UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.4

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.4 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Question 1. सिद्ध कीजिए कि (3x – 2), बहुपद p(x) = \(3x^3 + x^2 – 20x + 12\) का एक गुणनखण्ड है।
Answer: हलः (3x – 2), बहुपद p(x) का एक गुणनखण्ड होगा यदि p(2/3) = 0 तब \[ P\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^3 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 - 20\left(\frac{2}{3}\right) + 12 \] \[ = 3 \times \frac{8}{27} + \frac{4}{9} - \frac{40}{3} + 12 \] \[ = \frac{8}{9} + \frac{4}{9} - \frac{120}{9} + \frac{108}{9} \] \[ = \frac{8+4-120+108}{9} \] \[ = \frac{120-120}{9} = 0 \] अतः (3x – 2) बहुपद p(x) = \(3x^3 + x^2 – 20x + 12\) का एक गुणनखण्ड है।In simple words: यदि बहुपद p(x) में (3x - 2) को शून्य करने वाला मान x = 2/3 रखने पर शेषफल शून्य आता है, तो (3x - 2) बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा। हमने यह मान रखकर गणना की और शेषफल 0 प्राप्त किया, जिससे यह सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, यदि किसी बहुपद में किसी रैखिक गुणनखण्ड का शून्यक रखने पर शेषफल शून्य आता है, तो वह रैखिक पद उस बहुपद का गुणनखण्ड होता है। यह अवधारणा शेषफल प्रमेय से जुड़ी है।

Question 2. सिद्ध कीजिए कि (x – 1), बहुपद \(x^{20} – 1\) तथा \(x^{21} – 1\) का एक गुणनखण्ड है।
Answer: हलः p(x) = \(x^{20} – 1\)
\( \therefore x – 1 = 0 \implies x = 1 \) रखने पर, p(1) = \(1^{20} – 1 = 1 - 1 = 0\) x = 1 रखने पर p(1) = 0 अतः (x – 1) बहुपद \(x^{20} – 1\) का एक गुणनखण्ड होगा। इसी प्रकार, p(x) = \(x^{21} – 1\) p(1) = \(1^{21} – 1 = 0\) अतः (x – 1), बहुपद \(x^{21} – 1\) का भी एक गुणनखण्ड है।In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि (x - 1) को शून्य करने वाला मान (x=1) दिए गए बहुपदों में रखने पर शेषफल शून्य आता है, तो (x - 1) उनका गुणनखण्ड होगा। दोनों बहुपदों के लिए, x=1 रखने पर परिणाम शून्य आता है, जिससे यह सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न गुणनखण्ड प्रमेय के सिद्धांत पर आधारित है। सुनिश्चित करें कि आप रैखिक गुणनखण्ड के शून्यक को सही ढंग से पहचानते हैं और उसे बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं। यदि परिणाम शून्य है, तो यह गुणनखण्ड सिद्ध हो जाता है।

Question 3. यदि \(4x^4 – ax^3 + 2x² + 4x + 3\) का एक गुणनखण्ड \((1 – 2x)\) है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः \(1 – 2x = 0 \implies x = \frac{1}{2}\) रखने पर, \[ P\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \]
\( \implies 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - a\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) + 3 = 0 \)
\( \implies 4 \times \frac{1}{16} - a \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{4} + 2 + 3 = 0 \)
\( \implies \frac{1}{4} - \frac{a}{8} + \frac{1}{2} + 2 + 3 = 0 \)
\( \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 5 = \frac{a}{8} \)
\( \implies \frac{1+2+20}{4} = \frac{a}{8} \)
\( \implies \frac{23}{4} = \frac{a}{8} \)
\( \implies a = \frac{23 \times 8}{4} \)
\( \implies a = 46 \)In simple words: यदि \((1 – 2x)\) बहुपद का एक गुणनखण्ड है, तो \(x\) का मान \(\frac{1}{2}\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। इस शर्त का उपयोग करके हमने \(x\) के मान को बहुपद में प्रतिस्थापित किया और \(a\) के लिए समीकरण हल करके उसका मान 46 प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि कोई रैखिक पद किसी बहुपद का गुणनखण्ड है, तो उस रैखिक पद का शून्यक बहुपद में रखने पर शेषफल शून्य होता है। बीजगणितीय गणनाओं में सावधानी बरतें, विशेषकर भिन्नों और ऋणात्मक संख्याओं के साथ।

Question 4. यदि \(R_1\) तथा \(R_2\) दो शेषफल हैं। जब क्रमश: \(x^3 + 2x^2 – 5ax + 7\) को \((x + 1)\) तथा \(x³ + ax^2 – 12x + 6\) को \((x – 2)\) से विभाजित किया जाता है। यदि \(R_1 – R_2 = 20\), तो सिद्ध कीजिए \(a = 2\)।
Answer: हलः \(R_1 = p( - 1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 – 5a (-1) + 7 = - 1 + 2 + 5a + 7 = (5a + 8)\) \(R_2 = P(2) = 2^3 + a(2)^2 – 12 \times 2 + 6 = 8 + 4a – 24 + 6 = 4a – 10\) तब दिया है, \(R_1 – R_2 = 20\)
\( \implies (5a + 8) – (4a – 10) = 20 \)
\( \implies a + 8 + 10 = 20 \)
\( \implies a = 20 - 18 \)
\( \implies a = 2 \)In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, हमने प्रत्येक बहुपद के लिए शेषफल (\(R_1\) और \(R_2\)) ज्ञात किए। फिर, दिए गए संबंध \(R_1 – R_2 = 20\) में इन शेषफलों के व्यंजकों को प्रतिस्थापित किया और बीजगणितीय रूप से \(a\) के लिए समीकरण को हल करके \(a = 2\) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, शेषफल प्रमेय का सही अनुप्रयोग महत्वपूर्ण है। शेषफल को \(p(-k)\) या \(p(k)\) के रूप में व्यक्त करें और फिर दिए गए संबंध का उपयोग करके चर का मान ज्ञात करें। ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना करते समय सावधानी बरतें।

Question 5. यदि \(R_1\) तथा \(R_2\) दो शेषफल हैं जब क्रमशः \(f(x) = x³ + 2ax^2 – 5x – 7\) को \((x + 1)\) तथा \(g(x) = x³ + x^2 – 12x + 6a\) को \((x – 2)\) से विभाजित किया जाता है। यदि \(2R_1 + R_2 = 12\) तो सिद्ध कीजिए \(a = 3\)।
Answer: हलः \(R_1 = f(-1) = (-1)^3 + 2a (-1)^2 – 5(-1) – 7 = - 1 + 2a + 5 – 7 = 2a – 3\) \(R_2 = g (2) = (2)^3 + 2^2 – 12 \times 2 + 6a = 8 + 4 – 24 + 6a = 6a – 12\) दिया है, \(2R_1 + R_2 = 12\)
\( \implies 2(2a – 3) + (6a – 12) = 12 \)
\( \implies 4a – 6 + 6a – 12 = 12 \)
\( \implies 10a – 18 = 12 \)
\( \implies 10a = 30 \)
\( \implies a = \frac{30}{10} \)
\( \implies a = 3 \)In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, हमने पहले प्रत्येक बहुपद के लिए शेषफल (\(R_1\) और \(R_2\)) को \(a\) के पदों में व्यक्त किया। फिर, दिए गए संबंध \(2R_1 + R_2 = 12\) में इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित किया और \(a\) के लिए समीकरण को हल किया, जिससे \(a = 3\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न शेषफल प्रमेय और बीजीय समीकरणों को हल करने की क्षमता को परखता है। सुनिश्चित करें कि आप \(x\) के सही मानों को प्रतिस्थापित करें और गुणांकों तथा स्थिर पदों को सावधानीपूर्वक संयोजित करें। समीकरणों को हल करते समय हर चरण को स्पष्ट रूप से लिखें।

Question 6. यदि बहुपद \(ax³ + 3x^2 – 3\) तथा \(2x^3 – 5x + a\) को \((x – 4)\) से भाग देने पर क्रमशः \(R_1\) तथा \(R_2\) शेषफल प्राप्त होते हैं तब a का मान ज्ञात कीजिए, यदि
(i) \(R_1 = R_2\)
(iii) \(2R_1 - R_2 = 0\)
Answer: हलः \(R_1 = P(4) = a (4)^3 + 3(4)^2 – 3 = 64a + 48 – 3 = 64a + 45\) \(R_2 = q(4) = 2(4)^3 – 5(4) + a = 128 – 20 + a = a + 108\) तब (i)
\(R_1 = R_2 \implies 64a + 45 = a + 108\)
\( \implies 63a = 63 \)
\( \implies a = 1 \) (ii) \(2R_1 – R_2 = 0\)
\( \implies 2(64a + 45) – (a + 108) = 0 \)
\( \implies 128a + 90 – a – 108 = 0 \)
\( \implies 127a – 18 = 0 \)
\( \implies a = \frac{18}{127} \)In simple words: इस प्रश्न में, शेषफल प्रमेय का उपयोग करके पहले \(R_1\) और \(R_2\) को \(a\) के पदों में व्यक्त किया गया। फिर, दिए गए संबंध (i) \(R_1 = R_2\) और (ii) \(2R_1 - R_2 = 0\) में इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित किया गया और \(a\) के लिए समीकरणों को हल करके उसका मान प्राप्त किया गया।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके शेषफल की सही गणना करना इस प्रश्न का मूल है। प्रत्येक मामले में दिए गए समीकरण को सावधानीपूर्वक स्थापित करें और बीजगणितीय रूप से हल करें। ऋणात्मक संख्याओं और भिन्नों के साथ गणना करते समय विशेष रूप से सतर्क रहें।

Question 7. यदि \((x + a)\), \(x² + px + q\) तथा \(x^2 + mx + n\), का गुणनखण्ड है तब सिद्ध कीजिए कि \(a = \frac{n-q}{m-p}\)।
Answer: हलः यदि \((x + a)\), \(x^2 + px + q\) का एक गुणनखण्ड है, तब \(x = - a\) रखने पर शेषफल शून्य प्राप्त होगा। अतः \( (-a)^2 + p(-a) + q = 0 \) \( a^2 – ap + q = 0\) ...(1) इसी प्रकार यदि \((x + a)\), \(x^2 + mx + n\) का एक गुणनखण्ड है, तब \(x = - a\) रखने पर शेषफल शून्य प्राप्त होता है, अतः \( (-a)^2 + m(-a) + n = 0 \) \( a^2 – ma + n = 0\) ...(2) समी० (1) व (2) से,
\( a^2 - pa + q = 0 \)
\( a^2 - ma + n = 0 \) इन समीकरणों को हल करने पर,
\( \frac{a^2}{-pn+mq} = \frac{a}{-(q-n)} = \frac{1}{-m+p} \) तब
\( \frac{a}{-(q-n)} = \frac{1}{-m+p} \)
\( a = \frac{-(q-n)}{-(m-p)} \) अतः
\( a = \frac{n-q}{m-p} \)In simple words: चूंकि \((x+a)\) दोनों बहुपदों का गुणनखण्ड है, इसलिए \(x = -a\) रखने पर दोनों बहुपदों का मान शून्य हो जाएगा। हमने दोनों बहुपदों के लिए यह शर्त लागू की, जिससे \(a^2 - ap + q = 0\) और \(a^2 - ma + n = 0\) दो समीकरण प्राप्त हुए। इन समीकरणों को हल करके, हमने \(a\) के लिए वांछित व्यंजक \(\frac{n-q}{m-p}\) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न गुणनखण्ड प्रमेय और दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने की क्षमता को जोड़ता है। यह महत्वपूर्ण है कि आप प्रत्येक बहुपद से प्राप्त समीकरणों को सही ढंग से स्थापित करें और फिर \(a\) के लिए हल करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करें। संकेतों में सावधानी बरतें।

Question 8. यदि \((x + 2)\), व्यंजक \(ax^2 + bx + c\) तथा \(bx^2 + ax + c\) का महत्तम समापवर्तक (HCF) है तो सिद्ध कीजिए \(a = b\) तथा \(a+b+c=0\)।
Answer: हलः यदि \((x + 2)\) व्यंजक \(ax^2 + bx + c\) तथा \(bx^2 + ax + c\) का म०स० है, तब यह उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा। अतः \(x = – 2\) रखने पर, \( a( – 2)² + b( – 2) + c = 0 \)
\( \implies 4a – 2b + c = 0 \) ...(1) इसी प्रकार दूसरे बहुपद के लिए: \( b( – 2)² + a( – 2) + c = 0 \)
\( \implies 4b – 2a + c = 0 \) ...(2) समी० (1) व (2) को जोड़ने पर, \( (4a - 2b + c) + (4b - 2a + c) = 0 \)
\( \implies 2a + 2b + 2c = 0 \)
\( \implies a + b + c = 0 \) समी० (1) व (2) को घटाने पर, \( (4a - 2b + c) - (4b - 2a + c) = 0 \)
\( \implies 4a - 2b + c - 4b + 2a - c = 0 \)
\( \implies 6a - 6b = 0 \)
\( \implies 6a = 6b \)
\( \implies a = b \)In simple words: चूंकि \((x+2)\) दोनों बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) है, यह दोनों का एक गुणनखण्ड भी होगा। इसलिए, \(x = -2\) रखने पर दोनों बहुपदों का मान शून्य होना चाहिए, जिससे हमें दो समीकरण प्राप्त हुए। इन समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर, हमें \(a+b+c=0\) और \(a=b\) प्राप्त होता है, जो सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: महत्तम समापवर्तक (HCF) की अवधारणा को गुणनखण्ड प्रमेय से जोड़ना महत्वपूर्ण है। यदि कोई पद HCF है, तो वह एक गुणनखण्ड भी है। दो समीकरणों का एक साथ उपयोग करके चरों के मान या संबंध स्थापित करने की विधि को समझें।

Question 9. यदि \((x – 1)\), व्यंजक \(x^2 – 1\) तथा \(ax^2 – b(x + 1)\), का महत्तम समापवर्तक (HCF) है तो सिद्ध कीजिए \(a = 2b\)।
Answer: हलः यदि \((x – 1)\), व्यंजक \((x^2 – 1)\) और \(ax^2 – b(x + 1)\) का म०स० है, तो \((x – 1)\) इसका उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा। अतः \( a(1)^2 – b(1 + 1) = 0 \)
\( \implies a – 2b = 0 \)
\( \implies a = 2b \)In simple words: चूंकि \((x-1)\) दोनों बहुपदों का महत्तम समापवर्तक (HCF) है, यह दोनों का एक गुणनखण्ड भी है। इसलिए, \(x=1\) (जो \((x-1)\) का शून्यक है) रखने पर दूसरे बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। इस शर्त का उपयोग करके, हमने \(a(1)^2 – b(1 + 1) = 0\) प्राप्त किया, जिसे हल करने पर \(a = 2b\) सिद्ध होता है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न HCF और गुणनखण्ड प्रमेय के बीच के संबंध पर केंद्रित है। यदि कोई पद HCF है, तो उसका शून्यक बहुपद के शेषफल को शून्य कर देगा। ऐसे प्रश्नों में, केवल एक बहुपद पर ध्यान केंद्रित करके भी परिणाम प्राप्त किया जा सकता है यदि अन्य बहुपद स्पष्ट रूप से गुणनखण्ड को संतुष्ट करता हो।

Ex 6.4 Remainder Theorem and Factor Theorem स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. \(x^3 + 3x^2 + 3x + 1\) को \(5 + 2x\) से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः \(5 + 2x = 0 \implies 2x = - 5\)
\( \implies x = -\frac{5}{2} \) को बहुपद में रखने पर शेषफल = \( \left(-\frac{5}{2}\right)^3 + 3\left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 3\left(-\frac{5}{2}\right) + 1 \)
\( = -\frac{125}{8} + 3\left(\frac{25}{4}\right) - \frac{15}{2} + 1 \)
\( = -\frac{125}{8} + \frac{75}{4} - \frac{15}{2} + 1 \)
\( = \frac{-125 + 150 - 60 + 8}{8} \)
\( = \frac{27}{8} \)In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, हमने भाजक \(5+2x\) को शून्य के बराबर किया जिससे \(x = -\frac{5}{2}\) प्राप्त हुआ। फिर इस मान को दिए गए बहुपद में प्रतिस्थापित किया। परिणामी मान, \(\frac{27}{8}\), ही शेषफल है।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके शेषफल ज्ञात करते समय, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि आप भाजक के शून्यक को सही ढंग से निकालते हैं। भिन्नों और ऋणात्मक संख्याओं के साथ प्रतिस्थापन और गणना करते समय त्रुटियों से बचने के लिए सावधानी बरतें।

Question 2. गुणनखण्ड प्रमेय का प्रयोग करके \(2y^3 + y² – 2y – 1\) के गुणनखण्ड कीजिए ।
Answer: हलः \(2y^3 + y^2 – 2y – 1\) में \(y = 1\) रखने पर शेषफल = \(2(1)^3 + (1)^2 – 2(1) – 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0\) अतः \((y - 1)\) बहुपद \(2y^3 + y^2 – 2y – 1\) का एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(2y^3 + y^2 – 2y – 1\) को उसके एक गुणनखण्ड \((y-1)\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(2y^2 + 3y + 1\) और शेषफल \(0\) प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि \((y-1)\) एक गुणनखण्ड है।
\( \therefore 2y^2 + 3y + 1 = 2y^2 + (2 + 1)y + 1 \)
\( = 2y^2 + 2y + y + 1 \)
\( = 2y(y + 1) + 1(y + 1) \)
\( = (2y + 1)(y + 1) \)
\( \therefore \) गुणनखण्ड = \((y – 1)(y + 1)(2y + 1)\)In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमने पाया कि \((y-1)\) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है क्योंकि \(y=1\) रखने पर शेषफल शून्य आता है। फिर, हमने बहुपद को \((y-1)\) से भाग दिया और भागफल \(2y^2 + 3y + 1\) प्राप्त किया। इस भागफल को मध्य पद विभक्तिकरण विधि का उपयोग करके आगे गुणनखण्डित किया, जिससे हमें पूर्ण गुणनखण्ड \((y-1)(y+1)(2y+1)\) प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: बहुपद के गुणनखण्ड करते समय, पहले गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके एक रैखिक गुणनखण्ड खोजने का प्रयास करें। एक बार एक गुणनखण्ड मिल जाने के बाद, बहुपद को उस गुणनखण्ड से विभाजित करने के लिए लंबी विभाजन विधि का उपयोग करें। शेष द्विघात बहुपद को मध्य पद विभक्तिकरण विधि का उपयोग करके गुणनखण्डित किया जा सकता है।

Question 3. \(x^4 + x^3 – 2x^2 + x + 1\) को \((x – 1)\) से भाग करने पर शेषफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः
\( \therefore x – 1 = 0 \implies x = 1 \) का मान बहुपद में रखने पर शेषफल = \( (1)^4 + (1)^3 – 2(1)^2 + 1 + 1 \)
\( = 1 + 1 – 2 + 1 + 1 \)
\( = 2 \)In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमने भाजक \((x-1)\) को शून्य के बराबर किया जिससे \(x=1\) प्राप्त हुआ। फिर इस मान को दिए गए बहुपद में प्रतिस्थापित किया। परिणामी मान, 2, ही शेषफल है।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके शेषफल ज्ञात करते समय, चर के मान को सही ढंग से प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है। ऋणात्मक घातांक या गुणांक वाले पदों को संभालते समय सावधानी बरतें। इस मामले में, सभी पद 1 के साथ सरल हो गए, जिससे गणना आसान हो गई।

Question 4. सिद्ध कीजिए कि \((x + 2)\) बहुपद \(x^3 + 3x^2 + 5x + 6\) व \(2x + 4\) का गुणनखण्ड है।
Answer: हलः
\( \therefore x + 2 = 0 \implies x = - 2 \) रखने पर बहुपद \(x^3 + 3x^2 + 5x + 6\) का शेषफल
\( = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 5(-2) + 6 \)
\( = - 8 + 12 – 10 + 6 \)
\( = 0 \) बहुपद \(2x + 4\) का शेषफल
\( = 2(-2) + 4 \)
\( = - 4 + 4 \)
\( = 0 \)
\( \therefore (x + 2)\), बहुपद \(x^3 + 3x^2 + 5x + 6\) व \(2x + 4\) का गुणनखण्ड है।In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि \((x+2)\) किसी बहुपद का गुणनखण्ड है, तो \(x=-2\) रखने पर उस बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। हमने दोनों दिए गए बहुपदों में \(x=-2\) प्रतिस्थापित किया और दोनों ही मामलों में शेषफल शून्य प्राप्त किया, जिससे यह सिद्ध होता है कि \((x+2)\) दोनों का गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय का सही अनुप्रयोग इस प्रश्न का मुख्य बिंदु है। सुनिश्चित करें कि आप रैखिक गुणनखण्ड के शून्यक को सही ढंग से पहचानते हैं और उसे प्रत्येक बहुपद में प्रतिस्थापित करते हैं। ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना करते समय विशेष रूप से सावधान रहें।

Question 5. गुणनखण्ड प्रमेय से \(6x^2 + 17x + 5\) के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: हलः \(x = -\frac{1}{3}\) रखने पर, बहुपद = \(6\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + 17\left(-\frac{1}{3}\right) + 5 \)
\( = 6 \times \frac{1}{9} - \frac{17}{3} + 5 \)
\( = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} \)
\( = \frac{2 - 17 + 15}{3} \)
\( = \frac{0}{3} = 0 \) अतः \(\left(x + \frac{1}{3}\right)\) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(6x^2 + 17x + 5\) को उसके एक गुणनखण्ड \(\left(x + \frac{1}{3}\right)\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। यह विभाजन दर्शाता है कि भागफल \(6x + 15\) है और शेषफल \(0\) है, जिससे \(\left(x + \frac{1}{3}\right)\) का एक गुणनखण्ड होना सिद्ध होता है।
\( \therefore \) गुणनखण्ड = \(\left(x + \frac{1}{3}\right) (6x + 15) \)
\( = \frac{(3x+1)}{3} (3)(2x + 5) \)
\( = (3x + 1)(2x + 5) \)In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, हमने पाया कि \((x+\frac{1}{3})\) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है क्योंकि \(x=-\frac{1}{3}\) रखने पर शेषफल शून्य आता है। फिर, हमने बहुपद को \((x+\frac{1}{3})\) से भाग दिया और भागफल \(6x+15\) प्राप्त किया। \((x+\frac{1}{3})\) को \(\frac{3x+1}{3}\) के रूप में और \(6x+15\) को \(3(2x+5)\) के रूप में पुनर्गठित करके, हमने पूर्ण गुणनखण्ड \((3x+1)(2x+5)\) प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके द्विघात बहुपद के गुणनखण्ड करते समय, पहले एक शून्यक खोजें। फिर लंबी विभाजन या संश्लेषण विभाजन का उपयोग करके बहुपद को एक रैखिक गुणनखण्ड से विभाजित करें। फिर शेष भागफल को गुणनखण्डित करें। भिन्नों को संभालते समय विशेष रूप से सावधान रहें।

Question 6. गुणनखण्ड प्रमेय से \(y² – 5y + 6\) के गुणनखण्ड कीजिए।
Answer: हलः बहुपद \(y^2 – 5y + 6\) में \(y = 2\) रखने पर \( (2)^2 – 5(2) + 6 \)
\( = 4 - 10 + 6 \)
\( = 0 \) अतः \((y – 2)\) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(y^2 – 5y + 6\) को उसके एक गुणनखण्ड \((y-2)\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(y-3\) और शेषफल \(0\) प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि \((y-2)\) एक गुणनखण्ड है।
\( \therefore \) गुणनखण्ड = \((y – 2)(y - 3)\)In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, हमने पाया कि \((y-2)\) दिए गए बहुपद का एक गुणनखण्ड है क्योंकि \(y=2\) रखने पर शेषफल शून्य आता है। फिर, हमने बहुपद को \((y-2)\) से भाग दिया और भागफल \((y-3)\) प्राप्त किया। इस प्रकार, बहुपद के गुणनखण्ड \((y-2)(y-3)\) हैं।

🎯 Exam Tip: द्विघात बहुपदों के गुणनखण्ड करते समय, आप या तो मध्य पद विभक्तिकरण का उपयोग कर सकते हैं या गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके एक रैखिक गुणनखण्ड खोज सकते हैं। फिर, यदि आवश्यक हो तो विभाजन विधि का उपयोग करके शेष गुणनखण्ड ज्ञात करें। छोटे पूर्णांकों के लिए गुणनखण्ड प्रमेय अक्सर त्वरित होता है।

Question 7. सिद्ध कीजिए कि \((x + 2)\), बहुपद \(x^3 + 3x^2 + 3x + 2\) का एक गुणनखण्ड है।
Answer: हलः
\( \therefore x + 2 = 0 \implies x = - 2 \) का मान बहुपद में रखने पर
\( = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 \)
\( = - 8 + 12 - 6 + 2 \)
\( = 0 \) अतः \((x + 2)\), बहुपद \(x^3 + 3x^2 + 3x + 2\) का एक गुणनखण्ड है।In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय के अनुसार, यदि \((x+2)\) बहुपद का एक गुणनखण्ड है, तो \(x=-2\) रखने पर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। हमने \(x=-2\) को बहुपद में प्रतिस्थापित किया और परिणामी मान शून्य पाया, जिससे यह सिद्ध होता है कि \((x+2)\) बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न गुणनखण्ड प्रमेय के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग का एक उदाहरण है। बहुपद के शून्यक को सही ढंग से पहचानें और उसे बहुपद में प्रतिस्थापित करें। यदि परिणाम शून्य है, तो गुणनखण्ड सिद्ध हो जाता है। ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना में सटीकता बनाए रखें।

Question 8. बहुपद \(9x^3 + 3x^2 – 13\) व \(2x^3 – 5x + a\) को \((x + 2)\) से भाग देने पर समान शेषफल प्राप्त होते हैं तब a का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः बहुपद \(9x^3 + 3x^2 – 13\) को \((x + 2)\) से भाग देने पर \(x + 2 = 0 \implies x = - 2\) रखने पर शेषफल = \(9(-2)^3 + 3(-2)^2 – 13\)
\( = 9(-8) + 3(4) – 13 \)
\( = - 72 + 12 - 13 \)
\( = - 73 \) बहुपद \(2x^3 – 5x + a\) को \((x + 2)\) से भाग देने पर शेषफल
\( = 2(-2)^3 – 5( – 2) + a \)
\( = - 16 + 10 + a \)
\( = - 6 + a \) दोनों शेषफल समान होने की दिशा में
\( - 6 + a = - 73 \)
\( \implies a = -73 + 6 \)
\( \implies a = -67 \)In simple words: शेषफल प्रमेय का उपयोग करके, हमने प्रत्येक बहुपद के लिए शेषफल ज्ञात किया जब उन्हें \((x+2)\) से विभाजित किया गया। चूंकि दोनों शेषफल समान होने चाहिए, हमने दोनों शेषफलों को बराबर सेट किया और \(a\) के लिए समीकरण हल किया, जिससे \(a=-67\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न शेषफल प्रमेय के उपयोग के साथ-साथ बीजीय समीकरणों को हल करने की आपकी क्षमता को भी परखता है। सुनिश्चित करें कि आप \(x\) के सही मान को प्रतिस्थापित करें और ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना करते समय विशेष सावधानी बरतें। दोनों शेषफलों को बराबर सेट करना महत्वपूर्ण कदम है।

Question 9. सिद्ध कीजिए कि \((x + 1)\) तथा \((2x – 3)\) बहुपद \(2x^3 – 9x^2 + x + 12\) के गुणनखण्ड है। (NCERT Exemplar)
Answer: हलः (i) बहुपद \(2x^3 – 9x^2 + x + 12\) में \(x + 1 = 0 \implies x = - 1\) रखने पर शेषफल = \(2(-1)^3 – 9(-1)^2 + (-1) + 12\)
\( = 2(-1) – 9(1) – 1 + 12 \)
\( = - 2 – 9 – 1 + 12 \)
\( = 0 \) अतः \((x + 1)\), बहुपद \(2x^3 – 9x^2 + x + 12\) का गुणनखण्ड है। (ii) \(2x – 3 = 0 \implies x = \frac{3}{2}\) का मान बहुपद \(2x^3 – 9x^2 + x + 12\) में रखने पर शेषफल = \( 2 \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9 \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + 12 \)
\( = 2 \times \frac{27}{8} - 9 \times \frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 12 \)
\( = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + \frac{6}{4} + \frac{48}{4} \)
\( = \frac{27 - 81 + 6 + 48}{4} \)
\( = \frac{0}{4} = 0 \) अतः \((2x – 3)\) बहुपद \(2x^3 – 9x^2 + x + 12\) का गुणनखण्ड है।In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, हमने प्रत्येक रैखिक पद \((x+1)\) और \((2x-3)\) के शून्यकों को ज्ञात किया। फिर, इन शून्यकों (\(x=-1\) और \(x=\frac{3}{2}\)) को दिए गए बहुपद में प्रतिस्थापित किया। दोनों ही मामलों में शेषफल शून्य प्राप्त हुआ, जिससे यह सिद्ध होता है कि दोनों रैखिक पद बहुपद के गुणनखण्ड हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, आपको प्रत्येक रैखिक गुणनखण्ड के लिए अलग-अलग शेषफल प्रमेय का उपयोग करना होगा। भिन्नों और ऋणात्मक संख्याओं के साथ गणना करते समय, विशेषकर घन और वर्ग करते समय, अत्यधिक सावधानी बरतें। स्पष्ट और व्यवस्थित गणना त्रुटियों से बचने में मदद करती है।

Question 10. a के किस मान के लिए बहुपद \(2x^3 + 9x^2 + 11x + a + 3\), \(2x – 1\) से पूर्णतया विभाजित है।
Answer: हलः \(2x – 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}\) का मान बहुपद में रखने पर, शेषफल = 0
\( \implies 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 11\left(\frac{1}{2}\right) + a + 3 = 0 \)
\( \implies 2 \times \frac{1}{8} + 9 \times \frac{1}{4} + \frac{11}{2} + a + 3 = 0 \)
\( \implies \frac{1}{4} + \frac{9}{4} + \frac{22}{4} + a + \frac{12}{4} = 0 \)
\( \implies \frac{1 + 9 + 22 + 12}{4} + a = 0 \)
\( \implies \frac{44}{4} + a = 0 \)
\( \implies 11 + a = 0 \)
\( \implies a = -11 \)In simple words: चूंकि बहुपद \(2x-1\) से पूर्णतया विभाजित है, शेषफल प्रमेय के अनुसार, \(2x-1\) का शून्यक (\(x=\frac{1}{2}\)) बहुपद में रखने पर मान शून्य होना चाहिए। हमने इस शर्त का उपयोग करके \(x\) का मान बहुपद में प्रतिस्थापित किया और \(a\) के लिए समीकरण हल किया, जिससे \(a=-11\) प्राप्त हुआ।

🎯 Exam Tip: 'पूर्णतया विभाजित' होने का अर्थ है कि शेषफल शून्य है। इस जानकारी का उपयोग करके शेषफल प्रमेय के माध्यम से एक समीकरण स्थापित करें। भिन्नों के साथ गणना करते समय, सामान्य हर का उपयोग करके सरलीकरण करें और संकेतों में सावधानी बरतें।

Question 11. \(4x^4 – 2x^3 – 6x^2 + x – 5\) से क्या घटाया जाए कि वह \(2x^2 + x − 1\) से पूर्णतया विभाजित है।
Answer: हलः पहले हम भाजक \(2x^2 + x – 1\) के गुणनखण्ड ज्ञात करेंगे: \(2x^2 + x – 1 = 2x^2 + (2 – 1)x – 1\)
\( = 2x^2 + 2x - x – 1\)
\( = 2x(x + 1) – 1(x + 1)\)
\( = (x + 1)(2x – 1)\) \((x + 1)\) से पूर्णतया विभाजित होने पर \(x + 1 = 0 \implies x = - 1\) रखने पर शेषफल = \(4(-1)^4 – 2(-1)^3 – 6(-1)^2 + (-1) – 5 \)
\( = 4(1) – 2(-1) – 6(1) – 1 – 5 \)
\( = 4 + 2 - 6 - 1 - 5 \)
\( = - 6 \) इसी प्रकार \(2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}\) रखने पर शेषफल = \( 4\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} - 5 \)
\( = 4 \times \frac{1}{16} - 2 \times \frac{1}{8} - 6 \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 5 \)
\( = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 5 \)
\( = \frac{1 - 1 - 6 + 2 - 20}{4} \)
\( = \frac{-24}{4} = - 6 \)
\( \therefore 2x^2 + x – 1\) के दोनों गुणनखण्डों से विभाजित करने पर बहुपद \(4x^4 – 2x^3 – 6x^2 + x – 5\) के शेषफल = \(- 6\) अतः, बहुपद से \(-6\) घटाया जाना चाहिए ताकि वह \(2x^2 + x – 1\) से पूर्णतया विभाजित हो जाए।In simple words: किसी बहुपद को दूसरे बहुपद से पूर्णतया विभाजित करने के लिए, हमें बहुपद में से शेषफल को घटाना होगा। हमने भाजक \(2x^2+x-1\) के शून्यक (\(x=-1\) और \(x=\frac{1}{2}\)) ज्ञात किए और उन्हें दिए गए बहुपद में प्रतिस्थापित किया। दोनों ही मामलों में शेषफल \(-6\) प्राप्त हुआ। अतः, \(-6\) बहुपद से घटाया जाना चाहिए ताकि वह पूर्णतया विभाजित हो जाए।

🎯 Exam Tip: 'क्या घटाया जाए' वाले प्रश्नों में, शेषफल प्रमेय का उपयोग करके शेषफल ज्ञात करें। जो शेषफल आता है, उसे बहुपद में से घटाने पर वह पूर्णतया विभाजित हो जाएगा। यह समझना महत्वपूर्ण है कि यदि शेषफल ऋणात्मक है, तो 'घटाने' का अर्थ 'जोड़ना' होगा (जैसे \(- (-6) = +6\))।

Question 12. यदि \(x³ + ax^2 – bx + 10\), \(x^2 – 3x + 2\) से पूर्णतया विभाजित हो तो a तथा b के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः पहले हम भाजक \(x^2 – 3x + 2\) के गुणनखण्ड ज्ञात करेंगे: \(x^2 – 3x + 2 = x^2 − (2 + 1) x + 2\)
\( = x^2 – 2x − x + 2\)
\( = x (x – 2) – 1(x – 2)\)
\( = (x – 2)(x – 1)\)
\( \therefore x – 2 = 0 \implies x = 2 \) का मान बहुपद \(x³ + ax^2 – bx + 10\) में रखने पर शेषफल = \( (2)^3 + a(2)^2 – b(2) + 10 \)
\( = 8 + 4a - 2b + 10 \)
\( = 4a - 2b + 18 \) ...(1)
\( \therefore x – 1 = 0 \implies x = 1 \) का मान बहुपद \(x³ + ax^2 – bx + 10\) में रखने पर शेषफल = \( (1)^3 + a(1)^2 – b(1) + 10 \)
\( = 1 + a - b + 10 \)
\( = 11 + a - b \) ...(2) दोनों शेषफल = 0 रखने पर (क्योंकि पूर्णतया विभाजित है)
\( 4a - 2b + 18 = 0 \)
\( \implies 4a - 2b = - 18 \) ...(3)
\( 11 + a - b = 0 \)
\( \implies a - b = -11 \) ...(4) समी (4) में 2 से गुणा करने पर: \( 2a - 2b = -22 \) ...(5) समीकरण (3) को समीकरण (5) से घटाने पर: \( 2a - 2b = -22 \) (5) - \( 4a - 2b = -18 \) (3) ---------------- \( -2a = -4 \)
\( \implies a = \frac{-4}{-2} \)
\( \implies a = 2 \) समी (4) में a का मान रखने पर
\( 2 – b = – 11 \)
\( \implies –b = – 11 – 2 \)
\( \implies –b = – 13 \)
\( \implies b = 13 \)In simple words: चूंकि बहुपद \(x^2-3x+2\) से पूर्णतया विभाजित है, तो इसके गुणनखण्ड \((x-1)\) और \((x-2)\) भी बहुपद के गुणनखण्ड होंगे। इसका मतलब है कि \(x=1\) और \(x=2\) रखने पर शेषफल शून्य होगा। इन शर्तों का उपयोग करके, हमने \(a\) और \(b\) के लिए दो रैखिक समीकरण प्राप्त किए। इन समीकरणों को हल करके, हमने \(a=2\) और \(b=13\) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: जब कोई बहुपद दूसरे बहुपद से पूर्णतया विभाजित होता है, तो भाजक के प्रत्येक गुणनखण्ड के लिए शेषफल शून्य होना चाहिए। भाजक के गुणनखण्डों को सही ढंग से ज्ञात करना और शेषफल प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को स्थापित करना महत्वपूर्ण है। दो चरों में रैखिक समीकरणों को हल करने की तकनीकों (जैसे विलोपन या प्रतिस्थापन) का अभ्यास करें।

Question 13. सिद्ध कीजिए कि \((x – 2)\), \((x + 3)\) तथा \((x – 4)\) बहुपद \(x^3 – 3x^2 – 10x + 24\) के गुणनखण्ड है।
Answer: हलः
\( \therefore x – 2 = 0 \implies x = 2 \) रखने पर शेषफल = \( (2)^3 – 3(2)^2 – 10(2) + 24 \)
\( = 8 – 12 – 20 + 24 \)
\( = 0 \)
\( \therefore x + 3 = 0 \implies x = - 3 \) रखने पर
शेषफल = \( (-3)^3 – 3(-3)^2 – 10(-3) + 24 \)
\( = - 27 – 27 + 30 + 24 \)
\( = 0 \)
\( \therefore x – 4 = 0 \implies x = 4 \) रखने पर
शेषफल = \( (4)^3 – 3(4)^2 – 10(4) + 24 \)
\( = 64 – 48 – 40 + 24 \)
\( = 0 \)
\( \therefore \) शेषफल 0 है
\( \therefore (x – 2)\), \((x + 3)\), \((x - 4)\) बहुपद \(x^3 – 3x^2 – 10x + 24\) के गुणनखण्ड है।In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, हमने प्रत्येक रैखिक पद \((x-2)\), \((x+3)\) और \((x-4)\) के शून्यकों को ज्ञात किया। फिर, इन शून्यकों (\(x=2\), \(x=-3\) और \(x=4\)) को दिए गए बहुपद में प्रतिस्थापित किया। तीनों ही मामलों में शेषफल शून्य प्राप्त हुआ, जिससे यह सिद्ध होता है कि ये सभी रैखिक पद बहुपद के गुणनखण्ड हैं।

🎯 Exam Tip: किसी दिए गए बहुपद के कई गुणनखण्डों को सिद्ध करने के लिए, आपको प्रत्येक गुणनखण्ड के शून्यक का उपयोग करके शेषफल प्रमेय को बार-बार लागू करना होगा। सभी शेषफल शून्य आने चाहिए। ऋणात्मक संख्याओं और उनके घातांकों के साथ गणना करते समय विशेष रूप से ध्यान रखें।

Question 14. \(x³ – 3x^2 – 12x + 9\) में क्या जोड़ें कि परिणामी \(x^2 + x – 6\) से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x³ – 3x^2 – 12x + 9\) को \(x^2 + x – 6\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(x-4\) और शेषफल \(-2x-15\) प्राप्त होता है। शेषफल = \( – (2x + 15) \) अर्थात् \((2x + 15)\) जोड़ने पर परिणामी \(x^2 + x – 6\) से पूर्णतया विभाजित हो जाता है।In simple words: किसी बहुपद में क्या जोड़ा जाए ताकि वह दूसरे बहुपद से पूर्णतया विभाजित हो जाए, यह जानने के लिए, हमें पहले बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देना होगा। जो शेषफल आता है, उसका ऋणात्मक मान बहुपद में जोड़ा जाना चाहिए। इस मामले में, शेषफल \(-(2x+15)\) था, इसलिए \((2x+15)\) को जोड़ने पर बहुपद पूर्णतया विभाजित हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: 'क्या जोड़ा जाए' वाले प्रश्नों में, लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके शेषफल ज्ञात करें। यदि शेषफल \(R(x)\) है, तो \(-R(x)\) को मूल बहुपद में जोड़ने पर वह पूर्णतया विभाजित हो जाएगा। बीजगणितीय गणनाओं और संकेतों में सावधानी बरतें।

Question 15. \(3x^3 + x^2 – 22x + 9\) में क्या जोड़ें कि परिणामी \(3x^2 + 7x – 6\) से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(3x^3 + x^2 – 22x + 9\) को \(3x^2 + 7x – 6\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(x-2\) और शेषफल \(-2x-3\) प्राप्त होता है। शेषफल = \( - (2x + 3) \) अर्थात् \((2x + 3)\) जोड़ने पर परिणामी \(3x^2 + 7x – 6\) से पूर्णतया विभाजित होगा।In simple words: किसी बहुपद में क्या जोड़ा जाए ताकि वह दूसरे बहुपद से पूर्णतया विभाजित हो जाए, यह जानने के लिए, हमें पहले बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देना होगा। जो शेषफल आता है, उसका ऋणात्मक मान बहुपद में जोड़ा जाना चाहिए। इस मामले में, शेषफल \(-(2x+3)\) था, इसलिए \((2x+3)\) को जोड़ने पर बहुपद पूर्णतया विभाजित हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए, लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके शेषफल ज्ञात करना आवश्यक है। यदि शेषफल \(R(x)\) है, तो \(-R(x)\) को मूल बहुपद में जोड़ने से वह पूर्णतया विभाज्य हो जाएगा। भागफल और शेषफल की गणना में ध्यान केंद्रित करें।

Question 16. \(x³ – 6x^2 – 15x + 80\) में क्या घटायें कि परिणामी \(x^2 + x – 12\) से पूर्णतया विभाजित हो जाए।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x³ – 6x^2 – 15x + 80\) को \(x^2 + x – 12\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(x-7\) और शेषफल \(4x-4\) प्राप्त होता है।
\( \therefore \) शेषफल = \(4x – 4\) अतः \((4x – 4)\) घटाने पर परिणामी पूर्णतया विभाजित होगा।In simple words: किसी बहुपद में से क्या घटाया जाए ताकि वह दूसरे बहुपद से पूर्णतया विभाजित हो जाए, यह जानने के लिए, हमें पहले बहुपद को दूसरे बहुपद से भाग देना होगा। जो शेषफल आता है, उसे बहुपद में से घटाया जाना चाहिए। इस मामले में, शेषफल \(4x-4\) था, इसलिए \((4x-4)\) को घटाने पर बहुपद पूर्णतया विभाजित हो जाएगा।

🎯 Exam Tip: 'क्या घटाया जाए' वाले प्रश्नों में, लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके शेषफल ज्ञात करें। यदि शेषफल \(R(x)\) है, तो \(R(x)\) को मूल बहुपद में से घटाने पर वह पूर्णतया विभाज्य हो जाएगा। भागफल और शेषफल की गणना में ध्यान केंद्रित करें।

Question 17. सिद्ध कीजिए कि \((x – 2)\), बहुपद \(f (x) = 2x^3 – 3x^2 – 17x + 30\) का एक गुणनखण्ड है।
Answer: हलः
\( \therefore x – 2 = 0 \implies x = 2 \) रखने पर । \(f(2) = 2(2)^3 – 3(2)^2 – 17(2) + 30 \)
\( = 16 – 12 – 34 + 30 \)
\( = 0 \)
\( \therefore (x – 2)\), बहुपद \(f(x)\) का एक गुणनखण्ड है।In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, हमने \((x-2)\) के शून्यक (\(x=2\)) को बहुपद \(f(x)\) में प्रतिस्थापित किया। चूँकि परिणाम शून्य है, इससे सिद्ध होता है कि \((x-2)\) बहुपद \(f(x)\) का एक गुणनखण्ड है।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न गुणनखण्ड प्रमेय के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग का एक उदाहरण है। बहुपद के शून्यक को सही ढंग से पहचानें और उसे बहुपद में प्रतिस्थापित करें। यदि परिणाम शून्य है, तो गुणनखण्ड सिद्ध हो जाता है। गणना में सटीकता बनाए रखें।

Question 18. गुणनखण्ड प्रमेय से \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) के गुणनखण्ड कीजिए। (NCERT Exemplar)
Answer: हलः \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) \(x = 1\) रखने पर, शेषफल = \( (1)^3 – 6(1)^2 + 11(1) – 6 \)
\( = 1 - 6 + 11 - 6 \)
\( = 0 \) अतः \((x – 1)\) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^3 – 6x^2 + 11x – 6\) को उसके एक गुणनखण्ड \((x-1)\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(x^2 - 5x + 6\) और शेषफल \(0\) प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि \((x-1)\) एक गुणनखण्ड है। \(x^2 – 5x + 6 = x^2 – (2 + 3)x + 6\)
\( = x^2 – 2x – 3x + 6\)
\( = x(x – 2) – 3(x – 2)\)
\( = (x – 2)(x – 3)\) गुणनखण्ड = \((x - 1)(x – 2)(x – 3)\)In simple words: गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके, हमने पाया कि \(x=1\) रखने पर बहुपद का मान शून्य आता है, जिससे \((x-1)\) एक गुणनखण्ड सिद्ध होता है। फिर, हमने बहुपद को \((x-1)\) से भाग देकर भागफल \(x^2-5x+6\) प्राप्त किया। इस द्विघात भागफल को मध्य पद विभक्तिकरण विधि का उपयोग करके \((x-2)(x-3)\) में गुणनखण्डित किया गया, जिससे पूर्ण गुणनखण्ड \((x-1)(x-2)(x-3)\) प्राप्त हुए।

🎯 Exam Tip: त्रिघात बहुपद के गुणनखण्ड करते समय, पहले गुणनखण्ड प्रमेय का उपयोग करके एक रैखिक गुणनखण्ड खोजें (आमतौर पर \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots\) जैसे पूर्णांकों को आजमाकर)। एक बार एक गुणनखण्ड मिल जाने के बाद, लंबी विभाजन का उपयोग करके बहुपद को विभाजित करें और शेष द्विघात भागफल को गुणनखण्डित करें।

Question 19. यदि \((2x + 3)\) बहुपद \(4x^3 + 20x^2 + 33x + 18\) का एक गुणनखण्ड है तो इसके शेष गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए ।
Answer: हलः \((2x + 3)\), बहुपद \(4x^3 + 20x^2 + 33x + 18\) का एक गुणनखण्ड है
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(4x^3 + 20x^2 + 33x + 18\) को उसके दिए गए गुणनखण्ड \((2x+3)\) से भाग देने की लंबी विभाजन प्रक्रिया को दर्शाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(2x^2 + 7x + 6\) और शेषफल \(0\) प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि \((2x+3)\) एक गुणनखण्ड है। \(2x^2 + 7x + 6 = 2x^2 + (3 + 4)x + 6\)
\( = 2x^2 + 3x + 4x + 6\)
\( = x(2x + 3) + 2(2x + 3)\)
\( = (2x + 3)(x + 2)\)
\( \therefore \) गुणनखण्ड = \((2x + 3)(2x + 3)(x + 2)\)
\( = (2x + 3)^2 (x + 2)\)In simple words: चूंकि \((2x+3)\) बहुपद का एक गुणनखण्ड है, हमने बहुपद को \((2x+3)\) से भाग देकर भागफल \(2x^2+7x+6\) प्राप्त किया। फिर, हमने इस द्विघात भागफल को मध्य पद विभक्तिकरण विधि का उपयोग करके \((2x+3)(x+2)\) में गुणनखण्डित किया। इस प्रकार, बहुपद के पूर्ण गुणनखण्ड \((2x+3)^2 (x+2)\) हैं।

🎯 Exam Tip: जब एक गुणनखण्ड पहले से ही दिया गया हो, तो लंबी विभाजन विधि का उपयोग करके बहुपद को तुरंत विभाजित करें। इससे शेष भागफल प्राप्त होगा, जिसे अक्सर मध्य पद विभक्तिकरण या द्विघात सूत्र का उपयोग करके आगे गुणनखण्डित किया जा सकता है। सुनिश्चित करें कि आप सभी संभावित गुणनखण्डों को प्राप्त करते हैं।

Question 20. \(f(x) = x^4 – 4x^3 + 3x^2 – ax – b\) को \((x – 1)\) से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 6 आता है तब सिद्ध कीजिए कि \(a + b =-6\)।
Answer: हलः \(f(x)\), \((x – 1)\) से विभाजित होता है।
\( \therefore x – 1 = 0 \implies x = 1 \) रखने पर \(f(1) = (1)^4 – 4(1)^3 + 3(1)^2 – a(1) – b\)
\( = 1 - 4 + 3 - a - b \) चूंकि शेषफल 6 है,
\( 1 - 4 + 3 - a - b = 6 \)
\( \implies 0 - a - b = 6 \)
\( \implies - (a + b) = 6 \)
\( \implies a + b = -6 \)In simple words: शेषफल प्रमेय के अनुसार, जब बहुपद \(f(x)\) को \((x-1)\) से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल \(f(1)\) के बराबर होता है। दिए गए है कि शेषफल 6 है, इसलिए हमने \(x=1\) को बहुपद में प्रतिस्थापित किया और परिणामी व्यंजक को 6 के बराबर सेट किया। इसे सरल करने पर \(a+b=-6\) प्राप्त हुआ, जो सिद्ध करना था।

🎯 Exam Tip: शेषफल प्रमेय का उपयोग करते समय, शेषफल को \(f(k)\) के रूप में व्यक्त करना महत्वपूर्ण है, जहां \(k\) भाजक का शून्यक है। फिर दिए गए शेषफल मान के साथ समीकरण स्थापित करें और चरों के लिए हल करें। बीजीय सरलीकरण में संकेतों की विशेष सावधानी रखें।