UP Board Solutions Class 9 Maths Chapter 12 Heron s Formula

UP Board Solutions For Class 9 Maths Chapter 12 Heron's Formula (हीरोन सूत्र)

UP Board Class 9 Maths Solution Chapter 12 प्रश्नावली 12.1

Question 1. एक यातायात संकेत बोर्ड पर 'आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा 'a' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड पर परिमाप 180 सेमी है तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल :
दिया है, समबाहु त्रिभुज के आकार के बोर्ड की एक भुजा = a
समबाहु त्रिभुज के आकार के बोर्ड का परिमाप = a + a + a = 3a
त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{3a}{2} \)
हीरोन के सूत्र से,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \)
= \( \sqrt{\frac{3a}{2} \left(\frac{3a}{2}-a\right) \left(\frac{3a}{2}-a\right) \left(\frac{3a}{2}-a\right)} \)
= \( \sqrt{\frac{3a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}} \)
= \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \) वर्ग मात्रक
दिया है, समबाहु त्रिभुज का परिमाप = 180 सेमी
\( \implies \) 3a = 180
\( \implies \) a = \( \frac{180}{3} \) = 60
समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की माप 60 सेमी है।
त्रिभुजाकार बोर्ड का क्षेत्रफल = \( \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{60 \times 60 \times \sqrt{3}}{4} \) वर्ग सेमी
= 900√3 वर्ग सेमी
Answer: अतः बोर्ड का क्षेत्रफल = 900√3 वर्ग सेमी।
In simple words: The area of an equilateral triangle can be found using Heron's formula or a direct formula \( \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \). Given the perimeter, we first find the side length and then calculate the area.

🎯 Exam Tip: Remember to use the correct units for area (e.g., square cm) and ensure all calculations are precise. For equilateral triangles, knowing the direct area formula can save time.

Question 2. किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ 122 मीटर, 22 मीटर और 120 मीटर हैं। इस विज्ञापन से प्रतिवर्ष 5000 प्रति मीटर² की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक फ्लाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार दिखाई गई है, जिसकी भुजाएँ 122 मीटर, 22 मीटर और 120 मीटर हैं। यह दीवार विज्ञापनों के लिए उपयोग की जाती है।
हल :
फ्लाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार की मापें 122 मीटर, 22 मीटर तथा 120 मीटर हैं।
माना a = 122 मीटर, b = 22 मीटर, c = 120 मीटर
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{122+22+120}{2} = \frac{264}{2} \) = 132 मीटर
त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{132(132-122)(132-22)(132-120)} \)
= \( \sqrt{132 \times 10 \times 110 \times 12} \)
= \( \sqrt{(11 \times 12) \times 10 \times (11 \times 10) \times 12} \)
= \( \sqrt{11 \times 11 \times 12 \times 12 \times 10 \times 10} \)
= 11 × 12 × 10 = 1320 वर्ग मीटर
विज्ञापन के लिए 1 वर्ग मीटर दीवार का 1 वर्ष का किराया = Rs. 5000
विज्ञापन के लिए 1320 वर्ग मीटर दीवार का 1 वर्ष का किराया = 1320 × 5000 = Rs. 6600000
विज्ञापन 1 माह का किराया = \( \frac{6600000}{12} \) = Rs. 550000
तीन माह का किराया = 3 × 550000 = Rs. 1650000
Answer: अतः कम्पनी द्वारा दिया गया किराया = Rs. 16,50,000
In simple words: First, calculate the area of the triangular wall using Heron's formula. Then, calculate the annual rent for the total area. Finally, determine the rent for the specified 3-month period.

🎯 Exam Tip: Pay close attention to unit conversions (e.g., per year to per month) and currency normalization. Ensure you apply the given rate to the calculated area accurately.

Question 3. किसी पार्क में एक फिसल (slide) पट्टी बनी हुई है। इसकी पाश्र्वीय दीवारों (slide walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेन्ट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए' लिखा हुआ है। यदि इस दीवार की विमाएँ 15 मीटर, 11 मीटर और 6 मीटर हैं तो रंग से पेन्ट हुए भाग पार्क को हरा-भरा को क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पार्क में फिसल पट्टी की त्रिभुजाकार दीवार को दर्शाता है, जिस पर 'पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए' लिखा है। दीवार की भुजाएँ 15 मीटर, 11 मीटर और 6 मीटर हैं।
हल :
जिस दीवार पर पेन्ट किया गया है, उसकी विमाएँ माना
15 मीटर a = 15 मीटर, b = 11 मीटर और c = 6 मीटर
आकृति में दीवार त्रिभुजाकार है।
त्रिभुजाकार दीवार का अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{15+11+6}{2} = \frac{32}{2} \) = 16 मीटर
तब, त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{16(16-15)(16-11)(16-6)} \)
= \( \sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10} = \sqrt{800} = \sqrt{20 \times 20 \times 2} \)
= 20√2 वर्ग मीटर
Answer: अतः पेन्ट किए हुए भाग का क्षेत्रफल = 20√2 वर्ग मीटर।
In simple words: The problem asks for the area of a triangular wall that has been painted. We are given the lengths of its three sides. Using Heron's formula, we first calculate the semi-perimeter and then the area of the triangle.

🎯 Exam Tip: Always double-check your calculations for the semi-perimeter and the values inside the square root. Simplifying square roots (like \( \sqrt{800} \) to \( 20\sqrt{2} \)) is an important skill for presenting final answers.

Question 4. उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं तथा परिमाप 42 सेमी है।
हल :
माना त्रिभुजे की दो भुजाएँ a = 18 सेमी तथा b = 10 सेमी
माना तीसरी भुजा c सेमी है।
तब, त्रिभुज की परिमाप = a + b + c = 18 + 10 + c = 28 + c
परन्तु दिया है कि त्रिभुज का परिमाप 42 सेमी है।
28 + c = 42
\( \implies \) c = 42 - 28 = 14 सेमी
अब, अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{18+10+14}{2} = \frac{42}{2} \) = 21 सेमी
तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{21(21-18)(21-10)(21-14)} \)
= \( \sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7} = \sqrt{7 \times 3 \times 3 \times 11 \times 7} \)
= \( 7 \times 3 \sqrt{11} \) = 21√11 वर्ग सेमी
Answer: अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 21√11 वर्ग सेमी।
In simple words: To find the area of the triangle, first use the given perimeter and two side lengths to calculate the third side. Then, apply Heron's formula using all three side lengths to determine the area.

🎯 Exam Tip: Always ensure you calculate all three side lengths accurately before proceeding with Heron's formula. A common mistake is to miss finding the third side or make an error in the perimeter calculation.

Question 5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 640 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफले ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है, त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है।
माना त्रिभुज की भुजाएँ a = 12 x, b = 17 x तथा c = 25 x
त्रिभुज की परिमाप = a + b + c = 12x + 17x + 25x = 54x
तब, प्रश्नानुसार, त्रिभुज का परिमाप = 540 सेमी
54 x = 540
\( \implies \) x = \( \frac{540}{54} \) = 10
अतः a = 12 x = 12 × 10 = 120 सेमी
b = 17 x = 17 × 10 = 170 सेमी
c = 25 x = 25 × 10 = 250 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{120+170+250}{2} = \frac{540}{2} \) = 270
तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{270(270-120)(270-170)(270-250)} \)
= \( \sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} \)
= \( \sqrt{81000000} \) = 9000 वर्ग सेमी
Answer: अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 9000 वर्ग सेमी।
In simple words: Given the ratio of sides and the perimeter, we first find the actual lengths of the sides. Then, calculate the semi-perimeter and apply Heron's formula to find the triangle's area.

🎯 Exam Tip: When given side ratios, introduce a variable 'x' to represent the actual lengths. Ensure that once 'x' is found, you calculate the specific side lengths before proceeding to Heron's formula for accurate results.

Question 6. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी लम्बी हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना त्रिभुज की तीसरी भुजा c सेमी है।
समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ a = 12 सेमी तथा b = 12 सेमी ।
त्रिभुज की परिमाप = a + b + c = 12 + 12 + c = (24 + c) सेमी
परन्तु प्रश्नानुसार, परिमाप 30 सेमी है।
24 + c = 30
\( \implies \) c = 30 - 24 = 6 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+12+6}{2} = \frac{30}{2} \) = 15 सेमी
तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)} \)
= \( \sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9} = \sqrt{15 \times 9 \times 9} \)
= 9√15 वर्ग सेमी
Answer: अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल = 9√15 वर्ग सेमी।
In simple words: For an isosceles triangle, first use the given perimeter and the length of the equal sides to find the length of the third side. Then, calculate the semi-perimeter and apply Heron's formula to determine the area.

🎯 Exam Tip: Identify the equal sides in an isosceles triangle correctly. Once the third side is found, follow the standard Heron's formula steps. Proper simplification of square roots is key for the final answer.

Hiron Ka Formula Class 9 प्रश्नावली 12.2

Question 1. एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है, जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 मीटर, BC = 12 मीटर, CD = 5 मीटर और AD = 8 मीटर है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD पार्क को दर्शाता है, जिसमें कोण C 90° है। इसकी भुजाएँ AB=9 मीटर, BC=12 मीटर, CD=5 मीटर और AD=8 मीटर हैं। यह पार्क दो त्रिभुजाकार भागों में विभाजित है।
हल :
पार्क का चित्र संलग्न है।
विकर्ण BD खींचा जिसने चतुर्भुजाकार पार्क ABCD को दो त्रिभुजाकार भागों में विभाजित किया हैं।
पहला समकोण त्रिभुज BCD तथा दूसरा विषमबाहु त्रिभुज ABD समकोण त्रिभुज BCD के आकार वाले भाग का क्षेत्रफल
= \( \frac{1}{2} \) x आधार x ऊँचाई
= \( \frac{1}{2} \) x BC x CD
= \( \frac{1}{2} \) x 12 x 5 = 30 वर्ग मीटर
BD, समकोण त्रिभुज BCD का कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय से, BD² = BC² + CD² = (12)² + (5)² = 144 + 25 = 169 = (13)²
\( \implies \) BD = \( \sqrt{(13)^2} \)
\( \implies \) BD = 13 मीटर
तब, \( \triangle \)ABD में, माना a = 9 मीटर, b = 8 मीटर व c = 13 मीटर
त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+8+13}{2} = \frac{30}{2} \) = 15 मीटर
त्रिभुजाकार भाग ABD का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{15(15-9)(15-8)(15-13)} \)
= \( \sqrt{15 \times 6 \times 7 \times 2} = \sqrt{(3 \times 5) \times (2 \times 3) \times 7 \times 2} \)
= \( \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7} \)
= 2 × 3 √35 = 6√35 वर्ग मीटर
= 6 × 5.9 = 35.4 वर्ग मीटर (लगभग)
चतुर्भुजाकार पार्क ABCD का क्षेत्रफल = दोनों त्रिभुजाकार भागों के क्षेत्रफल का योग
= \( \triangle \) BCD का क्षेत्रफल + \( \triangle \) ABD का क्षेत्रफल
= 30 + 35.4 वर्ग मीटर = 65.4 वर्ग मीटर
Answer: अतः पार्क का क्षेत्रफल = 30 + 6√35 वर्ग मीटर या 65.4 वर्ग मीटर।
In simple words: To find the area of the quadrilateral, divide it into two triangles using a diagonal. Calculate the area of the right-angled triangle using \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \) and find the diagonal using Pythagoras theorem. Then, use Heron's formula for the second triangle and sum the areas.

🎯 Exam Tip: When dealing with quadrilaterals, dividing them into triangles is a common strategy. Always identify right-angled triangles first, as their area calculation is simpler, and Pythagoras theorem helps find unknown sides (diagonals).

Math Formula 12th Class UP Board प्रश्न 2.

Question 2. एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें AB = 3सेमी, BC = 4सेमी, CD = 4सेमी, DA = 5 सेमी और AC = 5 सेमी है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक चतुर्भुज ABCD को दर्शाता है, जिसे विकर्ण AC द्वारा दो त्रिभुजों ABC और ACD में विभाजित किया गया है। भुजाएँ AB=3 सेमी, BC=4 सेमी, CD=4 सेमी, DA=5 सेमी और विकर्ण AC=5 सेमी हैं।
हल :
चतुर्भुज ABCD बनाया। स्पष्ट है कि विकर्ण AC संलग्न चतुर्भुज को \( \triangle \)ABC व \( \triangle \)ACD में विभक्त करता है।
\( \triangle \) ABC का क्षेत्रफल
\( \triangle \) ABC की भुजाएँ 3, 4 व 5 सेमी हैं।
माना a = 3 सेमी, b = 4 सेमी तथा c = 5 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{3+4+5}{2} = \frac{12}{2} \) = 6 सेमी
\( \triangle \) ABC का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} \)
= \( \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} \) = 6 वर्ग सेमी।
\( \triangle \) ACD का क्षेत्रफल
\( \triangle \) ACD की भुजाएँ 4, 5 व 5 सेमी हैं।
माना a = 4 सेमी, b = 5 सेमी तथा c = 5 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+5}{2} = \frac{14}{2} \) = 7 सेमी
\( \triangle \) ACD का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{7(7-4)(7-5)(7-5)} = \sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2} \)
= 2√21 वर्ग सेमी = 2 × 4.58 = 9.16 वर्ग सेमी
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \( \triangle \) ABC का क्षेत्रफल + \( \triangle \) ACD का क्षेत्रफल
= 6 + 9.16 वर्ग सेमी = 15.16 वर्ग सेमी
Answer: अतः चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = 15. 16 वर्ग सेमी।
In simple words: To calculate the area of the quadrilateral, divide it into two triangles using the diagonal AC. Calculate the area of each triangle separately using Heron's formula, and then sum the areas to get the total area of the quadrilateral.

🎯 Exam Tip: Always draw and label the quadrilateral clearly. Recognizing a Pythagorean triplet (3,4,5) for the first triangle simplifies its area calculation, but Heron's formula is reliable for all triangles.

Class 9 Chapter 12 Maths प्रश्न 3.

Question 3. राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाईजहाज का चित्र बनाया जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में राधा द्वारा बनाए गए एक रंगीन हवाईजहाज का मॉडल दिखाया गया है, जिसे पाँच भागों में बांटा गया है। भाग I एक समद्विबाहु त्रिभुज है, भाग II एक आयत है, भाग III एक समलंब है, और भाग IV व V दो समकोण त्रिभुज हैं।
हल : आकृति 1 में, एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
जिसकी भुजाएँ माना a = 5 सेमी, b = 5 सेमी तथा c = 1 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+5+1}{2} = \frac{11}{2} \)
आकृति I का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{\frac{11}{2} \left(\frac{11}{2}-5\right) \left(\frac{11}{2}-5\right) \left(\frac{11}{2}-1\right)} \)
= \( \sqrt{\frac{11}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{9}{2}} \)
= \( \frac{1}{4} \sqrt{11 \times 9} = \frac{1}{4} \sqrt{99} \)
= \( \frac{1}{4} \times 9.95 \) = 2.48 वर्ग सेमी या 2.5 वर्ग सेमी (लगभग)
आकृति II में, एक आयत है जिसकी लम्बाई = 6.5 सेमी तथा चौड़ाई = 1 सेमी
आकृति II का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 6.5 सेमी x 1 सेमी
= 6.5 वर्ग सेमी
आकृति III में एक समलम्ब है जिसमें समान्तर भुजाएँ 2 सेमी व 1 सेमी हैं और बराबर भुजाओं में से प्रत्येक 1 सेमी है।
2 सेमी की भुजा के मध्य बिन्द से ऊपर की समान्तर भुजा को जोड़कर आकृति को 1 सेमी भुजा वाले 3 समबाहु त्रिभुजों में विभक्त किया।
तब आकृति III का क्षेत्रफल = 3 × (1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल) = 3 x \( \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{भुजा})^2\right) \)
= 3 x \( \frac{\sqrt{3}}{4} \times (1)^2 \)
= \( \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \times 1.732}{4} = \frac{5.196}{4} \) = 1.299 = 1.3 वर्ग सेमी (लगभग)
आकृति IV व V दोनों ही एक जैसे समकोण त्रिभुज को निरूपित करती हैं।
जिसका आधार = 1.5 सेमी तथा ऊँचाई = 6 सेमी है।
आकृति IV व V का क्षेत्रफल = 2 × समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
= 2 x \( \frac{1}{2} \) x आधार × ऊँचाई = 2 x \( \frac{1}{2} \) x 6 x 1.5 = 9.0 वर्ग सेमी
पूरी आकृति का क्षेत्रफल = आकृति (I + II + III + IV + V) का क्षेत्रफल
= 2.5 + 6.5 + 1.3 + 9.0 = 19.3 वर्ग सेमी
Answer: अतः पूरी आकृति का क्षेत्रफल = 19.3 वर्ग सेमी।
In simple words: To find the total paper used for the airplane, calculate the area of each of its five distinct parts—an isosceles triangle, a rectangle, a trapezium, and two right-angled triangles—using their respective area formulas, and then sum them up.

🎯 Exam Tip: Break down complex figures into simpler geometric shapes. Calculate each part's area individually and then sum them. Be careful with calculations, especially with square roots and decimals.

Heron's Formula Class 9 In Hindi प्रश्न 4.

Question 4. एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 सेमी, 28 सेमी और 30 सेमी हैं तथा समान्तर चतुर्भुज 28 सेमी के आधार पर स्थित है तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल : त्रिभुज में,
माना a = 26 सेमी, b = 28 सेमी व c = 30 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+28+30}{2} = \frac{84}{2} \) = 42 सेमी
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{42(42-26)(42-28)(42-30)} \)
= \( \sqrt{42 \times 16 \times 14 \times 12} \)
= \( \sqrt{(3 \times 14) \times 16 \times 14 \times (3 \times 4)} \)
= \( \sqrt{3^2 \times 14^2 \times 4^2 \times 2^2} \)
= 3 × 14 × 4 × 2 = 336 वर्ग सेमी
परन्तु प्रश्नानुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
336 = 28 × ऊँचाई
[:. त्रिभुज तथा समान्तर चतुर्भुज का आधार समान है।]
\( \implies \) संगत ऊँचाई = \( \frac{336}{28} \) = 12 सेमी।
Answer: अतः समान्तर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई = 12 सेमी।
In simple words: First, calculate the area of the triangle using Heron's formula. Since the triangle and parallelogram have the same base and area, equate the triangle's area to the parallelogram's area formula (base × height) to find the height.

🎯 Exam Tip: The key here is to equate the area of the triangle (found using Heron's formula) to the area of the parallelogram (base × height). Carefully substitute the known base of the parallelogram to solve for its height.

UPboardsolutions.Com Class 9 प्रश्न 5.

Question 5. एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 मीटर और बड़ा विकर्ण 48 मीटर है तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा?

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत ABCD को दर्शाता है, जिसकी प्रत्येक भुजा 30 मीटर है और इसका एक विकर्ण 48 मीटर है। विकर्ण खेत को दो त्रिभुजों में विभाजित करता है।
हल : माना ABCD एक समचतुर्भुजाकार घास का खेत है जिसके AC तथा BD विकर्ण हैं।
समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करेंगे।
OB = OD = \( \frac{\text{BD}}{2} = \frac{48}{2} \) = 24 मीटर
और \( \angle \)AOD = 90°
समकोण त्रिभुज AOD में,
OA² + OD² = AD² (पाइथागोरस प्रमेय से)
OA² + 24² = 30²
OA² = 30² - 24²
= 900 - 576 = 324
\( \implies \) OA = \( \sqrt{324} \) = 18 मीटर
विकर्ण AC = 2 × OA
= 2 × 18 = 36 मीटर
तब, घास के खेत (समचतुर्भुज) का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \) × एक विकर्ण × दूसरा विकर्ण
= \( \frac{1}{2} \) × 36 × 48 = 864 वर्ग मीटर
गायों की संख्या 18 है।
खेत का क्षेत्रफल = \( \frac{864}{18} \) = 48 वर्ग मीटर।
Answer: अतः प्रत्येक गाय को चरने के लिए क्षेत्रफल = 48 वर्ग मीटर।
In simple words: First, use the rhombus properties and Pythagoras theorem to find the length of the second diagonal. Then, calculate the total area of the rhombus. Finally, divide the total area by the number of cows to find the area available for each cow.

🎯 Exam Tip: Remember the properties of a rhombus: diagonals bisect each other at right angles. This allows you to use the Pythagorean theorem to find the missing diagonal length, which is crucial for calculating the area.

कक्षा 9 प्रश्नावली 12 पॉइंट एक प्रश्न 6.

Question 6. दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सी कर एक छाता बनाया गया है। प्रत्येक टुकड़े के माप 20 सेमी, 50 सेमी और 50 सेमी हैं। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है?
हल :
छाते में 2 रंग हैं और उसे 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों से सिला गया है।
प्रत्येक रंग के = 5 टुकड़े होंगे ।
प्रत्येक त्रिभुजाकार टुकड़े की माप 20, 50 व 50 सेमी हैं अर्थात प्रत्येक टुकड़ा एक समद्विबाहु त्रिभुज को निरूपित करता है।
माना a = 20 सेमी, b = 50 सेमी तथा c = 50 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{20+50+50}{2} = \frac{120}{2} \) = 60 सेमी
अब, एक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{60(60-20)(60-50)(60-50)} \)
= \( \sqrt{60 \times 40 \times 10 \times 10} \)
= \( \sqrt{6 \times 10 \times 4 \times 10 \times 10 \times 10} \)
= \( \sqrt{6 \times 40000} = \sqrt{6 \times (200)^2} \)
= 200√6 वर्ग सेमी
कुल पाँच टुकड़ों का क्षेत्रफल = 5 × एक त्रिभुजाकार टुकड़े का क्षेत्रफल
= 5 × 200√6 वर्ग सेमी
= 1000√6 वर्ग सेमी
= 1000 x 2.4494 वर्ग सेमी = 2449.4 वर्ग सेमी अतः प्रत्येक रंग का 2449.4 वर्ग सेमी कपड़ा लगेगा।
Answer: अतः प्रत्येक रंग का 2449.4 वर्ग सेमी कपड़ा लगेगा।
In simple words: To find the total cloth used for each color, first calculate the area of one triangular piece using Heron's formula. Since there are 10 pieces of two colors, each color will have 5 pieces. Multiply the area of one piece by 5 to get the total cloth for each color.

🎯 Exam Tip: Clearly identify the number of pieces for each color. Accurate calculation of a single triangular piece's area is crucial, as any error will be multiplied when finding the total area for each color.

UP Board Solution Class 9 प्रश्न 7.

Question 7. एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (shades) के कागजों से बनी है। इन्हें आकृति में।, ।। और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 सेमी विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक पतंग को दर्शाता है जो तीन भिन्न-भिन्न शेडों (I, II, III) के कागजों से बनी है। ऊपरी भाग (I और II) एक 32 सेमी विकर्ण वाला वर्ग है, और निचला भाग (III) 8 सेमी, 6 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल : वर्गाकार भाग का विकर्ण = 32 सेमी
और वर्ग के विकर्ण बराबर तथा एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित भी करते हैं।
भाग 1 में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \) × आधार × ऊँचाई
= \( \frac{1}{2} \) × 32 × 16 = 256 वर्ग सेमी
भाग II में बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \) × आधार x ऊँचाई
= \( \frac{1}{2} \) × 32 × 16 = 256 वर्ग सेमी
भाग III में समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें
माना a = 8 सेमी, b = 6 सेमी, c = 6 सेमी
अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+6+6}{2} = \frac{20}{2} \) = 10 सेमी
भाग III में बने समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{10(10-8)(10-6)(10-6)} \)
= \( \sqrt{10 \times 2 \times 4 \times 4} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} \)
= 8√5 वर्ग सेमी या 8 × 2.236 वर्ग सेमी
= 17.88 वर्ग सेमी
Answer: अतः भाग 1 व भाग II प्रत्येक के कागज का क्षेत्रफल= 256 वर्ग सेमी तथा भाग III के लिए कागज का क्षेत्रफल = 17.88 वर्ग सेमी ।।
In simple words: The kite is divided into three sections. Calculate the area of the upper square part (divided into two equal triangles) using the diagonal, and then calculate the area of the lower isosceles triangle using Heron's formula.

🎯 Exam Tip: For square sections with given diagonals, remember that diagonals bisect each other at right angles. This allows you to find the height of the triangles formed by the diagonal. For the lower triangle, carefully apply Heron's formula.

UP Bord Solution.Com Class 9 प्रश्न 8.

Question 8. फर्श पर एक फूलों का डिजाइन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं। इन टाइलों को 50 पैसे प्रति सेमी की दर से पॉलिश कराने का व्ययज्ञात कीजिए।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक फर्श पर फूलों का डिज़ाइन दिखाया गया है जो 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बना है। प्रत्येक टाइल की भुजाएँ 9 सेमी, 28 सेमी और 35 सेमी हैं।
हल : प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल की माप 9 सेमी, 28 सेमी व 35 सेमी हैं।
माना a = 9 सेमी, b = 28 सेमी तथा c = 35 सेमी
त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+28+35}{2} = \frac{72}{2} \) = 36 सेमी
प्रत्येक त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{36(36-9)(36-28)(36-35)} \)
= \( \sqrt{36 \times 27 \times 8 \times 1} \)
= \( \sqrt{(6^2) \times (3^3) \times (2^3)} \)
= \( \sqrt{6^2 \times 3^2 \times 3 \times 2^2 \times 2} \)
= 6 × 3 × 2 √6 = 36√6 वर्ग सेमी
कुल 16 त्रिभुजाकार टाइलों का क्षेत्रफल = 16 x एक त्रिभुजाकार टाइल का क्षेत्रफल = 16 x 36√6 वर्ग सेमी = 576√6 वर्ग सेमी
= 576 x 2.45 = 1411.2 वर्ग सेमी (लगभग)
1 वर्ग सेमी पर पॉलिश कराने का व्यय = 50 पैसे
1411.2 वर्ग सेमी पर पॉलिश कराने का व्यय = 1411.2 x 50 = 70560 पैसे
Answer: अतः 16 टाइलों पर पॉलिश कराने का व्यय = 70560 पैसे
In simple words: First, calculate the area of one triangular tile using Heron's formula. Then, multiply this area by the total number of tiles to get the total design area. Finally, multiply the total area by the polishing cost per square centimeter to find the total cost.

🎯 Exam Tip: Accurately calculate the area of a single tile using Heron's formula. Then, multiply by the total number of tiles. Pay close attention to the cost per unit area and ensure your final cost calculation is correct, especially with currency units.

UP Board Class 9 English Book Solutions प्रश्न 9.

Question 9. एक खेत समलम्ब के आकार का है जिसकी समान्तर भुजाएँ 25 मीटर और 10 मीटर हैं। इसकी असमान्तर भुजाएँ 14 मीटर और 13 मीटर हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक समलम्ब (trapezium) के आकार के खेत ABCD को दर्शाता है। इसकी समानांतर भुजाएँ AD = 10 मीटर और BC = 25 मीटर हैं, जबकि असमान्तर भुजाएँ AB = 13 मीटर और CD = 14 मीटर हैं।
हल : समलम्ब के आकार के खेत की समान्तर भुजाएँ BC और DA क्रमशः 25 मीटर व 10 मीटर हैं। असमान्तर भुजाएँ AB = 13 मीटर व CD = 14 मीटर हैं।
D से DE || AB खींची जिससे ADEB एक समान्तर चतुर्भुज बनता है जिसमें
DE = AB = 13 मीटर।
BC = 25 मीटर और BE = AD = 10 मीटर
EC = BC - BE = 25 - 10 = 15 मीटर
इस प्रकार समलम्ब दो भागों में विभक्त हो गया।
(1) एक समान्तर चतुर्भुज ADEB
(2) एक \( \triangle \) CDE जिसकी भुजाएँ CD = 14 मीटर, DE = 13 मीटर व EC = 15 मीटर।
D से EC पर DF लम्ब डाला।
अब, \( \triangle \) CDE का क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \) x आधार × ऊँचाई = \( \frac{1}{2} \) × EC × DF
= \( \frac{1}{2} \) × 15 × DF = \( \frac{15}{2} \) DF वर्ग मीटर।
परन्तु \( \triangle \) CDE में,
माना a = 14 मीटर, b = 13 मीटर तथा c = 15 मीटर।
त्रिभुज का अर्द्धपरिमाप s = \( \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+13+15}{2} = \frac{42}{2} \) = 21 मीटर।
\( \triangle \) CDE का क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) (हीरोन के सूत्र से)
= \( \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} \)
= \( \sqrt{21 \times 7 \times 8 \times 6} \)
= \( \sqrt{(3 \times 7) \times 7 \times (2^3) \times (2 \times 3)} \)
= \( \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} \)
= 2² × 3 × 7 = 4 × 21 = 84 वर्ग मीटर
तब \( \triangle \) CDE के दोनों क्षेत्रफल समान होने चाहिए।
\( \frac{15}{2} \) DF = 84
\( \implies \) DF = \( \frac{84 \times 2}{15} = \frac{168}{15} \) = 11.2 मीटर
अब, समान्तर चतुर्भुज ADEB का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= BE × DF = 10 × 11.2 = 112 वर्ग मीटर
समलम्ब ABCD का क्षेत्रफल = समान्तर चतुर्भुज ADEB का क्षेत्रफल + \( \triangle \) CDE का क्षेत्रफल
= (112 + 84) वर्ग मीटर = 196 वर्ग मीटर
Answer: अतः खेत का क्षेत्रफल = 196 वर्ग मीटर।
In simple words: To find the area of the trapezium-shaped field, divide it into a parallelogram and a triangle. Calculate the area of the triangle using Heron's formula and its height using the base-height formula. Then, find the area of the parallelogram using its base and the calculated height. Finally, add both areas to get the total area of the field.

🎯 Exam Tip: For trapezium problems, creating a parallelogram and a triangle by drawing a line parallel to one of the non-parallel sides is a standard approach. This allows you to use Heron's formula for the triangle and basic area formulas for the parallelogram.