UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.4

Exercise 13.4 Quadrilateral अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 1. किसी आयत के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए। हलः आयत का प्रत्येक कोण 90° होता है।
Answer: आयत का प्रत्येक कोण 90° होता है।
In simple words: An angle in a rectangle is always 90 degrees.

🎯 Exam Tip: Remember the fundamental property that all interior angles of a rectangle are right angles (90 degrees) for easy scoring.

Question 2. वर्ग की चारों भुजाओं में निम्न में से कौन-सा सम्बन्ध है?
(a) असमान
(b) समान
(c) दो समान हैं
(d) इनमें से कोई नहीं हलः वर्ग की चारों भुजाएँ समान होती हैं। अतः विकल्प
(b) सही है।
Answer: (b) समान
In simple words: All four sides of a square are equal in length.

🎯 Exam Tip: For squares, recall that all sides are equal, which is a key characteristic distinguishing them from other quadrilaterals.

Question 3. समबाहु त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बना त्रिभुज कौन-सा त्रिभुज होता है? हलः समबाहु △ की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है।
Answer: समबाहु त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक समबाहु त्रिभुज बनता है।
In simple words: Connecting the midpoints of an equilateral triangle's sides forms another equilateral triangle.

🎯 Exam Tip: This question tests understanding of the midpoint theorem applied to an equilateral triangle, leading to a similar equilateral triangle.

Question 4. एक समान्तर चतुर्भुज में यदि विकर्ण बराबर तथा परस्पर लम्ब हों तो यह किस प्रकार का त्रिभुज होगा? हलः वह समान्तर चतुर्भुज में जिसमें विकर्ण समान लम्बाई के तथा एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, वह वर्ग होता है।
Answer: वह समान्तर चतुर्भुज जिसमें विकर्ण समान लम्बाई के तथा एक दूसरे के लम्बवत् होते हैं, वह वर्ग होता है।
In simple words: A parallelogram with equal and perpendicular diagonals is a square.

🎯 Exam Tip: This identifies a square based on the properties of its diagonals: equal length and perpendicular bisection.

Question 5. समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ होती हैं-
(a) समान्तर
(b) बराबर
(c) (a) व
(b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं हलः समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएं समान तथा समान्तर होते हैं। अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) (a) व (b) दोनों
In simple words: In a parallelogram, opposite sides are both parallel and equal in length.

🎯 Exam Tip: Recall the definition of a parallelogram; opposite sides being both parallel and equal is a core property.

Question 6. निम्न में से किसमें विकर्ण परस्पर लम्बवत् होते हैं?
(a) आयत
(b) समचतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हल: आयत में विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) आयत
In simple words: In a rectangle, the diagonals are perpendicular to each other.

🎯 Exam Tip: This question tests the specific property of diagonals being perpendicular, which applies to squares and rhombuses, but also to rectangles if they are squares. In this context, option (a) rectangle is chosen, implying that the options are mutually exclusive or that the *most specific* figure where this is always true (a square) isn't an option, or there's a slight error in the given answer for a general rectangle (diagonals of a general rectangle are equal, not necessarily perpendicular unless it's a square). Re-evaluating: Diagonals are perpendicular in a rhombus and a square. They are equal in a rectangle and a square. The question asks *in which* are they perpendicular. Rhombus and Square fit. If option (a) means a general rectangle, then its diagonals are *not* necessarily perpendicular. Let's assume the question implicitly refers to a square which is a type of rectangle. However, if 'rhombus' (समचतुर्भुज) is an option, it's a better fit for 'perpendicular diagonals'. The provided answer states (a) आयत (rectangle). This is incorrect unless the rectangle is also a square. Let's re-state based on provided answer but add a clarification for the student.
In simple words: Diagonals are perpendicular in a rhombus and a square. A rectangle's diagonals are equal, but only perpendicular if it's a square. The given answer states rectangle.

🎯 Exam Tip: Be careful with properties; diagonals are perpendicular in a rhombus and a square. They are equal in a rectangle and a square. A general rectangle does not have perpendicular diagonals.

Question 7. △ABC में, यदि AD माध्यिका व E, AD का मध्य बिन्दु है। BE को मिलाया तथा ऐसे बढ़ाया कि यह AC को F पर प्रतिच्छेद करती है तब AF का मान ज्ञात कीजिए । हल: \( A F=\frac{1}{6} A C \)
Answer: \( A F=\frac{1}{6} A C \)
In simple words: In a triangle, if AD is a median and E is the midpoint of AD, extending BE to intersect AC at F results in AF being one-sixth of AC. This is a result often derived using Ceva's theorem or vector methods.

🎯 Exam Tip: This problem involves Ceva's Theorem or Menelaus' Theorem, or by applying midpoint theorem multiple times in a triangle setup to find ratios of line segments.

Question 8. समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनने वाली आकृति है (NCERT Exemplar)
(a) समचतुर्भुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) इनमें से कोई नहीं हलः समचतुर्भुज के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर आयत बनता है। अतः विकल्प
(b) सही है।
Answer: (b) आयत
In simple words: When the midpoints of the sides of a rhombus are joined, the resulting figure is a rectangle.

🎯 Exam Tip: Know the Midpoint Theorem applications: joining midpoints of a rhombus forms a rectangle; joining midpoints of a rectangle forms a rhombus.

Question 9. वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनने वाला चतुर्भुज है-
(a) वर्ग
(b) आयत
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हलः वर्ग के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर बना चतुर्भुज वर्ग होता है। अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) वर्ग
In simple words: Joining the midpoints of the sides of a square results in another square.

🎯 Exam Tip: This is a specific application of the midpoint theorem. Remember that a square's midpoints form another square.

Question 10. समान्तर चतुर्भुज में यदि एक कोण 90° है तो यह है एक-
(a) समचतुर्भुज
(b) आयत
(c) वर्ग
(d) इनमें से कोई नहीं हलः यदि समान्तर चतुर्भुज का एक कोण 90° है तो समान्तर चतुर्भुज एक आयत होगा। अतः विकल्प
(b) सही है ।
Answer: (b) आयत
In simple words: If a parallelogram has one angle equal to 90 degrees, it must be a rectangle.

🎯 Exam Tip: A parallelogram with one right angle automatically means all its angles are right angles, fulfilling the definition of a rectangle.

Question 11. एक समचतुर्भुज का एक कोण यदि 90° है तो यह है एक-
(a) समलम्ब चतुर्भुज
(b) वर्ग
(c) आयत
(d) इनमें से कोई नहीं हलः यदि किसी समचतुर्भुज का एक कोण 90° है तो वह वर्ग होगा। अतः विकल्प
(b) सही है।
Answer: (b) वर्ग
In simple words: A rhombus with one angle equal to 90 degrees must be a square.

🎯 Exam Tip: A rhombus already has all sides equal. Adding a right angle makes all angles right angles, thus satisfying the definition of a square.

Question 12. निम्न में से किसमें सभी चारों भुजाएँ बराबर होगी ?
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) (a) व
(b) दोनों
(d) इनमें से कोई नहीं हलः वर्ग तथा समचतुर्भुज की चारों भुजाएं समान होती हैं। अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) (a) व (b) दोनों
In simple words: Both a square and a rhombus have all four of their sides equal in length.

🎯 Exam Tip: Remember that "all sides equal" is the defining characteristic of both a rhombus and a square.

Exercise 13.4 Quadrilateral लघु उत्तरीय प्रश्न (Short Answer Type Questions)

Question 13. सिद्ध कीजिए कि यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं, तब यह एक समचतुर्भुज होता हलः ज्ञात हैः एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD बराबर हैं।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके विकर्ण AC और BD हैं जो केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु D शीर्ष पर है, C दाहिने शीर्ष पर है, A निचले-बाएँ शीर्ष पर है और B निचले-दाएँ शीर्ष पर है। सिद्ध करना है: ABCD एक आयत है उपपत्तिः △ABC तथा △DCB में; AB = CD (समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजाएँ) BC (उभयनिष्ठ भुजा) AC = BD (ज्ञात है) अतः ∆ABC = ∆DCB \( \implies \) ∠ABC = ∠DCB समान्तर चतुर्भुज ABCD में तिर्यक रेखा BC के एक की ओर स्थित ∠ABC तथा ∠DCB का योगफल 180° होगा। \( \implies \) ∠ABC + ∠DCB = 180° समान्तर चतुर्भुज का प्रत्येक कोण समकोण होता है। ∠ABC = 90° ( \( \implies \) ∠ABC = ∠DCB) \( \implies \) ABCD समचतुर्भुज है।
In simple words: If a parallelogram has equal diagonals, it is a rectangle. The solution in the OCR seems to be mixing properties (perpendicular vs. equal diagonals). For a parallelogram with perpendicular diagonals, it's a rhombus. The OCR's solution proves it's a rectangle if diagonals are equal. I will follow the provided solution as is.

🎯 Exam Tip: Carefully distinguish between the properties of diagonals: equal length implies a rectangle, perpendicular implies a rhombus, and both (equal and perpendicular) imply a square.

Question 14. सिद्ध कीजिए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजक हैं तो वह एक समचतुर्भुज होता हलः ज्ञात है: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD एक-दूसरे पर लम्ब हैं।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके विकर्ण AC और BD हैं जो केंद्र O पर प्रतिच्छेद करते हैं। शीर्ष D ऊपर बाईं ओर है, C ऊपर दाईं ओर, A नीचे बाईं ओर और B नीचे दाईं ओर। विकर्ण केंद्र O पर एक-दूसरे को काटते हैं। सिद्ध करना है: ABCD एक समचतुर्भुज है। उपपत्तिः माना विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं। समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। समान्तर चतुर्भुज ABCD में, OA = OC ∆AOD तथा △COD में, OA = OC (अभी सिद्ध किया है) ∠AOD = ∠COD (प्रत्येक समकोण) OD उभयनिष्ठ अतः △AOD \( \implies \) △COD अतः ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी क्रमागत भुजाएँ AD,CD बराबर हैं। अतः ABCD एक समचतुर्भुज है।
In simple words: If a quadrilateral's diagonals bisect each other at right angles, then the quadrilateral is a rhombus. This is because the triangles formed by the diagonals and sides become congruent, making adjacent sides equal.

🎯 Exam Tip: This is a standard proof using congruence of triangles. When diagonals bisect each other perpendicularly, adjacent sides of the quadrilateral become equal, fulfilling the rhombus definition.

Question 15. सिद्ध कीजिए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण बराबर तथा समकोण पर समद्विभाजित हैं तो वह एक वर्ग होता है। हलः ज्ञात है: एक समान्तर चतुर्भुज ABCD जिसके विकर्ण AC एवं BD बराबर हैं तथा एक दूसरे पर लम्ब हैं। सिद्ध करना है: ABCD एक वर्ग है। उपपत्तिः माना विकर्ण AC व BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं। समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। समान्तर चतुर्भुज ABCD में | OB = OD ... (1)
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को बिंदु O पर काटते हैं। D शीर्ष पर बाईं ओर है, C शीर्ष पर दाईं ओर, A निचले-बाईं ओर और B निचले-दाईं ओर। △AOB तथा △AOD में, A0 उभयनिष्ठ ∠AOB = ∠AOD (प्रत्येक समकोण) OB =OD [समी॰ (1) से] अतः ∆AOB \( \implies \) ∆AOD परन्तु समान्तर चतुर्भुज ABCD की सम्मुख भुजायें होने के कारण AB = CD तथा AD = BC ... (3) समीकरण (2) तथा (3) से, AB = BC = CD = AD ... (4) अब △ABD तथा △BAC में, AB उभयनिष्ठ AD = BC [समी० (4) से] BD = AC (ज्ञात है) \( \implies \) △ABD = ∆BAC \( \implies \) ∠DAB = ∠CBA \( \implies \) ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। \( \implies \) सम्मुख भुजाएं AD एवं BC एक दूसरे के समान्तर हैं। \( \implies \) AD तथा BC एक दूसरे के समान्तर हैं उन्हें तिर्यक रेखा AB क्रमशः A व B पर काटती हैं। \( \implies \) तिर्यक रेखा AB के एक ही ओर स्थित अन्त:कोणों ∠DAB और ∠CBA का योग 180° होता है। ∠DAB + ∠CBA = 180° ... (6) समीकरण (5) व (6) से, ∠DAB + ∠CBA = 90° ...(7) \( \implies \) समीकरण (4) व (7) से प्रदर्शित होता है कि ABCD एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है। जिसकी सभी भुजाएं बराबर तथा प्रत्येक कोण समकोण है। अत: ABCD एक वर्ग है।
In simple words: A quadrilateral whose diagonals are equal and bisect each other at right angles is a square. This is proved by showing that all sides are equal and all angles are 90 degrees.

🎯 Exam Tip: A square is the only quadrilateral with diagonals that are both equal in length and bisect each other perpendicularly. This combines the properties of a rectangle (equal diagonals) and a rhombus (perpendicular diagonals).

Question 16. त्रिभुज ABC की माध्यिका AD को X की ओर बढ़ाते हैं तो AD = DX तो सिद्ध कीजिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है। हलः ज्ञात है: △ABC में माध्यिका AD को बिन्दु X तक बढ़ाया गया है जिससे AD = DX सिद्ध करना है: ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है। रचना: BX तथा XC को मिलाया । उपपत्तिः BD = DC △ABD तथा △ADC में,
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें शीर्ष A ऊपर है, B नीचे बाईं ओर और C नीचे दाईं ओर। AD माध्यिका है, जिसमें D BC का मध्यबिंदु है। AD को X तक बढ़ाया गया है ताकि AD = DX हो। X D के नीचे है। BX और XC खींचे गए हैं। AD = DX (ज्ञात है) BD = DC (ज्ञात है) ∠ADB = ∠ADC (प्रत्येक समकोण) अतः ∆ABD = ∆ADC AB = CX इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि BX = AC इसलिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
In simple words: If the median AD of a triangle ABC is extended to X such that AD = DX, then ABXC forms a parallelogram. This is because the diagonals AX and BC bisect each other.

🎯 Exam Tip: If the diagonals of a quadrilateral bisect each other, then it is a parallelogram. This property is key here.

Question 17. त्रिभुज ABC में E व F क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं। BC पर एक शीर्ष लम्ब AP है। जो EF को बिन्दु Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए AQ = PQ हल:
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है। शीर्ष A ऊपर है, B बाईं ओर और C दाईं ओर। E AB का मध्यबिंदु है और F AC का मध्यबिंदु है। AP BC पर एक शीर्ष लम्ब है, जो P पर BC को प्रतिच्छेद करता है। रेखा EF खींची गई है जो AP को Q पर प्रतिच्छेद करती है।
In simple words: In a triangle ABC, if E and F are midpoints of AB and AC respectively, and AP is an altitude to BC intersecting EF at Q, then AQ = PQ. This implies Q is the midpoint of AP.

🎯 Exam Tip: This problem utilizes the Midpoint Theorem. EF is parallel to BC and half its length. The property AQ = PQ suggests Q is the midpoint of AP, which can be shown by applying converse of midpoint theorem or similar triangles.

Exercise 13.4 Quadrilateral दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)

Question 18. ABCD एक समचतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC, ∠A व ∠C को तथा विकर्ण BD, ∠B व ∠D को समद्विभाजित करते हैं। हलः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं जो चतुर्भुज के केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं। ज्ञात है: ABCD एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD हैं। सिद्ध करना है: ∠BAC = ∠DAC तथा ∠ACB = ∠ACD तथा ∠ABD = ∠DBC तथा ∠ADB = ∠BDC उपपत्तिः △ABC तथा △ADC में, AB = DC (समचतुर्भुज की भुजाएँ) BC = AD (समचतुर्भुज की भुजाएँ) AC उभयनिष्ठ अतः △ABC \( \implies \) ∆ADC \( \implies \) ∠BAC = ∠CAD तथा ∠BCA = ∠ACD इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि ∠ABD = ∠DBC तथा ∠ADB = ∠BDC
In simple words: In a rhombus, the diagonals bisect the angles at the vertices. This is proven by showing the congruence of triangles formed by the diagonal, which implies the angles are divided equally.

🎯 Exam Tip: This is a key property of rhombuses. The proof relies on SSS congruence for triangles formed by the diagonal and adjacent sides, leading to equal corresponding angles.

Question 19. सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं। हलः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज S P Q R को दर्शाता है। शीर्ष S ऊपर बाईं ओर है, R ऊपर दाईं ओर, Q नीचे दाईं ओर और P नीचे बाईं ओर। चतुर्भुज के केंद्र में D, A, B, C बिंदु हैं। विकर्ण PR और SQ खींचे गए हैं जो केंद्र में O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ज्ञात है: A,B,C,D क्रमश: PQ, QR, RS तथा SP के मध्य बिन्दु हैं। AC तथा BD बिन्दु O पर अन्तःखण्ड खींचे गये हैं। सिद्ध करना है: AO = CO तथा DO = OB रचनाः AB, BC, CD तथा DA को मिलाया । उपपत्तिः △PQR में, A, B PQ तथा QR के मध्य बिन्दु हैं। AB||PR △PSR में, DC||PR समी० (1) व (2) से AB||DC तथा AB = DC समान्तर चतुर्भुज ABCD में, AO = CO तथा DO = BO
In simple words: The line segments joining the midpoints of opposite sides of a quadrilateral bisect each other. This implies that the figure formed by joining the midpoints is a parallelogram, whose diagonals bisect each other.

🎯 Exam Tip: This is a direct consequence of the Midpoint Theorem. Joining the midpoints of the sides of any quadrilateral forms a parallelogram, and the diagonals of a parallelogram bisect each other.

Question 20. ABCD एक समचतुर्भुज है तथा P, Q,R व S क्रमश: AB, BC, CD व DA के मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध कीजिए कि PQRS एक आयत है । हल: △ABC में P तथा Q, AB व BC के मध्य बिन्दु हैं। AC को मिलाया।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज D C B A को दर्शाता है। D ऊपरी-बाएँ, C ऊपरी-दाएँ, B निचले-दाएँ और A निचले-बाएँ हैं। भुजाओं के मध्यबिंदु S (DA पर), R (DC पर), Q (CB पर) और P (AB पर) हैं। इन मध्यबिंदुओं को जोड़कर PQRS चतुर्भुज बनाया गया है। विकर्ण AC खींचा गया है, और कोण 1, 2, 3, 4 चिह्नित हैं। इसी प्रकार △ADC में R तथा S,CD तथा DA के मध्य बिन्दु हैं। समी० (1) व (2) से PQ|| RS तथा PQ = SR चतुर्भुज PQRS में, PQ तथा SR समान तथा समान्तर हैं। \( \implies \) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। \( \implies \) AB, BC समचतुर्भुज की भुजाएं हैं। \( AB = BC \) \( \implies \frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} B C \) \( PB = BQ \) \(
\( \implies \) \( \angle 3 = \angle 4 \) अतः ∆APS तथा ACQR में, \( AP = CQ \) \( AS = CR \) \( PS = QR \) \( \implies \) AAPS \( \implies \) ACQR \( \implies \) \( \angle 1 = \angle 2 \) परन्तु \( \angle 1 + \angle SPQ + \angle 3 = \angle 180^{\circ} \) \( \angle 1 = \angle 2 \) तथा \( \angle 3 = \angle 4 \) अब SP|| RQ तथा PQ उन्हें P तथा Q पर काटती है। \( \angle SPQ + \angle PQR = 180^{\circ} \) \( \implies \) प्रत्येक \( \angle SPQ = \angle PQR = 90^{\circ} \) \( \implies \) PQRS एक आयत है।
In simple words: When the midpoints of the sides of a rhombus are joined sequentially, the resulting figure is a rectangle. This is proven using the Midpoint Theorem and properties of a rhombus, showing that the inner figure is a parallelogram with all angles being 90 degrees.

🎯 Exam Tip: This proof involves showing that the inner quadrilateral (PQRS) is a parallelogram and then demonstrating that one of its angles is 90 degrees, making it a rectangle. The key is to use the midpoint theorem for parallelism and half-length, and properties of a rhombus (perpendicular diagonals) to establish the right angle.

Question 21. सिद्ध कीजिए कि यदि चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है। हलः दिया है: \( \angle A = \angle C \) ... (1) \( \angle B = \angle D \) ... (2) \( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ} \) \( \angle A + \angle B + \angle A + \angle B = 360^{\circ} \) \( 2(\angle A + \angle B) = 360^{\circ} \) \( \implies \angle A + \angle B = \frac{360^{\circ}}{2} = 180^{\circ} \) इसी प्रकार \( \angle C + \angle D = 180^{\circ} \) जिस चतुर्भुज के क्रमागत अन्तः कोणों का योग 180° होता है तब वह चतुर्भुज समान्तर चतुर्भुज होता है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं।
In simple words: If the opposite angles of a quadrilateral are equal, then it is a parallelogram. This is proven by showing that consecutive angles sum to 180 degrees, implying parallel sides.

🎯 Exam Tip: A quadrilateral is a parallelogram if either its opposite sides are parallel, opposite sides are equal, opposite angles are equal, or diagonals bisect each other. This question focuses on the opposite angles property.

Exercise 13.4 Quadrilateral इतिसिद्धम् बहविकल्पीय प्रश्न (Multiple Choice Questions)

Question 1. एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति है एक- (a) आयत (b) वर्ग (c) समान्तर चतुर्भुज (d) इनमें से कोई नहीं हलः एक आयत । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) आयत
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसमें शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ, D ऊपरी-बाएँ हैं। इसकी आसन्न भुजाओं के मध्यबिंदुओं E, F, G, H को जोड़कर एक नया चतुर्भुज EFGH बनाया गया है। E AB पर, F BC पर, G CD पर और H DA पर है।
In simple words: The figure formed by joining the midpoints of adjacent sides of a rhombus is a rectangle.

🎯 Exam Tip: Remember the midpoint theorem's specific application: a rhombus's midpoints form a rectangle, and a rectangle's midpoints form a rhombus.

Question 2. एक वर्ग की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति है, एक-
(a) आयत
(b) वर्ग
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हलः वर्ग । अतः विकल्प
(b) सही है।
Answer: (b) वर्ग
In simple words: The figure formed by joining the midpoints of adjacent sides of a square is another square.

🎯 Exam Tip: Joining the midpoints of a square always results in another square, rotated by 45 degrees relative to the original.

Question 3. यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं तब आकृति है एक-
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हलः समचतुर्भुज । अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) समचतुर्भुज
In simple words: If the diagonals of a quadrilateral bisect each other at right angles, the quadrilateral is a rhombus.

🎯 Exam Tip: This is the defining property of a rhombus: its diagonals are perpendicular bisectors of each other.

Question 4. निम्न में से कौन-सी आकृति के विकर्ण बराबर हैं?
(a) आयत
(b) समान्तर चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हलः आयत । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) आयत
In simple words: Rectangles (and squares, which are a type of rectangle) have diagonals that are equal in length.

🎯 Exam Tip: Recall that equal diagonals are a property of rectangles and squares, while perpendicular diagonals characterize rhombuses and squares.

Question 5. यदि एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के दो आसन्न कोण ∠A = ∠B है, तब समान्तर चतुर्भुज है-
(a) आयत
(b) समलम्ब चतुर्भुज
(c) समचतुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हलः आयत । अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) आयत
In simple words: If two adjacent angles of a parallelogram are equal, then all angles must be 90 degrees, making it a rectangle.

🎯 Exam Tip: In a parallelogram, adjacent angles are supplementary. If they are also equal, then each must be 90 degrees, defining a rectangle.

Question 6. एक समचतुर्भुज की आसन्न भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकति है, एक-
(a) वर्ग
(b) आयत
(c) समचतुर्भुर्भुज
(d) इनमें से कोई नहीं हलः समचतुर्भुज । अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) समचतुर्भुज
In simple words: The figure formed by joining the midpoints of adjacent sides of a rhombus is a rectangle, not a rhombus. The given answer seems incorrect. I will keep the provided answer as per rules, but flag it mentally. If a rhombus's midpoints are joined, it forms a rectangle. If a rectangle's midpoints are joined, it forms a rhombus. It seems the answer may be switched with another problem.

🎯 Exam Tip: Clarify the Midpoint Theorem applications: joining midpoints of a rhombus forms a rectangle, not another rhombus. The provided answer (c) is likely incorrect.

Question 7. यदि एक समलम्ब चतुर्भुज की समान्तर भुजाएँ क्रमशः a और b हैं, तो असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा है- (a) \( \frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2} \) (b) \( \frac{\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}}{2} \) (c) \( \frac{2 a b}{a+b} \) (d) इनमें से कोई नहीं हलः असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा = \( \frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2} \) अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) \( \frac{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}}{2} \)
In simple words: The length of the line segment joining the midpoints of the non-parallel sides of a trapezium is half the sum of the lengths of its parallel sides.

🎯 Exam Tip: This is a direct application of the trapezium midpoint theorem: the median (line joining non-parallel midpoints) is parallel to the bases and its length is the average of the base lengths.

Question 8. समान आधार व समान समान्तर भुजाओं पर दो समान्तर भुजाएं हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात -
(a) 1 : 2
(b) 2 : 1
(c) 1 : 1
(d) इनमें से कोई नहीं हल: 1 : 1 अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) 1 : 1
In simple words: Two parallelograms (or a parallelogram and a triangle) on the same base and between the same parallel lines have equal areas.

🎯 Exam Tip: Remember the theorem that parallelograms on the same base and between the same parallels have equal areas. This leads to a 1:1 ratio.

Question 9. निम्न में से कौन-सा समान्तर चतुर्भुज के लिए सत्य है?
(a) विपरीत भुजाएँ बराबर हैं।
(b) विपरीत कोण बराबर हैं।
(c) विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
(d) सभी सत्य हैं। हलः सभी सत्य हैं। अतः विकल्प
(d) सही है।
Answer: (d) सभी सत्य हैं।
In simple words: All listed properties - opposite sides equal, opposite angles equal, and diagonals bisecting each other - are true for any parallelogram.

🎯 Exam Tip: This question tests a comprehensive understanding of parallelogram properties. All three statements are fundamental characteristics.

Question 10. यदि एक चतुर्भुज के तीन कोणों की माप 56°, 115° और 84° है तब चौथे कोण की माप है।
(a) 105°
(b) 100°
(c) 110°
(d) इनमें से कोई नहीं हलः चतुर्भुज के चारों कोणों का योग 360° होता है। अतः 56+115+ 84+ X = 360° x = 360° – 255 =105° अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 105°
In simple words: The sum of interior angles in any quadrilateral is 360 degrees. To find the fourth angle, subtract the sum of the other three from 360.

🎯 Exam Tip: The angle sum property of a quadrilateral (360 degrees) is fundamental for solving such problems.

Question 11. यदि एक चतुर्भुज के कोण A,B,C और D अनुपात 3:7:6:4 के क्रम में लिये गये हैं तब ABCD है एक- (NCERT Exemplar) (a) समचतुर्भुज (b) समलम्ब चतुर्भुज (c) समान्तर चतुर्भुज (d) इनमें से कोई नहीं हल: 3x +7x+6x +4x = 360° 20x = 360° x = 180 ∠A = 3 × 18 = 54°, ∠B = 7 × 18 = 126°, ∠C = 6 × 18 = 108°, ∠D = 4 × 18 = 72°∠A + ∠B = 180° तथा ∠C + ∠D = 180° अतः विकल्प (b) सही है।
Answer: (b) समलम्ब चतुर्भुज
In simple words: Given the angles in a ratio, find the actual angle measures. If consecutive angles sum to 180 degrees (like A+B and C+D), then it indicates parallel sides, making it a trapezium (समलम्ब चतुर्भुज).

🎯 Exam Tip: Calculate the actual angle values first. Then check for properties like adjacent angles summing to 180 degrees (indicating parallel lines) to classify the quadrilateral.

Question 12. एक चतुर्भुज के तीन कोण 75°, 90° और 75° है। चौथा कोण हैं (NCERT Exemplar)
(a) 60°
(b) 90°
(c) 120°
(d) इनमें से कोई नहीं हलः माना चौथा कोण x° है। तब । 75+ 90 + 75+ x = 360° 240 + x = 360° x = 360°- 240° x = 120° अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) 120°
In simple words: Using the angle sum property of a quadrilateral (360 degrees), subtract the sum of the three given angles from 360 to find the fourth angle.

🎯 Exam Tip: A straightforward application of the angle sum property for quadrilaterals; ensure correct addition and subtraction.

Question 13. एक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 32 सेमी है। यदि छोटी भुजा 6.5 सेमी है तब बड़ी भुजा की माप है
(a) 9.5 सेमी
(b) 9 सेमी
(c) 8.5 सेमी
(d) इनमें से कोई नहीं हलः माना बड़ी भुजा x है, तब परिमाप 32 = 2x + 2 × 6.5 32 = 2x + 13 2x = 32 – 13 \( \implies \) 2x = 19 अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 9.5 सेमी
In simple words: The perimeter of a parallelogram is twice the sum of its adjacent sides. Use the given perimeter and one side to find the other side.

🎯 Exam Tip: The formula for the perimeter of a parallelogram is P = 2(a+b), where 'a' and 'b' are the lengths of adjacent sides.

Question 14. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD में यदि ∠A = 80° और ∠B =
(a) 100°
(b) 120°
(c) 130°
(d) इनमें से कोई नहीं हलः \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \) \( \implies \angle B = 180^{\circ} - \angle A \) \( = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ} \) अतः विकल्प (a) सही है।
Answer: (a) 100°
In simple words: In a parallelogram, consecutive angles are supplementary (add up to 180 degrees). Use this property to find angle B if angle A is given.

🎯 Exam Tip: Remember that adjacent angles in a parallelogram are supplementary, a key property for finding unknown angles.

Question 15. यदि एक समचतुर्भुज ABCD है तब ∠A – ∠C =
(a) 60°
(b) 90°
(c) 0
(d) इनमें से कोई नहीं हलः किसी समचतुर्भुज में यदि ∠A तथा ∠C, समकोण हों, तो ∠A – ∠C = 0 अतः विकल्प
(c) सही है।
Answer: (c) 0
In simple words: In a rhombus, opposite angles are equal. Therefore, the difference between opposite angles (like A and C) is always zero. The condition that A and C are right angles makes it a square, but the property of opposite angles being equal holds for any rhombus.

🎯 Exam Tip: A fundamental property of a rhombus is that its opposite angles are equal. This directly leads to their difference being zero.

Question 16. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण AC और BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि ∠DAC = 34° और ∠AOB = 75° तब ∠DBC = (a) 34° (b) 75° (c) 41° (d) इनमें से कोई नहीं हलः \( \implies \) ∠DAC = 34°
Answer: (c) 41°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠DAC 34° के रूप में और ∠AOB 75° के रूप में चिह्नित है। कोण ∠DBC का मान ज्ञात करना है। A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं। \( AB|| DC \) \( \implies \angle ACB = 34^{\circ} \) (एकान्तर कोण) \( \implies \angle DOC = 75^{\circ} \) (शीर्षाभिमुख कोण) \( \implies \angle COB = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ} \) \( \triangle BOC \) में, \( \angle DBC = 180^{\circ} - (\angle COB + \angle ACB) \) \( = 180^{\circ} - (105^{\circ} + 34^{\circ}) \) \( = 180^{\circ} - 139^{\circ} = 41^{\circ} \) अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: Use properties of parallelograms and triangles. Alternate interior angles are equal for parallel lines. Vertically opposite angles are equal. Sum of angles in a triangle is 180 degrees.

🎯 Exam Tip: This problem combines several geometric concepts: alternate interior angles, vertically opposite angles, and the angle sum property of a triangle. Work step-by-step through the angles.

Question 17. एक समचतुर्भुज ABCD इस प्रकार कि ∠ACB = 40° तब ∠ADB = (NCERT Exemplar)
(a) 50°
(b) 60°
(c) 90°
(d) इनमें से कोई नहीं हल:
Answer: (a) 50°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ, D ऊपरी-बाएँ हैं। विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠ACB 40° है और विकर्णों के प्रतिच्छेद पर 90° का कोण चिह्नित है। \( \implies \angle ACB = 40^{\circ} \) \( \implies \angle COB = 90^{\circ} \) \( \triangle BOC \) में, \( \angle CBO = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 90^{\circ}) \) \( = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \) \( \implies AB|| DC \) \( \implies \angle CBO = \angle ADB = 50^{\circ} \) अतः विकल्प (a) सही है।
In simple words: In a rhombus, diagonals bisect each other perpendicularly. Use angle properties of parallel lines and triangles to find the unknown angle.

🎯 Exam Tip: Remember that diagonals of a rhombus are perpendicular bisectors, forming right-angled triangles. Also, alternate interior angles are equal when parallel lines are cut by a transversal.

Question 18. एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा बनी आकृति है एक-
(a) वर्ग
(b) समचतुर्भुज
(c) समान्तर चतुर्भुज
(d) आयत हलः आयत । अतः विकल्प
(d) सही है।
Answer: (d) आयत
In simple words: The figure formed by the angle bisectors of a parallelogram is always a rectangle.

🎯 Exam Tip: This is a known property: the intersection of angle bisectors of a parallelogram forms a rectangle. Consider the sum of adjacent angles (180°) and their half-sums (90°) to prove right angles.

Question 19. संलग्न चित्र में, एक समचतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि ∠ACB = 50° तब ∠ADB =
(a) 50°
(b) 60°
(c) 40°
(d) इनमें से कोई नहीं
Answer: (c) 40°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसमें A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं जो केंद्र O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠ACB को 50° के रूप में चिह्नित किया गया है। ∠ADB ज्ञात करना है। हलः \( \implies AD || BC \) \( \implies \angle ACB = \angle CAD = 50^{\circ} \) (एकान्तर कोण) \( \implies \angle AOD = 90^{\circ} \) (समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्बवत होते हैं) \( \triangle AOD \) में, \( \angle ADO = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 90^{\circ}) \) \( = 180^{\circ} - 140^{\circ} \) \( = 40^{\circ} = \angle ADB \) अतः विकल्प (c) सही है।
In simple words: In a rhombus, diagonals are perpendicular and opposite sides are parallel. Use these properties along with angle sum of a triangle to find the unknown angle.

🎯 Exam Tip: For rhombuses, remember that diagonals are perpendicular, and opposite sides are parallel. Apply the alternate interior angles rule and triangle angle sum property.

Exercise 13.4 Quadrilateral स्वमल्यांकन परीक्षण (Self Assessment Test)

Question 1. सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली सरल रेखा, समान्तर भुजाओं के अन्य युग्म से समान्तर होती है। हलः · ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है । \( \implies AB||DC \) तथा \( AD|| BC \) (i) \( \implies AB||DC \) व DA व CB तिर्यक रेखा हैं।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं। AB और DC के मध्यबिंदु क्रमशः F और E हैं, जबकि AD और BC के मध्यबिंदु क्रमशः H और G हैं। रेखाखंड EF और GH खींचे गए हैं। मध्य बिन्दुओं E, F को मिलाने वाली रेखा EF के अन्त:खण्ड EM = MF तथा मध्य बिन्दुओं G,H को मिलाने वाली रेखा GH के अन्त:खण्ड GM = MH होंगे। अत: AB||GH|| DC तथा AD|| FE||BC होंगे ।
In simple words: In a parallelogram, the line segment joining the midpoints of one pair of opposite sides is parallel to the other pair of opposite sides. This demonstrates that the resulting figure is also a parallelogram, or that the line segment itself acts as a transversal.

🎯 Exam Tip: This involves applying the Midpoint Theorem in a parallelogram. Identifying pairs of parallel lines is key to the proof.

Question 2. एक समचतुर्भुज PQRS है। विकर्ण PR और QS, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने सभी चार कोण सर्वांगसम हैं। हलः समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा समचतुर्भुज की चारों भुजाएं समान होती हैं । PQ = QR = RS = SP
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज PQRS को दर्शाता है। शीर्ष P ऊपर बाईं ओर, Q ऊपर दाईं ओर, R नीचे दाईं ओर और S नीचे बाईं ओर हैं। विकर्ण PR और QS बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∆POQ, ∆POS, ∆QOR तथा △SOR भुजा-भुजा-भुजा प्रतिबन्ध से सर्वांगसम होंगे।
In simple words: In a rhombus, the diagonals bisect each other perpendicularly. This property, combined with equal sides, makes the four triangles formed by the diagonals and sides congruent by SSS criterion.

🎯 Exam Tip: For a rhombus, use the properties that all sides are equal and diagonals bisect each other perpendicularly. This allows for SSS or SAS congruence of the four triangles formed at the intersection of diagonals.

Question 3. एक चतुर्भुज के कोण 3:5:9 : 13 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। हलः माना चतुर्भुज के कोण = 3x, 5x, 9x, 13x \( \implies \) चतुर्भुज के चारों कोणों का योगफल = 360° 3x + 5x + 9x + 13x = 360° 30x = 360° \( \implies \) चतुर्भुज के कोण = 36°, 60°, 108°, 156°
Answer: चतुर्भुज के कोण = 36°, 60°, 108°, 156°
In simple words: The sum of all angles in a quadrilateral is 360 degrees. Represent the angles using the given ratio and then solve for the common factor to find each angle.

🎯 Exam Tip: Always remember the angle sum property of a quadrilateral (360°) when dealing with angles in ratios. Set up an equation with 'x' to find the individual angle measures.

Question 4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं तथा एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं । हलः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वर्ग ABCD को दर्शाता है। शीर्ष D ऊपरी-बाएँ, C ऊपरी-दाएँ, A निचले-बाएँ और B निचले-दाएँ हैं। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं जो केंद्र में प्रतिच्छेद करते हैं। ज्ञात है: एक वर्ग ABCD जिसके विकर्ण AC तथा BD हैं। सिद्ध करना है: AC = BD तथा \( AC \perp BD \) उपपत्तिः हम जानते हैं कि वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं तथा प्रत्येक कोण समकोण होता है। \( \implies \) वर्ग ABCD में \( AD = BC \) ... (1) तथा \( \angle BAD = \angle ABC = 90^{\circ} \) ... (2) अब ∆ADB तथा ∆BCA में, \( AB = BA \) (उभयनिष्ठ) \( AD = BC \) [समी० (1) से] \( \angle BAD = \angle ABC \) [समी० (2) से] अतः \( \triangle ADB = \triangle ABC \) (SAS सर्वांगसमता से) \( \implies AC = BD \) (CPCT) वर्ग ABCD के विकर्ण AC तथा BD एक दूसरे को बिन्दु O पर काटते हैं। \( \implies \) वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। \( \implies \) वर्ग ABCD में, ∆AOB तथा ∆AOD में, \( OB = OD \) (उभयनिष्ठ) \( AB = AD \) \( OA = OA \) अतः \( \triangle AOB = \triangle AOD \) (SSS सर्वांगसमता से) \( \implies \angle AOB = \angle AOD \) (CPCT) परन्तु \( \angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ} \) (रैखिक युग्म) प्रत्येक \( \angle AOB = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ} \) अतः \( AC \perp BD \) \( \implies AC = BD \) तथा \( AC \perp BD \)
In simple words: To prove a square's diagonals are equal and perpendicularly bisect each other, use congruence of triangles. First, show diagonals are equal (using SAS). Then, show they are perpendicular (using SSS for smaller triangles and linear pair axiom).

🎯 Exam Tip: This is a fundamental proof for the properties of a square's diagonals. Break it down into two parts: proving equality and proving perpendicular bisection, using triangle congruence in each step.

Question 5. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠A को समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि- (i) यह ∠C को भी समद्विभाजित करता है। (ii) ABCD एक समचतुर्भुज है । हलः \( AB||DC \) तथा AC तिर्यक रेखा काटती है। \( \angle 1 = \angle 3 \) (एकान्तर कोण )
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष D ऊपरी-बाएँ, C ऊपरी-दाएँ, A निचले-बाएँ और B निचले-दाएँ हैं। विकर्ण AC खींचा गया है। ∠A के दो भाग ∠1 और ∠2, और ∠C के दो भाग ∠3 और ∠4 चिह्नित हैं। \( AD||BC \) तथा AC तिर्यक रेखा काटती है। \( \angle 2 = \angle 4 \) (एकान्तर कोण) \( \implies AC \), \( \angle A \) का अर्द्धक है। \( \implies \angle 1 = \angle 2 \) \( \implies \angle 3 = \angle 4 \) (उपरोक्त से) \( \implies \) सम्मुख कोण समान हैं तथा ABCD एक समचतुर्भुज है।
In simple words: If a diagonal of a parallelogram bisects one of its angles, it also bisects the opposite angle, and the parallelogram is a rhombus. This is due to alternate interior angles being equal and the property of an angle bisector.

🎯 Exam Tip: This proof relies on alternate interior angles and the definition of an angle bisector. If a parallelogram has a diagonal bisecting an angle, it implies that adjacent sides are equal, making it a rhombus.

Question 6. ABC एक समबाहु त्रिभुज है तथा L,M,N क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं तो दर्शाइये कि △LMN एक समबाहु त्रिभुज है। हलः माना समबाहु △ की भुजा AB = BC = CA = x सेमी \( \implies \) किसी त्रिभुज में दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर तथा उससे आधी होती है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें शीर्ष A ऊपर है, B बाईं ओर और C दाईं ओर। L BC का मध्यबिंदु है, M AC का मध्यबिंदु है, और N AB का मध्यबिंदु है। त्रिभुज LMN इन मध्यबिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है। \( \triangle LMN \) में, \( LM = MN = NL = \frac{X}{2} \) \( \implies \triangle LMN \) भी एक समबाहु होगा।
In simple words: By the Midpoint Theorem, each side of the triangle formed by joining the midpoints of an equilateral triangle is half the length of the corresponding side of the original triangle. Since all sides of the original triangle are equal, all sides of the new triangle will also be equal, making it an equilateral triangle.

🎯 Exam Tip: A direct application of the Midpoint Theorem. If the original triangle is equilateral, the midpoints form another equilateral triangle with half the side length.

Question 7. एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD इस प्रकार है कि AB||CD तथा AD = BC तो दर्शाइए कि (i) ∠A = ∠B (ii) ∠C = ∠D (iii) ∆ABC = ∆BAD (iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD हल: AB को बढ़ाया और C से होकर DA के समान्तर एक रेखा खींची जो बढी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे । \( \implies \) AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें AB || CD। शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं। AD = BC है। भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है, और C से एक रेखा CE खींची गई है जो DA के समानांतर है और E पर AB को काटती है। (i) \( AB || CD \) तथा \( DA || CE \) \( \implies DA = CE \) तथा \( DC = AE \) \( \implies AD = BC \) \( \implies BC = CE \) \( \triangle CBE \) में \( \angle CEB = \angle CBE \) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण) \( 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - \angle ABC \) \( \implies \angle DAB = \angle ABC \) \( \implies \angle A = \angle B \) (ii) \( \angle A + \angle D = 180^{\circ} \) तथा \( \angle B + \angle C = 180^{\circ} \) \( \implies \angle A + \angle D = \angle B + \angle C \) \( \implies \angle D = \angle C \) [ \( \because \angle A = \angle B \) अभी (i) में सिद्ध किया] (iii) ∆ABC तथा ∆BAD में \( AB = BA \) (उभयनिष्ठ) \( \angle B = \angle A \) (अभी सिद्ध किया है) \( BC = BD \) \( \implies \triangle ABC = \triangle BAD \) (SAS सर्वांगसमता से) (iv) \( \implies AC = BD \) (CPCT)
In simple words: For an isosceles trapezium (AD=BC), one can prove that the base angles are equal (∠A=∠B, ∠C=∠D) by extending non-parallel sides or drawing parallels. Then, using SAS congruence, the triangles formed by the diagonals are congruent, proving the diagonals are equal.

🎯 Exam Tip: To prove properties of an isosceles trapezium, construction (like drawing a line parallel to a non-parallel side) is often helpful. This breaks down the trapezium into a parallelogram and a triangle, simplifying the proof.

Question 8. एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर एक चतुर्भुज बनता है। सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत होगा। हलः
Answer: सर्वप्रथम AC को मिलाया। \( \triangle ABC \) में, P तथा Q, AB तथा BC के मध्य बिन्दु है। \( PQ|| AC \) तथा \( PQ = \frac{1}{2} AC \) ... (1) \( \triangle ADC \) में, R तथा S क्रमशः DC तथा AD के मध्य बिन्दु है। \( RS || AC \) तथा \( RS = \frac{1}{2} AC \) ... (2) समी० (1) व (2) से सिद्ध होता है। \( PQ||RS \) तथा \( PQ = RS \) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। \( \implies ABCD \) एक समचतुर्भुज है। \( AB = BC \) \( \implies \frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} B C \) \( PB = BQ \) \( \triangle PBQ \) में, \( \angle 1 = \angle 2 \) समचतुर्भुज ABCD में \( AB = BC = CD = AD \) \( \implies \frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} C D=\frac{1}{2} A D \) \( AP = CQ, CR = AS \) अब ∆APS तथा ∆CQR में, \( AP = CQ \) \( AS = CR \) \( PS = QR \) \( \implies \triangle APS = \triangle CQR \) (SSS कसौटी से) ... (6) अब \( \angle 3 + \angle SPQ + \angle 2 = 180^{\circ} \) ... (7) तथा \( \angle 1 + \angle PQR + \angle 4 = 180^{\circ} \) ... (8) (7) व (8) की तुलना से, \( \implies \angle 3 + \angle SPQ + \angle 2 = \angle 1 + \angle PQR + \angle 4 \) \( \implies \angle SPQ = \angle PQR \) समान्तर रेखाओं SP तथा RQ को तिर्यक रेखा क्रमशः P व Q पर काटती है। \( \implies \angle SPQ + \angle PQR = 180^{\circ} \) \( \implies \angle SPQ + \angle SPQ = 180^{\circ} \) \( \implies \angle SPQ = 90^{\circ} \) \( \implies \) PQRS एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसका \( \angle SPQ = 90^{\circ} \) है अतः PQRS एक आयत है।
In simple words: Joining the midpoints of a rhombus's sides forms a rectangle. This is proven using the Midpoint Theorem to show the inner figure is a parallelogram, and then using the rhombus's perpendicular diagonals to show the parallelogram's angles are 90 degrees.

🎯 Exam Tip: This is a classic Midpoint Theorem application. The key steps are proving PQRS is a parallelogram (using midpoint theorem for parallel and half-length) and then proving one angle is 90 degrees (using properties of rhombus diagonals).

Question 9. एक चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु क्रमश: P, Q, R और है तथा जिसमें AC = BD है तो सिद्ध कीजिए कि PQRS एक समचतुर्भुज है। हलः
Answer: ∆ABC में AB तथा BC के मध्य बिन्दु क्रमशः P व Q है। \( PQ|| AC \) तथा \( PQ = \frac{1}{2} AC \) ... (1) ∆ACD में DC तथा AD के मध्य बिन्दु क्रमशः R व S है। \( RS || AC \) तथा \( RS = \frac{1}{2} AC \) ... (2) समी० (1) व (2) से सिद्ध होता है \( PQ|| RS \) तथा \( PQ = RS \) इसी प्रकार ∆ABD तथा ABCD लेकर सिद्ध कर सकते हैं कि SP तथा SP = RQ ... (4) समी० (3) व (4) से सिद्ध होता है कि PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है परन्तु \( \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2} \) \( \implies \) यह PQRS एक आयत है। समी० (5) से, \( \implies AO = OC \) या \( DO = OB \) (अभी सिद्ध किया है) तथा विकर्ण परस्पर समकोण पर काटते है। \( \triangle ROS \) में \( SO = OQ \) \( RO = RO \) \( \implies \angle ROS = \angle ROQ \) (प्रत्येक समकोण) \( \implies \triangle ROS = \triangle ROQ \) इसी प्रकार \( RS = RQ \) \( \implies RS = SP \) \( \implies PQ = QR = RS = SP \) \( \implies \) PQRS एक समचतुर्भुज है।
In simple words: When the midpoints of a quadrilateral with equal diagonals are joined, the resulting figure is a rhombus. This is proven using the Midpoint Theorem to establish a parallelogram, and then using the equality of diagonals to show that adjacent sides of the parallelogram are equal.

🎯 Exam Tip: This problem connects the Midpoint Theorem with specific properties of quadrilaterals. The key is to first prove PQRS is a parallelogram, and then use AC=BD to prove adjacent sides of PQRS are equal, making it a rhombus.

Question 10. ABCD एक समचतुर्भुज है जिसमें भुजा AB की D से ऊँचाई, AB को समद्विभाजित करती है। तो समचतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए। हलः ∆DAB में \( AM = MB \) \( \implies DM \), ∆ABD की माध्यिका है। \( \implies \) ∆DAB एक समबाहु ∆ है। \( \implies \angle DAB = 60^{\circ} \) तथा \( \angle DCB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \) \( \implies \angle ADC = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ} \) तथा \( \angle ABC = 60^{\circ} \)
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष D ऊपरी-बाएँ, C ऊपरी-दाएँ, A निचले-बाएँ और B निचले-दाएँ हैं। DM एक ऊंचाई है जो AB को M पर प्रतिच्छेद करती है। M AB का मध्यबिंदु है। कोण A, B, C, D ज्ञात करने हैं।
In simple words: If the altitude from a vertex of a rhombus bisects the opposite side, it implies that the triangle formed by that vertex and the side is equilateral. From this, all angles of the rhombus can be determined.

🎯 Exam Tip: The condition that the altitude from D bisects AB implies that triangle ABD is equilateral (since AD=DB and AM is median to AB implies it's also altitude, making it equilateral), hence ∠DAB = 60°. From this, all other angles of the rhombus can be found using properties of a rhombus (opposite angles equal, adjacent angles supplementary).

Question 11. एक समान्तर चतुर्भुज के एक अधिक कोण के शीर्ष से, समान्तर चतुर्भुज की दो ऊँचाइयों के बीच का कोण 60° है। एक समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए। हलः चतुर्भुज DPBC में, \( \angle ABC = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ} + 60^{\circ}) \) \( = 360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ} \) समान्तर चतुर्भुज ABCD में, \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \) \( \angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \) \( \implies \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \) \( \implies \angle D = 120^{\circ} \) \( \implies \angle C = 60^{\circ} \)
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। शीर्ष A निचले-बाएँ, B निचले-दाएँ, C ऊपरी-दाएँ और D ऊपरी-बाएँ हैं। शीर्ष B से AB और BC पर दो ऊँचाइयाँ खींची गई हैं, जो क्रमशः P और Q पर AB और DC को प्रतिच्छेद करती हैं। इन ऊँचाइयों के बीच का कोण 60° है।
In simple words: Given the angle between the two altitudes drawn from an obtuse angle vertex of a parallelogram, we can determine the angles of the parallelogram. The sum of angles in the quadrilateral formed by these altitudes and sides is 360 degrees.

🎯 Exam Tip: The quadrilateral formed by the altitudes and the two sides (DPBC in this case) has angles sum to 360°. Two angles are 90° (altitudes). Use this to find one angle of the parallelogram, and then other angles using parallelogram properties.

Question 12. एक चतुर्भुज ABCD है जिसमें P, Q, R और क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य बिन्दु हैं AC एक विकर्ण है तो दर्शाइए कि- (i) SR||AC और SR = \( \frac{1}{2} \)AC (ii) PQ = SR (iii) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। हलः △ABC में, P तथा Q क्रमशः AB और BC के मध्य बिन्दु है। \( PQ|| AC \) तथा \( PQ = \frac{1}{2} AC \) ... (1) ∆ADC में. R तथा S क्रमश: CD और AD के मध्य बिन्द \( RS || AC \) तथा \( RS = \frac{1}{2} AC \) ... (2) समी० (1) व (2) से सिद्ध होता है \( PQ = RS \) और \( PQ|| RS \) \( \implies \) PQRS में \( PQ = RS \) तथा \( PQ||RS \) है \( \implies \) PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसमें P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD, DA के मध्यबिंदु हैं। विकर्ण AC खींचा गया है। S ऊपरी-बाएँ, R ऊपरी-दाएँ, P निचले-बाएँ और Q निचले-दाएँ हैं।
In simple words: This problem requires applying the Midpoint Theorem. (i) In triangle ADC, SR connects midpoints, so SR || AC and SR = 1/2 AC. (ii) Similarly, in triangle ABC, PQ || AC and PQ = 1/2 AC, thus PQ = SR. (iii) Since PQ || SR and PQ = SR, PQRS is a parallelogram.

🎯 Exam Tip: The Midpoint Theorem is crucial here. Remember that the line segment joining the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half of it. Use this for both triangles formed by the diagonal AC.

Question 13. एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में, एक वर्ग बनाया गया है। वर्ग और त्रिभुज का एक कोण उभयनिष्ठ है। दर्शाइए कि उभयनिष्ठ कोण के शीर्ष के विपरीत, वर्ग का शीर्ष कर्ण को समद्विभाजित करता है। (NCERT Exemplar) हल: ∆ABC एक समद्विबाहु समक्रोण है। तथा ABCD एक वर्ग है। \( AB = BC \) \( \angle BAM = \angle BCM \) \( \implies \angle D \) का समद्विभाजक खींचा जो बिन्दु B से मिलता है। ∆ADM तथा ∆DCM में \( AD = DC \) (वर्ग की भुजाएँ) \( DM = DM \) (उभयनिष्ठ) \( \angle ADM = \angle CDM \) (रचना से) \( \implies \triangle ADM = \triangle DCM \) (SAS सर्वांगसमता से) अतः \( AM = MC \) \( \implies \) वर्ग का शीर्ष D, कर्ण AC को समद्विभाजित करता है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जिसमें ∠B समकोण है और AB = BC। शीर्ष B निचले-बाएँ, A ऊपरी-बाएँ और C निचले-दाएँ हैं। त्रिभुज के भीतर एक वर्ग AMDC बनाया गया है, जिसका एक कोण (D) त्रिभुज (A) के विपरीत है, और वर्ग का शीर्ष D त्रिभुज के कर्ण AC पर स्थित है। M, AC का मध्यबिंदु है।
In simple words: In an isosceles right-angled triangle, if a square is constructed such that one vertex of the square coincides with the vertex of the common angle of the triangle, then the vertex of the square opposite to the common angle bisects the hypotenuse of the triangle.

🎯 Exam Tip: This problem uses congruence and properties of isosceles right triangles and squares. Drawing the diagram correctly and identifying congruent triangles are essential steps.

Question 14. एक △ABC में, D,E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं। यदि भुजाओं AB, BC और CA की लम्बाइयाँ क्रमशः 7 सेमी, 8 सेमी, 9 सेमी हैं तो दर्शाइए कि △DEF का परिमाप 12 सेमी है। हलः \( \implies \) बिन्दु D, E, F क्रमशः BC, CA तथा AB के मध्य बिन्दु है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है। शीर्ष A ऊपर, B निचले-बाएँ और C निचले-दाएँ हैं। AB की लंबाई 7 सेमी, BC की 8 सेमी और CA की 9 सेमी है। D BC का मध्यबिंदु है, E CA का मध्यबिंदु है, और F AB का मध्यबिंदु है। त्रिभुज DEF इन मध्यबिंदुओं को जोड़कर बनाया गया है। \( DE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 7 = 3.5 \) सेमी \( EF = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \) सेमी \( FD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 9 = 4.5 \) सेमी \( \implies \triangle DEF \) का परिमाप = DE + EF + FD \( = 3.5 + 4 + 4.5 = 12 \) सेमी
In simple words: Using the Midpoint Theorem, each side of the triangle formed by joining the midpoints (DEF) is half the length of the corresponding side of the original triangle (ABC). Sum these half-lengths to find the perimeter of △DEF.

🎯 Exam Tip: This is a straightforward application of the Midpoint Theorem. The perimeter of the triangle formed by midpoints is half the perimeter of the original triangle. Calculate individual side lengths of △DEF first, then sum them.

Question 15. माना एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC इस प्रकार है कि AB = AC यदि D,E और F क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि रेखाखण्ड AD और EF एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करती है। हलः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें AB = AC। शीर्ष A ऊपर, B निचले-बाएँ और C निचले-दाएँ हैं। F AB का मध्यबिंदु है, E AC का मध्यबिंदु है, और D BC का मध्यबिंदु है। रेखाखंड EF और AD खींचे गए हैं जो बिंदु M पर प्रतिच्छेद करते हैं। \( \implies AB = AC \) \( \implies E \) तथा F क्रमशः AC तथा AB के मध्य बिन्दु है \( \implies EF || BC \) तथा \( EF = \frac{1}{2} BC \) \( \implies AF = AE \) \( \implies \angle B = \angle C \) परन्तु \( \angle B = \angle AFE \) तथा \( \angle C = \angle AEF \) (संगत कोण) \( \implies \angle AFE = \angle AEF \) ... (1) \( \triangle AFM \) तथा \( \triangle AME \) में, \( AF = AE \) (अभी सिद्ध किया है) \( \angle AFE = \angle AEF \) (अभी सिद्ध किया है समी० (1) से) AM (उभयनिष्ठ) अतः \( \triangle AFM = \triangle AME \) (ASA सर्वांगसमता से) \( \implies FM = ME \) तथा \( \angle AMF = \angle AME \) परन्तु \( \angle AFM + \angle AME = 180^{\circ} \) (रैखिक युग्म) \( \implies \) प्रत्येक \( \angle AFM = \angle AME = 90^{\circ} \) \( \implies \) रेखाखण्ड AD तथा EF एक दूसरे को समकोण पर काटते है।
In simple words: In an isosceles triangle, the median to the base is also an altitude and angle bisector. The line segment joining the midpoints of the other two sides is parallel to the base. The intersection of these two lines will be the midpoint of both, and they will be perpendicular.

🎯 Exam Tip: For an isosceles triangle, the median from the vertex angle to the base is also the altitude. The Midpoint Theorem establishes EF || BC. These facts combined prove that AD and EF bisect each other perpendicularly.

Ex 13.4 Quadrilateral अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)

Question 16. त्रिभुज ABC की माध्यिका AD को X की ओर बढ़ाते हैं तो AD = DX तो सिद्ध कीजिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है। हलः ज्ञात है: △ABC में माध्यिका AD को बिन्दु X तक बढ़ाया गया है जिससे AD = DX सिद्ध करना है: ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है। रचना: BX तथा XC को मिलाया । उपपत्तिः BD = DC △ABD तथा △ADC में,
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जिसमें AD माध्यिका है। माध्यिका AD को आगे X तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि AD और DX की लंबाई बराबर है। बिंदुओं B और X को जोड़ा गया है, तथा C और X को भी जोड़ा गया है, जिससे चतुर्भुज ABXC बनता है। \[ AD = DX \text{ (ज्ञात है)} \] \[ BD = DC \text{ (ज्ञात है)} \] \[ \angle ADB = \angle ADC \text{ (प्रत्येक समकोण)} \] अतः \(\triangle ABD \cong \triangle ADC\)
\( \implies \) \(AB = CX\) इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि \(BX = AC\) इसलिए ABXC एक समान्तर चतुर्भुज है।
In simple words: जब किसी त्रिभुज की माध्यिका को दोगुना बढ़ाया जाए और छोरों को जोड़ा जाए, तो बनने वाला चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है क्योंकि उसके विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं।

🎯 Exam Tip: माध्यिका और मध्यबिंदु प्रमेय से संबंधित प्रश्नों में त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करना एक महत्वपूर्ण चरण होता है।

Question 17. त्रिभुज ABC में E व F क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं। BC पर एक शीर्ष लम्ब AP है। जो EF को बिन्दु Q पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए AQ = PQ हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है। बिंदु E और F क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्यबिंदु हैं। AP एक शीर्षलंब है जो भुजा BC पर लंबवत है, और यह बिंदु P पर BC को मिलता है। रेखाखंड EF खींचा गया है, और AP इसे बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करता है।

Question 16. ABCD एक पतंग है जिसमें AB = AD और BC = CD तो सिद्ध कीजिए कि भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक आयत है। हल: AC तथा BD को मिलाया।
.: P, Q, R तथा S क्रमशः AB, BC, CD तथा AD के मध्य बिन्दु हैं। \[ PS = \frac{1}{2} BD \quad ...(1) \] तथा \[ PS|| BD \] तथा \[ QR = \frac{1}{2} BD \quad ...(2) \] तथा \[ QR|| BD \] समी० (1) व (2) से \(PS = QR\) तथा \(PS || QR\)
.: \[ PQ = \frac{1}{2} AC \quad ...(3) \] \[ PQ|| AC \] या तथा \[ SR = \frac{1}{2} AC \quad ...(4) \] या \[ SR|| AC \] समी० (3) व (4) से
\( \implies \) \(PQ = SR\) तथा \(PQ|| SR\)
.: PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। \[ \frac{AB}{2} = \frac{AD}{2} \text{ या } AP = AS \quad ...(1) \]
.: \(\angle P + \angle S = 180° \quad ...(2)\) △APM तथा △AMS में, \[ AP = AS \text{ (समी० (1) से)} \] \[ AM \] \[ \angle ASM = \angle APM \text{ (समद्विबाहु △ से)} \] अतः \[ \triangle APM \cong \triangle AMS \]
.. \(\angle APS = \angle ASP\) इसी प्रकार सिद्ध कर सकते हैं कि
\( \implies \) \(\angle BPN = \angle PSD \quad ...(3)\) तथा \[ \angle P = \angle S \] समी० (2) से, \[ \angle P + \angle S = 180° \] सिद्ध होता है
\( \implies \) \(\angle P = \angle S = \frac{180°}{2} = 90°\) तथा सिद्ध कर सकते हैं कि
\( \implies \) \(\angle Q = \angle R = 90°\)
.: PQRS एक आयत है।
In simple words: पतंग की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने से बनी आकृति एक आयत होती है क्योंकि मध्यबिंदु प्रमेय का उपयोग करके हम सिद्ध कर सकते हैं कि यह एक समांतर चतुर्भुज है जिसके कोण समकोण होते हैं।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय का सही अनुप्रयोग इस प्रकार के ज्यामिति प्रश्नों को हल करने की कुंजी है। विकर्णों की लंबाई और लंबवतता पर ध्यान दें।

Question 17. एक △ABC में, A, B और C से, भुजाओं BC, CA और AB के समान्तर रेखा R खींचे जाने पर प्राप्त आकृति △PQR है। तो दर्शाइए कि BC = \(\frac{1}{2}\)QR. हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बड़े त्रिभुज PQR को दर्शाता है। इसके भीतर एक छोटा त्रिभुज ABC बना हुआ है। बिंदु A, B, C क्रमशः PQR की भुजाओं RQ, QP और PR पर स्थित हैं, जिससे यह संकेत मिलता है कि ABC की भुजाएँ PQR की भुजाओं के समानांतर हैं और A, B, C उनके मध्यबिंदु हैं। बिन्दु A से BC के समान्तर RQ, बिन्दु B से AC के समान्तर PQ तथा बिन्दु C से AB Aके समान्तर RP रेखायें खींची गयी है।
∴ △PQR बनता है। अतः बिन्दु A, B, C क्रमशः APQR की भुजाओं RQ, QP तथा PR के मध्य बिन्दु होंगे ।
In simple words: जब एक त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से उसकी सम्मुख भुजा के समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो इन रेखाओं से बनने वाला नया त्रिभुज मूल त्रिभुज का दोगुना होता है, और मूल त्रिभुज की भुजा नए त्रिभुज की संगत भुजा की आधी होती है।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करने के लिए समांतर रेखाओं के गुणों और समरूप त्रिभुजों की अवधारणा का उपयोग करें।

Question 18. एक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप 22 सेमी है यदि बड़ी भुजा की माप 6.5 सेमी है दर्शाइए कि छोटी भुजा की माप 4.5 सेमी है। हलः समान्तर चतुर्भुज का परिमाप = \(2(a + b)\) जहाँ a व b क्रमशः समान्तर चतुर्भुज की भुजाएं है।
.. \[ 22 = 2(6.5+b) \] \[ \frac{22}{2} = 6.5 + b \] \[ 11 = 6.5 + b \] \[ 11-6.5 = b \] \[ 4.5 = b \]
\( \implies \) समान्तर चतुर्भुज की छोटी भुजा = 4.5 सेमी
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज का परिमाप उसकी सभी भुजाओं का योग होता है। चूंकि समांतर चतुर्भुज में विपरीत भुजाएँ समान होती हैं, तो परिमाप \(2 \times (\text{बड़ी भुजा} + \text{छोटी भुजा})\) होता है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के परिमाप के सूत्र को याद रखें और दिए गए मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें।

Question 19. यदि एक समान्तर चतुर्भुज के कोण, इसके आसन्न कोण का \(\frac{4}{5}\) तो समान्तर चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए । हलः माना \[ \angle A = x \] \[ \angle B = \frac{4}{5}x \]
\( \implies \) \(\angle A + \angle B = 180°\) \[ x + \frac{4}{5}x = 180° \] \[ \frac{9}{5}x = 180° \] \[ x = 180° \times \frac{5}{9} \] \[ x = 100° \]
\( \implies \) \(\angle A = 100°\), \(\angle B = \frac{4}{5} \times 100° = 80°\) \[ \angle A = \angle C = 100° \] तथा \[ \angle D = \angle B = 80° \]
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में आसन्न कोणों का योग 180° होता है और विपरीत कोण बराबर होते हैं। इन गुणों का उपयोग करके, एक कोण के मान से सभी कोणों की गणना की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के कोणों के गुणों को याद रखें: आसन्न कोण संपूरक होते हैं (योग 180°) और सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

Question 20. संलग्न चित्र में, एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है जिसमें \(\angle A\) और \(\angle B\) के समद्विभाजक एक बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, दर्शाइए कि \(\angle APB = 90°\) हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। कोण A और कोण B के कोण समद्विभाजक खींचे गए हैं, जो चतुर्भुज के अंदर एक बिंदु P पर मिलते हैं।
.. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। \[ \angle DAB + \angle ABC = 180° \text{ (क्रमागत आन्तरिक कोणों का योग)} \] \[ \frac{1}{2}\angle DAB + \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{180°}{2} \] \[ \angle PAB + \angle PBA = 90° \] △ABP में, \[ \angle APB = 180° - (\angle PAB + \angle PBA) \] \[ = 180° - 90° \] \[ = 90° \]
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, किसी भी दो आसन्न कोणों के समद्विभाजक एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं, क्योंकि आसन्न कोणों का योग 180° होता है, इसलिए उनके आधे भागों का योग 90° होगा, और त्रिभुज के कोणों के योग के नियम से तीसरा कोण 90° होगा।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों की संपूरकता का गुण इस प्रकार के ज्यामिति प्रश्नों को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है।

Question 21. संलग्न चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है, E, AB का मध्य बिन्दु है। और CE, \(\angle BCD\) को समद्विभाजित करता है। तो सिद्ध कीजिए कि (ii) DE, \(\angle ADC\) को समद्विभाजित करता है। (iii) \(\angle DEC = 90°\) हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। बिंदु E भुजा AB का मध्यबिंदु है। एक रेखाखंड CE खींचा गया है, जो कोण C (∠BCD) को समद्विभाजित करता है। एक और रेखाखंड DE खींचा गया है। चित्र में विभिन्न कोणों को 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 से अंकित किया गया है, जो विभिन्न ज्यामितीय संबंधों को दर्शाते हैं।
(ii) \(\angle1 + \angle3 + \angle6 = 180° \quad ...(1)\) \(\angle D + \angle C = 180°\) (समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण) \(\angle1 + \angle2 + \angle6 + \angle7 = 180°\) (यह संदर्भ में दिए गए कोणों के आधार पर है, लेकिन आमतौर पर समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के योग को दर्शाने वाला कथन)
.. \(\angle2 = \angle1\) तथा \(\angle7 = \angle6\) (यह कथन अधूरा है और दिए गए संदर्भ में फिट नहीं बैठता। संभवतः यह CE द्वारा \(\angle C\) के समद्विभाजन और DE द्वारा \(\angle D\) के समद्विभाजन को संदर्भित करता है।) \[ \angle1 + \angle1 + \angle6 + \angle6 = 180° \] \[ 2\angle1 + 2\angle6 = 180° \] \[ 2(\angle1 + \angle6) = 180° \] \[ \angle1 + \angle6 = 90° \]
.. \[ \angle3 = 180° - (\angle1 + \angle6) \] \[ = 180° - 90° = 90° \]
(iii) (समान प्रक्रिया से, \(\angle DEC = 90°\))
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, यदि एक कोण समद्विभाजक किसी भुजा के मध्यबिंदु से मिलता है, तो दूसरी भुजा का कोण समद्विभाजक भी विपरीत कोण को समद्विभाजित करेगा। त्रिभुज DEC के कोणों का योग 180° होता है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के गुणों, जैसे आसन्न कोणों का योग 180° और एकांतर आंतरिक कोणों का उपयोग करें। त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का भी प्रयोग करें।

Question 22. यदि एक समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्ण, समान्तर चतुर्भुज के कोणों में से एक को समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि यह, इसके विपरीत कोण को भी समद्विभाजित करता है तथा दोनों विकर्ण हलः समान्तर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, उसे दो समान त्रिभुजों में बाँटता है △ADC तथा △ABC में, \[ AB = DC \text{ (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ)} \] \[ AD = BC \text{ (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ)} \] \[ AC \text{ उभयनिष्ठ} \] अतः \(\triangle ADC \cong \triangle ABC\)
\( \implies \) \(\angle BCA = \angle DCA\) (अर्थात AC, ∠C को भी समद्विभाजित करता है)
In simple words: यदि एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण एक कोण को समद्विभाजित करता है, तो यह उसके विपरीत कोण को भी समद्विभाजित करेगा, क्योंकि समांतर भुजाओं और विकर्ण से बनने वाले त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के गुणों और SSS या SAS सर्वांगसमता कसौटी का उपयोग करें। एकांतर कोणों के गुणधर्म भी महत्वपूर्ण हैं।

Question 23. यदि ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC और BD,O पर प्रतिच्छेद करते हैं तो सिद्ध कीजिए किः (i) (AB + BC + CD + DA) > (AC + BD) (ii) (AB + BC + CD + DA) < \(2(AC + BD)\) हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक सामान्य चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। इसके विकर्ण AC और BD हैं, जो चतुर्भुज के अंदर एक बिंदु O पर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। (i) △ADC में, \[ DA + DC > BD \quad ...(1) \] △ABC में, \[ AB + BC > AC \quad ...(2) \] (1) + (2) से \[ AB + BC + CD + DA > AC + BD \] (ii) △OAB में, \[ OA + OB > AB \quad ...(1) \] △OBC में, \[ OB + OC > BC \quad ...(2) \] △AOD में, \[ OA + OD > DA \quad ...(3) \] △COD में, \[ OC + OD > DC \quad ...(4) \] (1) + (2) + (3) + (4) से \[ 2(OA + OB + OC + OD) > AB + BC + CD + DA \] \[ 2(AC + BD) > AB + BC + CD + DA \] या \[ AB + BC + CD + DA < 2(AC + BD) \]
In simple words: एक त्रिभुज में, किन्हीं दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी भुजा से बड़ा होता है। इस सिद्धांत को चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों पर लागू करके, हम भुजाओं और विकर्णों के योग के बीच असमानताओं को सिद्ध कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता नियम (Triangle Inequality Theorem) इस प्रकार के प्रश्नों का आधार है। चतुर्भुज को छोटे त्रिभुजों में विभाजित करके नियम लागू करें।

Question 24. संलग्न चित्र में, एक बिन्दु O, एक समचतुर्भुज ABCD के भीतर इस प्रकार लिया गया है कि OB = OD तो दर्शाइए कि A,O और C समान रेखा में हैं। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। बिंदु O समचतुर्भुज के अंदर एक बिंदु है, और हमें दिया गया है कि OB = OD। विकर्ण AC और BD भी दर्शाए गए हैं, जिसमें विकर्ण AC बिंदु O से होकर गुजरता हुआ दिखाया गया है। समचतुर्भुज ABCD में, △OAB तथा △OAD में, \[ AB = AD \text{ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)} \] \[ OA \text{ (उभयनिष्ठ)} \] \[ OB = OD \text{ (दिया है)} \] अतः \[ \triangle OAB \cong \triangle OAD \quad ...(1) \]
\( \implies \) \(\angle AOD = \angle AOB\) तथा \[ \angle DAO = \angle BAO \]
.. AC विकर्ण \(\angle BAD\) का अर्द्धक है।
.. AOC एक सरल रेखा होगी।
In simple words: एक समचतुर्भुज में, यदि एक आंतरिक बिंदु विकर्ण के एक सिरे से समान दूरी पर है (यानी OB = OD), तो वह बिंदु दूसरे विकर्ण पर भी स्थित होगा, जिससे यह सिद्ध होता है कि वे बिंदु संरेखीय हैं।

🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज के गुणों का उपयोग करें, विशेषकर कि विकर्ण एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और कोणों को समद्विभाजित करते हैं। सर्वांगसमता का सिद्धांत भी महत्वपूर्ण है।

Question 25. एक चतुर्भुज के विकर्ण लम्बवत् हैं तो दिखाइये कि चतुर्भुजीव आकृति में, इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक आयत है । (NCERT) हलः स्वयं हल कीजिए।
In simple words: जब एक चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं, तो उसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने से बनी आकृति एक आयत होती है। यह मध्यबिंदु प्रमेय के अनुप्रयोग का परिणाम है।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय और लंबवत विकर्णों के गुणों को संयोजित करके यह सिद्ध किया जाता है। भुजाओं के समांतर और लंबाई के संबंधों पर ध्यान दें।

Question 26. सिद्ध कीजिए कि एक समान्तर चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों द्वारा घिरा क्षेत्र एक आयत है। हलः दिया है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें कोणों A, B,C,D के समद्विभाजक क्रमशः बिन्दुओं P, Q, R व S पर प्रतिच्छेद कर एक चतुर्भुज PQRS बनाते हैं। सिद्ध करना है: PQRS एक आयत हैं। उपपत्तिः. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है :.: AD||BC तथा तिर्यक रेखा AB उसे क्रमशः बिन्दु A व B पर प्रतिच्छेद करती है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। कोण A, B, C और D के कोण समद्विभाजक खींचे गए हैं। ये समद्विभाजक एक आंतरिक चतुर्भुज PQRS बनाते हुए एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं। \[ \angle A + \angle B = 180° \text{ (क्रमागत आन्तरिक कोणों का योग)} \]
\( \implies \) \(\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B = 90°\) \[ \angle BAS + \angle ABS = 90° \quad ...(1) \] अब △ABS, में \[ \angle BAS + \angle ABS + \angle ASB = 180° \text{ (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)} \] \[ 90° + \angle ASB = 180° \]
\( \implies \) \(\angle ASB = 90°\)
∴ \(\angle ASB\) व \(\angle RSP\) उर्ध्वाधर सम्मुख कोण है इसलिए \[ \angle RSP = \angle ASB \]
\( \implies \) \(\angle RSP = 90°\) इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि \[ \angle SRQ = 90°, \angle RQP = 90° \text{ तथा } \angle SPQ = 90° \]
\( \implies \) PQRS एक आयत है।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों के समद्विभाजक हमेशा एक समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। जब सभी आसन्न कोणों के समद्विभाजक खींचे जाते हैं, तो आंतरिक रूप से बनने वाले चतुर्भुज के सभी कोण 90° होते हैं, इसलिए वह एक आयत होता है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोणों के संपूरक गुण और त्रिभुज के कोणों के योग गुण का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

Question 27. एक वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त आकृति एक वर्ग होता है। हलः दिया है: एक वर्ग ABCD जहाँ P, Q, R, S क्रमशः AB, BC, CD व DA के मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध करना है : PQRS एक वर्ग है। रचना : AC व BD को मिलायें। उपपत्ति : △ABC में, P व Q क्रमशः AB व BC के मध्य बिन्दु हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वर्ग ABCD को दर्शाता है। भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्यबिंदु क्रमशः P, Q, R और S चिह्नित हैं। इन मध्यबिंदुओं को जोड़कर एक आंतरिक चतुर्भुज PQRS बनाया गया है। वर्ग के विकर्ण AC और BD भी दर्शाए गए हैं, जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। \[ PQ|| AC \text{ व } PQ = \frac{1}{2} AC \quad ...(1) \] △ADC में. R व S क्रमश: CD व AD के मध्य बिन्दु हैं। \[ RS|| AC \text{ व } RS = \frac{1}{2} AC \quad ...(2) \] समीकरण (1) व (2) से, \[ PQ|| RS \text{ व } PQ = RS \quad ...(3) \]
.. PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है। अब △PBQ व △RCQ में, \[ PB = RC \quad [\text{:: ABCD एक वर्ग है. AB = BC = CD = DA}] \] \[ BQ = CQ \]
\( \implies \) \(\frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} CD \text{ व } \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC\) \[ PB = RC \text{ व } BQ = CQ \]
.. \(\angle PBQ = \angle RCQ \text{ [ प्रत्येक } 90°]\)
.. \(\triangle PBQ \cong \triangle RCQ \text{ [ SAS सर्वांगसमता से ]}\)
.. \(PQ = QR \text{ [CPCT]}\) समीकरण (3) व (4) से,
\( \implies \) \(PQ = QR = RS\) लेकिन PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।
\( \implies \) \(QR = PS\) इसलिए \[ PQ = QR = RS = PS \quad ...(5) \] अब \[ PQ||AC \implies PM||NO \quad ...(6) \] क्योंकि P व S क्रमशः AB व AD के मध्य बिन्दु हैं।
\( \implies \) \(PS|| BD\) \[ PN || MO \quad ...(7) \] इसलिए चतुर्भुज PMON में, \[ PM|| NO \text{ [ समीकरण (6) से]} \] \[ PN||MO \text{ [ समीकरण (7) से]} \]
.. PMON एक समान्तर चतुर्भुज है।
\( \implies \) \(\angle MPN = \angle MON\)
\( \implies \) \(\angle MPN = \angle BOA \text{ [:: \(\angle MPN = \angle BOA\)]}\)
\( \implies \) \(\angle MPN = 90°\)
\( \implies \) [ वर्ग के विकर्ण परस्पर लम्बवत् होते हैं। ..AC \(\perp\) BD \(\implies\) \(\angle BOA = 90°\)]
\( \implies \) \(\angle QPS = 90°\) अतः PQRS एक चतुर्भुज इस प्रकार है कि \[ PQ = QR = RS = SP \text{ व } \angle QPS = 90° \]
\( \implies \) PQRS एक वर्ग है।
In simple words: एक वर्ग की भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने से बनने वाली आकृति भी एक वर्ग होती है क्योंकि मध्यबिंदु प्रमेय का उपयोग करके हम सिद्ध कर सकते हैं कि सभी भुजाएँ बराबर हैं और कोण 90° हैं।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय और वर्ग के गुणों (भुजाओं की समानता, विकर्णों की लंबवतता) का उपयोग करके सर्वांगसम त्रिभुजों को सिद्ध करें।

Question 28. यदि एक तिर्यक, दो समान्तर रेखाओं को काटती है तो दर्शाइए कि अन्तः कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं। हलः दिया है। दो समान्तर भुजाएँ AB व CD तथा तिर्यक रेखा l जो AB को X तथा CD को Y पर काटती है। आन्तरिक कोणों के समद्विभाजक बिन्दु P व Q पर प्रतिच्छेद करते हैं।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समांतर रेखाओं AB और CD को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा l काटती है। तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के आंतरिक कोणों (∠AXY और ∠DYX) के कोण समद्विभाजक खींचे गए हैं। ये समद्विभाजक बिंदु P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो चतुर्भुज XPYQ का निर्माण करते हैं। कोण 1, 2, 3 और B, C, D भी चिह्नित हैं। सिद्ध करना है: XPYQ एक आयत है। उपपत्तिः क्योंकि \(AB || CD\) वह तिर्यक रेखा l इनसे क्रमशः X व Y पर मिलती है। \[ \angle AXY = \angle DYX \text{ [ एकान्तर कोण]} \] \[ \frac{1}{2}\angle AXY = \frac{1}{2}\angle DYX \]
\( \implies \) \(\angle 1 = \angle 2 \quad [\text{:: XP, YQ क्रमशः } \angle DYX \text{ के समद्विभाजक हैं।]}\) इसलिए XY, PX व PY से क्रमशः X व Y पर मिलती है तथा अर्थात् एकान्तर कोण बराबर हैं
.. \[ PX||QY \] इसलिए \[ YP||QX \] अतः PYQX एक समान्तर चतुर्भुज है।
In simple words: जब एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो तिर्यक रेखा के एक ही तरफ के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक आयत बनाते हैं। यह इसलिए होता है क्योंकि ये समद्विभाजक एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं जिसके सभी कोण 90° होते हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा के गुणों (एकांतर कोण, आंतरिक कोण) का उपयोग करें। त्रिभुज के कोणों के योग का गुण भी महत्वपूर्ण है।

Question 29. समान्तर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण BD को तीन बराबर भागों में बिन्दु P व Q से बाँटा जाता है, सिद्ध कीजिए कि CQ, AP के समान्तर है। हलः स्वयं हल कीजिए ।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, यदि एक विकर्ण को तीन बराबर भागों में बांटा जाए, तो तीसरे बिंदु से शीर्षों तक खींचे गए रेखाखंड दूसरे विकर्ण को समानांतर होंगे।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय (या इसका विस्तार) और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणों का उपयोग करें। त्रिभुजों में समानुपातिकता भी सहायक हो सकती है।

Question 30. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AD को E तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि DE = DC तथा EC का बढ़ा भाग, AB के बढ़े भाग F में मिलता है तो सिद्ध कीजिए कि BF = BC हलः स्वयं हल कीजिए ।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज की भुजा को बढ़ाने और एक नई रेखा खींचने से बने त्रिभुजों की सर्वांगसमता का उपयोग करके, सिद्ध किया जा सकता है कि दो रेखाखंड बराबर हैं।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के गुणों (विपरीत भुजाएँ समांतर और बराबर), एकांतर कोणों और सर्वांगसम त्रिभुजों का उपयोग करें।

Question 31. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AD पर एक बिन्दु P पर इस प्रकार है कि AP = \(\frac{1}{3}\)AD तथा BC पर एक बिन्दु Q इस प्रकार है कि CQ = \(\frac{1}{3}\)BC तो सिद्ध कीजिए कि AQCP एक समान्तर चतुर्भुज है। हलः स्वयं हल कीजिए।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, यदि विपरीत भुजाओं पर बिंदु इस तरह से लिए जाते हैं कि वे भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करें, तो इन बिंदुओं को जोड़ने से एक नया समांतर चतुर्भुज बनता है।

🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के गुणों (विपरीत भुजाएँ समांतर और बराबर) और यह दिखाने के लिए कि नया चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ भी समांतर और बराबर हैं, सदिश या निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग कर सकते हैं।

Question 32. एक समान्तर चतुर्भुज ABCD है। E तथा F क्रमशः AB तथा AD के मध्य बिन्दु हैं। कोई रेखा GH है जो AD, EF और BC को क्रमश: G,P और H पर प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध कीजिए कि GP = PH. हलः स्वयं हल कीजिए ।
In simple words: एक समांतर चतुर्भुज में, मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड और किसी अन्य रेखा के प्रतिच्छेद बिंदुओं के बीच की दूरियों को सिद्ध करने के लिए मध्यबिंदु प्रमेय और समांतर रेखाओं के गुणों का उपयोग किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: मध्यबिंदु प्रमेय और आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) या इसके व्युत्क्रम का उपयोग करें। त्रिभुजों में सर्वांगसमता भी सहायक हो सकती है।

Question 33. ABC एक त्रिभुज है तथा A, B और C से, BC, CA और AB के समान्तर रेखाएँ खींची गई हैं जो क्रमशः P,Q तथा R पर प्रतिच्छेद करती हैं तो सिद्ध कीजिए कि △PQR का परिमाप, △ABC के परिमाप का दोगुना है। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बड़े त्रिभुज PQR को दर्शाता है। इसके भीतर एक छोटा त्रिभुज ABC बना हुआ है। बिंदु A से BC के समानांतर एक रेखा खींची गई है, बिंदु B से AC के समानांतर एक रेखा खींची गई है, और बिंदु C से AB के समानांतर एक रेखा खींची गई है। ये समांतर रेखाएँ एक-दूसरे को P, Q और R पर प्रतिच्छेद करती हैं, जिससे बड़ा त्रिभुज PQR बनता है। यहाँ \(AQ|| CB\) व \(AC||QB\)
\( \implies \) AQBC एक समान्तर चतुर्भुज है।
\( \implies \) \(BC = AQ \quad ...(1)\) \[ [\text{:: समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।}] \] \[ AR || BC \text{ व } AB||RC \]
\( \implies \) ARCB एक समान्तर चतुर्भुज है।
\( \implies \) \(BC = AR \quad ...(2)\) समीकरण (1) व (2) से, \[ AQ = AR \] \[ AQ = AR = \frac{1}{2}QR \] अतः \[ BC = \frac{1}{2}QR \text{ [समीकरण (1) से, AQ = BC]} \] इसी प्रकार, \[ CA = \frac{1}{2}PQ \text{ तथा } AB = \frac{1}{2}PR \] अतः △ABC का परिमाप, \(AB + BC + CA = \frac{1}{2}QR + \frac{1}{2}PQ + \frac{1}{2}PR\)
\( \implies \) \(AB + BC + CA = \frac{1}{2} (PQ + QR + PR)\)
\( \implies \) △PQR का परिमाप = \(2 \triangle ABC\) का परिमाप
In simple words: जब एक त्रिभुज के शीर्षों से उसकी सम्मुख भुजाओं के समानांतर रेखाएँ खींची जाती हैं, तो इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनने वाला बड़ा त्रिभुज, मूल त्रिभुज का दोगुना होता है, इसलिए इसका परिमाप मूल त्रिभुज के परिमाप का दोगुना होगा।

🎯 Exam Tip: इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए मध्यबिंदु प्रमेय (या इसके विस्तार) और समांतर चतुर्भुजों के गुणों का उपयोग करें।