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Detailed Chapter 11 त्रिभुज और उसके कोण UP Board Solutions for Class 9 Maths
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Class 9 Maths Chapter 11 त्रिभुज और उसके कोण UP Board Solutions PDF
Balaji Class 9 Maths Solutions Chapter 11 Triangles And Its Angles Ex 11.1 त्रिभुज एवं उसके गुण
Ex 11.1 Triangles And Its Angles अतिलघु उत्तरीय प्रश्न (Very Short Answer Type Questions)
Question 1. यदि एक त्रिभुज के दो कोण बराबर है तब दोनों की विपरीत भुजा बराबर है या नहीं?
Answer: एक त्रिभुज के दो कोण बराबर है तब उस त्रिभुज की सम्मुख भुजाएं भी बराबर होगी ।
In simple words: यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर होते हैं, तो उन कोणों के सामने वाली भुजाएँ भी हमेशा बराबर होती हैं।
🎯 Exam Tip: यह गुणधर्म समद्विबाहु त्रिभुज की पहचान और संबंधित प्रश्नों को हल करने में महत्वपूर्ण है।
Question 2. एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के विपरीत कोण बराबर है या नहीं?
Answer: बराबर
In simple words: एक त्रिभुज में, बराबर भुजाओं के ठीक सामने वाले कोण हमेशा एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
🎯 Exam Tip: इस अवधारणा का उपयोग अक्सर त्रिभुजों की सर्वांगसमता और समरूपता सिद्ध करने में होता है।
Question 3. यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 6 सेमी तथा 11 सेमी हैं तब त्रिभुज का नाम बताइए ।
Answer: किसी त्रिभुज की रचना के लिए दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए परन्तु \( 5 + 6 = 11, \) जो 11, के बराबर है। \(\therefore\) त्रिभुज की रचना सम्भव नहीं है।
In simple words: त्रिभुज बनाने के लिए, किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए। इस मामले में, यह शर्त पूरी नहीं होती, इसलिए त्रिभुज नहीं बन सकता।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) की शर्त को हमेशा ध्यान में रखें: \(a+b > c\), \(b+c > a\), \(c+a > b\)।
Question 4. यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 4 सेमी तथा 3 सेमी हैं तब त्रिभुज का नाम बताइए ।
Answer: \(\therefore 3 + 4 = 7 > 5\) अतः त्रिभुज की रचना सम्भव है। \( (5)^2 = (3)^2 + (4)^2 \). यह एक समकोण त्रिभुज है।
In simple words: दी गई भुजाएँ त्रिभुज की असमानता शर्त को पूरा करती हैं और पाइथागोरस प्रमेय (Pythagorean theorem) को भी संतुष्ट करती हैं, जिसका अर्थ है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।
🎯 Exam Tip: भुजाओं को देखकर त्रिभुज का प्रकार निर्धारित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय (right, acute, obtuse) और त्रिभुज असमानता प्रमेय का उपयोग करें।
Question 5. एक त्रिभुज की दो भुजाओं का योग, हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है या नहीं?
Answer: एक त्रिभुज की दो भुजाओं का योग, हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है। हाँ
In simple words: हाँ, यह त्रिभुज असमानता प्रमेय का मूलभूत नियम है: किसी भी त्रिभुज में, किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाई का योग हमेशा तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होता है।
🎯 Exam Tip: यह नियम त्रिभुज के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है।
Question 6. यदि एक त्रिभुज के सभी कोण बराबर है, तब इनमें प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = \(180^\circ\) \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) माना \( \angle A = x, \angle B = x, \angle C = x \) \( x + x + x = 180^\circ \) \( 3x = 180^\circ \)
\( \implies x = \frac{180^{\circ}}{3} \) \( x = 60^\circ \) \(\therefore \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ \)
In simple words: यदि त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं, तो वह एक समबाहु त्रिभुज होता है, और प्रत्येक कोण का माप 60 डिग्री होता है क्योंकि त्रिभुज के कोणों का कुल योग 180 डिग्री होता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि किसी भी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
Question 7. यदि एक समकोण त्रिभुज के दो न्यूनकोण बराबर है, तब प्रत्येक न्यूनकोण ज्ञात कीजिए।
Answer: △ABC में, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) यदि \(\angle A = 90^\circ\) तथा \(\angle B = \angle C\) तब \( 90^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ \) \( \angle B + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) प्रत्येक \( \angle B = \angle C = 45^\circ \)
In simple words: एक समकोण त्रिभुज में एक कोण 90 डिग्री का होता है। यदि शेष दो न्यूनकोण बराबर हैं, तो प्रत्येक कोण 45 डिग्री का होगा क्योंकि तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के गुणों का उपयोग करें, जहाँ एक कोण 90 डिग्री होता है, जिससे शेष दो कोणों का योग भी 90 डिग्री होता है।
Ex 11.1 Triangles And Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – I (Short Answer Type Questions – I)
Question 8. एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 :7 के अनुपात में है। त्रिभुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
Answer: माना △ABC का \( \angle A = 2x \) \( \angle B = 3x \) \( \angle C = 7x \) \(\therefore \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( 2x + 3x + 7x = 180^\circ \) \( 12x = 180^\circ \)
\( \implies x = \frac{180^{\circ}}{12} \) \( x = 15^\circ \) \(\therefore \angle A = 2 \times 15^\circ = 30^\circ \) \( \angle B = 3 \times 15^\circ = 45^\circ \) \( \angle C = 7 \times 15^\circ = 105^\circ \)
In simple words: कोणों को उनके अनुपात के अनुसार \(2x, 3x, 7x\) मानकर, उन्हें जोड़ें और 180 डिग्री के बराबर रखें। \(x\) का मान निकालकर, प्रत्येक कोण का वास्तविक माप ज्ञात किया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: जब कोण अनुपात में दिए गए हों, तो उन्हें एक सामान्य गुणक (\(x\)) के रूप में व्यक्त करें और त्रिभुज के कोणों के योग गुण का उपयोग करें।
Question 9. ∆ABC में, \(\angle A + \angle B = 65^\circ\) तथा \(\angle B + \angle C =140^\circ\), त्रिभुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
Answer: △ABC में, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( 65^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle C = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \) तथा \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( \angle A + 140^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle A = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) \(\therefore \angle A + \angle B = 65^\circ\) \( 40^\circ + \angle B = 65^\circ \)
\( \implies \angle B = 65^\circ - 40^\circ = 25^\circ \)
In simple words: दिए गए कोणों के योग को 180 डिग्री से घटाकर प्रत्येक अज्ञात कोण को ज्ञात किया जाता है। पहले \(\angle C\) को \(\angle A+\angle B\) के मान का उपयोग करके ज्ञात करें, फिर \(\angle A\) को \(\angle B+\angle C\) के मान का उपयोग करके ज्ञात करें, और अंत में \(\angle B\) को \(\angle A+\angle B\) के मान का उपयोग करके ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है। इस नियम का प्रयोग करके अज्ञात कोणों को ज्ञात करें।
Question 10. △ABC में, यदि \(\angle B = 76^\circ\) तथा \(\angle C = 48^\circ\) है, तो \(\angle A\) ज्ञात कीजिए ।
Answer: △ABC में, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( \angle A + 76^\circ + 48^\circ = 180^\circ \) \( \angle A + 124^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle A = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \)
In simple words: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है। दिए गए दो कोणों के मान को 180 में से घटाकर तीसरा कोण ज्ञात कर सकते हैं।
🎯 Exam Tip: कोणों के योग के नियम को सीधे लागू करके गणना में सटीकता सुनिश्चित करें।
Question 11. ∆ABC में, यदि \(\angle B = 105^\circ\) तथा \(\angle C =50^\circ\) है, तो \(\angle A\) ज्ञात कीजिए।
Answer: △ABC में, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( \angle A + 105^\circ + 50^\circ = 180^\circ \) \( \angle A + 155^\circ = 180^\circ \)
\( \implies \angle A = 180^\circ - 155^\circ = 25^\circ \)
In simple words: किसी त्रिभुज में, यदि दो कोण दिए गए हों, तो तीसरा कोण 180 डिग्री में से उन दोनों कोणों के योग को घटाकर ज्ञात किया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: दो कोणों का योग सही ढंग से करें ताकि तीसरे कोण की गणना त्रुटिहीन हो।
Question 12. एक त्रिभुज के दो कोणों का योग, तीसरे कोण के बराबर है। तीसरे कोण की माप ज्ञात कीजिए ।
Answer: ∆ABC में, \( (\angle A + \angle B) + \angle C = 180^\circ \) दिया है: \( \angle A + \angle B = \angle C \)
\( \implies \angle C + \angle C = 180^\circ \) \( 2\angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle C = \frac{180^{\circ}}{2} \) \( \angle C = 90^\circ \) तीसरा कोण \(\angle C = 90^\circ \)
In simple words: यदि एक त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे कोण के बराबर है, तो वह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है और तीसरा कोण हमेशा 90 डिग्री का होता है।
🎯 Exam Tip: इस विशेष स्थिति को याद रखें क्योंकि यह सीधे त्रिभुज के प्रकार को पहचानने में मदद करती है।
Question 13. यदि एक त्रिभुज के कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में है। कोण ज्ञात कीजिए ।
Answer: △ABC के कोण \( \angle A : \angle B : \angle C = 2 : 3 : 4 \) माना \( \angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 4x \) \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( 2x + 3x + 4x = 180^\circ \)
\( \implies 9x = 180^\circ \)
\( \implies x = \frac{180^{\circ}}{9} \) \( x = 20^\circ \) \(\therefore \angle A = 2 \times 20^\circ = 40^\circ \) \( \angle B = 3 \times 20^\circ = 60^\circ \) \( \angle C = 4 \times 20^\circ = 80^\circ \)
In simple words: कोणों को उनके अनुपात के अनुसार \(2x, 3x, 4x\) मानकर, उन्हें जोड़ें और 180 डिग्री के बराबर रखें। \(x\) का मान निकालकर, प्रत्येक कोण का वास्तविक माप ज्ञात किया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: अनुपातिक मानों को एक चर के गुणांक के रूप में व्यक्त करना और कोण योग गुण का उपयोग करना मानक विधि है।
Ex 11.1 Triangles And Its Angles लघु उत्तरीय प्रश्न – II (Short Answer Type Questions – II)
Question 14. एक △ABC में, \(15\angle A = 10\angle B = 6\angle C\) हो, तो \(\angle A, \angle B\) तथा \(\angle C\) ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है: \( 15\angle A = 10\angle B = 6\angle C \) माना \( \angle B = x \) तो \( 15\angle A = 10x \)
\( \implies \angle A = \frac{10x}{15} = \frac{2x}{3} \) और \( 10\angle B = 6\angle C \)
\( \implies 10x = 6\angle C \)
\( \implies \angle C = \frac{10x}{6} = \frac{5x}{3} \) अब, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( \frac{2x}{3} + x + \frac{5x}{3} = 180^\circ \) \( \frac{2x+3x+5x}{3} = 180^\circ \) \( \frac{10x}{3} = 180^\circ \)
\( \implies x = \frac{180^\circ \times 3}{10} \) \( x = 54^\circ \) अतः, \(\angle A = \frac{2 \times 54^\circ}{3} = 36^\circ \) \(\angle B = x = 54^\circ \) \(\angle C = \frac{5 \times 54^\circ}{3} = 90^\circ \)
In simple words: जब कोण एक सामान्य गुणांक के रूप में संबंधित होते हैं, तो एक कोण को चर \(x\) मानकर अन्य कोणों को \(x\) के पदों में व्यक्त किया जाता है। फिर त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर रखकर \(x\) का मान ज्ञात किया जाता है और अंत में सभी कोणों का मान निकाला जाता है।
🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में, सभी कोणों को एक ही चर के रूप में व्यक्त करना और फिर त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
Question 15. एक △ABC में, यदि \(\angle A = 55^\circ, \angle B = 40^\circ\) तब \(\angle C\) ज्ञात कीजिए।
Answer: △ABC में, \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( 55^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ \) \( 95^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle C = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \)
In simple words: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180 डिग्री होता है। दिए गए दो कोणों का योग करके उसे 180 में से घटाकर तीसरा कोण आसानी से ज्ञात किया जा सकता है।
🎯 Exam Tip: यह एक सीधा अनुप्रयोग है, बस जोड़ और घटाव में सावधानी बरतें।
Question 16. A, B, C एक त्रिभुज के तीन कोण हैं। यदि \(A – B = 15^\circ, B – C = 30^\circ\) हो, तो \(\angle A, \angle B\) और \(\angle C\) ज्ञात कीजिए ।
Answer: दिया है: \( A – B = 15^\circ \)
\( \implies A = B + 15^\circ \) ....(1) \( B – C = 30^\circ \)
\( \implies C = B - 30^\circ \) ....(2) हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) समीकरण (1) और (2) से \(\angle A\) और \(\angle C\) का मान रखने पर: \( (B + 15^\circ) + B + (B - 30^\circ) = 180^\circ \) \( 3B - 15^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 3B = 180^\circ + 15^\circ \) \( 3B = 195^\circ \)
\( \implies B = \frac{195^{\circ}}{3} = 65^\circ \) समीकरण (1) से: \( A = 65^\circ + 15^\circ = 80^\circ \) समीकरण (2) से: \( C = 65^\circ - 30^\circ = 35^\circ \) अतः \( \angle A = 80^\circ, \angle B = 65^\circ, \angle C = 35^\circ \)
In simple words: दिए गए समीकरणों का उपयोग करके सभी कोणों को एक ही चर (जैसे B) के रूप में व्यक्त करें। फिर, त्रिभुज के कोणों के योग के नियम का उपयोग करके उस चर का मान ज्ञात करें, और अंत में सभी कोणों का मान निकालें।
🎯 Exam Tip: यह बीजगणितीय समीकरणों को हल करने और ज्यामितीय गुणों को लागू करने का एक संयोजन है। व्यवस्थित रूप से चरणों का पालन करें।
Question 17. एक त्रिभुज के दो कोणों का योग \(106^\circ\) है तथा उनका अन्तर \(10^\circ\) है। त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
Answer: माना त्रिभुज के दो कोण \(\angle A\) तथा \(\angle B\) हैं। दिया है: \( \angle A + \angle B = 106^\circ \) ....(1) \( \angle A - \angle B = 10^\circ \) ....(2) समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर: \( (\angle A + \angle B) + (\angle A - \angle B) = 106^\circ + 10^\circ \) \( 2\angle A = 116^\circ \)
\( \implies \angle A = \frac{116^{\circ}}{2} = 58^\circ \) समीकरण (1) में \(\angle A\) का मान रखने पर: \( 58^\circ + \angle B = 106^\circ \)
\( \implies \angle B = 106^\circ - 58^\circ = 48^\circ \) अब, त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( 58^\circ + 48^\circ + \angle C = 180^\circ \) \( 106^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle C = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ \) अतः त्रिभुज के कोण \( \angle A = 58^\circ, \angle B = 48^\circ, \angle C = 74^\circ \).
In simple words: दो कोणों के योग और अंतर को दर्शाने वाले समीकरणों को हल करके उन दो कोणों को ज्ञात करें। फिर, त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके तीसरे कोण का मान ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: यह प्रश्न युग्म-समीकरणों (simultaneous equations) को हल करने और त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करने का एक अच्छा उदाहरण है।
Question 18. दिये गये चित्र में, AB||DC यदि \( x = \frac{4 y}{3}, y = \frac{3 z}{8} \) हो, तो \(\angle BCD\) ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समानांतर रेखाओं AB और DC को दर्शाता है, जिन्हें एक तिर्यक रेखा BD काट रही है। बिन्दु B पर आंतरिक कोण को x के रूप में चिह्नित किया गया है (संभवतः ∠ABD)। बिन्दु D पर एक आंतरिक कोण y के रूप में चिह्नित है (संभवतः ∠BDC)। बिन्दु C पर एक कोण 2C के रूप में और बिन्दु B पर एक कोण 36° के रूप में भी दर्शाया गया है।
Answer: क्योंकि \( AB || DC \) तथा \( BD \) तिर्यक रेखा है, तो \( \angle ABD = \angle BDC \) (एकान्तर कोण) दिए गए मानों के अनुसार, \( y = 36^\circ \) और \( y = \frac{3z}{8} \)
\( \implies 36^\circ = \frac{3z}{8} \)
\( \implies 36^\circ \times 8 = 3z \) \( 288^\circ = 3z \)
\( \implies z = \frac{288^{\circ}}{3} \) \( z = 96^\circ \) अतः \( \angle BCD = 96^\circ \)
In simple words: यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं और एक तिर्यक रेखा उन्हें काटती है, तो एकान्तर कोण बराबर होते हैं। दिए गए संबंधों और एकान्तर कोणों के गुण का उपयोग करके, आप अज्ञात कोण \(z\) को ज्ञात कर सकते हैं, जो \(\angle BCD\) है।
🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं और तिर्यक रेखाओं से बनने वाले कोणों (जैसे एकान्तर कोण, संगत कोण) को पहचानना महत्वपूर्ण है।
Question 19. एक △ABC में, \(\angle A – \angle B = 33^\circ\) तथा \(\angle B – \angle C = 18^\circ\) हो, तो त्रिभुज के प्रत्येक कोण की माप ज्ञात कीजिए।
Answer: दिया है: \( \angle A – \angle B = 33^\circ \)
\( \implies \angle A = \angle B + 33^\circ \) ....(1) \( \angle B – \angle C = 18^\circ \)
\( \implies \angle C = \angle B - 18^\circ \) ....(2) हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) समीकरण (1) और (2) से \(\angle A\) और \(\angle C\) का मान रखने पर: \( (\angle B + 33^\circ) + \angle B + (\angle B - 18^\circ) = 180^\circ \) \( 3\angle B + 15^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 3\angle B = 180^\circ - 15^\circ \) \( 3\angle B = 165^\circ \)
\( \implies \angle B = \frac{165^{\circ}}{3} = 55^\circ \) समीकरण (1) से: \( \angle A = 55^\circ + 33^\circ = 88^\circ \) समीकरण (2) से: \( \angle C = 55^\circ - 18^\circ = 37^\circ \) अतः \( \angle A = 88^\circ, \angle B = 55^\circ, \angle C = 37^\circ \).
In simple words: कोणों के बीच दिए गए संबंधों का उपयोग करके, सभी कोणों को एक ही अज्ञात चर (\(\angle B\)) के रूप में व्यक्त करें। फिर, त्रिभुज के कोणों के योग के नियम का उपयोग करके उस चर का मान ज्ञात करें, और अंत में सभी कोणों का व्यक्तिगत मान निकालें।
🎯 Exam Tip: कोणों के बीच के संबंधों को ध्यान से लिखें और बीजगणितीय समीकरणों को हल करते समय सावधानी बरतें।
Question 20. दिये गये चित्र में, सिद्ध कीजिए कि \( \angle a + \angle b + \angle c = 360^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके प्रत्येक शीर्ष पर बाह्य कोण 'a', 'b', और 'c' चिह्नित हैं। शीर्ष A पर बाह्य कोण 'a' और संगत अंतः कोण '180°-a', शीर्ष B पर बाह्य कोण 'b' और संगत अंतः कोण '180°-b', तथा शीर्ष C पर बाह्य कोण 'c' और संगत अंतः कोण '180°-c' दर्शाए गए हैं।
Answer: हम जानते हैं कि त्रिभुज के अंतः कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \) चित्र के अनुसार, प्रत्येक शीर्ष पर अंतः कोण और बाह्य कोण एक रैखिक युग्म बनाते हैं: \( \angle BAC = 180^\circ - \angle a \) \( \angle ABC = 180^\circ - \angle b \) \( \angle ACB = 180^\circ - \angle c \) इन मानों को त्रिभुज के कोण योग सूत्र में रखने पर: \( (180^\circ - \angle a) + (180^\circ - \angle b) + (180^\circ - \angle c) = 180^\circ \) \( 540^\circ - (\angle a + \angle b + \angle c) = 180^\circ \) \( 540^\circ - 180^\circ = \angle a + \angle b + \angle c \) \( 360^\circ = \angle a + \angle b + \angle c \) इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि \( \angle a + \angle b + \angle c = 360^\circ \).
In simple words: त्रिभुज के प्रत्येक बाह्य कोण और उसके संगत आंतरिक कोण का योग 180 डिग्री होता है। सभी आंतरिक कोणों को बाह्य कोणों के पदों में व्यक्त करके और उन्हें त्रिभुज के कोण योग सूत्र में रखने पर, यह सिद्ध किया जा सकता है कि त्रिभुज के सभी बाह्य कोणों का योग 360 डिग्री होता है।
🎯 Exam Tip: याद रखें कि एक त्रिभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 360° होता है। यह एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय गुण है।
Ex 11.1 Triangles And Its Angles दीर्घ उत्तरीय प्रश्न (Long Answer Type Questions)
Question 21. एक त्रिभुज ABC है जिसमें \(\angle A = 72^\circ\), \(\angle B\) तथा \(\angle C\) के अन्तः समद्विभाजक बिन्दु \(O\) पर मिलते हैं तो \(\angle BOC\) का परिमाण ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें कोण A का मान 72° है। कोण B और कोण C के आंतरिक कोण समद्विभाजक (angle bisectors) बिन्दु O पर मिलते हैं। इस चित्र में ∠ABC को 'x' और ∠ACB को 'y' के रूप में चिह्नित किया गया है, तथा O पर बना कोण ∠BOC दर्शाया गया है।
Answer: △ABC में, हम जानते हैं कि तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) \( 72^\circ + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
\( \implies \angle B + \angle C = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \) माना \(\angle B = x\) तथा \(\angle C = y\) तो \( x + y = 108^\circ \) ....(1) त्रिभुज OBC में, \(\angle OBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{x}{2}\) (चूंकि BO, \(\angle B\) का समद्विभाजक है) तथा \(\angle OCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{y}{2}\) (चूंकि CO, \(\angle C\) का समद्विभाजक है) अब △OBC में, \(\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ\) \(\angle BOC + \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 180^\circ\) \(\angle BOC = 180^\circ - \left(\frac{x+y}{2}\right)\) समीकरण (1) से \(x+y\) का मान रखने पर: \(\angle BOC = 180^\circ - \left(\frac{108^\circ}{2}\right)\) \(\angle BOC = 180^\circ - 54^\circ\) \(\angle BOC = 126^\circ\)
In simple words: त्रिभुज के आंतरिक कोण समद्विभाजकों द्वारा बनाए गए कोण (\(\angle BOC\)) का मान \(90^\circ\) प्लस शीर्ष कोण \(\angle A\) के आधे के बराबर होता है। पहले \(\angle B + \angle C\) का मान निकालें, फिर उसके आधे का उपयोग करके \(\triangle BOC\) में \(\angle BOC\) को ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: इस गुणधर्म को याद रखें: यदि BO और CO, \(\triangle ABC\) के \(\angle B\) और \(\angle C\) के आंतरिक समद्विभाजक हैं, तो \(\angle BOC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)।
Question 22. दिये गये चित्र में, AE, \(\angle CAD\) का अर्द्धक है तथा \(\angle B = \angle C\) तो सिद्ध कीजिए कि \(AE || BC\).
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसमें भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। ∠CAD, त्रिभुज ABC का एक बाह्य कोण है। AE, ∠CAD का कोण समद्विभाजक है, जिससे ∠DAE और ∠CAE बनते हैं। कोण B और कोण C को भी दर्शाया गया है।
Answer: माना \(\angle CAD = 2x\) चूंकि \( AE, \angle CAD \) का समद्विभाजक है, \(\therefore \angle DAE = \angle CAE = x\) दिया है: \( \angle B = \angle C \) हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC का बाह्यकोण \(\angle CAD\) है। \(\therefore \angle CAD = \angle ABC + \angle ACB\) (बहिष्कोण प्रमेय से) \( 2x = \angle B + \angle C \) चूंकि \( \angle B = \angle C \), तो \( 2x = \angle C + \angle C \) \( 2x = 2\angle C \)
\( \implies \angle C = x \) अतः, \( \angle EAC = x \) और \( \angle ACB = x \) चूंकि \( \angle EAC = \angle ACB = x \), और ये एकान्तर कोण हैं, इसलिए, \( AE || BC \). इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि \( AE || BC \).
In simple words: बहिष्कोण प्रमेय का उपयोग करके \(\angle CAD\) को \(\angle B\) और \(\angle C\) के योग के रूप में व्यक्त करें। चूंकि AE कोण समद्विभाजक है और \(\angle B = \angle C\) दिया गया है, तो यह दिखाया जा सकता है कि \(\angle EAC = \angle ACB\)। चूंकि ये एकान्तर कोण हैं, इसलिए AE और BC समानांतर होंगे।
🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं को सिद्ध करने के लिए एकान्तर कोण या संगत कोण के गुणों का उपयोग करें। बहिष्कोण प्रमेय भी एक महत्वपूर्ण उपकरण है।
Question 23. दिये गये चित्र में, \( AB || CD \) है । \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र दो समानांतर रेखाओं AB और CD को एक तिर्यक रेखा FM द्वारा काटते हुए दर्शाता है। बिन्दु E इस तिर्यक रेखा पर स्थित है। कोण FED का मान 58° है। बिन्दु E पर एक कोण 22° चिह्नित है। बिन्दु M पर एक कोण y + 20 के रूप में दर्शाया गया है। शीर्ष A पर एक कोण x के रूप में चिह्नित है।
Answer: क्योंकि \( AB || CD \), इसलिए \( \angle FED = \angle EMB \) (संगत कोण) \( 58^\circ = y + 20^\circ \)
\( \implies y = 58^\circ - 20^\circ \) \( y = 38^\circ \) अब, \( \angle MEB = 180^\circ - (58^\circ + 22^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \) \( \triangle EBM \) में, कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \( x + y + \angle MEB = 180^\circ \) \( x + 38^\circ + 100^\circ = 180^\circ \) \( x + 138^\circ = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 138^\circ \) \( x = 42^\circ \) अतः \( x = 42^\circ \) और \( y = 38^\circ \).
In simple words: समानांतर रेखाओं के गुणों (जैसे संगत कोणों की समानता) का उपयोग करके \(y\) का मान ज्ञात करें। फिर, त्रिभुज के कोणों के योग के नियम का उपयोग करके \(x\) का मान ज्ञात करें, यह मानते हुए कि \(\angle MEB\) का मान 100 डिग्री है (जैसा कि समाधान में गणना की गई है)।
🎯 Exam Tip: समानांतर रेखाओं से जुड़े कोणों को पहचानें और उनका सही उपयोग करें। सुनिश्चित करें कि आप त्रिभुज के कोण योग गुण को सही ढंग से लागू कर रहे हैं।
Question 24. दिये गये चित्र में, \( x \) और \( y \) के मान ज्ञात कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक जटिल ज्यामितीय व्यवस्था को दर्शाता है जिसमें रेखाएं MN और BCDE हैं, जिन्हें एक तिर्यक रेखा GH काटती है। बिन्दु B पर 65° का कोण, बिन्दु G पर एक बाह्य कोण 125°, बिन्दु N पर कोण x, और बिन्दु E पर कोण y चिह्नित हैं।
Answer: बिन्दु G पर, \( y + 125^\circ = 180^\circ \) (रैखिक युग्म कोण)
\( \implies y = 180^\circ - 125^\circ \) \( y = 55^\circ \) दिया है कि \( \angle CDE = \angle BMC = 65^\circ \) (एकान्तर कोण) तथा \( \angle CDN = \angle ENG = 65^\circ \) (एकान्तर कोण) (यह दर्शाता है कि \(\angle ENG = 65^\circ\), जो \(\triangle NEG\) का कोण \(\angle G\) है) \(\triangle NEG\) में, कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \( \angle N + \angle E + \angle G = 180^\circ \) \( x + y + 65^\circ = 180^\circ \) (यहाँ \(y\) त्रिभुज का कोण \(\angle E\) है, जिसका मान हमने \(55^\circ\) निकाला है) \( x + 55^\circ + 65^\circ = 180^\circ \) \( x + 120^\circ = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 120^\circ \) \( x = 60^\circ \) अतः \( x = 60^\circ \) और \( y = 55^\circ \).
In simple words: रैखिक युग्म गुण का उपयोग करके \(y\) का मान ज्ञात करें। फिर, एकान्तर कोण गुणों का उपयोग करके \(\triangle NEG\) के कोण \(\angle G\) का मान 65 डिग्री निर्धारित करें। अंत में, \(\triangle NEG\) में कोणों के योग के नियम का उपयोग करके \(x\) का मान ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: जटिल आकृतियों में, रैखिक युग्म, संगत कोण, और एकान्तर कोण जैसे सरल ज्यामितीय गुणों को ढूंढना शुरू करें।
Question 25. निम्न प्रत्येक में x का मान ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation):(i) यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसकी भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है। कोण BAC का मान 60° है, कोण ABC का मान x है, और बहिष्कोण ACD का मान 115° है। (ii) यह चित्र दो प्रतिच्छेदी रेखाओं AC और BD को दर्शाता है जो बिन्दु E पर मिलती हैं। त्रिभुज ABE में, कोण BAE का मान 75° और कोण ABE का मान 65° है। एक अन्य त्रिभुज ECD भी बनता है, जिसमें कोण ECD का मान 110° है।
Answer:**चित्र (i) में:** हम जानते हैं कि त्रिभुज का बहिष्कोण, उसके दो आंतरिक सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है। \(\triangle ABC\) में, \( \angle ACD \) एक बहिष्कोण है। \( \angle ACD = \angle BAC + \angle ABC \) \( 115^\circ = 60^\circ + x \)
\( \implies x = 115^\circ - 60^\circ \) \( x = 55^\circ \) **चित्र (ii) में:** \(\triangle ABE\) में, कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \( \angle BAE + \angle ABE + \angle AEB = 180^\circ \) \( 75^\circ + 65^\circ + \angle AEB = 180^\circ \) \( 140^\circ + \angle AEB = 180^\circ \)
\( \implies \angle AEB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) अब, \( \angle CED = \angle AEB \) (शीर्षाभिमुख कोण)
\( \implies \angle CED = 40^\circ \) \(\triangle ECD\) में, कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \( \angle CED + \angle ECD + \angle CDE = 180^\circ \) \( 40^\circ + 110^\circ + x = 180^\circ \) \( 150^\circ + x = 180^\circ \)
\( \implies x = 180^\circ - 150^\circ \) \( x = 30^\circ \)
In simple words: चित्र (i) में, बहिष्कोण प्रमेय का उपयोग करें। चित्र (ii) में, पहले \(\triangle ABE\) में तीसरे कोण \(\angle AEB\) को ज्ञात करने के लिए कोण योग गुण का उपयोग करें। फिर, शीर्षाभिमुख कोणों का उपयोग करके \(\angle CED\) ज्ञात करें। अंत में, \(\triangle ECD\) में कोण योग गुण का उपयोग करके \(x\) का मान ज्ञात करें।
🎯 Exam Tip: जटिल ज्यामितीय समस्याओं को हल करते समय, शीर्षाभिमुख कोण और बहिष्कोण प्रमेय जैसे मूलभूत गुणों को चरण-दर-चरण लागू करें।
Question 26. एक त्रिभुज के कोणों को परिमाण के बढ़ते हुए क्रम में रखा गया है यदि दो क्रमागत कोणों के बीच का अन्तर \(10^\circ\) है तो तीनों कोणों को ज्ञात कीजिए।
Answer: माना त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः \( x, x + 10^\circ, x + 20^\circ \) हैं। हम जानते हैं कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \( x + (x + 10^\circ) + (x + 20^\circ) = 180^\circ \) \( 3x + 30^\circ = 180^\circ \)
\( \implies 3x = 180^\circ - 30^\circ \) \( 3x = 150^\circ \)
\( \implies x = \frac{150^{\circ}}{3} \) \( x = 50^\circ \) अतः त्रिभुज के तीन कोण क्रमशः: पहला कोण: \( x = 50^\circ \) दूसरा कोण: \( x + 10^\circ = 50^\circ + 10^\circ = 60^\circ \) तीसरा कोण: \( x + 20^\circ = 50^\circ + 20^\circ = 70^\circ \)
In simple words: यदि कोणों के बीच एक स्थिर अंतर है, तो उन्हें \(x, x+10, x+20\) के रूप में व्यक्त करें। फिर, त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करके \(x\) का मान ज्ञात करें और सभी तीन कोणों को निर्धारित करें।
🎯 Exam Tip: अनुक्रमिक कोणों को एक चर के रूप में व्यक्त करना और कोण योग गुण को लागू करना ऐसे प्रश्नों के लिए एक मानक रणनीति है।
Question 27. दिये गये चित्र में, \(\triangle ABC\) के सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक त्रिभुज ABC को दर्शाता है जिसके शीर्षों पर बाह्य कोण दिए गए हैं। शीर्ष A पर एक बाह्य कोण 110° है, शीर्ष C पर एक बाह्य कोण 140° है। त्रिभुज के आंतरिक कोण 1, 2 और 3 के रूप में चिह्नित हैं।
Answer: हम जानते हैं कि एक सीधी रेखा पर कोणों का योग \(180^\circ\) होता है। \(\triangle ABC\) में, आंतरिक \(\angle 1 = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \) (रैखिक युग्म कोण) आंतरिक \(\angle 3 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \) (रैखिक युग्म कोण) अब, \(\triangle ABC\) में, कोणों का योग \(180^\circ\) होता है: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ \) \( 70^\circ + \angle 2 + 40^\circ = 180^\circ \) \( 110^\circ + \angle 2 = 180^\circ \)
\( \implies \angle 2 = 180^\circ - 110^\circ \) \( \angle 2 = 70^\circ \) अतः \(\triangle ABC\) के कोण हैं: \(\angle A = 70^\circ, \angle B = 70^\circ, \angle C = 40^\circ \).
In simple words: प्रत्येक बाह्य कोण के संगत आंतरिक कोण को रैखिक युग्म गुण का उपयोग करके ज्ञात करें (180 डिग्री में से बाह्य कोण घटाकर)। एक बार जब दो आंतरिक कोण ज्ञात हो जाएं, तो तीसरा आंतरिक कोण ज्ञात करने के लिए त्रिभुज के कोण योग गुण का उपयोग करें।
🎯 Exam Tip: रैखिक युग्म और कोण योग गुण का सही उपयोग करने से आंतरिक कोणों की सटीक गणना सुनिश्चित होती है।
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