UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 9 Samantar rekhayein

समान्तर रेखाएँ

अभ्यास 9(a)

Question 1. दी हुई रेखा AB से 5 सेमी- की दूरी पर AB के समान्तर एक रेखा खीचिए।
Answer: दी हुई रेखा AB के बिन्दु A पर लम्ब खींचते हैं जिसमें से AC=5 सेमी- काटते हैं। बिन्दु C पर लम्ब रेखा खींचते हैं। यह रेखा CD अभीष्ट रेखा है जिसकी रेखा AB से दूरी 5 सेमी है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक रेखाखंड AB दिया गया है। बिन्दु A से एक लंब AC खींचा गया है जिसकी लंबाई 5 सेमी है। फिर, बिन्दु C से AB के समांतर एक रेखा CD खींची गई है, जो AB से 5 सेमी की दूरी पर है।
In simple words: To draw a parallel line 5 cm away from AB, first draw a perpendicular AC of 5 cm from A to C, then draw a line CD through C parallel to AB.

🎯 Exam Tip: Ensure perpendiculars are accurately drawn and parallel lines are constructed using appropriate geometric tools for full marks.

Question 2. किसी दी हुई रेखा के बाहर स्थित बिन्दु से होकर जानी वाली एक समांतर रेखा खींचिए ।
Answer: रचना : दी हुई रेखा AB के बाहर स्थित कोई
बिन्दु P है । पटरी व परकार की सहायता से ।
बिन्दु P से AB के समान्तर रेखा CD खींची ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक रेखाखंड AB दिया गया है और उसके बाहर एक बिन्दु P स्थित है। बिन्दु P से होकर AB के समांतर एक रेखा CD खींची गई है, जो दर्शाती है कि P से AB के समांतर रेखा का निर्माण कैसे किया जाता है।
In simple words: To draw a line parallel to AB through an external point P, use a ruler and compass to construct a line CD passing through P that remains equidistant from AB.

🎯 Exam Tip: Mastering the construction steps for drawing parallel lines through an external point is crucial; practice using ruler and compass accurately.

Question 3. पार्श्व चित्र में त्रिभुज ABC के आधार BC के समान्तर DE और FG रेखाखंड खीचें गए हैं कि निम्नलिखित के उत्तर दीजिए ।
(i) कितने समलम्ब हैं?
(ii) कितने त्रिभुज हैं?
Answer: 1. तीन समलम्ब FGED, FGCB तथा DECB हैं ।
2. तीन त्रिभुज ABC, ADE, तथा AFG हैं ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज ABC दर्शाया गया है। आधार BC के समानांतर दो रेखाखंड DE और FG खींचे गए हैं, जहाँ F और D AB पर हैं, और G और E AC पर हैं। यह आकृति विभिन्न समलम्ब और त्रिभुजों को दर्शाती है।
In simple words: In the given figure, there are three trapeziums (FGED, FGCB, DECB) and three triangles (ABC, ADE, AFG) formed by the parallel line segments within triangle ABC.

🎯 Exam Tip: Carefully identify all closed quadrilaterals with one pair of parallel sides for trapeziums, and all three-sided closed figures for triangles, to correctly count them.

Question 4. पार्श्व चित्र में l और m दो समान्तर सरल रेखाएँ तथा t एक तिर्यक रेखा है। यदि \( \angle 1 = 30^\circ \), शेष कोणों 2,3,4,5,6,7 और 8 के मान ज्ञात कीजिए ।
Answer: \( \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ \)
\( 30^\circ + \angle 2 = 180^\circ \)
\( \implies \angle 2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \)
\( \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ \)
\( \implies 150^\circ + \angle 3 = 180^\circ \)
\( \implies \angle 3 = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \)
\( \implies \angle 4 = \angle 2 = 150^\circ \)
\( \implies \angle 6 = \angle 2 = 150^\circ \)
\( \implies \angle 5 = \angle 1 = 30^\circ \)
\( \implies \angle 7 = \angle 5 = 30^\circ \)
\( \implies \angle 8 = \angle 6 = 150^\circ \)
अतः \( \angle 1 = \angle 3 = \angle 5 = \angle 7 = 30^\circ \)
\( \angle 2 = \angle 4 = \angle 6 = \angle 8 = 150^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): दो समांतर रेखाएँ 'l' और 'm' एक तिर्यक रेखा 't' द्वारा काटी जा रही हैं। प्रतिच्छेदन पर 8 कोण (1 से 8 तक) बने हैं। कोण 1 ऊपरी-बाएँ, 2 ऊपरी-दाएँ, 3 निचले-बाएँ, 4 निचले-दाएँ (रेखा 'l' पर) और 5 ऊपरी-बाएँ, 6 ऊपरी-दाएँ, 7 निचले-बाएँ, 8 निचले-दाएँ (रेखा 'm' पर) दर्शाए गए हैं।
In simple words: Given that lines l and m are parallel and t is a transversal, and \( \angle 1 = 30^\circ \), we use properties of linear pairs, vertically opposite angles, and corresponding/alternate interior angles to find all other angle measures.

🎯 Exam Tip: Remember the relationships between angles formed by parallel lines and a transversal: corresponding angles are equal, alternate interior angles are equal, vertically opposite angles are equal, and consecutive interior angles are supplementary.

Question 5. पार्श्व चित्र में ABC एक त्रिभुज है तथा BD भुजा AC के समान्तर है, \( \angle ACB = 30^\circ \) तथा \( \angle ABD = 28^\circ \), \( \angle ABC, \angle DBK \) और \( \angle BAC \) के मान ज्ञात कीजिए।
Answer: \( \angle ACB = 30^\circ \)
\( \therefore \) DB || AC
\( \therefore \angle DBK = \angle ACB = 30^\circ \) (संगत कोण)
\( \angle ABK = \angle ABD + \angle DBK \)
\( = 28^\circ + 30^\circ = 58^\circ \)
\( \therefore \) बहिष्कोण = अन्तः कोणों का योग
\( \therefore \angle ABK = \angle BAC + \angle BCA \)
\( \implies 58^\circ = \angle BAC + 30^\circ \)
\( \implies \angle BAC = 58^\circ - 30^\circ = 28^\circ \)
\( \ast \) त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \therefore \angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ \)
\( \implies 28^\circ + 30^\circ + \angle ABC = 180^\circ \)
\( \implies 58^\circ + \angle ABC = 180^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 180^\circ - 58^\circ \)
\( \implies \angle ABC = 122^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक त्रिभुज ABC दिया गया है। एक रेखाखंड BD खींचा गया है जो AC के समांतर है। बिन्दु K, BC के विस्तार पर स्थित है। कोण \( \angle ABD \) को \( 28^\circ \) और \( \angle ACB \) को \( 30^\circ \) दर्शाया गया है।
In simple words: Given a triangle ABC with BD parallel to AC, and angles \( \angle ABD = 28^\circ \) and \( \angle ACB = 30^\circ \), we use properties of parallel lines and angles in a triangle to find \( \angle DBK, \angle BAC \), and \( \angle ABC \).

🎯 Exam Tip: When dealing with parallel lines and triangles, pay close attention to identifying corresponding angles, alternate angles, exterior angles, and the sum of interior angles in a triangle ( \( 180^\circ \) ).

Question 6. पार्श्व चित्र में r \( \perp \) p और r \( \perp \) q
(i) क्या p||q? क्यों?
(ii) यदि p||q तथा \( \angle 1 = 63^\circ \) हो, तो \( \angle 2 \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): दो रेखाएँ 'p' और 'q' दिखाई गई हैं, और एक तिर्यक रेखा 'r' उन्हें काटती है। रेखा 'r' रेखा 'p' पर और रेखा 'q' पर लंबवत है। कोण 1 रेखा 'p' और 'r' के बीच बनता है, और कोण 2 रेखा 'q' और 'r' के बीच बनता है, दोनों शीर्ष बाएँ कोण हैं।
1. p||q क्योंकि एक ही रेखा पर दो लम्ब रेखाएँ परस्पर समान्तर होती है।
2. यदि दो समान्तर रेखाओं को एक त्रिर्यक रेखा काटे तो संगत कोण बराबर होते है।
\( \therefore \angle 1 = 63^\circ \implies \angle 2 = 63^\circ \)
In simple words: Yes, p is parallel to q because both are perpendicular to the same line r. If \( \angle 1 = 63^\circ \) and p||q, then \( \angle 2 \) is also \( 63^\circ \) because they are corresponding angles.

🎯 Exam Tip: Remember that two lines perpendicular to the same line are always parallel to each other. Also, corresponding angles formed by parallel lines and a transversal are equal.

अभ्यास 9(b)

Question 1. चतर्भुज ABCD का प्रत्येक कोण समकोण है। सत्यापित कीजिए कि AB || DC और AD || BC,
Answer: चतुर्भुज ABCD का प्रत्येक कोण समकोण है
\( \angle A = 90^\circ, \angle B = 90^\circ, \angle C = 90^\circ, \angle D = 90^\circ \)
\( \angle D + \angle A = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
\( \ast \) अन्तःकोणों का योग \( 180^\circ \) है ।
अतः AB || DC
इसी प्रकार, \( \angle D + \angle C = 180^\circ \)
अतः AD || BC
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक चतुर्भुज ABCD दिखाया गया है, जहाँ इसके सभी कोण (\( \angle A, \angle B, \angle C, \angle D \)) समकोण (\( 90^\circ \)) हैं। यह एक आयत या वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें विपरीत भुजाएँ समांतर होती हैं।
In simple words: Since all angles in quadrilateral ABCD are \( 90^\circ \), the sum of consecutive interior angles is \( 180^\circ \), proving that opposite sides (AB || DC and AD || BC) are parallel.

🎯 Exam Tip: For a quadrilateral, if the sum of consecutive interior angles is \( 180^\circ \), then the lines intersected by the transversal forming these angles are parallel. This is a key property for proving sides of a rectangle/square are parallel.

Question 2. पाश्र्व चित्र में दो रेखाएँ l और m हैं जिसे एक तिर्यक रेखा T बिन्दुओं P और Q काटती हैं। यदि \( \angle 2 = \angle 3 = 90^\circ \) सत्यापित कीजिए कि रेखाएँ l और m परस्पर समान्तर हैं। \( \angle 1 + \angle 3 \) का मान कितना होगा?
Answer: \( \angle 2 = \angle 3 = 90^\circ \) (दिया है)
\( \angle 2 + \angle 1 = 180^\circ \) (रैखिक युग्म)
\( \implies 90^\circ + \angle 1 = 180^\circ \)
\( \implies \angle 1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
\( \ast \) संगत कोण बराबर हैं ।
अतः रेखा l और m परस्पर समान्तर हैं ।
तथा \( \angle 1 + \angle 3 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): दो रेखाएँ 'l' और 'm' एक तिर्यक रेखा 't' द्वारा बिन्दुओं P और Q पर काटी जा रही हैं। कोण 1, 2, 3 दर्शाए गए हैं। कोण 2 रेखा 'l' पर ऊपरी-दाएँ है, कोण 3 रेखा 'm' पर निचले-दाएँ है, और कोण 1 रेखा 'l' पर ऊपरी-बाएँ है।
In simple words: Given \( \angle 2 = \angle 3 = 90^\circ \), since corresponding angles (\( \angle 2 \) and \( \angle 3 \)) are equal, lines l and m are parallel. Also, \( \angle 1 \) forms a linear pair with \( \angle 2 \), so \( \angle 1 = 90^\circ \). Therefore, \( \angle 1 + \angle 3 = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

🎯 Exam Tip: When corresponding angles are equal, the lines are parallel. Also, a linear pair of angles sums to \( 180^\circ \). These are fundamental geometric principles.

Question 3. ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AD || BC है। रेखाखंड BL और CM रेखा AD पर लम्ब हैं दिखाइए BL || CM | यदि BC = ML हो तो दिखाइए कि BCML एक वर्ग है।
Answer: समलम्ब चतुर्भुज ABCD में,
AB = DC, BC = LM
दो बिन्दु B और C से रेखा AD पर लम्ब BL और
CM है। \( \angle L \) और \( \angle M \) समकोण हैं चूँकि दोनों कोण
संगतकोण हैं और बराबर हैं। अतः
BL|| CM
यदि BC = BL तथा रेखा BC पर लम्ब BL और CM है।
\( \therefore \) BC = BL = LM=CM
तथा \( \angle B = \angle C = \angle L = \angle M = 90^\circ \)
अतः BCML एक वर्ग है।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD दिखाया गया है, जहाँ AD, BC के समानांतर है। B और C से AD पर लंब BL और CM खींचे गए हैं। यह आकृति चतुर्भुज BCML को दर्शाती है, जो एक आयत या वर्ग है।
In simple words: Since BL and CM are both perpendicular to AD, they are parallel to each other. Given that BC = ML and all angles are \( 90^\circ \) (as they are perpendiculars in a trapezium with parallel bases), BCML is a square.

🎯 Exam Tip: To prove a quadrilateral is a square, you need to show that all sides are equal and all angles are \( 90^\circ \). For parallel lines, perpendiculars drawn between them are parallel and equal in length.

Question 4. ABCD एक वर्ग है तथा L, M, N और O क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD तथा DA के मध्य बिन्दु हैं। कोण तथा भुजाएँ नापकर देखिए कि आकृति LMNO भी एक वर्ग है।
Answer: रचना : सर्वप्रथम ABCD एक वर्ग बनाया। AB,
BC, CD, DA के मध्य बिन्दु क्रमशः L, M, N, O लिए।
मापने पर, OL = ON = NM = ML
तथा \( \angle L = \angle O = \angle N = \angle M = 90^\circ \)
अतः LMNO एक वर्ग है ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वर्ग ABCD दर्शाया गया है। प्रत्येक भुजा AB, BC, CD, DA के मध्य बिन्दु क्रमशः L, M, N, O लिए गए हैं। इन मध्य बिन्दुओं को जोड़कर एक नया चतुर्भुज LMNO बनाया गया है, जो आंतरिक वर्ग को दर्शाता है।
In simple words: When the midpoints of the sides of a square ABCD are joined (L, M, N, O), the resulting figure LMNO is also a square, with all sides equal and all angles at \( 90^\circ \).

🎯 Exam Tip: The figure formed by joining the midpoints of the sides of a square is always another square. This is a useful property to remember for competitive exams.

Question 5. त्रिभुज ABC में कोण B एक समकोण है। L और M क्रमशः भुजाओं AB और AC के मध्य बिन्दु हैं । MN भुजा BC पर लम्ब है। दिखाइए कि आकृति LMNB एक आयत है।
Answer: \( \triangle ABC \) मे L, AB का मध्य बिन्दु तथा M, AC का मध्य बिन्दु है ।
\( \angle B = 90^\circ \) तथा \( \angle N = 90^\circ \)
LM = \( \frac{1}{2} \) BC = BN
तथा LM || RC
इसी प्रकार, MN = \( \frac{1}{2} \) AB = BL
तथा MN || AB
अतः एक LMNB आयत है ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक समकोण त्रिभुज ABC दिखाया गया है, जहाँ कोण B \( 90^\circ \) है। L भुजा AB का मध्य बिन्दु है और M भुजा AC का मध्य बिन्दु है। M से BC पर एक लंब MN खींचा गया है। यह दर्शाया गया है कि LMNB एक आयत बनाता है।
In simple words: In right-angled triangle ABC, L and M are midpoints of AB and AC respectively, and MN is perpendicular to BC. By midpoint theorem properties and given conditions, LMNB has all angles as \( 90^\circ \) and opposite sides parallel and equal, making it a rectangle.

🎯 Exam Tip: Remember the midpoint theorem: the line segment connecting the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and is half the length of the third side. Use this along with properties of right angles to prove a figure is a rectangle.

Question 6. पार्श्व चित्र में l|| m, p \( \perp \) m और p \( \perp \) n
(i) क्या? m || n? क्यों?
(ii) क्या? l || n? क्यों?
(iii) क्या? p \( \perp \) l? क्यों?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): तीन रेखाएँ 'l', 'm', 'n' दिखाई गई हैं, और एक तिर्यक रेखा 'p' उन्हें काटती है। रेखा 'l' और 'm' समानांतर हैं। रेखा 'p' रेखा 'm' पर लंबवत है और रेखा 'p' रेखा 'n' पर लंबवत है।
1. हाँ, क्योंकि संगत कोण बराबर हैं।
2. हाँ, क्योंकि L|| M और M || N
3. हाँ, क्योंकि P, MN पर \( \perp \) है और L भी समान्तर है।
In simple words: (i) Yes, m||n because both are perpendicular to line p. (ii) Yes, l||n because l||m (given) and m||n (proved), so l||n. (iii) Yes, p \( \perp \) l because if p \( \perp \) m and l||m, then p must also be perpendicular to l.

🎯 Exam Tip: Understand the transitivity of parallel lines (if a||b and b||c, then a||c) and the property that if a line is perpendicular to one of two parallel lines, it is also perpendicular to the other.

अभ्यास 9(c)

Question 1. 10 सेमी- का एक रेखाखंड AB खींच कर इसको पाँच बराबर भागों में पटरी परकार की सहायता से विभक्त कीजिए । मापकर प्रत्येक भाग की लम्बाई जाँचिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक रेखाखंड AB (10 सेमी) है। बिन्दु A से एक किरण AM न्यूनकोण बनाते हुए खींची गई है। किरण AM पर M1, M2, M3, M4, M5 बिन्दु समान दूरी पर अंकित हैं। M5 को B से मिलाया गया है। M1, M2, M3, M4 से M5B के समांतर रेखाएँ खींचकर AB को C, D, E, F पर काटा गया है, जिससे AB पाँच बराबर भागों में विभक्त हो जाता है।
रचना :
1. सर्वप्रथम रेखाखंड AB = 10 सेमी ची ।।
2. रेखाखंड के अन्त्य बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई एक किरण AL खींची ।
3. किसी त्रिज्या से किरण AL पर पाँच बराबर भाग AM1, M1M2, M2M3, M3M4 तथा M4M5 किए।
4. बिन्दु M5 को B से मिलाया।
5. M4, M3 M2 तथा M1 से BM5 के समान्तर रेखायें खींची जो रेखाखंड AB को क्रमशः CD, E और F बिन्दु पर काटते हैं। इस प्रकार बिन्दु C, D, E और F रेखाखंड AB को पाँच बराबर खंडों में विभक्त करते हैं। नापने पर, प्रत्येक भाग की लम्बाई = 2 सेमी-
In simple words: To divide a 10 cm line segment AB into five equal parts, draw an acute ray from A, mark five equal divisions, connect the last mark to B, and then draw parallel lines from other marks to AB. Each part will be 2 cm.

🎯 Exam Tip: This construction relies on the basic proportionality theorem. Ensure accuracy in drawing parallel lines using a set square or compass for correct division.

Question 2. एक 8 सेमी लम्बी रेखाखंड को 2:3 अनुपात में विभक्त कीजिए। इस प्रकार प्राप्त दोनों भाग की लम्बाई मापकर सत्यापित कीजिए कि इनका अनुपात 2:3 है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक रेखाखंड AB (8 सेमी) है जिसे 2:3 के अनुपात में विभाजित करना है। बिन्दु A से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण AM खींची गई है। किरण AM पर M1 से M5 तक (2+3=5) समान दूरी के बिन्दु अंकित हैं। M5 को B से मिलाया गया है। M2 से M5B के समांतर एक रेखाखंड M2P खींचा गया है, जो AB को P पर काटता है, जिससे AB, 2:3 के अनुपात में विभाजित होता है।
रचना :
1. सर्वप्रथम रेखाखंड AB = 8 सेमी खींची।
2. रेखाखंड AB के बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई किरण AM खींची ।
3. आनुपातिक अंक 2 और 3 के योग 5 के बराबर किरण AM में A से प्रारंभ करके किसी त्रिज्या से पाँच समान रेखाखंड AM1, M1M2, M2M3, M3M4 तथा M4M5, चिहनित किया।
4. फिर अन्तिम चिहनित बिन्दु को रेखाखंड के अन्त्य बिन्दु B से मिलाया।
5. M5B के समान्तर M2 से एक रेखाखंड M2P खींचा जो रेखाखंड AB को P काटता है। इस प्रकार बिन्दु P रेखाखंड AB को 2:3 में विभक्त करता है।
सत्यापन - AP और PB को मापा। मापने पर,
अतः उत्तर सही है।
In simple words: To divide an 8 cm line segment into a 2:3 ratio, draw a ray, mark 5 equal divisions, connect the 5th mark to B, and then draw a parallel line from the 2nd mark to intersect AB at P. The lengths of AP and PB should be in the ratio 2:3.

🎯 Exam Tip: The sum of the ratio parts determines the total number of divisions on the ray. The point from which the parallel line is drawn corresponds to the first part of the ratio. Accuracy in measurement and parallel line construction is key.

Question 3. 8 सेमी माप का रेखाखंड AB खीचिए। अन्त्य बिन्दु A से इस रेखाखंड का वाँ भाग रचना द्वारा ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक रेखाखंड AB (8 सेमी) है। बिन्दु A से एक किरण AM न्यूनकोण बनाते हुए खींची गई है। किरण AM पर M1, M2, M3, M4, M5 बिन्दु समान दूरी पर अंकित हैं। M5 को B से मिलाया गया है। M3 से M5B के समांतर एक रेखाखंड M3P खींचा गया है, जो AB को P पर काटता है। यह P बिन्दु AB को 3/5 भाग में विभाजित करता है।
रचना :
1. सर्वप्रथम रेखाखंड AB = 8 सेमी खींची ।।
2. फिर रेखाखंड AB के बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई किरण AM खींची।
3. इसके बाद AM में बिन्दु A से किसी त्रिज्या से पाँच समान रेखाखंड M1, M2, M3 M4 तथा M5 चिहनित किए।
4. फिर अन्तिम चिहनित बिन्दु M5 को रेखाखंड के अन्त्य बिन्दु B से मिलाया।
5. अन्त में M5B के समान्तर M3 से एक रेखाखंड M3P खींचा, जो रेखाखंड AB को बिन्दु P पर काटता है ।
इस प्रकार, बिन्दु P रेखाखंड AB को वे भाग में विभक्त करता है।
In simple words: To find the Nth part (here 3rd part out of 5) of an 8 cm line segment AB, construct an acute ray from A, mark 5 equal divisions. Connect the 5th mark to B, then draw a parallel line from the 3rd mark to intersect AB at P, which will divide AB in the desired ratio.

🎯 Exam Tip: The construction method for dividing a line segment into 'n' equal parts or a given ratio is similar. The 'Nth' part refers to locating a point P such that AP/AB = N/total_parts (e.g., 3/5 here). Ensure clear construction steps are followed.

Question 4. 8.4 सेमी- का एक रेखाखंड AB खीचिए। इस पर एक बिन्दु P रचना द्वारा इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक रेखाखंड AB (8.4 सेमी) है। बिन्दु A से एक न्यूनकोण बनाती हुई किरण AM खींची गई है। किरण AM पर M1, M2, M3, M4, M5 बिन्दु समान दूरी पर अंकित हैं। M5 को B से मिलाया गया है। M2 से M5B के समांतर एक रेखाखंड M2P खींचा गया है, जो AB को P पर काटता है। यह P बिन्दु AB को 2/5 भाग में विभाजित करता है।
Answer: रचना :
1. सर्वप्रथम रेखाखंड AB = 8.4 सेमी- खींची।
2. फिर रेखाखंड AB के अन्त्य बिन्दु A से न्यूनकोण बनाती हुई किरण AM खींची।
3. इसके बाद AM में बिन्दु A से किसी त्रिज्या के पाँच समान M1, M2, M3, M4 तथा M5 चिहनित किए।
4. फिर अन्तिम चिहनित बिन्दु M5 को रेखाखंड के अन्त्य बिन्दु B से मिलाया।
5. अन्त में M5B के समान्तर M2 से एक रेखाखंड M2P खींचा, जो रेखाखंड AB को । बिन्दु P पर काटता है।
इस प्रकार, बिन्दु P रेखाखंड AB को वें भाग में विभक्त करता है।
In simple words: To find a point P on an 8.4 cm line segment AB by construction, draw an acute ray from A, mark 5 equal divisions (M1-M5). Join M5 to B. Draw a line parallel to M5B from M2, intersecting AB at P. This point P divides AB into a 2:3 ratio (2/5th part from A).

🎯 Exam Tip: This is a standard construction for dividing a line segment in a given ratio. The specific point P found here divides AB such that AP:PB = 2:3, or AP is 2/5th of AB, based on the M2 parallel line. Be precise with measurements and parallel line constructions.