UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 6 Remainder Theorem and Factor Theorem Ex 6.3

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 6 Remainder Theorem And Factor Theorem Ex 6.3 शेषफल प्रमेय तथा गुणनखण्ड प्रमेय

Question 1. x³ +13x² + 32x + 20; यदि (x + 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
Answer:
x³ + 13x² + 32x + 20 का (x + 2) एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक बहुपद के भागफल को दर्शाने वाला दीर्घ विभाजन है। इसमें \(x^3 + 13x^2 + 32x + 20\) को \(x + 2\) से विभाजित किया गया है। भागफल \(x^2 + 11x + 10\) है और शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि \(x + 2\) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 2)[\(x^2\) +11x + 10]
= (x + 2)[\(x^2\) + (10 + 1)x + 10]
= (x + 2)[\(x^2\) + 10x + x + 10]
= (x + 2)[x(x + 10) + 1(x + 10)]
= (x + 2)(x + 10)(x + 1)
In simple words: हमने दिए गए बहुपद को \(x+2\) से भाग किया और प्राप्त भागफल को गुणनखंडित किया। क्योंकि शेषफल शून्य है, \(x+2\) एक गुणनखंड है, और अन्य गुणनखंड भागफल को तोड़कर प्राप्त किए गए।

🎯 Exam Tip: जब कोई बहुपद किसी रैखिक व्यंजक का गुणनखण्ड होता है, तो दीर्घ विभाजन विधि शेषफल को शून्य देती है, जिससे भागफल को आगे गुणनखंडित किया जा सकता है।

Question 2. x³ – 6x² + 3x + 10; यदि (x – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
Answer:
x³ – 6x² + 3x + 10 का एक गुणनखण्ड (x – 2) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक बहुपद के दीर्घ विभाजन को दिखाता है जहाँ \(x^3 - 6x^2 + 3x + 10\) को \(x - 2\) से विभाजित किया गया है। भागफल \(x^2 - 4x - 5\) प्राप्त हुआ है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \(x - 2\) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x – 2)[\(x^2\) – 4x – 5]
= (x – 2)[\(x^2\) – (5 – 1)x – 5]
= (x – 2)[\(x^2\) – 5x + x – 5]
= (x – 2)[x(x – 5) + 1(x – 5)]
= (x – 2)(x – 5)(x + 1)
In simple words: हमने \(x^3 - 6x^2 + 3x + 10\) को \(x-2\) से विभाजित किया और फिर प्राप्त भागफल \(x^2 - 4x - 5\) को गुणनखंडित करके शेष गुणनखंड प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि गुणनखण्ड सही हैं, भागफल को दोबारा गुणा करके मूल बहुपद प्राप्त किया जा सकता है, खासकर यदि शेषफल शून्य हो।

Question 3. x³ + 13x² + 31x – 45; यदि (x + 9) इसका एक गुणनखण्ड है।
Answer:
x³ + 13x² + 31x – 45 का एक गुणनखण्ड (x + 9) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^3 + 13x^2 + 31x - 45\) का \(x + 9\) से दीर्घ विभाजन दिखाता है। विभाजन के परिणामस्वरूप भागफल \(x^2 + 4x - 5\) और शेषफल 0 प्राप्त होता है, जो पुष्टि करता है कि \(x + 9\) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 9)[\(x^2\) + 4x – 5]
= (x + 9)[\(x^2\) + (5 – 1)x -5]
= (x + 9)[\(x^2\) + 5x – x -5]
= (x + 9)[x(x + 5) – 1(x + 5)]
= (x + 9)(x + 5)(x – 1)
In simple words: हमने \(x^3 + 13x^2 + 31x – 45\) को \(x+9\) से भाग दिया। चूंकि शेषफल शून्य है, \(x+9\) एक गुणनखंड है, और हमने भागफल को गुणनखंडित करके अन्य गुणनखंड प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके, यदि \(p(a) = 0\) तो \((x-a)\) बहुपद \(p(x)\) का एक गुणनखंड होता है।

Question 4. 9x³ – 27x² – 100x + 300; यदि (3x + 10) इसका एक गुणनखण्ड है।
Answer:
9x³ – 27x² – 100x + 300 का एक गुणनखण्ड (3x + 10) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(9x^3 - 27x^2 - 100x + 300\) का \(3x + 10\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(3x^2 - 19x + 30\) है और शेषफल 0 है, जो यह सुनिश्चित करता है कि \(3x + 10\) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (3x + 10)[\(3x^2\) – 19x + 30]
= (3x + 10)[\(3x^2\) – (10 + 9)x + 30]
= (3x + 10)[\(3x^2\) – 10x – 9x + 30]
= (3x + 10)[x(3x – 10) – 3(3x – 10)]
= (3x + 10)(3x – 10)(x -3)
In simple words: हमने दिए गए बहुपद को \((3x+10)\) से विभाजित किया। शेषफल शून्य होने के कारण, हमने प्राप्त भागफल \((3x^2 - 19x + 30)\) को गुणनखंडित करके अन्य गुणनखंड प्राप्त किए।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड करते समय, मध्य पद को तोड़ना (splitting the middle term) एक सामान्य और प्रभावी तरीका है, खासकर जब भागफल एक द्विघात बहुपद हो।

Question 5. x⁴ – 7x³ + 9x² + 7x – 10; यदि (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
Answer:
x⁴ – 7x³ + 9x² – 10 का एक गुणनखण्ड (x – 1) है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^4 - 7x^3 + 9x^2 + 7x - 10\) का \(x - 1\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। इस विभाजन में भागफल \(x^3 - 6x^2 + 3x + 10\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \(x - 1\) एक गुणनखण्ड है।
x³ - 6x² + 3x + 10 में x = -1 रखने पर
शेषफल = (-1)³ – 6(-1)² + 3(-1) + 10
=-1-6-3 + 10 = 0
\(\implies\) (x + 1) भी इसका एक गुणनखण्ड होगा।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^3 - 6x^2 + 3x + 10\) का \(x + 1\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। इसमें भागफल \(x^2 - 7x + 10\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो यह सुनिश्चित करता है कि \(x + 1\) भी एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x-1)(x + 1)[\(x^2\) – 7x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[\(x^2\) – (5 + 2)x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[\(x^2\) – 5x – 2x + 10]
= (x – 1)(x + 1)[x(x – 5) – 2(x – 5)]
= (x – 1)(x + 1)(x - 5)(x - 2)
In simple words: हमने \(x^4 – 7x^3 + 9x^2 + 7x – 10\) को \(x-1\) और फिर \(x+1\) से विभाजित किया, क्योंकि दोनों पर शेषफल शून्य आता है। अंत में, हमने प्राप्त भागफल \((x^2 – 7x + 10)\) को गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: एक से अधिक संभावित गुणनखंडों की पहचान करने के लिए, बहुपद में पूर्णांक मानों (जैसे 1, -1, 2, -2, आदि) को प्रतिस्थापित करके शेषफल प्रमेय का उपयोग करें। यदि शेषफल 0 आता है, तो वह मान एक गुणनखंड देता है।

Question 6. x³ + 6x² + 11x + 6
Answer:
x³ + 6x² + 11x + 6
अतः इनमें से ऋणात्मक मान रखे जायेंगे ।
x = -1 रखने पर = (-1)³ + 6(-1)² + 11(-1) + 6 = -1 + 6 – 11 + 6 = 0
अतः (x + 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^3 + 6x^2 + 11x + 6\) का \(x + 1\) से दीर्घ विभाजन दिखाता है। इसमें भागफल \(x^2 + 5x + 6\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \(x + 1\) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 1)[\(x^2\) + 5x + 6]
= (x + 1)[\(x^2\) + (2 + 3)x + 6]
= (x + 1)[\(x^2\) + 2x + 3x + 6]
= (x + 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)
In simple words: हमने गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करके \(x=-1\) पर बहुपद का मान शून्य पाया, जिससे \((x+1)\) एक गुणनखंड सिद्ध हुआ। फिर हमने बहुपद को \((x+1)\) से भाग देकर प्राप्त भागफल को गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: अचर पद के गुणनखंडों को बहुपद में प्रतिस्थापित करके बहुपद के गुणनखंडों का पता लगाना एक कुशल तरीका है, विशेषकर जब बहुपद की घात 3 या अधिक हो।

Question 7. x³ + 7x² + 7x – 15
Answer:
x³ + 7x² + 7x – 15
(. 15 = 1 × 3 × 5)
x = 1 रखने पर = (1)³ + 7(1)² + 7(1) – 15 = 1 + 7 + 7 – 15 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^3 + 7x^2 + 7x - 15\) का \(x - 1\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(x^2 + 8x + 15\) है और शेषफल 0 है, जो दर्शाता है कि \(x - 1\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (x – 1)[\(x^2\) + 8x +15]
= (x – 1)[\(x^2\) + (3 + 5)x + 15]
= (x – 1)[\(x^2\) + 3x + 5x + 15]
= (x – 1)[x(x + 3) + 5(x + 3)]
= (x – 1)(x + 3)(x + 5)
In simple words: हमने \(x=1\) को बहुपद में रखकर शून्य शेषफल पाया, जिससे \((x-1)\) एक गुणनखंड बन गया। फिर हमने बहुपद को \((x-1)\) से भाग देकर प्राप्त द्विघात भागफल को गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते हुए, किसी बहुपद के गुणनखंडों को खोजने के लिए, अचर पद के संभावित गुणनखंडों (धनात्मक और ऋणात्मक) को परीक्षण के रूप में उपयोग करें।

Question 8. a³ + b³ + c³ – 3abc
Answer:
a³ + b³ + c³ – 3abc में a = -(b + c) रखने पर
=[-(b + c)]³ + b³ + c³ + 3(b + c)bc
= -[b³ + c³ + 3bc(b + c)] + b³ + c³ + 3b²c + 3bc² = 0
अतः (a + b + c) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\) का \((a + b + c)\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((a + b + c)\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) a³ + b³ + c³ – 3abc के गुणनखण्ड = (a + b + c)(\(a^2\) + b² + c² – ab – bc – ca)
In simple words: हमने \(a\) की जगह \( -(b+c) \) रखकर यह दर्शाया कि \((a+b+c)\) दिए गए बहुपद का एक गुणनखंड है। फिर, हमने दीर्घ विभाजन का उपयोग करके अन्य गुणनखंड प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: यह एक मानक बीजगणितीय सर्वसमिका है। इसे याद रखना और समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि यह अक्सर बीजगणित में उपयोग होती है।

Question 9. x⁴ + x³ – 7x² – x + 6
Answer:
x⁴ + x³ – 7x² – x + 6 (.: 6 = 1 × 2 × 3)
x = 1 रखने पर = (1)⁴ + (1)³ – 7(1)² – 1 + 6 = 1 + 1 –7 –1+6=0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = -1 रखने पर = (-1)⁴ + (-1)³ – 7(-1)² – (-1) + 6 = 1 – 1 –7+1+6=8-8= 0
अतः (x + 1) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) (x + 1)(x – 1) = (\(x^2\) – 1) बहुपद का गुणनखण्ड होगा।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^4 + x^3 - 7x^2 - x + 6\) का \((x^2 - 1)\) से दीर्घ विभाजन दिखाता है। भागफल \(x^2 + x - 6\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((x^2 - 1)\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (x + 1)(x – 1)[\(x^2\) + x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[\(x^2\) + (3 – 2)x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[\(x^2\) + 3x - 2x – 6]
= (x + 1)(x – 1)[x(x + 3) – 2(x + 3)]
= (x + 1)(x – 1)(x + 3)(x – 2)
In simple words: हमने \(x=1\) और \(x=-1\) पर शेषफल शून्य पाया, जिससे \((x-1)\) और \((x+1)\) गुणनखंड बन गए। फिर हमने मूल बहुपद को उनके गुणनफल \((x^2-1)\) से भाग दिया और प्राप्त भागफल को आगे गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: जब दो रैखिक गुणनखंड मिल जाएँ, तो उन्हें गुणा करके एक द्विघात गुणनखंड बनाएं और फिर मूल बहुपद को उस द्विघात गुणनखंड से भाग दें ताकि प्रक्रिया सरल हो जाए।

Question 10. 2y³ – 5y² – 19y + 42
Answer:
2y³ – 5y² – 19y + 42 (: 42 = 2 × 3 × 7)
y = 2 रखने पर = 2(2)³ – 5(2)² – 19(2) + 42 = 16 – 20 – 38 + 42 = 58 – 58 = 0
अतः (y – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(2y^3 - 5y^2 - 19y + 42\) का \(y - 2\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। इसमें भागफल \(2y^2 - y - 21\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \(y - 2\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (y – 2)[\(2y^2\) – y – 21]
= (y – 2)[\(2y^2\) – (7 – 6)y – 21]
= (y – 2)[\(2y^2\) – 7y + 6y – 21]
= (y – 2)[y (2y – 7) + 3(2y – 7)]
= (y – 2)(y + 3)(2y – 7)
In simple words: हमने \(y=2\) पर बहुपद का मान शून्य पाया, जिससे \((y-2)\) एक गुणनखंड बन गया। फिर हमने बहुपद को \((y-2)\) से भाग देकर प्राप्त भागफल को मध्य पद तोड़कर गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: यदि अचर पद बड़ा हो, तो उसके संभावित गुणनखंडों को व्यवस्थित रूप से परीक्षण करके, शून्य शेषफल वाले मानों को खोजना चाहिए।

Question 11. x⁴ – 5x³ – 7x² + 41x – 30
Answer:
x⁴ – 5x³ – 7x² + 41x – 30 (:: 30 = 1 × 2 × 3 × 5)
x = 1 रखने पर = (1)⁴ – 5(1)³ – 7(1)² + 41(1) – 30 = 1 – 5 – 7 + 4 1 – 30 = 42 – 42 = 0
अतः (x-1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = 2 रखने पर = (2)⁴ – 5(2)³ – 7(2)² + 41(2) – 30 = 16 – 40 – 28 + 82 – 30 = 98 – 98 = 0
अतः (x – 2) भी इसका एक गुणनखण्ड है।।
(x – 1)(x – 2) = \(x^2\) – 2x – x + 2 = \(x^2\) – 3x + 2 इसके गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^4 - 5x^3 - 7x^2 + 41x - 30\) का \((x^2 - 3x + 2)\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(x^2 - 2x - 15\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((x^2 - 3x + 2)\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)[\(x^2\) – 2x – 15]
= (x – 1)(x – 2)[\(x^2\) – (5 – 3)x – 15]
= (x -1)(x – 2)[\(x^2\) – 5x + 3x – 15]
= (x – 1)(x – 2)[x(x - 5) + 3(x - 5)]
= (x – 1)(x – 2)(x – 5)(x + 3)
In simple words: हमने \(x=1\) और \(x=2\) पर बहुपद को शून्य पाया, जिससे \((x-1)\) और \((x-2)\) गुणनखंड बन गए। फिर हमने उनके गुणनफल \((x^2-3x+2)\) से मूल बहुपद को भाग दिया और प्राप्त भागफल को गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: उच्च घात वाले बहुपदों के लिए, शेषफल प्रमेय का उपयोग करके कुछ रैखिक गुणनखंडों को खोजना और फिर उन्हें गुणा करके बहुपद को भाग देना एक कुशल रणनीति है।

Question 12. a⁴ + 2a³ – 2a² + 2a – 3
Answer:
a⁴ + 2a³ – 2a² + 2a – 3 (: 3 = 1 × 3)
a = 1 रखने पर = (1)⁴ + 2(1)³ – 2(1)² + 2(1) – 3 = 1 + 2 – 2 + 2 – 3 = 5-5 = 0
अतः (a – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
a = -3 रखने पर = (-3)⁴ + 2(-3)³ – 2(-3)² + 2(-3) – 3 = 81 – 54 – 18 – 6 – 3 = 81 – 81 = 0
अतः (a + 3) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
इसलिए (a – 1)(a + 3) = \(a^2\) + 3a – a – 3 = \(a^2\) + 2a – 3 इसका गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(a^4 + 2a^3 - 2a^2 + 2a - 3\) का \((a^2 + 2a - 3)\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(a^2 + 1\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((a^2 + 2a - 3)\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (a – 1)(a + 3)(\(a^2\) + 1)
In simple words: हमने \(a=1\) और \(a=-3\) पर बहुपद को शून्य पाया, जिससे \((a-1)\) और \((a+3)\) गुणनखंड बन गए। फिर हमने उनके गुणनफल \((a^2+2a-3)\) से मूल बहुपद को भाग दिया और शेष भागफल \((a^2+1)\) प्राप्त किया।

🎯 Exam Tip: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सभी द्विघात व्यंजकों को वास्तविक गुणनखंडों में नहीं तोड़ा जा सकता है। जैसे \(a^2+1\), जिसके वास्तविक गुणनखंड नहीं होते हैं।

Question 13. 4x⁴ – 12x³ – x² + 27x – 18
Answer:
4x⁴ - 12x³ – x² + 27x – 18 (: 18 = 1 × 2 × 3 × 3)
x = 1 रखने पर = 4(1)⁴ – 12(1)³ – (1)² + 27(1) – 18 = 4 – 12 – 1 + 27 – 18 = 31 – 31 = 0
अतः (x – 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
इसी प्रकार x = 2 रखने पर = 4(2)⁴ – 12(2)³ – (2)² + 27(2) – 18
= 4 × 16-12 × 8 – 4 + 27 × 2 – 18
= 64-96-4 + 54-18 = 118-118 = 0
अतः (x – 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
(x – 1)(x – 2) = \(x^2\) – 2x – x + 2 = \(x^2\) – 3x + 2 इसका गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(4x^4 - 12x^3 - x^2 + 27x - 18\) का \((x^2 - 3x + 2)\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(4x^2 - 9\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((x^2 - 3x + 2)\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (x – 1)(x – 2)(\(4x^2\) – 9)
= (x – 1)(x – 2)(2x + 3)(2x – 3)
In simple words: हमने \(x=1\) और \(x=2\) पर बहुपद को शून्य पाया, जिससे \((x-1)\) और \((x-2)\) गुणनखंड बन गए। फिर हमने उनके गुणनफल \((x^2-3x+2)\) से मूल बहुपद को भाग दिया और प्राप्त भागफल \((4x^2-9)\) को \((a^2-b^2)\) सूत्र का उपयोग करके गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: यदि भागफल एक वर्गांतर \((a^2 - b^2)\) के रूप में आता है, तो उसे \((a-b)(a+b)\) के रूप में तुरंत गुणनखंडित किया जा सकता है।

Question 14. x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24
Answer:
x⁴ + 10x³ + 35x² + 50x + 24 (':' 24 = 1 × 2 × 2 × 2 × 3)
x = -1 रखने पर = (-1)⁴ + 10(-1)³ + 35(-1)² + 50(-1) + 24
= 1-10 +35 - 50 + 24 = 60 – 60 = 0
अतः (x + 1) इसका एक गुणनखण्ड है।
x = -2 रखने पर = (-2)⁴ + 10(-2)³ + 35(-2)² + 50(-2) + 24
= 16-80 + 140 – 100 + 24 = 180 – 180 = 0
अतः (x + 2) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) (x + 1)(x + 2) = \(x^2\) + 3x + 2 इसका गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24\) का \((x^2 + 3x + 2)\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(x^2 + 7x + 12\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((x^2 + 3x + 2)\) एक गुणनखण्ड है।
गुणनखण्ड = (x + 1)(x + 2)[\(x^2\) + 7x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[\(x^2\) + (3 + 4)x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[\(x^2\) + 3x + 4x + 12]
= (x + 1)(x + 2)[x(x + 3)+ 4(x + 3)]
= (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)
In simple words: हमने \((x+1)\) और \((x+2)\) को गुणनखंड प्रमेय से प्राप्त किया। फिर हमने मूल बहुपद को उनके गुणनफल \((x^2+3x+2)\) से भाग दिया और प्राप्त द्विघात भागफल को मध्य पद तोड़कर गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: गुणनखंडों को व्यवस्थित रूप से जाँचने के लिए अचर पद के गुणनखंडों का उपयोग करें, जैसे 24 के लिए \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24\)।

Question 15. 3a⁴ + 28a³ + 87a² + 98a + 24
Answer:
3a⁴ + 28a³ + 87a² + 98a + 24
( 24 = 1 × 2 × 3 × 4)
a = -2 रखने पर = 3(-2)⁴ + 28(-2)³ + 87(-2)² + 98(-2) + 24
= 48 - 224 + 348-196 + 24 = 420 – 420 = 0
अतः (a + 2) इसका एक गुणनखण्ड है।
a = -3 रखने पर = 3(-3)⁴ + 28(-3)³ + 87(-3)² + 98(-3) + 24
= 243-756 + 783 – 294 + 24 = 1050 – 1050 = 0
अतः (a + 3) भी इसका एक गुणनखण्ड है।
(a + 2)(a + 3) = \(a^2\) + 5a + 6 इसका गुणनखण्ड है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह बहुपद \(3a^4 + 28a^3 + 87a^2 + 98a + 24\) का \((a^2 + 5a + 6)\) से दीर्घ विभाजन दर्शाता है। भागफल \(3a^2 + 13a + 4\) प्राप्त होता है और शेषफल 0 है, जो पुष्टि करता है कि \((a^2 + 5a + 6)\) एक गुणनखण्ड है।
\(\implies\) गुणनखण्ड = (a + 2)(a + 3)[\(3a^2\) + 13a + 4]
= (a + 2)(a + 3)[\(3a^2\) + (12 + 1)a + 4]
= (a + 2)(a + 3)[\(3a^2\) + 12a + a + 4]
= (a + 2)(a + 3)[3a(a + 4) + 1(a + 4)]
= (a + 2)(a + 3)(3a + 1)(a + 4)
In simple words: हमने \(a=-2\) और \(a=-3\) पर बहुपद को शून्य पाया, जिससे \((a+2)\) और \((a+3)\) गुणनखंड बन गए। फिर हमने मूल बहुपद को उनके गुणनफल \((a^2+5a+6)\) से भाग दिया और प्राप्त द्विघात भागफल को मध्य पद तोड़कर गुणनखंडित किया।

🎯 Exam Tip: गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करते समय, गुणांकों का योग भी एक त्वरित जांच हो सकता है। यदि गुणांकों का योग 0 है, तो \((x-1)\) एक गुणनखंड होगा।

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