UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 13 Vritt aur chakriya chaturbhuj

वृत्त और चक्रीय चतुर्भज

UP Board Solution Class 8 Math Chapter 13 अभ्यास 13 (a)

Question 1. पार्श्व-चित्र में 0 वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त की एक जीवा AB है. जिसकी लम्बाई 6 सेमी है। यदि OM LAB, तो OM की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। वृत्त के अंदर एक जीवा AB है, और केंद्र O से जीवा AB पर OM लंब डाला गया है, जहाँ M जीवा AB का मध्यबिंदु है। इस लंब के कारण त्रिभुज OMA एक समकोण त्रिभुज बनता है।
AOMA में \( \angle M = 90^\circ \), \( OA = 5 \text{ सेमी} \), \( AB = 6 \text{ सेमी} \)
\( \therefore \) केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है ।
\( AM = BM \)
\( AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \text{ सेमी} \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( OM^2 = OA^2 - AM^2 \)
\( = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16 \)

\( \implies OM = \sqrt{16} = 4 \text{ सेमी} \)
In simple words: वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम जीवा की आधी लंबाई और त्रिज्या की मदद से केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: केंद्र से जीवा पर लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है – यह प्रमेय वृत्त-संबंधी प्रश्नों में दूरी या लंबाई ज्ञात करने का एक महत्वपूर्ण आधार है।

Question 2. पार्श्व-चित्र में O वृत्त का केंद्र है और कृत की त्रिज्या 13 सेमी है। AB कृत की जीवा है। यदि लम्ब OM=5 सेमी, तो जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है, और OM केंद्र O से जीवा AB पर डाला गया लंब है। M जीवा AB का मध्यबिंदु है, और त्रिभुज OMA एक समकोण त्रिभुज है।
AOMA में \( \angle M = 90^\circ \), \( OA = 13 \text{ सेमी} \), \( OM = 5 \text{ सेमी} \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( AM^2 = OA^2 - OM^2 \)
\( = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \)

\( \implies AM = \sqrt{144} = 12 \)
\( AB = 2 \times AM \ (AM = MB) \)
\( = 2 \times 12 \text{ सेमी} = 24 \text{ सेमी} \)
अतः जीवा की लम्बाई \( = 24 \text{ सेमी} \)
In simple words: यदि वृत्त की त्रिज्या और केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात हो, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जीवा की आधी लंबाई ज्ञात की जा सकती है, और फिर उसे दोगुना करके पूरी जीवा की लंबाई निकाली जा सकती है।

🎯 Exam Tip: किसी भी समकोण त्रिभुज में दो भुजाएँ ज्ञात होने पर तीसरी भुजा का मान पाइथागोरस प्रमेय की सहायता से आसानी से निकाला जा सकता है, जो वृत्त की समस्याओं में बहुत उपयोगी है।

Question 3. एक वृत्त में एक 10 सेमी लम्बी जीवा खींची गई है जिसकी वृत्त के केंद्र से दूरी 12 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है जिसकी लंबाई दी गई है, और OM केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब है, जिसकी लंबाई भी दी गई है। M जीवा AB का मध्यबिंदु है, और त्रिभुज OMA एक समकोण त्रिभुज है।
हम जानते हैं कि \( AM = BM \)
\( \triangle OMA \) में, \( \angle M = 90^\circ \), \( OM = 12 \text{ सेमी} \), \( AB = 10 \text{ सेमी} \)
\( AM = \frac{1}{2} AB \)
\( = \frac{1}{2} \times 10 \text{ सेमी} = 5 \text{ सेमी} = BM \)
\( (OM \perp AB) \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( OA^2 = AM^2 + OM^2 \)
\( = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)

\( \implies OA = \sqrt{169} = 13 \text{ सेमी} \)
अतः वृत्त की त्रिज्या \( = 13 \text{ सेमी} \)।
In simple words: जब केंद्र से जीवा की दूरी और जीवा की लंबाई ज्ञात हो, तो जीवा की आधी लंबाई और केंद्र से दूरी को भुजा मानकर पाइथागोरस प्रमेय की मदद से वृत्त की त्रिज्या ज्ञात की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते समय, जीवा की पूरी लंबाई के बजाय उसकी आधी लंबाई का ही उपयोग किया जाता है क्योंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है।

Question 4. एक कृत में एक 8 सेमी लम्बी जीवा खींची गई है जिसकी केंद्र से दूरी 3 सेमी है। इस कृत में खींची गई एक अन्य जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जसकी केंद्र से दूरी 4 सेमी है।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। इसमें दो जीवाएँ AB और CD हैं। केंद्र से जीवा AB पर ON लंब है और जीवा CD पर OM लंब है। त्रिभुज ONA और OMC दोनों समकोण त्रिभुज हैं।
यदि \( ON \perp AB \), \( OM \perp CD \)
हम जानते हैं कि,
\( AN = BN \), \( CM = DM \)
\( \triangle ONA \) मे; \( \angle N = 90^\circ \), \( ON = 3 \text{ सेमी} \), \( AB = 8 \text{ सेमी} \)
\( \triangle OCM \) मे, \( \angle M = 90^\circ \), \( OM = 4 \text{ सेमी} \)
\( AN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ सेमी} = 4 \text{ सेमी} \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( \triangle ONA \) में,
\( OA^2 = AN^2 + ON^2 \)
\( = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \)

\( \implies OA = \sqrt{25} = 5 \text{ सेमी} \)

\( \implies OA = 5 \text{ सेमी} = OC \) (वृत्त की त्रिज्याएँ)
\( \triangle OMC \) में,
\( CM^2 = OC^2 - OM^2 \)
\( = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \)

\( \implies CM = \sqrt{9} = 3 \text{ सेमी} \)
\( CD = 2 \times CM = 2 \times 3 = 6 \text{ सेमी} \)
अतः जीवा की लम्बाई \( = 6 \text{ सेमी} \)।
In simple words: पहले वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए एक जीवा और उसकी केंद्र से दूरी का उपयोग करें। फिर, इसी त्रिज्या का उपयोग करके दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके दूसरी जीवा की लंबाई ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: एक ही वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं। यह तथ्य दो अलग-अलग जीवाओं से संबंधित प्रश्नों को हल करने में मदद करता है।

Question 5. पार्श्व-चित्र में वृत्त का केंद्र O है जिसकी एक जीवा AB = 30 मिमी तथा व्यास AC= 34 मिमी। जीवा AB की केंद्र से दूरी OD होगी-
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है, और AC वृत्त का व्यास है। केंद्र O से जीवा AB पर OD लंब डाला गया है। D जीवा AB का मध्यबिंदु है और त्रिभुज ODA एक समकोण त्रिभुज है।
हम जानते हैं \( AO = OC \), \( AD = BD \)
\( AD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 30 \text{ मिमी} = 15 \text{ मिमी} = DB \)
\( AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \times 34 \text{ मिमी} = 17 \text{ मिमी} = OC \)
\( \triangle AOD \) में, \( \angle D = 90^\circ \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( OD^2 = AO^2 - AD^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \)

\( \implies OD = \sqrt{64} = 8 \text{ मिमी} \)
अतः विकल्प (iv) सही है।
In simple words: व्यास की आधी त्रिज्या होती है। केंद्र से जीवा पर लंब उसे समद्विभाजित करता है। इन तथ्यों का उपयोग करके और पाइथागोरस प्रमेय लगाकर केंद्र से जीवा की दूरी निकाली जा सकती है।

🎯 Exam Tip: व्यास की लंबाई दी गई हो, तो उसकी आधी करके त्रिज्या ज्ञात करें। जीवा पर केंद्र से लम्ब हमेशा जीवा को दो बराबर भागों में बांटता है।

Question 6. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। त्रिज्या OA = 5.0 सेमी और जीवा AB = 8 सेमी। केंद्र O से जीवा पर लम्ब त्रिज्या OCD खींची गयी है। रेखाखंड CD की माप होगीः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है, और OD केंद्र से जीवा AB पर डाला गया लंब है (जहाँ D जीवा AB का मध्यबिंदु है)। C वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है, और OCD एक सीधी रेखा है जहाँ OC वृत्त की त्रिज्या है।
त्रिज्या \( OA = 5 \text{ सेमी} \)
हम जानते हैं कि,
\( AC = BC \), \( OA = OD \)
\( AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 8 \text{ सेमी} = 4 \text{ सेमी} \)
\( \triangle AOC \) में, \( \angle C = 90 \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( OC^2 = OA^2 - AC^2 \)
\( = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 \)

\( \implies OC = \sqrt{9} = 3 \text{ सेमी} \)
\( CD = OD - OC = 5 - 3 = 2 \text{ सेमी} \)
अतः विकल्प (iii) सही है ।
In simple words: वृत्त की त्रिज्या और जीवा की आधी लंबाई का उपयोग करके केंद्र से जीवा तक की दूरी ज्ञात करें। फिर, त्रिज्या में से इस दूरी को घटाकर रेखाखंड CD की लंबाई प्राप्त करें।

🎯 Exam Tip: यह समझना महत्वपूर्ण है कि "केंद्र O से जीवा पर लम्ब त्रिज्या OCD खींची गयी है" का अर्थ है कि OD जीवा पर लंब है और C त्रिज्या OC पर स्थित है।

Question 7. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। यदि OC | AB, तो निम्नलिखित कथनों में सत्य और असत्य कथन छाँटिएः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है, और OC एक रेखा है जो AB पर लम्ब है। बिंदु D जीवा AB का मध्यबिंदु है, और त्रिभुज ODA एक समकोण त्रिभुज है।
(i) \( AC = CB \) (सत्य)
(ii) \( AB = \frac{1}{2} AC \) (असत्य)
(iii) \( AB = 2AC \) (सत्य)
(iv) \( OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} \) (सत्य)
(v) \( AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} \) (असत्य)
In simple words: केंद्र से जीवा पर लंब उसे समद्विभाजित करता है। इसलिए, जीवा AB का आधा भाग AC के बराबर होता है, और AB, AC का दोगुना होता है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके भुजाओं के संबंध की जाँच करें।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे दो बराबर भागों में बांटता है, और इससे बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय लागू होती है।

अभ्यास 13 (d)

Question 1. पार्श्व चित्र में चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजा AB आगे बिन्दु E तक बढ़ाई गई है। बहिष्कोण ∠ CBE का मान हैः
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD दिखाता है, जो एक वृत्त के अंदर स्थित है। भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है, जिससे बहिष्कोण ∠CBE बनता है। चतुर्भुज के अंदर के कोण ∠ADC, ∠CBA आदि भी दिए गए हैं।
\( \therefore \) चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं ।
\( \angle ADC + \angle CBA = 180^\circ \)
\( \angle CBA = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ \)
\( \angle CBE + 65^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle CBE = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ \)
उत्तर
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। साथ ही, एक सीधी रेखा पर बने कोणों का योग भी 180° होता है। इन दो गुणों का उपयोग करके बहिष्कोण का मान ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के बहिष्कोण उसके आंतरिक सम्मुख कोण के बराबर होते हैं। यह प्रमेय सीधे बहिष्कोण का मान निकालने में मदद करता है।

Question 2. पार्श्व चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज इस प्रकार है कि AB || CD निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD दिखाता है, जिसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं। चतुर्भुज की भुजाएँ AB और CD एक-दूसरे के समानांतर हैं। केंद्र O वृत्त के बीच में स्थित है।
(i) \( \angle A + \angle D = 180^\circ \), क्योंकि \( AB \ || \ DC \) तथा ये कोण अंतःकोण हैं।
(ii) \( \angle B + \angle D = 180^\circ \), क्योंकि ये कोण चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं।
(iii) \( \angle A = \angle B \), क्योंकि \( \angle A + \angle D = 180^\circ \)।
In simple words: एक चक्रीय चतुर्भुज में, समानांतर भुजाओं के बीच के अंतःकोणों का योग 180° होता है, और सम्मुख कोणों का योग भी 180° होता है। इन गुणों से कोणों के बीच के संबंध को समझा जा सकता है।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज और समानांतर रेखाओं के गुणधर्मों का सही अनुप्रयोग करने पर आप ऐसे प्रश्नों को आसानी से हल कर सकते हैं।

Question 3. पाश्र्व चित्र में 3.42 में बिन्दु 0 वृत्त का केंद्र है। यदि जीवा AC = जीवा BC हो, तो ∠ABC तथा ∠ACB+∠APB का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB एक व्यास है, और C तथा P वृत्त पर स्थित बिंदु हैं। AC और BC दो जीवाएँ हैं जो बराबर हैं। एक अन्य बिंदु P वृत्त पर स्थित है।
\( \angle ACB + \angle APB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
(अर्द्धवृत्त पर बना कोण समकोण होता है)
जीवा \( AC = \) जीवा \( BC \)
(दिया है)
\( \therefore \triangle ABC \) के कोणों का योग \( = 180^\circ \)
\( \therefore \angle C = 90^\circ \), \( \angle A + \angle B = 90^\circ \)
\( \angle ABC = 45^\circ \)
In simple words: अर्धवृत्त में बना कोण हमेशा 90° होता है। यदि दो जीवाएँ बराबर हों, तो उनके सामने के कोण भी बराबर होते हैं, और एक त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

🎯 Exam Tip: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है - यह एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जिसका उपयोग कई ज्यामितीय समस्याओं में किया जाता है।

Question 4. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है और AOB व्यास है। वृत्त पर बिन्दु C और D इस प्रकार हैं कि ∠CAB = 30° और ∠ABD = 40°; ∠CAD और ∠CBD के मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और AOB व्यास है। C और D वृत्त की परिधि पर दो बिंदु हैं। ∠CAB और ∠ABD के मान दिए गए हैं, और हमें ∠CAD और ∠CBD के मान ज्ञात करने हैं।
हम जानते है कि अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है ।
\( \therefore \angle ACB = 90^\circ = \angle ADB \)
\( \angle CAB = 30^\circ \) तथा \( \angle ABD = 40^\circ \)
(दिया है)
\( \triangle ABC \) में,
\( \angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ \)

\( \implies \angle ABC + 30^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle ABC + 120^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)
\( \triangle ADB \) में,

\( \implies \angle BAD + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ \)

\( \implies \angle BAD + 40^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle BAD + 130^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle BAD = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \)
\( \angle CAD = \angle CAB + \angle BAD = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ \)
\( \angle CBD = \angle ABC + \angle ABD = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ \)
In simple words: अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है। इन दो गुणों का उपयोग करके अज्ञात कोणों को ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: कोणों को जोड़ने या घटाने से पहले सुनिश्चित करें कि वे एक ही संदर्भ (जैसे एक ही त्रिभुज या सीधी रेखा) में हैं।

Question 5. पार्श्व चित्र में चतुर्भुज PQRS वृत्त के अंतर्गत बना है। यदि ∠R = 80° और ∠S = 85° हो, तो ∠P एवं ∠Q के मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चक्रीय चतुर्भुज PQRS दिखाता है, जिसके सभी शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हैं। कोण R और कोण S के मान दिए गए हैं।
\( \angle P + \angle R = 180^\circ \)
\( \angle P + 80^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle P = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)
\( \angle Q + \angle S = 180^\circ \)
\( \angle Q + 85^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle Q = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \)
In simple words: एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इस नियम का उपयोग करके अज्ञात सम्मुख कोणों को ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है - यह प्रमेय चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित किसी भी प्रश्न का मूल आधार है।

Question 6. पार्श्व चित्र में दो वृत्त एक दूसरे को बिन्दुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। चक्रीय चतुर्भुज APQC तथा BPQD इस प्रकार हैं कि APB तथा CQD रेखाखंड हैं। यदि ∠A=95° और ∠C= 80°, तो ∠ B, ∠D, ∠ APQ एवं ∠PQD ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह दो वृत्त दिखाता है जो P और Q बिंदुओं पर एक-दूसरे को काटते हैं। APB और CQD सीधी रेखाएँ हैं। चक्रीय चतुर्भुज APQC और BPQD बनते हैं। कोण A और कोण C के मान दिए गए हैं।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं।
\( \angle A + \angle PQC = 180^\circ \)

\( \implies \angle PQC = 180^\circ - \angle A \)
\( = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \)
तथा
\( \angle APQ + \angle C = 180^\circ \)

\( \implies \angle APQ = 180^\circ - \angle C \)
\( = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)
चक्रीय चतुर्भुज का बहिष्कोण संपूरक होता है।
\( \angle PQD = 180^\circ - \angle PQC = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \)
\( \angle B = 180^\circ - \angle PQD = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ \)
\( \angle QPB = 180^\circ - \angle APQ = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)
\( \angle D = 180^\circ - \angle QPB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \)
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण 180° का योग बनाते हैं। यदि एक चक्रीय चतुर्भुज की भुजा को बढ़ाया जाए, तो बाहरी कोण अंदर के सम्मुख कोण के बराबर होता है। इन गुणों का उपयोग करके सभी अज्ञात कोणों को ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: दो प्रतिच्छेदी वृत्तों में बने चक्रीय चतुर्भुज के प्रश्नों को हल करते समय, प्रत्येक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के योग को 180° मानने वाले प्रमेय को ध्यान में रखें।

Question 7. पाश्र्व चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠C= r° और ∠ A = 2x°, तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD दिखाता है, जिसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं। कोण A को \( 2x^\circ \) और कोण C को \( x^\circ \) के रूप में दर्शाया गया है।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं ।
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
\( 2x^\circ + x^\circ = 180^\circ \)
\( 3x^\circ = 180^\circ \)

\( \implies x^\circ = \frac{180^\circ}{3} \)
\( = 60^\circ \)
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग हमेशा 180° होता है। इस नियम का उपयोग करके अज्ञात कोण (x) का मान ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: जब चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों को चर (variable) के रूप में दिया गया हो, तो समीकरण बनाकर उन्हें हल करें।

दक्षता अभ्यास-13

Question 1. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है और OM ⊥ AB । यदि AB = 10 सेमी और OM = 4 सेमी, तो त्रिज्या OA की लम्बाई है:
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है जिसकी लंबाई 10 सेमी है। OM केंद्र से जीवा AB पर 4 सेमी लंबा लंब है। M जीवा AB का मध्यबिंदु है।
\( AM = AB \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \times 10 \text{ सेमी} = 5 \text{ सेमी} = BM \),
\( OM = 4 \text{ FT} \)
\( (OM \perp AB) \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)
\( = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \)

\( \implies OA = \sqrt{41} \text{ सेमी} \)
विकल्प (iii)
In simple words: केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। जीवा की आधी लंबाई और केंद्र से जीवा की दूरी को भुजा मानकर पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके वृत्त की त्रिज्या ज्ञात की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: पाइथागोरस प्रमेय का सही उपयोग करने के लिए हमेशा सुनिश्चित करें कि आप समकोण त्रिभुज की भुजाओं को सही ढंग से पहचान रहे हैं।

Question 2. पार्श्व चित्र में यदि ∠A= 80° और ∠ B = 85°, तो ∠ D का मान है :
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD दिखाता है, जिसके शीर्ष वृत्त पर स्थित हैं। कोण A और कोण B के मान दिए गए हैं।
\( \therefore \) चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण संपूरक होते हैं ।
\( \angle D + \angle B = 180^\circ \)
\( \angle D = 180^\circ - \angle B \)
\( = 180^\circ - 85^\circ \)

\( \implies = 95^\circ \)
विकल्प (iv)
In simple words: चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। इस नियम का उपयोग करके अज्ञात सम्मुख कोण (∠D) का मान ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: चक्रीय चतुर्भुज में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है - यह प्रमेय चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित किसी भी प्रश्न का मूल आधार है।

Question 3. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। जीवा AB = जीवा CD और ∠AOB = 70°, तो ∠OCD का मान है :
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB और CD दो बराबर जीवाएँ हैं। जीवा AB द्वारा केंद्र पर बना कोण ∠AOB 70° है।
\( OA = OB = OC = OD \) (वृत्त की त्रिज्याएँ)

\( \implies \angle OCD = \angle ODC \)
जीवा \( AB = \) जीवा \( CD \)
\( \angle AOB = 70^\circ = \angle COD \)

\( \implies \angle OCD + \angle ODC + \angle COD = 180^\circ \)

\( \implies \angle OCD + \angle OCD + 70^\circ = 180^\circ \)

\( \implies 2 \angle OCD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)

\( \implies \angle OCD = \frac{110^\circ}{2} \)
\( = 55^\circ \)
विकल्प (ii)
In simple words: वृत्त में समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं। त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है। यदि त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। इन नियमों का उपयोग करके अज्ञात कोण ज्ञात किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: याद रखें कि समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं, और समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण भी समान होते हैं।

Question 4. पार्श्व चित्र में O वृत्त का केंद्र है। त्रिज्या OD, व्यास AB पर लम्ब है। यदि वृत्त पर एक बिन्दु C है, तो ∠ABD और ∠ BCD ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और AB व्यास है। D वृत्त की परिधि पर एक बिंदु है, और AB पर OD लम्ब है (जो कि यहाँ केंद्र O पर ही माना जाएगा)। C वृत्त पर एक अन्य बिंदु है।
\( \therefore \) अर्द्ध वृत्त में बना कोण समकोण होता है ।
\( \therefore \angle ADB = 90^\circ \) और \( AD = BD \) (वृत्त की जीवाएँ)
\( \angle DAB = \angle ABD \)
\( \angle ADB + \angle DAB + \angle ABD = 180^\circ \)

\( \implies 90^\circ + \angle ABD + \angle ABD = 180^\circ \)

\( \implies 2 \angle ABD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

\( \implies \angle ABD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ \)
एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं।
\( \angle BCD = \angle DAB = 45^\circ \)
In simple words: अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों, तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। एक ही वृत्तखंड में बने कोण भी बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है और एक ही वृत्तखंड में बने कोण समान होते हैं - इन दो प्रमेयों को अच्छी तरह याद रखें।

Question 5. पाश्र्व चित्र में △ABC एक समबाहु A है तथा D, E वृत्त पर दो बिन्दु हैं । ∠ BEC एवं ∠ BDC ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसमें एक समबाहु त्रिभुज ABC अंतर्निहित है। बिंदु D और E वृत्त की परिधि पर स्थित हैं।
\( \triangle ABC \) एक समबाहु त्रिभुज है ।
\( \angle BAC = 60^\circ \)
\( \therefore \) चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है ।
\( \therefore \angle BEC + \angle BAC = 180^\circ \)

\( \implies \angle BEC + 60^\circ = 180^\circ \)

\( \implies \angle BEC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \)
\( \therefore \) एक ही वृत्तखंड के कोण बाबर होते हैं ।
\( \angle BDC = \angle BAC = 60^\circ \)
In simple words: समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं। चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, और एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं।

🎯 Exam Tip: समबाहु त्रिभुज के कोणों का मान (60°) और चक्रीय चतुर्भुज के गुणधर्म (सम्मुख कोणों का योग 180° और एक ही वृत्तखंड में बने कोण समान) इन प्रश्नों को हल करने में मदद करते हैं।

Question 6. पाश्र्व चित्र में एक वृत्त के अंतर्गत एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD है। विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं यदि ∠ ACB = 55° और ∠ BAC = 45°, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD दिखाता है, जिसके विकर्ण AC और BD खींचे गए हैं। कोण ACB और BAC के मान दिए गए हैं।
\( \therefore \) एक ही वृत्तखंड के अन्तर्गत कोण बराबर होते हैं।
\( \angle ADB = \angle ACB = 55^\circ \)
\( \angle BDC = \angle BAC = 45^\circ \)
\( \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 55^\circ + 45^\circ = 100^\circ \)
In simple words: एक ही वृत्तखंड में बने कोण हमेशा बराबर होते हैं। इस नियम का उपयोग करके, एक वृत्तखंड में ज्ञात कोणों की मदद से दूसरे वृत्तखंड में अज्ञात कोणों को ज्ञात किया जा सकता है, और फिर उन्हें जोड़कर बड़ा कोण प्राप्त किया जा सकता है।

🎯 Exam Tip: एक ही वृत्तखंड में बने कोण समान होते हैं - यह ज्यामिति का एक मौलिक प्रमेय है जो कई कोण-संबंधी समस्याओं में उपयोगी है।

Question 7. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा 16 सेमी लम्बी है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है जिसकी लंबाई 16 सेमी है। OA वृत्त की त्रिज्या है जिसकी लंबाई 10 सेमी है। OM केंद्र से जीवा AB पर डाला गया लंब है, जहाँ M जीवा AB का मध्यबिंदु है।
\( AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \text{ सेमी} = BM \)
\( \triangle AOM \) में, \( \angle M = 90^\circ \), पाइथागोरस प्रमेय से,
\( OM^2 = OA^2 - AM^2 \)
\( = 10^2 - 8^2 \)
\( = 100 - 64 = 36 \)
केन्द्र से जीवा की दूरी \( OM = \sqrt{36} = 6 \text{ सेमी} \)
In simple words: केंद्र से जीवा पर लंब उसे दो बराबर भागों में बाँटता है। फिर, त्रिज्या और जीवा की आधी लंबाई का उपयोग करके पाइथागोरस प्रमेय द्वारा केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात की जा सकती है।

🎯 Exam Tip: केंद्र से जीवा पर लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है – यह प्रमेय वृत्त-संबंधी प्रश्नों में दूरी या लंबाई ज्ञात करने का एक महत्वपूर्ण आधार है।

Question 8. एक वृत्त की एक जीवा की लम्बाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा केंद्र पर बने । कोण का मान बताइए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। AB एक जीवा है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या OA और OB के बराबर है। इस प्रकार, त्रिभुज AOB एक समबाहु त्रिभुज है।
\( \therefore \) केन्द्र वाले वृत्त की जीवा \( AB = \) त्रिज्या \( OA = \) त्रिज्या \( OB \)
\( \therefore \) त्रिभुज \( AOB \) एक समबाहु त्रिभुज होगा।
\( \therefore \) समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं।
अतः \( \angle AOB = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \)
In simple words: यदि एक वृत्त में जीवा की लंबाई उसकी त्रिज्या के बराबर हो, तो जीवा और दोनों त्रिज्याओं से मिलकर बनने वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है। समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं।

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि यदि जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो केंद्र पर बनने वाला कोण हमेशा 60° होता है।

Question 9. 2.5 सेमी सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। इस वृत्त के केंद्र से 0.7 सेमी की दूरी पर एक जीवा खींचिए। इस जीवा की लम्बाई नाप कर ज्ञात कीजिए और गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 2.5 सेमी है। AB एक जीवा है, और OM केंद्र से जीवा AB पर डाला गया लंब है जिसकी लंबाई 0.7 सेमी है। M जीवा AB का मध्यबिंदु है।
सर्वप्रथम \( \circ \) केन्द्र वाला \( 2.5 \text{ सेमी} \) त्रिज्या का वृत्त खींचा
तथा केन्द्र O से \( 0.7 \text{ सेमी} \) की दूरी पर एक जीवा खींची।
\( OM = 0.7 \text{ सेमी} \)
\( \angle AMO = 90^\circ \)
पाइथागोरस प्रमेय से,
\( AM^2 = OA^2 - OM^2 = (2.5)^2 - (0.7)^2 \)
\( = 6.25 - 0.49 = 5.76 \)
\( AM = \sqrt{5.76} = 2.4 \text{ सेमी} \)
अतः जीवा \( AB = 2 \times AM = 2 \times 2.4 = 4.8 \text{ सेमी} \)
In simple words: वृत्त की त्रिज्या और केंद्र से जीवा की दूरी दी गई है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके जीवा की आधी लंबाई ज्ञात करें और फिर उसे दोगुना करके पूरी जीवा की लंबाई ज्ञात करें।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है - इस तथ्य का उपयोग करके ही पाइथागोरस प्रमेय लागू करें।

Question 10. 3.0 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त की दो जीवाए AB और CD खीचिए । जिसमें 4B = CD = 3 सेमी । प्रत्येक जीवा द्वारा केंद्र पर बने कोणों को नापिए। क्यों दोनों कोणों के मान समान हैं?
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या 3 सेमी है। AB और CD दो जीवाएँ हैं, दोनों की लंबाई 3 सेमी है। केंद्र पर ∠AOB और ∠COD कोण बनते हैं।
\( \circ \) को केन्द्र मानकर \( 3 \text{ सेमी} \) त्रिज्या का वृत्त खींचा
तथा \( 3 \text{ सेमी} \) की दो जीवाएँ \( AB \) तथा \( CD \) खींची।
\( \angle AOB = \angle COD \) (शीर्षाभिमुख कोण)
\( OA = OD = OC = OB = 3 \text{ सेमी} \)
\( AB = CD = 3 \text{ सेमी} \)
\( \triangle OCD \) व \( \triangle OAB \) समबाहु त्रिभुज हैं ।
\( \angle AOB = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \) तथा \( \angle COD = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \)
अतः जीवा द्वारा केन्द्र पर बने कोण समान हैं ।
In simple words: यदि किसी वृत्त में जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर हो, तो वह केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। चूंकि दोनों जीवाओं की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, इसलिए वे दोनों केंद्र पर 60° का कोण बनाएंगी।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं, और यदि जीवा की लंबाई त्रिज्या के बराबर हो, तो केंद्र पर बना कोण 60° होता है।

Question 11. निम्नांकित आकृति ∠PQR = 100° है, जहाँ P, Q तथा R केन्द्र 0 वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु है। ∠OPR ज्ञात कीजिए ।
Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है। P, Q और R वृत्त की परिधि पर तीन बिंदु हैं। ∠PQR का मान 100° दिया गया है। हमें त्रिभुज OPR में कोण ∠OPR ज्ञात करना है।
\( \angle PQR = 2 \angle PQR \)
\( \therefore \) केन्द्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दो गुना होता है।
\( \therefore \angle POR = 2 \times 100^\circ = 200^\circ \)
अब \( \triangle POR \) में \( \angle POR = 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ \)
\( \therefore PO = OR \) (वृत्त की त्रिज्या)
\( \therefore \angle OPR = \angle ORP \)
अतः \( \angle POR + \angle OPR + \angle ORP = 180^\circ \)
\( 160^\circ + 2 \angle OPR = 180^\circ \)

\( \implies 2 \angle OPR = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ \)

\( \implies \angle OPR = \frac{20^\circ}{2} = 10^\circ \)
In simple words: केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। एक वृत्त की सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं, जिससे समद्विबाहु त्रिभुज बनता है। त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है।

🎯 Exam Tip: केंद्र पर बना कोण और परिधि पर बने कोण के बीच का संबंध (केंद्र पर कोण दोगुना होता है) और समद्विबाहु त्रिभुज के गुणों को अच्छी तरह समझें।