UP Board Solutions Class 8 Maths Chapter 15 Sankhyiki

सॉख्यिकी

अभ्यास 15 (A)

Question 1. एक विद्यालय के 7 अध्यापकों की आयु (वर्षो में) 25, 57, 32, 23, 42, 30, 47 है। आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए ।
Answer:आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर = 23, 25, 30, 32, 42, 47, 57 (यहाँ \( n = 7 \))
माध्यिका \( = \frac{n+1}{2} \) वें पद का मान \( = \frac{7+1}{2} \) वें पद का मान
\( = \frac{8}{2} \) = 4वें पद का मान
अतः माध्यिका = 32 वर्ष
In simple words: To find the median of an odd set of numbers, first arrange them in ascending order. The median is the value of the middle term, found by the formula (n+1)/2, where n is the number of observations.

🎯 Exam Tip: Always arrange data in ascending or descending order before calculating the median. For an odd number of observations, the median is straightforward; for an even number, it's the average of the two middle terms.

 

Question 2. कक्षा 8 की बालिकाओं की ऊँचाई सेमी में क्रमशः 140, 142, 135, 133, 17, 150, 148 तथा 138 है। आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए ।
Answer:आँकड़ों को आरोही क्रम में लिखने पर = 133, 135, 137, 138, 140, 142, 148, 150
माध्यिका \( = \frac{\frac{n}{2} \text{ वें पद का मान } + (\frac{n}{2}+1) \text{ वें पद का मान}}{2} \)
(यहाँ \( n = 8 \))
\( = \frac{4\text{वें पद का मान}+5\text{वें पद का मान}}{2} = \frac{138+140}{2} = \frac{278}{2} \)
\( = 139 \) सेमी
In simple words: When there's an even number of data points, the median is the average of the two middle values after arranging the data in order.

🎯 Exam Tip: Remember to use the correct formula for median based on whether the number of observations (n) is odd or even. For even 'n', the median is the average of the (n/2)th and (n/2 + 1)th terms.

 

Question 3. निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :
Answer:

माध्यिका \( = \frac{n+1}{2} \) वाँ पद \( = \frac{19+1}{2} \) वाँ पद \( = 10 \) वाँ पद
10 वाँ पद वह होगा जिसकी संचयी बारम्बारता 11है।
अतः माध्यिका 6 होगी।
In simple words: For grouped data, calculate the cumulative frequency. The median is the value corresponding to the term at the (n+1)/2 position in the cumulative frequency column.

🎯 Exam Tip: When finding the median from a frequency distribution table, construct a cumulative frequency column. Locate the median term's position using the (N+1)/2 formula, then find the corresponding value from the 'पद' column.

 

Question 4. निम्नलिखित सारणी में 40 शिक्षार्थियों के जूतों की नाप के नंबरों के आँकड़े दिए गए हैं, माध्यिका ज्ञात कीजिए ।

Answer:माध्यिका \( = \frac{n/2 \text{ वें पद का मान } + (n/2+1) \text{ वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{20\text{वें पद का मान}+21\text{वें पद का मान}}{2} \)
(20वाँ और 21वाँ पद वह होगा जिसकी संचयी बारम्बारता 34 है।)
\( = \frac{7+7}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) नंबर
In simple words: When given data in a frequency distribution and an even total number of observations, calculate the cumulative frequency. The median is the average of the data values corresponding to the n/2th and (n/2)+1th positions.

🎯 Exam Tip: Be careful with calculations for even 'n' in frequency distributions; identify the correct 'पद' values from the original data based on their cumulative frequencies before averaging.

अभ्यास 15 (B)

 

Question 1. 12, 12, 13, 12, 10 की बहुलक बताइए ।
Answer: इसमें 12 की बारम्बारता सबसे अधिक है अतः बहुलक = 12
In simple words: The mode is simply the number that appears most often in a set of data.

🎯 Exam Tip: The mode is the easiest measure of central tendency to find; just count the frequency of each data point and identify the most frequent one.

 

Question 2. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए ।
(i) 13, 14, 10, 12, 11, 12, 13, 20, 18, 12, 10, 12
(ii) 19, 25, 36, 38, 20, 18, 38, 3, 38, 22, 38,38
Answer:
(i) 13, 14, 10, 12, 11, 12, 13, 20, 18, 12, 10, 12 उक्त आँकड़ों में 12 की बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 12
(ii) 19, 25, 36, 38, 20, 18, 38, 3, 38, 22, 38, 38 उक्त आँकड़ों में 38 की बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 38
In simple words: For a list of numbers, the mode is the value that occurs most frequently.

🎯 Exam Tip: To find the mode for a longer list of numbers, it can be helpful to first sort the numbers or create a frequency count to easily identify the most repeated value.

 

Question 3. निम्नलिखित बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए।
Answer: उक्त आँकड़ों में 26 की बारम्बारता सबसे अधिक 11 है। अतः बहुलक = 26
In simple words: The mode of a distribution is the value or class interval with the highest frequency.

🎯 Exam Tip: When dealing with a frequency distribution, simply look for the highest frequency to determine the mode.

अभ्यास 15 (C)

 

Question 1. निम्नलिखित संख्याओं के 5-5 के वर्ग विस्तार पर वर्ग बनाइए
(i) 5, 11,26, 24, 21, 10, 9, 8, 7, 11, 25, 21, 17, 14, 16, 11, 13, 17,
(ii) 22, 36, 42,37,40, 19, 23, 27, 20, 36, 40, 25, 24, 36, 23, 20
Answer:

In simple words: To create a frequency distribution with class intervals, first determine the range of your data, then divide it into equal-sized intervals (classes) and count how many data points fall into each interval.

🎯 Exam Tip: When forming class intervals, ensure they are non-overlapping and cover the entire range of the data. The choice of class width can significantly impact the visual representation of the data.

 

Question 2. किसी परीक्षा में 22 शिक्षार्थियों के गणित विषय में प्राप्तांकों का विवरण निम्नवतू है। 10-10 के वर्ग विस्तार में आंकड़ों को विभाजित कर बारम्बारता सारणी बनाइए -
67, 52, 54, 66, 88, 82, 67,54, 50, 50, 66,67, 50, 50, 48, 55, 56, 67, 88, 67,78, 83
Answer:

In simple words: To make a frequency table for given marks, divide the marks into class intervals (e.g., 10-10) and then use tally marks to count how many scores fall into each interval.

🎯 Exam Tip: When constructing frequency tables, ensure tally marks are accurately counted for each class interval. Mistakes in counting will lead to incorrect frequencies.

अभ्यास 15 (D)

 

Question 1. नीचे दिए शिक्षार्थियों की ऊँचाई के आयत चित्रों को देखकर प्रश्नों का उत्तर दीजिए :
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र है जो शिक्षार्थियों की ऊँचाई (सेमी में) और उनकी संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर ऊँचाई (सेमी में) 0 से 175 तक 5 सेमी के अंतराल पर प्रदर्शित की गई है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर शिक्षार्थियों की संख्या 0 से 12 तक 2 के अंतराल पर दिखाई गई है। पैमाने के अनुसार, X-अक्ष पर 1 सेमी 5 सेमी के बराबर है और Y-अक्ष पर 1 सेमी 2 शिक्षार्थियों के बराबर है।
Answer:
I. सबसे अधिक शिक्षार्थी किस ऊँचाई वर्ग में हैं?
II. 160-165 सेमी की ऊँचाई के शिक्षार्थियों की कितनी संख्या है।
III. 160 सेमी से कम ऊँचाई वे कितने शिक्षार्थी हैं?
IV. सबसे कम शिक्षार्थी किस ऊँचाई वर्ग में है?
V. 155 सेमी या उससे अधिक की ऊँचाई के कितने शिक्षार्थी हैं?
उत्तर I. 155-160, II. 10, III. 22, IV. 145-150 सेमी V. 30
In simple words: Histograms show the frequency of data points within different ranges (class intervals). To answer questions based on a histogram, read the height of the bars corresponding to the given intervals.

🎯 Exam Tip: When interpreting histograms, pay close attention to the labels and scales of both axes to accurately extract information about frequencies and class intervals.

 

Question 2. निम्नलिखित बारम्बारता बंटन सारणी में 60 शिक्षार्थियों के प्राप्तांक दिए गए हैं।

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र है जो शिक्षार्थियों के प्राप्तांक और उनकी संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर प्राप्तांक 0 से 70 तक 10 के अंतराल पर प्रदर्शित किए गए हैं, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर शिक्षार्थियों की संख्या 0 से 16 तक 2 के अंतराल पर दिखाई गई है। पैमाने के अनुसार, X-अक्ष पर 1 सेमी 2 सेमी (प्राप्तांक) के बराबर है और Y-अक्ष पर 1 सेमी 10 शिक्षार्थियों के बराबर है।
In simple words: A histogram visually represents data from a frequency distribution table, with bars showing the frequency for each class interval.

🎯 Exam Tip: When drawing a histogram, ensure that the bars are continuous and correspond correctly to the class intervals and their frequencies from the given table. Scales must be clearly marked.

 

Question 3. नीचे दी गई सारणी में किसी लघु उद्योग में कार्यरत कामगारों की आयु तथा उनकी संख्या दी गई है।

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र है जो लघु उद्योग में कामगारों की आयु (वर्षों में) और उनकी संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर आयु (वर्षों में) 25 से 55 तक 5 के वर्ग अंतराल पर प्रदर्शित की गई है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर कामगारों की संख्या 0 से 80 तक 10 के अंतराल पर दिखाई गई है। पैमाने के अनुसार, X-अक्ष पर 1 सेमी 5 वर्ग अंतराल के बराबर है और Y-अक्ष पर 1 सेमी 10 बारम्बारता (कामगारों की संख्या) के बराबर है।
In simple words: A histogram is used to show the frequency distribution of continuous data, where the width of each bar represents a class interval and its height represents the frequency of data within that interval.

🎯 Exam Tip: When constructing histograms for continuous data like age, ensure the class intervals are clearly defined and the bars touch each other to indicate continuity.

 

Question 4. नीचे दिए गए बारम्बारता बंटन के आयत चित्रों द्वारा प्रदर्शन कीजिए :

Answer:
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र है जो विभिन्न मापों और उनकी बारम्बारता को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर माप 0 से 70 तक 10 के अंतराल पर प्रदर्शित किए गए हैं, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर बारम्बारता 0 से 20 तक 2 के अंतराल पर दिखाई गई है। पैमाने के अनुसार, X-अक्ष पर 1 सेमी 10 सेमी के बराबर है और Y-अक्ष पर 1 सेमी 2 शिक्षार्थियों के बराबर है।
In simple words: A histogram graphically represents a frequency distribution, where continuous data is shown using adjacent bars. The width of each bar corresponds to a class interval, and the height represents its frequency.

🎯 Exam Tip: When drawing histograms, always label your axes clearly, include units, and define the scale used for both the X and Y axes for proper interpretation.

दक्षता अभ्यास - 15

 

Question 1. निम्नलिखित आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए:
(i) 23, 20, 22, 19, 17, 22, 14, 16, 15
(ii) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
(iii) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Answer:
(i) आँकड़ों का आरोही क्रम = 14, 15, 16, 17, 19, 20, 22, 22, 23
पदों की संख्या \( n = 9 \) (विषम)
माध्यिका \( = \frac{n+1}{2} \) वाँ पद \( = \frac{9+1}{2} \) वाँ पद
\( = 5 \) वाँ पद \( = 19 \)
(ii) आँकड़ों का आरोही क्रम = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18
पदों की संख्या \( n = 9 \) (विषम)
माध्यिका \( = \frac{n+1}{2} \) वाँ पद \( = \frac{9+1}{2} \) वाँ पद
\( = 5 \) वाँ पद \( = 10 \)
(iii) आँकड़ों का आरोही क्रम = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
पदों की संख्या \( n = 10 \) (सम)
माध्यिका \( = \frac{n/2 \text{ वें पद का मान } + (n/2+1) \text{ वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{5\text{वें पद का मान } + 6\text{वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{5+6}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \)
In simple words: To find the median, arrange the data in order. If there's an odd count, the median is the middle number; if even, it's the average of the two middle numbers.

🎯 Exam Tip: Always double-check your ordering of numbers (ascending or descending) before identifying the middle term(s) for median calculation, as a single misplacement can alter the result.

 

Question 2. निम्नलिखित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए ।
Answer:

पदों की संख्या \( n = 24 \) (सम)
माध्यिका \( = \frac{n/2 \text{ वें पद का मान } + (n/2+1) \text{ वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{12\text{वें पद का मान}+13\text{वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{7+7}{2} = 7 \)
In simple words: To find the median from a frequency table with an even total number of items, calculate the cumulative frequency, then find the average of the data values corresponding to the n/2th and (n/2)+1th terms.

🎯 Exam Tip: Always construct a cumulative frequency column when finding the median from a frequency distribution table to accurately locate the median position.

 

Question 3. निम्नलिखित सारणी में 40 शिक्षार्थियों की आयु (वर्षों में) दी हुई है। माध्यिका ज्ञात कीजिए :

Answer:

पदों की संख्या \( n = 40 \) (सम)
माध्यिका \( = \frac{n/2 \text{ वें पद का मान } + (n/2+1) \text{ वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{20\text{वें पद का मान}+21\text{वें पद का मान}}{2} \)
\( = \frac{14+14}{2} = 14 \) वर्ष
In simple words: To find the median from a frequency table, construct a cumulative frequency column. For an even total number of observations, the median is the average of the values at the n/2 and (n/2)+1 positions.

🎯 Exam Tip: Pay attention to the cumulative frequency column; the median value is determined by which class interval (or value) contains the median term's position.

 

Question 4. निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए :
(i)1,3,5,5,5, 4, 6
(ii) 2, 4, 6,3,4,3,4,4,7,21
(iii) 5,7,9,8, 7, 9, 7,1, 3, 5, 2
Answer:
(i) उक्त आँकड़ों में 5 की बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 5
(ii) उक्त आँकड़ों में 4 की बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 4
(iii) उक्त आँकड़ों में 7 की बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 7
In simple words: The mode is the value that appears most frequently in a given dataset.

🎯 Exam Tip: For large datasets, organizing the numbers (e.g., in a frequency table) can help quickly identify the mode by showing which value has the highest count.

 

Question 5. विश्व हाथ धुलाई दिवस पर आयोजित प्रतियोगिता में विद्यालय के बच्चों द्वारा साबुन से हाथ । थोने में लगा समय (सेकंड में) निम्नलिखित है, आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए:
20, 25, 20, 17, 15, 13, 17, 19, 20, 21, 25, 20, 15, 23
Answer: उपरोक्त आँकड़ों में 20 की बारम्बारता सबसे अधिक है। अतः बहुलक = 20
In simple words: To find the mode, count how many times each number appears in the list; the one that appears most often is the mode.

🎯 Exam Tip: If multiple values have the same highest frequency, then all of them are considered modes (multimodal data).

 

Question 6. नीचे दिए गए आयत चित्रों में 60 शिक्षार्थियों का प्राप्तांक दर्शाया गया है : ऊपर के आयत चित्रों को देखकर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :
i. वर्ग-विस्तार कितना है?
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र है जो शिक्षार्थियों के प्राप्तांक और उनकी बारम्बारता (संख्या) को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर प्राप्तांक 0 से 100 तक 10 के अंतराल पर प्रदर्शित किए गए हैं, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर बारम्बारता (शिक्षार्थियों की संख्या) 0 से 14 तक 2 के अंतराल पर दिखाई गई है। पैमाने के अनुसार, X-अक्ष पर 1 सेमी 10 सेमी के बराबर है और Y-अक्ष पर 1 सेमी 2 शिक्षार्थियों के बराबर है।
Answer:
ii. कितने शिक्षार्थियों ने 40 से कम अंक प्राप्त किए?
iii. 50-60 के मध्य प्राप्तांक कितने शिक्षार्थियों के हैं?
iv. 50 से अधिक अंक प्राप्त करने वाले कितने शिक्षार्थी हैं?
v. 10 से अधिक तथा 30 से कम प्राप्तांक वाले कितने, शिक्षार्थी हैं?
उत्तर
(i) 10
(ii) 18
(iii) 12
(iv) 27
(v) 18
In simple words: To understand a histogram, look at the width of the bars for the class interval and their height for the frequency, then use this to answer specific questions about the data.

🎯 Exam Tip: When reading cumulative information from a histogram (e.g., "less than 40"), remember to sum the frequencies of all relevant preceding bars.

 

Question 7. किसी कक्षा के 30 शिक्षार्थियों ने गणित में निम्नलिखित अंक प्राप्त किए :
25, 27, 28, 30, 35, 25, 20, 42,45,48,41,42,25, 23, 35, 36, 37, 38, 30, 21,25, 23, 28, 25, 25,
24, 23, 48, 29, 30
5 के वर्ग-अन्तराल से आँकड़ों की बारम्बारता सारणी बनाइए। पहला वर्ग–अन्तराल 20 से प्रारंभ कीजिए ।
Answer:

In simple words: To create a frequency distribution table, group raw data into intervals, then count the occurrences within each interval using tally marks to get the frequency.

🎯 Exam Tip: Ensure that your class intervals are mutually exclusive (no overlaps) and exhaustive (cover all data points). Also, be consistent with the inclusion/exclusion of boundary values (e.g., upper limit excluded, lower limit included).

 

Question 8. किसी कारखाने में काम करने वाले कर्मचारियों के प्रतिदिन के वेतन के आयत चित्र दिए गए। हैं। आयत चित्रों के आधार पर निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
ℹ️ चित्र व्याख्या (Diagram Explanation): यह एक आयत चित्र है जो कारखाने के कर्मचारियों के प्रतिदिन के वेतन (रुपये में) और उनकी संख्या को दर्शाता है। क्षैतिज अक्ष (X-अक्ष) पर वेतन 70 रुपये से 140 रुपये तक 10 रुपये के अंतराल पर प्रदर्शित किया गया है, जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष (Y-अक्ष) पर कर्मचारियों की संख्या 4 से 24 तक 4 के अंतराल पर दिखाई गई है। पैमाने के अनुसार, X-अक्ष पर 1 सेमी 10 रुपये के बराबर है और Y-अक्ष पर 1 सेमी 4 कर्मचारी के बराबर है।
Answer:
(i) 70-80 के मध्य वेतन पाने वाले कर्मचारियों की संख्या कितनी है?
(ii) Rs.90 या उससे अधिक तथा Rs.120 से कम वेतन प्राप्त करने वाले कितने कर्मचारी हैं?
(iii) कितने कर्मचारी प्रतिदिन 100 या 100 से कम वेतन प्राप्त करते हैं?
(iv) कितने कर्मचारी प्रतिदिन Rs.80 या उससे अधिक वेतन प्राप्त करते हैं?
(v) प्रतिदिन सबसे अधिक वेतन पाने वाले कितने कर्मचारी हैं?
उत्तर
(i) 8
(ii) 48
(iii) 44
(iv) 80
(v) 4
In simple words: A histogram visually groups data into ranges, and by looking at the height of each bar, you can find the frequency of data points within that range.

🎯 Exam Tip: Read the class intervals and frequencies carefully from the histogram. For questions asking for data "more than" or "less than" a certain value, sum up the frequencies of all relevant bars.

 

Question 9. 50 परिवारों का सर्वेक्षण करने पर प्रत्येक परिवार के पास रहने के कमरों के निम्नांकित आँकड़े प्राप्त हुए । बहुलक ज्ञात कीजिए ।

Answer: 50 परिवारों में 24 परिवारों के पास 2 कमरे हैं। अतः दिए गए आँकड़ों के अनुसार बहुलक = 2 कमरे
In simple words: The mode for grouped data is the value that has the highest frequency.

🎯 Exam Tip: To find the mode from a frequency table, simply identify the data category with the largest frequency count.

 

Question 10. निम्नांकित सारणी से माध्यिका ज्ञात कीजिए :

Answer:

पदों की संख्या \( (n) = 15 \) (विषम)
माध्यिका \( = \frac{n+1}{2} \) वाँ पद \( = \frac{15+1}{2} \) वाँ पद
\( = 8 \) वाँ पद
8 वें पद की संचयी बारम्बारता 9 है। अतः माध्यिका 35 होगी।
In simple words: For a frequency table with an odd total number of observations, calculate the cumulative frequency, then the median is the value corresponding to the (n+1)/2th term.

🎯 Exam Tip: When calculating the median from a frequency table, ensure the cumulative frequencies are correctly computed, as they are crucial for locating the median position.

 

Question 11. निम्नांकित बारम्बारता बंटन का बहुलक ज्ञात कीजिए :

Answer: उपर्युक्त बारम्बारता बंटन में 23 की बारम्बारता सबसे अधिक 5 है। अतः बहुलक = 23
In simple words: In a frequency distribution, the mode is the data value or class that has the highest frequency.

🎯 Exam Tip: The mode is simply the observation with the largest frequency. It doesn't require any calculation, just careful observation of the frequency column.

 

Question 12. प्रथम पाँच अभाज्य संख्याओं की माध्यिका है –
(क) 6.2
(ख) 5.6
(ग) 5.0
(घ) 3.0
Answer: प्रथम पाँच अभाज्य संख्याए 1, 3, 5, 7 तथा 9 हैं। (यहाँ \( n = 5 \))
माध्यिका \( = \frac{n+1}{2} \) वाँ पद \( = \frac{5+1}{2} \) वाँ पद
\( = 3 \) वाँ पद \( = 5 \) (ग)
In simple words: To find the median of the first five numbers given, arrange them in order and pick the middle number, which is the 3rd term.

🎯 Exam Tip: Accurately identifying prime numbers is critical for such questions. Ensure you remember the definition of prime numbers (numbers greater than 1 with only two divisors: 1 and itself).