UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 7 Linear Equation in Two Variables Ex 7.1

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 7 Linear Equation In Two Variables Ex 7.1 दो चरों के रैखिक समीकरण

Question 1. एक समीकरण का ग्राफ खीचिए, यदि (i) x = 0, y = 4 समीकरण का एक हल है। (ii) x = 1, y = 5 समीकरण का एक हल है। (iii) (-4, -4) समीकरण के ग्राफ पर स्थित है। (iv) रेखा (y - 2x = 4) और अक्षों के निर्देशांक के द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल हलः
(i)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं, साथ ही मूलबिंदु O भी है। एक बिंदु M को धनात्मक Y-अक्ष पर निर्देशांक (0, 4) पर अंकित किया गया है। यह आलेखीय रूप से x=0, y=4 के हल को दर्शाता है।
(ii)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं, साथ ही मूलबिंदु O भी है। एक बिंदु M को पहले चतुर्थांश में निर्देशांक (1, 5) पर अंकित किया गया है। यह आलेखीय रूप से x=1, y=5 के हल को दर्शाता है।
(iii)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं, साथ ही मूलबिंदु O भी है। एक बिंदु को तीसरे चतुर्थांश में निर्देशांक (-4, -4) पर अंकित किया गया है। यह दर्शाता है कि बिंदु (-4, -4) समीकरण के ग्राफ पर स्थित है।
(iv) y - 2x = 4
\( \implies \) y = 4 + 2x

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `y - 2x = 4` खींची गई है जो Y-अक्ष को बिंदु A(0,4) पर और X-अक्ष को बिंदु C(-2,0) पर काटती है। बिंदु B(1,6) भी रेखा पर स्थित है। X-अक्ष और रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज AOC को दर्शाया गया है।
∴ ∆AOC का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \) (OA X OC)
\( \implies = \frac{1}{2} \) x 4 x 2
\( \implies = \) 4 वर्ग इकाई
In simple words: हमने दिए गए समीकरणों के लिए ग्राफ खींचे और फिर रेखा \(y - 2x = 4\) द्वारा अक्षों के साथ बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए बिंदुओं का उपयोग किया। त्रिभुज का आधार X-अक्ष पर और ऊंचाई Y-अक्ष पर है, जिससे क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \) × आधार × ऊंचाई सूत्र से \( \frac{1}{2} \) × 4 × 2 = 4 वर्ग इकाई आता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचते समय बिंदुओं को सटीक रूप से अंकित करना और अक्षों पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सही ढंग से पहचानना महत्वपूर्ण है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए \( \frac{1}{2} \) × आधार × ऊंचाई सूत्र याद रखें।

Question 2. निम्नलिखित प्रत्येक का ग्राफ खीचिए । (i) x = 2 (ii) x = -4 (iii) y = -5 हलः
(i) x = 2
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। Y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा `x = 2` खींची गई है, जो X-अक्ष को बिंदु (2, 0) पर काटती है।
(ii) x = -4
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। Y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा `x = -4` खींची गई है, जो X-अक्ष को बिंदु (-4, 0) पर काटती है।
(iii) y = -5
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। X-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा `y = -5` खींची गई है, जो Y-अक्ष को बिंदु (0, -5) पर काटती है।
In simple words: हमने दिए गए प्रत्येक समीकरण के लिए ग्राफ खींचा। \(x = k\) प्रकार के समीकरण Y-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि \(y = k\) प्रकार के समीकरण X-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं।

🎯 Exam Tip: \(x=k\) हमेशा Y-अक्ष के समानांतर एक रेखा होती है और \(y=k\) हमेशा X-अक्ष के समानांतर एक रेखा होती है। इन रेखाओं को खींचते समय अक्षों पर प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर ध्यान दें।

Question 3. नीचे दिये गये समीकरणों के ग्राफ खीचिए । (i) y = 2x (NCERT) (ii) y = -3x (iii) 3x + 4y =0 हलः
(i) y = 2x

MN उपरोक्त समीकरण का ग्राफ है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `y = 2x` खींची गई है जो मूलबिंदु (0,0) से होकर गुजरती है और बिंदुओं A(1,2) तथा B(2,4) को दर्शाती है।
(ii) y = -3x

MN उपरोक्त समीकरण का ग्राफ है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `y = -3x` खींची गई है जो मूलबिंदु (0,0) से होकर गुजरती है और बिंदुओं A(1,-3) तथा B(2,-6) को दर्शाती है।
(iii) 3x + 4y = 0
\( \implies \) 4y = -3x
\( \implies \) y = \( -\frac{3}{4} \)x

MN उपरोक्त समीकरण का ग्राफ है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `3x + 4y = 0` खींची गई है जो मूलबिंदु (0,0) से होकर गुजरती है और बिंदुओं A(2, -1.5) तथा B(4, -3) को दर्शाती है।
In simple words: हमने प्रत्येक दिए गए रैखिक समीकरण के लिए मानों की एक तालिका बनाई और फिर उन बिंदुओं को ग्राफ पर प्लॉट करके रेखा खींची। सभी रेखाएँ मूलबिंदु से गुजरती हैं क्योंकि समीकरणों में कोई स्थिर पद नहीं है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचने के लिए कम से कम दो या तीन बिंदुओं का उपयोग करें। यदि समीकरण में स्थिर पद (constant term) नहीं है, तो रेखा हमेशा मूलबिंदु (0,0) से होकर गुजरेगी।

Question 4. निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण के लिए चार हल ज्ञात कीजिए । (i) 12x + 5y = 0 (ii) 5x - 3y = 0 (iii) 2(x - 1) + 3y = 4 (iv) 2x - 3(y - 2) = 1 हलः
(i) 12x + 5y = 0
\( \implies \) 5y = -12x
\( \implies \) y = \( -\frac{12}{5} \)x

(ii) 5x - 3y = 0
\( \implies \) -3y = -5x
\( \implies \) y = \( \frac{5}{3} \)x

(iii) 2(x-1)+ 3y = 4
\( \implies \) 2x-2+3y = 4
\( \implies \) 3y = 4-2x+2 = 6-2x
\( \implies \) 3y = 2(3-x)
\( \implies \) y = \( \frac{2}{3} \)(3-x)

(iv) 2x-3(y-2) = 1
\( \implies \) 2x-3y + 6 = 1
\( \implies \) 2x+6-1=3y
\( \implies \) y = \( \frac{2x+5}{3} \)

In simple words: प्रत्येक समीकरण के लिए, हमने \(y\) को \(x\) के पदों में व्यक्त किया और फिर \(x\) के विभिन्न मानों के लिए \(y\) के संगत मान ज्ञात किए। इससे हमें चार (x, y) युग्म प्राप्त हुए जो समीकरणों के हल हैं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय सरल भिन्न मानों के लिए \(x\) के ऐसे मान चुनें जिनसे \(y\) का पूर्णांक मान प्राप्त हो, जिससे गणना आसान हो जाती है।

Question 5. समीकरण x + 2y - 4 = 0 का ग्राफ खीचिए तथा उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। जहाँ ग्राफ y-अक्ष को काटता है। हलः
x+2y-4=0
\( \implies \) 2y = -x + 4
\( \implies \) y = \( \frac{-x+4}{2} \)

उपरोक्त ग्राफ y-अक्ष को बिन्दु A(0, 2) पर काटता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `x + 2y - 4 = 0` खींची गई है जो Y-अक्ष को बिंदु A(0,2) पर, X-अक्ष को बिंदु C(4,0) पर काटती है, और बिंदु B(2,1) से भी गुजरती है।
In simple words: हमने समीकरण \(x + 2y - 4 = 0\) को \(y = \frac{-x+4}{2}\) के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया, \(x\) के मानों को प्रतिस्थापित करके बिंदुओं की एक तालिका बनाई, और फिर उन बिंदुओं को प्लॉट करके ग्राफ खींचा। ग्राफ Y-अक्ष को बिंदु (0, 2) पर काटता है।

🎯 Exam Tip: Y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, समीकरण में \(x=0\) सेट करें। X-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, \(y=0\) सेट करें। ये बिंदु ग्राफ खींचने में मदद करते हैं।

Question 6. समीकरण y = 3x का ग्राफ खींचिए । ग्राफ से x का मान ज्ञात कीजिए। जब y = -3 हलः
y = 3x

बिन्दु P के ग्राफ से प्रदर्शित होता है कि जब y = -3 तो x = -1
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `y = 3x` खींची गई है जो मूलबिंदु (0,0) से होकर गुजरती है और बिंदुओं (1,3) तथा (2,6) को दर्शाती है। ग्राफ पर बिंदु P(-1,-3) भी दर्शाया गया है।
In simple words: हमने समीकरण \(y = 3x\) के लिए एक तालिका बनाई और ग्राफ खींचा। जब \(y = -3\) होता है, तो ग्राफ से पता चलता है कि \(x = -1\) होता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ से किसी चर का मान ज्ञात करने के लिए, दिए गए मान पर दूसरे चर के अक्ष पर एक सीधी रेखा खींचें और देखें कि वह रेखा ग्राफ को कहाँ काटती है। फिर उस बिंदु से वांछित चर के अक्ष पर एक और सीधी रेखा खींचकर मान पढ़ें।

Question 7. समीकरण 2x + 3y = 11 का ग्राफ खीचिए। ग्राफ से y का मान ज्ञात कीजिए। जब x = 1 हलः
2x + 3y = 11
\( \implies \) 3y = 11-2x
\( \implies \) y = \( \frac{11-2x}{3} \)

बिन्दु A के ग्राफ से प्रदर्शित होता है कि जब x = 1 तो y = 3
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `2x + 3y = 11` खींची गई है जो मूलबिंदु (0,0) से नहीं गुजरती है बल्कि बिंदुओं A(1,3), B(4,1) तथा C(7,-1) को दर्शाती है।
In simple words: हमने समीकरण \(2x + 3y = 11\) को \(y\) के लिए हल किया और \(x\) के विभिन्न मानों के लिए तालिका बनाई। फिर हमने ग्राफ खींचा और जब \(x = 1\) होता है, तो ग्राफ से \(y = 3\) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचते समय, बिंदुओं को सावधानीपूर्वक प्लॉट करें। यदि समीकरण में \(x\) या \(y\) का मान दिया गया हो, तो उस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करके दूसरे चर का मान ज्ञात किया जा सकता है, जिससे ग्राफ पर संगत बिंदु मिलेगा।

Question 8. एक त्रिभुज खीचिए जिसकी भुजाएं x = 0, y = 0 और x + y = 3. द्वारा निरूपित है। हलः
x + y = 3
\( \implies \) y = 3-x

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। तीन रेखाएँ दर्शाई गई हैं: \(x = 0\) (Y-अक्ष), \(y = 0\) (X-अक्ष), और \(x + y = 3\)। रेखा \(x + y = 3\) Y-अक्ष को (0,3) पर और X-अक्ष को (3,0) पर काटती है, तथा बिंदुओं (1,2) और (2,1) को भी दर्शाती है। ये तीनों रेखाएँ मिलकर एक त्रिभुज बनाती हैं।
In simple words: हमने समीकरण \(x = 0\) (Y-अक्ष), \(y = 0\) (X-अक्ष), और \(x + y = 3\) का ग्राफ खींचा। ये तीनों रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं जिसके शीर्ष Y-अक्ष पर (0,3), X-अक्ष पर (3,0) और मूलबिंदु (0,0) हैं।

🎯 Exam Tip: \(x=0\) हमेशा Y-अक्ष होता है और \(y=0\) हमेशा X-अक्ष होता है। एक त्रिभुज बनाने के लिए, तीनों रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सही ढंग से प्लॉट करें।

Ex 7.1 Linear Equation In Two Variables बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. समीकरण 2x - y = 4 का आलेख x - अक्ष को किस बिन्दु पर काटेगा? (a) (0, 2) (b) (2, 0) (c) (-2, 0) (d) इनमें से कोई नहीं हल: x-अक्ष पर बिन्दु के लिए y = 0 रखने पर, 2x - 0 = 4
\( \implies \) x = 2 अतः बिन्दु (2,0) है। अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) (2, 0)
In simple words: x-अक्ष पर कोई भी बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है। इसलिए, समीकरण में \(y=0\) रखने पर, हमें \(2x=4\) मिलता है, जिससे \(x=2\) प्राप्त होता है। अतः रेखा x-अक्ष को (2,0) पर काटती है।

🎯 Exam Tip: किसी रेखा द्वारा X-अक्ष को काटने वाले बिंदु को ज्ञात करने के लिए, हमेशा समीकरण में \(y = 0\) प्रतिस्थापित करें। इसी प्रकार, Y-अक्ष के लिए \(x = 0\) प्रतिस्थापित करें।

Question 2. यदि (2a - 1, a) समीकरण 10x - 9y = 12 का हल है तो a = (a) 2 (b) 1 (c) 1/2 (d) इनमें से कोई नहीं हलः यदि (2a - 1, a) दी गई समीकरण का हल है, तो यह समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
10(2a - 1) - 9a = 12
\( \implies \) 20a - 10 - 9a = 12
\( \implies \) 11a = 22
\( \implies \) a = 2 अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 2
In simple words: चूँकि बिंदु \((2a-1, a)\) समीकरण \(10x - 9y = 12\) का हल है, हमने \(x\) और \(y\) के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित किया और \(a\) के लिए हल किया।

🎯 Exam Tip: यदि कोई बिंदु किसी समीकरण का हल है, तो वह समीकरण में \(x\) और \(y\) के स्थान पर प्रतिस्थापित होने पर उसे संतुष्ट करेगा। यह अज्ञात चर का मान ज्ञात करने की एक सीधी विधि है।

Question 3. x = 2 तथा y = -4 से सन्तुष्ट होने वाली समीकरणों की संख्या (a) केवल एक (b) केवल दो (c) अनन्त (d) इनमें से कोई नहीं हलः अनन्त अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) अनन्त
In simple words: दिए गए बिंदु \((2, -4)\) से अनगिनत रेखाएँ (समीकरण) गुजर सकती हैं।

🎯 Exam Tip: किसी एक बिंदु से होकर अनन्त रेखाएँ गुजर सकती हैं, जिसका अर्थ है कि एक ही बिंदु को संतुष्ट करने वाले अनन्त रैखिक समीकरण हो सकते हैं।

Question 4. y = -1 तथा y = 3 के ग्राफों के बीच की दूरी = (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) इनमें से कोई नहीं हलः y = -1 तथा y = 3 के ग्राफों के बीच की दूरी = 3 + 1 = 4
Answer: (c) 4
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। दो क्षैतिज रेखाएँ `y = -1` और `y = 3` खींची गई हैं, जो X-अक्ष के समानांतर हैं, तथा उनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी को दर्शाया गया है।
In simple words: \(y = -1\) और \(y = 3\) क्षैतिज रेखाएँ हैं। इनके बीच की दूरी उनके y-निर्देशांकों के निरपेक्ष अंतर को लेकर ज्ञात की जाती है, जो \(|3 - (-1)| = |3 + 1| = 4\) है।

🎯 Exam Tip: दो क्षैतिज रेखाओं \(y = a\) और \(y = b\) के बीच की दूरी \(|a - b|\) होती है। इसी प्रकार, दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं \(x = a\) और \(x = b\) के बीच की दूरी \(|a - b|\) होती है।

Question 5. बिन्दु (a, a), a ≠ 0 स्थित है (NCERT Exemplar) (a) x-अक्ष पर (b) y-अक्ष पर (c) रेखा y = x पर (d) इनमें से कोई नहीं हलः दिए गए बिन्दु का भुज तथा कोटि समान है, अतः यह बिन्दु y = x रेखा पर स्थित है। अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) रेखा y = x पर
In simple words: एक बिंदु \((a, a)\) में x और y निर्देशांक समान होते हैं। \(y = x\) समीकरण उन सभी बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ x और y निर्देशांक बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: यदि किसी बिंदु के x और y निर्देशांक बराबर हैं, तो वह बिंदु हमेशा रेखा \(y=x\) पर स्थित होता है।

Question 6. रैखिक समीकरण 3x + 2y = 6 का ग्राफ y-अक्ष को किस बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा? (a) (3, 0) (b) (0, 3) (c) (2, 0) (d) (0, 2) हल: y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु के लिए x = 0 रखने पर, 3 × 0 + 2y = 6
\( \implies \) 2y = 6
\( \implies \) y = 3 अतः y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिन्दु (0, 3) होगा। अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) (0, 3)
In simple words: Y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम समीकरण में \(x=0\) सेट करते हैं। इससे \(3(0) + 2y = 6\), यानी \(2y = 6\), और \(y = 3\) प्राप्त होता है। इसलिए, बिंदु \((0, 3)\) है।

🎯 Exam Tip: Y-अक्ष पर किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है। इस नियम का उपयोग करके आप Y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

Question 7. रेखा x = 3 निम्न में से किस बिन्दु से गुजरेगा? (a) (3, 2) (b) (2, 3) (c) (0, 3) (d) इनमें से कोई नहीं हलः (3, 0) से अतः विकल्प (d) सही है।
Answer: (a) (3, 2)
In simple words: रेखा \(x=3\) का मतलब है कि x-निर्देशांक हमेशा 3 रहेगा, चाहे y का मान कुछ भी हो। दिए गए विकल्पों में से, केवल बिंदु \((3,2)\) में x-निर्देशांक 3 है।

🎯 Exam Tip: समीकरण \(x=k\) एक ऊर्ध्वाधर रेखा का प्रतिनिधित्व करता है जो X-अक्ष को \(k\) पर काटती है। इस रेखा पर प्रत्येक बिंदु का x-निर्देशांक \(k\) होता है।

Question 8. y-अक्ष पर स्थित बिन्दु का रूप है (a) (0, y),(y ≠ 0) (b) (y, 0) (c) (-y, 0) (d) (x, x) हलः y-अक्ष पर स्थित बिन्दु के लिए x = 0 अतः बिन्दु (0, y) है। अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) (0, y),(y ≠ 0)
In simple words: Y-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का x-निर्देशांक हमेशा शून्य होता है। इसलिए, इसका सामान्य रूप \((0, y)\) है, जहाँ \(y\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है (यदि \(y \neq 0\), तो यह मूलबिंदु नहीं होगा)।

🎯 Exam Tip: निर्देशांक ज्यामिति में, Y-अक्ष पर सभी बिंदुओं का x-निर्देशांक 0 होता है, और X-अक्ष पर सभी बिंदुओं का y-निर्देशांक 0 होता है।

Question 9. 2x + 5y = 10 को निरूपित करने वाली रेखा y-अक्ष के किस बिन्दु से मिलेगी? (a) (2, 0) (b) (0, 2) (c) (1/2, 2) (d) इनमें से कोई नहीं हल: y-अक्ष के लिए x = 0 रखने पर, 2 × 0 + 5y = 10
\( \implies \) 5y = 10
\( \implies \) y = \( \frac{10}{5} \) = 2 रेखा बिन्दु (0, 2) पर मिलेगी। अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) (0, 2)
In simple words: Y-अक्ष पर वह बिंदु जहाँ रेखा प्रतिच्छेद करती है, वह है जहाँ x-निर्देशांक 0 है। समीकरण में \(x=0\) रखने पर, \(5y=10\), और \(y=2\) प्राप्त होता है, जिससे बिंदु \((0,2)\) मिलता है।

🎯 Exam Tip: किसी भी समीकरण में Y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, \(x\) को 0 के बराबर रखें और \(y\) के लिए हल करें।

Question 10. बिन्दुओं (-1,1),(0, 0) तथा (1, -1) से गुजरने वाली सरल रेखा का समीकरण (a) y = x (b) x - y = 0 (c) x + y = 0 (d) इनमें से कोई नहीं हलः दिए गए विकल्पों में से x + y = 0, को प्रत्येक बिन्दु सन्तुष्ट करता है। अतः इन बिन्दुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण x + y = 0 है। अतः विकल्प (c) सही है।
Answer: (c) x + y = 0
In simple words: हमने दिए गए बिंदुओं को प्रत्येक विकल्प समीकरण में प्रतिस्थापित किया। समीकरण \(x + y = 0\) तीनों बिंदुओं \((-1,1)\), \((0,0)\), और \((1,-1)\) को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि यह उन सभी से होकर गुजरता है।

🎯 Exam Tip: दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले समीकरण को खोजने का सबसे आसान तरीका है कि प्रत्येक बिंदु को विकल्पों में दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाए और देखें कि कौन सा समीकरण सभी बिंदुओं को संतुष्ट करता है।

Question 11. यदि (3, 2) समीकरण 3x - ky = 5 का हल है तब k = (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4 हलः (3, 2) समीकरण 3x - ky = 5 का हल है, तो यह बिन्दु (3, 2), दी गयी समीकरण को सन्तुष्ट करेगा।
3 × 3 - k × 2 = 5
\( \implies \) 9 - 2k = 5
\( \implies \) -2k = 5 - 9
\( \implies \) -2k = -4
\( \implies \) k = 2 अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) 2
In simple words: चूंकि बिंदु \((3, 2)\) समीकरण \(3x - ky = 5\) का हल है, हमने \(x=3\) और \(y=2\) को समीकरण में प्रतिस्थापित किया और \(k\) के लिए हल किया, जिससे \(k=2\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: जब कोई बिंदु किसी समीकरण का हल होता है, तो उसके निर्देशांक (x, y) को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर वह समीकरण संतुलित हो जाता है। इसका उपयोग करके अज्ञात स्थिरांक का मान ज्ञात किया जा सकता है।

Question 12. x = 2 व y = -1 निम्न में से किसका हल होगा? (a) x + y = 3 (b) x - y = 3 (c) x + y + 3 = 0 (d) इनमें से कोई नहीं हलः दिए गए विकल्पों में x - y = 3 समीकरण x = 2 व y = -1 से सन्तुष्ट हो जाता है। अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) x - y = 3
In simple words: हमने \(x=2\) और \(y=-1\) के मानों को प्रत्येक विकल्प समीकरण में प्रतिस्थापित किया। समीकरण \(x - y = 3\) में, \(2 - (-1) = 2 + 1 = 3\), जो सत्य है। अन्य समीकरण इस बिंदु को संतुष्ट नहीं करते हैं।

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि कौन सा समीकरण दिए गए मानों का हल है, मानों को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करें और देखें कि कौन सा समीकरण सत्य कथन देता है।

Question 13. ax + by + c = 0 का ज्यामितीय निरूपण (a) सरल रेखा (b) वृत्त (c) बिन्दु . (d) इनमें से कोई नहीं हलः सरल रेखा । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) सरल रेखा
In simple words: \(ax + by + c = 0\) दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है, और रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सीधी रेखा होती है।

🎯 Exam Tip: दो चरों में एक रैखिक समीकरण (जहां \(a\) और \(b\) दोनों शून्य नहीं हैं) हमेशा एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है।

Question 14. x = 5, y = 2 निम्न में से किसका हल है? (NCERT Exemplar) (a) x - y = 7 (b) x + y = 7 (c) x + 2y = 7 (d) इनमें से कोई नहीं हलः दिए गए विकल्पों में x + y = 7 समीकरण x = 5, y = 2 से सन्तुष्ट हो जाती है। अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) x + y = 7
In simple words: हमने \(x=5\) और \(y=2\) को प्रत्येक विकल्प समीकरण में डाला। समीकरण \(x+y=7\) के लिए, \(5+2=7\), जो सही है।

🎯 Exam Tip: यह जांचने के लिए कि कौन सा समीकरण दिए गए मानों के लिए सत्य है, मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

Question 15. y = 8 का आलेख एक रेखा है जो (a) x-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर (b) y-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर (c) (a) व (b) दोनों सत्य हैं। (d) इनमें से कोई नहीं हल: x-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से 8 इकाई दूरी पर । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) x-अक्ष के समान्तर तथा मूलबिन्दु से 8 इकाई दूरी पर
In simple words: समीकरण \(y=8\) एक क्षैतिज रेखा का प्रतिनिधित्व करता है। यह X-अक्ष के समानांतर है और मूलबिंदु से 8 इकाई ऊपर (धनात्मक दिशा में) स्थित है।

🎯 Exam Tip: समीकरण \(y=k\) हमेशा X-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा होती है, जो मूलबिंदु से \(|k|\) इकाई की दूरी पर होती है। यदि \(k\) धनात्मक है, तो रेखा X-अक्ष के ऊपर होती है, और यदि \(k\) ऋणात्मक है, तो X-अक्ष के नीचे होती है।

Ex 7.1 Linear Equation In Two Variables स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. एक पुस्तक का मूल्य, एक पैन के मूल्य से दोगुना है। इसे व्यक्त करने के लिए दो चरों का रैखिक समीकरण लिखिये। हलः माना पुस्तक का मूल्य = Rs. x तथा पैन का मूल्य = Rs. y प्रश्नानुसार, x = 2y
\( \implies \) x - 2y =0
In simple words: यदि पुस्तक का मूल्य x है और पैन का मूल्य y है, और पुस्तक का मूल्य पैन के मूल्य का दोगुना है, तो इसे समीकरण \(x = 2y\) या \(x - 2y = 0\) के रूप में लिखा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: शाब्दिक समस्याओं को हल करते समय, अज्ञात मात्राओं को चरों के रूप में परिभाषित करें और फिर दी गई जानकारी के आधार पर समीकरण बनाएं।

Question 2. विवेचना कीजिए, दो चरों के रैखिक समीकरण का आलेख, एक रेखा नहीं होती। हलः दो चरों के रैखिक समीकरण का ग्राफ हमेशा एक सरल रेखा होगी जो उस पर स्थित प्रत्येक बिन्दु को संतुष्ट करेगी।
In simple words: यह कथन गलत है। दो चरों वाले किसी भी रैखिक समीकरण का आलेख हमेशा एक सीधी रेखा होती है, न कि कोई अन्य आकृति।

🎯 Exam Tip: "रैखिक" शब्द का अर्थ है "रेखा से संबंधित"। इसलिए, रैखिक समीकरण हमेशा ग्राफ पर एक सीधी रेखा बनाते हैं।

Question 3. उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। जिसके निर्देशांकों का योग 10 इकाई है। हलः x + y = 10
In simple words: यदि एक रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक \((x, y)\) हैं और उनका योग 10 है, तो समीकरण \(x + y = 10\) होगा।

🎯 Exam Tip: किसी भी समीकरण को बनाने के लिए, समस्या में दिए गए संबंध को गणितीय रूप में व्यक्त करें। "निर्देशांकों का योग" का मतलब है \(x + y\)।

Question 4. 2x + 3y = 12 का आलेख बनाइये। किस बिन्दु पर यह x-अक्ष तथा y-अक्ष को काटती है? हलः
2x + 3y = 12
\( \implies \) 3y = 12-2x
\( \implies \) y = \( \frac{12-2x}{3} \)

उपरोक्त ग्राफ से प्रदर्शित होता है कि यह ग्राफ x-अक्ष को (6, 0) बिन्दु C पर तथा y-अक्ष को (0, 4) बिन्दु A पर काटता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `2x + 3y = 12` खींची गई है जो Y-अक्ष को बिंदु A(0,4) पर, X-अक्ष को बिंदु C(6,0) पर काटती है, और बिंदु B(3,2) से भी गुजरती है।
In simple words: समीकरण \(2x + 3y = 12\) के लिए हमने कुछ बिंदु ज्ञात किए और उन्हें प्लॉट करके ग्राफ खींचा। ग्राफ X-अक्ष को \((6, 0)\) पर और Y-अक्ष को \((0, 4)\) पर काटता है।

🎯 Exam Tip: ग्राफ खींचने के लिए X और Y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना विशेष रूप से उपयोगी होता है क्योंकि ये बिंदु रेखा के मार्ग को स्पष्ट रूप से परिभाषित करते हैं।

Question 5. 3x + 4y = 6 का आलेख बनाइए । किस बिन्दु पर यह :- अक्ष तथा y-अक्ष को काटती है? हलः
3x + 4y = 6
\( \implies \) 4y = 6-3x
\( \implies \) y = \( \frac{6-3x}{4} \)

ग्राफ से प्रदर्शित है यह ग्राफ x-अक्ष को बिन्दु A(2, 0) पर तथा y-अक्ष को बिन्दु P \( (0, \frac{3}{2}) \) पर काटता है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `3x + 4y = 6` खींची गई है जो X-अक्ष को बिंदु A(2,0) पर और Y-अक्ष को बिंदु P(0, 3/2) पर काटती है। बिंदु C(-2,3) और B(6,-3) भी रेखा पर स्थित हैं।
In simple words: हमने समीकरण \(3x + 4y = 6\) का ग्राफ खींचने के लिए कुछ बिंदु ज्ञात किए। ग्राफ X-अक्ष को \((2, 0)\) पर और Y-अक्ष को \( (0, \frac{3}{2}) \) पर काटता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न मानों वाले प्रतिच्छेदन बिंदुओं को सटीक रूप से प्लॉट करने के लिए ग्राफ पेपर पर पैमाना सावधानी से चुनें।

Question 6. c के किस मान के लिए समीकरण 2x + cy = 8 में x व y के मान समान होंगे? हलः 2x + cy = 8
\( \implies \) cy = 8 - 2x ............(1)
x तथा y के मान समान है।
\( \implies \) c = \( \frac{8-2x}{x} \) जहाँ x ≠ 0
In simple words: यदि \(x\) और \(y\) के मान समान हैं, तो हम \(y\) को \(x\) से प्रतिस्थापित कर सकते हैं। समीकरण \(2x + cx = 8\) बन जाता है, और \(x(2+c) = 8\), जिससे \(c = \frac{8}{x} - 2\) प्राप्त होता है। यदि \(x \neq 0\), तो हम \(c = \frac{8-2x}{x}\) पाते हैं।

🎯 Exam Tip: जब कहा जाता है कि दो चर समान हैं (जैसे \(x=y\)), तो आप अज्ञात स्थिरांक को हल करने के लिए एक चर को दूसरे से प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Question 7. किस बिन्दु पर रेखा x + y = 5, y-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से धनात्मक दिशा में 2 इकाई दूरी पर स्थित रेखा से मिलता है? हल: y-अक्ष के समान्तर तथा मूल बिन्दु से +2 इकाई दूरी पर स्थित रेखा का समीकरण x = 2 ..........(1)
तथा x + y = 5 ..........(2) रेखा का समीकरण है।
समीकरण (1) से मान रखने पर
2 + y = 5
\( \implies \) y = 5 - 2
\( \implies \) y = 3 .. बिन्दु = (2, 3) पर रेखा मिलती है।
In simple words: Y-अक्ष के समानांतर और मूलबिंदु से 2 इकाई दूर स्थित रेखा का समीकरण \(x=2\) है। इस रेखा के समीकरण को \(x+y=5\) में प्रतिस्थापित करने पर, \(2+y=5\), जिससे \(y=3\) प्राप्त होता है। अतः, वे बिंदु \((2,3)\) पर मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: समस्याओं को हल करते समय, पहले दिए गए विवरणों से सभी समीकरणों को स्पष्ट रूप से पहचानें और लिखें। फिर, हल खोजने के लिए उन समीकरणों को हल करें।

Question 8. एक शहर में ऑटो रिक्शा पहले किमी के लिए Rs. 10 तथा आगे के अन्य दूरी के प्रति किमी Rs. 4 लेता है। इस तथ्य को रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त करके, उसके आलेख खींचें। हलः
माना कुल दूरी = x किमी
1 किमी का किराया = Rs. 10
शेष दूरी = (x - 1) किमी
y = 10 + (x-1) × 4
\( \implies \) y = 10+4x-4
\( \implies \) y = 4x + 6

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। एक सीधी रेखा `y = 4x + 6` खींची गई है जो Y-अक्ष को बिंदु A(0,6) पर काटती है, और बिंदुओं B(-1,2) तथा C(-2,-2) को दर्शाती है।
In simple words: हमने ऑटो रिक्शा के किराए की संरचना के आधार पर एक रैखिक समीकरण बनाया। कुल किराया \(y\) को कुल दूरी \(x\) के संदर्भ में \(y = 4x + 6\) के रूप में व्यक्त किया गया। फिर हमने इस समीकरण के लिए एक ग्राफ खींचा।

🎯 Exam Tip: लागत-आधारित समस्याओं के लिए, स्थिर लागत (पहले किमी के लिए किराया) और परिवर्तनीय लागत (अतिरिक्त किमी के लिए किराया) को अलग करें। फिर कुल लागत के लिए एक रैखिक समीकरण बनाएं।

Question 9. एक गाड़ी को खींचने के लिए, उसके द्वारा प्रदत्त बल, त्वरण के समानुपाती है। इस कथन को दो चरों के रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए तथा उसका ग्राफ खींचिए। स्थिर द्रव्यमान 6 किग्रा वह बल ज्ञात कीजिए जो निम्न त्वरण के द्वारा लगेगा। (NCERT Exemplar) (i) 5 मी/से 2 (ii) 6 मी/सेकण्ड² हलः
y = mx जहाँ y = बल, x = चर तथा m अचर है।
(i) m = 6 किग्रा, त्वरण x = 5 मी/सेकण्ड\( ^{2} \)
बल y = mx = 5 × 6 = 30 न्यूटन
(ii) m = 6 किग्रा, त्वरण x = 6 मी/सेकण्ड² बल y = mx = 6 × 6 = 36 न्यूटन
In simple words: चूंकि बल त्वरण के समानुपाती है (न्यूटन के दूसरे नियम \(F=ma\) के अनुसार), हमने इसे \(y=mx\) के रूप में व्यक्त किया, जहाँ \(y\) बल है, \(x\) त्वरण है और \(m\) स्थिर द्रव्यमान है। \(m=6\) किग्रा के लिए, हमने दिए गए त्वरणों पर बल की गणना की।

🎯 Exam Tip: भौतिकी के सिद्धांतों को गणितीय समीकरणों में बदलना सीखें। समानुपातिक संबंध आमतौर पर \(y=kx\) के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, जहाँ \(k\) समानुपातिकता स्थिरांक होता है।

Question 10. एक पिता एवं उसके पुत्र की वर्तमान आयु क्रमशः x तथा y है। 5 वर्ष पहले पिता की आयु, अपने पुत्र की आयु के 7 गुने से 2 अधिक है। इस कथन को रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए। हलः
x - 5 = 7(y - 5) + 2
\( \implies \) x - 5 = 7y-35 + 2
\( \implies \) x - 5 = 7y - 33
\( \implies \) x - 7y - 5 + 33 = 0
\( \implies \) x - 7y + 28 = 0
In simple words: हमने पिता और पुत्र की वर्तमान आयु को \(x\) और \(y\) माना। 5 साल पहले उनकी आयु \((x-5)\) और \((y-5)\) थी। दी गई शर्त के अनुसार, \((x-5) = 7(y-5) + 2\) था, जिसे सरल करने पर रैखिक समीकरण \(x - 7y + 28 = 0\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: आयु संबंधी समस्याओं को हल करते समय, आयु में परिवर्तन (भूतकाल या भविष्यकाल) को सही ढंग से लिखें। ध्यान रखें कि "गुना" का अर्थ गुणा करना और "अधिक" का अर्थ जोड़ना है।

Question 11. यदि x = 2, y =1 समीकरण 2x + 3y = m का हल है तो n का मान ज्ञात कीजिए । हलः
2x + 3y =m
2 x2+3x1 = m
\( \implies \) 4+3 = m
\( \implies \) m = 7
In simple words: चूंकि बिंदु \((2, 1)\) समीकरण \(2x + 3y = m\) का हल है, हमने \(x=2\) और \(y=1\) के मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित किया। इससे \(2(2) + 3(1) = m\), जो \(4+3 = m\), तो \(m=7\) प्राप्त हुआ। (यहां प्रश्न में 'n' के स्थान पर 'm' ज्ञात किया गया है)।

🎯 Exam Tip: जब एक अज्ञात स्थिरांक वाले समीकरण का हल दिया जाता है, तो बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने से स्थिरांक का मान सीधे ज्ञात किया जा सकता है।

Question 12. एक आयताकार बाग का परिमाप 80 मीटर है। यदि लम्बाई 5 मीटर कम कर दी जाए तथा चौड़ाई 5 मीटर बढ़ा दी जाए तब इसका क्षेत्रफल 55 वर्ग मीटर बढ़ जाता है, इस कथन को रैखिक समीकरण द्वारा व्यक्त कीजिए। हलः
माना आयताकार बाग की लम्बाई = x मीटर
आयताकार बाग की चौड़ाई = y मीटर
आयताकार बाग का परिमाप = 2(लम्बाई + चौड़ाई)
= 2(x + y)
\( \implies \) 2(x + y) = 80 ...............(1)
आयताकार बाग का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = xy
तथा (x - 5)(y + 5) = xy + 55
In simple words: हमने लंबाई को \(x\) और चौड़ाई को \(y\) माना। परिमाप की जानकारी से \(2(x+y)=80\) समीकरण बना। फिर, लंबाई को 5 मीटर कम और चौड़ाई को 5 मीटर बढ़ाने पर क्षेत्रफल में 55 वर्ग मीटर की वृद्धि होती है, जिससे दूसरा समीकरण \((x-5)(y+5)=xy+55\) बना।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, आयामों को चर के रूप में परिभाषित करें और फिर परिमाप या क्षेत्रफल के लिए दिए गए संबंधों का उपयोग करके समीकरण बनाएं।

Question 13. एक नाव धारा के विपरीत 8 किमी तथा धारा की दिशा में 16 किमी की दूरी 6 घण्टे में पूरी करती है। इस कथन को रैखिक समीकरण में व्यक्त कीजिए। हलः
माना नाव की चाल = x किमी/घण्टा
धारा की चाल = y किमी/घण्टा
धारा की दिशा में नाव की चाल = (x + y) किमी/घण्टा
धारा की विपरीत दिशा में नाव की चाल = (x - y) किमी/घण्टा
समय = \( \frac{दूरी}{चाल} \)
\( \implies \) 6 = \( \frac{8}{x-y} + \frac{16}{x+y} \)
या \( \frac{16}{x+y} + \frac{8}{x-y} = 6 \)
In simple words: हमने शांत पानी में नाव की चाल को \(x\) और धारा की चाल को \(y\) माना। धारा के साथ चाल \((x+y)\) और धारा के विपरीत चाल \((x-y)\) होगी। समय = दूरी/चाल सूत्र का उपयोग करके, हमने \(6\) घंटे की कुल यात्रा के लिए समीकरण \( \frac{8}{x-y} + \frac{16}{x+y} = 6 \) बनाया।

🎯 Exam Tip: धारा और नाव संबंधी समस्याओं में, धारा की दिशा में चाल \((x+y)\) और धारा के विपरीत चाल \((x-y)\) होती है। समय, दूरी और चाल के बीच के संबंध को याद रखना महत्वपूर्ण है।

Question 14. 3x - 2y = 4 तथा x + y - 3 = 0 के आलेख एक ही पेपर पर खींचकर दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु ज्ञात कीजिए। हल:
3x - 2y = 4
\( \implies \) y = \( \frac{3x-4}{2} \)

x + y = 3
\( \implies \) y = 3-x

दोनों सरल रेखाओं का प्रतिच्छेद बिन्दु (2, 1) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। दो सीधी रेखाएँ खींची गई हैं: `3x - 2y = 4` और `x + y - 3 = 0`। ये दोनों रेखाएँ एक दूसरे को बिंदु (2, 1) पर काटती हैं।
In simple words: हमने दोनों समीकरणों के लिए बिंदुओं की तालिकाएँ बनाईं और उन्हें एक ही ग्राफ पर प्लॉट किया। दोनों रेखाएँ बिंदु \((2, 1)\) पर एक दूसरे को काटती हैं, जो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है।

🎯 Exam Tip: दो रैखिक समीकरणों का प्रतिच्छेदन बिंदु उनके हल को ग्राफिक रूप से दर्शाता है। यह जांचने के लिए कि आपका बिंदु सही है, इसे दोनों मूल समीकरणों में प्रतिस्थापित करें।

Question 15. यदि बिन्दु A(3, 5) तथा B (1, 4) रेखा ax + by = 7 के आलेख पर स्थित हो तो a व b के मान ज्ञात कीजिए। हल: यदि रेखा ax + by = 7, बिन्दु A व बिन्दु B से जाती है, तो दिए गए बिन्दु, रेखा को सन्तुष्ट करते हैं, अतः
x = 3, y = 5 रखने पर,
3a + 5b = 7 ...............(1)
x = 1, y = 4 रखने पर,
a + 4b = 7 ...............(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर, a = -1, b = 2
In simple words: चूंकि दोनों बिंदु समीकरण \(ax + by = 7\) पर स्थित हैं, हमने प्रत्येक बिंदु के निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करके दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की: \(3a + 5b = 7\) और \(a + 4b = 7\)। इन समीकरणों को हल करने पर \(a = -1\) और \(b = 2\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: दो अज्ञात चर वाले दो समीकरणों को हल करने के लिए विलोपन विधि या प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। यदि कोई बिंदु किसी रेखा पर स्थित है, तो उसके निर्देशांक हमेशा रेखा के समीकरण को संतुष्ट करेंगे।

Question 16. रेखाओं 2x + y = 6 तथा 2x - y + 2 = 0 के आलेख खींचे तथा दोनों रेखाओं से घिरे क्षेत्र को छायांकित कर, छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हलः
2x + y = 6
\( \implies \) y = 6-2x

2x - y + 2 = 0
\( \implies \) y = 2x + 2

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। दो सीधी रेखाएँ `2x + y = 6` और `2x - y + 2 = 0` खींची गई हैं। रेखा `2x + y = 6` Y-अक्ष को (0,6) पर और X-अक्ष को (3,0) पर काटती है। रेखा `2x - y + 2 = 0` Y-अक्ष को (0,2) पर और X-अक्ष को (-1,0) पर काटती है। इन रेखाओं और अक्षों के बीच घिरे छायांकित क्षेत्र को दर्शाया गया है, जिसमें विभिन्न बिंदु जैसे A(3,0), C(2,4) [प्रतिच्छेदन बिंदु], E(0,2), F(-1,0) [2x-y+2=0 का x-अक्ष पर प्रतिच्छेदन] भी दर्शाए गए हैं।
छायांकित भाग का क्षेत्रफल
= ∆ABC का क्षे० + ACDE का क्षे० + △OEF का क्षे० + वर्ग OACE का क्षे०
= \( \frac{1}{2} \) x 1 x 2 + \( \frac{1}{2} \) x 2 x 2 + \( \frac{1}{2} \) x 1 x 2 + 2 x 2
= 1+2+1+4
= 8 वर्ग इकाई
In simple words: हमने दोनों रैखिक समीकरणों के लिए ग्राफ खींचे और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु और अक्षों पर प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात किए। इन रेखाओं और अक्षों से घिरा क्षेत्र एक जटिल आकृति बनाता है जिसे सरल ज्यामितीय आकृतियों (त्रिभुज और वर्ग) में विभाजित करके उसका क्षेत्रफल 8 वर्ग इकाई ज्ञात किया गया।

🎯 Exam Tip: छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसे पहचानने योग्य सरल आकृतियों (जैसे त्रिभुज, आयत, वर्ग) में तोड़ना सीखें और फिर उनके व्यक्तिगत क्षेत्रफलों को जोड़ें। सटीक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण है।

Question 17. एक संख्या, उसके अंकों को पलटकर बनी संख्या से 27 अधिक है। यदि इकाई व दहाई के अंक क्रमशः x व y हैं तो उपरोक्त कथन को प्रदर्शित करने वाली रैखिक समीकरण ज्ञात कीजिए। हलः
माना इकाई का अंक = x तथा दहाई का अंक = y
अतः संख्या = 10y + x
तथा अंकों को पलटकर बनने वाली संख्या = 10x + y
प्रश्नानुसार, (10y + x) - (10x + y) = 27
\( \implies \) -9x + 9y = 27
या \( \implies \) x - y = -3
\( \implies \) x - y + 3 = 0
In simple words: हमने संख्या के अंकों को इकाई \(x\) और दहाई \(y\) माना। मूल संख्या \(10y+x\) और पलटी हुई संख्या \(10x+y\) है। दिए गए संबंध के अनुसार, पलटी हुई संख्या मूल संख्या से 27 अधिक है, जिससे समीकरण \((10x+y) - (10y+x) = 27\) प्राप्त हुआ, जिसे सरल करने पर \(x - y = -3\) या \(x - y + 3 = 0\) प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: अंकों वाली समस्याओं में, मूल संख्या को \(10y+x\) (या \(100z+10y+x\) तीन अंकों के लिए) के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है। जब अंक पलटे जाते हैं, तो इकाई का अंक दहाई बन जाता है और दहाई का अंक इकाई बन जाता है।

Question 18. रैखिक समीकरण 4x - 3y + 4 = 0 तथा 4x + 3y - 20 = 0 का आलेख बनाइये तथा इन रेखाओं व x-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हलः
4x - 3y + 4 = 0
\( \implies \) y = \( \frac{4x+4}{3} \)

4x + 3y - 20 = 0
\( \implies \) y = \( \frac{-4x+20}{3} \)

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक कार्तीय तल (ग्राफ पेपर) है जिसमें X और Y अक्ष दर्शाए गए हैं। दो सीधी रेखाएँ `4x - 3y + 4 = 0` और `4x + 3y - 20 = 0` खींची गई हैं। रेखा `4x - 3y + 4 = 0` X-अक्ष को बिंदु A(-1,0) पर काटती है। रेखा `4x + 3y - 20 = 0` X-अक्ष को बिंदु B(5,0) पर काटती है। ये दोनों रेखाएँ एक दूसरे को बिंदु C(2,4) पर काटती हैं। X-अक्ष और दोनों रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज ABC को छायांकित किया गया है।
रेखांकित भाग का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
= \( \frac{1}{2} \) × 6 × 4
= 12 वर्ग इकाई
In simple words: हमने दिए गए दोनों रैखिक समीकरणों के लिए ग्राफ खींचे। हमने पाया कि ये रेखाएँ X-अक्ष को \((-1, 0)\) और \((5, 0)\) पर काटती हैं, और एक दूसरे को \((2, 4)\) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन तीनों बिंदुओं से एक त्रिभुज बनता है जिसका क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \) × आधार × ऊंचाई सूत्र से 12 वर्ग इकाई आता है।

🎯 Exam Tip: दो रेखाओं और X-अक्ष के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, तीनों शीर्षों के निर्देशांक (दोनों रेखाओं के X-अक्ष पर प्रतिच्छेदन बिंदु और दोनों रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु) को सटीक रूप से पहचानें। आधार X-अक्ष पर होता है और ऊंचाई प्रतिच्छेदन बिंदु का y-निर्देशांक होता है।

Question 19. यदि बिन्दु (2, -2) रैखिक समीकरण 5x + ky = 4 पर स्थित है तो k का मान ज्ञात कीजिए। हलः
दी गई रैखिक समीकरण 5x + ky = 4
x = 2, y = -2 रखने पर,
5 × 2 + k(-2) = 4
\( \implies \) 10 - 2k = 4
\( \implies \) -2k = 4 - 10
\( \implies \) -2k = -6
\( \implies \) k = 3
In simple words: चूंकि बिंदु \((2, -2)\) समीकरण \(5x + ky = 4\) पर स्थित है, हमने \(x=2\) और \(y=-2\) को समीकरण में प्रतिस्थापित किया। इससे \(5(2) + k(-2) = 4\) प्राप्त हुआ, जिसे \(10 - 2k = 4\) के रूप में सरल किया गया, और \(k\) के लिए हल करने पर \(k=3\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: जब एक बिंदु किसी समीकरण पर स्थित होता है, तो वह बिंदु हमेशा उस समीकरण को संतुष्ट करेगा। यह अज्ञात स्थिरांक के मान ज्ञात करने के लिए एक मूलभूत अवधारणा है।

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