UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.2

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.2

Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 12 Congruence of Triangles Ex 12.2 त्रिभुजों की सर्वांगसमता

Question 1. दिये गये चित्र में यदि ∠X = ∠Y तथा AB = CB तब सिद्ध कीजिए कि AE = CD हल:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में दो त्रिभुज ΔABE और ΔCDB दर्शाए गए हैं जो बिंदु B पर जुड़े हैं। रेखाखंड AE और CD एक दूसरे को काटते हुए दिख रहे हैं। इसमें ∠X और ∠Y कोणों को चिन्हित किया गया है, और भुजाओं AB तथा CB के बीच संबंध दिखाया गया है।
Answer:

△ABE तथा ABCD में
    ∠B उभयनिष्ठ
    AB = CB (दिया है)
    ∠AEB = 180-∠Y
    ∠BDC = 180-∠X
    तथा ∠X = ∠Y
    ∴ ∠AEB = ∠BDC
अतः ASA कसौटी से
    ΔABE ≅ ABCD
    AE = CD

🎯 Exam Tip: सर्वांगसमता के प्रश्नों में, दिए गए विवरण और चित्र का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करें। ASA (कोण-भुजा-कोण) और AAS (कोण-कोण-भुजा) कसौटियों में भुजा की स्थिति पर विशेष ध्यान दें।

Question 2. यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण उन कोणों को समद्विभाजित करते हैं, जिनसे वे जुड़े हुए हैं तो सिद्ध कीजिए कि वे विकर्ण परस्पर लम्बवत् हैं। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है जिसके विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं। बिंदु O पर विकर्णों के बीच समकोण (90 डिग्री) का निशान है, जो उनकी लम्बवतता को इंगित करता है।
Answer:

△ABC तथा AADC में
    ∠ABD = ∠DBC (दिया है)
    ∠ADB = ∠CDB (दिया है)
    BD (उभयनिष्ठ)
अतः ΔΑΒΟ ≅ ΔADC
    AD = BC ... (1)
    AB = DC ... (2)

इसी प्रकार ABD तथा ABDC में
    ∠ABD = ∠DBC
    ∠ADB = ∠BDC
    BD
अतः A ABD ≅ ABDC
    AB = BC ... (3)
    तथा AD = DC ... (4)
समीकरण (3) व (4) से सिद्ध होता है कि
    AB = BC = CD = DA

अब ΔAOB तथा ΔAOD में
    AB = AD (अभी सिद्ध किया है)
    ∠BAO = ∠DAO (दिया है)
    AO (उभयनिष्ठ)
अतः ΔΑΟΒ ≅ ΔAOD अतः ∠AOB = ∠AOD
परन्तु ∠AOB + ∠AOD = 180°
∴ प्रत्येक ∠AOB = ∠AOD = 90°

🎯 Exam Tip: चतुर्भुज से संबंधित सर्वांगसमता के प्रश्नों में, विकर्णों द्वारा बनने वाले छोटे त्रिभुजों को पहचानना महत्वपूर्ण है। कोण समद्विभाजन की स्थिति में, AAS या ASA कसौटी का उपयोग अक्सर किया जाता है।

Question 3. ABC एक न्यूनकोण त्रिभुज है। B से AC पर लम्ब, Cसे AB पर लम्ब के बराबर है तो सिद्ध कीजिए कि AB = AC हल: ABCE तथा △BCF में
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक न्यूनकोण त्रिभुज ABC को दर्शाता है। इसमें शीर्ष B से भुजा AC पर एक लंब BE खींचा गया है, और शीर्ष C से भुजा AB पर एक लंब CF खींचा गया है। BE और CF दोनों बराबर लम्बाई के हैं।
Answer:

ABCE तथा ABCF में
    BE = CF (दिया है)
    ∠BEC = ∠BFC (प्रत्येक समकोण)
    BC उभयनिष्ठ
अतः ABCE ≅ ABCF
    ∠B = ∠C
    AB = AC

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुजों की सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) कसौटी बहुत उपयोगी होती है। यह पहचानना महत्वपूर्ण है कि त्रिभुज में कौन सी भुजा कर्ण है और कौन सी लंब है।

Question 4. एक समकोण त्रिभुज में, एक न्यूनकोण अन्य कोण का दुगुना है, तो सिद्ध कीजिए कि कर्ण, छोटी भुजा का दुगुना है। हलः
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक समकोण त्रिभुज ABC दर्शाया गया है, जिसमें कोण B समकोण (90 डिग्री) है। कोण A को 'x' और कोण C को '2x' के रूप में चिन्हित किया गया है।
Answer:

माना
    ∠B = 90°
    ∠A = x
    ∠C = 2x
    ∠A + ∠C = 90°
    x + 2x = 90°
    3x = 90°
    x = 90°/3
    x = 30°
    ∠A = 30°
    ∠C = 60°
△ABC में ज्या (sin) नियम से
    \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin 90} \)
    \( \frac{AB}{\sin 60} = \frac{BC}{\sin 30} = \frac{AC}{1} \)
    \( \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{BC}{\frac{1}{2}} = AC \)
    \( \frac{2AB}{\sqrt{3}} = 2BC = AC \)

\( \implies \frac{2AB}{\sqrt{3}} = AC \) ... (1)

\( \implies 2BC = AC \) ... (2)
    \( AB = \sqrt{3} BC \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
    \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
    \( AC^2 = (\sqrt{3} BC)^2 + BC^2 \)
    \( AC^2 = 3BC^2 + BC^2 \)
    \( AC^2 = 4BC^2 \)
    \( AC = \sqrt{4BC^2} \)
    \( AC = 2BC \)
∴ समकोण △ का कर्ण = 2 × △ की सबसे छोटी भुजा
इतिसिद्धम्

🎯 Exam Tip: 30-60-90 त्रिभुज की गुणधर्मों को याद रखना इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने में सहायक होता है। त्रिकोणमितीय अनुपात और पाइथागोरस प्रमेय दोनों का उपयोग किया जा सकता है।