UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 14 Vritt ki sparsh rekhayein

वृत्त की स्पर्श रेखाएँ

Exercise 14(A)

 

Question 1. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है, और कुछ रेखाखंड खीचे गए हैं। ज्ञात कीजिए वृत्त की |
(i) दो छेदक रेखाएँ
(ii) दो स्पर्श रेखाएँ
(iii) एक व्यास
(iv) एक स्पर्श बिन्दु और
(v) एक जीवा
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। इसमें एक छेदक रेखा CD, एक व्यास BOA, दो स्पर्श रेखाएँ GH (बिन्दु H पर) और FG (बिन्दु F पर), तथा जीवा HE और DE खींची गई हैं। अन्य रेखाखंड JI तथा AC भी दर्शाए गए हैं।
Answer:
1. AC तथा CD
2. GH तथा FG
3. BOA
4. F या H
5. HE था DE
In simple words: यह प्रश्न दिए गए चित्र से वृत्त के विभिन्न हिस्सों जैसे छेदक रेखाएँ, स्पर्श रेखाएँ, व्यास, स्पर्श बिन्दु और जीवाओं की पहचान करने के लिए कहता है। यह वृत्त से संबंधित बुनियादी शब्दावली को समझने में मदद करता है।

🎯 Exam Tip: वृत्त के विभिन्न भागों को स्पष्ट रूप से पहचानना मूलभूत है। परीक्षा में आसानी से अंक प्राप्त करने के लिए उन्हें शीघ्रता से पहचानने का अभ्यास करें। आरेख महत्वपूर्ण हैं।

 

Question 2. केंद्र O और त्रिज्या r वाले वृत्त की स्पर्श रेखा । है जो वृत्त को P पर स्पर्श करती है। यदि रेखा । पर स्थित कोई अन्य बिन्दु Q है, तो निम्न कथनों में से सत्य अथवा असत्य कथन छाँटिएः
(i) OQ>r
(ii) OQ=r
(iii) OQ(iv) OP>r
(v) OP = r
(vi) OP> r
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है और त्रिज्या r है। एक रेखा 'l' वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है, जो स्पर्श रेखा है। बिन्दु Q रेखा 'l' पर P के अतिरिक्त कोई अन्य बिन्दु है।
Answer:
1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य
6. असत्य
In simple words: यह प्रश्न एक वृत्त की त्रिज्या, स्पर्श रेखा और उस स्पर्श रेखा पर स्थित बिन्दुओं के बीच के संबंध की समझ का परीक्षण करता है। यह इस बात पर जोर देता है कि स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा की सबसे छोटी दूरी होती है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि त्रिज्या स्पर्श बिन्दु पर स्पर्श रेखा के हमेशा लंबवत होती है। केंद्र से स्पर्श रेखा पर किसी अन्य बिन्दु तक की दूरी हमेशा त्रिज्या से अधिक होगी।

 

Question 3. जीवा और छेदक रेखा में क्या अंतर है? चित्र बनाकर स्पष्ट कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। एक रेखाखंड AB वृत्त की परिधि पर दो बिन्दुओं को जोड़ता है, यह एक जीवा है। एक रेखा CD वृत्त को दो अलग-अलग बिन्दुओं पर काटती है, यह एक छेदक रेखा है।
Answer:
जीवा – वृत्त पर स्थित किन्हीं दो बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड को वृत्त की। जीवा कहते है। वृत्त पर स्थित बिन्दु A और B जीवाओं के अन्त्य बिन्दु हैं।
छेदक रेखा – उस रेखा को जो वृत्त को दो अलग-अलग बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वृत्त की छेदक रेखा कहते हैं। चित्र में PQ एक छेदक रेखा है।
In simple words: यह प्रश्न जीवा (वृत्त पर दो बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड) और छेदक रेखा (वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटने वाली एक रेखा) के बीच अंतर स्पष्ट करता है। एक छेदक रेखा अनंत तक फैली होती है, जबकि एक जीवा सीमित होती है।

🎯 Exam Tip: समझें कि जीवा एक रेखाखंड है, जबकि छेदक रेखा एक रेखा है। व्यास सबसे लंबी जीवा है और यह एक छेदक रेखा का भी हिस्सा है।

 

Question 4. 2.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। इस वृत्त के अभ्यन्तर, एक बिन्दु P लीजिए। ज्ञान कीजिए कि क्या P से होकर जाती हुई कोई ऐसी रेखा खींची जा सकती है जो वृत्त को स्पर्श करे?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 10 सेमी दर्शाई गई है। वृत्त के अंदर एक बिन्दु P स्थित है।
Answer:
नहीं, P से होकर स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती है ।
In simple words: यह प्रश्न स्पष्ट करता है कि एक स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर छू सकती है और वृत्त के अंदर से नहीं गुजर सकती। इसलिए, वृत्त के अंदर स्थित किसी बिन्दु से कोई स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

🎯 Exam Tip: स्पर्श रेखाएँ हमेशा वृत्त के बाहरी भाग में, उनके प्रतिच्छेदन बिन्दु के सापेक्ष होती हैं। वृत्त के अंदर स्थित बिन्दु से स्पर्श रेखा नहीं खींची जा सकती।

 

Question 5. किसी वृत्त की छेदक रेखा और स्पर्श रेखा में क्या भिन्नता होती है? चित्र खींचकर स्पष्ट कीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। एक रेखा `l` वृत्त को दो अलग-अलग बिन्दुओं P और Q पर काटती है, जो एक छेदक रेखा है। एक रेखा `m` वृत्त को केवल एक बिन्दु A पर स्पर्श करती है, जो एक स्पर्श रेखा है।
Answer:
छेदक रेखा – किसी वृत्त की छेदक रेखा वह रेखा है। जो उस वृत्त को दो भिन्न बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। चित्र में । छेदक रेखा है।
स्पर्श रेखा – किसी वृत्त की स्पर्श रेखा वह रेखा है जो उस वृत्त को केवल एक ही बिन्दु पर काटती है। चित्र में m स्पर्श रेखा है।
In simple words: यह प्रश्न छेदक रेखा (जो वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है) और स्पर्श रेखा (जो वृत्त को ठीक एक बिन्दु पर छूती है) के बीच अंतर पूछता है। इस अंतर को स्पष्ट करने के लिए चित्रों का उपयोग किया गया है।

🎯 Exam Tip: मुख्य अंतर प्रतिच्छेदन बिन्दुओं की संख्या है: छेदक रेखा के लिए दो, स्पर्श रेखा के लिए एक। परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए स्पष्ट आरेख बनाएँ।

 

Question 6. क्या व्यास वृत्त की छेदक रेखा है?
Answer: नहीं, स्पर्श रेखा है।
In simple words: यह प्रश्न पूछता है कि क्या व्यास को छेदक रेखा माना जाता है। जबकि व्यास एक जीवा है, जब इसे एक रेखा के रूप में बढ़ाया जाता है, तो यह वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटता है, इस प्रकार एक छेदक रेखा के रूप में कार्य करता है।

🎯 Exam Tip: व्यास हमेशा एक जीवा होता है, और यदि इसे एक रेखा के रूप में माना जाए, तो यह एक छेदक रेखा भी है। यह कभी भी स्पर्श रेखा नहीं होता है।

Exercise 14(B)

 

Question 1. पाश्र्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है और P स्पर्श बिन्दु है। ∠OPQ का मान कितना है?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। एक रेखा PQ वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है, यह एक स्पर्श रेखा है। केंद्र O से स्पर्श बिन्दु P तक एक त्रिज्या OP खींची गई है।
Answer:
वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा के लम्बवत होती है।
∠OPQ = 90°
In simple words: यह प्रश्न इस मूलभूत गुण को लागू करता है कि स्पर्श बिन्दु पर खींची गई त्रिज्या हमेशा स्पर्श रेखा के लंबवत होती है, जिससे कोण 90 डिग्री का बनता है।

🎯 Exam Tip: यह गुण (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा) स्पर्श रेखाओं से संबंधित कई ज्यामिति समस्याओं को हल करने के लिए महत्वपूर्ण है। स्पर्श बिन्दु पर हमेशा 90° का कोण मानें।

 

Question 2. 3.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए । वृत्त पर एक बिन्दु P लीजिए । बिन्दु P से वृत्त की स्पर्श रेखा खीचिए। रचना भी लिखिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है और 3 सेमी त्रिज्या है। वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु P है। केंद्र O से P तक एक त्रिज्या OP खींची गई है। बिन्दु P पर त्रिज्या OP के लंबवत एक रेखा AB खींची गई है, जो वृत्त की स्पर्श रेखा है।
Answer:

रचना :

1. सर्वप्रथम 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
2. इस वृत्त पर Pबिन्दु लेकर केन्द्र O से बिन्दु P को मिलाया ।
3. OP के Pबिन्दु पर 90° का कोण बनाती हुई रेखा ABखींची।
अतः APB अभीष्ट स्पर्श रेखा है।
In simple words: इस प्रश्न में वृत्त की परिधि पर एक दिए गए बिन्दु पर स्पर्श रेखा का निर्माण करना है। यह निर्माण उस बिन्दु पर त्रिज्या के लंबवत एक रेखा खींचने पर आधारित है।

🎯 Exam Tip: निर्माण के चरण सटीक होने चाहिए। हमेशा परकार और स्केल का उपयोग करें। वृत्त पर बिन्दु पर त्रिज्या के लंबवत रेखा ही स्पर्श रेखा होती है।

 

Question 3. O केंद्र वाला एक वृत्त है । वृत्त पर एक बिन्दु P दिया है। बताइये कि बिन्दु P से वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है। उत्तर का कारण चित्र खींचकर स्पष्ट कीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु P स्थित है। बिन्दु P पर वृत्त की स्पर्श रेखा AB खींची गई है।
Answer:
O केन्द्र वाला एक वृत्त है । वृत्त की परिधि पर बिन्दु P स्थित है। OP त्रिज्या के बिन्दु P से केवल एक ही लम्ब रेखा खींची जा सकती है, अतः बिन्दु P से वृत्त पर एक और केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है।
In simple words: यह प्रश्न स्थापित करता है कि वृत्त की परिधि पर किसी भी विशिष्ट बिन्दु पर केवल एक ही अद्वितीय स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि त्रिज्या के छोर बिन्दु पर केवल एक ही लंबवत रेखा खींची जा सकती है।

🎯 Exam Tip: एक वृत्त की अनंत स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं, लेकिन इसकी परिधि पर किसी भी *दिए गए* बिन्दु पर केवल एक ही स्पर्श रेखा होती है।

 

Question 4. किसी बिन्दु O को केंद्र मानकर 3.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए । चांदा और पटरी की सहायता से इस वृत्त की दो त्रिज्याएँ OA तथा OB इस प्रकारे खीचिए कि ∠AOB = 125° । बिन्दुओं A और B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खीचिए । यदि दोनों रेखाएँ एक दूसरे को बिन्दु P पर । प्रतिच्छेद करें तो ∠ APB को नापकर लिखिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 3 सेमी है। दो त्रिज्याएँ OA और OB खींची गई हैं, जो केंद्र पर 125° का कोण ∠AOB बनाती हैं। बिन्दु A और B से स्पर्श रेखाएँ AP और BP खींची गई हैं, जो वृत्त के बाहर बिन्दु P पर एक-दूसरे को काटती हैं।
Answer:
सर्वप्रथम O केन्द्र का एक वृत्त खींचा जिसकी त्रिज्या 3.0 सेमी है। त्रिज्या OA के बिन्दु O पर 125° का कोण बनाती हुई त्रिज्या OB खींची। अब बिन्दु A और B से त्रिज्याओं क्रमशः OA और OB पर लम्ब खींचे जो एक-दूसरे को P पर प्रतिच्छेद करती हैं। नापने पर,
∠APB = 55°
In simple words: इस प्रश्न में एक विशिष्ट कोण वाली दो त्रिज्याएँ खींचना और फिर उनके सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचना शामिल है। इन स्पर्श रेखाओं द्वारा बनाया गया कोण चतुर्भुज के कोण योग गुणों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

🎯 Exam Tip: दो त्रिज्याओं और एक बाहरी बिन्दु से दो स्पर्श रेखाओं द्वारा बने चतुर्भुज (OPAQ) में A और B पर कोण 90° होते हैं। चतुर्भुज के कोणों का योग 360° होता है, इसलिए स्पर्श कोण केंद्रीय कोण से पाया जा सकता है।

Exercise 14(C)

 

Question 1. निम्नलिखित कथनों में सत्य/असत्य कथन को अपनी अभ्यास पुस्तिका पर अलग-अलग करके लिखिए।
Answer:
1. वृत्त की कोई स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिन्दु से खींची गयी त्रिज्या एक दूसरे पर लम्बे होते हैं। (सत्य)
2. किसी वृत्त की छेदिका, उस वृत्त को दो से अधिक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (असत्य)
3. किसी वृत्त की स्पर्श रेखा, उस वृत्त को केवल दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (असत्य)
4. वृत्त के केन्द्र से उसकी किसी जीवा पर खींचा गया लम्ब, उस जीवा को समद्विभाजित करता है। (सत्य)
In simple words: यह प्रश्न स्पर्श रेखाओं, छेदक रेखाओं और जीवाओं की बुनियादी परिभाषाओं और गुणों का परीक्षण करता है, यह मूल्यांकन करता है कि उनके बारे में दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य।

🎯 Exam Tip: परिभाषाओं पर स्पष्ट रहें: स्पर्श रेखा एक बिन्दु पर छूती है, छेदक रेखा दो पर काटती है। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

 

Question 2. O केन्द्र लेकर 2.5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। इस वृत्त पर एक बिन्दु P लीजिए । त्रिज्या OP खीचिए । रेखाखण्ड OP के बिन्दु P पर लम्ब PT खीचिए । क्या PT वृत्त की स्पर्श रेखा है?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है और 2.5 सेमी त्रिज्या है। वृत्त की परिधि पर एक बिन्दु P है। केंद्र O से P तक एक त्रिज्या OP खींची गई है। बिन्दु P पर त्रिज्या OP के लंबवत एक रेखा PT खींची गई है।
Answer:
O वृत्त का केन्द्र तथा OP = 2.5 सेमी वृत्त की त्रिज्या है। रेखाखण्ड OP के बिन्दु P पर । लम्ब PT खींचा। ∠OPT = 90°
अतः PT वृत्त की स्पर्श रेखा है।
In simple words: यह प्रश्न इस अवधारणा को पुष्ट करता है कि त्रिज्या के छोर बिन्दु पर त्रिज्या के लंबवत खींची गई रेखा उस बिन्दु पर वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।

🎯 Exam Tip: यह त्रिज्या-स्पर्श रेखा लंबवत प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है। यदि कोई रेखा स्पर्श बिन्दु पर त्रिज्या के लंबवत है, तो वह एक स्पर्श रेखा है।

 

Question 3. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केन्द्र हैं। चित्र से निम्नांकित में रिक्त स्थानों की पूर्ति अपनी अभ्यास पुस्तिका पर कीजिए :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। इसमें एक रेखाखंड AB एक जीवा है, एक रेखाखंड OR एक त्रिज्या है, एक रेखा CD वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है (छेदक रेखा), और एक रेखा PQ वृत्त को एक बिन्दु पर स्पर्श करती है (स्पर्श रेखा)।
Answer:
1. रेखाखण्ड AB वृत्त की जीवा है।
2. रेखाखण्ड OR वृत्त की त्रिज्या है।
3. रेखा CD वृत्त की छेदक रेखा है।
4. रेखा PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है।
In simple words: यह प्रश्न दिए गए चित्र से वृत्त के विभिन्न भागों जैसे जीवा, त्रिज्या, छेदक रेखा और स्पर्श रेखा की पहचान करने के लिए कहता है।

🎯 Exam Tip: वृत्त से संबंधित सभी शब्दावली से परिचित हों। आरेख से उन्हें जल्दी से पहचानने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।

 

Question 4. 2.5 सेमी त्रिज्या तथा O केन्द्र वाला एक वृत्त खीचिए। इस वृत्त पर दो बिन्दु A और B इस प्रकार लीजिए कि ∠AOB = 60° । बिन्दुओं A और B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ क्रमशः AP तथा BP खीचिए। ∠APB नापकर लिखिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है और 2.5 सेमी त्रिज्या है। दो त्रिज्याएँ OA और OB खींची गई हैं, जो केंद्र पर 60° का कोण ∠AOB बनाती हैं। बिन्दु A और B से स्पर्श रेखाएँ AP और BP खींची गई हैं, जो वृत्त के बाहर बिन्दु P पर एक-दूसरे को काटती हैं।
Answer:
O वृत्ते को केन्द्र है केन्द्र O पर ∠AOB = 60° बिन्दु A और B से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ AP तथा BP खींची जो कि एक दूसरे को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है। ∠OAP=∠OBP = 90° ∠APB = 180°-60 = 120°
In simple words: पिछली रचना के समान, इस प्रश्न में दिए गए केंद्रीय कोण के साथ त्रिज्याओं के सिरों से स्पर्श रेखाएँ खींचना और फिर स्पर्श रेखाओं द्वारा बनाए गए कोण की गणना करना शामिल है।

🎯 Exam Tip: गुण याद रखें: एक बाहरी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, और स्पर्श बिन्दुओं को केंद्र पर जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा बनाया गया कोण, पूरक होते हैं। तो, \( ∠AOB + ∠APB = 180° \)।

 

Question 5. पार्श्व आकृति में PQ वृत्त का एक व्यास है तथा PR एवं QS उस वृत्त की क्रमशः P. एवं Q पर स्पर्श रेखाएँ हैं। क्या PR||Qs है? अपने उत्तर के लिए कारण भी दीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। एक रेखाखंड PQ वृत्त का व्यास है। बिन्दु P पर एक रेखा PR वृत्त की स्पर्श रेखा है, और बिन्दु Q पर एक अन्य रेखा QS वृत्त की स्पर्श रेखा है।
Answer:
पार्श्व आकृति में PQ वृत्त का व्यास है तथा PR एवं Qs बिन्दु P तथा Q पर वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। ∠OPR = ∠OQS = 90° \( OP \perp PR \) तथा \( OQ \perp QS \)
अतः PR||QS (क्योंकि वृत्त के केन्द्र से है तथा Q बराबर दूरी पर है। OP=OQ वृत्त की त्रिज्याएँ)
In simple words: यह प्रश्न व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के संबंध की पड़ताल करता है। यह दर्शाता है कि ये स्पर्श रेखाएँ हमेशा एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।

🎯 Exam Tip: व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हमेशा समानांतर होती हैं क्योंकि दोनों त्रिज्याएँ अपनी-अपनी स्पर्श रेखाओं के लंबवत होती हैं, और व्यास के अनुदिश त्रिज्याएँ एक सीधी रेखा (180°) बनाती हैं।

 

Question 6. पार्श्व आकृति में केन्द्र O वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त (दोनों वृत्तों का एक ही केन्द्र O है) हैं। बड़े वृत्त की एक जीवा AB छोटे वृत्त की P पर स्पर्श रेखा है। क्या यह कहा सत्य होगा कि | AB बिन्दु P पर समद्विभाजित होती है? सकारणे उत्तर दीजिए ।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): दो संकेन्द्रीय वृत्त हैं जिनका केंद्र O समान है। बड़े वृत्त की एक जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
Answer:
पार्श्व आकृति में केन्द्र O (दोनों वृत्तों का केन्द्र है ।) बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है।
∠OPA = ∠OPB = 90°
अतः वृत्त के केन्द्र से किसी जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए बिन्दु P जीवा AB को समद्विभाजित करता है।
In simple words: यह प्रश्न एक बड़े वृत्त की जीवा से संबंधित है जो एक छोटे संकेन्द्रीय वृत्त की स्पर्श रेखा है। यह बताता है कि स्पर्श बिन्दु जीवा को समद्विभाजित करता है क्योंकि स्पर्श रेखा पर त्रिज्या लंबवत होती है, और केंद्र से यह लंबवत जीवा को समद्विभाजित करती है।

🎯 Exam Tip: केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। यह बड़े वृत्त की जीवा AB पर लागू होता है, जहाँ OP, AB के लंबवत है।

दक्षता अभ्यास-14

 

Question 1. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। इसकी दो त्रिज्याएँ OP : एवं OQ इस प्रकार हैं कि ∠POQ= 120° । बिन्दुओं P और Q से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं जो एक दूसरे को T पर प्रतिच्छेद करती हैं। ∠PTQ का मान है:
(i) 6°
(ii) 1200°
(iii) 90°
(iv) 100°
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। दो त्रिज्याएँ OP और OQ खींची गई हैं, जो केंद्र पर ∠POQ = 120° का कोण बनाती हैं। बिन्दु P और Q से स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं, जो वृत्त के बाहर बिन्दु T पर एक-दूसरे को काटती हैं।
Answer: (i) 6°
उत्तर ∠ PTQ=180° – 1200° = 60°
In simple words: यह प्रश्न स्पर्श बिन्दुओं द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण दिए जाने पर एक बाहरी बिन्दु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करने की आवश्यकता है।

🎯 Exam Tip: केंद्र, दो स्पर्श बिन्दुओं और स्पर्श रेखाओं के बाहरी प्रतिच्छेदन बिन्दु द्वारा बने चतुर्भुज में, केंद्र पर कोण और स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण का योग 180° होता है।

 

Question 2. किसी वृत्त के केन्द्र के एक ओर दो समान्तर जीवाओं की लम्बाई 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि वे 1 सेमी की दूरी पर हों, तो वृत्त का व्यास होगा
(i) 14 सेमी
(ii) 10 सेमी
(iii) 8 सेमी
(iv) 5 सेमी
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): एक वृत्त जिसका केंद्र O है। वृत्त के केंद्र के एक ही तरफ दो समानांतर जीवाएँ AB (8 सेमी लंबी) और PQ (6 सेमी लंबी) हैं। इन जीवाओं के बीच की दूरी 1 सेमी है। जीवाओं के अंत बिन्दुओं तक त्रिज्याएँ OA और OP खींची गई हैं।
Answer: (ii) 10 सेमी
माना OP = x सेमी तथा OQ = x+1 सेमी
\( \Delta OPC \) में, \( OC^2 = OP^2 + CP^2 \)
\( OC^2 = x^2 + (4)^2 \)
\( OC^2 = x^2 + 16 \) ...(1)
\( \Delta OQA \) में, \( OA^2 = OQ^2 + AQ^2 \)
\( = (x+1)^2 + (3)^2 \)
\( = x^2 + 1 + 2x + 9 \)
...(2): \( OA^2 = x^2 + 2x + 10 \)
\( OC^2 = OA^2 \)
\( x^2 + 16 = x^2 + 2x + 10 \)
\( x^2 + 2x - x^2 = 16 - 10 \)
\( 2x = 6 \)
\( \implies x = 3 \)
\( x \) का मान समीकरण (1) में रखने पर
\( OC^2 = 3^2 + 16 \)
\( = 9 + 16 = 25 = 5^2 \)
\( OC = 5 \)
अतः वृत्त का व्यास \( = 2 \times 5 = 10 \) सेमी
In simple words: इस प्रश्न में एक ही तरफ दो समानांतर जीवाओं की लंबाई और उनके बीच की दूरी दी गई है। त्रिज्या और फिर व्यास की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

🎯 Exam Tip: समानांतर जीवाओं के लिए, प्रत्येक जीवा पर केंद्र से एक लंब खींचें। यह लंब जीवाओं को समद्विभाजित करता है। त्रिज्या, अर्ध-जीवा की लंबाई और केंद्र से दूरी को संबंधित करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें। प्रत्येक जीवा के लिए समीकरण स्थापित करें और हल करें।