UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 13 Surface Areas and Volumes

UP Board Solutions For Class 9 Maths Chapter 13 Surface Areas And Volumes (पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन)

UP Board Class 9 Maths Solution Chapter 13 प्रश्नावली 13.1

Question 1. UP Board Solution Class 9 Math Chapter 13 प्रश्न 1.1.5 मीटर लम्बा 1.25 मीटर चौड़ा और 65 सेमी गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाना है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए ।
(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल ।
(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 मीटर शीट का मूल्य Rs. 20 है।
Answer: हल : (i) प्लास्टिक के डिब्बे की लम्बाई \((\text{l}) = 1.5\) मीटर, चौड़ाई \((\text{b}) = 1.25\) मीटर तथा ऊँचाई \(\text{h} = 65\) सेमी या \(0.65\) मीटर \([: 1 \text{ मीटर } = 100 \text{ सेमी}]\)
डिब्बा ऊपर से खुला है; अतः इसमें 1 फलक कम होगा। अतः डिब्बे को पृष्ठ = सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल – ऊपरी फलक का क्षेत्रफल
\( = 2 (\text{lb} + \text{bh} + \text{hl}) - (\text{l} \times \text{b})\)
\( = 2 [(1.5 \times 1.25) + (1.25 \times 0.65) + (0.65 \times 1.5)] - (1.5 \times 1.25)\)
\( = 2 [1.875 + 0.8125 + 0.975] - 1.875\)
\( = 2 [3.6625] - 1.875\)
\( = 7.325 - 1.875 = 5.45\) वर्ग मीटर
अतः डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल \( = 5.45\) वर्ग मीटर ।
(ii) 1 वर्ग मीटर शीट का मूल्य \( = \text{Rs. }20\)
\(5.45\) वर्ग मीटर शीट का मूल्य \( = (5.45 \times 20) = \text{Rs. }109.00\)
अतः आवश्यक प्लास्टिक शीट का मूल्य \( = \text{Rs. }109\)
In simple words: This problem involves calculating the surface area of an open box and its cost. First, convert all dimensions to meters for consistency. Calculate the total surface area of a cuboid and subtract the area of the top face because the box is open. Then, multiply this area by the cost per square meter to find the total cost.

🎯 Exam Tip: Always ensure consistent units (e.g., all in meters or all in cm) before performing calculations. Remember to adjust surface area formulas for open or partially covered objects.

Question 2. Math Class 9 UP Board Chapter 13 प्रश्न 2.एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 मीटर, 4 मीटर और 3 मीटर हैं। Rs. 7.50 प्रति मीटर की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : कमरे की लम्बाई \((\text{l}) = 5\) मीटर, चौड़ाई \((\text{b}) = 4\) मीटर व ऊँचाई \((\text{h}) = 3\) मीटर
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = \) परिमाप \(\times\) ऊँचाई
\( = 2 (\text{l} + \text{b}) \times \text{h}\)
\( = 2 (5 + 4) \times 3\) वर्ग मीटर
\( = 18 \times 3\) वर्ग मीटर \( = 54\) वर्ग मीटर
छत का क्षेत्रफल \( = \) लम्बाई \(\times\) चौड़ाई
\( = \text{l} \times \text{b} = (5 \times 4) = 20\) वर्ग मीटर
जिस भाग में सफेदी करानी है, उसका क्षेत्रफल \( = (54 + 20)\) वर्ग मीटर \( = 74\) वर्ग मीटर
1 वर्ग मीटर पर सफेदी कराने का व्यय \( = \text{Rs. }7.50\)
\(74\) वर्ग मीटर पर सफेदी कराने का व्यय \( = (74 \times 7.50) = \text{Rs. }555\)
अतः कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय \( = \text{Rs. }555\)
In simple words: To find the cost of whitewashing the walls and ceiling of a room, first calculate the area of the four walls using the perimeter and height. Then, calculate the area of the ceiling. Add these areas to get the total area to be whitewashed, and multiply by the cost per square meter to find the total expense.

🎯 Exam Tip: When calculating costs for painting or whitewashing, always identify the exact surfaces to be covered (e.g., walls and ceiling, but not the floor). Pay attention to the given rate per unit area.

Question 3. प्रश्नावली 13.1 कक्षा 9 प्रश्न 3.किसी आयताकार हॉल के फर्श की परिमाप 250 मीटर है। यदि के 10 प्रति मीटर की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत के 15,000 है तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : माना हॉल की ऊँचाई \(\text{h}\) मीटर है।
हॉल की परिमाप \( = 250\) मीटर
हाल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \( = \) हॉल की परिमाप \(\times\) ऊँचाई । \( = 250 \times \text{h} = 250\text{h}\) वर्ग मीटर
तब हॉल की दीवारों को पेंट कराने का व्यय \( = \) हॉल की चारों दीवारों का क्षेत्रफल \(\times\) पेंट कराने की मूल्य-दर \( = 250\text{h} \times 0 = 2,500\text{h}\)
परन्तु दिया है Rs. 10 प्रति मीटर की दर से हॉल की दीवारों को पेंट कराने का व्यय Rs. 15,000 है।
\(2500\text{h} = 15000\)
\(\implies \text{h} = \frac{15000}{2500} = 6\) मीटर
अतः हॉल की ऊँचाई \( = 6\) मीटर ।
In simple words: Given the perimeter of a rectangular hall's floor and the total cost of painting its four walls at a specific rate per square meter, you can find the height of the hall. The area of the four walls is perimeter multiplied by height. Use the total cost and rate to find the total area painted, then divide by the perimeter to get the height.

🎯 Exam Tip: The cost of painting is directly proportional to the area painted. Use the formula: Total Cost = Area × Rate per unit area, to find unknown dimensions or areas.

Exercise 13.3 Class 9 Maths Solution In Hindi प्रश्न 4.

Question 4. Exercise 13.3 Class 9 Maths Solution In Hindi प्रश्न 4.किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 मीटर² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 सेमी \(\times\) 10 सेमी \(\times\) 7.5 सेमी विमाओं वाली कितनी ईंट पेंट की जा सकती हैं?
Answer: हल : ईंट की विमाएँ \(22.5\) सेमी \(\times\) \(10\) सेमी \(\times\) \(7.5\) सेमी हैं।
माना \(\text{l} = 22.5\) सेमी, \(\text{b} = 10\) सेमी और \(\text{h} = 7.5\) सेमी
प्रत्येक ईंट (घनाभ) का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 (\text{lb} + \text{bh} + \text{hl})\)
\( = 2 [(22.5 \times 10) + (10 \times 7.5) + (7.5 \times 22.5)]\)
\( = 2 [225.0 + 75.0 + 168.75]\)
\( = 2 \times 468.75 = 937.5\) वर्ग सेमी
अब माना कि ईंटों की अभीष्ट संख्या \(\text{n}\) है।
कुल ईंटों का क्षेत्रफल \( = 937.5\text{n}\) वर्ग सेमी
परन्तु प्रश्न में दिया है कि पेंट \(9.375\) वर्ग मीटर क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है।
\(937.5\text{n}\) वर्ग सेमी \( = 9.375\) वर्ग मीटर ।
\(\implies 937.5\text{n}\) वर्ग सेमी \( = 9.375 \times 10,000\) वर्ग सेमी (\(1\) वर्ग मीटर \( = 10,000\) वर्ग सेमी)
\(\implies 937.5\text{n} = 93,750\)
\(\implies \text{n} = \frac{93750}{937.5} = 100\)
अतः ईंटों की अभीष्ट संख्या \( = 100\)
In simple words: To find how many bricks can be painted with a given amount of paint, first calculate the total surface area of one brick. Convert the total paint coverage from square meters to square centimeters for consistent units. Then, divide the total paint coverage by the surface area of one brick to determine the number of bricks that can be painted.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to unit conversions (e.g., cm² to m² or vice versa) as they are common sources of errors in surface area and volume problems.

Question 5. Class 9 Maths Chapter 13 In Hindi प्रश्न 5.एक घनाकार डिब्बे का एक किनास 10 सेमी लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 12.5 सेमी, 10 सेमी और 8 सेमी हैं।
(i) किस डिब्बे का पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है?
(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है?
Answer: हल : (i) घनाकार डिब्बे का पार्श्व-पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4 \times \text{भुजा}^2\)
\([\text{भुजा } = 10 \text{ सेमी}]\)
\( = 4 \times (10)^2 = 400\) वर्ग सेमी
घनाभाकार डिब्बे का पार्श्व-पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) परिमाप \(\times\) ऊँचाई
\( = 2 (\text{l} + \text{b}) \times \text{h}\)
\([\text{l} = 12.5 \text{ सेमी, b} = 10 \text{ सेमी तथा h} = 8 \text{ सेमी}]\)
\( = 2 (12.5 + 10) \times 8\)
\( = 16 \times 22.5 = 360.0\) वर्ग सेमी
अतः स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बे का पाश्र्व पृष्ठ क्षेत्रफल \((400 - 360) = 40\) वर्ग सेमी अधिक है।
(ii) घनाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 6 \times \text{भुजा}^2\)
\( = 6 \times (10)^2 = 600\) वर्ग सेमी
तथा घनाभाकार डिब्बे का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 (\text{lb} + \text{bh} + \text{hl})\)
\( = 2 [(12.5 \times 10) + (10 \times 8) + (8 \times 12.5)]\)
\( = 2[125 + 80 + 100]\)
\( = 2 \times 305 = 610\) वर्ग सेमी
अतः स्पष्ट है कि घनाकार डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \((610 - 600) = 10\) वर्ग सेमी कम है।
In simple words: This problem compares the lateral and total surface areas of a cube and a cuboid. Calculate the lateral and total surface areas for both shapes using their respective formulas and dimensions. Then, compare the results to determine which has a greater lateral surface area and which has a smaller total surface area, and by how much.

🎯 Exam Tip: Remember the distinct formulas for lateral surface area and total surface area for cubes (4a², 6a²) and cuboids (2h(l+b), 2(lb+bh+hl)). Be careful with calculations to ensure accuracy.

Question 6. Class 9 Maths Chapter 13 All Formula In Hindi प्रश्न 6.एक छोटा पौधा-घर (greenhouse) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा-घर 30 सेमी लम्बा, 25 सेमी चौड़ा और 25 सेमी ऊँचा है।
(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है?
(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है?
Answer: हल : (i) पौधा-घर की लम्बाई \((\text{l}) = 30\) सेमी, चौड़ाई \((\text{b}) = 25\) सेमी व ऊँचाई \((\text{h}) = 25\) सेमी ।
पौधा-घर (घनाभ) का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2(\text{lb} + \text{bh} + \text{hl})\)
\( = 2 [(30 \times 25) + (25 \times 25) + (25 \times 30)]\)
\( = 2 [750 + 625 + 750]\)
\( = 2 \times 2125 = 4250\) वर्ग सेमी ।
अतः पौधा-घर बनाने में प्रयुक्त काँच का क्षेत्रफल \( = 4250\) वर्ग सेमी ।
(ii) 12 किनारों में 4 लम्बाइयाँ, 4 चौड़ाइयाँ व 4 ऊँचाइयाँ होती हैं।
सभी किनारों की माप \( = 4 (\text{लम्बाई } + \text{चौड़ाई } + \text{ऊँचाई})\)
\( = 4 (\text{l} + \text{b} + \text{h})\)
\( = 4 (30 + 25 + 25)\) सेमी
\( = 4 \times 80\) सेमी \( = 320\) सेमी
अतः आवश्यक टेप की लम्बाई \( = 320\) सेमी ।
In simple words: For a cuboid-shaped greenhouse, the area of the glass panes is its total surface area (since the base is also included). The total length of tape required for all 12 edges is four times the sum of its length, width, and height. Calculate these two values using the given dimensions.

🎯 Exam Tip: When dealing with cuboid problems, ensure you correctly identify if the object is open or closed when calculating surface area. For edges, remember that a cuboid has 4 lengths, 4 widths, and 4 heights.

Question 7. प्रश्नावली 13.3 कक्षा 9 प्रश्न 7.शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बों की माप 25 सेमी \(\times\) 20 सेमी \(\times\) 5 सेमी और छोटे डिब्बों की माप 15 सेमी \(\times\) 12 सेमी \(\times\) 5 सेमी थीं। सभी प्रकार की अतिव्याप्तता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत Rs. 4 रुपये प्रति 1000 सेमी² है तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आएगी?
Answer: हल : बड़े डिब्बे की विमाएँ \(25\) सेमी \(\times\) \(20\) सेमी \(\times\) \(5\) सेमी हैं।
\(\text{l} = 25\) सेमी, \(\text{b} = 20\) सेमी और \(\text{h} = 5\) सेमी
बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 (\text{lb} + \text{bh} + \text{hl})\)
\( = 2 [(25 \times 20) + (20 \times 5) + (5 \times 25)]\)
\( = 2(500 + 100 + 125)\)
\( = 2 \times 725 = 1450\) वर्ग सेमी ।
\(250\) डिब्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 250 \times 1450 = 3,62,500\) वर्ग सेमी.
छोटे डिब्बे की विमाएँ \(15\) सेमी \(\times\) \(12\) सेमी \(\times\) \(5\) सेमी हैं।
\(\text{L} = 15\) सेमी, \(\text{B} = 12\) सेमी व \(\text{H} = 5\) सेमी
छोटे डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2 (\text{LB} + \text{BH} + \text{HL})\)
\( = 2 [(15 \times 12) + (12 \times 5) + (5 \times 15)]\)
\( = 2[180 + 60 + 75]\)
\( = 2 \times 315 = 630\) वर्ग सेमी
\(250\) डिब्बों का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 630 \times 250 = 1,57,500\) वर्ग सेमी
प्रत्येक प्रकार के \(250\) डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = (3,62,500 + 1,57,500)\) वर्ग सेमी \( = 5,20,000\) वर्ग सेमी ।
अतिव्याप्तता (overlaps) के लिए आरक्षित क्षेत्रफल \( = 5,20,000\) का \(5\%\) (दिया है ।)
\( = 5,20,000 \times \frac{5}{100} = 26,000\) वर्ग सेमी
डिब्बों के निर्माण में लगे गत्ते का कुल क्षेत्रफल \( = \) प्रत्येक प्रकार के \(250\) डिब्बों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( + \) अतिव्याप्तता के लिए आरक्षित क्षेत्रफल
\( = (5,20,000 + 26,000)\) वर्ग सेमी
\( = 5,46,000\) वर्ग सेमी ।
\(1000\) वर्ग सेमी के लिए गत्ते की लागत \( = \text{Rs. }4\)
\(1\) वर्ग सेमी के लिए गत्ते की लागत \( = \frac{4}{1000}\)
\(5,46,000\) वर्ग सेमी के लिए गत्ते की लागत \( = \frac{4}{1000} \times 546000 = \text{Rs. }2184\)
अतः प्रत्येक प्रकार के \(250\) डिब्बे बनवाने की लागत \( = \text{Rs. }2184\)
In simple words: To calculate the total cost for cardboard boxes with overlaps, first calculate the total surface area for all large boxes and all small boxes separately. Sum these areas. Add 5% of this total for overlaps. Finally, use the cost per 1000 cm² to find the overall cost.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate the surface area for each size of box, multiply by the number of boxes, and then add the percentage for overlaps to the total area before calculating the final cost.

Question 8. Class 9 Maths Chapter 13 प्रश्न 8.परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए, एक सन्दूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थायी स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है, जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है)। यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा। नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 मीटर \(\times\) 3 मीटर और ऊँचाई 2.5 मीटर वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?
Answer: हल : ढाँचे की विमाएँ 4 मीटर \(\times\) 3 मीटर \(\times\) 2.5 मीटर हैं।
माना \(\text{l} = 4\) मीटर, \(\text{b} = 3\) मीटर व \(\text{h} = 2.5\) मीटर
ढाँचे को
पाश्र्व पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) परिमाप \(\times\) ऊँचाई \( = 2 (\text{l} + \text{b}) \times \text{h}\)
\( = 2 (4 + 3) \times 2.5 = 14 \times 2.5 = 35\) वर्ग मीटर
तथा छत या ऊपर के पृष्ठ का क्षेत्रफल \( = \text{l} \times \text{b} = 4 \times 3 = 12\) वर्ग मीटर
कुल क्षेत्रफल \( = 35 + 12 = 47\) वर्ग मीटर
अतः ढाँचे के निर्माण में \(47\) वर्ग मीटर तिरपाल की आवश्यकता होगी।
In simple words: To find the amount of tarpaulin needed for a car shelter that is open on one side (the front), calculate the lateral surface area of the cuboid (for the three walls) and the area of the top (ceiling). Sum these areas to get the total tarpaulin required.

🎯 Exam Tip: Carefully read the problem to determine which surfaces are to be covered. In this case, it's the four walls (with one being adjustable/open, but still part of the surface) and the roof, but not the floor.

क्लास नाइंथ मैथ चैप्टर 13 प्रटनावली 13.2

जब तक अन्यथा न कहा जाए, \(\pi = \frac{22}{7}\) लीजिए।

अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन प्रश्न 1.

Question 1. अध्याय 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन प्रश्न 1.ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : माना बेलन के आधार का व्यास \( = 2\text{R}\) सेमी है। \([\text{जहाँ R बेलन की त्रिज्या है ।}]\)
तथा बेलन की ऊँचाई \((\text{h}) = 14\) सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{Rh} = 2 \times \frac{22}{7} \times \text{R} \times 14 = 88\text{R}\) वर्ग सेमी
परन्तु दिया है, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 88\) वर्ग सेमी
\(\implies 88\text{R} = 88\)
\(\implies \text{R} = 1\) सेमी
अतः बेलन का व्यास \( = 2\text{R} = 2 \times 1 = 2\) सेमी।
In simple words: Given the curved surface area and height of a right circular cylinder, you can find its base diameter. Use the formula for curved surface area, \(2\pi\text{rh}\), to solve for the radius (\(\text{r}\)). The diameter is simply twice the radius.

🎯 Exam Tip: Clearly state what is given and what needs to be found. Use the correct formula for the curved surface area of a cylinder, and remember to double the radius to find the diameter.

Question 2. 9th Class Math Chapter 13.1 In Hindi प्रश्न 2.धातु की एक चादर से 1 मीटर ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?
Answer: हल : धातु की टंकी का व्यास \( = 140\) सेमी
धातु की टंकी की त्रिज्या \(\text{r} = \frac{140}{2} = 70\) सेमी \( = [1 \text{ मीटर } = 100 \text{ सेमी}] = 0.7\) मीटर
तथा टंकी की ऊँचाई \(\text{h} = 1\) मीटर
टंकी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{r}(\text{h} + \text{r})\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times (1 + 0.7)\)
\( = 4.4 \times 1.7 = 7.48\) वर्ग मीटर
अतः टंकी को बनाने में प्रयुक्त चादर का क्षेत्रफल \( = 7.48\) वर्ग मीटर ।
In simple words: To find the metal sheet required for a closed cylindrical tank, calculate its total surface area using the formula \(2\pi\text{r}(\text{h} + \text{r})\). Ensure all dimensions (diameter, height) are converted to the same unit (meters) before calculation.

🎯 Exam Tip: For closed containers, remember to use the total surface area formula. Always convert all dimensions to a consistent unit (e.g., meters) before calculation to avoid errors.

Question 3. Exercise 13.2 Class 9 Maths In Hindi प्रश्न 3.धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 सेमी और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है, ज्ञात कीजिए ।
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक धातु के पाइप को दर्शाता है जो एक खोखले सिलेंडर के आकार का है। पाइप की लम्बाई क्षैतिज रूप से दिखाई गई है, और इसका अनुप्रस्थ काट एक गोलाकार वलय है, जिसमें एक आंतरिक और एक बाहरी वृत्त है। यह एक पाइप की संरचना को समझने में मदद करता है जिसके लिए आंतरिक, बाहरी और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना की जानी है।

Answer: हल : धातु के पाइप की लम्बाई या ऊँचाई \((\text{h}) = 77\) सेमी
पाइप के अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास \( = 4\) सेमी
पाइप के अनुप्रस्थ काट की आन्तरिक त्रिज्या \( = \frac{4}{2} = 2\) सेमी
पाइप के अनुप्रस्थ काट का बाहरी व्यास \( = 4.4\) सेमी
पाइप के अनुप्रस्थ काट की बाहरी त्रिज्या \(\text{R} = \frac{4.4}{2} = 2.2\) सेमी
(i) तब पाइप का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times 77\) वर्ग सेमी
\( = 968\) वर्ग सेमी ।
(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{Rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.2 \times 77\) वर्ग सेमी
\( = 2 \times 22 \times 2.2 \times 11\) वर्ग सेमी \( = 1064.8\) वर्ग सेमी ।
(iii) पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) आन्तरिक पृष्ठ \( + \) बाहरी पृष्ठ \( + \) दोनों वलयाकार सिरों का क्षेत्रफल
\( = 968 + 1064.8 + 2\pi(\text{R}^2 - \text{r}^2)\)
\( = 2032.8 + 2 \times \frac{22}{7} (2.2^2 - 2^2)\)
\( = 2032.8 + 2 \times \frac{22}{7} (4.84 - 4)\)
\( = 2032.8 + (2 \times \frac{22}{7} \times 0.84)\)
\( = (2032.8 + 5.28)\) वर्ग सेमी \( = 2038.08\) वर्ग सेमी ।
In simple words: For a hollow cylindrical pipe, you need to calculate three areas: the inner curved surface area, the outer curved surface area, and the total surface area. The total surface area includes both inner and outer curved surfaces plus the areas of the two annular (ring-shaped) ends. Use the respective formulas for each calculation.

🎯 Exam Tip: For hollow objects like pipes, remember to calculate both internal and external curved surface areas. The total surface area must also include the areas of the top and bottom rings (annular regions).

Question 4. Class 9 Maths Exercise 13.1 Solutions In Hindi प्रश्न 4.एक रोलर (roller) का व्यास 84 सेमी है और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का वर्ग मीटर में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : रोलर को व्यास \( = 84\) सेमी \( = 0.84\) मीटर \([1 \text{ मीटर } = 100 \text{ सेमी}]\)
रोलर की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{0.84}{2} = 0.42\) मीटर
और रोलर की लम्बाई \((\text{h}) = 120\) सेमी \( = 1.20\) मीटर
रोलर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.42 \times 1.20\) वर्ग मीटर
\( = 3.168\) वर्ग मीटर
रोलर द्वारा 1 चक्कर लगाकर समतल किया गया मैदान का क्षेत्रफल \( = 3.168\) वर्ग मीटर
रोलर द्वारा \(500\) चक्कर लगाकर समतल किया गया मैदान का क्षेत्रफल \( = 500 \times 3.168\) वर्ग मीटर \( = 1584\) वर्ग मीटर
अतः खेल के मैदान का क्षेत्रफल \( = 1584\) वर्ग मीटर ।
In simple words: To find the area of a playground leveled by a roller, first calculate the curved surface area of the cylindrical roller for one revolution. Ensure all dimensions are converted to meters. Then, multiply this single-revolution area by the total number of revolutions to get the playground's total area.

🎯 Exam Tip: The area covered by a roller in one revolution is equal to its curved surface area. Always convert units to be consistent (e.g., cm to meters) before calculations.

Question 5. Chapter 13 In Maths Class 9 प्रश्न 5.किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मीटर है। Rs. 12.50 प्रति वर्ग मीटर की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : बेलनाकार स्तम्भ का व्यास \( = 50\) सेमी \( = 0.5\) मीटर \([1 \text{ मीटर } = 100 \text{ सेमी}]\)
बेलनाकार स्तम्भ की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{0.5}{2} = 0.25\) मीटर
स्तम्भ की ऊँचाई \((\text{h}) = 3.5\) मीटर
बेलनाकार स्तम्भ का वक्र पृष्ठ \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.25 \times 3.5\) वर्ग मीटर
\( = 5.5\) वर्ग मीटर
1 वर्ग मीटर पर पेंट कराने का व्यय \( = \text{Rs. }12.50\)
\(5.5\) वर्ग मीटर पर पेंट कराने का व्यय \( = (5.5 \times 12.50) = \text{Rs. }68.75\)
अतः स्तम्भ पर पेंट कराने का व्यय \( = \text{Rs. }68.75\)
In simple words: To find the cost of painting a cylindrical pillar, calculate its curved surface area. Ensure all dimensions are in consistent units (meters). Then, multiply the curved surface area by the given cost per square meter to find the total painting cost.

🎯 Exam Tip: For painting a pillar, typically only the curved surface area is considered unless the top/bottom are explicitly mentioned. Always convert given dimensions to a uniform unit before calculation.

Question 6. Class 9th Maths Chapter 13 Exercise 13.5 प्रश्न 6.एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मीटर है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मीटर है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : माना लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई \(\text{h}\) मीटर है।
तथा बेलन की त्रिज्या \((\text{r}) = 0.7\) मीटर
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.7 \times \text{h} = 4.4\text{h}\) वर्ग मीटर
परन्तु दिया है, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4.4\) वर्ग मीटर
\(\implies 4.4\text{h} = 4.4\)
\(\implies \text{h} = 1\) मीटर
अतः बेलन की ऊँचाई \( = 1\) मीटर।
In simple words: Given the curved surface area and radius of a right circular cylinder, you can find its height. Use the formula for curved surface area, \(2\pi\text{rh}\), and substitute the known values to solve for the unknown height (\(\text{h}\)).

🎯 Exam Tip: When an area is given, use the corresponding formula and substitute known values to solve for the unknown dimension. Be careful with calculations involving decimals.

Question 7. Class 9 Math Chapter 13 Hindi Medium प्रश्न 7.किसी वृत्ताकार कुएँ को आन्तरिक व्यास 3.5 मीटर है और यह 10 मीटर गहरा है। ज्ञात कीजिए :
(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ।
(ii) Rs. 40 रुपये प्रति मीटर की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।
Answer: हल : वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास \( = 3.5\) मीटर
वृत्ताकार कुएँ की आन्तरिक त्रिज्या \(\text{r} = \frac{3.5}{2} = 1.75\) मीटर
तथा कुएँ की गहराई \((\text{h}) = 10\) मीटर
(i) कुएँ का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 1.75 \times 10\) वर्ग मीटर
\( = 110\) वर्ग मीटर ।
(ii) 1 वर्ग मीटर पर प्लास्टर कराने का व्यय \( = \text{Rs. }40\)
\(110\) वर्ग मीटर पर प्लास्टर कराने का व्यय \( = (110 \times 40) = \text{Rs. }4400\)
अतः कुएँ के वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने की व्यय \( = \text{Rs. }4400\)
In simple words: To calculate the inner curved surface area and plastering cost for a cylindrical well, first determine its radius from the given diameter. Then, use the formula \(2\pi\text{rh}\) to find the curved surface area. Finally, multiply this area by the cost per square meter to get the total plastering cost.

🎯 Exam Tip: Identify whether the problem requires curved surface area or total surface area. For a well, typically only the inner curved surface is plastered. Convert diameter to radius correctly.

Question 8. नाइंथ क्लास का 13 चैप्टर प्रश्न 8.गरम पानी द्वारा गरम रखने वाले एक संयन्त्र में 28 मीटर लम्बाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?
Answer: हल : बेलनाकार पाइप का व्यास \( = 5\) सेमी \( = 0.05\) मीटर
बेलनाकार पाइप की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{0.05}{2} = 0.025\) मीटर
पाइप की लम्बाई \((\text{h}) = 28\) मीटर
पाइप का वक्र पृष्ठ \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 0.025 \times 28\) वर्ग मीटर
\( = 4.4\) वर्ग मीटर
अतः संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ \( = 4.4\) वर्ग मीटर ।
In simple words: For a hot water heating system using a cylindrical pipe, the total heating surface is its curved surface area. Convert the pipe's diameter to radius and ensure all dimensions are in consistent units (meters). Then, apply the curved surface area formula \(2\pi\text{rh}\) to find the total heating surface.

🎯 Exam Tip: The "heating surface" of a pipe typically refers to its curved surface area. Remember to convert all units (e.g., cm to meters) before starting calculations to ensure accuracy.

Question 9. कक्षा 9 प्रश्नावली 13 पॉइंट एक प्रश्न 9.ज्ञात कीजिए ।
(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पाश्र्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मीटर है और ऊँचाई 4.5 मीटर है।
(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का \(\frac{1}{12}\) भाग बनाने में नष्ट हो गया है?
Answer: हल : (i) बेलनाकार टंकी का व्यास \( = 4.2\) मीटर
टंकी की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{4.2}{2} = 2.1\) मीटर
और टंकी की ऊँचाई \((\text{h}) = 4.5\) मीटर
अतः पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.5\) वर्ग मीटर
\( = 59.4\) वर्ग मीटर
(ii) टंकी के दोनों सिरों के पृष्ठों का क्षेत्रफल \( = 2 \pi \text{r}^2\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times (2.1)^2\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1\)
\( = 27.72\) वर्ग मीटर
बेलनाकार टंकी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( + \) दोनों सिरों के पृष्ठों का क्षेत्रफल
\( = (59.4 + 27.72)\) वर्ग मीटर \( = 87.12\) वर्ग मीटर
माना टंकी को बनाने में \(\text{x}\) वर्ग मीटर इस्पात लगा।
बनाने की क्रिया में नष्ट इस्पात \( = \text{x}\) का \(\frac{1}{12} = \frac{\text{x}}{12}\) भाग
तब टंकी को बनाने में वास्तविक रूप से इस्तेमाल हुए इस्पात का क्षेत्रफल \( = \text{x} - \frac{\text{x}}{12} = \frac{11\text{x}}{12}\)
\(\implies \frac{11\text{x}}{12} = 87.12\)
\(\implies \text{x} = \frac{87.12 \times 12}{11}\)
\(\implies \text{x} = 95.04\) वर्ग मीटर
अतः टंकी को बनाने में वास्तविक रूप से लगा इस्पात \( = 95.04\) वर्ग मीटर।
In simple words: For a closed cylindrical petrol tank, first calculate its curved surface area. Then, calculate the area of its two circular ends. Summing these gives the total surface area. If \(\frac{1}{12}\) of the steel is wasted, then the total surface area represents \(\frac{11}{12}\) of the total steel purchased. Calculate the total steel required using this ratio.

🎯 Exam Tip: For problems involving material waste, calculate the required area first. If a fraction of the material is wasted, the calculated area represents the remaining fraction of the total material purchased. Use this to find the total material needed.

Question 10. प्रश्नावली 13 पॉइंट एक कक्षा 9 प्रश्न 10.संलग्न आकृति में, आप एक लैम्प शेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्प शेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक बेलनाकार लैम्प शेड का फ्रेम दिखाया गया है। यह एक खोखले सिलेंडर जैसा दिखता है, जिसके ऊपर और नीचे गोलाकार सिरे हैं। इस फ्रेम को कपड़े से ढकने के लिए आवश्यक कपड़े की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है, जिसमें ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए अतिरिक्त कपड़ा शामिल है।

Answer: हल : लैम्प शेड वृत्ताकार है।
लैम्प शेड के आधार का व्यास \( = 20\) सेमी
लैम्प शेड के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{20}{2} = 10\) सेमी
और लैम्प शेड की ऊँचाई \((\text{h}) = 30\) सेमी
लैम्प शेड को सजाने में दोनों ओर \(2.5\) सेमी कपड़ा अतिरिक्त छोड़ा जाता है।
कपड़े की लम्बाई \((\text{h}_1) = (30 + 2.5 + 2.5)\) सेमी \( = 35\) सेमी ।
कपड़े का क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}_1\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 10 \times 35\) वर्ग सेमी
\( = 2200\) वर्ग सेमी
अतः लैम्प शेड को ढकने के लिए आवश्यक कपड़े का क्षेत्रफल \(2200\) वर्ग सेमी होगा ।
In simple words: To find the cloth needed for a lampshade, calculate its curved surface area. Adjust the height by adding the extra cloth length required for folding at the top and bottom. Then, use the curved surface area formula \(2\pi\text{rh}\) with the adjusted height to find the total cloth area.

🎯 Exam Tip: When calculating material for covering objects with folds, remember to add the extra length for the folds to the original dimension before calculating the surface area.

Question 11. Class 9 Maths Chapter 13.3 In Hindi प्रश्न 11.किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?
Answer: हल : कलमदान की त्रिज्या \((\text{r}) = 3\) सेमी
और कलमदान की ऊँचाई \((\text{h}) = 10.5\) सेमी ।
बेलनाकार कलमदान का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{rh}\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 3 \times 10.5 = 198\) वर्ग सेमी
कलमदान के आधार का क्षेत्रफल \( = \pi\text{r}^2\)
\( = \frac{22}{7} \times 3 \times 3 = \frac{198}{7}\) वर्ग सेमी
कलमदान का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 198 + \frac{198}{7}\)
\( = \frac{1386 + 198}{7} = \frac{1584}{7}\) वर्ग सेमी ।
1 कलमदान के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल \( = \frac{1584}{7}\) वर्ग सेमी
35 कलमदानों के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल \( = 35 \times \frac{1584}{7}\) वर्ग सेमी
\( = 5 \times 1584 = 7920\) वर्ग सेमी
अतः विद्यालय को \(7920\) वर्ग सेमी गत्ता खरीदना होगा।
In simple words: To find the total cardboard needed for 35 cylindrical pen holders (open at the top), calculate the curved surface area and the base area for one pen holder. Sum these areas to get the total cardboard for one holder. Then, multiply this by 35 to find the total cardboard needed for all participants.

🎯 Exam Tip: For objects open at the top (like pen holders), remember to calculate the curved surface area plus only one base area, not two. Multiply the area per item by the total number of items needed.

Class 9 Math Chapter 13 In Hindi प्रश्नावली 13.3

जब तक अन्यथा न कहा जाए \(\pi = \frac{22}{7}\) लीजिए।

Question 1. शंकु के आधार का व्यास 10.5 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : शंकु के आधार का व्यास \( = 10.5\) सेमी
शंकु के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{10.5}{2}\) सेमी \( = \frac{105}{20}\) सेमी \( = \frac{21}{4}\) सेमी
और शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = 10\) सेमी
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi\text{rl}\)
\( = \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 10\) वर्ग सेमी
\( = 165\) वर्ग सेमी
अतः शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 165\) वर्ग सेमी।
In simple words: To find the curved surface area of a cone, first calculate its radius from the given diameter. Then, use the formula \(\pi\text{rl}\), where \(\text{r}\) is the radius and \(\text{l}\) is the slant height, to determine the curved surface area.

🎯 Exam Tip: Always remember to convert the diameter to radius before using it in formulas. The curved surface area of a cone only requires the radius and slant height.

Question 2. Class 9 Maths Chapter 13.4 In Hindi प्रश्न 2.एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 मीटर है और आधार का व्यास 24 मीटर है।
Answer: हल : शंकु के आधार का व्यास \( = 24\) मीटर
शंकु के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{24}{2} = 12\) मीटर
और शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = 21\) मीटर
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) वक्र पृष्ठ \( + \) आधार का क्षेत्रफल
\( = \pi\text{rl} + \pi\text{r}^2 = \pi\text{r}(\text{l} + \text{r})\)
\( = \frac{22}{7} \times 12 \times (21 + 12)\)
\( = \frac{22}{7} \times 12 \times 33\) वर्ग मीटर
\( = \frac{8712}{7}\) वर्ग मीटर \( = 1244.57\) वर्ग मीटर
अतः शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 1244.57\) वर्ग मीटर।
In simple words: To find the total surface area of a cone, first calculate its radius from the given diameter. Then, use the formula \(\pi\text{r}(\text{l} + \text{r})\), which includes both the curved surface area (\(\pi\text{rl}\)) and the base area (\(\pi\text{r}^2\)), to find the total surface area.

🎯 Exam Tip: The total surface area of a cone includes both its curved surface and the circular base. Ensure you correctly apply the formula \(\pi\text{r}(\text{l} + \text{r})\) and perform all calculations accurately.

Question 3. Class 9 13.1 प्रश्न 3.एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 सेमी है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 सेमी है। ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ।
Answer: हल : (i) माना शंकु के आधार की त्रिज्या \(\text{r}\) सेमी है।
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = 14\) सेमी
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi\text{rl}\)
\( = \frac{22}{7} \times \text{r} \times 14 = 44\text{r}\) वर्ग सेमी
परन्तु प्रश्न में दिया है कि शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(308\) वर्ग सेमी है।
\(\implies 44\text{r} = 308\)
\(\implies \text{r} = \frac{308}{44} = 7\) सेमी
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या \( = 7\) सेमी।
(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \) वक्र पृष्ठ \( + \) आधार का क्षेत्रफल
\( = \pi\text{rl} + \pi\text{r}^2 = \pi\text{r}(\text{l} + \text{r})\)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times (14 + 7)\)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 21\) वर्ग मीटर
\( = 462\) वर्ग सेमी
अतः शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 462\) वर्ग सेमी।
In simple words: Given the curved surface area and slant height of a cone, first find its radius using the formula \(\pi\text{rl}\). Then, use this radius along with the slant height to calculate the total surface area, which is the sum of the curved surface area and the base area, using \(\pi\text{r}(\text{l} + \text{r})\).

🎯 Exam Tip: When the curved surface area is provided, use its formula to derive an unknown dimension (like radius or slant height). Then, use all known dimensions to find the total surface area.

Question 4. प्रश्नावली 13.2 कक्षा 9 प्रश्न 4.शंकु के आकार का एक तम्बू 10 मीटर ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 मीटर है। ज्ञात कीजिए:
(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई ।
(ii) तम्बू में लगे कैनवास (canvas) की लागत, यदि 1 मीटर कैनवास की लागत Rs. 70 है।
Answer: हल : (i) तम्बू के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = 24\) मीटर
तथा ऊँचाई \((\text{h}) = 10\) मीटर
शंक्वाकार तम्बू की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = \sqrt{\text{h}^2 + \text{r}^2}\)
\( = \sqrt{(10)^2 + (24)^2}\)
\( = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676}\)
\(\implies \text{l} = 26\) मीटर
अतः तम्बू की तिर्यक ऊँचाई \( = 26\) मीटर।
(ii) शंकु के आकार वाले तम्बू का वक्र पृष्ठ \( = \pi\text{rl}\)
\( = \frac{22}{7} \times 24 \times 26\) वर्ग मीटर \( = \frac{13,728}{7}\) वर्ग मीटर
तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास का क्षेत्रफल \( = \frac{13,728}{7}\) वर्ग मीटर
1 वर्ग मीटर कैनवास की लागत \( = \text{Rs. }70\)
\(\frac{13,728}{7}\) वर्ग मीटर कैनवास की लागत \( = \text{Rs. } \left(\frac{13,728}{7} \times 70\right) = \text{Rs. }1,37,280\)
अतः तम्बू में लगे कैनवास की लागत \( = \text{Rs. }1,37,280\)
In simple words: For a conical tent, first find the slant height using the Pythagorean theorem (\(\text{l} = \sqrt{\text{h}^2 + \text{r}^2}\)). The canvas needed is the curved surface area of the cone (\(\pi\text{rl}\)). Multiply this area by the cost per square meter to find the total cost of the canvas.

🎯 Exam Tip: The canvas for a tent only covers the curved surface, not the base. Always calculate the slant height first if it's not given, as it's crucial for the curved surface area formula.

Question 5. 9th Class Math Chapter 13 प्रश्न 5.8 मीटर ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 मीटर वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मान कर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 सेमी तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (\(\pi = 3.14\) का प्रयोग कीजिए ।)
Answer: हल : शंकु के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = 6\) मीटर
तथा शंकु की ऊँचाई \((\text{h}) = 8\) मीटर
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = \sqrt{\text{h}^2 + \text{r}^2} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2}\)
\( = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10\) मीटर
तम्बू का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi\text{rl} = 3.14 \times 6 \times 10 = 188.40\) वर्ग मीटर
तिरपाल का क्षेत्रफल \(188.40\) वर्ग मीटर
तिरपाल की चौड़ाई \( = 3\) मीटर
तिरपाल की लम्बाई \( = \frac{\text{तिरपाल का क्षेत्रफल}}{\text{तिरपाल की चौड़ाई}} = \frac{188.40}{3} = 62.80\) मीटर
परन्तु दिया है सिलाई इत्यादि में प्रयुक्त तिरपाल \( = 20\) सेमी \( = 0.20\) मीटर \([: 1 \text{ सेमी } = \frac{1}{100} \text{ मीटर }]\)
अतः तिरपाल की कुल लम्बाई \( = (62.80 + 0.20)\) मीटर \( = 63\) मीटर।
In simple words: To find the total length of tarpaulin needed for a conical tent, first calculate the slant height of the cone. Then, find the curved surface area of the tent. Since the tarpaulin is a rectangle, its area (length \(\times\) width) must equal the tent's curved surface area. Given the width, calculate the required length. Finally, add any extra length for stitching and cutting.

🎯 Exam Tip: The area of the rectangular tarpaulin must be equal to the curved surface area of the conical tent. Remember to add any specified extra material for stitching to the calculated length.

Question 6. 9th Class Math Chapter 13 In Hindi प्रश्न 6.शंकु के आधार की एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 25 मीटर और 14 मीटर हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर Rs. 210 प्रति 100 मीटर की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : शंक्वाकार गुम्बज के आधार का व्यास \( = 14\) मीटर
शंक्वाकार गुम्बज के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{14}{2} = 7\) मीटर
तथा गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = 25\) मीटर
गुम्बज का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \pi\text{rl}\)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\) वर्ग मीटर
100 वर्ग मीटर पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय \( = \text{Rs. }210\)
1 वर्ग मीटर पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय \( = \frac{210}{100}\)
550 वर्ग मीटर पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय \( = \text{Rs. } \frac{210}{100} \times 550 = \text{Rs. }1155\)
अतः गुम्बज के वक्र पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय \( = \text{Rs. }1155\)
In simple words: To find the cost of whitewashing a conical dome, first calculate its radius from the given diameter. Then, find the curved surface area of the dome using \(\pi\text{rl}\). Finally, use the given rate (cost per 100 square meters) to calculate the total cost for the calculated curved surface area.

🎯 Exam Tip: For whitewashing a dome, only the curved surface area is considered. Pay attention to the rate given per 100 square meters, converting it to a rate per 1 square meter before final cost calculation.

Question 7. Exercise 13.5 Class 9 प्रश्न 7.एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : जोकर की टोपी शंक्वाकार है।
टोपी के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = 7\) सेमी
तथा टोपी की ऊँचाई \((\text{h}) = 24\) सेमी
टोपी की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = \sqrt{\text{h}^2 + \text{r}^2} = \sqrt{(24)^2 + (7)^2}\)
\( = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25\) सेमी
टोपी का वक्र पृष्ठ \( = \pi\text{rl}\)
\( = \frac{22}{7} \times 7 \times 25 = 550\) वर्ग सेमी
1 टोपी बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल \( = 550\) वर्ग सेमी
10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल \( = 10 \times 550 = 5500\) वर्ग सेमी
अतः आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल \( = 5500\) वर्ग सेमी।
In simple words: To find the total cardboard needed for 10 conical joker caps, first calculate the slant height of one cap using its height and radius. Then, find the curved surface area of one cap (as the base is open). Multiply this area by 10 to get the total cardboard required for all caps.

🎯 Exam Tip: A joker's cap is open at the base, so only its curved surface area is required. Ensure you calculate the slant height correctly using the Pythagorean theorem before calculating the curved surface area.

Question 8. Class 9 Maths 13.8 In Hindi प्रश्न 8.किसी बस स्टॉप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 सेमी है और ऊँचाई 1 मीटर है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर Rs. 12 प्रति मीटर है, तो इनको पेंट कराने में कितनी लांगत आएगी? (\(\pi = 3.14\) और \(\sqrt{1.04} = 1.02\) को प्रयोग कीजिए ।)
Answer: हल : शंकु के आधार का व्यास \( = 40\) सेमी
शंकु के आधार की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{40}{2} = 20\) सेमी \( = 0.20\) मीटर \([: 1 \text{ सेमी } = \frac{1}{100} \text{ मीटर }]\)
और शंकु की ऊँचाई \((\text{h}) = 1\) मीटर
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((\text{l}) = \sqrt{\text{h}^2 + \text{r}^2}\)
\( = \sqrt{(1)^2 + (0.2)^2}\)
\( = \sqrt{1 + 0.04} = \sqrt{1.04}\)
\( = 1.02\) मीटर \([\sqrt{1.04} = 1.02]\)
अब, शंकु का तिर्यक पृष्ठ \( = \pi\text{rl}\)
\( = 3.14 \times 0.2 \times 1.02\) वर्ग मीटर
\( = 0.64056\) वर्ग मीटर
\(50\) शंकुओं का तिर्यक पृष्ठ \( = 50 \times 0.64056\) वर्ग मीटर
\( = 32.028\) वर्ग मीटर
1 वर्ग मीटर पेंट कराने में आयी लागत \( = \text{Rs. }12\)
\(32.028\) वर्ग मीटर पेंट कराने में आयी लागत \( = \text{Rs. } (12 \times 32.028) = \text{Rs. }384.336 \approx \text{Rs. }384.34\)
अतः शंकुओं पर पेंट कराने में लगभग Rs. 384.34 व्यय होंगे।
In simple words: To find the cost of painting 50 hollow cones, first calculate the radius in meters from the given diameter. Then, find the slant height using the Pythagorean theorem. Calculate the curved surface area of one cone using \(\pi\text{rl}\). Multiply this by 50 to get the total area to be painted, and then multiply by the painting rate per square meter.

🎯 Exam Tip: For hollow cones used as road dividers, only the curved surface area is painted. Remember to convert all units to be consistent (e.g., cm to meters) and use the given value for \(\pi\) and \(\sqrt{}\) if specified.

Class 9 Maths Chapter 13 Exercise 13.6 In Hindi प्रश्नावली 13.4

जब तक अन्यथा न कहा जाए, \(\pi = \frac{22}{7}\) लीजिए ।

Surface Area And Volume Class 9 प्रश्न 1.

Question 1. Surface Area And Volume Class 9 प्रश्न 1.निम्नलिखित त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 10.5 सेमी
(ii) 5.6 सेमी
(iii) 14 सेमी ।
Answer: हल : (i) गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = 10.5\) सेमी \( = \frac{105}{10}\) सेमी \( = \frac{21}{2}\) सेमी
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\) वर्ग सेमी
\( = 1386\) वर्ग सेमी।
(ii) गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = 5.6\) सेमी
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 5.6 \times 5.6\) वर्ग सेमी
\( = 394.24\) वर्ग सेमी।
(iii) गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = 14\) सेमी
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14\) वर्ग सेमी
\( = 2464\) वर्ग सेमी।
In simple words: To find the surface area of a sphere, use the formula \(4\pi\text{r}^2\), where \(\text{r}\) is the radius. Substitute the given radius for each case into the formula and perform the calculation.

🎯 Exam Tip: The formula for the surface area of a sphere is \(4\pi\text{r}^2\). Ensure accurate calculation, especially when dealing with decimal or fractional radii.

Question 2. Class 9 Chapter 13 Exercise 13.8 प्रश्न 2.निम्नलिखित व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) 14 सेमी,
(ii) 21 सेमी,
(iii) 3.5 मीटर ।
Answer: हल : (i) गोले का व्यास \( = 14\) सेमी
गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{14}{2} = 7\) सेमी
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7\) वर्ग सेमी
\( = 616\) वर्ग सेमी।
(ii) गोले का व्यास \( = 21\) सेमी
गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{21}{2}\) सेमी
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2}\) वर्ग सेमी
\( = 1386\) वर्ग सेमी ।
(iii) गोले का व्यास \( = 3.5\) मीटर
गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{3.5}{2} = \frac{35}{20}\) मीटर \( = \frac{7}{4}\) मीटर
अतः गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
\( = 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4}\) वर्ग मीटर
\( = 38.5\) वर्ग मीटर।
In simple words: To calculate the surface area of a sphere, first convert the given diameter to its radius. Then, apply the formula \(4\pi\text{r}^2\) for each case, ensuring consistent units for radius and that calculations are performed correctly.

🎯 Exam Tip: Always convert diameter to radius (\(\text{r} = \frac{\text{d}}{2}\)) before applying surface area formulas. Be mindful of unit consistency (e.g., cm or meters) throughout the calculation.

Question 3. Class 9 Ex 13.1 प्रश्न 3.10 सेमी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए । (\(\pi = 3.14\) लीजिए ।)
Answer: हल : गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = 10\) सेमी
ध्यान दीजिए कि अर्धगोले का पृष्ठ गोले के पृष्ठ का आधा नहीं होता। इसमें अर्ध भाग के साथ एक समान त्रिज्या का वृत्तीय आधार बढ़ जाता है।
अतः अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = \frac{1}{2} \times 4\pi\text{r}^2 + \) आधार का क्षेत्रफल
\( = 2\pi\text{r}^2 + \pi\text{r}^2 = 3\pi\text{r}^2\)
\( = 3 \times 3.14 \times 10 \times 10\) वर्ग सेमी
\( = 942\) वर्ग सेमी।
In simple words: To find the total surface area of a hemisphere, it's not just half the sphere's surface area. It includes the curved surface area (\(2\pi\text{r}^2\)) and the area of its circular base (\(\pi\text{r}^2\)), summing up to \(3\pi\text{r}^2\). Use the given radius and \(\pi\) value to calculate this.

🎯 Exam Tip: Remember that the total surface area of a hemisphere is \(3\pi\text{r}^2\), not \(2\pi\text{r}^2\), because it includes the flat circular base. Use the specified value of \(\pi\).

Question 4. प्रश्न 4.एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 सेमी से 14 सेमी हो जाती है। इन दोनों अस्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : पहले गुब्बारे की त्रिज्या \((\text{r}) = 7\) सेमी
गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2 = 4\pi \times 7 \times 7 = 196\pi\) वर्ग सेमी ।
हवा भरने के बाद गुब्बारे की त्रिज्या \((\text{R}) = 14\) सेमी
हवा भरने के बाद गुब्बारे का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{R}^2 = 4\pi \times 14 \times 14 = 784\pi\) वर्ग सेमी ।
अतः गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात \( = 196\pi : 784\pi = 1 : 4\)
In simple words: To find the ratio of surface areas of a balloon before and after inflation, calculate the surface area in both cases using \(4\pi\text{r}^2\) with the respective radii. Then, express these two areas as a ratio and simplify.

🎯 Exam Tip: When calculating ratios of surface areas (or volumes) for similar shapes, you can often express the ratio as \((\frac{\text{r}_1}{\text{r}_2})^2\) for areas or \((\frac{\text{r}_1}{\text{r}_2})^3\) for volumes, which simplifies calculations significantly.

Question 5. प्रश्न 5.पीतल से बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 सेमी है। Rs. 16 प्रति 100 सेमी की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास \( = 10.5\) सेमी
अर्द्धगोलाकार कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या \((\text{r}) = \frac{10.5}{2} = \frac{105}{20}\) सेमी \( = \frac{21}{4}\) सेमी।
कटोरे का आन्तरिक पृष्ठ \( = 2\pi\text{r}^2\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4}\)
\( = \frac{693}{4}\) वर्ग सेमी।
\(100\) वर्ग सेमी आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय \( = \text{Rs. }16\)
\(1\) वर्ग सेमी आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय \( = \text{Rs. } \frac{16}{100}\)
\(\frac{693}{4}\) वर्ग सेमी आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय \( = \text{Rs. } \frac{693}{4} \times \frac{16}{100} = \text{Rs. }27.72\)
अतः कटोरे के आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय \( = \text{Rs. }27.72\)
In simple words: To find the cost of tin-plating the inner surface of a hemispherical bowl, first calculate its inner radius from the given diameter. Then, calculate the inner curved surface area using \(2\pi\text{r}^2\). Finally, multiply this area by the cost per 100 square centimeters to get the total cost.

🎯 Exam Tip: For an open hemispherical bowl, only the inner curved surface area is usually considered for plating. Pay attention to the given rate, which might be per 100 units of area, and convert it to a rate per unit area if needed.

Question 6. प्रश्न 6.उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
Answer: हल : माना गोले की त्रिज्या \(\text{r}\) सेमी है।
गोले का पृष्ठ \( = 4\pi\text{r}^2\)
परन्तु प्रश्न में दिया है कि गोले का पृष्ठ \(154\) वर्ग सेमी है।
\(\implies 4\pi\text{r}^2 = 154\)
\(\implies 4 \times \frac{22}{7} \times \text{r}^2 = 154\)
\(\implies \text{r}^2 = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{49}{4}\)
\(\implies \text{r} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}\) सेमी
\(\implies \text{r} = 3.5\) सेमी
अतः गोले की त्रिज्या \((\text{r}) = 3.5\) सेमी ।
In simple words: Given the surface area of a sphere, you can find its radius. Use the formula for the surface area of a sphere, \(4\pi\text{r}^2\), set it equal to the given area, and solve the equation for \(\text{r}\).

🎯 Exam Tip: When an area is given, use the corresponding formula and work backwards to find the unknown dimension. Be careful with algebraic manipulation and square roots.

Question 7. प्रश्न 7.चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है।
चन्द्रमा की त्रिज्या भी पृथ्वी की त्रिज्या की लगभग एक-चौथाई होगी।
माना चन्द्रमा की त्रिज्या \(\text{r}\) है तब पृथ्वी की त्रिज्या \(4\text{r}\) होगी।
तब चन्द्रमा का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\) वर्ग सेमी ।
और पृथ्वी का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi (4\text{r})^2 = 4\pi (16\text{r}^2) = 64\pi\text{r}^2\) वर्ग सेमी ।
अतः चन्द्रमा और पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात \( = 4\pi\text{r}^2 : 64\pi\text{r}^2 = 1 : 16\)
In simple words: Given that the Moon's diameter is one-fourth of Earth's diameter, its radius will also be one-fourth. Let the Moon's radius be \(\text{r}\) and Earth's be \(4\text{r}\). Calculate the surface area for both using \(4\pi\text{r}^2\) and then find the ratio.

🎯 Exam Tip: When dealing with ratios of geometric properties, if a linear dimension (like radius or diameter) has a ratio of \(a:b\), then the ratio of their surface areas will be \(a^2:b^2\) and the ratio of their volumes will be \(a^3:b^3\).

Question 8. प्रश्न 8.एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0. 25 सेमी मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 सेमी है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक अर्धगोलाकार कटोरे को दर्शाता है, जिसकी एक निश्चित मोटाई है। इसमें आंतरिक त्रिज्या (भीतरी किनारे से केंद्र तक) और बाहरी त्रिज्या (बाहरी किनारे से केंद्र तक) स्पष्ट रूप से दिखाई गई है। यह कटोरे की मोटाई को ध्यान में रखते हुए उसके बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना के लिए आवश्यक आयामों को समझने में मदद करता है।

Answer: हल : कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या \((\text{r}) = 5\) सेमी
कटोरे की चादर की मोटाई \((\text{d}) = 0.25\) सेमी ।
कटोरे की बाहरी त्रिज्या \((\text{R}) = \) आन्तरिक त्रिज्या \( + \) मोटाई
\( = 5 + 0.25 = 5.25\) सेमी ।
अर्द्धगोलाकार कटोरे का बाहरी पृष्ठ \( = 2\pi\text{R}^2\)
\( = 2 \times \frac{22}{7} \times 5.25 \times 5.25\) वर्ग सेमी ।
\( = 173.25\) वर्ग सेमी ।
अतः कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 173.25\) वर्ग सेमी ।
In simple words: To find the outer curved surface area of a hemispherical bowl made of thick steel, first calculate the outer radius by adding the internal radius and the steel thickness. Then, use the formula \(2\pi\text{R}^2\) (where \(\text{R}\) is the outer radius) to find the outer curved surface area.

🎯 Exam Tip: For objects with thickness, distinguish between inner and outer radii. For outer surface area, always use the outer radius, which is the sum of the inner radius and the thickness.

Question 9. प्रश्न 9.एक लम्बवृत्तीय बेलन त्रिज्या वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है ज्ञात कीजिए:
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ।
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक बेलनाकार वस्तु को दर्शाता है जो एक गोले को ठीक से घेरे हुए है। इसमें गोले की त्रिज्या और बेलन की त्रिज्या बराबर हैं, और बेलन की ऊँचाई गोले के व्यास के बराबर है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय विन्यास है जिसका उपयोग गोले और बेलन के पृष्ठीय क्षेत्रफलों की तुलना करने के लिए किया जाता है।

Answer: हल : चित्र में लम्ब वृत्तीय बेलन गोले को पूर्णतया घेरे हुए है।
बेलन की त्रिज्या \((\text{R}) = \) गोले की त्रिज्या \((\text{r})\)
(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{RH}\)
चित्र से स्पष्ट है कि बेलन की ऊँचाई \(\text{H} = \) गोले का व्यास \( = 2\text{r}\)
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 2\pi\text{R}(2\text{r})\)
\((\text{R} = \text{r})\)
\( = 2\pi\text{r}(2\text{r}) = 4\pi\text{r}^2\)
अतः बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \( = 4\pi\text{r}^2\)
(iii) उक्त दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों में अनुपात \( = 4\pi\text{r}^2 : 4\pi\text{r}^2 = 1 : 1\)
In simple words: If a right circular cylinder perfectly encloses a sphere, the cylinder's radius equals the sphere's radius, and the cylinder's height equals the sphere's diameter (\(2\text{r}\)). Calculate the surface area of the sphere (\(4\pi\text{r}^2\)) and the curved surface area of the cylinder (\(2\pi\text{RH}\)) using these relationships. Finally, find the ratio of these two areas.

🎯 Exam Tip: In this special case where a cylinder perfectly encloses a sphere, the curved surface area of the cylinder is exactly equal to the surface area of the sphere. This means their ratio will always be 1:1.

प्रश्नावली 13.5

Prashnavali 13.5

Question 1. माचिस की डिब्बी के माप 4 सेमी x 2.5 सेमी x 1.5 सेमी हैं। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?
Answer: माचिस की डिब्बी की माप 4 सेमी x 2.5 सेमी x 1.5 सेमी है। माना \(l\) = 4 सेमी, \(b\) = 2.5 सेमी तथा \(h\) = 1.5 सेमी माचिस की डिब्बी (घनाभ) का आयतन = \(lbh\) = \(4 \times 2.5 \times 1.5\) घन सेमी = 15 घन सेमी 1 माचिस की डिब्बी का आयतन = 15 घन सेमी 12 माचिस की डिब्बियों का आयतन = \(12 \times 15\) = 180 घन सेमी अतः 12 माचिसों के पैकेट का आयतन = 180 घन सेमी।
In simple words: The volume of one matchbox is calculated and then multiplied by 12 to find the total volume for a packet of 12 matchboxes.

🎯 Exam Tip: Remember to calculate the volume of a single item first, then scale it up for multiple items when asked for total volume.

Question 2. एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 मीटर लम्बी, 5 मीटर चौड़ी और 4.5 मीटर गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है? (1 घन मीटर = 1000 लीटर)
Answer: घनाभाकार टंकी की लम्बाई \((l)\) = 6 मीटर, चौड़ाई \((b)\) = 5 मीटर और गहराई \((h)\) = 4.5 मीटर। टंकी का आयतन = \(lbh\) = \(6 \times 5 \times 4.5\) घन मीटर = 135 घन मीटर टंकी में समाहित हो सकने वाले पानी का आयतन = 135 घन मीटर = \(135 \times 1000\) लीटर [1 घन मीटर = 1000 लीटर) = 1,35,000 लीटर अतः टंकी में 1,35,000 लीटर पानी आ सकता है।
In simple words: First, calculate the volume of the cuboidal tank in cubic meters, then convert this volume into liters using the given conversion factor.

🎯 Exam Tip: Always pay attention to unit conversions, especially when dealing with volume and capacity (e.g., cubic meters to liters).

Question 3. एक घनाभाकार बर्तन 10 मीटर लम्बा और 8 मीटर चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घन मीटर द्रव आ सके?
Answer: माना \(h\) मीटर ऊँचा बर्तन होना चाहिए। घनाभाकार बर्तन की लम्बाई \((l)\) = 10 मीटर और चौड़ाई \((b)\) = 8 मीटर घनाभाकार बर्तन का आयतन = \(lbh\) = \(10 \times 8 \times h\) = \(80h\) घन मीटर बर्तन में समा सकने वाले द्रव का आयतन 380 घन मीटर है। \(80 h = 380\)
\( \implies h = 4.75\) मीटर अतः बर्तन की ऊँचाई = 4.75 मीटर।
In simple words: Given the volume, length, and width of a cuboidal container, divide the volume by the product of length and width to find the required height.

🎯 Exam Tip: When a volume is fixed, you can find a missing dimension by rearranging the volume formula. This is a common application-based question.

Question 4. 8 मीटर लम्बा, 6 मीटर चौड़ा और 3 मीटर गहरा एक घनाभाकार गड्डा खुदवाने में 80 प्रति घन मीटर की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer: घनाभाकार गड्ढे की लम्बाई \((l)\) = 8 मीटर, चौड़ाई. \((b)\) = 6 मीटर तथा गहराई \((h)\) = 3 मीटर गड्ढे का ओयतन = \(lbh\) = \((8 \times 6 \times 3)\) घन मीटर = 144 घन मीटर 1 घन मीटर गड्डा खुदवाने का व्यय = Rs. 80
144 घन मीटर गड्डा खुदवाने का व्यय = \(80 \times 144\) = Rs. 11520 अतः गड्डा खुदवाने में होने वाला व्यय = Rs. 11520
In simple words: Calculate the volume of the cuboidal pit, then multiply this volume by the cost per cubic meter to find the total excavation cost.

🎯 Exam Tip: Pay attention to the units of length, width, and depth to ensure the volume is calculated correctly, then apply the cost per unit volume.

Question 5. एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50,000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमशः 2.5 मीटर और 10 मीटर है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer: माना टंकी की चौड़ाई \(b\) मीटर है। टंकी की लम्बाई \((l)\) = 2.5 मीटर और टंकी की गहराई \((h)\) = 10 मीटर। घनाभाकार टंकी का आयतन = \(lbh\) = \(2.5 \times b \times 10\) घन मीटर = \(25b\) घन मीटर टंकी की धारिता = \(25b\) घन मीटर = \(25b \times 1000\) लीटर (1 घन मीटर = 1000 लीटर) = \(25,000b\) लीटर परन्तु प्रश्न में दिया है कि टंकी की धारिता 50,000 लीटर है।
\(25000b = 50,000\)
\( \implies b = \frac{50,000}{25,000} = 2\) मीटर। अतः टंकी की चौड़ाई = 2 मीटर ।
In simple words: Convert the given capacity from liters to cubic meters, then use the volume formula for a cuboid with the given length and height to solve for the missing width.

🎯 Exam Tip: Remember to convert the capacity from liters to cubic meters first, as the dimensions are in meters, to maintain consistent units throughout the calculation.

Question 6. एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 मीटर x 15 मीटर x 6 मीटर मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा?
Answer: गाँव की जनसंख्या = 4000
प्रति व्यक्ति प्रतिदिन पानी की आवश्यकता = 150 लीटर
प्रतिदिन गाँव के लिए आवश्यक पानी की मात्रा = \(4000 \times 150\) लीटर = 6,00,000 लीटर
= 600 घन मीटर (1000 लीटर = 1 घन मीटर)
टंकी की लम्बाई \((l)\) = 20 मीटर,
टंकी की चौड़ाई \((b)\) = 15 मीटर
तथा टंकी की ऊँचाई \((h)\) = 6 मीटर
टंकी का आयतन = \(lbh\) = \(20 \times 15 \times 6\) घन मीटर = 1800 घन मीटर।
अतः पानी से भरी टंकी गाँव के लिए 3 दिन के लिए पर्याप्त होगी।
In simple words: Calculate the total daily water requirement for the village and the total volume of water the tank can hold. Then, divide the tank's total volume by the daily water consumption to find out how many days the water will last.

🎯 Exam Tip: Ensure all quantities are in consistent units (e.g., liters or cubic meters) before performing calculations for duration.

Question 7. किसी गोदाम की मापें 40 मीटर x 25 मीटर x 15 मीटर हैं। इस गोदाम में 1.5 मीटर x 1.25 मीटर x 0.5 मीटर की माप वाले लकड़ी के कितने अधिकतम क्रेट (crate) रखे जा सकते हैं?
Answer: माना लकड़ी के \(n\) क्रेट रखे जा सकते हैं। प्रत्येक क्रेट की माप 1.5 मीटर x 1.25 मीटर x 0.5 मीटर है। अर्थात क्रेट की लम्बाई \((l)\) = 1.5 मीटर, क्रेट की चौड़ाई \((b)\) = 1.25 मीटर क्रेट की ऊँचाई \((h)\) = 0.5 मीटर प्रत्येक क्रेट का आयतन = \(lbh\) = \(1.5 \times 1.25 \times 0.5\) घन मीटर = 0.9375 घन मीटर सभी \(n\) क्रेट्स का आयतन = \(0.9375n\) घन मीटर गोदाम की माप 40 मीटर x 25 मीटर x 15 मीटर है। अर्थात गोदाम की लम्बाई \((l1)\) = 40 मीटर, गोदाम की चौड़ाई \((b1)\) = 25 मीटर तथा गोदाम की ऊँचाई \((h1)\) = 15 मीटर गोदाम का आयतन = \(l1b1h1\) = \(40 \times 25 \times 15\) घन मीटर = 15,000 घन मीटर गोदाम का आयतन लकड़ी के \(n\) क्रेट्स के आयतन के बराबर होना चाहिए। \(0.9375n = 15,000\)
\( \implies n = \frac{15,000}{0.9375} = 16,000\) अतः गोदाम में 16,000 क्रेट्स रखे जा सकते हैं।
In simple words: Calculate the volume of the warehouse and the volume of one wooden crate. Then, divide the warehouse volume by the crate volume to find the maximum number of crates that can be stored.

🎯 Exam Tip: Ensure that all dimensions are in the same units (e.g., meters) before calculating volumes. This is a common pitfall in such problems.

Question 8. 12 सेमी भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी? साथ ही, इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
Answer: 12 सेमी भुजा वाले ठोस घन का आयतन = \((भुजा)^3\) = \((12)^3\) घन सेमी = \(12 \times 12 \times 12\) घन सेमी = 1728 घन सेमी
इस घन को 8 समान आयतन वाले घनों में काटा जा सकता है।
प्रत्येक घन का आयतन = \(\frac{1728}{8}\) = 216 घन सेमी
नए घन का आयतन = 216 घन सेमी
\((नए घन की भुजा)^3 = 216\) घन सेमी
नए घन की भुजा = \(\sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3} = \sqrt[3]{(2)^3 \times (3)^3}\)
= \(2 \times 3\) = 6 सेमी
पहले वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(6 \times (भुजा)^2\)
= \(6 \times (12)^2\) वर्ग सेमी = 864 वर्ग सेमी
तथा नए घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(6 \times (भुजा)^2\)
= \(6 \times 6 \times 6\) वर्ग सेमी = 216 वर्ग सेमी
दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = \(864 : 216\) = \(4 : 1\)
अतः नए घन की भुजा = 6 सेमी और दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात = 4: 1
In simple words: Divide the original cube's volume by 8 to find the volume of each new smaller cube, then calculate the side length of the new cube. Finally, find the surface area of both the original and new cubes and express their ratio.

🎯 Exam Tip: Remember that when a solid is cut into smaller pieces, its total volume remains constant, but the total surface area changes. For cubes, the surface area is \(6 \times \text{side}^2\).

Question 9. 3 मीटर गहरी और 40 मीटर चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा?
Answer: नदी की गहराई \((h)\) = 3 मीटर
और चौड़ाई \((b)\) = 40 मीटर
नदी का परिच्छेद क्षेत्रफल (Sectional Area) = \(h \times b = 3 \times 40\) = 120 वर्ग मीटर
नदी के पानी की चाल 2 किमी प्रति घण्टा है।
1 मिनट में नदी के विस्थापित पानी की लम्बाई = \(\frac{2 \text{ किमी}}{60 \text{ मिनट}} = \frac{2000 \text{ मीटर}}{60 \text{ मिनट}} = \frac{100}{3}\) मीटर
1 मिनट में बहने वाले पानी का आयतन = \(\text{परिच्छेद क्षेत्रफल} \times \text{लम्बाई}\) = \(120 \times \frac{100}{3}\) घन मीटर = 4000 घन मीटर अतः 1 मिनट में समुद्र में 4000 घन मीटर पानी गिरेगा।
In simple words: Calculate the cross-sectional area of the river and the distance the water flows in one minute. Multiply these two values to find the volume of water flowing into the sea per minute.

🎯 Exam Tip: Ensure consistent units – convert kilometers per hour to meters per minute before calculating the volume of water flow.

Prashnavali 13.6

Question 1. एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 सेमी\(^3\) = 1 लीटर)
Answer: माना बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या \(r\) सेमी है।
बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि = \(2 \pi r\)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times r = \frac{44}{7} r\) सेमी
परन्तु प्रश्न के अनुसार बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी है।
\(\frac{44}{7} r = 132\)
\( \implies r = \frac{132 \times 7}{44} = 21\) सेमी
बर्तन की ऊँचाई \((h)\) = 25 सेमी
तब, बेलनाकार बर्तन का आयतन = \(\pi r^2 h\)
= \(\frac{22}{7} \times (21)^2 \times 25\) घन सेमी
= \(22 \times 3 \times 21 \times 25\) = 34,650 घन सेमी
बेलनाकार बर्तन की धारिता = \(\frac{34,650 \text{ घन सेमी}}{1000} \text{ लीटर}\)
= 34.65 लीटर
अतः बर्तन में 34.65 लीटर पानी आ सकता है।
In simple words: Use the given circumference to find the radius of the cylindrical vessel. Then, calculate its volume using the radius and height, and convert the volume from cubic centimeters to liters.

🎯 Exam Tip: Remember the formula for circumference (\(2\pi r\)) and volume of a cylinder (\(\pi r^2 h\)), and the conversion factor between cubic centimeters and liters.

Question 2. लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप को आन्तरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 सेमी\(^3\) लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।
Answer: लकड़ी के बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास = 24 सेमी ।
आन्तरिक त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{24}{2}\) = 12 सेमी
और
लकड़ी के बेलनाकार पाइप का बाह्य व्यास = 28 सेमी
बाह्य त्रिज्या \((R)\) = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी
लकड़ी के बेलनाकार पाइप की लम्बाई \((h)\) = 35 सेमी
पाइप के खोखले भाग का आयतन = \(\pi r^2 h\)
= \(\pi \times (12)^2 \times 35\) घन सेमी
= \(5040 \pi\) घन सेमी
और
लकड़ी सहित पाइप के खोखले भाग का आयतन = \(\pi R^2 h\)
= \(\pi \times (14)^2 \times 35\) घन सेमी
= \(6860 \pi\) घन सेमी
पाइप की लकड़ी का आयतन = \((6860 \pi - 5040 \pi)\) घन सेमी
= \(1820 \pi\) घन सेमी
= \(1820 \times \frac{22}{7}\) घन सेमी = 5720 घन सेमी
पाइप का द्रव्यमान = लकड़ी का द्रव्यमान
= लकड़ी का आयतन \(\times\) 1 मात्रक लकड़ी का द्रव्यमान
= \(5720 \times 0.6\) ग्राम
= 3432 ग्राम = \(\frac{3432}{1000}\) किग्रा
= 3.432 किग्रा
अतः पाइप का द्रव्यमान = 3.432 किग्रा ।
In simple words: Calculate the inner and outer volumes of the cylindrical pipe. Subtract the inner volume from the outer volume to find the volume of the wood. Finally, multiply the wood's volume by its density to find the mass.

🎯 Exam Tip: For hollow objects, the volume of the material is found by subtracting the inner volume from the outer volume. Be careful with internal and external radii calculations.

Question 3. एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है:
(i) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और
(ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा । किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?
Answer: टिन (आयताकार आधार वाले) के डिब्बे की लम्बाई \((l)\) = 5 सेमी,
चौड़ाई \((b)\) = 4 सेमी और ऊँचाई \((h)\) = 15 सेमी
टिन के डिब्बे का आयतन = \(lbh\) = \(5 \times 4 \times 15\) घन सेमी । = 300 घन सेमी
टिन के डिब्बे की धारिता = 300 घन सेमी
प्लास्टिक के (वृत्तीय आधार वाले) डिब्बे का व्यास = 7 सेमी
वृत्तीय आधार वाले डिब्बे की त्रिज्या \((r')\) = \(\frac{7}{2}\) सेमी
डिब्बे की ऊँचाई \((h')\) = 10 सेमी
बेलनाकार डिब्बे का आयतन = \(\pi (r')^2 h'\)
= \(\frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 10\) घन सेमी = \(\frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 10\) घन सेमी = \(22 \times \frac{7}{4} \times 10\) = \(11 \times \frac{7}{2} \times 10\) = \(11 \times 35\) = 385 घन सेमी बेलनाकार डिब्बे की धारिता = 385 घन सेमी
अतः स्पष्ट है कि बेलनाकार डिब्बे की धारिता अधिक है तथा यह आयताकार आधार वाले डिब्बे की धारिता से \((385 - 300)\) = 85 घन सेमी अधिक है।
In simple words: Calculate the volume of the cuboidal tin box and the cylindrical plastic box separately. Compare their volumes to find which one has a greater capacity and by how much.

🎯 Exam Tip: Remember the volume formulas for cuboids (\(l \times b \times h\)) and cylinders (\(\pi r^2 h\)). Convert diameter to radius for the cylinder before calculation.

Question 4. यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी\(^2\) है और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) आधार की त्रिज्या,
(ii) बेलन का आयतन (\(\pi\) = 3.14 लीजिए)
Answer: (i) माना बेलन के आधार की त्रिज्या \(r\) सेमी है। दिया है, बेलन की ऊँचाई \((h)\) = 5 सेमी बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(2\pi rh\) वर्ग सेमी = \(2 \times 3.14 \times r \times 5\) वर्ग सेमी = \(31.4r\) वर्ग सेमी परन्तु प्रश्न में दिया है कि बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी\(^2\) है।
\(31.4r = 94.2\)
\( \implies r = \frac{94.2}{31.4} = 3\) अतः बेलन के आधार की त्रिज्या = 3 सेमी ।
(ii) बेलन की त्रिज्या \((r)\) = 3 सेमी तथा बेलन की ऊँचाई \((h)\) = 5 सेमी बेलन का आयतन = \(\pi r^2 h\) = \(3.14 \times 3 \times 3 \times 5\) घन सेमी = \(3.14 \times 45\) घन सेमी = 141.3 घन सेमी। अतः बेलन का आयतन = 141.3 घन सेमी ।
In simple words: Use the given lateral surface area and height to find the radius of the cylinder. Then, use this radius and height to calculate the cylinder's volume.

🎯 Exam Tip: Know the formulas for the lateral surface area of a cylinder (\(2\pi rh\)) and the volume of a cylinder (\(\pi r^2 h\)). Use the specified value of \(\pi\) (3.14) when given.

Question 5. 10 मीटर गहरे एक बेलनाकार बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय Rs. 2200 है। यदि पेंट कराने की दर 20 प्रति मीटर\(^2\) है तो ज्ञात कीजिए :
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) आधार की त्रिज्या
(iii) बर्तन की धारिता
Answer: (i) बेलनाकार बर्तन की गहराई = 10 मीटर
बेलनाकार बर्तन की आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय = Rs. 2200
पेंट कराने की व्यय दर = Rs. 20 प्रति वर्ग मीटर
बेलनाकार बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठ = \(\frac{\text{पेंट कराने का कुल व्यय}}{\text{पेंट कराने की व्यय दर}}\) = \(\frac{2200}{20}\) = 110 वर्ग मीटर
अतः बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 वर्ग मीटर।
(ii) माना बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या \((r)\) सेमी है।
बर्तन की गहराई \((h)\) = 10 मीटर
तब, बर्तन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(2 \pi r h\)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times r \times 10\) वर्ग मीटर
= \(\frac{440}{7} r\) वर्ग मीटर
परन्तु बर्तन का आन्तरिक पृष्ठ = 110 वर्ग मीटर भी है।
\(\frac{440}{7} r = 110\)
\( \implies r = \frac{110 \times 7}{440} = \frac{7}{4}\) मीटर = 1.75 मीटर
अतः बर्तन के आधार की त्रिज्या = 1. 75 मीटर।
(iii) बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{7}{4}\) मीटर और गहराई \((h)\) = 10 मीटर
बेलनाकार बर्तन का आयतन = \(\pi r^2 h\)
= \(\frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 10\) घन मीटर
= \(\frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 10\) घन मीटर = \(\frac{11 \times 7 \times 5}{4}\) = \(\frac{385}{4}\) घन मीटर = 96.25 घन मीटर
= 96.25 किलोलीटर
In simple words: First, calculate the inner curved surface area by dividing the total cost by the rate. Then, use the curved surface area formula and the given height to find the radius. Finally, calculate the volume of the cylinder using the radius and height and convert it to kiloliters.

🎯 Exam Tip: Remember the relationship between total cost, rate, and area/volume. Ensure accurate unit conversions (meters to kiloliters) and careful calculation of algebraic terms.

Question 6. ऊँचाई 1 मीटर वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?
Answer: माना बेलनाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या \(r\) मीटर है।
बर्तन की ऊँचाई \((h)\) = 1 मीटर
बेलनाकार बर्तन का आयतन = \(\pi r^2 h\) = \(\frac{22}{7} \times r^2 \times 1\)
= \(\frac{22}{7} r^2\) घन मीटर
बेलनाकार बर्तन की धारिता = \(\frac{22}{7} r^2\) घन मीटर
= \(\frac{22}{7} r^2 \times 1000\) लीटर
परन्तु प्रश्न में दिया है कि बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है।
\(\frac{22000}{7} r^2 = 15.4\)
\( \implies r^2 = \frac{15.4 \times 7}{22000} = \frac{154 \times 7}{220000} = \frac{1078}{220000} = \frac{49}{10000}\)
\( \implies r = \sqrt{\frac{49}{10000}} = \frac{7}{100}\) = 0.07 मीटर
बर्तन का वक्र पृष्ठ = \(2 \pi r h\)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times 1\)
= \(2 \times 22 \times 0.01\) = 0.44 वर्ग मीटर
बर्तन के सिरों के दोनों पृष्ठों का क्षेत्रफल = \(2 \times \pi r^2\)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times (0.07)^2\)
= \(2 \times \frac{22}{7} \times 0.0049\) = \(2 \times 22 \times 0.0007\) = 0.0308 वर्ग मीटर
बेलनाकार बर्तन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बर्तन का वक्र पृष्ठ + बर्तन के सिरों के दोनों पृष्ठों का क्षेत्रफल
= \((0.44 + 0.0308)\) वर्ग मीटर
= 0.4708 वर्ग मीटर
अतः बर्तन को बनाने हेतु आवश्यक शीट = 0.4708 वर्ग मीटर।
In simple words: First, convert the given capacity from liters to cubic meters. Use the volume formula for a cylinder with the given height to find the radius. Then, calculate the total surface area of the closed cylindrical vessel (curved surface area plus two circular bases) using the calculated radius and given height.

🎯 Exam Tip: This problem requires multiple steps: unit conversion, solving for radius from volume, and then calculating total surface area. Ensure all calculations are precise to avoid errors in the final result.

Question 7. सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यन्तर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डाल कर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 सेमी है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए ।
Answer: पेंसिल का व्यास = 7 मिमी = 0.7 सेमी [1 मिमी = \(\frac{1}{10}\) सेमी]
पेसिल की त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{0.7}{2}\) सेमी = 0.35 सेमी
पेंसिल की लम्बाई \((h)\) = 14 सेमी
पेंसिल का आयतन = \(\pi r^2 h\) = \(\frac{22}{7} \times (0.35)^2 \times 14\) घन सेमी = \(22 \times 0.35 \times 0.35 \times 2\) = 5.39 घन सेमी।
ग्रेफाइट रॉड का व्यास = 1 मिमी = 0.1 सेमी
ग्रेफाइट रॉड की त्रिज्या \((r')\) = \(\frac{0.1}{2}\) = 0.05 सेमी
ग्रेफाइट रॉड की लम्बाई \((h)\) = 14 सेमी
ग्रेफाइट रॉड का आयतन = \(\pi (r')^2 h\)
= \(\frac{22}{7} \times (0.05)^2 \times 14\) घन सेमी = \(22 \times 0.05 \times 0.05 \times 2\) = 0.11 घन सेमी पेंसिल में लगी लकड़ी का आयतन = पेंसिल का आयतन - ग्रेफाइट रॉड का आयतन = \((5.39 - 0.11)\) घन सेमी = 5.28 घन सेमी अतः लकड़ी का आयतन 5.28 घन सेमी और ग्रेफाइट का आयतन 0.11 घन सेमी है।
In simple words: Calculate the volume of the entire pencil and the volume of the graphite core separately. The volume of the wood is the difference between the pencil's total volume and the graphite's volume.

🎯 Exam Tip: Remember to convert all units to be consistent (e.g., mm to cm). For composite solids like this, calculate the volume of each component and then perform additions or subtractions as required.

Question 8. एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 सेमी ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है?
Answer: बेलनाकार कटोरे का व्यास = 7 सेमी
कटोरे की त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{7}{2}\) सेमी
कटोरे की ऊँचाई \((h)\) = 4 सेमी
बेलनाकार कटोरे में डाले गए सूप का आयतन = \(\pi r^2 h\)
= \(\frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 4\) घन सेमी
= \(\frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 4\) = \(22 \times 7\) = 154 घन सेमी ।
1 रोगी के लिए आवश्यक सूप की मात्रा = 154 घन सेमी
250 रोगियों के लिए आवश्यक सूप की मात्रा = \(250 \times 154\) घन सेमी = 38,500 घन सेमी
= \(\frac{38,500}{1000}\) लीटर = 38.5 लीटर अतः प्रतिदिन 38,500 घन सेमी या 38.5 लीटर सूप तैयार किया जाता है।
In simple words: Calculate the volume of soup in one bowl using the cylindrical volume formula. Multiply this by 250 to find the total soup needed for all patients, then convert to liters.

🎯 Exam Tip: Pay attention to the level of liquid in the container (here, 4 cm height) and the number of beneficiaries to calculate the total quantity correctly.

Prashnavali 13.7

Question 1. उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी|
(i) त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।
Answer: (i) लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या \((r)\) = 6 सेमी तथा ऊँचाई \((h)\) = 7 सेमी।
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (6)^2 \times 7\) घन सेमी
= \(\frac{1}{3} \times 22 \times 36\) घन सेमी
= \(22 \times 12\) = 264 घन सेमी।
अतः लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 264 घन सेमी।
(ii) लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या \((r)\) = 3.5 सेमी = \(\frac{7}{2}\) सेमी
शंकु की ऊँचाई \((h)\) = 12 सेमी
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^2 \times 12\) घन सेमी
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{4} \times 12\) घन सेमी
= \(22 \times 7\) = 154 घन सेमी
अतः लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन = 154 घन सेमी।
In simple words: For both parts, use the formula for the volume of a cone \((\frac{1}{3}\pi r^2 h)\) with the given radius and height to calculate the volume.

🎯 Exam Tip: Accurately substitute the values of radius and height into the cone volume formula. Simplify fractions carefully, especially when \(\pi = \frac{22}{7}\) is used.

Question 2. शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।
Answer: (i) माना शंकु के आकार वाले बर्तन की सीधी ऊँचाई \(h\) सेमी है।
शंकु के आकार वाले बर्तन की त्रिज्या \((r)\) = 7 सेमी और
तिर्यक ऊँचाई \((l)\) = 25 सेमी।
\(r^2 + h^2 = l^2\)
\( \implies 7^2 + h^2 = 25^2\)
\( \implies h^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576\)
\( \implies h = \sqrt{576} = 24\) सेमी
शंकु के आकार के बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^2 \times 24\)
= \(22 \times 7 \times 8\) = 1232 घन सेमी
बर्तन की धारिता = 1232 घन सेमी
= \(\frac{1232}{1000}\) लीटर
= 1.232 लीटर
अतः बर्तन की धारिता = 1.232 लीटर।
(ii) माना शंकु के आकार वाले बर्तन के आधार की त्रिज्या \(r\) सेमी है।
बर्तन की ऊँचाई \((h)\) = 12 सेमी और बर्तन की तिर्यक ऊँचाई \((l)\) = 13 सेमी
\(r^2 + h^2 = l^2\)
\( \implies r^2 + 12^2 = 13^2\)
\( \implies r^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25\)
\( \implies r = \sqrt{25} = 5\) सेमी
तब,
बर्तन का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (5)^2 \times 12\) घन सेमी
= \(\frac{22}{7} \times 25 \times 4\) = \(\frac{2200}{7}\) घन सेमी
बर्तन की धारिता = \(\frac{2200}{7 \times 1000}\) लीटर
= \(\frac{11}{35}\) लीटर
अतः बर्तन की धारिता = \(\frac{11}{35}\) लीटर।
In simple words: For both parts, first find the height of the cone using the Pythagorean theorem (\(l^2 = r^2 + h^2\)). Then, calculate the volume of the cone and convert it to liters.

🎯 Exam Tip: Always calculate the vertical height \(h\) from the slant height \(l\) and radius \(r\) using \(h = \sqrt{l^2 - r^2}\) before computing volume for a cone. Remember the conversion 1000 cm\(^3\) = 1 liter.

Question 3. एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि उसका आयतन 1570 सेमी\(^3\) है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (\(\pi\) = 3.14 प्रयोग कीजिए ।)
Answer: माना शंकु के आधार की त्रिज्या \(r\) सेमी है।
शंकु की ऊँचाई \((h)\) = 15 सेमी
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times 3.14 \times r^2 \times 15\) घन सेमी
= \(3.14 \times 5 \times r^2\) = \(15.70 r^2\) घन सेमी
परन्तु दिया है कि शंकु का आयतन 1570 सेमी\(^3\) है।
\(15.70 r^2 = 1570\)
\( \implies r^2 = \frac{1570}{15.70} = 100\)
\( \implies r = \sqrt{100} = 10\) सेमी
अतः शंकु के आधार की त्रिज्या 10 सेमी है।
In simple words: Use the given volume and height in the cone volume formula to solve for the square of the radius, then take the square root to find the radius.

🎯 Exam Tip: Use the given value of \(\pi\) (3.14) accurately. Algebraically isolate \(r^2\) from the volume formula to find the radius efficiently.

Question 4. यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्बे वृत्तीय शंकु का आयतन \(48\pi\) सेमी\(^3\) है तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए ।
Answer: माना शंकु के आधार का व्यास \(2r\) सेमी है।
शंकु के आधार की त्रिज्या = \(r\) सेमी
और
शंकु की ऊँचाई \((h)\) = 9 सेमी
सूत्र से, शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times 9\) घन सेमी
= \(3 \pi r^2\) घन सेमी
परन्तु प्रश्न में दिया है कि शंकु का आयतन \(48 \pi\) घन सेमी है।
\(3 \pi r^2 = 48 \pi\)
\( \implies r^2 = \frac{48 \pi}{3 \pi} = 16\)
\( \implies r = 4\) सेमी
शंकु के आधार की त्रिज्या 4 सेमी है।
अतः शंकु का व्यास \(4 \times 2\) = 8 सेमी है।
In simple words: Use the given volume and height in the cone volume formula to find the radius, then double the radius to get the diameter.

🎯 Exam Tip: Be careful to distinguish between radius and diameter. Simplify common terms like \(\pi\) early in the equation to make calculations easier.

Question 5. ऊपरी व्यास 3.5 मीटर वाले शंकु के आकार का एक गड्डा 12 मीटर गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
Answer: शंक्वाकार गड्ढे के ऊपरी सिरे का व्यास = 3.5 मीटर
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{3.5}{2}\) मीटर = \(\frac{35}{20}\) मीटर = \(\frac{7}{4}\) मीटर
तथा शंक्वाकार गड्ढे की गहराई \((h)\) = 12 मीटर
शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^2 \times 12\) घन मीटर
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{49}{16} \times 12\) घन मीटर
= \(22 \times \frac{7}{4}\) घन मीटर = \(\frac{77}{2}\) घन मीटर
= 38.5 घन मीटर = 38.5 किलोलीटर
अतः गड्ढे की धारिता = 38.5 घन मीटर या 38.5 किलोलीटर।
In simple words: Calculate the radius from the given diameter, then use the cone volume formula with this radius and the given depth (height). Finally, express the volume in kiloliters, noting that 1 cubic meter equals 1 kiloliter.

🎯 Exam Tip: Convert diameter to radius correctly. Remember that 1 cubic meter is equivalent to 1 kiloliter, simplifying the unit conversion for capacity.

Question 6. एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी\(^3\) है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है तो ज्ञात कीजिए।
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
Answer: शंकु के आधार का व्यास = 28 सेमी
शंकु के आधार की त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{28}{2}\) = 14 सेमी
तथा
शंकु का आयतन = 9856 घन सेमी
(i) माना शंकु की ऊँचाई \(h\) सेमी है।
सूत्रानुसार, शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (14)^2 \times h\) घन सेमी
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 196 \times h\) घन सेमी
= \(\frac{616}{3} h\) घन सेमी
परन्तु प्रश्नानुसार, शंकु का आयतन 9856 घन सेमी है।
\(\frac{616}{3} h = 9856\)
\( \implies h = \frac{9856 \times 3}{616} = 48\) सेमी
अतः शंकु की ऊँचाई = 48 सेमी।
(ii) माना शंकु की तिर्यक ऊँचाई \(l\) सेमी है।
\(l^2 = r^2 + h^2\)
\( \implies l^2 = 14^2 + 48^2\)
\( \implies l^2 = 196 + 2304 = 2500\)
\( \implies l = \sqrt{2500} = 50\) सेमी
अतः शंकु की तिर्यक ऊँचाई 50 सेमी है।
(iii) शंकु की त्रिज्या \((r)\) = 14 सेमी और
शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((l)\) = 50 सेमी।
सूत्र से, शंकु का वक्र पृष्ठ = \(\pi r l\)
= \(\frac{22}{7} \times 14 \times 50\) वर्ग सेमी
= \(22 \times 2 \times 50\) = 2,200 वर्ग सेमी
अतः शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2200 वर्ग सेमी है।
In simple words: First, calculate the radius from the given diameter. Use the volume formula to find the height. Then, use the radius and height to find the slant height. Finally, calculate the curved surface area using the radius and slant height.

🎯 Exam Tip: Break down complex problems into smaller, manageable steps. Use the relationship \(l^2 = r^2 + h^2\) to find the missing height or slant height as needed.

Question 7. भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें भुजा AB 12 सेमी, भुजा BC 5 सेमी और भुजा AC 13 सेमी (कर्ण) है। इसे भुजा AB के परितः घुमाया जा सकता है जिससे एक शंकु बनेगा।
Answer: \(\triangle ABC\) को 12 सेमी वाली भुजा AB के परितः घुमाया जाता है।
शंकु की ऊँचाई \((h)\) = 12 सेमी; और
शंकु की त्रिज्या \((r)\) = शंकु की दूसरी भुजा = 5 सेमी
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \pi \times (5)^2 \times 12\)
= \(\pi \times 25 \times 4\) = \(100 \pi\) घन सेमी
अतः प्राप्त ठोस का आयतन = \(100 \pi\) घन सेमी।
In simple words: When a right-angled triangle is revolved around one of its perpendicular sides, it forms a cone. The side it revolves around becomes the height, and the other perpendicular side becomes the radius. Use these dimensions to calculate the cone's volume.

🎯 Exam Tip: Identify which side becomes the height and which becomes the radius when a right triangle is revolved. The hypotenuse becomes the slant height of the cone.

Question 8. यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए । प्रश्न 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
Answer: \(\triangle ABC\) को 5 सेमी वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है।
शंकु की ऊँचाई \((h)\) = 5 सेमी
और आधार की त्रिज्या \((r)\) = दूसरी भुजा = 12 सेमी
शंकु का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \pi \times (12)^2 \times 5\) घन सेमी
= \(\frac{1}{3} \times \pi \times 144 \times 5\) घन सेमी
= \(48 \times 5 \pi\) = \(240 \pi\) घन सेमी
अतः प्राप्त ठोस का आयतन = \(240 \pi\) घन सेमी।
तब प्रश्न 7 व प्रश्न 8 से प्राप्त ठोसों के आयतनों का अनुपांत = \(100 \pi : 240 \pi\)
= \(5 : 12\)
In simple words: When the triangle is revolved around the 5 cm side, that side becomes the height, and the 12 cm side becomes the radius. Calculate the volume of this new cone. Then, find the ratio of this volume to the volume calculated in Question 7.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to which side acts as the height and which as the radius in each revolution scenario. Ratios should be simplified to their lowest terms.

Question 9. गेहूँ की एक ढेरी 10.5 मीटर व्यास और 3 मीटर ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढका जाता है। वांछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer: गेहूँ की ढेरी से बने शंकु की ऊँचाई \((h)\) = 3 मीटर तथा
आधार का व्यास = 10.5 मीटर = \(\frac{21}{2}\) मीटर
आधार की त्रिज्या \((r)\) = \(\frac{21}{4}\) मीटर
ढेरी का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^2 h\)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{21}{4})^2 \times 3\) घन मीटर
= \(\frac{22}{7} \times \frac{441}{16}\) घन मीटर
= \(\frac{22 \times 63}{16}\) = \(\frac{11 \times 63}{8}\) = \(\frac{693}{8}\) घन मीटर
= 86.625 घन मीटर।
ढेरी से प्राप्त शंकु की तिर्यक ऊँचाई \((l)\) = \(\sqrt{r^2 + h^2}\)
= \(\sqrt{(\frac{21}{4})^2 + (3)^2}\)
= \(\sqrt{\frac{441}{16} + 9} = \sqrt{\frac{441 + 144}{16}} = \sqrt{\frac{585}{16}}\)
= \(\frac{1}{4} \sqrt{585} = \frac{1}{4} \times 24.186\) = 6.046 मीटर = 6.05 मीटर
ढेरी का तिर्यक पृष्ठ = \(\pi r l\)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times 6.05\) = \(22 \times \frac{3}{4} \times 6.05\) = \(16.5 \times 6.05\) = 99.825 वर्ग मीटर
अतः ढेरी को ढकने के लिए कैनवास का क्षेत्रफल = ढेरी का तिर्यक पृष्ठ = 99.825 वर्ग मीटर।
In simple words: Calculate the volume of the conical heap using its radius and height. Then, find the slant height using the Pythagorean theorem, and use it to calculate the curved surface area, which is the required canvas area.

🎯 Exam Tip: For problems involving covering a conical heap, the required canvas area is usually the curved surface area only, as the base rests on the ground. Calculate slant height accurately.

Prashnavali 13.8

Question 1. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्नलिखित हैं
(i) 7 सेमी
(ii) 0.63 मीटर
Answer: (i) गोले की त्रिज्या \((r)\) = 7 सेमी
सूत्र से, गोले का आयतन = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (7)^3\) घन सेमी
= \(\frac{4}{3} \times 22 \times 7 \times 7\) घन सेमी
= \(\frac{4312}{3}\) घन सेमी
= \(1437 \frac{1}{3}\) घन सेमी या 1437.33 घन सेमी
अतः गोले का आयतन = \(1437 \frac{1}{3}\) घन सेमी अथवा लगभग 1437.33 घन सेमी।
(ii) गोले की त्रिज्या \((r)\) = 0.63 मीटर
सूत्र से, गोले का आयतन = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (0.63)^3\) घन मीटर
= \(\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 0.63 \times 0.63 \times 0.63\) घन मीटर
= \(1.047816\) घन मीटर
= 1.05 घन मीटर (लगभग)
अतः गोले का आयतन = 1.05 घन मीटर (लगभग)।
In simple words: For both parts, use the formula for the volume of a sphere \((\frac{4}{3}\pi r^3)\) with the given radius to calculate the volume.

🎯 Exam Tip: Memorize the formula for the volume of a sphere. For decimal radii, be careful with cubic calculations. Maintain consistent units throughout (cm or m).

Question 3. धातु की एक गेंद को व्यास 4.2 सेमी है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति घन सेमी है तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल : गेंद का व्यास = 4.2 सेमी है।
गेंद की त्रिज्या (r) = \( \frac{4.2}{2} \) = 2.1 सेमी
सूत्र से, गेंद का आयतन = \( \frac{4}{3} \pi r^3 \) घन सेमी
= \( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (2.1)^3 \) घन सेमी
= \( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 \times 2.1 \) घन सेमी
= 4 x 22 x 0.1 x 2.1 x 2.1 घन सेमी
= 38.808 घन सेमी
द्रव्यमान = आयतन x घनत्व
गेंद का द्रव्यमान = गेंद का आयतन × गेंद की धातु का घनत्व
= 38.808 घन सेमी x 8.9 ग्राम/घन सेमी
= 345.3912 ग्राम = 345.39 ग्राम (लगभग)
अतः गेंद का द्रव्यमान = 345.39 ग्राम (लगभग)।
In simple words: Calculate the ball's volume using its radius, then multiply by the given density to find its mass.

🎯 Exam Tip: Focus on unit consistency and accurate formula application for volume and mass calculations.

Question 4. चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
Answer: हल : माना पृथ्वी का व्यास 4D मीटर है।
पृथ्वी की त्रिज्या (R) = 2D मीटर
प्रश्नानुसार, चन्द्रमा का व्यास = \( \frac{1}{4} \) पृथ्वी का व्यास
= \( \frac{1}{4} \times 4 D \) = D मीटर
चन्द्रमा की त्रिज्या r = \( \frac{D}{2} \) मीटर
तब चन्द्रमा का आयतन = \( \frac{4}{3} \pi r^3 \)
= \( \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 \) घन मीटर
= \( \frac{\pi D^3}{6} \) घन मीटर
और पृथ्वी का आयतन = \( \frac{4}{3} \pi R^3 \)
= \( \frac{4}{3} \pi (2D)^3 \)
= \( \frac{32 \pi D^3}{3} \) घन मीटर
चन्द्रमा का आयतन \( \implies \)
पृथ्वी का आयतन \( \frac{\frac{\pi D^3}{6}}{\frac{32 \pi D^3}{3}} \)
= \( \frac{\pi D^3}{6} \times \frac{3}{32 \pi D^3} \)
= \( \frac{1}{64} \)
अतः चन्द्रमा का आयतन, पृथ्वी के आयतन का \( \frac{1}{64} \) भाग है।
In simple words: If the Moon's diameter is one-fourth of Earth's, its radius is also one-fourth. Calculate volumes for both, then find their ratio to see how much smaller the Moon's volume is compared to Earth's.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to how changes in diameter/radius affect volume (cubed relationship).

Question 5. व्यास 10.5 सेमी वाले एक अर्द्ध-गोलाव कार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
Answer: हल : कटोरे का व्यास = 10.5 सेमी
कटोरे की त्रिज्या (r) = \( \frac{10.5}{2} \) सेमी = \( \frac{105}{20} \) सेमी = \( \frac{21}{4} \) सेमी
सूत्र से, उक्त त्रिज्या वाले अर्द्धगोलाकार कटोरे का आयतन
= \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \)
= \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{21}{4})^3 \)
= \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \times \frac{21}{4} \) घन सेमी
= \( \frac{4851}{16} \) घन सेमी
= 303.1875 घन सेमी = 303 घन सेमी
= \( \frac{303}{1000} \) लीटर
= 0.303 लीटर
अतः कटोरे में 0.303 लीटर दूध आ सकता है।
In simple words: Find the radius from the diameter, then use the formula for the volume of a hemisphere. Convert the cubic centimeters to liters by dividing by 1000.

🎯 Exam Tip: Remember the correct formula for a hemisphere's volume and the conversion factor between cubic centimeters and liters.

Question 6. एक अर्द्ध-गोलाकार टंकी 1 सेमी मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 मीटर है, तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
Answer: हल : टंकी अर्ध-गोलाकार है और उसकी आन्तरिक त्रिज्या (r) = 1 मीटर है।
टंकी की चादर की मोटाई = 1 सेमी = \( \frac{1}{100} \) मीटर = 0.01 मीटर
टंकी की बाह्य त्रिज्या (R) = टंकी की आन्तरिक त्रिज्या + चादर की मोटाई
= (1 + 0.01) मीटर = 1.01 मीटर
तब पूरी टंकी का आयतन = \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \)
= \( \frac{2}{3} \pi \times (1.01)^3 \) घन मीटर
= \( \frac{2}{3} \pi \times 1.030301 \) घन मीटर
= \( \frac{2.060602 \pi}{3} \) घन मीटर
और टंकी के अन्दर के खोखले भाग का आयतन = \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 \)
= \( \frac{2}{3} \pi (1)^3 \) घन मीटर = \( \frac{2}{3} \pi \) घन मीटर
टंकी में लगी लोहे की चादर का आयतन = पूरी टंकी का आयतन - टंकी के अन्दर के खोखले भाग का आयतन
= \( (\frac{2.060602 \pi}{3} - \frac{2 \pi}{3}) \) घन मीटर
= \( \frac{0.060602 \pi}{3} \) घन मीटर
= \( \frac{0.060602 \times 22}{3 \times 7} \) घन मीटर
= 0.06348 घन मीटर लगभग
अतः टंकी में लगे लोहे का आयतन = 0.06348 घन मीटर (लगभग)।
In simple words: Calculate the outer and inner volumes of the hemispherical tank using the outer and inner radii. The difference between these volumes will give the volume of the iron sheet used.

🎯 Exam Tip: Ensure all units are consistent (meters in this case) before performing calculations and remember to subtract the inner volume from the outer volume.

Question 7. उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
Answer: हल : माना गोले की त्रिज्या r सेमी है।
गोले का वक्र पृष्ठ = \( 4 \pi r^2 \) वर्ग सेमी होगा।
परन्तु प्रश्न में दिया है कि
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।
\( 4 \pi r^2 \) = 154
\( \implies 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 \) = 154
\( \implies r^2 = \frac{154 \times 7}{4 \times 22} = \frac{49}{4} \)
r = \( \frac{7}{2} \) सेमी
सूत्र से, गोले का आयतन = \( \frac{4}{3} \pi r^3 \)
= \( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{2})^3 \) घन सेमी
= \( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \) घन सेमी
= \( \frac{539}{3} \) घन सेमी = 179 \( \frac{2}{3} \) सेमी = 179.67 घन सेमी
अतः गोले का आयतन = 179 \( \frac{2}{3} \) घन सेमी अथवा लगभग 179.67 घन सेमी।
In simple words: First, use the given surface area to find the radius of the sphere. Then, use this radius to calculate the sphere's volume.

🎯 Exam Tip: Carefully solve for the radius from the surface area formula before proceeding to calculate the volume.

Question 8. किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्ध-गोले के आकार का है। अन्दर से, इसमें सफेदी कराने में 498.96 Rs. व्यय हुए । यदि सफेदी कराने की दर 2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए।
(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन ।
Answer: हल :
(i) माना अर्द्ध-गोलाकार गुम्बद की त्रिज्या r मीटर है।
अर्द्ध-गोलाकार गुम्बद खोखला होता है।
अर्द्ध-गोलाकार गुम्बद को आन्तरिक पृष्ठ = \( 2 \pi r^2 \) वर्ग मीटर
तब गुम्बद के आन्तरिक पृष्ठ पर सफेदी कराने का व्यय = आन्तरिक पृष्ठ x प्रति वर्ग मीटर पर सफेदी कराने का व्यय
= Rs. \( 2 \pi r^2 \times 2 \)
= Rs. \( 4 \pi r^2 \)
परन्तु प्रश्न में दिया है कि सफेदी कराने का व्यय Rs. 498.96 है।
\( 4 \pi r^2 \) = 498.96
\( \implies 4 \times \frac{22}{7} \times r^2 \) = 498.96
\( \implies r^2 = \frac{498.96 \times 7}{4 \times 22} = 39.69 \)
r = \( \sqrt{39.69} \) = 6.3 मीटर
अतः गुम्बद के आन्तरिक (वक्र) पृष्ठ का क्षेत्रफल = 249.48 वर्ग मीटर।
(ii) गुम्बद का आयतन = हवा का आयतन
= \( \frac{2}{3} \pi r^3 \)
= \( \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times (6.3)^3 \) घन मीटर
= \( \frac{44}{21} \times 250.047 \) घन मीटर
= 523.908 घन मीटर
अतः गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन 523.908 घन मीटर है।
In simple words: First, use the total cost and rate per square meter to find the inner curved surface area of the dome. Then, use this area to find the dome's radius, and finally, calculate the volume of air inside using the hemisphere volume formula.

🎯 Exam Tip: Remember that the painting is done on the curved surface, so use the formula for the curved surface area of a hemisphere (2πr²), not total surface area.

Question 9. लोहे के संत्ताइस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S' है। ज्ञात कीजिए :
(i) नए गोले की त्रिज्या r'
(ii) S और S' का अनुपात ।
Answer: हल : (i) गोले की त्रिज्या r और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है
तब, S = \( 4 \pi r^2 \)
और गोले का आयतन (V) = \( \frac{4}{3} \pi r^3 \)
सभी 27 गोलों का आयतन (V') = \( 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \)
= \( 36 \pi r^3 \)
नए गोले का आयतन = \( 36 \pi r^3 \)
नए गोले की त्रिज्या r' है: अतः नए गोले का आयतन V' = \( \frac{4}{3} \pi r'^3 \)
तब \( \frac{4}{3} \pi r'^3 \) = \( 36 \pi r^3 \)
\( \implies r'^3 = 27 r^3 = (3r)^3 \)
\( \implies r' = 3r \)
अतः नए गोले की त्रिज्या 3r है, (जहाँ r छोटे गोलों की त्रिज्या है)।
(ii) नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S' = \( 4 \pi r'^2 \)
= \( 4 \pi (3r)^2 \)
= \( 36 \pi r^2 \)
समीकरण (1) व (2) से, S और S' का अनुपात = 1: 9
In simple words: The total volume of 27 small spheres equals the volume of the new large sphere. Use this to find the new radius. Then, calculate the surface areas of one small sphere and the new large sphere and find their ratio.

🎯 Exam Tip: The total volume remains constant during melting and recasting. Volume depends on the cube of the radius, while surface area depends on the square of the radius.

Question 10. दवाई का एक कैपसूल (capsule) 3.5 मिमी व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैपसूल को भरने के लिए कितनी दवाई (घन मिमी में) की आवश्यकता होगी?
Answer: हल : दवाई के कैपसूल (गोले) का व्यास = 3.5 मिमी
कैपसूल गोले की त्रिज्या (r) = \( \frac{3.5}{2} \) मिमी = \( \frac{35}{20} \) मिमी = \( \frac{7}{4} \) मिमी
तब कैपसूल का आयतन = \( \frac{4}{3} \pi r^3 \)
= \( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (\frac{7}{4})^3 \) घन मिमी
= \( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \times \frac{7}{4} \) घन मिमी
= \( \frac{539}{24} \) घन मिमी
= 22 \( \frac{11}{24} \) घन मिमी अथवा 22.46 घन मिमी (लगभग)
अतः कैपसूल में भरने के लिए दवाई की मात्रा 22 \( \frac{11}{24} \) घन मिमी या लगभग 22.46 घन मिमी है।
In simple words: Calculate the radius from the diameter of the spherical capsule. Then, use the formula for the volume of a sphere to find the amount of medicine it can hold.

🎯 Exam Tip: Ensure correct calculation of the radius from the diameter and accurate application of the sphere's volume formula.

प्रश्नावली 13.9 (ऐच्कि)

Question 1. एक लकड़ी के बुक-शैल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ 85 सेमी निम्नलिखित हैं :
ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी । प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पॉलिश कराई जाती है। और आन्तरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पॉलिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी है तो इस बुक-शैल्फ पर पॉलिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक लकड़ी के बुक-शैल्फ को दर्शाता है जिसकी बाहरी विमाएँ 85 सेमी चौड़ा, 110 सेमी ऊँचा और 25 सेमी गहरा हैं। इसमें दो आंतरिक तख्तियाँ हैं जो तीन समान आकार के डिब्बों का निर्माण करती हैं।
हल : दिया है, ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी तथा चौड़ाई = 85 सेमी तख्तों की मोटाई = 5 सेमी ।
पॉलिश वाले भाग का क्षेत्रफल = चार दीवारों का क्षेत्रफल + बुक-शैल्फ के पीछे का क्षेत्रफल + सामने की पट्टिकाओं का क्षेत्रफल
= [(2 x गहराई x ऊँचाई) + (2 x चौड़ाई x गहराई) + (चौड़ाई x ऊँचाई) + {2 x ऊँचाई x मोटाई) + 4 x (चौड़ाई - 5 - 5) मोटाई }]
= [2 (110 + 85) x 25 + 110 x 85 + 110 x 5 x 2 + (75 x 5) x 4]
= 9750 + 9350 + 1100 + 1500
= 21700 वर्ग सेमी
अब प्रति वर्ग सेमी पर पॉलिश कराने का व्यय = 20 पैसे = Rs. \( \frac{20}{100} \)
21700 वर्ग सेमी पर पॉलिश कराने का व्यय = \( (21700 \times \frac{20}{100}) \) = 4340 Rs.
आन्तरिक वक्र पृष्ठ = विमाओं 75 सेमी x 30 सेमी x 20 सेमी के प्रत्येक 3 घनाभों का कुल वक्र पृष्ठ – विमाओं 75 सेमी x 30 सेमी के प्रत्येक 3 घनाभों के सामने के फलक का क्षेत्रफल
= \( 3 \{ 2(75 \times 30 + 30 \times 20 + 75 \times 20) \} - 3 \times (75 \times 30) \)
= 6 (2250 + 600 + 1500) - 6750 = 26100 - 6750 = 19350 वर्ग सेमी
अब, प्रति वर्ग सेमी पर पेंट कराने का व्यय = 10 पैसे = Rs. \( \frac{10}{100} \)
19350 वर्ग सेमी पर पेंट कराने का व्यय = Rs. \( 19350 \times \frac{10}{100} \) = 1935 Rs.
अतः बुक-शैल्फ पर पॉलिश और पेंट कराने का कुल व्यय = Rs. (4340 + 1935) = Rs. 6275
In simple words: Calculate the surface area of the bookshelf's outer parts for polishing and the inner compartment surfaces for painting. Multiply each area by its respective cost per square centimeter and sum them up to find the total expense.

🎯 Exam Tip: Break down complex shapes into simpler geometric forms to calculate surface areas accurately. Pay attention to which surfaces are polished and which are painted.

Question 2. किसी घर के कम्पाउण्ड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिकाकर सजाया जाता है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी के रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति सेमी है तथा काले रंग के पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सेमी हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक दीवार को सजाने के लिए उपयोग किए गए गोलों और बेलनाकार आधारों को दर्शाता है। इसमें लकड़ी के गोलों को छोटे बेलनाकार खंभों पर रखा गया है, जो एक सजावटी पैटर्न बनाते हैं।
हल : बेलन के आधार का क्षेत्रफल = \( \pi r^2 \)
= \( \frac{22}{7} \times 1.5 \times 1.5 \)
= \( \frac{49.5}{7} \) वर्ग सेमी = 7.07 वर्ग सेमी
गोले का व्यास = 21 सेमी
गोले की त्रिज्या R = \( \frac{21}{2} \) सेमी
गोले के गोलीय पृष्ठ का क्षेत्रफल = \( 4 \pi R^2 \)
= \( 4 \times \frac{22}{7} \times \frac{21}{2} \times \frac{21}{2} \)
= 1386 वर्ग सेमी
गोले के पृष्ठ के उस भाग का क्षेत्रफल जिस पर चाँदी का पेंट होना है
= गोले के गोलीय पृष्ठ का क्षेत्रफल - बेलन के आधार का क्षेत्रफल
= (1386 - 7.07) वर्ग सेमी = 1378.93 वर्ग सेमी
25 पैसे प्रति वर्ग सेमी की दर से 8 गोलों को पेंट कराने का व्यय = \( 8 \times 25 \times 1378.93 \) पैसे = 2,75,786 पैसे
= Rs. 2,757.86
बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 1.5 सेमी तथा ऊँचाई (h) = 7 सेमी
बेलन का वक्र पृष्ठ = \( 2 \pi r h \)
= \( 2 \times \frac{22}{7} \times 1.5 \times 7 \) = 66 वर्ग सेमी
5 पैसे प्रति वर्ग सेमी की दर से 8 बेलनों को पेंट कराने का व्यय = \( 5 \times 8 \times 66 \) पैसे
= 2,640 पैसे या Rs. 26.40
अतः पेंट कराने का कुल व्यय = 8 गोलों को पेंट कराने का व्यय + 8 बेलनों को पेंट कराने का व्यय
= 2,757.86 + 26.40
= Rs. 2,784.26
In simple words: Calculate the surface area of the spheres (excluding the base where they rest on cylinders) for silver paint. Calculate the curved surface area of the cylinders for black paint. Multiply each area by the respective cost per square centimeter and sum the costs for all 8 spheres and cylinders.

🎯 Exam Tip: Be careful to subtract the base area of the sphere that is covered by the cylinder when calculating the silver-painted area. Ensure all units are consistent (cm in this case) before calculations.

Question 3. एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है?
Answer: हल : माना गोले का व्यास 200r है
गोले के व्यास में कमी = 200r का 25%
= \( \frac{200r \times 25}{100} \) = 50r
नए गोले का व्यास = 200r - 50r = 150r
नए गोले की त्रिज्या R = \( \frac{150r}{2} \) = 75r
नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 4 \pi R^2 \)
= \( 4 \pi (75r)^2 \)
अब, मूल गोले की त्रिज्या = \( \frac{200r}{2} \) = 100r
मूल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 4 \pi (100r)^2 \)
गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी = मूल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल - नए गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= \( 4 \pi (100r)^2 - 4 \pi (75r)^2 \)
= \( 4 \pi (10000r^2 - 5625r^2) \)
= \( 4 \pi (4375r^2) \)
गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी का प्रतिशत = \( \frac{\text{गोले के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी}}{\text{मूल गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल}} \times 100\% \)
= \( \frac{4 \pi (4375r^2)}{4 \pi (100r)^2} \times 100\% \)
= \( \frac{4375}{10000} \times 100\% \) = 43.75%
अतः गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी = 43.75%
In simple words: If the diameter of a sphere decreases by a certain percentage, calculate the new radius. Then, find the surface areas of both the original and new spheres. The percentage decrease in surface area can be found by comparing the difference in areas to the original area.

🎯 Exam Tip: Remember that the surface area depends on the square of the radius, so a percentage change in diameter/radius will result in a squared percentage change in surface area (not direct proportion).