COE = 2x° और ∠BOD = x°, तो x ज्ञात कीजिए। (जहाँ OD, ∠AOB का समद्विभाजक है और OE, ∠AOC का समद्विभाजक है)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हुई दो रेखाओं AD और BC को दर्शाता है। किरण OE कोण AOC को समद्विभाजित करती है और किरण OD कोण AOB को समद्विभाजित करती है। कोण COE 2x° है और कोण BOD x° है।
Answer: हलः
':' OD, \( \angle AOB \) का समद्विभाजक है
.. \( \angle AOD = \angle BOD = x \) तथा OE, \( \angle AOC \) का समद्विभाजक है
\( \angle COE = \angle AOE = 2x \)
::: \( \angle BOD + \angle AOD + \angle AOE + \angle COE = 180 \)
\( x + x + 2x + 2x = 180 \)
\( 6x = 180 \)
\( x = \frac{180}{6} = 30^\circ \)In simple words: We are given angle relationships and angle bisectors around a point on a straight line. By using the fact that angles on a straight line sum to 180°, and correctly expressing all angles in terms of 'x' based on the bisector property, we can set up and solve a linear equation for 'x'.

🎯 Exam Tip: Clearly identify the straight line and all angles formed on it. Correctly apply the angle bisector definition to express unknown angles in terms of 'x' before summing them to 180°.

Question 13. यदि दो सरल रेखाएँ परस्पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती है, कि एक के कोण की माप 90° है, तो सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक के शेष कोण की माप 90° है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो प्रतिच्छेद करती हुई रेखाओं l और m को दर्शाता है, जो बिंदु O पर मिलती हैं। इसमें एक कोण AOB 90° दिखाया गया है, तथा अन्य कोण AOC, BOD, COD भी चिह्नित हैं।
Answer: हलः
l तथा m रेखाएँ एक-दूसरे को इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं, कि \( \angle AOB = 90^\circ \)
तब शेष \( \angle AOB = \angle AOC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) इसी प्रकार \( \angle BOD = \angle COD = 90^\circ \)In simple words: When two lines intersect such that one of the angles formed is 90°, all other angles formed are also 90°. This is because adjacent angles on a straight line are supplementary (sum to 180°), and vertically opposite angles are equal.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental property of perpendicular lines. Use linear pairs to show adjacent angles are 90° and vertically opposite angles to show all four angles are 90°.

Question 14. यदि एक कोण की भुजा क्रमशः अन्य दूसरे कोण की भुजा के समान्तर है, तो सिद्ध कीजिए कि दो कोण या तो बराबर हैं, या सम्पूरक ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो कोणों को दर्शाता है (जैसे \( \angle NMB \) और \( \angle TSA \)) जहाँ एक कोण की भुजाएँ (जैसे NM और TS) दूसरे कोण की भुजाओं (जैसे MB और SA) के समानांतर हैं। यह दो विन्यासों को दिखाता है: एक जहां कोण बराबर होते हैं (जैसे \( \angle NMB \) और \( \angle TSA \)) और दूसरा जहां वे संपूरक होते हैं (जैसे \( \angle NMA \) और \( \angle TSB \))।
Answer: हलः
कोण बराबर होंगे यदि उनका कोण \( 180^\circ \) होगा अर्थात् सम्पूरक होंगे।In simple words: If the arms of one angle are parallel to the arms of another angle, then the two angles are either equal or supplementary. They are equal if both pairs of parallel arms extend in the same direction, and supplementary if one pair extends in opposite directions.

🎯 Exam Tip: This theorem explains the relationship between angles when their arms are parallel. Use properties of parallel lines intersected by a transversal to demonstrate equality (e.g., corresponding angles) or supplement (e.g., consecutive interior angles).

Question 15. यदि दो सरल रेखाएँ समान रेखा के लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि वे परस्पर समान्तर हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक सीधी रेखा AB को दर्शाता है, जिस पर दो अन्य सीधी रेखाएँ PQ और MN लंबवत हैं। यह दिखाता है कि रेखा PQ बिंदु Q पर AB के लंबवत है, और रेखा MN बिंदु N पर AB के लंबवत है, जिससे 90° के कोण बनते हैं।
Answer: हलः
यदि PQ व MN रेखा AB पर लम्ब है।
: \( \angle AQP = \angle ANM = 90^\circ \) परन्तु ये संगत कोण हैं।
PQ||MNIn simple words: If two distinct lines are both perpendicular to the same third line, then they must be parallel to each other. This is because they form equal corresponding angles (both 90°) with the common transversal.

🎯 Exam Tip: This is a fundamental theorem of parallel lines. The key is to recognize that perpendicularity to a common transversal results in equal corresponding angles, which is a condition for parallelism.