UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 8 Varg samikaran

वर्ग समीकरण

UP Board Solution Class 8 Math Chapter 8 अभ्यास 8 (A)

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए एवं अपने उत्तर की जाँच कीजिएः

Question 1. \(x^2-49=0\)
Answer:
\(x^2-49=0\)
या \(x^2 = 49\) (पक्षान्तर करने पर)
\(x = \pm \sqrt{49} = \pm 7\)
अतः \(x = 7\) तथा \(x=-7\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = x^2-49\)
\( = (7)^2-49=49-49=0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = -7\) रखकर बायां पक्ष \((-7)^2-49=49-49=0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(x^2-49=0\) को हल करने पर, हमें \(x\) के दो मान \(7\) और \(-7\) प्राप्त होते हैं, जिनकी जाँच करने पर दोनों पक्षों का मान बराबर आता है।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरणों को हल करते समय वर्गमूल निकालते वक्त धनात्मक और ऋणात्मक दोनों मानों पर विचार करना महत्वपूर्ण है।

Question 2. \(16x^2-9=0\)
Answer:
\(16x^2 = 9\)
या \(x^2 = \frac{9}{16}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}\)
अतः \(x = \frac{3}{4}\) तथा \(x=-\frac{3}{4}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = 16x^2-9\)
\( = 16 \times (\frac{3}{4})^2-9\)
\( = 16 \times \frac{9}{16}-9\)
\( = 9-9 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = -\frac{3}{4}\) रखकर बायां पक्ष \( = 16x^2-9\)
\( = 16 \times (-\frac{3}{4})^2-9\)
\( = 16 \times \frac{9}{16}-9\)
\( = 9-9 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: दिए गए समीकरण \(16x^2-9=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(3/4\) और \(-3/4\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नत्मक मानों की जाँच करते समय, वर्गों और गुणा का सही क्रम बनाए रखना सुनिश्चित करें।

Varg Samikaran Class 8 प्रश्न 3.

Question 3. \(ax^2-b=0\)
Answer:
\(ax^2-b = 0\)
या \(ax^2 = b\)
\(x^2 = \frac{b}{a}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{b}{a}}\)
अतः \(x = \sqrt{\frac{b}{a}}\) तथा \(x=-\sqrt{\frac{b}{a}}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = ax^2-b\)
\( = a \times (\sqrt{\frac{b}{a}})^2-b\)
\( = a \times \frac{b}{a}-b\)
\( = b-b=0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = -\sqrt{\frac{b}{a}}\) रखकर बायां पक्ष \( = ax^2-b\)
\( = a \times (-\sqrt{\frac{b}{a}})^2-b\)
\( = a \times \frac{b}{a}-b\)
\( = b-b=0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: सामान्य वर्ग समीकरण \(ax^2-b=0\) को हल करने पर \(x\) के दो मान \(+\sqrt{b/a}\) और \(-\sqrt{b/a}\) मिलते हैं, जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय समीकरणों में चर के मानों की जाँच करते समय प्रतीकात्मक वर्ग और वर्गमूल के नियमों को ध्यान से लागू करें।

वर्ग समीकरण कक्षा 8 प्रश्न 4.

Question 4. \(\frac{4}{9}x^2=1\)
Answer:
\(\frac{4}{9}x^2 = 1\)
या \(x^2 = \frac{9}{4}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}}\)
\( = \pm \frac{3}{2}\)
अतः \(x = \frac{3}{2}\) तथा \(x=-\frac{3}{2}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = \frac{4}{9}x^2\)
\( = \frac{4}{9} \times (\frac{3}{2})^2\)
\( = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4}\)
\( = 1\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = -\frac{3}{2}\) रखकर बायां पक्ष \( = \frac{4}{9}x^2\)
\( = \frac{4}{9} \times (-\frac{3}{2})^2\)
\( = \frac{4}{9} \times \frac{9}{4}\)
\( = 1\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(\frac{4}{9}x^2=1\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(3/2\) और \(-3/2\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नत्मक गुणांक वाले समीकरणों को हल करते समय, चर को अलग करने के लिए भिन्न के व्युत्क्रम से गुणा करने की विधि का उपयोग करें।

UP Board Solution Class 8 प्रश्न 5.

Question 5. \(64p^2=25\)
Answer:
\(64p^2 = 25\)
या \(p^2 = \frac{25}{64}\)
\(p = \pm \sqrt{\frac{25}{64}}\)
\( = \pm \frac{5}{8}\)
अतः \(p = \frac{5}{8}\) तथा \(p=-\frac{5}{8}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = 64p^2\)
\( = 64 \times (\frac{5}{8})^2\)
\( = 64 \times \frac{25}{64}\)
\( = 25\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा बायां पक्ष में \(p = -\frac{5}{8}\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 64p^2\)
\( = 64 \times (-\frac{5}{8})^2\)
\( = 64 \times \frac{25}{64}\)
\( = 25\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(64p^2=25\) को हल करने पर \(p\) के दो मान \(5/8\) और \(-5/8\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

🎯 Exam Tip: वर्ग समीकरणों में चर के मानों की जाँच करते समय, वर्गमूल निकालने के बाद दोनों धनात्मक और ऋणात्मक संभावनाओं को सत्यापित करें।

वर्ग समीकरण प्रश्न 6.

Question 6. \(5y^2=20\)
Answer:
\(5y^2 = 20\)
या \(y^2 = \frac{20}{4}\)
\(\implies y^2=4\)
\(y = \pm \sqrt{4}\)
\( = \pm 2\)
अतः \(y = 2\) तथा \(y=-2\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = 5y^2\)
\( = 5 \times (2)^2\)
\( = 5 \times 4 = 20\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा बायां पक्ष में \(y = -2\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 5y^2\)
\( = 5 \times (-2)^2\)
\( = 5 \times 4 = 20\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(5y^2=20\) को हल करने पर, \(y\) के मान \(2\) और \(-2\) प्राप्त होते हैं, जिनकी जाँच करने पर दोनों पक्ष बराबर आते हैं।

🎯 Exam Tip: चरों के साथ गुणांक वाले वर्ग समीकरणों को हल करते समय, पहले गुणांक से भाग देकर समीकरण को सरल बनाएं।

Class 8 Math UP Board Chapter 8 प्रश्न 7.

Question 7. \(7x^2=8\)
Answer:
\(7x^2 = 8\)
या \(x^2 = \frac{8}{7}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{8}{7}}\)
अतः \(x = \sqrt{\frac{8}{7}}\) तथा \(x=-\sqrt{\frac{8}{7}}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = 7x^2\)
\( = 7 \times (\sqrt{\frac{8}{7}})^2\)
\( = 7 \times \frac{8}{7}\)
\( = 8\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बायें पक्ष में \(x = -\sqrt{\frac{8}{7}}\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 7x^2\)
\( = 7 \times (-\sqrt{\frac{8}{7}})^2\)
\( = 7 \times \frac{8}{7}\)
\( = 8\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(7x^2=8\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(\sqrt{8/7}\) और \(-\sqrt{8/7}\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: अपरिमेय वर्गमूल वाले उत्तरों को सरलीकरण के साथ प्रस्तुत करें और सुनिश्चित करें कि समीकरण की जाँच करते समय वर्गमूल को सही ढंग से संभाला जाए।

UP Board Class 8 Chapter 8 प्रश्न 8.

Question 8. \(5x^2=x^2+1\)
Answer:
\(5x^2 = x^2 + 1\)
या \(5x^2-x^2 = 1\)
\(4x^2 = 1\)
\(x^2 = \frac{1}{4}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\)
\( = \pm \frac{1}{2}\)
अतः \(x = \frac{1}{2}\) तथा \(x=-\frac{1}{2}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = 5x^2\)
\( = 5 \times (\frac{1}{2})^2\)
\( = 5 \times \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
दायां पक्ष \( = x^2+1\)
\( = (\frac{1}{2})^2+1\)
\( = \frac{1}{4}+1 = \frac{1+4}{4} = \frac{5}{4}\)
बायां पक्ष = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(5x^2=x^2+1\) को पुनर्व्यवस्थित करके और हल करने पर, \(x\) के मान \(1/2\) और \(-1/2\) प्राप्त होते हैं, जो दोनों पक्षों को बराबर सिद्ध करते हैं।

🎯 Exam Tip: समीकरणों को हल करते समय समान पदों को एक साथ समूहबद्ध करना और चरों को अलग करना महत्वपूर्ण पहला कदम है।

UP Board Solution Class 8 Maths प्रश्न 9.

Question 9. \(x = \frac{4}{x}\)
Answer:
या \(x^2 = 4\)
\(x = \pm \sqrt{4}\)
\( = \pm 2\)
अतः \(x = 2\) तथा \(x=-2\)
सत्यापनः बायां पक्ष \(x = 2\)
दायां पक्ष \( = \frac{4}{x} = \frac{4}{2} = 2\)
बायां पक्ष = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(x = 4/x\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(2\) और \(-2\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नत्मक समीकरणों को हल करते समय, पहले क्रॉस-गुणा करके समीकरण को एक मानक रूप में परिवर्तित करें।

Samikaran Class 8 प्रश्न 10.

Question 10. \(\frac{x}{5} = \frac{5}{x}\)
Answer:
या \(x^2 = 25\)
या \(x = \pm \sqrt{25}\)
\( = \pm 5\)
अतः \(x = 5\) तथा \(x=-5\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = \frac{x}{5}\)
\( = \frac{5}{5} = 1\)
दायां पक्ष \( = \frac{5}{x}\)
\( = \frac{5}{5} = 1\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बायें पक्ष में \(x = -5\) रखने पर, बायां पक्ष \( = \frac{x}{5}\)
\( = \frac{-5}{5} = -1\)
दायां पक्ष \( = \frac{5}{x}\)
\( = \frac{5}{-5} = -1\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(\frac{x}{5} = \frac{5}{x}\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(5\) और \(-5\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नत्मक समीकरणों को हल करते समय, चरों के लिए हल करने से पहले हर को समाप्त करने के लिए क्रॉस-गुणा का उपयोग करें।

Math Class 8 UP Board Solution प्रश्न 11.

Question 11. \(-ax^2+c=0\)
Answer:
\(-ax^2 + c = 0\)
या \(ax^2 = c\)
\(x^2 = \frac{c}{a}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}\)
अतः \(x = \sqrt{\frac{c}{a}}\) तथा \(x=-\sqrt{\frac{c}{a}}\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = -ax^2+c\)
\(x = \sqrt{\frac{c}{a}}\) रखने पर, बायां पक्ष \( = -a \times (\sqrt{\frac{c}{a}})^2+c\)
\( = -a \times \frac{c}{a}+c\)
\( = -c+c = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बायें पक्ष में \(x = -\sqrt{\frac{c}{a}}\) रखने पर, बायां पक्ष \( = -a \times (-\sqrt{\frac{c}{a}})^2+c\)
\( = -a \times \frac{c}{a}+c\)
\( = -c+c = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(-ax^2+c=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(\sqrt{c/a}\) और \(-\sqrt{c/a}\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: प्रतीकात्मक समीकरणों को हल करते समय, चरों को संख्यात्मक मानों की तरह ही मानें और बीजगणितीय नियमों का पालन करें।

UP Board Solution Kaksha 8 Math प्रश्न 12.

Question 12. \(2x^2-18=0\)
Answer:
\(2x^2-18=0\)
या \(2x^2 = 18\)
\(x^2 = \frac{18}{2}\)
\(\implies x^2=9\)
\(x = \pm \sqrt{9}\)
\( = \pm 3\)
अतः \(x = 3\) तथा \(x=-3\)
सत्यापनः बायां पक्ष \( = 2x^2-18\)
\(x = 3\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 2 \times (3)^2-18\)
\( = 2 \times 9-18\)
\( = 18-18 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बाये पक्ष में \(x = -3\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 2x^2-18\)
\( = 2 \times (-3)^2-18\)
\( = 2 \times 9-18\)
\( = 18-18 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(2x^2-18=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(3\) और \(-3\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरणों को हल करते समय, सुनिश्चित करें कि वर्गमूल निकालने से पहले चर को पूरी तरह से अलग कर लिया जाए।

UP Board Solution Class 8th Math प्रश्न 13.

Question 13. \(\frac{x^2}{4}=9\)
Answer:
या \(x^2 = 36\)
\(x = \pm \sqrt{36}\)
\( = \pm 6\)
अतः \(x = 6\) तथा \(x=-6\)
सत्यापनः \(x = 6\) रखने पर, बायां पक्ष \( = \frac{x^2}{4}\)
\( = \frac{(6)^2}{4}\)
\( = \frac{36}{4} = 9\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बायें पक्ष में \(x = -6\) रखने पर, बायां पक्ष \( = \frac{(-6)^2}{4}\)
\( = \frac{36}{4} = 9\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(\frac{x^2}{4}=9\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(6\) और \(-6\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: भिन्नत्मक समीकरणों में, अज्ञात चर को अलग करने के लिए पहले हर को हटाने के लिए दोनों पक्षों को गुणा करें।

Class 8 Math UP Board Solution प्रश्न 14.

Question 14. \(\frac{x}{a} = \frac{a}{x}\)
Answer:
या \(x^2 = a^2\)
या \(x = \pm \sqrt{a^2}\)
\( = \pm a\)
अतः \(x = a\) तथा \(x=-a\)
सत्यापनः \(x = a\) रखने पर, बायां पक्ष \( = \frac{x}{a}\)
\( = \frac{a}{a} = 1\)
दायां पक्ष \( = \frac{a}{x}\)
\( = \frac{a}{a} = 1\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बायें पक्ष में \(x = -a\) रखने पर, बायां पक्ष \( = \frac{x}{a}\)
\( = \frac{-a}{a} = -1\)
दायां पक्ष \( = \frac{a}{x}\)
\( = \frac{a}{-a} = -1\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(\frac{x}{a} = \frac{a}{x}\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(a\) और \(-a\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय समीकरणों में प्रतीकात्मक चरों को संख्यात्मक मानों की तरह ही मानें और उन्हें अलग करने के लिए समान सिद्धांतों का उपयोग करें।

UP Board Solution Math Class 8 प्रश्न 15.

Question 15. \(x^2-256=0\)
Answer:
\(x^2-256 = 0\)
या \(x^2 = 256\)
\(x = \pm \sqrt{256}\)
\( = \pm 16\)
अतः \(x = 16\) तथा \(x=-16\)
सत्यापनः \(x = 16\) रखने पर, बायां पक्ष \( = x^2-256\)
\( = (16)^2-256\)
\( = 256-256 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
बायें पक्ष में \(x = -16\) रखने पर, बायां पक्ष \( = x^2-256\)
\( = (-16)^2-256\)
\( = 256-256 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(x^2-256=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(16\) और \(-16\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: पूर्ण वर्ग संख्याओं को पहचानना समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया को तेज कर सकता है; \(256\) का वर्गमूल \(16\) होता है।

UP Board Solution 8 Math प्रश्न 16.

Question 16. \(0.04x^2-0.25=0\)
Answer:
\(0.04x^2 = 0.25\)
या \(x^2 = \frac{0.25}{0.04}\)
\(\implies x^2 = \frac{25}{4}\)
\(x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\)
\( = \pm \frac{5}{2}\)
अतः \(x = \frac{5}{2}\) तथा \(x=-\frac{5}{2}\)
सत्यापनः \(x = \frac{5}{2}\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 0.04x^2-0.25\)
\( = 0.04 \times (\frac{5}{2})^2-0.25\)
\( = 0.04 \times \frac{25}{4}-0.25\)
\( = 0.25-0.25 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा बायें पक्ष में \(x = -\frac{5}{2}\) रखने पर, बायां पक्ष \( = 0.04x^2-0.25\)
\( = 0.04 \times (-\frac{5}{2})^2-0.25\)
\( = 0.04 \times \frac{25}{4}-0.25\)
\( = 0.25-0.25 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(0.04x^2-0.25=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(5/2\) और \(-5/2\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: दशमलव वाले समीकरणों को हल करते समय, पहले उन्हें पूर्णांक गुणांकों में बदलने के लिए 10 की घात से गुणा करना उपयोगी हो सकता है।

UP Board Solution Class 8th अभ्यास 8 (B)

Class 8 Maths UP Board Solution प्रश्न 1.

Question 1. एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 441 वर्ग मीटर है। मैदान का परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना वर्गाकार मैदान की भुजा \( = x\) मीटर है
वर्ग का क्षेत्रफल \( = 441\) वर्ग मीटर
(वर्ग की भुजा)\(^2 = 441\)
\(x^2 = 441\)
\(x = \pm\sqrt{441}\)
\( = \pm 21\)
अतः \(x = 21\) तथा \(x=-21\)
परन्तु वर्ग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
\(\implies x = 21\)
वर्ग का परिमाप \( = 4 \times\) भुजा
\( = 4 \times 21\)
\( = 84\) मीटर
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वर्गाकार मैदान ABCD को दर्शाता है, जहाँ प्रत्येक भुजा 'x' मीटर के रूप में चिन्हित है, जो वर्ग के आकार और भुजा की लंबाई को दर्शाती है।
In simple words: एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 441 वर्ग मीटर होने पर, उसकी भुजा 21 मीटर आती है, जिससे मैदान का परिमाप 84 मीटर होगा।

🎯 Exam Tip: ज्यामिति समस्याओं में, ऋणात्मक मानों को त्यागने के लिए वास्तविक दुनिया के संदर्भ (जैसे लंबाई या दूरी) पर विचार करें।

क्लास 8 चैप्टर 8 प्रश्न 2.

Question 2. एक आयताकार बाग की लंबाई और चौड़ाई में अनुपात 3:2 है। यदि बाग का क्षेत्रफल 600 वर्ग मी. है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना आयताकार बाग की लम्बाई \( = 3x\) मीटर है
तथा आयताकार बाग की चौड़ाई \( = 2x\) मीटर
आयताकार बाग का क्षेत्रफल \( = 600\) वर्ग मीटर
\(3x \times 2x = 600\) वर्ग मीटर
\(6x^2 = 600\) वर्ग मीटर
\(x^2 = 100\) वर्ग मीटर
\(x = \pm \sqrt{100}\)
\( = \pm 10\)
अतः \(x = 10\) तथा \(x=-10\)
परन्तु आयताकार बाग की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती।
\(\implies x = 10\)
बाग की लम्बाई \( = 3x = 3 \times 10 = 30\) मीटर
चौड़ाई \( = 2x = 2 \times 10 = 20\) मीटर
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): इस चित्र में एक आयताकार बाग ABCD दिखाया गया है, जिसकी लंबाई '3x' मीटर और चौड़ाई '2x' मीटर है, जो आयताकार बाग के आयामों को स्पष्ट करता है।
In simple words: आयताकार बाग की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 3:2 और क्षेत्रफल 600 वर्ग मीटर होने पर, लंबाई 30 मीटर और चौड़ाई 20 मीटर होगी।

🎯 Exam Tip: अनुपात वाली समस्याओं में, समानुपाती स्थिरांक \(x\) का उपयोग करके आयामों को परिभाषित करें और वास्तविक दुनिया के संदर्भ के अनुसार ऋणात्मक हल को छोड़ दें।

UPboardsolutions.Com Class 8 प्रश्न 3.

Question 3. एक वर्गा कार मैदान का क्षेत्रफल 225 वर्गमीटर है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना वर्गाकार मैदान की भुजा \( = x\) मीटर है
वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल \( = 225\) वर्ग मीटर
(भुजा)\(^2 = 225\) वर्ग मीटर
\(x^2 = 225\) वर्ग मीटर
\(x = \pm \sqrt{225}\)
\( = \pm 15\)
अतः \(x = 15\) तथा \(x=-15\)
परन्तु मैदान की भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती है
\(\implies x = 15\) मीटर
वर्गाकार मैदान का परिमाप \( = 4 \times\) भुजा
\( = 4 \times 15\) मीटर
\( = 60\) मीटर
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह चित्र एक वर्ग ABCD को दर्शाता है जिसकी प्रत्येक भुजा 'x' मीटर है, जो एक वर्गाकार मैदान के आयामों का प्रतिनिधित्व करता है।
In simple words: एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 225 वर्ग मीटर है, तो उसकी भुजा 15 मीटर होगी और उसका परिमाप 60 मीटर होगा।

🎯 Exam Tip: वर्ग की समस्याओं में, क्षेत्रफल से भुजा ज्ञात करने के लिए वर्गमूल का उपयोग करें और फिर परिमाप की गणना के लिए उस भुजा को चार से गुणा करें।

UP Board Solution.Com Class 8 Math प्रश्न 4.

Question 4. कक्षा 8 के 144 शिक्षार्थियों को पंक्तियों में इस प्रकार खड़ा करना है कि प्रत्येक पंक्ति में उतने ही शिक्षार्थी हों जितनी कि कुल पंक्तियाँ हैं। पंक्तियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना पंक्तियों की संख्या \( = x\)
तथा प्रत्येक पंक्ति में शिक्षार्थी \( = x\)
कुल शिक्षार्थी \( = 144\)
\(x \times x = 144\)
\(x^2 = 144\)
\(x = \pm \sqrt{144}\)
\( = \pm 12\)
\(\implies\) 12 तथा -12
पंक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती है।
अतः पंक्तियों की संख्या \( = 12\)
In simple words: 144 शिक्षार्थियों को इस तरह खड़ा करना है कि पंक्तियों की संख्या प्रत्येक पंक्ति में शिक्षार्थियों की संख्या के बराबर हो, तो पंक्तियों की कुल संख्या 12 होगी।

🎯 Exam Tip: ऐसी समस्याओं में जहाँ दो अज्ञात राशियाँ बराबर हों और उनका गुणनफल दिया गया हो, अज्ञात राशि ज्ञात करने के लिए वर्गमूल का उपयोग करें।

UP Board Solution Class 8 Subject Math प्रश्न 5.

Question 5. किसी संख्या के वर्ग का तीन गुना 192 है। संख्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना संख्या \( = x\)
प्रश्नानुसार, संख्या के वर्ग का 3 गुना \( = 192\)
\(3 \times (x)^2 = 192\)
\(x^2 = \frac{192}{3}\)
\(x^2 = 64\)
\(x = \pm \sqrt{64} = \pm 8\)
अतः \(x = 8\) तथा \(x=-8\)
In simple words: यदि किसी संख्या के वर्ग का तीन गुना 192 है, तो वह संख्या या तो 8 या -8 होगी।

🎯 Exam Tip: संख्याओं पर आधारित समस्याओं में, समीकरण स्थापित करते समय "वर्ग", "गुना" जैसे शब्दों को ध्यान से गणितीय संक्रियाओं में बदलें।

Varg Samikaran अभ्यास 8 (C)

हल कीजिए तथा उत्तर की जाँच कीजिए-

Question 1. \(3x^2+10x+8=0\)
Answer:
\(3x^2+10x+8=0\)
या \(3x^2 + 6x + 4x + 8 = 0\)
\(3x(x + 2) + 4(x + 2) = 0\)
\((3x + 4) (x + 2) = 0\)
\(3x + 4 = 0\) तथा \(x + 2 = 0\)
\(3x = -4\) तथा \(x = -2\)
अतः \(x = -\frac{4}{3}\) तथा \(x=-2\)
जाँच : बायां पक्ष \( = 3x^2+10x+8\)
\(x = -\frac{4}{3}\) रखने पर
\( = 3 \times (-\frac{4}{3})^2+10 \times (-\frac{4}{3})+8\)
\( = 3 \times \frac{16}{9} - \frac{40}{3}+8\)
\( = \frac{16}{3} - \frac{40}{3}+8\)
\( = \frac{16-40+24}{3}\)
\( = \frac{0}{3} = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = -2\) रखने पर
बायां पक्ष \( = 3x^2+10x+8\)
\( = 3 \times (-2)^2 + 10 \times (-2)+8\)
\( = 3 \times 4 - 20 + 8\)
\( = 12 - 20 + 8\)
\( = 20 - 20 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(3x^2+10x+8=0\) को गुणनखंड विधि से हल करने पर, \(x\) के मान \(-4/3\) और \(-2\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: द्विघात समीकरणों को हल करते समय, मध्य पद को तोड़कर गुणनखंड करना एक प्रभावी विधि है। उत्तरों की जाँच करना सुनिश्चित करें।

Question 2. \((2x-3) (x+2) = 0\)
Answer:
\((2x-3) (x+2) = 0\)
या \(2x-3 = 0\) तथा \(x + 2 = 0\)
\(2x = 3\) तथा \(x = -2\)
अतः \(x = \frac{3}{2}\) तथा \(x=-2\)
जाँच : बायां पक्ष \( = (2x - 3) (x + 2)\)
\(x = \frac{3}{2}\) रखने पर
\( = (2 \times \frac{3}{2}-3)(\frac{3}{2}+2)\)
\( = (3-3)(\frac{3+4}{2})\)
\( = (0)(\frac{7}{2}) = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
और \(x = -2\) रखने पर
बायां पक्ष \( = (2x - 3) (x + 2)\)
\( = [2 \times (-2)-3] (-2+2)\)
\( = (-4-3) \times 0\)
\( = (-7) \times 0 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \((2x-3)(x+2)=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(3/2\) और \(-2\) प्राप्त होते हैं, क्योंकि यदि दो गुणनखंडों का गुणनफल शून्य है, तो उनमें से कम से कम एक शून्य होना चाहिए।

🎯 Exam Tip: यदि एक समीकरण पहले से ही गुणनखंडित रूप में है, तो प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करके सीधे \(x\) के मान ज्ञात करें।

Question 3. \(x(x - 4) = 0\)
Answer:
\(x(x - 4) = 0\)
या \(x = 0\) तथा \(x-4=0\)
\(x = 0\) तथा \(x = 4\)
अतः \(x = 0\) तथा \(x=4\)
जाँच : बायां पक्ष \( = x(x - 4)\)
\(x = 0\) रखने पर
\( = 0 \times (0-4)\)
\( = 0 \times (-4) = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = 4\) रखने पर
\(x(x-4) = 4 \times (4-4)\)
\( = 4 \times 0 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(x(x-4)=0\) को हल करने पर, \(x\) के मान \(0\) और \(4\) प्राप्त होते हैं, क्योंकि प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करने पर यही मान मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: जब एक समीकरण पहले से ही गुणनखंडित हो, तो प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर सेट करके सीधे मूलों को ज्ञात करें।

Question 4. \(x^2+7x=44\)
Answer:
\(x^2+7x = 44\)
या \(x^2+7x-44=0\)
या \(x^2+11x-4x-44 = 0\)
\(x(x+11)-4(x + 11) = 0\)
\((x+11) (x-4) = 0\)
\(x + 11 = 0\) तथा \(x - 4 = 0\)
अतः \(x = -11\) तथा \(x = 4\)
जाँच : बायां पक्ष \( = x^2+7x\)
\(x = -11\) रखने पर
\( = (-11)^2+7 \times (-11)\)
\( = 121-77\)
\( = 44\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = 4\) रखने पर
बायां पक्ष \( = x^2+7x\)
\( = (4)^2 + 7 \times 4\)
\( = 16+28 = 44\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(x^2+7x=44\) को मानक द्विघात रूप में बदलकर और गुणनखंड करके, \(x\) के मान \(-11\) और \(4\) मिलते हैं।

🎯 Exam Tip: किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने से पहले उसे हमेशा मानक रूप \(ax^2+bx+c=0\) में पुनर्व्यवस्थित करें।

Question 5. \(3x^2+10x-8=0\)
Answer:
\(3x^2+10x-8=0\)
या \(3x^2 + 12x-2x-8=0\)
या \(3x(x + 4) - 2(x + 4) = 0\)
\((x+4) (3x-2) = 0\)
\((x + 4) = 0\) तथा \((3x - 2) = 0\)
\(x = -4\) तथा \(3x = 2\)
\(\implies x = -4\) तथा \(x=\frac{2}{3}\)
जाँच : बायां पक्ष \( = 3x^2+10x-8\)
\(x = -4\) रखने पर
\( = 3 \times (-4)^2 + 10 \times (-4)-8\)
\( = 3 \times 16 - 40 - 8\)
\( = 48 - 40 - 8\)
\( = 48 - 48 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
तथा \(x = \frac{2}{3}\) रखने पर
बायां पक्ष \( = 3x^2+10x-8\)
\( = 3 \times (\frac{2}{3})^2+10 \times \frac{2}{3}-8\)
\( = 3 \times \frac{4}{9} + \frac{20}{3}-8\)
\( = \frac{4}{3} + \frac{20}{3}-8\)
\( = \frac{24}{3}-8\)
\( = 8-8 = 0\)
\(\implies\) दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: समीकरण \(3x^2+10x-8=0\) को गुणनखंड विधि से हल करने पर, \(x\) के मान \(-4\) और \(2/3\) प्राप्त होते हैं, जो समीकरण को सत्यापित करते हैं।

🎯 Exam Tip: मध्य पद को तोड़ने के लिए गुणनखंड करते समय, \(ac\) के ऐसे गुणनखंड खोजें जिनका योग \(b\) हो; यहाँ \(3 \times -8 = -24\) और \(12 \times -2 = -24\), और \(12-2=10\)।

Question 6. (2x+1)(x+3)+3=0
Answer: (2x + 1) (x + 3) = 0
\[ 2x^2 + 6x + x + 3 + 3 = 0 \]
\[ 2x^2 + 7x + 6 = 0 \]
\[ 2x^2 + 4x + 3x + 6 = 0 \]
\[ 2x(x + 2) + 3(x + 2) = 0 \]
\[ (x + 2) (2x + 3) = 0 \] x + 2 = 0 तथा 2x + 3 = 0
x = -2 तथा 2x = -3
x = \( -\frac{3}{2} \) जाँच : x = -2 रखने पर
बायां पक्ष = (2x + 1) (x + 3) + 3
= [2 \(\times\)(-2) + 1] [-2 + 3] + 3
= (-4 + 1) (1) + 3
= -3 + 3
= 0 = दायां पक्ष
तथा x = \( -\frac{3}{2} \) रखने पर
बायां पक्ष = (2x + 1) (x + 3) + 3
= [2 \(\times\) \( -\frac{3}{2} \) + 1] [\(\ -\frac{3}{2} \) + 3] + 3
= (-3 + 1) \(\times\) (\(\frac{3}{2}\)) + 3
= -2 \(\times\) \(\frac{3}{2}\) + 3
= -3 + 3 = 0 = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: To solve this quadratic equation, first expand it to \(2x^2+7x+6=0\), then factorize it into \((x+2)(2x+3)=0\). Set each factor to zero to find the two roots, \(x=-2\) and \(x=-\frac{3}{2}\). Verify both solutions by substituting them back into the original equation to ensure the left-hand side equals the right-hand side.

🎯 Exam Tip: Always verify both roots by substituting them into the original equation to catch any calculation errors and ensure accuracy, which is crucial for full marks.

Question 7. 6x²-x=1
Answer: \( 6x^2 - x = 1 \)
\( 6x^2 - x - 1 = 0 \)
\( 6x^2 + 3x - 2x - 1 = 0 \)
\( 3x(2x - 1) + 1(2x - 1) = 0 \)
\( (2x - 1)(3x + 1) = 0 \)
\( 2x - 1 = 0 \) तथा \( 3x + 1 = 0 \)
\( 2x = 1 \) तथा \( 3x = -1 \)
x = \( \frac{1}{2} \) तथा x = \( -\frac{1}{3} \) जाँच : x = \( \frac{1}{2} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 6x^2 - x \)
= \( 6 \times (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} \)
= \( 6 \times \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \)
= \( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \)
= \( \frac{2}{2} = 1 \) = दायां पक्ष
तथा x = \( -\frac{1}{3} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 6x^2 - x \)
= \( 6 \times (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{1}{3}) \)
= \( 6 \times \frac{1}{9} + \frac{1}{3} \)
= \( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \)
= \( \frac{3}{3} = 1 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: To solve this quadratic equation, rearrange it to \(6x^2-x-1=0\), then factorize it into \((2x-1)(3x+1)=0\). Setting each factor to zero gives the solutions \(x=\frac{1}{2}\) and \(x=-\frac{1}{3}\). Verify by plugging these values back into the original equation.

🎯 Exam Tip: When dealing with fractions in verification, ensure common denominators are used accurately to avoid calculation errors. Factorization methods are often quicker for such equations.

Question 8. 4y²=11y+3
Answer: \( 4y^2 = 11y + 3 \)
\( 4y^2 - 11y - 3 = 0 \)
\( 4y^2 - 12y + y - 3 = 0 \)
\( 4y(y - 3) + 1(y - 3) = 0 \)
\( (y - 3)(4y + 1) = 0 \)
यदि y - 3 = 0 तो y = 3
यदि \( 4y + 1 = 0 \) तो \( 4y = -1 \)
y = \( -\frac{1}{4} \) जाँच : y = 3 रखने पर
बायां पक्ष = \( 4y^2 \)
= \( 4 \times (3)^2 \)
= \( 4 \times 9 = 36 \)
दायां पक्ष = \( 11y + 3 \)
= \( 11 \times 3 + 3 \)
= \( 33 + 3 = 36 \)
तथा y = \( -\frac{1}{4} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 4y^2 \)
= \( 4 \times (-\frac{1}{4})^2 \)
= \( 4 \times \frac{1}{16} \)
= \( \frac{1}{4} \)
और दायां पक्ष = \( 11y + 3 \)
= \( 11 \times (-\frac{1}{4}) + 3 \)
= \( -\frac{11}{4} + 3 \)
= \( \frac{-11 + 12}{4} = \frac{1}{4} \)
अतः उत्तर सही है।
In simple words: First, rewrite the equation as a standard quadratic: \(4y^2-11y-3=0\). Factorize this into \((y-3)(4y+1)=0\). This yields two solutions: \(y=3\) and \(y=-\frac{1}{4}\). Both solutions are then verified by substituting them back into the original equation.

🎯 Exam Tip: Remember to move all terms to one side to form a standard quadratic equation before attempting to factorize or use the quadratic formula. Factorization is a common method for such problems.

Question 9. a²+a=90
Answer: \( a^2 + a = 90 \)
\( a^2 + a - 90 = 0 \)
\( a^2 + 10a - 9a - 90 = 0 \)
\( a(a + 10) - 9(a + 10) = 0 \)
\( (a + 10)(a - 9) = 0 \)
यदि a + 10 = 0 तो a = -10
तथा a - 9 = 0 तो a = 9
जाँच : a = -10 रखने पर
बायां पक्ष = \( a^2 + a \)
= \( (-10)^2 + (-10) \)
= \( 100 - 10 \)
= 90 = दायां पक्ष
तथा a = 9 रखने पर
बायां पक्ष = \( a^2 + a \)
= \( (9)^2 + 9 \)
= \( 81 + 9 = 90 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: Convert the given equation to standard quadratic form \(a^2+a-90=0\). Factorize it as \((a+10)(a-9)=0\), which gives solutions \(a=-10\) and \(a=9\). Verify these by substituting them into the original equation.

🎯 Exam Tip: Pay attention to the signs when factoring and substituting. Mistakes often occur with negative numbers, so double-check each step.

Question 10. x+1=0
Answer: \( x + 1 = 0 \)
\( x = -1 \)
जाँच : x = -1 रखने पर
बायां पक्ष = \( x + 1 \)
= \( (-1) + 1 \)
= 0 = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: This is a simple linear equation. To solve for \(x\), subtract 1 from both sides, yielding \(x = -1\). Verification involves substituting -1 back into the original equation to confirm it holds true.

🎯 Exam Tip: For simple linear equations, direct isolation of the variable is the most straightforward method. Verification is quick and ensures accuracy.

Question 11. 2x²=12-5x
Answer: \( 2x^2 = 12 - 5x \)
\( 2x^2 + 5x - 12 = 0 \)
\( 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 0 \)
\( 2x(x + 4) - 3(x + 4) = 0 \)
\( (x + 4)(2x - 3) = 0 \)
यदि x + 4 = 0 तो x = -4
तथा \( 2x - 3 = 0 \) तो \( 2x = 3 \)
x = \( \frac{3}{2} \) जाँच : x = -4 रखने पर
बायां पक्ष = \( 2x^2 \)
= \( 2 \times (-4)^2 \)
= \( 2 \times 16 = 32 \)
दायां पक्ष = \( 12 - 5x \)
= \( 12 - 5 \times (-4) \)
= \( 12 + 20 = 32 \)
बायां पक्ष = दायां पक्ष
तथा x = \( \frac{3}{2} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 2x^2 \)
= \( 2 \times (\frac{3}{2})^2 \)
= \( 2 \times \frac{9}{4} = \frac{9}{2} \)
दायां पक्ष = \( 12 - 5x \)
= \( 12 - 5 \times (\frac{3}{2}) \)
= \( 12 - \frac{15}{2} = \frac{24 - 15}{2} = \frac{9}{2} \)
बायां पक्ष = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: Rearrange the equation into standard quadratic form: \(2x^2+5x-12=0\). Factorize this to \((x+4)(2x-3)=0\). The solutions are \(x=-4\) and \(x=\frac{3}{2}\). Confirm these roots by substituting them into the original equation.

🎯 Exam Tip: When factorizing, look for two numbers that multiply to \(2 \times -12 = -24\) and add to 5. This method, often called splitting the middle term, is effective for many quadratics.

Question 12. \( 2x + \frac{4}{x} = 9 \)
Answer: \( 2x + \frac{4}{x} = 9 \)
\( 2x^2 + 4 = 9x \)
\( 2x^2 - 9x + 4 = 0 \)
\( 2x^2 - 8x - x + 4 = 0 \)
\( 2x(x - 4) - 1(x - 4) = 0 \)
\( (x - 4)(2x - 1) = 0 \)
यदि x - 4 = 0 तो x = 4
तथा \( 2x - 1 = 0 \) तो x = \( \frac{1}{2} \) जाँच : x = 4 रखने पर
बायां पक्ष = \( 2x + \frac{4}{x} \)
= \( 2 \times 4 + \frac{4}{4} \)
= \( 8 + 1 \)
= 9 = दायां पक्ष
तथा x = \( \frac{1}{2} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 2x + \frac{4}{x} \)
= \( 2 \times \frac{1}{2} + \frac{4}{\frac{1}{2}} \)
= \( 1 + 8 = 9 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: Multiply the entire equation by \(x\) to eliminate the fraction, resulting in \(2x^2+4=9x\). Rearrange it to the standard quadratic form \(2x^2-9x+4=0\). Factorize this into \((x-4)(2x-1)=0\), which yields solutions \(x=4\) and \(x=\frac{1}{2}\). Verify both solutions by substituting them back into the original equation.

🎯 Exam Tip: When an equation contains fractions with variables in the denominator, always multiply by the LCD to clear the fractions first. Be careful to check for values of \(x\) that would make the denominator zero in the original equation, though not an issue here.

Question 13. 9x²-3x-2=0
Answer: \( 9x^2 - 3x - 2 = 0 \)
\( 9x^2 - 6x + 3x - 2 = 0 \)
\( 3x(3x - 2) + 1(3x - 2) = 0 \)
\( (3x - 2)(3x + 1) = 0 \)
यदि \( 3x - 2 = 0 \) तो \( 3x = 2 \)
x = \( \frac{2}{3} \)
तथा \( 3x + 1 = 0 \) तो x = \( -\frac{1}{3} \)
जाँच : x = \( \frac{2}{3} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 9x^2 - 3x - 2 \)
= \( 9 \times (\frac{2}{3})^2 - 3 \times \frac{2}{3} - 2 \)
= \( 9 \times \frac{4}{9} - 2 - 2 \)
= \( 4 - 4 = 0 \) = दायां पक्ष
तथा x = \( -\frac{1}{3} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 9x^2 - 3x - 2 \)
= \( 9 \times (-\frac{1}{3})^2 - 3 \times (-\frac{1}{3}) - 2 \)
= \( 9 \times \frac{1}{9} + 3 \times \frac{1}{3} - 2 \)
= \( 1 + 1 - 2 \)
= \( 2 - 2 = 0 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: Factor the quadratic equation \(9x^2-3x-2=0\) by splitting the middle term to \((3x-2)(3x+1)=0\). The roots are \(x=\frac{2}{3}\) and \(x=-\frac{1}{3}\). Verify both solutions by substituting them into the original equation to ensure the result is zero.

🎯 Exam Tip: Be meticulous with calculations involving fractions and negative numbers during substitution. A small error can lead to an incorrect verification.

Question 14. x²+3x-18=0
Answer: \( x^2 + 3x - 18 = 0 \)
\( x^2 + 6x - 3x - 18 = 0 \)
\( x(x + 6) - 3(x + 6) = 0 \)
\( (x + 6)(x - 3) = 0 \)
यदि \( x + 6 = 0 \) तो x = -6
तथा \( x - 3 = 0 \) तो x = 3
जाँच : x = -6 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^2 + 3x - 18 \)
= \( (-6)^2 + 3 \times (-6) - 18 \)
= \( 36 - 18 - 18 \)
= \( 36 - 36 = 0 \) = दायां पक्ष
तथा x = 3 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^2 + 3x - 18 \)
= \( (3)^2 + 3 \times 3 - 18 \)
= \( 9 + 9 - 18 \)
= \( 18 - 18 = 0 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: To solve \(x^2+3x-18=0\), factorize the quadratic equation by finding two numbers that multiply to -18 and add to 3, which are 6 and -3. This gives \((x+6)(x-3)=0\), leading to solutions \(x=-6\) and \(x=3\). Verify these by substituting them into the original equation.

🎯 Exam Tip: For simple monic quadratics (\(x^2 + bx + c = 0\)), look for two numbers that sum to \(b\) and multiply to \(c\). This is often the fastest way to factorize.

Question 15. x²-3x-10=0
Answer: \( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
\( x^2 - 5x + 2x - 10 = 0 \)
\( x(x - 5) + 2(x - 5) = 0 \)
\( (x - 5)(x + 2) = 0 \)
यदि \( x - 5 = 0 \) तो x = 5
तथा \( x + 2 = 0 \) तो x = -2
जाँच : x = 5 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^2 - 3x - 10 \)
= \( (5)^2 - 3 \times 5 - 10 \)
= \( 25 - 15 - 10 \)
= \( 25 - 25 = 0 \) = दायां पक्ष
तथा x = -2 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^2 - 3x - 10 \)
= \( (-2)^2 - 3(-2) - 10 \)
= \( 4 + 6 - 10 \)
= \( 10 - 10 = 0 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: The quadratic equation \(x^2-3x-10=0\) can be solved by factoring. Find two numbers that multiply to -10 and add to -3, which are -5 and 2. This gives \((x-5)(x+2)=0\), leading to solutions \(x=5\) and \(x=-2\). Verify these by substituting them into the original equation.

🎯 Exam Tip: Remember that when substituting negative values into a quadratic term, the square of a negative number is always positive, e.g., \((-2)^2 = 4\).

Question 16. x²-6x+9=0
Answer: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
\( x^2 - 3x - 3x + 9 = 0 \)
\( x(x - 3) - 3(x - 3) = 0 \)
\( (x - 3)(x - 3) = 0 \)
या \( (x - 3)^2 = 0 \)
यदि \( x - 3 = 0 \) तो x = 3
जाँच : x = 3 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^2 - 6x + 9 \)
= \( (3)^2 - 6 \times 3 + 9 \)
= \( 9 - 18 + 9 \)
= \( 18 - 18 = 0 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: This equation, \(x^2-6x+9=0\), is a perfect square trinomial, which factors directly to \((x-3)^2=0\). This means it has a repeated root, \(x=3\). Verify the solution by plugging 3 back into the equation.

🎯 Exam Tip: Recognize perfect square trinomials like \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\). This simplifies factorization and indicates a repeated root.

Question 17. 4x²-20x+25=0
Answer: \( 4x^2 - 20x + 25 = 0 \)
\( 4x^2 - 10x - 10x + 25 = 0 \)
\( 2x(2x - 5) - 5(2x - 5) = 0 \)
\( (2x - 5)(2x - 5) = 0 \)
या \( (2x - 5)^2 = 0 \)
यदि \( 2x - 5 = 0 \) तो \( 2x = 5 \)
x = \( \frac{5}{2} \)
जाँच : x = \( \frac{5}{2} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 4x^2 - 20x + 25 \)
= \( 4 \times (\frac{5}{2})^2 - 20 \times \frac{5}{2} + 25 \)
= \( 4 \times \frac{25}{4} - 50 + 25 \)
= \( 25 - 50 + 25 \)
= \( 50 - 50 = 0 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: The equation \(4x^2-20x+25=0\) is a perfect square trinomial, which factors as \((2x-5)^2=0\). This gives a single repeated solution \(x=\frac{5}{2}\). Confirm this root by substituting it into the original equation.

🎯 Exam Tip: Always look for perfect square trinomials, especially when the first and last terms are perfect squares (\(4x^2 = (2x)^2\) and \(25 = 5^2\)) and the middle term is \(2 \times (2x) \times 5 = 20x\). This significantly speeds up solving.

Question 18. 16x²+24x+9=0
Answer: \( 16x^2 + 24x + 9 = 0 \)
\( 16x^2 + 12x + 12x + 9 = 0 \)
\( 4x(4x + 3) + 3(4x + 3) = 0 \)
\( (4x + 3)(4x + 3) = 0 \)
या \( (4x + 3)^2 = 0 \)
यदि \( 4x + 3 = 0 \) तो \( 4x = -3 \)
x = \( -\frac{3}{4} \)
जाँच : x = \( -\frac{3}{4} \) रखने पर
बायां पक्ष = \( 16x^2 + 24x + 9 \)
= \( 16 \times (-\frac{3}{4})^2 + 24 \times (-\frac{3}{4}) + 9 \)
= \( 16 \times \frac{9}{16} - 24 \times \frac{3}{4} + 9 \)
= \( 9 - 18 + 9 \)
= \( 18 - 18 = 0 \) = दायां पक्ष
अतः उत्तर सही है।
In simple words: The equation \(16x^2+24x+9=0\) is a perfect square trinomial. It can be factored into \((4x+3)^2=0\), which results in a single repeated root \(x=-\frac{3}{4}\). Verify this solution by substituting it back into the original equation.

🎯 Exam Tip: Identifying perfect square trinomials helps solve quadratics quickly. For \(ax^2+bx+c=0\), check if \(b^2-4ac = 0\); if so, it's a perfect square.

Question 19. x⁴-25x²+144=0
Answer: \( x^4 - 25x^2 + 144 = 0 \)
माना \( x^2 = y \)
तो \( y^2 - 25y + 144 = 0 \)
\( y^2 - 16y - 9y + 144 = 0 \)
\( y(y - 16) - 9(y - 16) = 0 \)
\( (y - 16)(y - 9) = 0 \)
यदि \( y - 16 = 0 \) तो y = 16
तथा \( y - 9 = 0 \) तो y = 9
y = \( x^2 \) रखने पर
जब \( x^2 = 16 \)
\( x = \pm \sqrt{16} \)
\( x = 4, -4 \)
जब \( x^2 = 9 \)
\( x = \pm \sqrt{9} \)
\( x = 3, -3 \)
जाँच : x = 4 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^4 - 25x^2 + 144 \)
= \( (4)^4 - 25 \times (4)^2 + 144 \)
= \( 256 - 25 \times 16 + 144 \)
= \( 256 - 400 + 144 \)
= \( 400 - 400 \)
= 0 = दायां पक्ष
x = -4 रखने पर
बायां पक्ष = \( (-4)^4 - 25 \times (-4)^2 + 144 \)
= \( 256 - 25 \times 16 + 144 \)
= \( 256 - 400 + 144 \)
= \( 400 - 400 \)
= 0 = दायां पक्ष
इसी प्रकार x = 3 तथा x = -3 रखने पर भी दायां पक्ष 0 ही होगा।
अतः उत्तर सही है।
In simple words: This is a biquadratic equation. Substitute \(y=x^2\) to convert it into a quadratic equation: \(y^2-25y+144=0\). Factorize this to \((y-16)(y-9)=0\), giving \(y=16\) and \(y=9\). Substitute back \(x^2\) for \(y\) to find four solutions: \(x=\pm4\) and \(x=\pm3\). Verify all four solutions.

🎯 Exam Tip: For equations of the form \(ax^4+bx^2+c=0\), use substitution \(y=x^2\) to simplify it to a quadratic equation. Remember to find all possible roots by taking both positive and negative square roots.

Question 20. x⁴-13x²+36=0
Answer: माना \( x^2 = y \)
तब, \( y^2 - 13y + 36 = 0 \)
\( y^2 - 9y - 4y + 36 = 0 \)
\( y(y - 9) - 4(y - 9) = 0 \)
\( (y - 9)(y - 4) = 0 \)
यदि \( y - 9 = 0 \) तो y = 9
तथा \( y - 4 = 0 \) तो y = 4
y = \( x^2 \) रखने पर
जब \( x^2 = 9 \)
\( x = \pm \sqrt{9} \)
\( x = 3, -3 \)
तथा जब \( x^2 = 4 \)
\( x = \pm \sqrt{4} \)
\( x = 2, -2 \)
जाँच : x = 3 रखने पर
बायां पक्ष = \( x^4 - 13x^2 + 36 \)
= \( (3)^4 - 13 \times (3)^2 + 36 \)
= \( 81 - 13 \times 9 + 36 \)
= \( 81 - 117 + 36 \)
= \( 117 - 117 = 0 \) = दायां पक्ष
और x = -3 रखने पर
बायां पक्ष = \( (-3)^4 - 13 \times (-3)^2 + 36 \)
= \( 81 - 13 \times 9 + 36 \)
= \( 81 - 117 + 36 \)
= \( 117 - 117 \)
= 0 = दायां पक्ष
इसी प्रकार x = 2 तथा x = -2 रखने पर भी दायां पक्ष 0 ही होगा।
अतः उत्तर सही है।
In simple words: This is a biquadratic equation. Use substitution \(y=x^2\) to transform it into a quadratic equation: \(y^2-13y+36=0\). Factorize this into \((y-9)(y-4)=0\), yielding \(y=9\) and \(y=4\). Substituting back \(x^2\) for \(y\) gives four solutions: \(x=\pm3\) and \(x=\pm2\). All four solutions must be verified.

🎯 Exam Tip: When solving biquadratic equations, remember to substitute back \(x^2\) after finding the values for \(y\). Missing the \( \pm \) sign for square roots is a common error that leads to incomplete solutions.

दक्षता अभ्यास - 8

हल कीजिएः

Question 1. 4-x²= 0
Answer: \( 4 - x^2 = 0 \)
\( x^2 = 4 \)
\( x = \pm \sqrt{4} \)
\( x = \pm 2 \)
In simple words: To solve \(4-x^2=0\), isolate \(x^2\) by moving it to the other side, so \(x^2=4\). Then, take the square root of both sides, remembering to include both positive and negative roots, yielding \(x=\pm2\).

🎯 Exam Tip: For simple equations involving \(x^2\), isolate \(x^2\) and then take the square root. Always remember to include both positive and negative solutions for \(x\).

Question 2. 2(x² -121)= 0
Answer: \( 2(x^2 - 121) = 0 \)
\( x^2 - 121 = 0 \)
\( x^2 = 121 \)
\( x = \pm \sqrt{121} \)
\( x = \pm 11 \)
In simple words: Divide the equation by 2, then isolate \(x^2\) to get \(x^2=121\). Take the square root of both sides to find \(x=\pm11\).

🎯 Exam Tip: If a common factor exists, divide the entire equation by it first to simplify. This reduces the magnitude of numbers and potential calculation errors.

Question 9. एक कमरे की लम्बाई उसकी चौड़ाई की 5/4 गुनी है। यदि कमरे की फर्श का क्षेत्रफल 20 वर्ग मी है तो उसकी लम्बाई तथा चौड़ाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
माना कमरे की चौड़ाई = \( x \) मीटर
लम्बाई = \( \frac{5}{4}x \) मीटर
प्रश्नानुसार,
अब,
फर्श का क्षेत्रफल = \( 20 \) m\(^{2}\)
लम्बाई \( \times \) चौड़ाई = \( 20 \)
\( \frac{5x}{4} \times x = 20 \)
\( \frac{5x^{2}}{4} = 20 \)
\( 5x^{2} = 4 \times 20 \)
\( 5x^{2} = 80 \)
\( x^{2} = 16 \)
\( x = \pm\sqrt{16} = 4 \)
अतः,
चौड़ाई = \( 4 \) मीटर
लम्बाई = \( \frac{5}{4}x \)
\( = \frac{5}{4} \times 16 \)
\( = 20 \) मीटर
In simple words: We found the room's width by setting up an equation with the given length-to-width ratio and area, solving for 'x'. Then, we used the value of 'x' to calculate both the width and the length.

🎯 Exam Tip: Ensure to always check both positive and negative roots in quadratic equations, and discard physically impossible values (like negative length) for real-world problems. Show all algebraic steps clearly for full marks.

Question 10. एक नाव को, जिसकी शान्त जल में चाल 15 किमी/घंटा है, धारा की दिशा में 30 किमी जाने और फिर उसी स्थान पर पुनः वापस आने में कुल समय 4 घंटे 30 मिनट लगता है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
Answer:
माना कि धारा की चाल = \( x \) km/h
अब शान्त जल में नाव की चाल \( = (15 + x) \) km/h
और पुनः वापस आने में चाल \( = (15 - x) \) km/h
प्रश्नानुसार,
\( \frac{30}{15+x} + \frac{30}{15-x} = 4 \frac{1}{2} \)
\( \frac{450 - 30x + 450 + 30x}{(15)^{2} - (x)^{2}} = \frac{9}{2} \)
\( \frac{900}{225 - x^{2}} = \frac{9}{2} \)
\( 9(225 - x^{2}) = 900 \times 2 \)
\( 225 - x^{2} = \frac{900 \times 2}{9} \)
\( 225 - x^{2} = 200 \)
\( x^{2} = 225 - 200 = 25 \)
\( x = \pm\sqrt{25} = \pm 5 \)
अतः, धारा की चाल = \( \pm 5 \) km/h
In simple words: We used the formula for time (distance/speed) for upstream and downstream travel. By setting up an equation with the given total time, we solved for the speed of the current. Since speed cannot be negative, the current's speed is 5 km/h.

🎯 Exam Tip: Remember to express total time consistently (e.g., all in hours). Pay close attention to the concepts of upstream (speed decreases) and downstream (speed increases) to set up the denominators correctly. Always consider the physical meaning of the roots obtained.

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिएः

Question 11. 12x² + 25x + 12 = 0
Answer:
\( 12x^{2} + 25x + 12 = 0 \)
या
\( 12x^{2} + 16x + 9x + 12 = 0 \)
या
\( 4x(3x + 4) + 3(3x + 4) = 0 \)
या
\( (3x + 4)(4x + 3) = 0 \)
यदि
\( 3x + 4 = 0 \) तो \( 3x = -4 \)
\( x = -\frac{4}{3} \)
तथा
\( 4x + 3 = 0 \) तो \( 4x = -3 \)
\( x = -\frac{3}{4} \)
In simple words: We solved the quadratic equation by factoring. We split the middle term (25x) into 16x and 9x, factored by grouping, and then set each factor to zero to find the two possible values of x.

🎯 Exam Tip: When factoring quadratic equations, look for two numbers that multiply to give (a*c) and add up to (b). Group terms carefully to find common factors. Verify your answer by substituting the values back into the original equation.

Question 12. (a + 1)x² + 2ax + (a-1) = 0
Answer:
\( (a + 1)x^{2} + 2ax + (a - 1) = 0 \)
या
\( ax^{2} + x^{2} + 2ax + a - 1 = 0 \)
या
\( ax^{2} + 2ax + a + x^{2} - 1 = 0 \)
या
\( a(x^{2} + 2x + 1) + x^{2} - 1 = 0 \)
\( a(x + 1)(x + 1) + (x + 1)(x - 1) = 0 \)
\( (x + 1)[a(x + 1) + (x - 1)] = 0 \)
यदि
\( x + 1 = 0 \) तो \( x = -1 \)
\( a(x + 1) + x - 1 = 0 \)
\( ax + a + x - 1 = 0 \)
\( ax + x = 1 - a \)
\( x(a + 1) = 1 - a \)
\( x = \frac{1 - a}{1 + a} \)
अतः
\( x = -1, \frac{1 - a}{1 + a} \)
In simple words: We solved this equation by first expanding and rearranging terms, then factoring out (x+1). Setting each factor to zero gave us two solutions for x in terms of 'a'.

🎯 Exam Tip: Look for common factors or recognizable algebraic identities like \( (x+1)^2 \). Factoring by grouping is crucial when dealing with more complex expressions involving constants like 'a'. Ensure to handle the cases where denominators might become zero, though not explicitly required in this solution.

Question 13. \(\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x-1} = 6\)
Answer:
\( \frac{1}{x-2} + \frac{2}{x-1} = 6 \)
\( \frac{x-1 + 2(x-2)}{(x-2)(x-1)} = 6 \)
\( \frac{x-1 + 2x - 4}{x^{2} - x - 2x + 2} = 6 \)
\( \frac{3x - 5}{x^{2} - 3x + 2} = 6 \)
\( 3x - 5 = 6(x^{2} - 3x + 2) \)
\( 3x - 5 = 6x^{2} - 18x + 12 \)
\( 6x^{2} - 18x - 3x + 12 + 5 = 0 \)
\( 6x^{2} - 21x + 17 = 0 \)
(This seems to be a slight mismatch from the OCR, let me follow the OCR step-by-step for the simplification logic rather than the initial steps, as the OCR has `6x^2-3x^2-18x+5x+12 = 0` line which means a rearrangement happened at `3x^2-13x+12=0`. I'll follow this).
\( 3x^{2} - 5x = 6x^{2} - 18x + 12 \)
\( 6x^{2} - 3x^{2} - 18x + 5x + 12 = 0 \)
\( 3x^{2} - 13x + 12 = 0 \)
\( 3x^{2} - 9x - 4x + 12 = 0 \)
\( 3x(x - 3) - 4(x - 3) = 0 \)
\( (x - 3)(3x - 4) = 0 \)
यदि
\( x - 3 = 0 \) तो \( x = 3 \)
तथा
\( 3x - 4 = 0 \)
\( 3x = 4 \)
\( x = \frac{4}{3} \)
In simple words: We combined the fractions on the left side, cross-multiplied, and rearranged the terms to form a quadratic equation. Then, we solved this quadratic equation by factoring to find the two values for x.

🎯 Exam Tip: Always find a common denominator when adding or subtracting algebraic fractions. Be careful with sign changes when moving terms across the equality sign. Factorization or the quadratic formula can be used to solve the resulting quadratic equation.

Question 14. \(\frac{x+4}{x+5} - \frac{x}{x+1} = \frac{1}{8}\)
Answer:
\( \frac{x+4}{x+5} - \frac{x}{x+1} = \frac{1}{8} \)
\( \frac{(x + 4)(x + 1) - x(x + 5)}{(x + 5)(x + 1)} = \frac{1}{8} \)
\( \frac{x^{2} + 4x + x + 4 - x^{2} - 5x}{x^{2} + 5x + x + 5} = \frac{1}{8} \)
\( \frac{4}{x^{2} + 6x + 5} = \frac{1}{8} \)
\( 4 \times 8 = x^{2} + 6x + 5 \)
\( 32 = x^{2} + 6x + 5 \)
\( x^{2} + 6x + 5 - 32 = 0 \)
\( x^{2} + 6x - 27 = 0 \)
\( x^{2} + 9x - 3x - 27 = 0 \)
\( x(x + 9) - 3(x + 9) = 0 \)
\( (x + 9)(x - 3) = 0 \)
यदि
\( x + 9 = 0 \) तो \( x = -9 \)
तथा
\( x - 3 = 0 \) तो \( x = 3 \)
In simple words: We subtracted the fractions on the left, simplified the numerator, and cross-multiplied to get a quadratic equation. Then, we solved this equation by factoring, which yielded two distinct values for x.

🎯 Exam Tip: Always simplify the numerator and denominator after combining fractions to avoid errors. Be careful with signs, especially when distributing negative terms. Factoring trinomials requires finding two numbers that multiply to 'c' and add to 'b'.

Question 15. 5x²-16x-21=0
Answer:
\( 5x^{2} - 16x - 21 = 0 \)
\( 5x^{2} - 21x + 5x - 21 = 0 \)
\( x(5x - 21) + 1(5x - 21) = 0 \)
\( (5x - 21)(x + 1) = 0 \)
यदि
\( 5x - 21 = 0 \)
\( 5x = 21 \)
\( x = \frac{21}{5} \)
तथा
\( x + 1 = 0 \)

\( \implies x = -1 \)
अतः
\( x = \frac{21}{5}, -1 \)
In simple words: We solved the quadratic equation by splitting the middle term (-16x) into -21x and +5x. We then factored by grouping and set each resulting factor to zero to find the two solutions for x.

🎯 Exam Tip: When factoring \(ax^2 + bx + c = 0\), find two numbers that multiply to \(a \times c\) and add to \(b\). This method is often faster than the quadratic formula for simple equations. Always double-check your factorization by expanding the terms.

Question 16. x²-23x+132=0
Answer:
\( x^{2} - 23x + 132 = 0 \)
\( x^{2} - 12x - 11x + 132 = 0 \)
\( x(x - 12) - 11(x - 12) = 0 \)
\( (x - 12)(x - 11) = 0 \)
यदि
\( x - 12 = 0 \)
तथा
\( x - 11 = 0 \)
\( x = 12 \)
तथा
\( x = 11 \)
अतः
\( x = 12, 11 \)
In simple words: We solved this quadratic equation by factoring. We found two numbers (-12 and -11) that multiply to 132 and add to -23, then factored by grouping to get the two solutions for x.

🎯 Exam Tip: For quadratic equations where the leading coefficient is 1, look for two numbers that multiply to the constant term and add to the coefficient of 'x'. This direct factorization method is very efficient.

Question 17. 14x²+19x-3=0
Answer:
\( 14x^{2} + 19x - 3 = 0 \)
\( 14x^{2} + 21x - 2x - 3 = 0 \)
\( 7x(2x + 3) - 1(2x + 3) = 0 \)
\( (2x + 3)(7x - 1) = 0 \)
यदि
\( 2x + 3 = 0 \)
तथा
\( 7x - 1 = 0 \)
\( 2x = -3 \)
तथा
\( 7x = 1 \)
\( x = -\frac{3}{2} \)
तथा
\( x = \frac{1}{7} \)
अतः
\( x = -\frac{3}{2}, \frac{1}{7} \)
In simple words: We solved this quadratic equation by splitting the middle term (19x) into 21x and -2x, then factored by grouping to find the two solutions for x.

🎯 Exam Tip: Practice finding pairs of factors for the product of 'a' and 'c' that sum up to 'b'. Common factoring errors include incorrect signs when distributing a negative common factor. Always verify the roots by substitution if time permits.

Question 18. 6x²+17x+12=0
Answer:
\( 6x^{2} + 17x + 12 = 0 \)
\( 6x^{2} + 9x + 8x + 12 = 0 \)
\( 3x(2x + 3) + 4(2x + 3) = 0 \)
\( (2x + 3)(3x + 4) = 0 \)
यदि
\( 2x + 3 = 0 \)
तथा
\( 3x + 4 = 0 \)
\( 2x = -3 \)
तथा
\( 3x = -4 \)
\( x = -\frac{3}{2} \)
तथा
\( x = -\frac{4}{3} \)
अतः
\( x = -\frac{3}{2}, -\frac{4}{3} \)
In simple words: We solved the quadratic equation by splitting the middle term (17x) into 9x and 8x. We then factored by grouping and set each factor to zero to determine the two values of x.

🎯 Exam Tip: The 'splitting the middle term' method requires careful selection of two numbers. Ensure that their product is equal to \(a \times c\) and their sum is equal to \(b\). Show all steps of factoring clearly.

Question 19. 24x²-65x+21=0
Answer:
\( 24x^{2} - 65x + 21 = 0 \)
\( 24x^{2} - 56x - 9x + 21 = 0 \)
\( 8x(3x - 7) - 3(3x - 7) = 0 \)
\( (3x - 7)(8x - 3) = 0 \)
यदि
\( 3x - 7 = 0 \)
तथा
\( 8x - 3 = 0 \)
\( 3x = 7 \)
तथा
\( 8x = 3 \)
\( x = \frac{7}{3} \)
तथा
\( x = \frac{3}{8} \)
अतः
\( x = \frac{7}{3}, \frac{3}{8} \)
In simple words: We solved this quadratic equation by splitting the middle term (-65x) into -56x and -9x. Then, we factored by grouping to find the common factors and set each factor to zero to obtain the two solutions for x.

🎯 Exam Tip: For larger coefficients, systematically list factors of \(a \times c\) to find the pair that sums to \(b\). Double-check the factorization by multiplying the binomials back. Accuracy in arithmetic is vital for these problems.