NCERT Solutions for Class 9 Maths: Chapter 12 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
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Practice Class 9 Maths Solutions: Chapter 12 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
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Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence Of Triangles Ex 12.1 त्रिभुजों की सर्वांगसमता
Question 1. दिये गये चित्र में, AD = CB, AB = CD तथा EF, BD को G पर समद्विभाजित करता है तो सिद्ध कीजिए कि G, EF का मध्य बिन्दु है। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक ज्यामितीय आकृति को दर्शाता है जिसमें दो त्रिभुज (△DEG और △GFB) एक-दूसरे के विपरीत कोणों पर स्थित हैं। एक रेखा EF बिंदु G से गुजरती है जो BD को समद्विभाजित करती है, और हमें सिद्ध करना है कि G, EF का भी मध्य बिंदु है।
'.' AB = CB = CD (1)
△DEG तथा △GFB में
DG = GB (दिया है)
\( \angle FGB = \angle DGE \) (शीर्षाभिमुख कोण)
DE = FB (दिया है)
अतः \( \triangle DEG \cong \triangle GFB \)
\( \therefore \) EG = GF
In simple words: हमें यह सिद्ध करना था कि बिंदु G रेखा EF का मध्यबिंदु है। हमने दो त्रिभुजों △DEG और △GFB को सर्वांगसम सिद्ध किया, जिससे यह निष्कर्ष निकला कि उनके संगत भाग EG और GF बराबर हैं, अतः G, EF का मध्यबिंदु है।
🎯 Exam Tip: शीर्षाभिमुख कोणों की पहचान करना और भुजा-कोण-भुजा (SAS) या कोण-भुजा-कोण (ASA) सर्वांगसमता नियमों का सही उपयोग करना ऐसे प्रश्नों को हल करने की कुंजी है।
Question 2. सिद्ध कीजिए कि एक समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाएँ सर्वांगसम होती हैं। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक त्रिभुज ABC दिखाया गया है, जिसमें D और E क्रमशः भुजाओं BC और AC के मध्यबिंदु हैं। रेखा खंड AD और BE त्रिभुज की माध्यिकाएँ हैं, और हम यह सिद्ध करने का प्रयास कर रहे हैं कि ये माध्यिकाएँ बराबर लंबाई की होती हैं।
△ ADC तथा △ ABE में
AB = AC (दिया है)
\( \angle A = \angle C \) (दिया है)
AE = DC ( \( \because \) D, E मध्यबिन्दु है)
अतः \( \triangle ADC \cong \triangle ABE \)
AD = BE ... (1)
इसी प्रकार,
\( \triangle ABE \cong \triangle ACF \)
BE = CF ... (2)
समीकरण (1), (2) से सिद्ध होता है कि AD = BE = CF
\( \therefore \) समबाहु त्रिभुज की माध्यिकाऐं बराबर होती हैं।
In simple words: हमने त्रिभुज ABC में माध्यिकाएँ AD, BE और CF लीं। हमने त्रिभुज ADC और ABE को सर्वांगसम सिद्ध करके AD = BE दिखाया। इसी तरह, BE = CF सिद्ध करके, हमने दिखाया कि तीनों माध्यिकाएँ आपस में बराबर हैं, जो समबाहु त्रिभुज की एक महत्वपूर्ण विशेषता है।
🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं, और इसकी माध्यिकाएँ न केवल बराबर होती हैं बल्कि शीर्षलंब और कोण समद्विभाजक भी होती हैं। सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए सही त्रिभुज युग्म चुनना महत्वपूर्ण है।
Question 3. एक चतुर्भुज ABCD है। जिसमें AB = CD तथा चतुर्भुज का एक अन्तः बिन्दु O इस प्रकार है कि OA = OD तथा OB = OC तो सिद्ध कीजिए कि BC || AD. हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके अंदर एक बिंदु O है। रेखाखंड OA, OB, OC और OD खींचे गए हैं, और यह दिया गया है कि OA=OD और OB=OC। इस ज्यामितीय विन्यास का उपयोग करके हमें BC को AD के समानांतर सिद्ध करना है।
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं \( \therefore \) AB || DC अतः ABCD एक समान्तर चतुर्भुज होगा।
In simple words: दिए गए शर्तों के आधार पर, हमने दिखाया कि चतुर्भुज ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समानांतर होती हैं, इसलिए BC, AD के समानांतर होगा।
🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और गुणों को समझना महत्वपूर्ण है। यदि एक चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समानांतर और बराबर हो, या यदि विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो वह एक समांतर चतुर्भुज होता है।
Question 4. दिये गये चित्र में, AD = BC तथा AC = BD तो सिद्ध कीजिए कि \( \angle ADC = \angle BCD \) हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक चतुर्भुज ABCD प्रदर्शित है, जिसमें विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं। यह दिया गया है कि भुजा AD, BC के बराबर है और विकर्ण AC, BD के बराबर है। हमें यह सिद्ध करना है कि कोण ADC और कोण BCD बराबर हैं।
Answer: [Solution missing in provided text for this question.]
In simple words: इस प्रश्न का समाधान प्रदान नहीं किया गया है, लेकिन इसे हल करने के लिए, हमें त्रिभुज ADC और BCD को सर्वांगसम सिद्ध करना होगा। यदि त्रिभुज सर्वांगसम हैं, तो उनके संगत कोण, जैसे \( \angle ADC \) और \( \angle BCD \), बराबर होंगे।
🎯 Exam Tip: त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए भुजा-भुजा-भुजा (SSS) नियम का उपयोग करें, क्योंकि AD = BC (दिया है), AC = BD (दिया है) और DC दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ भुजा है।
Question 5. दिये गये चित्र में, एक समांतर चतुर्भुज ABCD तथा △BXC और △AYD इस प्रकार है कि BX = DY तथा CX = AY तो सिद्ध कीजिए कि- (i) BX || DY (ii) XY और BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक समांतर चतुर्भुज ABCD दिखाता है जिसमें दो अतिरिक्त त्रिभुज, △BXC और △AYD, संलग्न हैं। बिंदु X और Y को इस प्रकार दर्शाया गया है कि BX=DY और CX=AY। केंद्र में विकर्ण BD और XY एक दूसरे को बिंदु O पर काटते हुए दिखाए गए हैं। हमें BX को DY के समानांतर सिद्ध करना है और यह भी सिद्ध करना है कि XY और BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
△BOX तथा △OYD में
BX = DY
\( \angle BOX = \angle YOD \) (शीर्षाभिमुख कोण)
\( \angle OBX = \angle ODY \) (दिया है)
परन्तु ये एकान्तर कोण है।
अतः \( \triangle BOX \cong \triangle OYD \)
\( \angle BXO = \angle OXD \)
\( \angle OBX = \angle ODY \)
(i) \( \therefore \) BX || YD
(ii) XO = OY तथा BO = OD \( \therefore \) XY, BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
In simple words: हमने पहले त्रिभुज BOX और OYD को सर्वांगसम सिद्ध किया, जिससे यह स्थापित हुआ कि BX, DY के समानांतर है। सर्वांगसमता से यह भी पता चला कि XO = OY और BO = OD, जिसका अर्थ है कि रेखाखंड XY और BD एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
🎯 Exam Tip: समांतर चतुर्भुज के गुणों का उपयोग करें, जैसे सम्मुख भुजाएँ समानांतर और बराबर होती हैं, और विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। शीर्षाभिमुख कोण और एकांतर अंतः कोणों की पहचान करना सर्वांगसमता सिद्ध करने में महत्वपूर्ण हैं।
Question 6. एक चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं तो सिद्ध कीजिए कि इसके कोण, विकर्ण द्वारा समद्विभाजित होते हैं। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समचतुर्भुज (या वर्ग) ABCD दिखाया गया है, जहाँ सभी चार भुजाएँ बराबर हैं। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं, जो बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हमें यह सिद्ध करना है कि ये विकर्ण चतुर्भुज के कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
△ABC तथा △ADC में
AB = DC (दिया है)
AD = BC (दिया है)
AC (उभयनिष्ठ)
अतः \( \triangle ABC \cong \triangle ADC \)
'.' \( \angle BAC = \angle DAC \)
तथा \( \angle BCA = \angle ACD \)
इसी प्रकार विकर्ण BD खींचकर सिद्ध कर सकते हैं।
\( \angle ADB = \angle CDB \) तथा \( \angle ABC = \angle DBC \)
In simple words: हमने त्रिभुज ABC और ADC को सर्वांगसम सिद्ध किया, जिससे यह स्थापित हुआ कि विकर्ण AC कोण A और कोण C को समद्विभाजित करता है। इसी तरह, विकर्ण BD भी कोण B और कोण D को समद्विभाजित करेगा, यह दर्शाता है कि एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों को समद्विभाजित करते हैं।
🎯 Exam Tip: समचतुर्भुज की परिभाषा (चारों भुजाएँ बराबर) को याद रखें। त्रिभुजों की सर्वांगसमता (विशेष रूप से SSS नियम) का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि विकर्ण कोणों को समद्विभाजित करते हैं, क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
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