UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.2

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 13 Quadrilateral Ex 13.2

चतुर्भज

Question 1. ABCD एक समचतुर्भुज है। EABF एक सरल रेखा इस प्रकार है कि EA = AB = BF तो सिद्ध कीजिए कि ED व FC को बढ़ाने पर ये समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
Answer: हलः समचतुर्भुज ABCD में, ·· AB = BC = CD = DA
.. EA = AB = BF (दिया है) ED = AC .:: EP|| AC
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समचतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसमें EABF एक सीधी रेखा है। ED और FC को आगे बढ़ाने पर वे बिंदु P पर समकोण (90°) पर प्रतिच्छेद करते हैं। बिंदु O विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
.. समचतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं तथा लम्बवत् होते हैं। .. ∠DOC = 90° .'∴ △DOC तथा △PDC में, DC उभयनिष्ठ ∠PDC = ∠OCD (एकान्तर कोण) ∠ODC = ∠PCD (एकान्तर कोण) अतः △DOC = △PDC.. ∠DOC = ∠DPC = 90°
In simple words: This problem asks us to prove that two lines, ED and FC, intersect at a right angle when extended, given a rhombus ABCD and specific length conditions. The solution uses properties of a rhombus (equal sides, diagonals bisecting at 90°) and angle relationships to show that the intersection angle is 90°.

🎯 Exam Tip: Remember key properties of rhombuses, such as all sides being equal and diagonals bisecting each other at right angles. Understanding alternate angles and vertically opposite angles is crucial for such proofs.

Question 2. सिद्ध कीजिए कि समलम्ब चतर्भज के सम्मुख कोण सम्पुरक होते हैं।
Answer: हलः ज्ञात हैः एक समलम्ब ABCD जिसमें AB||CD तथा AD = BC सिद्ध करना हैः ∠B + ∠D = 180°
रचनाः CP|| AD खींची
उपपत्तिः: AP|| DC तथा AD || PC
.:. APCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को प्रदर्शित करता है जहाँ AB, CD के समानांतर है। एक सहायक रेखा CP, AD के समानांतर खींची गई है, जिससे APCD एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है।
परन्तु AD = PC (दिया है)
AD = BC
PC = BC
.: ∠CBP = ∠CPB
∠A + ∠CPA = 180° ...(1)
∠CPA + ∠CPB = 180° ...(2)
समीकरण (1) व (2) की तुलना से
∠CPA = ∠CPA + ∠CPB
∠A = ∠CPB
∠A = ∠CBP = ∠B
परन्तु समान्तर चतुर्भुज में,
∠A + ∠D = 180°
.. समी० (3) से,
∠B + ∠D = 180°
In simple words: This problem asks us to prove that opposite angles of an isosceles trapezium are supplementary. By drawing a line parallel to one of the non-parallel sides, we create a parallelogram and an isosceles triangle, using their properties to show that the sum of opposite angles is 180°.

🎯 Exam Tip: When dealing with trapeziums, constructing parallel lines to create parallelograms or triangles is a common and effective strategy for proving angle or side relationships. Remember that consecutive interior angles between parallel lines are supplementary.

Question 3. चित्र में, AD व BE त्रिभुज ABC की माध्यिकाएँ हैं तथा BE||DF तो सिद्ध कीजिए कि \(CF = \frac{1}{4}AC\)
Answer: हलः ·· BE||DF तथा BC का मध्य बिन्दु D है। तिर्यक रेखा BC पर बने अन्त:खण्ड BD = DC इसी प्रकार तिर्यक रेखा AC पर बने अन्तःखण्ड
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें AD और BE माध्यिकाएँ हैं। एक रेखा DF, BE के समानांतर खींची गई है, जो AC को F पर काटती है।
EF = FC ...(1)
AE = EC (:' E, AC का मध्य बिन्दु है)
AE = EF + FC
AE = FC + FC [समी॰ (1) से ]
AE = 2FC
\(\frac{AC}{2} = 2FC\)
\(\frac{1}{4}AC = FC\)
In simple words: Given a triangle with medians AD and BE, and BE parallel to DF, we need to prove that CF is one-fourth of AC. The solution uses the intercept theorem and properties of medians to establish the relationship between the segments.

🎯 Exam Tip: The midpoint theorem and intercept theorem are very useful for problems involving parallel lines and midpoints in triangles. Clearly identify parallel lines and transversals to apply these theorems correctly.

Question 4. चित्र में, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है तथा P, भुजा DC का मध्य बिन्दु है। C से PA के समान्तर एक ऐसी रेखा खींचिए कि DA को बढ़ाने से यह बिन्दु Q पर तथा AB को बिन्दु R पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि DQ =2AD तथा CQ = 2CR
Answer: हल: ·.· AP||QC, तिर्यक रेखा DC द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड DP = PC .... (1) इसी प्रकार तिर्यक रेखा AB द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड AR = RB ....(2) ·:: AB||CD .. तिर्यक रेखा द्वारा काटा गया अन्तःखण्ड
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। P, DC का मध्यबिंदु है। C से PA के समानांतर एक रेखा खींची गई है जो DA को बढ़ाने पर Q पर और AB को R पर मिलती है।
CR = RQ या CQ = 2CR इसी प्रकार DQ = 2AD
In simple words: In a parallelogram ABCD, with P as the midpoint of DC, a line parallel to PA is drawn from C, intersecting extended DA at Q and AB at R. We need to prove that DQ is twice AD and CQ is twice CR. The solution utilizes the intercept theorem and properties of parallel lines and parallelograms.

🎯 Exam Tip: When extending sides or drawing parallel lines in a parallelogram, look for similar triangles or apply the intercept theorem. The midpoint theorem is often applicable in such constructions, leading to proportional segments.

Question 5. चित्र में, AB||CD||EF||GH व Ax = XY = YH । यदि AC = 1.5 सेमी तो AG का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: हल: AX|| XY|| YH यदि AC = 1.5 सेमी तिर्यक रेखा AH द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड AX = XY = YH
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र चार समानांतर रेखाओं AB, CD, EF, GH को दर्शाता है, जो एक तिर्यक रेखा AH द्वारा काटी गई हैं। इस तिर्यक रेखा पर AX = XY = YH है। एक अन्य तिर्यक रेखा (यानी AC, CE, EG) भी इन समानांतर रेखाओं को काटती है।
... तिर्यक रेखा AG द्वारा काटे गये अन्त:खण्ड AC = CE = EG = 1.5 सेमी AG = AC + CE + EG = 1.5 + 1.5+ 1.5 = 4.5 सेमी
In simple words: Given a set of parallel lines cut by two transversals, where equal intercepts are made on one transversal, we need to find the total length AG if AC is given. The solution applies the property that parallel lines making equal intercepts on one transversal will make equal intercepts on any other transversal.

🎯 Exam Tip: The property of parallel lines making equal intercepts on transversals is a direct application. If multiple parallel lines cut off equal segments on one transversal, they will cut off equal segments on any other transversal as well. This simplifies calculations of total lengths.

Question 6. चित्र में, ∆ABC की भुजा AC को E तक ऐसे बढ़ाते हैं कि \(CE = \frac{1}{2}AC\) यदि D,BC का मध्य बिन्दु है तथा ED को बढ़ाने पर वह AB से F बिन्दु पर मिलती है। तथा CP व DQ, BA के समान्तर है सिद्ध कीजिए कि \(FD = \frac{1}{3}FE\)
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है। भुजा AC को E तक बढ़ाया गया है, जहाँ CE, AC का आधा है। D, BC का मध्य बिंदु है। ED को आगे बढ़ाने पर वह AB को F पर मिलती है। CP और DQ, BA के समानांतर हैं।
\(CE = \frac{1}{2}AC\) ...(1)
D, BC का मध्य बिन्दु है .. BD = DC △BDF तथा △DCP में,
BD = DC (दिया है) ∠BDF = ∠CDP (शीर्षाभिमुख कोण) ∠FBD = ∠BCP (एकान्तर कोण) अतः △BDF = △DCP FD = DP ...(2) .. AB||CP तथा तिर्यक रेखा FE के द्वारा बने अन्त:खण्ड FD = DP [समी॰ (2) से अभी सिद्ध किया है] .. तिर्यक रेखा AE के द्वारा बने अन्त:खण्ड AQ = QC ...(3) समी॰ (1) व (3) से, \(CE=\frac{1}{2} \times 2 QC\) CE = QC ...(4) इसी प्रकार DQ||CP की तिर्यक रेखा FE पर बने अन्त:खण्ड DP = PE .. समी॰ (2) से, \(FD = \frac{1}{3}FE\)
In simple words: In triangle ABC, AC is extended to E such that CE is half of AC, and D is the midpoint of BC. When ED is extended to meet AB at F, and CP and DQ are parallel to BA, we need to prove that FD is one-third of FE. The solution involves using the midpoint theorem and properties of parallel lines to establish proportional segments.

🎯 Exam Tip: This problem requires careful application of the midpoint theorem and intercept theorem. Identify similar triangles formed by parallel lines and transversals to establish relationships between segments. Break down the problem into smaller parts, proving intermediate segment relations first.

Question 7. चित्र में, ABC एक समकोण त्रिभुज है तथा ∠B = 90° दिया है AB = 9 सेमी, AC = 15 सेमी । D व E क्रमशः AB व AC के मध्य बिन्दु हैं तब BC की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है, जिसमें ∠B 90° का है। D, AB का मध्यबिंदु है और E, AC का मध्यबिंदु है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)
\(15^2 = 9^2 + BC^2\)
225-81 = \(BC^2\)
144 = \(BC^2\) BC = \(\sqrt{144}\) = 12 सेमी
In simple words: Given a right-angled triangle ABC with ∠B = 90°, AB = 9 cm and AC = 15 cm, we need to find the length of BC. The solution applies the Pythagorean theorem to relate the sides of the right triangle and calculate the unknown side.

🎯 Exam Tip: The Pythagorean theorem (\(a^2 + b^2 = c^2\)) is fundamental for right-angled triangles. Always ensure you correctly identify the hypotenuse (the side opposite the right angle) when applying the theorem. Practice recognizing common Pythagorean triples like (9, 12, 15) to speed up calculations.

Question 8. ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। बिन्दु P, DC का मध्य बिन्दु है तथा Q, AC DF पर एक ऐसा बिन्दु है कि \(CQ = \frac{1}{4}AC\) । यदि PQ को बढ़ाने पर वह BC से R बिन्दु पर मिलती है तो सिद्ध कीजिए कि R,BC का मध्य बिन्दु है।
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समांतर चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है। P, DC का मध्यबिंदु है। Q, AC पर एक बिंदु है जहाँ CQ = 1/4 AC। PQ को आगे बढ़ाने पर वह BC को R पर काटती है। M, AC का मध्यबिंदु है।
\(\frac{1}{4}CQ = AC\) ...(1)
समान्तर चतुर्भुज ABCD में
AB = DC तथा AD = BC
समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
.. AM = MC तथा \(\frac{1}{2} = CM\)
.. Q बिन्दु MC का मध्य बिन्दु है।
△CDM में मध्यबिन्दु P को Q से मिलाने वाली रेखा \(PQ = \frac{1}{2}DM\) तथा PQ||DM
△CMB में समान्तर रेखा PQ को आगे R तक बढ़ाने पर QR||MB । अतः △CQR तथा △CMB समरूप त्रिभुज होंगे।
\(\frac{CQ}{CM} = \frac{CR}{RB}\) या \(\frac{1}{2} = \frac{CR}{RB}\) या CR: RB = 1:2
In simple words: In a parallelogram ABCD, P is the midpoint of DC, and Q is a point on AC such that CQ is one-fourth of AC. We need to prove that R is the midpoint of BC when PQ is extended to meet BC at R. The solution involves using the midpoint theorem and properties of similar triangles formed within the parallelogram.

🎯 Exam Tip: This problem combines properties of parallelograms, midpoints, and similar triangles. When given a fractional relationship like \(CQ = \frac{1}{4}AC\), it often hints at using the midpoint theorem or similar triangles. Look for parallel lines and transversals to establish ratios of segments.

Question 9. सिद्ध कीजिए कि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड उसकी समान्तर भुजाओं के समान्तर तथा उनके अन्तर से आधा होता है।
Answer: हलः ज्ञात हैः एक समलम्ब ABCD जिसकी भुजाएं AB तथा DC एक दुसरे के समान्तर हैं तथा P एवं Q विकर्ण AC व BD के मध्य बिन्दु हैं। PQ को मिलाया। सिद्ध करना है: PQ, AB या DC के समान्तर है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जहाँ AB, DC के समानांतर है। P विकर्ण AC का मध्यबिंदु है और Q विकर्ण BD का मध्यबिंदु है। एक सहायक रेखा DP को आगे R तक बढ़ाया गया है जो AB को R पर मिलती है।
रचनाः DP को मिलाया तथा आगे बढ़ाया जिससे वह AB से बिन्दु R पर मिलती है।
उपपत्तिः ·.: AB व DC एक दूसरे के समान्तर हैं जिन्हें तिर्यक रेखा AC, बिन्दु A व C पर काटती है। अब △APR तथा △DPC में
∠1 = ∠2 (एकान्तर अन्तःकोण)
AP = CP (':' P, AC का मध्य बिन्दु है)
∠3 = ∠4 (शीर्षाभिमुख कोण)
अतः △APR = △DPC
AR = DC ...(1)
PR = DP ...(2)
समी० (2) से प्रदर्शित होता है कि P, DR का मध्य बिन्दु है। इस प्रकार △DRB में P तथा Q क्रमशः भुजा DR तथा DB के मध्य बिन्दु हैं।
.. PQ, भुजा RB के समान्तर है।
या PQ.AB के समान्तर है।
'' RB, AB का एक भाग है।
.. PQ, AB तथा DC के समान्तर है।
.. AB व DC एक दुसरे के समान्तर हैं।
△DRB में P तथा Q क्रमशः DR तथा DB के मध्य बिन्दु हैं।
.. \(PQ = \frac{1}{2}RB\)

\(PQ = \frac{1}{2}(AB-AR)\)

\(PQ = \frac{1}{2}(AB-DC)\)
In simple words: This problem asks to prove that the line segment joining the midpoints of the diagonals of a trapezium is parallel to the parallel sides and is half the difference of their lengths. The solution involves constructing an auxiliary line to create similar triangles and applying the midpoint theorem to establish the parallelism and length relationship.

🎯 Exam Tip: This is a standard theorem related to trapeziums. The key is to draw an auxiliary line (like joining the midpoint of a diagonal to a vertex and extending it) to form a triangle where the midpoint theorem can be applied. Proving parallelism often comes before proving the length relation.

Question 10. BM व CN किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से जाने वाली रेखा पर लम्ब है यदि L,BC का मध्य बिन्दु है सिद्ध कीजिए कि LM = LN
Answer: हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है। बिंदु L, भुजा BC का मध्यबिंदु है। शीर्ष B और C से, एक रेखा AN पर क्रमशः BM और CN लंब खींचे गए हैं।
ज्ञात है: BM तथा CN रेखा AN पर लम्ब खींचे गये हैं तथा L, BC का मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध करना है: LM = LN
उपपत्तिः △BML तथा △LNC में, BL = LC (ज्ञात है) ∠BML = ∠CNL (प्रत्येक समकोण) ∠MLB = ∠CLN (शीर्षाभिमुख कोण) अतः △BML = △LNC :: LM = LN
In simple words: Given a triangle ABC, BM and CN are perpendiculars drawn from B and C to a line passing through A, and L is the midpoint of BC. We need to prove that LM = LN. The solution uses the congruence of triangles (AAS criterion) to show that △BML is congruent to △LNC, thereby proving LM = LN by CPCTC.

🎯 Exam Tip: When proving equality of line segments in geometric figures, look for congruent triangles. Identify corresponding sides and angles carefully. The Angle-Angle-Side (AAS) congruence criterion is particularly useful when you have two angles and a non-included side equal. Remember that vertically opposite angles are equal, and perpendicular lines form right angles.