UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 18 Surface Area and Volume 18.3

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 18 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder Ex 18.3

घन, घनाभ तथा लम्बवृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

Ex 18.3 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder

बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. r त्रिज्या तथा h ऊँचाई वाले लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन है-
(a) \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h\) घन इकाई
(b) \(\pi r^{2} h\) घन इकाई
(c) \(\frac{4}{3} \pi r^{2} h\) घन इकाई
(d) 2 r घन इकाई
Answer: हलः लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन = \(\pi r^2h\) → विकल्प (b) सही है।
In simple words: बेलन (सिलिंडर) का आयतन उसके आधार की त्रिज्या (r) के वर्ग और ऊँचाई (h) के गुणनफल को पाई (\(\pi\)) से गुणा करके प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: बेलन के आयतन का सूत्र (\(\pi r^2h\)) याद रखना महत्वपूर्ण है, यह सीधे प्रश्न हल करने में मदद करता है।

Question 2. h सेमी ऊँचाई तथा r सेमी आधार त्रिज्या वाले लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठ होगा-
(a) 4\(\pi\)rh सेमी\(^2\)
(b) 3\(\pi\)rh सेमी\(^2\)
(c) 2\(\pi\)rh सेमी\(^2\)
(d) \(\pi\)rh सेमी\(^2\)
Answer: हलः वक्रपृष्ठ = 2\(\pi\)rh सेमी\(^2\)
\(\implies\) विकल्प (c) सही है।
In simple words: एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल उसके आधार की परिधि (2\(\pi\)r) और ऊँचाई (h) के गुणनफल के बराबर होता है।

🎯 Exam Tip: बेलन के वक्रपृष्ठ का सूत्र (2\(\pi\)rh) याद रखना महत्वपूर्ण है, यह सीधे प्रश्न हल करने में मदद करता है।

Question 3. समान आधार त्रिज्या वाले दो बेलनों की ऊँचाईयों में अनुपात 2:5 है। उनके वक्रपृष्ठों का अनुपात होगा-
(a) 2 : 5
(b) 5 : 2
(c) 3 : 2
(d) 2 : 3
Answer: हलः
बेलनों के वक्रपृष्ठों का अनुपात = 2\(\pi\)rh₁: 2\(\pi\)rh₂
= \(\frac{2\pi rh₁}{2\pi rh₂}\)
= \(\frac{h₁}{h₂}\)
= \(\frac{2}{5}\)
अनुपात = 2 : 5
\(\implies\) विकल्प
(a) सही है।
In simple words: यदि दो बेलनों की आधार त्रिज्या समान है, तो उनके वक्रपृष्ठों का अनुपात उनकी ऊँचाइयों के अनुपात के बराबर होगा।

🎯 Exam Tip: समान त्रिज्या वाले बेलनों के लिए, वक्रपृष्ठ का अनुपात सीधे ऊँचाइयों के अनुपात से संबंधित होता है (2\(\pi\)rh \(\propto\) h)।

Question 4. एक बेलन का आयतन 924 घन सेमी तथा वक्रपृष्ठ 264 वर्ग सेमी हो तो उसकी ऊँचाई होगी-
(a) 4 मीटर
(b) 5 मीटर
(c) 6 सेमी
(d) 7 मीटर
Answer: हलः
बेलन का आयतन = 924 सेमी\(^3\)
\(\pi r^2h\) = 924 ....(1)
बेलन का वक्रपृष्ठ = 264 सेमी\(^2\)
2\(\pi\)rh = 264 ....(2)
समीकरण (1) को समीकरण (2) से भाग करने पर
\(\frac{\pi r^2h}{2\pi rh} = \frac{924}{264}\)
r = \(\frac{924 \times 2}{264}\) = 7 सेमी
समीकरण (2) में r का मान रखने पर
2 \(\times \frac{22}{7} \times\) 7 \(\times\) h = 264
h = \(\frac{264}{2 \times 22}\) = 6 सेमी
\(\implies\) विकल्प (c) सही है।
In simple words: बेलन के आयतन और वक्रपृष्ठ के सूत्रों का उपयोग करके, हम त्रिज्या और ऊँचाई के लिए दो समीकरण बनाते हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम अज्ञात ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, अज्ञात मानों को खोजने के लिए दिए गए सभी मापों (आयतन, क्षेत्रफल) से संबंधित सूत्रों का एक साथ उपयोग करें।

Question 5. दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2 :3 है तथा उनकी ऊँचाईयों का अनुपात 5 : 3 है तब उनके आयतनों का अनुपात होगा
(a) 27 : 20
(b) 20 : 27
(c) 9 : 4
(d) 4 : 9
Answer: हलः
\(\frac{\text{पहले बेलन का आयतन}}{\text{दूसरे बेलन का आयतन}}\) = \(\frac{\pi \times (2)^2 \times 5}{\pi \times (3)^2 \times 3}\)
= \(\frac{4 \times 5}{9 \times 3}\)
= \(\frac{20}{27}\)
अनुपात = 20 : 27
\(\implies\) विकल्प (b) सही है।
In simple words: बेलन का आयतन (\(\pi r^2h\)) त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती और ऊँचाई के समानुपाती होता है, इसलिए आयतन का अनुपात त्रिज्याओं के वर्गों के अनुपात और ऊँचाइयों के अनुपात का गुणनफल होता है।

🎯 Exam Tip: जब अनुपातों में गणना करनी हो, तो सामान्य कारकों (जैसे \(\pi\)) को रद्द करना न भूलें ताकि गणना सरल हो सके।

Question 6. एक बेलन का व्यास 14 सेमी तथा ऊँचाई 20 सेमी है तब बेलन का वक्रपृष्ठ होगा-
(a) 440 सेमी\(^2\)
(b) 220 सेमी\(^2\)
(c) 880 सेमी\(^2\)
(d) 1760 सेमी\(^2\)
Answer: हलः
बेलन का व्यास = 14 सेमी
बेलन की त्रिज्या r = \(\frac{14}{2}\) = 7 सेमी
बेलन का वक्रपृष्ठ = 2\(\pi\)rh
= 2 \(\times \frac{22}{7} \times\) 7 \(\times\) 20 = 880 सेमी\(^2\)
\(\implies\) विकल्प (c) सही है।
In simple words: बेलन के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए, पहले व्यास से त्रिज्या निकालें, फिर उस त्रिज्या और दी गई ऊँचाई को वक्रपृष्ठ के सूत्र (2\(\pi\)rh) में डालें।

🎯 Exam Tip: हमेशा ध्यान दें कि क्या व्यास या त्रिज्या दी गई है, क्योंकि व्यास को त्रिज्या में बदलने के लिए उसे 2 से विभाजित करना होता है।

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अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 7. उस लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए जिसकी ऊँचाई 21 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 5 सेमी है।
Answer: हलः
बेलन की त्रिज्या r = 5 सेमी,
बेलन की ऊँचाई, h = 21 सेमी
बेलन का आयतन = \(\pi r^2h\)
= \(\frac{22}{7} \times (5)^2 \times 21\)
= \(\frac{22}{7} \times 25 \times 21\) = 1650 सेमी\(^3\)
बेलन का वक्रपृष्ठ = 2\(\pi\)rh
= 2 \(\times \frac{22}{7} \times\) 5 \(\times\) 21 = 660 सेमी\(^2\)
In simple words: दिए गए त्रिज्या और ऊँचाई का उपयोग करके, बेलन का आयतन \(\pi r^2h\) और वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल 2\(\pi\)rh सूत्रों से सीधे निकाला जा सकता है।

🎯 Exam Tip: बेलन के आयतन और वक्रपृष्ठ के सूत्रों को सही ढंग से लागू करने के लिए त्रिज्या और ऊँचाई के मानों को सटीक रूप से पहचानना महत्वपूर्ण है।

Question 8. एक बेलन का आयतन 5544 सेमी है तथा इसकी ऊँचाई 16 सेमी है। इसकी त्रिज्या तथा वक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
बेलन का आयतन = 5544 सेमी\(^3\)
बेलन की ऊँचाई, h = 16 सेमी
प्रश्नानुसार,
\(\pi r^2h\) = 5544
\(\frac{22}{7} \times r^2 \times 16\) = 5544
\(r^2\) = \(\frac{5544 \times 7}{22 \times 16}\) = 110.25
r = \(\sqrt{110.25}\) = 10.51 सेमी
वक्रपृष्ठ = 2\(\pi\)rh
= 2\(\times \frac{22}{7} \times\) 10.51 \(\times\) 16 = 1057.005 सेमी\(^2\)
In simple words: बेलन का आयतन सूत्र (\(\pi r^2h\)) का उपयोग करके पहले त्रिज्या (r) ज्ञात करें, फिर उस त्रिज्या और दी गई ऊँचाई का उपयोग करके वक्रपृष्ठ (2\(\pi\)rh) ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: गणना में सटीकता के लिए दशमलव मानों को सही ढंग से प्रबंधित करें और उचित इकाइयों (सेमी\(^3\) और सेमी\(^2\)) का उपयोग करें।

Question 9. एक बेलन का वक्रपृष्ठ 1210 सेमी है तथा इसका व्यास 20 सेमी है। इसकी ऊँचाई तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: हल:
बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल = 1210 सेमी\(^2\)
आधार का व्यास = 20 सेमी
आधार की त्रिज्या, r = \(\frac{20}{2}\) = 10 सेमी
2\(\pi\)rh = 1210
2 \(\times \frac{22}{7} \times\) 10 \(\times\) h = 1210
h = \(\frac{1210 \times 7}{2 \times 22 \times 10}\) = 19.25 सेमी
बेलन का आयतन = \(\pi r^2h\)
= \(\frac{22}{7} \times (10)^2 \times 19.25\)
= \(\frac{42350}{7}\) = 6050 सेमी\(^3\)
In simple words: पहले बेलन के व्यास से त्रिज्या ज्ञात करें। फिर वक्रपृष्ठ के क्षेत्रफल के सूत्र (2\(\pi\)rh) का उपयोग करके ऊँचाई (h) निकालें। अंत में, आयतन के सूत्र (\(\pi r^2h\)) में सभी मान रखकर आयतन ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप गणनाओं में \(\pi\) का सही मान (जैसे 22/7) उपयोग कर रहे हैं और प्रत्येक चरण में दशमलव सटीकता बनाए रखें।

Question 10. एक लम्बवृत्तीय बेलन के आधार की परिधि 22 सेमी है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी हो, तो बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए। (\(\pi\) = 22/7)
Answer: हलः
लम्बवृत्तीय बेलन की परिधि = 22 सेमी
2\(\pi\)r = 22
2 \(\times \frac{22}{7} \times\) r = 22
r = \(\frac{22 \times 7}{2 \times 22}\) = \(\frac{7}{2}\) सेमी
बेलन का आयतन = \(\pi r^2h\)
= \(\frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 10\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 10\) = 385 सेमी\(^3\)
In simple words: पहले बेलन के आधार की परिधि (2\(\pi\)r) से त्रिज्या (r) ज्ञात करें, फिर उस त्रिज्या और दी गई ऊँचाई का उपयोग करके बेलन का आयतन (\(\pi r^2h\)) ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप गणनाओं में \(\pi\) का सही मान (जैसे 22/7) उपयोग कर रहे हैं और प्रत्येक चरण में दशमलव सटीकता बनाए रखें।

Question 11. एक लम्बवृत्तीय बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ 1540 वर्ग सेमी है। यदि बेलन की ऊँचाई इसके आधार की त्रिज्या की चार गुनी हो तब बेलन के आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
सम्पूर्ण पृष्ठ = 1540
h = 4r
2\(\pi\)r(h + r) = 1540
2\(\pi\)r(4r + r) = 1540
2 \(\times \frac{22}{7} \times\) r \(\times\) 5r = 1540
\(r^2\) = \(\frac{1540 \times 7}{2 \times 22 \times 5}\)
\(r^2\) = 49
r = \(\sqrt{49}\) = 7 सेमी
In simple words: बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र (2\(\pi\)r(h+r)) में ऊँचाई को त्रिज्या के पदों में (h=4r) प्रतिस्थापित करें, फिर समीकरण को हल करके त्रिज्या (r) ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: जब ऊंचाई और त्रिज्या के बीच संबंध दिया गया हो, तो समीकरणों को सरल बनाने के लिए एक चर को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करें।

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लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 12. 44 सेमी लम्बे तथा 20 सेमी चौड़े आयताकार कागज को इसकी लम्बाई के सापेक्ष मोड़कर एक बेलन बनाया गया है। इस प्रकार निर्मित बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
कागज को 44 सेमी लम्बाई के अनुदिश मोड़ने पर बने बेलन की परिधि = 20 सेमी (यहाँ ऊँचाई 20 सेमी है और परिधि 44 सेमी है, लम्बाई के सापेक्ष मोड़ने पर लम्बाई परिधि बन जाती है, और चौड़ाई ऊँचाई बन जाती है। तो, परिधि = 44 सेमी और ऊँचाई = 20 सेमी)
2\(\pi\)r = 44
2 \(\times \frac{22}{7} \times\) r = 44
r = \(\frac{44 \times 7}{2 \times 22}\) = 7 सेमी
बेलन की ऊँचाई, h = 20 सेमी
बेलन का आयतन = \(\pi r^2h\)
= \(\frac{22}{7} \times (7)^2 \times 20\)
= 3080 सेमी\(^3\)
In simple words: जब एक आयताकार कागज को उसकी लम्बाई के सापेक्ष मोड़ा जाता है, तो कागज की लम्बाई बेलन के आधार की परिधि बन जाती है, और कागज की चौड़ाई बेलन की ऊँचाई बन जाती है। परिधि से त्रिज्या ज्ञात करके और दी गई ऊँचाई का उपयोग करके बेलन का आयतन (\(\pi r^2h\)) निकालें।

🎯 Exam Tip: ऐसे परिवर्तन वाले प्रश्नों में, कागज की विमाओं को बेलन के संबंधित मापों (परिधि, ऊँचाई) से सही ढंग से जोड़ना महत्वपूर्ण है।

Question 13. 120 सेमी लम्बे रोलर का व्यास 84 सेमी है। एक मैदान को समतल करने के लिए यह पूरे 500 चक्कर काटता है। 45 पैसे प्रति वर्ग मीटर की दर से पूरे मैदान को समतल करने में लगी राशि ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
रोलर का व्यास = 84 सेमी
रोलर की त्रिज्या, r = \(\frac{84}{2}\) = 42 सेमी
रोलर की ऊँचाई, h = 120 सेमी
1 चक्कर पूर्ण करने में रोलर द्वारा तय किया क्षेत्रफल = 2\(\pi\)rh
= 2 \(\times \frac{22}{7} \times\) 42 \(\times\) 120 = 31680 सेमी\(^2\)
500 चक्कर पूर्ण करने में रोलर द्वारा तय क्षेत्रफल = 31680 \(\times\) 500 सेमी\(^2\)
= 15840,000 सेमी\(^2\)
= \(\frac{15840,000}{100 \times 100}\) = 1584 मीटर\(^2\)
मैदान को समतल बनाने में कुल खर्च = 1584 \(\times\) 0.45 = Rs. 712.8
In simple words: रोलर के व्यास से त्रिज्या निकालें और उसकी ऊँचाई का उपयोग करके एक चक्कर में तय किया गया क्षेत्रफल (वक्रपृष्ठ = 2\(\pi\)rh) ज्ञात करें। कुल क्षेत्रफल के लिए इसे 500 से गुणा करें, फिर इसे वर्ग मीटर में बदलकर प्रति वर्ग मीटर की दर से कुल लागत निकालें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी इकाइयाँ (सेमी से मीटर) सही ढंग से परिवर्तित की गई हैं, खासकर जब लागत की गणना कर रहे हैं। 1 मीटर\(^2\) = 100 \(\times\) 100 सेमी\(^2\).

Question 14. 1.5 सेमी व्यास तथा 0.2 सेमी मोटाई के कितने सिक्के गलाये जायें ताकि 10 सेमी ऊँचाई तथा 4.5 सेमी व्यास का एक लम्बवृत्तीय बेलन बनाया जा सके?
Answer: हलः
बेलन की त्रिज्या, r = \(\frac{4.5}{2}\) सेमी
लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन = \(\pi r^2h\)
= \(\pi \times (\frac{4.5}{2})^2 \times 10\)
1 सिक्के का आयतन = \(\pi \times (\frac{1.5}{2})^2 \times 0.20\)
सिक्कों की संख्या = \(\frac{\text{लम्बवृत्तीय बेलन का आयतन}}{\text{1 सिक्के का आयतन}}\)
= \(\frac{\frac{\pi \times 4.5 \times 4.5 \times 10}{2 \times 2}}{\frac{\pi \times 1.5 \times 1.5 \times 0.20}{2 \times 2}}\)
= \(\frac{4.5 \times 4.5 \times 10 \times 100}{1.5 \times 1.5 \times 20}\)
= 450
In simple words: सिक्कों को पिघलाकर एक बड़ा बेलन बनाने के लिए, बड़े बेलन के आयतन को एक सिक्के के आयतन से विभाजित करें। ध्यान दें कि सिक्के भी छोटे बेलन के आकार के होते हैं।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के रूपांतरण प्रश्नों में, आयतन हमेशा संरक्षित रहता है। सुनिश्चित करें कि आप व्यास को त्रिज्या में सही ढंग से परिवर्तित करते हैं और सभी गणनाओं में \(\pi\) को रद्द कर सकते हैं।

Question 15. 20 सेमी लम्बे लोहे के एक पाईप का बाह्य व्यास 25 सेमी है। यदि पाईप की मोटाई 1 सेमी हो तो पाईप का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
लोहे के पाइप की लम्बाई, h = 20 सेमी
लोहे के पाइप की बाहरी त्रिज्या, R = \(\frac{25}{2}\) सेमी
लोहे के पाइप की आन्तरिक त्रिज्या, r = \(\frac{25}{2} - 1\) = \(\frac{23}{2}\) सेमी
पाइप का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2\(\pi\)(R+r)(h+R-r)
= 2 \(\times \frac{22}{7} \times (\frac{25}{2} + \frac{23}{2}) \times (20 + \frac{25}{2} - \frac{23}{2})\)
= 2 \(\times \frac{22}{7} \times \frac{48}{2} \times 4\)
= 3168 सेमी\(^2\)
In simple words: खोखले बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए बाहरी और आंतरिक त्रिज्याओं (R और r) और ऊँचाई (h) का उपयोग करें। सूत्र 2\(\pi\)(R+r)(h+R-r) में मान रखकर इसे हल करें।

🎯 Exam Tip: खोखले बेलन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना करते समय, आंतरिक और बाहरी दोनों पृष्ठों के क्षेत्रफल के साथ-साथ रिंग के क्षेत्रफल (यदि ढक्कन शामिल हैं) को भी ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।

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दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 16. यदि एक बेलनाकार बर्तन के व्यास में 5% की कमी हो तो इसकी लम्बाई में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी। यदि इसके आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता?
Answer: हलः
माना बेलन की प्रारम्भिक लम्बाई = h सेमी
बेलन का प्रारम्भिक व्यास = A सेमी
बेलन की प्रारम्भिक त्रिज्या = \(\frac{A}{2}\) सेमी
बेलन का प्रारम्भिक आयतन = \(\pi (\frac{A}{2})^2 \times h\) = \(\frac{\pi A^2h}{4}\) सेमी\(^3\)
बेलन के व्यास में 5% की कमी करने पर नया व्यास = A - A \(\times \frac{5}{100}\) = A - \(\frac{A}{20}\) = \(\frac{19A}{20}\)
नयी त्रिज्या = \(\frac{19A}{20 \times 2}\) = \(\frac{19A}{40}\)
माना बेलन की नयी लम्बाई (ऊँचाई) = h₁ सेमी
बेलन का आयतन = \(\pi (\frac{19A}{40})^2 \times h₁\)
प्रश्नानुसार,
\(\pi (\frac{19A}{40})^2 \times h₁ = \frac{\pi A^2h}{4}\)
\(\frac{361A^2}{1600} \times h₁ = \frac{A^2h}{4}\)
h₁ = \(\frac{A^2h}{4} \times \frac{1600}{361A^2}\)
h₁ = \(\frac{400h}{361}\)
बेलन की ऊँचाई या लम्बाई में वृद्धि = \(\frac{400h}{361} - h\)
= \(\frac{400h - 361h}{361}\) = \(\frac{39h}{361}\)
बेलन की ऊँचाई या लम्बाई में वृद्धि (% में) = \(\frac{39h}{361h} \times 100\) = 10.8%
In simple words: यदि बेलन का आयतन स्थिर रखा जाता है और उसका व्यास कम हो जाता है, तो उसकी लम्बाई में वृद्धि होनी चाहिए। पहले व्यास में कमी से नई त्रिज्या ज्ञात करें, फिर आयतन के सूत्र का उपयोग करके लम्बाई में आवश्यक प्रतिशत वृद्धि की गणना करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रतिशत-परिवर्तन प्रश्नों में, मूल और परिवर्तित आयामों को परिभाषित करना और आयतन या क्षेत्रफल के सूत्रों में उन्हें सावधानी से प्रतिस्थापित करना महत्वपूर्ण है।

Question 17. लोहे के एक ठोस आयताकार बक्से की विमाएं 4.4 सेमी, 2.6 मीटर, 1 मीटर हैं, को पिघलाकर एक खोखले बेलनाकार पाईप जिसकी आन्तरिक त्रिज्या 30 सेमी तथा मोटाई 5 सेमी है, के अन्दर रखा जाता है। पाईप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
आयताकार लोहे के टुकड़े का आयतन = 4.40 \(\times\) 260 \(\times\) 100 सेमी\(^3\)
माना पाइप की लम्बाई = h सेमी
खोखले बेलनाकार पाईप की आन्तरिक त्रिज्या, r = 30 सेमी
खोखले बेलनाकार पाईप की बाहरी त्रिज्या, R = 30 + 5 = 35 सेमी
खोखले बेलनाकार पाईप का आयतन = \(\pi\)(\(R^2 - r^2\)) h
= \(\frac{22}{7} \times (35^2 - 30^2) \times h\)
= \(\frac{22}{7} \times (35+30)(35-30) \times h\)
= \(\frac{22}{7} \times 65 \times 5 \times h\)
आयताकार लोहे के टुकड़े का आयतन = खोखले बेलन का आयतन
4.40 \(\times\) 260 \(\times\) 100 = \(\frac{22}{7} \times 65 \times 5 \times h\)
h = \(\frac{4.40 \times 260 \times 100 \times 7}{22 \times 65 \times 5}\)
h = 112 सेमी
\(\implies\) खोखले बेलनाकार पाइप की लम्बाई = 112 सेमी
In simple words: जब एक ठोस वस्तु को पिघलाकर दूसरी वस्तु बनाई जाती है, तो दोनों का आयतन समान रहता है। आयताकार बक्से के आयतन को खोखले बेलनाकार पाइप के आयतन के बराबर सेट करके पाइप की लम्बाई ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी आयामों को एक ही इकाई (जैसे सेमी) में परिवर्तित किया गया है ताकि गणना में त्रुटियां न हों। खोखले बेलन के आयतन के लिए \(\pi(R^2 - r^2)h\) सूत्र का उपयोग करें।

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बहुविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. यदि V आयतन वाले घन के विकर्ण की लम्बाई l है तो-
(a) 27V\(^2\) = l\(^6\)
(b) \(\sqrt{3}\) V = l\(^3\)
(c) 3V = l\(^3\)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
घन का आयतन V = (\text{भुजा})\(^3\)
घन के विकर्ण की लम्बाई l = \(\sqrt{3}\) (\text{भुजा})
\(\text{भुजा}\) = \(\frac{l}{\sqrt{3}}\)
तब आयतन V = \((\frac{l}{\sqrt{3}})^3\)
V = \(\frac{l^3}{3\sqrt{3}}\)
3\(\sqrt{3}\)V = \(l^3\)
वर्ग करने पर,
\((3\sqrt{3}V)^2 = (l^3)^2\)
\(27V^2 = l^6\)
अतः विकल्प
(a) सही है।
In simple words: घन के आयतन और विकर्ण के सूत्र का उपयोग करके, हम भुजा को विकर्ण के पदों में व्यक्त करते हैं। फिर इस मान को आयतन सूत्र में प्रतिस्थापित करके आयतन और विकर्ण के बीच संबंध स्थापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: घन के आयतन (\(a^3\)) और विकर्ण (\(a\sqrt{3}\)) के सूत्रों को याद रखना ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 2. एक आयताकार ठोस की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई में अनुपात 3 : 2 : 1 है। यदि ठोस का आयतन 48 सेमी\(^3\) है तो इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल =
(a) 32 सेमी\(^2\)
(b) 88 सेमी\(^2\)
(c) 128 सेमी\(^2\)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
l = 3k,
b = 2k,
h = k
ठोस आयतन = lbh
48 = (3k)(2k)(k)
6\(k^3\) = 48
\(\implies k^3\) = 8
k = \(\sqrt{8}\) = 2
तब l = 3 \(\times\) 2 = 6, b = 2 \(\times\) 2 = 4, h = 2
घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
= 2(6 \(\times\) 4 + 4 \(\times\) 2 + 2 \(\times\) 6)
= 2(24 + 8 + 12)
= 2(44) = 88 सेमी\(^2\)
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: आयतन के अनुपात से अज्ञात गुणक (k) ज्ञात करें, फिर घनाभ की वास्तविक लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई प्राप्त करें। अंत में, घनाभ के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र (2(lb+bh+hl)) लागू करें।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाले प्रश्नों में, प्रत्येक आयाम को एक सामान्य गुणक (जैसे k) के साथ व्यक्त करें ताकि समीकरणों को सरल बनाया जा सके।

Question 3. V आयतन वाले घन की प्रत्येक भुजा को यदि दोगुना कर दिया जाये तो नये घन का आयतन =
(a) 2V
(b) 4V
(c) 8V
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
माना घन की भुजा = a
घन का आयतन V = \(a^3\)
यदि घन की भुजा को दोगुना कर दिया जाए तो घन की भुजा = 2a
अब घन का आयतन = \((2a)^3\) = \(8a^3\) = 8V
अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: घन का आयतन उसकी भुजा के घन के बराबर होता है। यदि भुजा दोगुनी हो जाती है, तो नया आयतन मूल आयतन का 2³ गुना यानी 8 गुना हो जाता है।

🎯 Exam Tip: आयतन, भुजा के क्यूब (घन) के समानुपाती होता है। भुजा में X गुना वृद्धि होने पर आयतन में \(X^3\) गुना वृद्धि होती है।

Question 4. यदि एक घन की सभी भुजाओं का योग 36 सेमी है, तब इसका आयतन (सेमी\(^3\) में) =
(a) 27
(b) 217
(c) 72
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
\(\therefore\) घन में 12 भुजाएँ होती हैं।
माना घन की भुजा 'a' सेमी है
तब 12a = 36
\(\implies\) a = 3 सेमी
घन का आयतन = \(a^3\) = \(3^3\) = 27 सेमी\(^3\)
अतः विकल्प
(a) सही है।
In simple words: घन में 12 समान भुजाएँ होती हैं। सभी भुजाओं के योग से एक भुजा की लम्बाई ज्ञात करें, फिर उस भुजा का उपयोग करके घन का आयतन (\(a^3\)) निकालें।

🎯 Exam Tip: घन की 12 भुजाओं को गिनना और प्रत्येक भुजा की लम्बाई निकालने के लिए कुल योग को 12 से विभाजित करना एक आम गलती को रोकने में मदद करता है।

Question 5. 10 सेमी \(\times\) 9 सेमी \(\times\) 6 सेमी विमा वाले घनाभ के अन्दर रखे जा सकने वाले 3 सेमी भुजा वाले घनों की संख्या =
(a) 12
(b) 18
(c) 28
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
एक घनाभ का आयतन = 10 \(\times\) 9 \(\times\) 6 = 540 सेमी\(^3\)
एक घन का आयतन = \((3)^3\) = 3 \(\times\) 3 \(\times\) 3 = 27 सेमी\(^3\)
घनाभ में रखे जा सकने वाले घनों की संख्या = (\(\frac{10}{3}\)) \(\times\) (\(\frac{9}{3}\)) \(\times\) (\(\frac{6}{3}\))
= 3 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = 18
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: घनाभ के अन्दर छोटे घनों की संख्या ज्ञात करने के लिए, घनाभ के प्रत्येक आयाम को घन की भुजा से विभाजित करें, और फिर इन भागफलों को गुणा करें (पूर्णांक मान लेते हुए)।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, 'रखे जा सकने वाले' का अर्थ है कि छोटे घनों को एक बड़े घनाभ के अन्दर कैसे व्यवस्थित किया जा सकता है, जो केवल आयतन विभाजन से भिन्न होता है यदि आयाम पूर्णतः विभाज्य न हों।

Question 6. लम्ब वृत्तीय बेलन का ऊर्ध्वाधर शंकु परिच्छेद होता है। एक-
(a) समचतुर्भुज
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
आयत ।
अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: जब एक लम्ब वृत्तीय बेलन को उसकी धुरी के समानांतर काटा जाता है, तो जो सतह बनती है वह एक आयत होती है।

🎯 Exam Tip: ज्यामितीय आकृतियों के विभिन्न परिच्छेदों की कल्पना करना महत्वपूर्ण है। एक लम्ब वृत्तीय बेलन का ऊर्ध्वाधर परिच्छेद हमेशा एक आयत होता है।

Question 7. लोहे की एक सीट से 2 मीटर व्यास तथा 40 मीटर लम्बाई का एक लम्ब वृत्तीय बेलन बनाना है। इसके लिए आवश्यक लोहे की सीट का आयतन = (मी\(^2\) में)
(a) 40\(\pi\)
(b) 60\(\pi\)
(c) 80\(\pi\)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
त्रिज्या r = \(\frac{2}{2}\) = 1 मीटर, h = 40 मीटर
लोहे की सीट का आयतन = 2\(\pi\)rh
= 2 \(\times \pi \times\) 1 \(\times\) 40 = 80\(\pi\) मी\(^3\)
अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: बेलन के व्यास से त्रिज्या ज्ञात करें। प्रश्न में दिए गए आयतन के सूत्र (जो कि 2\(\pi\)rh के बराबर दिया गया है) का उपयोग करके सीधे मानों को प्रतिस्थापित कर दें।

🎯 Exam Tip: यह प्रश्न एक अवधारणात्मक त्रुटि प्रस्तुत करता है, क्योंकि `2\(\pi\)rh` सामान्यतः बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल होता है, न कि आयतन। फिर भी, दिए गए हल पैटर्न का पालन करें, लेकिन इस विसंगति से अवगत रहें।

Question 8. एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई 6 गुनी बढ़ायी गयी है तथा इसका आधार का क्षेत्रफल 1/9 घटाया गया है तब पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने गुना बढ़ेगा?
(a) 2
(b) 1/2
(c) 1/3
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
लम्बवृत्तीय बेलन का पार्श्व पृष्ठ \(S_1\) = 2\(\pi\)rh
माना लम्बवृत्तीय बेलन के आधार का क्षेत्रफल A = \(\pi r^2\)
जब आधार का क्षेत्रफल \(\frac{1}{9}\) घटा दिया जाता है, तब माना बेलन की त्रिज्या R है।
\(\pi R^2 = A - \frac{1}{9}A = \frac{8}{9}A\)
\(\pi R^2 = \frac{8}{9} \pi r^2\)
\(R^2 = \frac{8}{9}r^2\)
\(\implies R = \frac{\sqrt{8}}{3}r = \frac{2\sqrt{2}}{3}r\)
अब बेलन की नयी ऊँचाई = h + 6h = 7h
अब बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल \(S_2\) = 2\(\pi\)R(7h)
= 2\(\pi\) \(\times \frac{2\sqrt{2}}{3}r \times 7h\)
= \(\frac{28\sqrt{2}}{3} \pi rh\)
(चूँकि \(S_1 = 2\pi rh\), तो \(\pi rh = \frac{S_1}{2}\))
\(S_2 = \frac{28\sqrt{2}}{3} \times \frac{S_1}{2}\)
\(S_2 = \frac{14\sqrt{2}}{3} S_1\)
\(\frac{14\sqrt{2}}{3} \approx 6.598\)
अतः पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल लगभग 7 गुना हो जाएगा।
अतः विकल्प (d) सही है।
In simple words: ऊँचाई में वृद्धि और आधार क्षेत्रफल में कमी के कारण त्रिज्या में परिवर्तन की गणना करें। फिर इन नए मानों का उपयोग करके बेलन के नए पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल को मूल क्षेत्रफल के सापेक्ष अनुपात में ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: प्रतिशत वृद्धि या कमी वाले प्रश्नों में, मूल और परिवर्तित मानों के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें। यह सुनिश्चित करें कि आप 'ऊँचाई 6 गुनी बढ़ायी गयी' जैसे वाक्यांशों की सही व्याख्या करते हैं, जिसका अर्थ `h_new = h + 6h` हो सकता है, न कि केवल `6h`।

Question 9. r त्रिज्या तथा h ऊँचाई का एक बेलन ऊपर व नीचे से बन्द है तब बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल =
(a) \(\pi\)r(r + h)
(b) 2\(\pi\)r (r + h)
(c) 2\(\pi\)r (2r +h)
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का पार्श्व पृष्ठ + 2 \(\times\) आधार का क्षेत्रफल
= 2\(\pi\)rh + 2\(\pi r^2\)
= 2\(\pi\)r(h + r)
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: एक बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल उसके वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल (2\(\pi\)rh) और दोनों वृत्ताकार आधारों के क्षेत्रफल (2\(\pi r^2\)) का योग होता है।

🎯 Exam Tip: बेलन के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र (2\(\pi\)r(h+r)) एक महत्वपूर्ण सूत्र है जिसे याद रखना चाहिए।

Question 10. एक तार की त्रिज्या घटकर \(\frac{1}{3}\) हो गयी है। यदि उसका आयतन समान रहता है तो उसकी लम्बाई होगी-
(a) 3 गुना
(b) 9 गुना
(c) 2 गुना
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: हलः
तार का प्रारम्भिक आयतन = \(\pi r^2h\)
त्रिज्या घटने के बाद तार का आयतन = \(\pi (\frac{r}{3})^2 h₁\) = \(\frac{\pi r^2}{9} h₁\)
यदि आयतन समान रहता है, तब
\(\pi r^2h = \frac{\pi r^2}{9} h₁\)
h₁ = 9h
अर्थात् तार की लम्बाई प्रारम्भिक लम्बाई की 9 गुनी हो जाएगी।
अतः विकल्प (b) सही है।
In simple words: यदि तार का आयतन स्थिर रहता है और उसकी त्रिज्या एक तिहाई हो जाती है, तो उसकी लम्बाई को मूल त्रिज्या के वर्ग के अनुपात में बढ़ना चाहिए। चूंकि त्रिज्या 1/3 हो गई है, तो लम्बाई 3² यानी 9 गुना बढ़ जाएगी।

🎯 Exam Tip: आयतन संरक्षण के प्रश्नों में, यदि एक विमा घटती है, तो आयतन को स्थिर रखने के लिए दूसरी विमा को तदनुसार बढ़ना चाहिए। बेलन के आयतन में त्रिज्या का वर्ग संबंध याद रखें।

Ex 18.3 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder

स्वमूल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. मंजू अपने क्रिसमस वृक्ष को सजाना चाहती है। वह इस वृक्ष को लकड़ी के एक आयताकार बॉक्स पर रखना चाहती है। जिसे सान्ताक्लोज के चित्र के साथ एक रंगीन कागज से ढका जाना है। उसका यह जानना आवश्यक है कि उसे कितना कागज खरीदना चाहिए यदि उपरोक्त बॉक्स की लम्बाई, चौड़ाई एवं ऊँचाई 80 सेमी, 40 सेमी, 20 सेमी है तो उसे 40 सेमी भुजा वाली कागज की कितनी वर्गाकार शीटों की आवश्यकता है।
Answer: हलः
l = 80 सेमी, b = 40 सेमी, h = 20 सेमी
घनाभ का पृष्ठ = 2(lb + bh + hl)
= 2(80 \(\times\) 40 + 40 \(\times\) 20 + 20 \(\times\) 80)
= 2(3200 + 800 + 1600)
= 2(5600) = 11200 सेमी\(^2\)
एक वर्गाकार शीट की भुजा = 40 सेमी
एक वर्गाकार शीट का क्षेत्रफल = 40 \(\times\) 40 = 1600 सेमी\(^2\)
आवश्यक वर्गाकार शीटों की संख्या = \(\frac{\text{घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{एक शीट का क्षेत्रफल}}\)
= \(\frac{11200}{1600}\) = 7
In simple words: बॉक्स को ढकने के लिए आवश्यक कागज की मात्रा ज्ञात करने के लिए, बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें। फिर कुल क्षेत्रफल को एक वर्गाकार शीट के क्षेत्रफल से विभाजित करके आवश्यक शीटों की संख्या निकालें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप 'कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल' (Total Surface Area) की गणना सही ढंग से करते हैं, क्योंकि इसमें सभी 6 फलक शामिल होते हैं।

Question 2. हरी ने अपने घर के लिए, ढक्कन वाली एक घनाकार पानी की टंकी बनवानी है। जिसका प्रत्येक बाहरी किनारा 1.5 मीटर लम्बा है। वह इस टंकी के बाहरी पृष्ठ पर तलों को जोड़ते हुए 25 सेमी भुजा वाली वर्गाकार टाइल्स लगवाता है। यदि टाइलों की लागत Rs. 360 प्रति दर्जन है। तो उसे टाईल लगवाने में कितना खर्च करना पड़ेगा?
Answer: हलः
घनाकार टंकी का बाहरी पृष्ठ (चारो दीवारो + ढक्कन) = 5 \(\times\) (150)\(^2\) (चूंकि किनारा 1.5 मीटर = 150 सेमी, और घनाकार टंकी में 6 फलक होते हैं, ढक्कन वाली है तो 5 फलक का क्षेत्रफल)
= 5 \(\times\) 150 \(\times\) 150 सेमी\(^2\)
= 112500 सेमी\(^2\)
टायलों की संख्या = \(\frac{112500}{25 \times 25}\) = 180
टायलों की लागत (प्रति दर्जन) = Rs. \(\frac{360}{12}\) = Rs. 30 प्रति टायल
180 टायल की लागत = 180 \(\times\) 30 = Rs. 5400
In simple words: घनाकार टंकी के 5 फलकों (ढक्कन सहित, नीचे का फलक नहीं) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें। फिर कुल क्षेत्रफल को एक टाइल के क्षेत्रफल से विभाजित करके आवश्यक टाइलों की संख्या ज्ञात करें। अंत में, टाइलों की प्रति दर्जन लागत को प्रति टाइल लागत में बदलकर कुल खर्च निकालें।

🎯 Exam Tip: ध्यान दें कि 'ढक्कन वाली टंकी' का अर्थ आमतौर पर कुल 5 फलक होते हैं (निचले आधार को छोड़कर, यदि यह किसी चीज़ पर रखा गया है, या ढक्कन को छोड़कर यदि वह खुला है)। यहाँ 'ढक्कन वाली' है, जिसका अर्थ है ऊपर का फलक है, और यह घनाकार है, इसलिए 5 फलकों का क्षेत्रफल लिया गया है (संभवतः नीचे का फलक जमीन पर है, या अंदर से कवर नहीं करना है)।

Question 3. प्रवीण अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थायी स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहता है। जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक लें। (सामने वाला फल लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है।) यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर \(\times\) 3 मीटर \(\times\) 2.5 मीटर वाले इस ढाँचें को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी।
Answer: हलः
यहाँ, l = 4 मी०, b = 3 मी०, h = 2.5 मी०
अभीष्ट तिरपाल = 2(l + b) \(\times\) h + lb
= 2(4 + 3) \(\times\) 2.5 + 4 \(\times\) 3
= (2 \(\times\) 7 \(\times\) 2.5 + 12)
= 35 + 12 = 47 मी\(^2\)
In simple words: तिरपाल केवल चार दीवारों और छत को कवर करेगा (सामने का फलक लटका हुआ है, इसलिए उसे क्षेत्र में शामिल नहीं किया जाता है यदि वह खुला है, लेकिन यहां "ढक लें" का मतलब है कि वह छत में शामिल है, और "लटका हुआ" हिस्सा दरवाजा है)। आवश्यक तिरपाल का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए घनाभ के चार दीवारों और छत के क्षेत्रफल का योग करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे व्यावहारिक प्रश्नों में, यह समझना महत्वपूर्ण है कि कौन से पृष्ठों को कवर किया जाना है। 'चारों ओर से और ऊपर से ढक लें' और 'सामने वाला फल लटका हुआ होगा' जैसी वाक्यांशों का सावधानीपूर्वक विश्लेषण करें।

Question 4. एक लकड़ी के बुक शेल्फ की बाहरी विमाएं निम्न हैं : ऊँचाई 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौडाई = 85 सेमी । प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश करायी जाती है और आन्तरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी\(^2\) है। और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी\(^2\) है, तो बुक शेल्फ पर पेंट व पॉलिश कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक लकड़ी के बुक शेल्फ का चित्र है जिसकी बाहरी चौड़ाई 85 सेमी, ऊँचाई 110 सेमी और गहराई 25 सेमी है। इसके भीतर क्षैतिज रूप से 3 तख्ते लगे हैं, जो शेल्फ को 4 डिब्बों में विभाजित करते हैं। प्रत्येक तख्ते की मोटाई 5 सेमी है।
Answer: हलः
बुक शेल्फ के बाहरी पृष्ठ का क्षेत्रफल
= 2(85\(\times\)25) + 2(110\(\times\)25) + (85\(\times\)110) सेमी\(^2\)
= 4250 + 5500 + 9350
= 19100 सेमी\(^2\)
अतः बुक शेल्फ के बाहरी फलकों को पॉलिश करने का खर्च
= 19100 \(\times \frac{20}{100}\) = Rs. 3820
तख्ते की मोटाई = 5 सेमी
बुक शेल्फ की आन्तरिक ऊँचाई = 110 - 2 \(\times\) 5 = 100 सेमी
बुक शेल्फ की आन्तरिक चौडाई = 85 - 2 \(\times\) 5 = 75 सेमी
बुक शेल्फ की आन्तरिक गहराई = 25 - 5 = 20 सेमी
अतः बुक शेल्फ के आन्तरिक पृष्ठ का क्षेत्रफल
= 2(75\(\times\)20) + 2(100\(\times\)20) + 75\(\times\)100
= 3000 + 4000 + 7500 = 14500 सेमी\(^2\)
\(\implies\) बुक शेल्फ के आन्तरिक पृष्ठ को पेन्ट कराने का खर्च = 14500 \(\times \frac{10}{100}\) = Rs. 1450
इस प्रकार पेन्ट कराने का कुल खर्च = Rs. 3820 + Rs. 1450 = Rs. 5270
In simple words: बुक शेल्फ के बाहरी और आंतरिक सतहों के क्षेत्रफलों की अलग-अलग गणना करें। बाहरी सतह पर पॉलिश की लागत और आंतरिक सतह पर पेंट की लागत, प्रति इकाई क्षेत्रफल की दर से गुणा करके ज्ञात करें। दोनों लागतों को जोड़कर कुल व्यय प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: ऐसे बहु-चरणीय प्रश्नों में, बाहरी और आंतरिक आयामों की गणना करते समय तख्तों की मोटाई और बाहरी संरचना को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है। प्रत्येक भाग की लागत को सावधानीपूर्वक जोड़ें।

Question 5. एक खुले मैदान में 10 मीटर लम्बी एक दीवार का निर्माण किया जाना था। दीवार की ऊचाई 4 मीटर है और उसकी मोटाई 24 सेमी है। यदि इस दीवार को 24 सेमी x 12 सेमी \(\times\) 8 सेमी विमाओं वाली ईंटों से बनाया जाता है तो इसके लिए कितनी ईंटों की आवश्यकता होगी।
Answer: हलः
दीवार का आयतन = (10 \(\times\) 100) \(\times\) 24 \(\times\) (4 \(\times\) 100) = 1000 \(\times\) 24 \(\times\) 400 सेमी\(^3\) (लम्बाई 10 मी = 1000 सेमी, ऊँचाई 4 मी = 400 सेमी)
1 ईट का आयतन = 24 \(\times\) 12 \(\times\) 8 सेमी\(^3\)
ईंटों की संख्या = \(\frac{\text{दीवार का आयतन}}{\text{एक ईंट का आयतन}}\)
= \(\frac{1000 \times 24 \times 400}{24 \times 12 \times 8}\) = 4167
In simple words: दीवार के आयतन की गणना करें (सभी आयामों को एक ही इकाई, जैसे सेमी में परिवर्तित करके)। फिर एक ईंट के आयतन की गणना करें। दीवार के आयतन को एक ईंट के आयतन से विभाजित करके आवश्यक ईंटों की संख्या ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि सभी आयाम एक ही इकाई में हैं (सेमी या मीटर) ताकि आयतन की गणना सही हो।

Question 6. एक बच्चा भव ब्लॉकों से खेल रहा है। जो एक घन के आकार के हैं। उसने इनसे आकृति में दर्शाये अनुसार 3 सेमी एक ढाँचा बना लिया है। प्रत्येक घन का किनारा 3 सेमी है। बच्चे द्वारा बनाये गये ढाँचे का आयतन ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ढाँचा है जो 3 सेमी भुजा वाले घनों से बना है। ढाँचा एक सीढ़ीदार पिरामिड जैसा दिखता है जिसमें आधार पर सबसे अधिक घन हैं, और प्रत्येक अगली परत में घनों की संख्या कम होती जाती है।
Answer: हलः
घन की भुजा a = 3 सेमी
घन का आयतन = \(a^3\) = \(3^3\) = 27 सेमी\(^3\)
घनों की कुल सँख्या = 15
15 घनों का आयतन = 15 \(\times\) 27 = 405 सेमी\(^3\)
In simple words: पहले एक घन का आयतन ज्ञात करें। फिर आकृति में कुल घनों की संख्या गिनें। कुल घनों की संख्या को एक घन के आयतन से गुणा करके पूरे ढाँचे का कुल आयतन प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी व्यक्तिगत घनों की सही संख्या गिनते हैं और प्रत्येक घन के आयतन की गणना सही ढंग से करते हैं।

Question 7. संसद भवन के 20 बेलनाकार खम्बों की सफाई करनी है। यदि प्रत्येक खम्बे का व्यास 0.50 मी तथा ऊँचाई 4 मी है तो Rs. 2.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से उन्हें साफ करने में कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
1 खम्भे की त्रिज्या r = \(\frac{0.50}{2}\) = 0.25 मी
1 खम्भे की ऊंचाई h = 4 मी
1 बेलनाकार खम्भे का वक्रपृष्ठ = 2\(\pi\)rh
= 2 \(\times \frac{22}{7} \times\) 0.25 \(\times\) 4 = \(\frac{44}{7}\) मी\(^2\)
20 बेलनाकार खम्भे का वक्रपृष्ठ = \(\frac{44}{7} \times 20\) मी\(^2\)
कुल व्यय = \(\frac{44}{7} \times 20 \times 2.50\) = Rs. 314.28
In simple words: पहले एक खम्भे का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें। फिर इसे 20 से गुणा करके सभी खम्बों का कुल क्षेत्रफल निकालें। अंत में, कुल क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर की लागत दर से गुणा करके कुल व्यय ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: व्यास को त्रिज्या में बदलना न भूलें और सुनिश्चित करें कि सभी इकाइयाँ (जैसे मीटर) सुसंगत हैं। गणना में \(\pi\) का मान 22/7 का उपयोग करें।

Question 8. एक मन्दिर के दो खम्बे बेलनाकार रूप के है। यदि प्रत्येक खम्बे के आधार की त्रिज्या 20 सेमी तथा ऊँचाई 10 मीटर है तो इस तरह के 14 खम्बे बनाने में कुल कितने कंक्रीट मिश्रण की आवश्यकता होगी।
Answer: हलः
1 खम्बे का आयतन = \(\pi r^2h\)
= \(\frac{22}{7} \times (0.20)^2 \times 10\) मी\(^3\) (त्रिज्या 20 सेमी = 0.20 मी)
14 खम्बों का आयतन = 14 \(\times \frac{22}{7} \times (0.20)^2 \times 10\)
= 2 \(\times\) 22 \(\times\) 0.04 \(\times\) 10 = 17.6 मी\(^3\)
In simple words: एक खम्भे के आयतन की गणना करें (त्रिज्या को मीटर में परिवर्तित करके)। फिर इसे 14 से गुणा करके सभी खम्बों के लिए आवश्यक कुल कंक्रीट मिश्रण का आयतन ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप त्रिज्या और ऊँचाई के लिए समान इकाइयाँ (जैसे मीटर) का उपयोग करते हैं। बेलन के आयतन सूत्र (\(\pi r^2h\)) में मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

Question 9. एक मेले में, एक स्टाल कीपर के पास 15 सेमी आधार त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तनों में 32 सेमी ऊँचाई तक सन्तरे का जूस भरा है। उन्हें 3 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तन में 8 सेमी ऊँचाई तक भरकर प्रत्येक को Rs. 3 में बेचा जाता है। पूरे जूस को बेचकर वह कितने रुपये प्राप्त करेगा।
Answer: हलः
जूस के गिलासो की सँख्या = \(\frac{\text{बेलनाकार बर्तन का आयतन}}{\text{एक जूस के गिलास का आयतन}}\)
= \(\frac{\pi (15)^2 \times 32}{\pi (3)^2 \times 8}\)
= \(\frac{15 \times 15 \times 4}{3 \times 3}\) = 100
100 गिलासों से प्राप्त रूपये = 100 \(\times\) 3 = Rs. 300
In simple words: बड़े बर्तन के आयतन को एक गिलास के आयतन से विभाजित करके भरे जा सकने वाले गिलासों की कुल संख्या ज्ञात करें। फिर गिलासों की संख्या को प्रति गिलास विक्रय मूल्य से गुणा करके कुल प्राप्त राशि निकालें।

🎯 Exam Tip: आयतन के सूत्र (\(\pi r^2h\)) में त्रिज्या और ऊँचाई के सही मानों का उपयोग करें। यह सुनिश्चित करने के लिए कि \(\pi\) रद्द हो जाता है, आयतन का अनुपात लेते समय इसे हल न करें।

Question 10. एक कमरे की विमाएं 12.5 मी \(\times\) 9 मी \(\times\) 7 मी है। उसमें दो दरवाजें तथा 4 खिड़की है। प्रत्येक दरवाजे की माप 2.5 मी \(\times\) 1.2 मी तथा खिड़की की माप 1.5 मी \(\times\) 1 मी है। सिद्ध कीजिए कि Rs. 3.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से दीवारों को रंगने में कुल Rs. 1011.50 खर्च होगें।
Answer: हलः
कमरे की चारो दीवारो का क्षेत्रफल = 2(l + b) \(\times\) h
= 2(12.5 + 9) \(\times\) 7
= 2 \(\times\) 21.5 \(\times\) 7 = 301 मी\(^2\)
दो दरवाजों का क्षेत्रफल = 2 \(\times\) 2.5 \(\times\) 1.2 = 6 मी\(^2\)
4 खिडकी का क्षेत्रफल = 4 \(\times\) 1.5 \(\times\) 1 = 6 मी\(^2\)
दरवाजों तथा खिडकी को छोडकर दीवारों का शेष क्षेत्रफल = 301 - 6 - 6 = 289 मी\(^2\)
दीवारों को रंगने में कुल खर्च = 289 \(\times\) 3.50 = Rs. 1011.50
In simple words: कमरे की चार दीवारों का क्षेत्रफल ज्ञात करें। दरवाजों और खिड़कियों का क्षेत्रफल घटाकर रंगने योग्य शेष क्षेत्रफल निकालें। फिर शेष क्षेत्रफल को प्रति वर्ग मीटर की रंगाई दर से गुणा करके कुल खर्च ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप रंगाई के लिए केवल वास्तविक दीवारों का क्षेत्रफल लेते हैं, न कि दरवाजों और खिड़कियों को।

Question 11. एक हॉल की लम्बाई एवं चौड़ाई का अनुपात 4 : 3 है तथा इसकी ऊँचाई 5.5 मीटर है। इसकी दीवारों को Rs. 6.60 प्रति वर्ग मीटर की दर से सजाने में कुल Rs. 5082 का खर्च आता है। सिद्ध कीजिए कि हॉल की लम्बाई व चौड़ाई क्रमशः 40 मीटर व 30 मीटर होगी।
Answer: हलः
माना हॉल की लम्बाई = 4x मी
हॉल की चौडाई = 3x मी
हॉल की ऊचाई = 5.5 मी
चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2 (\text{लं०} + \text{चौ०}) \(\times\) \text{ॐ०}
= 2(4x + 3x) \(\times\) 5.5
= 2 \(\times\) 7x \(\times\) 5.5 ....(1)
चारों दीवारों का क्षेत्रफल (लागत से) = \(\frac{5082}{6.6}\) = 770 मी\(^2\) ....(2)
समीकरण (1) = समीकरण (2) रखने पर
2 \(\times\) 7x \(\times\) 5.5 = 770
x = \(\frac{770 \times 10}{2 \times 7 \times 5.5}\) = 10
हॉल की लम्बाई = 4 \(\times\) 10 = 40 मी
हॉल की 'चौडाई = 3 \(\times\) 10 = 30 मी
In simple words: हॉल की लम्बाई और चौड़ाई को एक चर (x) के पदों में व्यक्त करें। दीवारों के क्षेत्रफल के सूत्र (2(l+b)h) का उपयोग करके एक समीकरण बनाएँ। कुल लागत और प्रति वर्ग मीटर की दर से क्षेत्रफल की गणना करें, फिर x के लिए हल करें। अंत में, वास्तविक लम्बाई और चौड़ाई प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: लागत-आधारित प्रश्नों में, दिए गए कुल खर्च और प्रति इकाई दर का उपयोग करके पहले कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें। फिर इस क्षेत्रफल का उपयोग करके अज्ञात आयामों की गणना करें।

Question 12. 9 सेमी भुजा वाला एक घन पानी से भरे एक आयताकार बर्तन में पूर्णतया डूब जाता है। यदि आधार की विमाएं 15 सेमी व 12 सेमी है। तो सिद्ध कीजिए कि पानी के स्तर में हुई बढ़ोत्तरी 4.05 सेमी होगी।
Answer: हलः
पानी में डुबाये गये घन का आयतन = ऊपर उठे पानी का आयतन
\(9^3\) = 15 \(\times\) 12 \(\times\) h
729 = 15 \(\times\) 12 \(\times\) h
h = \(\frac{729}{15 \times 12}\)
h = 4.05 सेमी
In simple words: जब कोई वस्तु पानी में डूबती है, तो उसके द्वारा विस्थापित पानी का आयतन वस्तु के आयतन के बराबर होता है। घन के आयतन को विस्थापित पानी (बर्तन के आधार क्षेत्रफल \(\times\) पानी की ऊँचाई में वृद्धि) के आयतन के बराबर रखकर ऊँचाई में वृद्धि ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: यह आर्कमिडीज के सिद्धांत पर आधारित एक क्लासिक समस्या है। सुनिश्चित करें कि आप घन के आयतन और बर्तन के आधार क्षेत्र का सही ढंग से उपयोग करते हैं।

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