Official UP Board Solutions for Class 9 Maths: Chapter 13 चतुष्कोष
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Chapter-wise Solutions for Maths: Chapter 13 चतुष्कोष
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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.3
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.3 चतुर्भज
Question 1. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज में उसके शीर्ष से आधार पर डाली गयी माध्यिका उसकी अन्य दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड समद्विभाजित करता है। हलः ज्ञात है: एक △ABC जिसमें E तथा F, AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं। शीर्ष A से BC पर एक रेखाखण्ड AD खींचा जो EF को R पर काटता है। सिद्ध करना है: AR = RD रचना: PAQ, BC के समान्तर रेखा खींची। उपपत्तिः E तथा F, AB तथा AC के मध्य बिन्दु हैं। (दिया है) ... EF || BC PAQ||BC .:. PAQ|| EF || BC
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें शीर्ष A से आधार BC पर एक माध्यिका AD खींची गई है। भुजा AB का मध्यबिन्दु E है और भुजा AC का मध्यबिन्दु F है, तथा EF रेखाखंड खींचा गया है। AD रेखाखंड EF को R पर काटता है, और एक रेखा PAQ भुजा BC के समानांतर खींची गई है जो शीर्ष A से होकर गुजरती है।
Answer: PAQ, EF तथा BC तीन समान्तर रेखायें हैं जो तिर्यक रेखा AB के बीच बराबर अन्तःखण्ड काटती हैं। अतः इन्हीं समान्तर रेखाओं के बीच तिर्यक रेखा AD के बीच बने अन्तः खण्ड भी बराबर होंगे। .:. AR = RD
In simple words: एक त्रिभुज में, एक शीर्ष से आधार पर खींची गई माध्यिका, त्रिभुज की शेष दो भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को समद्विभाजित करती है, जिसका अर्थ है कि यह उसे दो बराबर भागों में बाँट देती है।
🎯 Exam Tip: मध्यबिन्दु प्रमेय का उपयोग करके समान्तर रेखाओं और समान अन्तःखण्डों के गुणों को स्पष्ट रूप से दर्शाना महत्वपूर्ण है।
Question 2. सिद्ध कीजिए कि समलम्ब चतुर्भुज की असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड समान्तर भुजाओं के योग का आधा होता है। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें AB और DC समानांतर भुजाएँ हैं। E भुजा AD का मध्यबिन्दु है और F भुजा BC का मध्यबिन्दु है। एक रेखाखंड EF इन मध्यबिन्दुओं को जोड़ता है, और इस रेखाखंड पर एक बिंदु G स्थित है।
Answer: ज्ञात है: ABCD एक समलम्ब है जिसकी भुजाएँ AB व DC एक दूसरे के समान्तर है। E तथा F क्रमशः AD तथा BC के मध्य बिन्दु हैं। EF को मिलाया। सिद्ध करना है: उपपत्तिः △ABD में, बिन्दु E, भुजा AD का मध्य बिन्दु है तथा EG, भुजा AB के समान्तर है।
... बिन्दु G, BD का मध्य बिन्दु है ... (1)
इसी प्रकार ∆ABD में,
\[ EG = \frac{1}{2} AB \]...(2)
∴ ABCD एक समलम्ब है AB|| DC तथा EF || DC
या
GF|| DC
इस प्रकार ADCB में बिन्दु G, भुजा BD का मध्य बिन्दु है तथा GF, भुजा DC के समान्तर है तथा F, भुजा BC का मध्य बिन्दु है। ...(3)
कथन (1) व (3) से स्पष्ट है कि ADCB में G तथा F भुजाओं BD तथा BC के मध्य बिन्द हैं। ...(4)
समीकरण (2) व (4) को जोड़ने पर
\[ EG+GF = \frac{1}{2} DC + \frac{1}{2} AB \]
\[ EF = \frac{1}{2} (DC + AB) \]
In simple words: एक समलम्ब चतुर्भुज में, असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड, समानांतर भुजाओं की लम्बाइयों के योग का आधा होता है।
🎯 Exam Tip: मध्यबिन्दु प्रमेय और समानांतर रेखाओं के गुणों का सही अनुप्रयोग इस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए आवश्यक है।
Question 3. सिद्ध कीजिए कि समलम्ब चतुर्भुज की असमान्तर भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड समान्तर भुजाओं के समान्तर होता हैं। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें AB और DC समानांतर भुजाएँ हैं। E भुजा AD का मध्यबिन्दु है और F भुजा BC का मध्यबिन्दु है। एक रेखाखंड EF इन मध्यबिन्दुओं को जोड़ता है, और इस रेखाखंड पर एक बिंदु G स्थित है।
Answer: ज्ञात है: E तथा F, AD तथा BC के मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध करना है: EF||AB तथा EF||DC रचनाः माना EF, AB के समान्तर नहीं है। इसलिए EG एक रेखा ऐसी खींची जिससे EG|| AB तथा EG||EG|| AB परन्तु EG तथा EF एक प्रतिच्छेद बिन्दु E पर काटती हैं। परन्तु दो प्रतिच्छेदी रेखा एक रेखा के समान्तर नहीं हो सकती। .. EG तथा EF एक ही रेखा होगी । .. AB|| EF|| DC
In simple words: यदि आप एक समलम्ब चतुर्भुज की असमान्तर भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ते हैं, तो परिणामी रेखाखंड हमेशा चतुर्भुज की समानांतर भुजाओं के समानांतर होगा।
🎯 Exam Tip: इस प्रमाण में विरोधाभास विधि (contradiction method) का उपयोग करना और मध्यबिन्दु प्रमेय को लागू करना महत्वपूर्ण है।
Question 4. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। जिसमें E व F क्रमशः AB व CD के मध्य बिन्दु हैं । सिद्ध कीजिए कि- (i) AF||EC (ii) CE व AF विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समानांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। E भुजा AB का मध्यबिन्दु है और F भुजा CD का मध्यबिन्दु है। रेखाखंड AF और CE खींचे गए हैं, जो विकर्ण BD को क्रमशः M और (एक अचिह्नित बिंदु) पर काटते हैं।
Answer: ज्ञात है: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज में E तथा F क्रमश: AB तथा CD के मध्य बिन्दु हैं।
(i) सिद्ध करना हैः AF|| EC
उपपत्तिः (i) △ADF तथा △BCE में, AD = BC (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ) DF = EB (समान्तर चतुर्भुज की भुजाएँ) ∠ADC = ∠ABC (समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण) अतः ∆ADF ≅ ∆BCE .': AF = EC .': AFCE एक समान्तर चतुर्भुज होगा । (.. AE||FC तथा AE = FC) अतः समान्तर चतुर्भुज में AF||EC
(ii) ∴ समान्तर चतुर्भुज AECF में तिर्यक रेखा BD है। समान्तर चतुर्भुज ABCD में तिर्यक रेखा DB द्वारा काटे गये अन्तःखण्ड बराबर होंगे .. DM = ML = LB अत: CE व AF विकर्ण BD को समत्रिभाजित करते हैं।
In simple words: एक समानांतर चतुर्भुज में, यदि आप विपरीत भुजाओं के मध्यबिन्दुओं को जोड़ते हैं, तो रेखाखंड समानांतर और बराबर होंगे। ये रेखाखंड विकर्ण को तीन बराबर भागों में भी विभाजित करते हैं।
🎯 Exam Tip: सर्वांगसम त्रिभुजों और मध्यबिन्दु प्रमेय का उपयोग करके विकर्ण के समत्रिभाजन को सिद्ध करना एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय प्रमाण है।
Question 5. एक समलम्ब चतुर्भुज में उसके आधार के समान्तर एक रेखा उसकी असमान्तर भुजाओं में से एक को समद्विभाजित करती है। सिद्ध कीजिए कि यह इसके किसी विकर्ण को भी समद्विभाजित करेगी। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें AB और DC समानांतर आधार हैं। एक रेखा EF आधारों के समानांतर खींची गई है, और यह असमान्तर भुजा AD को बिंदु E पर समद्विभाजित करती है। बिंदु G रेखाखंड EF पर है और H विकर्ण AC पर है।
Answer: E, AD का मध्य बिन्दु है । .. DE = EA AB||DC|| EF तिर्यक रेखा DA पर बने अन्तःखण्ड DE = EA (जो दिया है) .. तिर्यक रेखा DB पर बने अन्त:खण्ड DG = GB होंगे। AB के समान्तर रेखा E से होते हुए H,G पर प्रतिच्छेद करते हुए F तक खींची गयी है । ... बिन्दु F, CB का मध्य बिन्दु होगा । DC|| AB .. तिर्यक रेखा CB पर बने अन्तःखण्ड CF = FB तथा तिर्यक रेखा CA पर बने अन्त:खण्ड CH = HA
In simple words: यदि एक रेखा एक समलम्ब चतुर्भुज की एक असमान्तर भुजा को समद्विभाजित करती है और आधारों के समानांतर है, तो यह उस समलम्ब के विकर्ण को भी समद्विभाजित करेगी।
🎯 Exam Tip: इस प्रश्न में मध्यबिन्दु प्रमेय और आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) के व्युत्क्रम का उपयोग प्रमुख है।
Question 6. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा E व F क्रमश: AB व CD के मध्य D, बिन्दु हैं। एक अन्य रेखा GH, AD,EF व BC को क्रमशः G, P व H बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि GP = PH हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समानांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। E भुजा AB का मध्यबिन्दु है और F भुजा CD का मध्यबिन्दु है। एक अन्य रेखा GH खींची गई है जो भुजा AD को G पर, रेखाखंड EF को P पर और भुजा BC को H पर काटती है।
Answer: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। E तथा F, AB तथा CD के मध्य बिन्दु हैं । .. AD||BC, AB तिर्यक रेखा काटती है। .. अन्तःखण्ड AE = EB .. DC तिर्यक रेखा काटती है । .. अन्त:खण्ड DF = FC बिन्दु E को F से मिलाने पर वह बिन्दु P से होकर जाती है। .. तिर्यक रेखा GH के अन्त:खण्ड GP = PH होंगे ।
In simple words: एक समानांतर चतुर्भुज में, यदि एक रेखा विपरीत भुजाओं के मध्यबिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को प्रतिच्छेद करती है, तो वह रेखाखंड उस प्रतिच्छेदक रेखा को भी समद्विभाजित करता है।
🎯 Exam Tip: मध्यबिन्दु प्रमेय और समानांतर रेखाओं के गुणों का प्रयोग करते हुए रेखाखंडों की समानता और समद्विभाजन को सिद्ध करें।
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UP Board Solutions for Class 9 Maths Chapter 13 चतुष्कोष
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