UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 18 Surface Area and Volume 18.2

Exercise 18.2 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder

Exercise 18.2 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 96 सेमी है । हलः घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 96
\( 6a^2 = 96 \)
\( a^2 = \frac{96}{6} = 16 \) (.. \( a = 4 \) सेमी)
घन का आयतन = \( a^3 = (4)^3 = 64 \) सेमी\(^3\)
Answer: 64 सेमी\(^3\)
In simple words: The surface area of a cube helps us find its side length. Once the side length is known, we can easily calculate the volume of the cube using the formula \( a^3 \).

🎯 Exam Tip: Remember the formulas for surface area (\( 6a^2 \)) and volume (\( a^3 \)) of a cube, as these are fundamental for solving related problems.

Question 2. एक कमरे के फर्श का क्षेत्रफल 15 मी\(^2\) है। यदि ऊँचाई 4 मी है तब कमरे में जा सकने वाली हवा का आयतन ज्ञात कीजिए ।
हलः
कमरे में जा सकने वाली हवा का आयतन = \( l \times b \times h \)
= \( 15 \times 4 = 60 \) मी\(^3\)
= 60,000 डेसी मी
Answer: 60 मी\(^3\)
In simple words: The volume of air a room can hold is equivalent to the room's volume, which is calculated by multiplying the base area by its height.

🎯 Exam Tip: Volume is always measured in cubic units. Ensure consistent units throughout the calculation (e.g., all in meters or all in decimeters).

Question 3. एक घनाभ का आयतन 12 सेमी है। एक घनाभ का आयतन (सेमी³ में) ज्ञात कीजिए जिसकी भुजा, इस घनाभ की दोगुनी है।
हलः
घनाभ का आयतन \( V_1 = 12 \) सेमी
घनाभ की प्रत्येक विमा 2 गुनी होने पर बने घनाभ का आयतन \( V_2 = 2 \times 2 \times 2 \times V_1 \)
= \( 8V_1 = 8 \times 12 = 96 \) सेमी
Answer: 96 सेमी
In simple words: If all dimensions of a cuboid are doubled, its new volume becomes eight times the original volume, because volume depends on the product of three linear dimensions.

🎯 Exam Tip: For scaling problems, understand that if linear dimensions scale by 'k', area scales by 'k\(^2\)' and volume scales by 'k\(^3\)'.

Question 4. यदि दो घनों के आयतन 8 : 1 के अनुपात में है तब इनके कोरों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
\[ \frac{\text{पहले घन का आयतन}}{\text{दूसरे घन का आयतन}} = \frac{a^3}{b^3} \]
\[ \frac{8}{1} = \left(\frac{a}{b}\right)^3 \]
\[ \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \left(\frac{a}{b}\right)^3 \]
\( \implies a:b = 2:1 \)
घन की कोरो का अनुपात = 2 :1
Answer: 2:1
In simple words: The ratio of the volumes of two cubes is the cube of the ratio of their side lengths. By taking the cube root of the volume ratio, we find the ratio of their sides.

🎯 Exam Tip: Always remember that the ratio of volumes is the cube of the ratio of corresponding linear dimensions (sides, edges).

Question 5. एक घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 256 मी\(^2\) है घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः
घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \( 4a^2 = 256 \)
\( a^2 = \frac{256}{4} = 64 \)
\( a = 8 \) मी०
..
घन का आयतन = \( a^3 = (8)^3 = 512 \) घन मी
Answer: 512 घन मी\(^3\)
In simple words: The lateral surface area of a cube helps us find its side length. Once the side length is determined, the volume is found by cubing the side length.

🎯 Exam Tip: Differentiate between total surface area (\( 6a^2 \)) and lateral surface area (\( 4a^2 \)) of a cube for accurate calculations.

Question 6. एक घन का आयतन 512 सेमी है, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (सेमी\(^2\) में) ज्ञात कीजिए।
हलः घन का आयतन = 512
\( a^3 = 512 \)
\( \implies a = 8 \) सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 6a^2 = 6 \times (8)^2 = 6 \times 64 = 384 \) सेमी\(^2\)
Answer: 384 सेमी\(^2\)
In simple words: The volume of a cube allows us to find its side length. With the side length, we can then calculate the total surface area of the cube.

🎯 Exam Tip: Be mindful of the units; volume is in cubic units and surface area in square units. Always ensure the cube root is correctly calculated for the side length.

Question 7. 10 सेमी भुजा वाले एक घनाकार बर्तन में पूर्णतया आने वाली छड़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हलः घनाकार बर्तन में पूर्णतया आने वाली छडी की लम्बाई = घन का विकर्ण = \( 10\sqrt{3} \) सेमी
Answer: \( 10\sqrt{3} \) सेमी
In simple words: The longest rod that can fit into a cube is equal to its space diagonal, calculated as \( a\sqrt{3} \), where 'a' is the side length.

🎯 Exam Tip: The formula for the space diagonal of a cube is \( \text{side} \times \sqrt{3} \).

Question 8. दो घनों के आयतन 1 : 27 के अनुपात में है इनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हलः
\[ \frac{\text{पहले घन का आयतन}}{\text{दूसरे घन का आयतन}} = \frac{x^3}{y^3} \]
\[ \frac{1}{27} = \left(\frac{x}{y}\right)^3 \]
\( \implies \frac{1}{3} = \frac{x}{y} \)
\( \implies x:y = 1:3 \)
\[ \frac{\text{पहले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल}}{\text{दूसरे घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल}} = \frac{6(1)^2}{6(3)^2} = \frac{1}{9} \]
अनुपात = 1:9
Answer: 1:9
In simple words: If the ratio of volumes of two cubes is known, first find the ratio of their sides by taking the cube root. Then, the ratio of their surface areas is the square of the ratio of their sides.

🎯 Exam Tip: The ratio of surface areas of two similar solids is the square of the ratio of their corresponding linear dimensions.

Question 9. 1.5 मीटर गहरी तथा 30 मीटर चौड़ी एक नहर में 3 किमी/घण्टा की दर से पानी बह रहा है। समुद्र में प्रति मिनट आने वाले पानी का आयतन (मी में) ज्ञात कीजिए।
हलः पानी का आयतन = \( l \times b \times h \)
\( \implies \) 60 मिनट में पानी की लम्बाई \( l = 3000 \) मी
\( \implies \) 1 मिनट में पानी की लम्बाई \( l = \frac{3000}{60} \) मी
= \( \frac{3000}{60} \times 30 \times 1.5 = 2250 \) मी\(^3\)
Answer: 2250 मी\(^3\)
In simple words: To find the volume of water flowing per minute, we calculate the length of water flow in one minute and then multiply it by the canal's width and depth.

🎯 Exam Tip: Ensure consistent units (e.g., all meters, all minutes) when calculating flow rates and volumes. Convert km/hr to m/min as needed.

Question 10. एक झरने में 5 सेमी वर्षा होती है। 2 हेक्टेयर क्षेत्र में पड़ने वाले मानी का कुल आयतन (मी में) ज्ञात कीजिए।
हलः
Answer: The problem is incomplete as the solution steps are not provided. The volume would be calculated by multiplying the area (2 hectares converted to m\(^2\)) by the rainfall depth (5 cm converted to m).
In simple words: The total volume of rainwater is found by multiplying the area of the land by the depth of rainfall, ensuring all units are consistent (e.g., cubic meters).

🎯 Exam Tip: Remember unit conversions: 1 hectare = 10,000 m\(^2\), and 1 cm = 0.01 m. This is crucial for correct volume calculations.

Exercise 18.2 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 11. 6 सेमी भुजा के दो घनों को फलक-दर-फलक मिलाया जाता है। इस प्रकार बने घनाभ का आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः दो घनों को मिलाने पर बने घनाभ की लम्बाई \( l = 12 \) सेमी
\( b = 6 \) सेमी
\( h = 6 \) सेमी
घनाभ का आयतन = \( l \times b \times h = 12 \times 6 \times 6 = 432 \) सेमी
Answer: 432 सेमी\(^3\)
In simple words: When two identical cubes are joined face-to-face, the resulting shape is a cuboid where only the length is doubled, while the breadth and height remain the same as the original cube's side. The volume is then calculated as length × breadth × height.

🎯 Exam Tip: When combining solids, visualize the new dimensions carefully. For two cubes, only one dimension (length or breadth or height, depending on how they are joined) changes, usually doubling.

Question 12. एक घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 294 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।
हलः घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 294
\( 6a^2 = 294 \)
\( a^2 = \frac{294}{6} = 49 \)
\( a = 7 \) सेमी
घन का आयतन = \( a^3 = (7)^3 = 343 \) सेमी\(^3\)
Answer: 343 सेमी\(^3\)
In simple words: First, use the total surface area to find the side length of the cube. Then, calculate the volume by cubing the side length.

🎯 Exam Tip: Double-check your calculations for square roots and cube roots, as a small error can propagate through the solution.

Question 13. एक सिनेमा हॉल की विमाएं 100 मी \( \times \) 50 मी \( \times \) 18 मी है। यदि एक व्यक्ति को 150 मी\(^3\) हवा की आवश्यकता है तो सिनेमा हॉल में कुल कितने व्यक्ति बैठ सकते हैं।
हल:
सिनेमा हाल का आयतन = \( 100 \times 50 \times 18 \) मी\(^3\)
1 व्यक्ति को आवश्यक हवा = 150 मी\(^3\)
\[ \text{व्यक्तियों की सँख्या} = \frac{\text{सिनेमा हॉल का आयतन}}{\text{1 व्यक्ति को आवश्यक हवा}} \]
\[ = \frac{100 \times 50 \times 18}{150} = 600 \]
Answer: 600
In simple words: To find the number of people a hall can accommodate based on air requirement, calculate the total volume of the hall and divide it by the volume of air required per person.

🎯 Exam Tip: Always calculate the total volume first. Ensure that the units for the hall's volume and individual air requirement are the same.

Question 14. एक गोदाम की विमाएँ 30 मी \( \times \) 25 मी \( \times \) 8 मी है। 2 मी \( \times \) 1.25 मी \( \times \) 0.4 मी विमा वाली कितनी लकड़ी की पेटी इसमें रखी जा सकती है ?
हलः
\[ \text{लकड़ी की पेटियों की सँख्या} = \frac{\text{गोदाम का आयतन}}{\text{1 पेटी का आयतन}} \]
\[ = \frac{30 \times 25 \times 8}{2 \times 1.25 \times 0.4} \]
\[ = \frac{30 \times 25 \times 80 \times 100}{2 \times 125 \times 4} = 6000 \]
Answer: 6000
In simple words: The number of boxes that can fit into a godown is found by dividing the total volume of the godown by the volume of a single box.

🎯 Exam Tip: Make sure all dimensions are in the same units before calculating volumes. Simplification of fractions can make calculations easier.

Question 15. एक आयताकार ठोस घनाभ जिसका आयतन \( V \) है के तीन लगातार फलकों के क्षेत्रफल \( A, B \) व \( C \) हैं। सिद्ध कीजिए कि \( V^2 = ABC \)
हलः
माना घनाभ की विमाएँ \( l, b, h \) हैं।
\( lb = A \)
\( bh = B \)
\( hl = C \)
आयतन \( V = l \times b \times h \)
वर्ग करने पर
\( V^2 = (l \times b \times h)^2 \)
\( V^2 = l^2 b^2 h^2 \)
\( V^2 = (lb)(bh)(hl) \)
\( V^2 = A \times B \times C \)
\( \implies V^2 = ABC \)
Answer: \( V^2 = ABC \) (सिद्ध हुआ)
In simple words: The square of the volume of a cuboid is equal to the product of the areas of its three adjacent faces. This relationship arises because multiplying the three face areas gives \( l^2b^2h^2 \), which is exactly \( V^2 \).

🎯 Exam Tip: For proof-based questions, clearly define your variables and show each step of the algebraic manipulation to connect the given information to the required proof.

Question 16. 25 मी \( \times \) 9.8 मी के आकार के एक कमरे में 100 व्यक्ति सो सकते हैं। यदि एक व्यक्ति को 12.25 मी\(^3\) हवा की आवश्यकता होती है तो कमरे की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हलः
100 व्यक्तियों को सोने के लिए आवश्यक हवा = \( 100 \times 12.25 = 1225 \) मी\(^3\)
कमरे का आयतन = 100 व्यक्तियों को आवश्यक हवा = 1225 मी\(^3\)
माना कमरे की लम्बाई = \( L \)
कमरे का आयतन = \( L \times 25 \times 9.8 \)
\( L \times 25 \times 9.8 = 1225 \)
\[ L = \frac{1225}{25 \times 9.8} \]
\[ L = \frac{12250}{25 \times 98} = \frac{12250}{2450} = 5 \]
कमरे की लम्बाई = 5 मी
Answer: 5 मी
In simple words: The total air volume required for 100 people is calculated, which then equals the room's total volume. Dividing this total volume by the known breadth and height gives the length of the room.

🎯 Exam Tip: Ensure that all given values and calculated values are in consistent units (e.g., all in meters) before performing multiplication or division.

Question 17. एक घन का आयतन 1000 सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हलः घन का आयतन = 1000 सेमी\(^3\)
\( a^3 = 1000 = (10)^3 \)
\( a = 10 \) सेमी
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 6 \times a^2 = 6 \times (10)^2 \)
= \( 6 \times 100 = 600 \) सेमी\(^2\)
Answer: 600 सेमी\(^2\)
In simple words: Use the given volume of the cube to find its side length, then use the side length to calculate the total surface area.

🎯 Exam Tip: Be sure to take the correct cube root to find the side length from the volume, and then square it accurately for the surface area calculation.

Question 18. 18 मी \( \times \) 12 मी \( \times \) 9 मी के आकार के घनाभ से 3 मी भुजा वाले कितने घन काटे जा सकते हैं?
हलः
घनाभ का आयतन = \( 18 \times 12 \times 9 \) मी\(^3\)
\[ \text{घनों की सँख्या} = \frac{\text{घनाभ का आयतन}}{\text{1 घन का आयतन}} \]
\[ = \frac{18 \times 12 \times 9}{(3)^3} \]
\[ = \frac{18 \times 12 \times 9}{3 \times 3 \times 3} = 72 \]
Answer: 72
In simple words: To find how many smaller cubes can be cut from a larger cuboid, divide the volume of the cuboid by the volume of one small cube.

🎯 Exam Tip: Ensure that the dimensions of both the cuboid and the smaller cubes are in the same units before calculating volumes.

Exercise 18.2 Surface Area And Volume Of A Cube, Cuboid And Right Circular Cylinder दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 19. आयताकार रूप के खेती के एक प्लाट की विमाएँ 240 मी \( \times \) 180 मी है। इसके चारों ओर 10 मीटर चौड़ा एक गड्डा खोदा गया है। तथा इसमें से निकली मिट्टी को समान रूप से प्लाट में फैलाया जाता है। जिससे उसकी सतह का स्तर 25 सेमी बढ़ जाता है। गड्ढे की गहराई ज्ञात कीजिए ।
हलः
मिट्टी के पड़ने से प्लाट की मिट्टी का आयतन = \( 240 \times 180 \times 0.25 \) मी\(^3\)
गढ्ढे का क्षेत्रफल = \( 260 \times 200 - 240 \times 180 \)
= \( 52000 - 43200 = 8800 \) मी\(^2\)
\[ \text{गढ्ढे की गहराई} = \frac{\text{मिट्टी का आयतन}}{\text{गढ्ढे का क्षेत्रफल}} \]
\[ = \frac{240 \times 180 \times 25}{8800 \times 100} \]
\[ = \frac{27}{22} = 1.227 \] मी
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक आयताकार भूखंड के चारों ओर खोदे गए गड्ढे की 10 मीटर चौड़ाई को दर्शाता है। इससे गड्ढे के बाहरी और भीतरी आयामों के बीच का अंतर स्पष्ट होता है।
Answer: 1.227 मी
In simple words: The volume of soil removed from the pit is spread over the remaining plot area. By equating the volume of excavated soil to the volume of raised soil (area of plot × height raised), we can find the depth of the pit. The area over which the soil is spread is the area of the plot excluding the pit, while the area of the pit itself is the difference between the outer and inner rectangles formed by the pit.

🎯 Exam Tip: Carefully convert all units to be consistent (e.g., cm to m). When dealing with trenches around a plot, the outer dimensions of the trench area will be larger than the plot dimensions by twice the trench width.

Question 20. एक आयताकार टैंक की आधार पर विमायें 225 मी \( \times \) 162 मी है। 60 सेमी \( \times \) 45 सेमी की विमा के एक पाईप से टैंक के अन्दर किस दर से पानी डाला जाये जिससे 5 घण्टे में इसमें पानी का स्तर 20 सेमी बढ़ जाये।
हलः
माना आयताकार टैंक में पानी की ऊँचाई = 20 सेमी = \( 0.2 \) मीटर
माना आयताकार टैंक में पानी का आयतन = \( 225 \times 162 \times 0.2 \) मी\(^3\)
पाइप द्वारा 1 घण्टे में डाले गये पानी का आयतन = \( \frac{60 \times 45 \times h}{5} \) (यहां \( h \) पाइप से पानी की गति है)
\[ \frac{0.60 \times 0.45 \times h}{5} = 225 \times 162 \times 0.2 \]
\[ h = \frac{225 \times 162 \times 0.2 \times 5}{0.60 \times 0.45} \]
\[ = 135000 \] मी/घण्टा
Answer: 135000 मी/घण्टा
In simple words: Calculate the total volume of water needed to raise the tank's level. This volume must be supplied by the pipe over the given time. By equating the total volume needed to the volume supplied by the pipe (flow rate × time), we can find the flow rate of the water.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to unit consistency (meters for length, hours for time, etc.) throughout the problem, especially when dealing with flow rates and volumes.

Question 21. 8 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा तथा 3 मीटर गहरा, एक घनाभकार गड्डा खुदवाने में Rs.30 प्रति मी की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
हलः
घनाभकार गड्ढे का आयतन = \( l \times b \times h = 8 \times 6 \times 3 = 144 \) मी\(^3\)
घनाभकार गड्डा खुदवाने में कुल खर्च = \( 144 \times 30 = \text{Rs.} 4320 \)
Answer: Rs. 4320
In simple words: First, calculate the volume of the cuboidal pit. Then, multiply this volume by the cost per cubic meter to find the total excavation cost.

🎯 Exam Tip: Always calculate the total volume that needs to be excavated first. Then multiply by the given rate per unit volume to find the total cost.

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