UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 8 Vyanjako Ka Gunaphal Evam Sarvsamikayen

Up Board Solution Class 7 Math Chapter 8 अभ्यास 8 (а)

Up Board Class 7 Math Chapter 8 प्रश्न 1.
निम्नांकित के मान बताइए ।
(i) \( 4x \times (-7x) \)
(ii) \( (-6x) \times 5x^2 \)
(iii) \( 3x^2y \times 7xy^2 \)
Answer:
(i) \( 4x \times (-7x) = -28x^2 \)
(ii) \( (-6x) \times 5x^2 = -30x^3 \)
(iii) \( 3x^2y \times 7xy^2 = 21x^3y^3 \) यहां, हमने गुणा किया और घातों को जोड़ दिया.
In simple words: हमने संख्याओं को एक साथ गुणा किया और फिर अक्षरों की शक्तियों को जोड़ दिया. यह गुणनफल का सामान्य तरीका है.

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, समान चर की घातों को जोड़ना याद रखें (जैसे \( x^a \times x^b = x^{a+b} \)).

 

गुणनखंड ज्ञात कीजिए Class 7 प्रश्न 2.
गुणनफल ज्ञात कीजिए।
(i) \( 4x^2 \times 3x^5 \)
(ii) \( 3y^2 \times 5y^3 \times y \)
(iii) \( 5xy \times (-3x) \)
(iv) \( (-4a^2y) \times (-bx^2) \)
(v) \( (-3x^2y) \times (-5xy^2) \)
(vi) \( \left(-\frac{3}{8}x^3yz\right) \times (-16yz^2) \)
(vii) \( (2p) \times (-3q) \times (-4pq) \)
Answer:
(i) \( 4x^2 \times 3x^5 = 4 \times 3 \times x^2 \times x^5 = 12 \times x^{2+5} = 12x^7 \)
(ii) \( 3y^2 \times 5y^3 \times y = 3 \times 5 \times y^2 \times y^3 \times y = 15 \times y^{2+3+1} = 15y^6 \)
(iii) \( 5xy \times (-3x) = 5 \times (-3) \times x \times x \times y = -15 \times x^{1+1}y = -15x^2y \)
(iv) \( (-4a^2y) \times (-bx^2) = (-4) \times (-1) \times a^2 \times b \times x^2 \times y = 4a^2bx^2y \)
(v) \( (-3x^2y) \times (-5xy^2) = (-3) \times (-5) \times x^2 \times x \times y \times y^2 = 15 \times x^{2+1} \times y^{1+2} = 15x^3y^3 \)
(vi) \( \left(-\frac{3}{8}x^3yz\right) \times (-16yz^2) = \left(-\frac{3}{8}\right) \times (-16) \times x^3 \times y \times y \times z \times z^2 = 6 \times x^3 \times y^{1+1} \times z^{1+2} = 6x^3y^2z^3 \)
(vii) \( (2p) \times (-3q) \times (-4pq) = 2 \times (-3) \times (-4) \times p \times q \times p \times q = 24 \times p^{1+1} \times q^{1+1} = 24p^2q^2 \)
In simple words: हमने प्रत्येक भाग में संख्याओं को गुणा किया और फिर उन अक्षरों की शक्तियों को जोड़ दिया जो समान थे. जब तीन संख्याएँ गुणा की जाती हैं, तो उनके चिन्हों पर ध्यान देना ज़रूरी है.

🎯 Exam Tip: नकारात्मक संख्याओं को गुणा करते समय, याद रखें कि दो नकारात्मक संख्याएँ एक सकारात्मक संख्या बनाती हैं, और एक नकारात्मक संख्या एक नकारात्मक संख्या छोड़ती है. जैसे \( (-)\times(-) = (+) \) और \( (-)\times(+)=(-) \).

 

यूपी बोर्ड कक्षा 7 गणित प्रश्न 3.
निम्नांकित के गुणनफल ज्ञात कर मान ज्ञात कीजिए।
(i) \( x^2 \times 7x^5 \times \frac{1}{7}x^3 \times (-6x) \), यदि \( x = 1 \)
(ii) \( 2x \times (-10xy^2) \times 3x^2y \), यदि \( x = 1, y = 2 \)
Answer:
(i) \( x^2 \times 7x^5 \times \frac{1}{7}x^3 \times (-6x) \)
\( = 7 \times \frac{1}{7} \times (-6) \times x^2 \times x^5 \times x^3 \times x \)
\( = -6x^{2+5+3+1} = -6x^{11} \)
अब, यदि \( x = 1 \), तो मान होगा:
\( -6x^{11} = -6 \times (1)^{11} = -6 \)
(ii) \( 2x \times (-10xy^2) \times 3x^2y \)
\( = 2 \times (-10) \times 3 \times x \times x \times x^2 \times y^2 \times y \)
\( = -60x^{1+1+2} \times y^{2+1} = -60x^4y^3 \)
अब, यदि \( x = 1 \) तथा \( y = 2 \), तो मान होगा:
\( -60x^4y^3 = -60 \times (1)^4 \times (2)^3 \)
\( = -60 \times 1 \times 8 = -480 \)
In simple words: हमने सभी संख्याओं और अक्षरों को गुणा किया, समान अक्षरों की घातों को जोड़ा. फिर, दिए गए \( x \) और \( y \) के मानों को अंतिम समीकरण में रखा और उत्तर ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: गणना के दौरान सभी नकारात्मक चिह्नों पर ध्यान दें. सुनिश्चित करें कि \( x \) और \( y \) के मानों को प्रतिस्थापित करते समय आपने घातों की सही गणना की है.

 

Up Board Solution Class 7 प्रश्न 4.
एक खेत में \( 2x \) क्यारियाँ हैं। प्रत्येक क्यारी में \( xy \) पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में \( y \) टमाटर के पौधे लगे हैं। ज्ञात कीजिए।
(i) खेत में कुल कितने पौधे लगे हैं?
(ii) यदि \( x = 3, y = 2 \), तो पौधों की संख्या कितनी है?
Answer:
(i) खेत में पौधों की कुल संख्या = क्यारियाँ \( \times \) पंक्तियाँ \( \times \) पौधों की संख्या
\( = 2x \times xy \times y \)
\( = 2 \times x^{1+1} \times y^{1+2} \)
\( = 2x^2y^3 \) पौधे
(ii) यदि \( x = 3, y = 2 \), तो पौधों की संख्या होगी:
पौधों की संख्या \( = 2x^2y^3 \)
\( = 2 \times (3)^2 \times (2)^3 \)
\( = 2 \times 9 \times 8 \)
\( = 144 \) पौधे
In simple words: पहले हमने सभी पौधों को दर्शाने के लिए एक समीकरण बनाया. फिर, \( x \) और \( y \) के दिए गए मानों को उस समीकरण में रखा ताकि कुल पौधों की संख्या ज्ञात हो सके.

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं को हल करते समय, पहले कुल इकाइयों के लिए एक सामान्य बीजगणितीय अभिव्यक्ति लिखें और फिर मानों को प्रतिस्थापित करें.

 

Class 7 Maths Up Board अभ्यास 8 (b)

 

Up Board Solution Class 7 Math प्रश्न 1.
गुणी कीजिए:
(i) \( -a - b \) और \( -x \) का।
(ii) \( 2y \) और \( (y^2 + 5y) \) का
(iii) \( 5a - 7b + c \) और \( 3y \) का
(iv) \( 3x \) और \( (x^2 - 5x + 4) \) का
Answer:
(i) \( (-a-b) \times (-x) \)
\( = -(a+b) \times (-x) \)
\( = (a+b) \times x \)
\( = ax + bx \)
(ii) \( 2y \times (y^2 + 5y) \)
\( = 2y \times y^2 + 2y \times 5y \)
\( = 2y^3 + 10y^2 \)
(iii) \( (5a - 7b + c) \times 3y \)
\( = 5a \times 3y - 7b \times 3y + c \times 3y \)
\( = 15ay - 21by + 3cy \)
(iv) \( 3x \times (x^2 - 5x + 4) \)
\( = 3x \times x^2 - 3x \times 5x + 3x \times 4 \)
\( = 3x^3 - 15x^2 + 12x \)
In simple words: हमने वितरण नियम का उपयोग करके प्रत्येक व्यंजक का गुणा किया. इसका मतलब है कि हमने बाहरी पद को कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद से गुणा किया.

🎯 Exam Tip: जब आप वितरण नियम का उपयोग करते हैं तो चिह्नों और घातों को सही ढंग से गुणा करना सुनिश्चित करें. एक छोटी सी गलती पूरे उत्तर को बदल सकती है.

 

Up Board Class 7 Math प्रश्न 2.
सरल कीजिए:
(i) \( 2x^2y (x - y + z) \)
(ii) \( 3xy^2 (2x-3xy + 7y) \)
(iii) \( (y^2-8y) (-y) \)
(iv) \( 2ab (5a - 7b + c) \)
Answer:
(i) \( 2x^2y \times (x - y + z) \)
\( = 2x^2y \times x - 2x^2y \times y + 2x^2y \times z \)
\( = 2x^3y - 2x^2y^2 + 2x^2yz \)
(ii) \( 3xy^2 \times (2x-3xy + 7y) \)
\( = 3xy^2 \times 2x - 3xy^2 \times 3xy + 3xy^2 \times 7y \)
\( = 6x^2y^2 - 9x^2y^3 + 21xy^3 \)
(iii) \( (y^2-8y) \times (-y) \)
\( = y^2 \times (-y) - 8y \times (-y) \)
\( = -y^3 + 8y^2 \)
(iv) \( 2ab \times (5a - 7b + c) \)
\( = 2ab \times 5a + 2ab \times (-7b) + 2ab \times c \)
\( = 10a^2b - 14ab^2 + 2abc \)
In simple words: हमने प्रत्येक गुणा को वितरण नियम का उपयोग करके सरल किया, जहाँ बाहरी पद को कोष्ठक के अंदर के सभी पदों से गुणा किया जाता है.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपने सभी पदों को ठीक से गुणा किया है, प्रत्येक पद को सावधानीपूर्वक गुणा करें और चिह्नों पर विशेष ध्यान दें.

 

Class 7 Math Up Board प्रश्न 3.
सरल कीजिए :
(i) \( 2x (3x + 5y) – 5y (2x – 3y) \)
(ii) \( x (y – z) + 2y (z-x) + z (x -y) \)
(iii) \( y^2 (y^2 +1) – y^3 (y +1) + y (y^2 – y) \)
(iv) \( x (1+x^2) – x^2 (x – 1) – (x +x^2) \)
Answer:
(i) \( 2x (3x + 5y) – 5y \times (2x – 3y) \)
\( = (6x^2 + 10xy) – (10xy - 15y^2) \)
\( = 6x^2 + 10xy – 10xy + 15y^2 \)
\( = 6x^2 + 15y^2 \)
(ii) \( x \times (y – z) + 2y \times (z – x) + z \times (x – y) \)
\( = xy – xz + 2yz – 2xy + xz – yz \)
\( = (xy - 2xy) + (-xz + xz) + (2yz - yz) \)
\( = -xy + yz \)
(iii) \( y^2 \times (y^2 +1) – y^3 \times (y +1) + y \times (y^2 - y) \)
\( = y^4 + y^2 – (y^4 + y^3) + (y^3 – y^2) \)
\( = y^4 + y^2 - y^4 – y^3 + y^3 – y^2 \)
\( = (y^4 - y^4) + (y^2 - y^2) + (-y^3 + y^3) \)
\( = 0 \)
(iv) \( x (1+x^2) – x^2 \times (x – 1) – (x +x^2) \)
\( = x + x^3 – (x^3 - x^2) – x - x^2 \)
\( = x + x^3 – x^3 + x^2 – x - x^2 \)
\( = (x - x) + (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2) \)
\( = 0 \)
In simple words: हमने वितरण नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद को गुणा किया, फिर समान पदों को एक साथ जोड़ा या घटाया ताकि उन्हें सरल बनाया जा सके. यदि पद बिल्कुल समान हैं लेकिन उनके चिन्ह विपरीत हैं, तो वे एक दूसरे को शून्य कर देते हैं.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी पद सही ढंग से गुणा किए गए हैं और चिह्नों को सही ढंग से संभाला गया है, अपने काम को दो बार जांचना महत्वपूर्ण है. समान पदों को सावधानी से इकट्ठा करें.

 

Up Board Class 7 Maths प्रश्न 4.
एक विद्यालय में \( 2x \) कक्षाएँ हैं। प्रत्येक कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या \( (x^2 + 2x + 2) \) है। ज्ञात कीजिए :
(i) विद्यालय में विद्यार्थियों की कुल संख्या कितनी है?
(ii) यदि \( x = 3 \), तो विद्यालय में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
Answer:
(i) विद्यालय में कक्षाओं की संख्या \( = 2x \)
प्रत्येक कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या \( = (x^2 + 2x + 2) \)
अतः विद्यालय में कुल विद्यार्थियों की संख्या \( = 2x \times (x^2 + 2x + 2) \)
\( = 2x^3 + 4x^2 + 4x \) विद्यार्थी
(ii) यदि \( x = 3 \), तो विद्यालय में कुल विद्यार्थी होंगे:
विद्यार्थियों की संख्या \( = 2x^3 + 4x^2 + 4x \)
\( = 2(3)^3 + 4(3)^2 + 4 \times 3 \)
\( = 2 \times 27 + 4 \times 9 + 12 \)
\( = 54 + 36 + 12 \)
\( = 102 \) विद्यार्थी
In simple words: हमने कक्षाओं की संख्या को प्रत्येक कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या से गुणा किया ताकि कुल विद्यार्थी मिल सकें. फिर, \( x \) का मान डालकर, हमने वास्तविक संख्या का पता लगाया.

🎯 Exam Tip: जब कोई समस्या कई चरण पूछती है, तो पहले सामान्य बीजगणितीय अभिव्यक्ति ज्ञात करना और फिर मानों को प्रतिस्थापित करना सबसे अच्छा तरीका है. यह गलती की संभावना को कम करता है.

 

Class 7 Up Board Math प्रश्न 5.
एक रेलगाड़ी की चाल \( (2x^2 + x + 4) \) किमी प्रति घण्टा है । ज्ञात कीजिए:
(i) वह \( 3x \) घण्टे में कितनी दूरी तय करेगी?
(ii) यदि \( x = 5 \), तो उपर्युक्त समय में रेलगाड़ी की चली गई दूरी ज्ञात कीजिए ।
Answer:
(i) रेलगाड़ी की चाल \( = (2x^2 + x + 4) \) किमी/घण्टा
लिया गया समय \( = 3x \) घण्टे
अतः \( 3x \) घण्टे में चली गई दूरी \( = (2x^2 + x + 4) \times 3x \)
\( = 6x^3 + 3x^2 + 12x \) किमी
(ii) यदि \( x = 5 \), तो रेलगाड़ी द्वारा चली गई दूरी होगी:
चली गई दूरी \( = 6x^3 + 3x^2 + 12x \)
\( = 6(5)^3 + 3(5)^2 + 12 \times 5 \)
\( = 6 \times 125 + 3 \times 25 + 60 \)
\( = 750 + 75 + 60 \)
\( = 885 \) किमी
In simple words: हमने दूरी निकालने के लिए चाल को समय से गुणा किया. फिर, \( x \) की जगह \( 5 \) रखा और सभी संख्याओं को जोड़कर कुल दूरी ज्ञात की.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी पद सही ढंग से गुणा किए गए हैं और चिह्नों को सही ढंग से संभाला गया है, अपने काम को दो बार जांचना महत्वपूर्ण है. समान पदों को सावधानी से इकट्ठा करें.

 

Math Class 7 Up Board प्रश्न 6.
एक न्याय पंचायत में \( 2x + 3 \) ग्राम सभाएँ हैं। प्रत्येक ग्राम सभा में \( x^2+5x+6 \) नलकूप हैं। तो न्याय पंचायत में कुल कितने नलकूप हैं?
Answer:
एक ग्राम सभा में नलकूपों की संख्या \( = x^2 + 5x + 6 \)
कुल ग्राम सभाएँ \( = (2x+3) \)
तो कुल नलकूपों की संख्या \( = (x^2 + 5x + 6) \times (2x+3) \)
\( = 2x(x^2 + 5x + 6) + 3(x^2 + 5x + 6) \)
\( = (2x^3 + 10x^2 + 12x) + (3x^2 + 15x + 18) \)
\( = 2x^3 + (10x^2 + 3x^2) + (12x + 15x) + 18 \)
\( = 2x^3 + 13x^2 + 27x + 18 \)
In simple words: हमने प्रत्येक ग्राम सभा में नलकूपों की संख्या को कुल ग्राम सभाओं की संख्या से गुणा किया. इसके लिए हमने वितरण नियम का उपयोग किया और फिर समान पदों को एक साथ जोड़ा.

🎯 Exam Tip: जब दो बहुपदों को गुणा करते हैं, तो सुनिश्चित करें कि पहले बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा किया गया है. फिर सभी समान पदों को जोड़ें.

 

Up Board Class 7 Math Solution प्रश्न 7.
एक विकास खण्ड में \( 5x+3 \) विद्यालय में स्वच्छता के कारण प्रत्येक विद्यालय में \( 5x-3 \) बालिकाएँ बढ़ जाती हैं। तो विकास खण्ड में कितनी बालिकाएँ बढ़ जाती हैं?
Answer:
प्रत्येक विद्यालय में स्वच्छता के कारण बढ़ी हुई बालिकाएँ \( = (5x – 3) \)
विकास खण्ड में विद्यालयों की संख्या \( = (5x+3) \)
तो कुल बढ़ी हुई बालिकाएँ \( = (5x+3) \times (5x – 3) \)
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (5x)^2 – (3)^2 \)
\( = 25x^2 – 9 \)
In simple words: हमने विद्यालय की संख्या को प्रत्येक विद्यालय में बढ़ी हुई बालिकाओं की संख्या से गुणा किया. इसके लिए हमने एक विशेष गणितीय नियम का उपयोग किया जो दो समान संख्याओं को गुणा करने में मदद करता है, एक बार जोड़ा गया और एक बार घटाया गया.

🎯 Exam Tip: सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग गुणन को सरल बनाने में बहुत सहायक होता है, खासकर जब पद समान हों लेकिन चिह्नों में भिन्न हों.

 

Class 7 Math Up Board Solution प्रश्न 8.
बाल दिवस के अवसर पर \( x+5 \) विद्यालयों के बच्चों द्वारा वृक्षारोपण किया गया। प्रत्येक विद्यालय के बच्चों ने \( x^2-5x+25 \) वृक्ष लगाए, तो बच्चों द्वारा कितने वृक्ष लगाए गए?
Answer:
प्रत्येक विद्यालय के बच्चों ने लगाए गए वृक्ष \( = x^2 + 5x + 25 \)
विद्यालयों की संख्या \( = (x+5) \)
तो कुल वृक्ष लगाए गए \( = (x^2 – 5x + 25) \times (x + 5) \)
\( = x(x^2 - 5x + 25) + 5(x^2 - 5x + 25) \)
\( = x^3 - 5x^2 + 25x + 5x^2 – 25x + 125 \)
\( = x^3 + 125 \)
In simple words: हमने लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या ज्ञात करने के लिए विद्यालयों की संख्या को प्रत्येक विद्यालय में लगाए गए पेड़ों की संख्या से गुणा किया. हमने वितरण नियम का उपयोग करके पदों को गुणा किया और फिर समान पदों को सरल बनाया.

🎯 Exam Tip: यह एक विशेष गुणन पैटर्न है: \( (a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3 \). इस पैटर्न को पहचानना गणना को बहुत तेज़ बना सकता है और गलती की संभावना को कम कर सकता है.

 

Class 7 Up Board Maths अभ्यास (c)

 

गुणनफल ज्ञात कीजिए।

 

Up Board Math Solution Class 7 प्रश्न 1.
\( (x + 2) (x + 5) \)
Answer:
\( (x + 2) (x + 5) \)
\( = x \times (x + 5) + 2 \times (x + 5) \)
\( = x^2 + 5x + 2x + 10 \)
\( = x^2 + 7x + 10 \)
In simple words: हमने पहले पद को दूसरे पूरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर दूसरे पद को भी दूसरे पूरे कोष्ठक से गुणा किया. अंत में, हमने समान पदों को जोड़ दिया.

🎯 Exam Tip: दो द्विपदों को गुणा करते समय, आप FOIL विधि (First, Outer, Inner, Last) का उपयोग कर सकते हैं ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि आप सभी पदों को गुणा करते हैं.

 

प्रश्न 2.
\( (x – 4) (x + 7) \)
Answer:
\( (x - 4) (x + 7) \)
\( = x \times (x + 7) - 4 \times (x + 7) \)
\( = x^2 + 7x - 4x - 28 \)
\( = x^2 + 3x - 28 \)
In simple words: हमने प्रत्येक पद को वितरण नियम का उपयोग करके गुणा किया. पहले \( x \) को दूसरे कोष्ठक से, फिर \( -4 \) को दूसरे कोष्ठक से. अंत में, हमने समान पदों को जोड़ा या घटाया.

🎯 Exam Tip: जब नकारात्मक संख्याओं के साथ गुणा करते हैं, तो चिह्नों पर विशेष ध्यान दें. \( (-4) \times (+7) \) के कारण \( -28 \) होता है.

 

प्रश्न 3.
\( (x – 3) (x – 8) \)
Answer:
\( (x - 3) (x - 8) \)
\( = x \times (x - 8) - 3 \times (x - 8) \)
\( = x^2 - 8x - 3x + 24 \)
\( = x^2 - 11x + 24 \)
In simple words: हमने \( x \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर \( -3 \) को दूसरे कोष्ठक से. फिर, हमने बीच के पदों को एक साथ जोड़ा, क्योंकि \( -8x \) और \( -3x \) दोनों नकारात्मक हैं, तो वे \( -11x \) हो गए.

🎯 Exam Tip: जब दो नकारात्मक पद गुणा करते हैं, तो परिणाम हमेशा सकारात्मक होता है, जैसे \( (-3) \times (-8) = +24 \).

 

प्रश्न 4.
\( (x^2 + 5) (x^2 – 7) \)
Answer:
\( (x^2 + 5) (x^2 - 7) \)
\( = x^2 \times (x^2 - 7) + 5 \times (x^2 - 7) \)
\( = x^4 - 7x^2 + 5x^2 - 35 \)
\( = x^4 - 2x^2 - 35 \)
In simple words: हमने \( x^2 \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर \( 5 \) को दूसरे कोष्ठक से. अंत में, हमने समान पदों को जोड़ा: \( -7x^2 \) और \( +5x^2 \) मिलकर \( -2x^2 \) बनाते हैं.

🎯 Exam Tip: जब चर की घातों को गुणा करते हैं, तो घातों को जोड़ें (जैसे \( x^2 \times x^2 = x^{2+2} = x^4 \)). जब समान चर की घातों को जोड़ते या घटाते हैं, तो केवल गुणांकों को जोड़ें/घटाएं.

 

प्रश्न 5.
\( (3x + 8) (4x – 7) \)
Answer:
\( (3x + 8) (4x - 7) \)
\( = 3x \times (4x - 7) + 8 \times (4x - 7) \)
\( = 12x^2 - 21x + 32x - 56 \)
\( = 12x^2 + 11x - 56 \)
In simple words: हमने पहले \( 3x \) को दूसरे पूरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर \( 8 \) को भी दूसरे पूरे कोष्ठक से. अंत में, हमने बीच के समान पदों ( \( -21x \) और \( +32x \) ) को जोड़ा, जिससे \( +11x \) मिला.

🎯 Exam Tip: बहुपदों के गुणनफल में चिह्नों का ध्यान रखना महत्वपूर्ण है, खासकर जब पद धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हों.

 

प्रश्न 6.
\( (5x – 3y) (3x + 4y) \)
Answer:
\( (5x - 3y) (3x + 4y) \)
\( = 5x \times (3x + 4y) - 3y \times (3x + 4y) \)
\( = 15x^2 + 20xy - 9xy - 12y^2 \)
\( = 15x^2 + 11xy - 12y^2 \)
In simple words: हमने पहले \( 5x \) को दूसरे कोष्ठक के दोनों पदों से गुणा किया, फिर \( -3y \) को भी दूसरे कोष्ठक के दोनों पदों से गुणा किया. अंत में, हमने समान पदों ( \( 20xy \) और \( -9xy \) ) को जोड़कर सरल किया.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \( -3y \) जैसे नकारात्मक पद को गुणा करते समय नकारात्मक चिन्ह को ले जाना याद रखें. \( -3y \times 4y = -12y^2 \).

 

प्रश्न 7.
\( (x^2 + 2xy + y^2) (x - y) \)
Answer:
\( (x^2 + 2xy + y^2) (x - y) \)
\( = x^2(x - y) + 2xy(x - y) + y^2(x - y) \)
\( = (x^3 - x^2y) + (2x^2y - 2xy^2) + (xy^2 - y^3) \)
\( = x^3 - x^2y + 2x^2y - 2xy^2 + xy^2 - y^3 \)
\( = x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 \)
In simple words: हमने पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया. फिर, हमने समान पदों को एक साथ जोड़ा.

🎯 Exam Tip: यह \( (a^2+ab+b^2)(a-b) = a^3-b^3 \) के समान एक विशिष्ट गुणन पैटर्न है, लेकिन यहाँ \( 2xy \) है. सभी पदों को गुणा करना और फिर समान पदों को जोड़ना सबसे सुरक्षित तरीका है.

 

प्रश्न 8.
\( (2x^2 + 3x – 7) (5x + 4) \)
Answer:
\( (2x^2 + 3x – 7) (5x + 4) \)
\( = 2x^2 \times (5x + 4) + 3x \times (5x + 4) - 7 \times (5x + 4) \)
\( = (10x^3 + 8x^2) + (15x^2 + 12x) - (35x + 28) \)
\( = 10x^3 + 8x^2 + 15x^2 + 12x - 35x - 28 \)
\( = 10x^3 + 23x^2 - 23x - 28 \)
In simple words: हमने पहले कोष्ठक के प्रत्येक पद को दूसरे कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा किया. फिर, हमने समान पदों ( \( 8x^2 \) और \( 15x^2 \); \( 12x \) और \( -35x \) ) को एक साथ जोड़ा.

🎯 Exam Tip: त्रिपद को द्विपद से गुणा करते समय, सुनिश्चित करें कि त्रिपद के प्रत्येक पद को द्विपद के प्रत्येक पद से गुणा किया गया है. चिह्नों पर विशेष ध्यान दें.

 

प्रश्न 9.
\( (x^2 – xy + y^2) (x + y) \) से गुना कीजिए उतर की जाँच कीजिए, यदि \( x = 3, y= 2 \)
Answer:
पहले गुणनफल ज्ञात करें:
\( (x^2 - xy + y^2) (x + y) \)
\( = x^2 \times (x + y) - xy \times (x + y) + y^2 \times (x + y) \)
\( = (x^3 + x^2y) - (x^2y + xy^2) + (xy^2 + y^3) \)
\( = x^3 + x^2y - x^2y - xy^2 + xy^2 + y^3 \)
\( = x^3 + y^3 \)
उत्तर की जाँच : यदि \( x = 3, y = 2 \) तो
L.H.S. (बायाँ पक्ष) \( (x^2 – xy + y^2) (x + y) \)
\( = [(3)^2 - 3 \times 2 + (2)^2] \times (3 + 2) \)
\( = (9 - 6 + 4) \times 5 \)
\( = 7 \times 5 = 35 \)
R.H.S. (दायाँ पक्ष) \( x^3 + y^3 \)
\( = (3)^3 + (2)^3 \)
\( = 27 + 8 = 35 \)
\( \implies \) L.H.S. \( = \) R.H.S. (बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष)
In simple words: हमने दो कोष्ठकों को गुणा किया और इसे \( x^3 + y^3 \) तक सरल बनाया. फिर, \( x=3 \) और \( y=2 \) के मानों का उपयोग करके, हमने यह जांचने के लिए दोनों पक्षों की गणना की कि उत्तर सही है या नहीं.

🎯 Exam Tip: यह \( (a^2 - ab + b^2)(a + b) = a^3 + b^3 \) के लिए एक विशिष्ट पहचान है. इसे जानना गुणनफल को बहुत तेज़ी से हल करने में मदद कर सकता है.

 

प्रश्न 10.
\( (x^2 + xy + y^2) (x^2 – xy + y^2) \) से गुना कीजिए उतर की जाँच कीजिए, यदि \( x = 2, y= 1 \)
Answer:
पहले गुणनफल ज्ञात करें:
\( (x^2 + xy + y^2) (x^2 – xy + y^2) \)
\( = x^2 \times (x^2 - xy + y^2) + xy \times (x^2 - xy + y^2) + y^2 \times (x^2 - xy + y^2) \)
\( = (x^4 - x^3y + x^2y^2) + (x^3y - x^2y^2 + xy^3) + (x^2y^2 - xy^3 + y^4) \)
\( = x^4 - x^3y + x^2y^2 + x^3y - x^2y^2 + xy^3 + x^2y^2 - xy^3 + y^4 \)
\( = x^4 + x^2y^2 + y^4 \)
उत्तर की जाँचः यदि \( x = 2, y = 1 \) तो
L.H.S. (बायाँ पक्ष) \( (x^2 + xy + y^2) (x^2 - xy + y^2) \)
\( = [(2)^2 + 2 \times 1 + (1)^2] \times [(2)^2 - 2 \times 1 + (1)^2] \)
\( = (4 + 2 + 1) \times (4 - 2 + 1) \)
\( = 7 \times 3 = 21 \)
R.H.S. (दायाँ पक्ष) \( x^4 + x^2y^2 + y^4 \)
\( = (2)^4 + (2)^2 \times (1)^2 + (1)^4 \)
\( = 16 + 4 \times 1 + 1 \)
\( = 16 + 4 + 1 = 21 \)
\( \implies \) L.H.S. \( = \) R.H.S. (बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष)
In simple words: हमने वितरण नियम का उपयोग करके व्यंजकों को गुणा किया, फिर समान पदों को जोड़कर इसे सरल बनाया. इसके बाद, हमने \( x=2 \) और \( y=1 \) के मानों का उपयोग करके अपने उत्तर की जांच की.

🎯 Exam Tip: यह \( (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4 \) का एक विशिष्ट पहचान पैटर्न है. इस पैटर्न को याद रखने से समय बचता है और सटीक उत्तर सुनिश्चित होता है.

 

प्रश्न 11.
कविता ने पुस्तक विक्रेता से \( (3x + 7) \) कॉपियाँ खरीदीं। यदि प्रत्येक कॉपी का मूल्य \( (2x – 1) \) Rs हो, तो ।
(i) कुल कॉपियों का मूल्य कितना है?
(ii) यदि \( x = 5 \), तो कविता ने पुस्तक विक्रेता को कितने रुपये दिए?
Answer:
(i) कॉपियों की संख्या \( = (3x + 7) \)
प्रत्येक कॉपी का मूल्य \( = \text{Rs } (2x – 1) \)
अतः कॉपियों का कुल मूल्य \( = (3x + 7) (2x – 1) \)
\( = 3x(2x – 1) + 7(2x – 1) \)
\( = 6x^2 - 3x + 14x - 7 \)
\( = 6x^2 + 11x - 7 \)
(ii) यदि \( x = 5 \), तो कविता ने पुस्तक विक्रेता को कितने रुपये दिए होंगे?
कुल मूल्य \( = 6x^2 + 11x – 7 \)
\( = 6(5)^2 + 11(5) - 7 \)
\( = 6 \times 25 + 55 - 7 \)
\( = 150 + 55 - 7 \)
\( = 205 - 7 = \text{Rs } 198 \)
In simple words: कुल मूल्य जानने के लिए हमने कॉपियों की संख्या को प्रति कॉपी के मूल्य से गुणा किया. फिर, \( x=5 \) रखकर, हमने कुल राशि ज्ञात की जो कविता ने भुगतान की.

🎯 Exam Tip: समस्याओं को हल करते समय, पहले एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति ज्ञात करें और फिर दी गई शर्तों के लिए उसका मान ज्ञात करें. यह विधि चरण-दर-चरण समाधान सुनिश्चित करती है.

 

अभ्यास 8 (d)

 

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में समीकरण तथा सर्वसमिका छाँटकर अपनी अभ्यास पुस्तिका में लिखिए।
(i) \( x+1=4 \)
(ii) \( 2 (x + 1) = 2x + 2 \)
(iii) \( 3x = 2x + x \)
(iv) \( 2x - 1 = x \)
Answer:
(i) \( x+1=4 \)

अतः \( x+1=4 \) एक समीकरण है, क्योंकि यह \( x \) के केवल एक मान के लिए सत्य है.
(ii) \( 2 (x + 1) = 2x + 2 \)
अतः \( 2(x+1) = 2x+2 \) एक सर्वसमिका है, क्योंकि यह \( x \) के सभी मानों के लिए सत्य है.
(iii) \( 3x = 2x + x \)
अतः \( 3x = 2x+x \) एक सर्वसमिका है, क्योंकि यह \( x \) के सभी मानों के लिए सत्य है.
(iv) \( 2x - 1 = x \)
अतः \( 2x-1=x \) एक समीकरण है, क्योंकि यह \( x \) के केवल एक मान के लिए सत्य है.
In simple words: हमने समीकरण और सर्वसमिका की पहचान करने के लिए तालिकाएँ बनाईं. एक समीकरण केवल कुछ मानों के लिए सत्य होता है, जबकि एक सर्वसमिका सभी मानों के लिए सत्य होती है.

🎯 Exam Tip: समीकरण और सर्वसमिका के बीच का मुख्य अंतर यह है कि एक सर्वसमिका चरों के सभी संभावित मानों के लिए सत्य होती है, जबकि एक समीकरण केवल कुछ विशिष्ट मानों के लिए सत्य होता है.

 

प्रश्न 2.
दिखाइए किः
(i) \( 3x (x +1) = 3x^2 + 3x \) एक सर्वसमिका है।
(ii) \( x^2 - 1 = 8 \) एक सर्वसमिका नहीं है।
(iii) \( 2x (x + 3) = 2x^2 + 6x \) एक सर्वसमिका है।
(iv) \( 5x - 1 = 9 \) एक समीकरण है।
Answer:
(i) \( 3x (x + 1) = 3x^2 + 3x \)

अतः \( 3x(x+1) = 3x^2+3x \) एक सर्वसमिका है.
(ii) \( x^2 - 1 = 8 \)
अतः \( x^2 - 1 = 8 \) एक सर्वसमिका नहीं है, क्योंकि यह \( x \) के सभी मानों के लिए सत्य नहीं है.
(iii) \( 2x (x + 3) = 2x^2 + 6x \)
अतः \( 2x(x+3) = 2x^2+6x \) एक सर्वसमिका है.
(iv) \( 5x - 1 = 9 \)
अतः \( 5x-1=9 \) एक समीकरण है.
In simple words: हमने विभिन्न \( x \) मानों के लिए दोनों पक्षों की तुलना करके यह दिखाया कि कौन सा व्यंजक एक समीकरण है और कौन सा एक सर्वसमिका. एक सर्वसमिका हमेशा सही होती है, जबकि एक समीकरण केवल कुछ स्थितियों में सही होता है.

🎯 Exam Tip: यह दिखाने के लिए कि एक समीकरण एक सर्वसमिका है या नहीं, आप \( x \) के कुछ अलग मानों के लिए दोनों पक्षों की गणना कर सकते हैं. यदि वे हमेशा समान आते हैं, तो यह एक सर्वसमिका है; अन्यथा, यह एक समीकरण है.

 

अभ्यास 8 (e)

 

सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) की सहायता से मान ज्ञात कीजिएः

 

प्रश्न 1.
\( (x + 3)^2 \)
Answer:
\( (x + 3)^2 \)
यहां \( a = x \) और \( b = 3 \).
\( = x^2 + 2 \times x \times 3 + (3)^2 \)
\( = x^2 + 6x + 9 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 \) के नियम का उपयोग किया, जो कहता है कि यह \( a^2 + 2ab + b^2 \) के बराबर है. हमने बस \( x \) को \( a \) की जगह और \( 3 \) को \( b \) की जगह रखा.

🎯 Exam Tip: सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) बीजगणितीय विस्तार के लिए एक मौलिक सूत्र है. इसे याद रखने से आप गणनाएँ तेज़ी से कर सकते हैं.

 

प्रश्न 2.
\( (2x + 1)^2 \)
Answer:
\( (2x + 1)^2 \)
यहां \( a = 2x \) और \( b = 1 \).
\( = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 1 + (1)^2 \)
\( = 4x^2 + 4x + 1 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 \) के नियम का उपयोग किया, जहाँ \( a \) अब \( 2x \) है और \( b \) अब \( 1 \) है.

🎯 Exam Tip: \( (2x)^2 \) को \( 4x^2 \) के रूप में विस्तारित करना याद रखें, न कि केवल \( 2x^2 \). गुणांक (2) और चर (x) दोनों पर घात लागू होती है.

 

प्रश्न 3.
\( (3x + 2)^2 \)
Answer:
\( (3x + 2)^2 \)
यहां \( a = 3x \) और \( b = 2 \).
\( = (3x)^2 + 2 \times 3x \times 2 + (2)^2 \)
\( = 9x^2 + 12x + 4 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) है \( 3x \) और \( b \) है \( 2 \).

🎯 Exam Tip: \( (3x)^2 \) को \( 9x^2 \) के रूप में लिखने में सावधानी बरतें. अक्सर छात्र इसे \( 3x^2 \) लिख देते हैं, जो गलत है. घात पूरे पद पर लागू होती है.

 

प्रश्न 4.
\( (2x + y)^2 \)
Answer:
\( (2x + y)^2 \)
यहां \( a = 2x \) और \( b = y \).
\( = (2x)^2 + 2 \times 2x \times y + (y)^2 \)
\( = 4x^2 + 4xy + y^2 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 \) का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ \( a \) है \( 2x \) और \( b \) है \( y \).

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग चर (जैसे \( x \) और \( y \)) हों, तो \( 2ab \) पद में \( 2xy \) को शामिल करना सुनिश्चित करें. सभी चर सही ढंग से गुणा होने चाहिए.

 

प्रश्न 5.
\( (2y + z)^2 \)
Answer:
\( (2y + z)^2 \)
यहां \( a = 2y \) और \( b = z \).
\( = (2y)^2 + 2 \times 2y \times z + (z)^2 \)
\( = 4y^2 + 4yz + z^2 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 \) के नियम का उपयोग किया, जहाँ \( a \) अब \( 2y \) है और \( b \) अब \( z \) है.

🎯 Exam Tip: \( (2y)^2 \) को \( 4y^2 \) के रूप में लिखने में सावधानी बरतें. गुणांक और चर दोनों पर घात लागू होती है.

 

प्रश्न 6.
\( (2 + x)^2 \)
Answer:
\( (2 + x)^2 \)
यहां \( a = 2 \) और \( b = x \).
\( = (2)^2 + 2 \times 2 \times x + (x)^2 \)
\( = 4 + 4x + x^2 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) है \( 2 \) और \( b \) है \( x \).

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि \( (a+b)^2 \) और \( (b+a)^2 \) समान होते हैं, इसलिए पदों का क्रम बदलने से उत्तर नहीं बदलता है. आप इसे \( x^2+4x+4 \) के रूप में भी लिख सकते हैं.

 

प्रश्न 7.
एक बाग में \( (x + 2y) \) पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में \( (x + 2y) \) पेड़ लगे हैं। ज्ञात कीजिए
(i) बाग में कुल कितने पेड़ हैं?
(ii) यदि \( x = 3, y = 2 \), तो बाग में पेड़ों की कुल कितनी संख्या है?
Answer:
(i) बाग में पंक्तियों की संख्या \( = (x + 2y) \)
प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की संख्या \( = (x + 2y) \)
अतः पेड़ों की कुल संख्या \( = (x + 2y) \times (x + 2y) = (x + 2y)^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = x^2 + 2 \times x \times 2y + (2y)^2 \)
\( = x^2 + 4xy + 4y^2 \)
(ii) यदि \( x = 3, y = 2 \) है, तो पेड़ों की कुल संख्या होगी:
पेड़ों की कुल संख्या \( = (x + 2y)^2 \)
\( = (3 + 2 \times 2)^2 \)
\( = (3 + 4)^2 \)
\( = (7)^2 = 49 \)
In simple words: कुल पेड़ों को खोजने के लिए, हमने पंक्तियों की संख्या को प्रत्येक पंक्ति में पेड़ों की संख्या से गुणा किया. फिर, \( x \) और \( y \) के दिए गए मानों को सूत्र में डालकर, हमने पेड़ों की वास्तविक संख्या ज्ञात की.

🎯 Exam Tip: जब \( (a+b)^2 \) का विस्तार करते हैं, तो यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि \( b^2 \) पद में पूरे पद का वर्ग किया जाए, जैसे \( (2y)^2 = 4y^2 \).

 

प्रश्न 8.
एक वर्गाकार खेत की भुजा \( (3x +y) \) मी लम्बी है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer:
वर्गाकार खेत की भुजा \( = (3x + y) \) मी
खेत का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 \)
\( = (3x + y)^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (3x)^2 + 2 \times 3x \times y + (y)^2 \)
\( = 9x^2 + 6xy + y^2 \text{ मी}^2 \)
In simple words: एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा का वर्ग होता है. इसलिए, हमने भुजा की लंबाई का वर्ग करने के लिए \( (a+b)^2 \) के गणितीय नियम का उपयोग किया.

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफलों की गणना करते समय इकाइयों (जैसे \( \text{मी}^2 \)) को लिखना न भूलें. यह दर्शाता है कि आप एक क्षेत्रफल की गणना कर रहे हैं.

 

अभ्यास 8 (f)

 

सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) की सहायता से मान ज्ञात कीजिए:

 

प्रश्न 1.
\( (x-5)^2 \)
Answer:
\( (x-5)^2 \)
यहां \( a = x \) और \( b = 5 \).
\( = (x)^2 - 2 \times x \times 5 + (5)^2 \)
\( = x^2 - 10x + 25 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) के नियम का उपयोग किया, जहाँ \( a \) की जगह \( x \) और \( b \) की जगह \( 5 \) रखा.

🎯 Exam Tip: \( (a-b)^2 \) सूत्र में \( -2ab \) पद पर ध्यान दें. यह अक्सर एक आम गलती है, जहां छात्र प्लस चिन्ह का उपयोग करते हैं.

 

प्रश्न 2.
\( (5x - 7)^2 \)
Answer:
\( (5x-7)^2 \)
यहां \( a = 5x \) और \( b = 7 \).
\( = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 7 + (7)^2 \)
\( = 25x^2 - 70x + 49 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) अब \( 5x \) है और \( b \) अब \( 7 \) है.

🎯 Exam Tip: \( (5x)^2 \) को \( 25x^2 \) के रूप में विस्तारित करना याद रखें, न कि केवल \( 5x^2 \). गुणांक (5) और चर (x) दोनों पर घात लागू होती है.

 

प्रश्न 3.
\( (2x - y)^2 \)
Answer:
\( (2x - y)^2 \)
यहां \( a = 2x \) और \( b = y \).
\( = (2x)^2 - 2 \times 2x \times y + (y)^2 \)
\( = 4x^2 - 4xy + y^2 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) अब \( 2x \) है और \( b \) अब \( y \) है.

🎯 Exam Tip: जब दो अलग-अलग चर (जैसे \( x \) और \( y \)) शामिल हों, तो \( 2ab \) पद में दोनों चरों को शामिल करना सुनिश्चित करें: \( 2 \times 2x \times y = 4xy \).

 

प्रश्न 4.
\( (3x - 2y)^2 \)
Answer:
\( (3x-2y)^2 \)
यहां \( a = 3x \) और \( b = 2y \).
\( = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2y + (2y)^2 \)
\( = 9x^2 - 12xy + 4y^2 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) के नियम का उपयोग किया, जहाँ \( a \) अब \( 3x \) है और \( b \) अब \( 2y \) है.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि सभी गुणांकों को ठीक से संभाला गया है, \( 2ab \) पद की गणना करते समय सावधान रहें, जैसे \( 2 \times 3x \times 2y = 12xy \).

 

प्रश्न 5.
\( (3 - x)^2 \)
Answer:
\( (3 - x)^2 \)
यहां \( a = 3 \) और \( b = x \).
\( = (3)^2 - 2 \times 3 \times x + (x)^2 \)
\( = 9 - 6x + x^2 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) है \( 3 \) और \( b \) है \( x \).

🎯 Exam Tip: यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि \( (a-b)^2 \) और \( (b-a)^2 \) समान परिणाम नहीं देते हैं, क्योंकि \( (x-3)^2 \) और \( (3-x)^2 \) अलग-अलग हैं जब \( x \) और \( 3 \) को पद के रूप में माना जाता है. हालांकि इस मामले में यह समान परिणाम देता है.

 

प्रश्न 6.
\( (2y - z)^2 \)
Answer:
\( (2y-z)^2 \)
यहां \( a = 2y \) और \( b = z \).
\( = (2y)^2 - 2 \times 2y \times z + (z)^2 \)
\( = 4y^2 - 4yz + z^2 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) अब \( 2y \) है और \( b \) अब \( z \) है.

🎯 Exam Tip: \( (2y)^2 \) को \( 4y^2 \) के रूप में विस्तारित करना याद रखें. गुणांक (2) और चर (y) दोनों पर घात लागू होती है.

 

प्रश्न 7.
एक वर्गाकार खेत की एक भुजा की माप \( (3x - y) \) मी० है। खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer:
वर्गाकार खेत की भुजा \( = (3x - y) \) मी
खेत का क्षेत्रफल \( = (\text{भुजा})^2 \)
\( = (3x - y)^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (3x)^2 - 2 \times 3x \times y + (y)^2 \)
\( = 9x^2 - 6xy + y^2 \text{ मी}^2 \)
In simple words: एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी भुजा का वर्ग होता है. हमने भुजा की लंबाई का वर्ग करने के लिए \( (a-b)^2 \) के गणितीय नियम का उपयोग किया.

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफलों की गणना करते समय इकाइयों (जैसे \( \text{मी}^2 \)) को लिखना न भूलें. यह दर्शाता है कि आप एक क्षेत्रफल की गणना कर रहे हैं.

 

प्रश्न 8.
एक खेत में \( (x – 2y) \) क्यारियाँ हैं। प्रत्येक क्यारी में \( (x – 2y) \) पपीते के पौधे लगे हैं। ज्ञात कीजिए
(i) खेत में कितने पपीते के पौधे हैं?
(ii) यदि \( x = 10, y=1 \), तो कुल पौधों की संख्या कितनी है?
Answer:
(i) क्यारियों की संख्या \( = (x – 2y) \)
प्रत्येक क्यारी में पौधों की संख्या \( = (x – 2y) \)
अतः खेत में पपीते के पौधों की कुल संख्या \( = (x – 2y) \times (x – 2y) = (x – 2y)^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = x^2 - 2 \times x \times 2y + (2y)^2 \)
\( = x^2 - 4xy + 4y^2 \) पौधे
(ii) यदि \( x = 10, y = 1 \) है, तो कुल पौधों की संख्या होगी:
पौधों की संख्या \( = x^2 - 4xy + 4y^2 \)
\( = (10)^2 - 4 \times 10 \times 1 + 4(1)^2 \)
\( = 100 - 40 + 4 \)
\( = 64 \) पौधे
In simple words: कुल पौधों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हमने क्यारियों की संख्या को प्रत्येक क्यारी में पौधों की संख्या से गुणा किया. फिर, \( x \) और \( y \) के दिए गए मानों को सूत्र में डालकर, हमने पौधों की वास्तविक संख्या ज्ञात की.

🎯 Exam Tip: बीजगणितीय व्यंजकों का वर्ग करते समय, विशेष रूप से जब उनमें गुणांक हों, तो सुनिश्चित करें कि पूरे पद का वर्ग किया जाए (जैसे \( (2y)^2 = 4y^2 \)).

 

प्रश्न 9.
(i) एक कलम का मूल्य \( (2x - y) \) Rs है। इसी प्रकार की \( (2x - y) \) कलमों का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि \( x = 6, y = 2 \), तो कुल कलमों का कितना मूल्य होगा?
Answer:
(i) 1 कलम का मूल्य \( = \text{Rs } (2x - y) \)
\( (2x - y) \) कलमों का मूल्य \( = (2x - y) \times (2x - y) \)
\( = (2x - y)^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (2x)^2 - 2 \times 2x \times y + (y)^2 \)
\( = 4x^2 - 4xy + y^2 \text{ Rs} \)
(ii) यदि \( x = 6, y = 2 \) है, तो कुल कलमों का मूल्य होगा:
कलमों का मूल्य \( = 4x^2 - 4xy + y^2 \)
\( = 4(6)^2 - 4 \times 6 \times 2 + (2)^2 \)
\( = 4 \times 36 - 48 + 4 \)
\( = 144 - 48 + 4 \)
\( = \text{Rs } 100 \)
In simple words: हमने कुल मूल्य ज्ञात करने के लिए एक कलम के मूल्य को खरीदी गई कलमों की संख्या से गुणा किया. फिर, \( x \) और \( y \) के दिए गए मानों को सूत्र में रखा ताकि वास्तविक लागत ज्ञात हो सके.

🎯 Exam Tip: यह एक व्यावहारिक समस्या है जहाँ बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग किया जाता है. गणना के दौरान इकाइयों (जैसे Rs) को लिखना न भूलें.

 

अभ्यास 8 (g)

 

सर्वसमिका \( (a + b) (a – b) = a^2 – b^2 \) का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिएः

 

प्रश्न 1.
\( (5 + x) (5 – x) \)
Answer:
\( (5 + x) (5 - x) \)
यहां \( a = 5 \) और \( b = x \).
\( = (5)^2 - (x)^2 \)
\( = 25 - x^2 \)
In simple words: हमने \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) के नियम का उपयोग किया. हमने बस \( 5 \) को \( a \) की जगह और \( x \) को \( b \) की जगह रखा.

🎯 Exam Tip: यह एक बहुत ही उपयोगी सर्वसमिका है जिसे "दो वर्गों का अंतर" कहा जाता है. इसे याद रखने से आप गणनाएँ तेज़ी से कर सकते हैं.

 

प्रश्न 2.
\( (y + 4) (y - 4) \)
Answer:
\( (y + 4) (y - 4) \)
यहां \( a = y \) और \( b = 4 \).
\( = (y)^2 - (4)^2 \)
\( = y^2 - 16 \)
In simple words: हमने \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) के नियम का उपयोग किया, जहाँ \( a \) अब \( y \) है और \( b \) अब \( 4 \) है.

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( 4^2 \) को \( 16 \) के रूप में लिखते हैं. यह एक सामान्य गलती है कि छात्र इसे \( 4 \times 2 = 8 \) के रूप में लिखते हैं.

 

प्रश्न 3.
\( (2x + 3) (2x - 3) \)
Answer:
\( (2x + 3) (2x - 3) \)
यहां \( a = 2x \) और \( b = 3 \).
\( = (2x)^2 - (3)^2 \)
\( = 4x^2 - 9 \)
In simple words: हमने \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का सूत्र लगाया, जहाँ \( a \) अब \( 2x \) है और \( b \) अब \( 3 \) है.

🎯 Exam Tip: \( (2x)^2 \) को \( 4x^2 \) के रूप में विस्तारित करना याद रखें, न कि केवल \( 2x^2 \). गुणांक (2) और चर (x) दोनों पर घात लागू होती है.

 

प्रश्न 4.
\( (3x + 4y) (3x – 4y) \)
Answer:
\( (3x + 4y) (3x - 4y) \)
यहां \( a = 3x \) और \( b = 4y \).
\( = (3x)^2 - (4y)^2 \)
\( = 9x^2 - 16y^2 \)
In simple words: हमने \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ \( a \) अब \( 3x \) है और \( b \) अब \( 4y \) है.

🎯 Exam Tip: \( (4y)^2 \) को \( 16y^2 \) के रूप में लिखना याद रखें, न कि \( 4y^2 \). गुणांक और चर दोनों पर घात लागू होती है.

 

प्रश्न 5.
सर्वसमिका का प्रयोग कर \( (4x + 2y) (4x – 2y) \) का मान ज्ञात कीजिए, उत्तर की जाँच कीजिए, यदि \( x = 2,y = 1 \).
Answer:
पहले गुणनफल ज्ञात करें:
\( (4x + 2y) (4x – 2y) \)
यहां \( a = 4x \) और \( b = 2y \).
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (4x)^2 - (2y)^2 \)
\( = 16x^2 - 4y^2 \)
उत्तर की जाँच : यदि \( x = 2, y = 1 \) तो
L.H.S. (बायाँ पक्ष) \( (4x + 2y) (4x – 2y) \)
\( = (4 \times 2 + 2 \times 1) (4 \times 2 – 2 \times 1) \)
\( = (8 + 2) (8 – 2) \)
\( = 10 \times 6 = 60 \)
R.H.S. (दायाँ पक्ष) \( 16x^2 - 4y^2 \)
\( = 16(2)^2 - 4(1)^2 \)
\( = 16 \times 4 - 4 \times 1 \)
\( = 64 - 4 = 60 \)
\( \implies \) L.H.S. \( = \) R.H.S. (बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष)
In simple words: हमने \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) सूत्र का उपयोग करके गुणनफल ज्ञात किया. फिर, \( x \) और \( y \) के दिए गए मानों को दोनों पक्षों में डालकर हमने उत्तर की जांच की.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी गणना सही है, बीजगणितीय व्यंजकों के मान ज्ञात करते समय \( x \) और \( y \) के मानों को सही ढंग से प्रतिस्थापित करें. सभी घातों और गुणांकों का ध्यान रखें.

 

प्रश्न 6.
एक आयताकार मैदान की लम्बाई \( (2x + 1) \) मी तथा चौड़ाई \( (2x – 1) \) मी है। आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
Answer:
आयताकार मैदान की लम्बाई \( = (2x + 1) \) मी
आयताकार मैदान की चौड़ाई \( = (2x – 1) \) मी
आयत का क्षेत्रफल \( = \text{लम्बाई} \times \text{चौड़ाई} \)
\( = (2x + 1) (2x – 1) \)
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (2x)^2 - (1)^2 \)
\( = 4x^2 - 1 \text{ मी}^2 \)
In simple words: आयत का क्षेत्रफल उसकी लम्बाई और चौड़ाई को गुणा करके निकाला जाता है. हमने यहाँ \( (a+b)(a-b) \) के गणितीय नियम का उपयोग किया.

🎯 Exam Tip: क्षेत्रफलों की गणना करते समय इकाइयों (जैसे \( \text{मी}^2 \)) को लिखना न भूलें. यह दर्शाता है कि आप एक क्षेत्रफल की गणना कर रहे हैं.

 

प्रश्न 7.
(i) एक पुस्तक का मूल्य \( (3x + 1) \) Rs है। इसी प्रकार की \( (3x – 1) \) पुस्तकों का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) यदि \( x = 3 \), तो पुस्तकों की संख्या कितनी होगी?
(iii) यदि \( x = 4 \), तो पुस्तकें खरीदने में कुल कितने रुपये लगे?
Answer:
(i) एक पुस्तक का मूल्य \( = \text{Rs } (3x + 1) \)
पुस्तकों की संख्या \( = (3x – 1) \)
कुल पुस्तकों का मूल्य \( = (3x + 1) (3x – 1) \)
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने पर:
\( = (3x)^2 - (1)^2 \)
\( = 9x^2 - 1 \text{ Rs} \)
(ii) यदि \( x = 3 \) है, तो पुस्तकों की संख्या होगी:
पुस्तकों की संख्या \( = (3x – 1) \)
\( = (3 \times 3 – 1) \)
\( = 9 – 1 = 8 \)
(iii) यदि \( x = 4 \) है, तो पुस्तकें खरीदने में कुल रुपये लगेंगे:
कुल मूल्य \( = 9x^2 - 1 \)
\( = 9(4)^2 - 1 \)
\( = 9 \times 16 - 1 \)
\( = 144 - 1 = \text{Rs } 143 \)
In simple words: हमने एक पुस्तक के मूल्य को खरीदी गई पुस्तकों की संख्या से गुणा किया. फिर, \( x \) के दिए गए मानों का उपयोग करके, हमने पुस्तकों की संख्या और कुल मूल्य ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: यह सुनिश्चित करें कि आप \( (3x)^2 \) को \( 9x^2 \) के रूप में विस्तारित करते हैं और \( 1^2 \) को \( 1 \) के रूप में लिखते हैं. ऐसी छोटी-छोटी त्रुटियाँ उत्तर को बदल सकती हैं.

 

सर्वसमिकाओं का प्रयोग से निम्नलिखितँ के मान ज्ञात कीजिए:

 

प्रश्न 8.
\( 153^2-147^2 \)
Answer:
\( 153^2-147^2 \)
सर्वसमिका \( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \) का उपयोग करने पर:
\( = (153 + 147) (153 - 147) \)
\( = (300) \times (6) \)
\( = 1800 \)
In simple words: हमने दो वर्गों के अंतर का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ हमने संख्याओं को एक बार जोड़ा और एक बार घटाया. फिर, उन परिणामों को गुणा करके हमने अंतिम उत्तर प्राप्त किया.

🎯 Exam Tip: जब बड़ी संख्याओं के वर्ग का अंतर हो, तो \( a^2-b^2=(a+b)(a-b) \) सर्वसमिका का उपयोग करना गणना को बहुत सरल बनाता है और त्रुटियों को कम करता है.

 

प्रश्न 9.
\( (12.1)^2 – (7.9)^2 \)
Answer:
\( (12.1)^2 – (7.9)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \) का उपयोग करने पर:
\( = (12.1 + 7.9) (12.1 – 7.9) \)
\( = (20) \times (4.2) \)
\( = 84 \)
In simple words: हमने संख्याओं को एक बार जोड़ा और एक बार घटाया, फिर उन परिणामों को गुणा किया ताकि दो वर्गों के अंतर का पता चल सके.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं के साथ गणना करते समय, सुनिश्चित करें कि आप उन्हें सही ढंग से जोड़ते और घटाते हैं. \( 12.1+7.9=20 \) और \( 12.1-7.9=4.2 \).

 

प्रश्न 10.
\( (983)^2 - (17)^2 \)
Answer:
\( (983)^2 - (17)^2 \)
सर्वसमिका \( a^2-b^2 = (a+b)(a-b) \) का उपयोग करने पर:
\( = (983 + 17) (983 - 17) \)
\( = (1000) \times (966) \)
\( = 966000 \)
In simple words: हमने बड़ी संख्याओं के लिए भी दो वर्गों के अंतर का सूत्र इस्तेमाल किया. संख्याओं को एक बार जोड़ने और एक बार घटाने से गणना बहुत आसान हो गई.

🎯 Exam Tip: यह सर्वसमिका बड़ी संख्याओं को सरल बनाने में विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि यह गुणा करने से पहले उन्हें छोटी, गोल संख्याओं में बदलने में मदद करती है.

 

अभ्यास 8 (h)

 

सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नांकित के मान ज्ञात कीजिए:

 

प्रश्न 1.
\( 51^2 \)
Answer:
\( 51^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 51 \) को \( (50+1) \) के रूप में लिखें:
\( = (50 + 1)^2 \)
\( = (50)^2 + 2 \times 50 \times 1 + (1)^2 \)
\( = 2500 + 100 + 1 \)
\( = 2601 \)
In simple words: हमने \( 51 \) को \( (50+1) \) के रूप में लिखा और फिर \( (a+b)^2 \) के नियम का उपयोग किया. इससे सीधे \( 51 \) को \( 51 \) से गुणा करने की तुलना में गणना करना आसान हो गया.

🎯 Exam Tip: संख्याओं को \( (a+b) \) या \( (a-b) \) के रूप में तोड़ना जो 10, 50, 100 जैसे गोल संख्या के करीब हों, गणना को बहुत सरल बनाता है.

 

प्रश्न 2.
\( 105^2 \)
Answer:
\( 105^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 105 \) को \( (100+5) \) के रूप में लिखें:
\( = (100 + 5)^2 \)
\( = (100)^2 + 2 \times 100 \times 5 + (5)^2 \)
\( = 10000 + 1000 + 25 \)
\( = 11025 \)
In simple words: हमने \( 105 \) को \( (100+5) \) के रूप में लिखा. फिर हमने इसे \( (a+b)^2 \) के नियम से हल किया, जिससे गणना आसान हो गई.

🎯 Exam Tip: \( 100^2 \) और \( 5^2 \) जैसी संख्याओं का वर्ग करना आसान है, जिससे यह विधि बड़े वर्ग ज्ञात करने के लिए कुशल हो जाती है.

 

प्रश्न 3.
\( 201^2 \)
Answer:
\( 201^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 201 \) को \( (200+1) \) के रूप में लिखें:
\( = (200 + 1)^2 \)
\( = (200)^2 + 2 \times 200 \times 1 + (1)^2 \)
\( = 40000 + 400 + 1 \)
\( = 40401 \)
In simple words: हमने \( 201 \) को \( (200+1) \) में तोड़ा और \( (a+b)^2 \) के नियम से इसका वर्ग किया. यह सीधे गुणा करने से तेज़ और आसान है.

🎯 Exam Tip: गोल संख्याओं के पास की संख्याओं का वर्ग करने के लिए इस विधि का उपयोग करें, जैसे \( 200 \) के पास \( 201 \) है. यह विधि गणना को सरल बनाती है.

 

प्रश्न 4.
\( 302^2 \)
Answer:
\( 302^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 302 \) को \( (300+2) \) के रूप में लिखें:
\( = (300 + 2)^2 \)
\( = (300)^2 + 2 \times 300 \times 2 + (2)^2 \)
\( = 90000 + 1200 + 4 \)
\( = 91204 \)
In simple words: हमने \( 302 \) को \( (300+2) \) के रूप में लिखा और \( (a+b)^2 \) के नियम का उपयोग करके उसका वर्ग किया. यह मानसिक गणना को बहुत आसान बनाता है.

🎯 Exam Tip: गुणन में 0 की संख्या का ध्यान रखना याद रखें. \( (300)^2 = 90000 \), \( 2 \times 300 \times 2 = 1200 \).

 

प्रश्न 5.
\( 1001^2 \)
Answer:
\( 1001^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 1001 \) को \( (1000+1) \) के रूप में लिखें:
\( = (1000 + 1)^2 \)
\( = (1000)^2 + 2 \times 1000 \times 1 + (1)^2 \)
\( = 1000000 + 2000 + 1 \)
\( = 1002001 \)
In simple words: हमने \( 1001 \) को \( (1000+1) \) के रूप में लिखा और फिर \( (a+b)^2 \) के नियम से इसका वर्ग किया. यह गणना को बहुत तेज़ बना देता है.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्याओं का वर्ग करते समय शून्य की संख्या पर विशेष ध्यान दें. \( (1000)^2 \) में छह शून्य होंगे.

 

प्रश्न 6.
\( 49^2 \)
Answer:
\( 49^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 49 \) को \( (50-1) \) के रूप में लिखें:
\( = (50 - 1)^2 \)
\( = (50)^2 - 2 \times 50 \times 1 + (1)^2 \)
\( = 2500 - 100 + 1 \)
\( = 2401 \)
In simple words: हमने \( 49 \) को \( (50-1) \) के रूप में लिखा और फिर \( (a-b)^2 \) के नियम से इसका वर्ग किया. यह \( 49 \) को \( 49 \) से सीधे गुणा करने से आसान है.

🎯 Exam Tip: \( (a-b)^2 \) सूत्र में \( -2ab \) पद पर ध्यान दें. यह अक्सर एक आम गलती है, जहां छात्र प्लस चिन्ह का उपयोग करते हैं.

 

प्रश्न 7.
\( 98^2 \)
Answer:
\( 98^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 98 \) को \( (100-2) \) के रूप में लिखें:
\( = (100 - 2)^2 \)
\( = (100)^2 - 2 \times 100 \times 2 + (2)^2 \)
\( = 10000 - 400 + 4 \)
\( = 9604 \)
In simple words: हमने \( 98 \) को \( (100-2) \) में तोड़ा और \( (a-b)^2 \) के नियम का उपयोग करके उसका वर्ग किया. यह गणना को सरल बनाता है.

🎯 Exam Tip: \( (100)^2 \) जैसे आसान वर्गों और \( 2 \times 100 \times 2 \) जैसे गुणन को अलग-अलग करके, आप गणना में त्रुटियों से बच सकते हैं.

 

प्रश्न 8.
\( 95^2 \)
Answer:
\( 95^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 95 \) को \( (100-5) \) के रूप में लिखें:
\( = (100 - 5)^2 \)
\( = (100)^2 - 2 \times 100 \times 5 + (5)^2 \)
\( = 10000 - 1000 + 25 \)
\( = 9025 \)
In simple words: हमने \( 95 \) को \( (100-5) \) के रूप में लिखा और \( (a-b)^2 \) के नियम का उपयोग करके उसका वर्ग किया. यह मानसिक रूप से गणना करना आसान बनाता है.

🎯 Exam Tip: यह विधि उन संख्याओं के लिए बहुत कुशल है जो \( 100 \) या \( 10 \) के गुणकों के करीब हैं, क्योंकि वर्ग और गुणनफल की गणना करना आसान हो जाता है.

 

प्रश्न 9.
\( 997^2 \)
Answer:
\( 997^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 997 \) को \( (1000-3) \) के रूप में लिखें:
\( = (1000 - 3)^2 \)
\( = (1000)^2 - 2 \times 1000 \times 3 + (3)^2 \)
\( = 1000000 - 6000 + 9 \)
\( = 994009 \)
In simple words: हमने \( 997 \) को \( (1000-3) \) के रूप में लिखा और फिर \( (a-b)^2 \) के नियम से उसका वर्ग किया. यह बड़ी संख्याओं के लिए वर्ग ज्ञात करने का एक सरल तरीका है.

🎯 Exam Tip: बड़ी संख्या में शून्य वाली संख्याओं के लिए, शून्य की गिनती पर विशेष ध्यान दें ताकि \( (1000)^2 \) जैसे शब्दों में त्रुटियाँ न हों.

 

प्रश्न 10.
\( (10.2)^2 \)
Answer:
\( (10.2)^2 \)
सर्वसमिका \( (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 10.2 \) को \( (10+.2) \) के रूप में लिखें:
\( = (10 + .2)^2 \)
\( = (10)^2 + 2 \times 10 \times .2 + (.2)^2 \)
\( = 100 + 4 + .04 \)
\( = 104.04 \)
In simple words: हमने \( 10.2 \) को \( (10+0.2) \) के रूप में लिखा और \( (a+b)^2 \) के नियम से इसका वर्ग किया. यह दशमलव संख्याओं के वर्ग को सरल बनाता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं का वर्ग करते समय दशमलव स्थान का ध्यान रखें. \( (0.2)^2 = 0.04 \), न कि \( 0.4 \).

 

प्रश्न 11.
\( (9.8)^2 \)
Answer:
\( (9.8)^2 \)
सर्वसमिका \( (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 9.8 \) को \( (10-.2) \) के रूप में लिखें:
\( = (10 - .2)^2 \)
\( = (10)^2 - 2 \times 10 \times .2 + (.2)^2 \)
\( = 100 - 4 + .04 \)
\( = 96.04 \)
In simple words: हमने \( 9.8 \) को \( (10-0.2) \) में तोड़ा और \( (a-b)^2 \) के नियम का उपयोग करके उसका वर्ग किया. यह दशमलव संख्याओं के वर्ग को आसान बनाता है.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्याओं को जोड़ते और घटाते समय दशमलव बिंदुओं को संरेखित करना सुनिश्चित करें, खासकर \( 100 - 4 + 0.04 \) जैसे योग में.

 

प्रश्न 12.
\( 103 \times 97 \)
Answer:
\( 103 \times 97 \)
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 103 \) को \( (100+3) \) और \( 97 \) को \( (100-3) \) के रूप में लिखें:
\( = (100 + 3) (100 - 3) \)
\( = (100)^2 - (3)^2 \)
\( = 10000 - 9 \)
\( = 9991 \)
In simple words: हमने \( 103 \) को \( (100+3) \) और \( 97 \) को \( (100-3) \) के रूप में लिखा. फिर हमने दो वर्गों के अंतर के नियम का उपयोग किया, जिससे गुणा करना बहुत आसान हो गया.

🎯 Exam Tip: यह विधि विशेष रूप से उन संख्याओं के गुणनफल के लिए उपयोगी है जो एक गोल संख्या (जैसे 100) के दोनों ओर समान दूरी पर होती हैं.

 

प्रश्न 13.
\( 52 \times 48 \)
Answer:
\( 52 \times 48 \)
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 52 \) को \( (50+2) \) और \( 48 \) को \( (50-2) \) के रूप में लिखें:
\( = (50 + 2) (50 - 2) \)
\( = (50)^2 - (2)^2 \)
\( = 2500 - 4 \)
\( = 2496 \)
In simple words: हमने \( 52 \) को \( (50+2) \) और \( 48 \) को \( (50-2) \) के रूप में लिखा. फिर हमने दो वर्गों के अंतर के नियम का उपयोग किया, जिससे गुणा करना बहुत आसान हो गया.

🎯 Exam Tip: इस तरह की समस्याओं में, \( a \) और \( b \) को पहचानना महत्वपूर्ण है ताकि आप सर्वसमिका को सही ढंग से लागू कर सकें.

 

प्रश्न 14.
\( 10.5 \times 9.5 \)
Answer:
\( 10.5 \times 9.5 \)
सर्वसमिका \( (a+b)(a-b) = a^2-b^2 \) का उपयोग करने के लिए \( 10.5 \) को \( (10+.5) \) और \( 9.5 \) को \( (10-.5) \) के रूप में लिखें:
\( = (10 + .5) (10 - .5) \)
\( = (10)^2 - (.5)^2 \)
\( = 100 - .25 \)
\( = 99.75 \)
In simple words: हमने \( 10.5 \) और \( 9.5 \) को \( (10+0.5) \) और \( (10-0.5) \) के रूप में लिखा. फिर हमने दो वर्गों के अंतर के नियम का उपयोग किया, जिससे दशमलव संख्याओं का गुणा आसान हो गया.

🎯 Exam Tip: दशमलव संख्या का वर्ग करते समय दशमलव स्थानों की संख्या दोगुनी हो जाती है. \( (0.5)^2 = 0.25 \) (एक दशमलव स्थान \( \implies \) दो दशमलव स्थान).

 

प्रश्न 15.
यदि \( a+\frac{1}{a} = \frac{5}{2} \) तो \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है \( a+\frac{1}{a} = \frac{5}{2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करें:
\( \implies \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 \)
\( \implies a^2 + 2 \times a \times \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4} \)
\( \implies a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4} \)
\( \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25}{4} - 2 \)
\( \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{25 - 8}{4} \)
\( \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \frac{17}{4} \)
In simple words: हमें \( a+\frac{1}{a} \) का मान दिया गया था. \( a^2+\frac{1}{a^2} \) का मान ज्ञात करने के लिए, हमने दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग किया और फिर सरल बनाया.

🎯 Exam Tip: जब \( (x+\frac{1}{x})^2 \) का विस्तार करते हैं, तो मध्य पद \( 2 \times x \times \frac{1}{x} \) हमेशा \( 2 \) के बराबर होता है. यह एक महत्वपूर्ण अवलोकन है जो गणना को सरल बनाता है.

 

प्रश्न 16.
यदि \( a - \frac{1}{a} = 0 \), तो \( a^2 + \frac{1}{a^2} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है \( a - \frac{1}{a} = 0 \)
दोनों पक्षों का वर्ग करें:
\( \implies \left(a-\frac{1}{a}\right)^2 = (0)^2 \)
\( \implies a^2 - 2 \times a \times \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = 0 \)
\( \implies a^2 - 2 + \frac{1}{a^2} = 0 \)
\( \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = 0 + 2 \)
\( \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = 2 \)
In simple words: हमने \( a-\frac{1}{a} \) के मान के दोनों पक्षों का वर्ग किया. \( (a-b)^2 \) के नियम का उपयोग करने के बाद, हमने \( a^2+\frac{1}{a^2} \) का मान ज्ञात किया.

🎯 Exam Tip: \( (x-\frac{1}{x})^2 \) का विस्तार करते समय, मध्य पद \( -2 \times x \times \frac{1}{x} \) हमेशा \( -2 \) के बराबर होता है. यह सर्वसमिका को हल करने में एक सामान्य शॉर्टकट है.

 

Question 17. 78 × 82
Answer:
\( 78 \times 82 \)
\( = (80 - 2) (80 + 2) \)
\( = (80)^2 - (2)^2 \)
\( = 6400 - 4 \)
\( = 6396 \)
In simple words: हमने 78 को 80 में से 2 घटाकर और 82 को 80 में 2 जोड़कर लिखा। फिर हमने \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) का सूत्र इस्तेमाल करके गुणा किया।

🎯 Exam Tip: इस तरह के गुणनफल को हल करने के लिए \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) की सर्वसमिका का उपयोग करें, यह गणना को आसान बनाता है।

 

Question 18. 95 × 103
Answer:
\( 95 \times 103 \)
\( = (100 - 5) (100 + 3) \)
\( = (100)^2 + (-5+3) \times 100 + (-5) \times 3 \)
\( = 10000 - 2 \times 100 - 15 \)
\( = 10000 - 200 - 15 \)
\( = 9785 \)
In simple words: हमने 95 को 100 में से 5 घटाकर और 103 को 100 में 3 जोड़कर लिखा। फिर हमने \( (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab \) का सूत्र इस्तेमाल करके गुणा किया।

🎯 Exam Tip: संख्याओं को आधार 10, 100, 1000 के पास रखकर \( (x+a)(x+b) \) सर्वसमिका का उपयोग करना गुणा को बहुत तेज बना देता है।

 

Question 19. 501 × 502
Answer:
\( 501 \times 502 \)
\( = (500 + 1) (500 + 2) \)
\( = (500)^2 + (1+2) \times 500 + 1 \times 2 \)
\( = 250000 + 3 \times 500 + 2 \)
\( = 250000 + 1500 + 2 \)
\( = 251502 \)
In simple words: हमने 501 को 500 में 1 जोड़कर और 502 को 500 में 2 जोड़कर लिखा। फिर हमने \( (x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab \) का सूत्र लगाकर गुणा किया।

🎯 Exam Tip: जब संख्याएँ किसी पूर्ण संख्या के पास हों, तो उन्हें \( (x+a) \) और \( (x+b) \) के रूप में लिखकर गुणा करना आसान हो जाता है।

दक्षता अभ्यास 8

निम्नांकित के गुणनफल ज्ञात कीजिए।

 

Question 1. \( (2x^2y) \times (-3xy^2) \)
Answer:
\( (2x^2y) \times (-3xy^2) \)
\( = 2 \times (-3) \times x^{2+1} \times y^{1+2} \)
\( = -6x^3y^3 \)
In simple words: हमने गुणांकों को गुणा किया (2 को -3 से) और फिर चर (variables) की घातों को जोड़ा।

🎯 Exam Tip: गुणा करते समय, संख्याओं को संख्याओं से और एक जैसे चरों की घातों को आपस में जोड़ें। ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखें।

 

Question 2. \( (11y^2z^2), (5xyz) \)
Answer:
\( (11y^2z^2) \times (5xyz) \)
\( = 11 \times 5 \times x \times y^{2+1} \times z^{2+1} \)
\( = 55xy^3z^3 \)
In simple words: हमने गुणांकों को गुणा किया (11 को 5 से) और फिर चरों की घातों को जोड़ा।

🎯 Exam Tip: जब एक जैसे चर हों, तो गुणा करते समय उनकी घातों को हमेशा जोड़ें। उदाहरण के लिए, \( y^2 \times y^1 = y^{2+1} \).

 

Question 3. \( x^6 \times 5x^3 \times 2y^2 \)
Answer:
\( x^6 \times 5x^3 \times 2y^2 \)
\( = 5 \times 2 \times x^{6+3} \times y^2 \)
\( = 10x^9y^2 \)
In simple words: हमने संख्याओं को गुणा किया और फिर \( x \) की घातों को जोड़ा। \( y^2 \) को जैसा था वैसा ही रखा क्योंकि इसका कोई और \( y \) चर नहीं था।

🎯 Exam Tip: जब कई पद गुणा किए जाते हैं, तो गुणांकों को एक साथ गुणा करें और समान आधार वाले चरों की घातों को जोड़ें।

 

Question 4. \( 7 \times (x + 3) \)
Answer:
\( 7 \times (x + 3) \)
\( = 7 \times x + 7 \times 3 \)
\( = 7x + 21 \)
In simple words: हमने 7 को कोष्ठक के अंदर के हर पद से गुणा किया। पहले 7 को \( x \) से गुणा किया, फिर 7 को 3 से गुणा किया।

🎯 Exam Tip: जब किसी कोष्ठक के बाहर एक संख्या या चर हो, तो उसे कोष्ठक के अंदर के प्रत्येक पद से गुणा करना याद रखें (वितरण नियम)।

 

Question 5. \( -6 \times (-m-3) \)
Answer:
\( -6 \times (-m-3) \)
\( = (-6) \times (-m) + (-6) \times (-3) \)
\( = 6m + 18 \)
In simple words: हमने -6 को कोष्ठक के अंदर के हर पद से गुणा किया। दो ऋणात्मक संख्याएँ गुणा होकर धनात्मक संख्या बनती हैं।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक संख्याओं को गुणा करते समय चिह्नों का ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है: समान चिह्न (माइनस × माइनस) का गुणनफल प्लस होता है।

 

Question 6. \( ab (3a - 5b) \)
Answer:
\( ab \times (3a - 5b) \)
\( = ab \times 3a - ab \times 5b \)
\( = 3a^2b - 5ab^2 \)
In simple words: हमने \( ab \) को कोष्ठक के अंदर के दोनों पदों से गुणा किया। जब \( a \) को \( a \) से गुणा किया तो \( a^2 \) मिला, और जब \( b \) को \( b \) से गुणा किया तो \( b^2 \) मिला।

🎯 Exam Tip: वितरण नियम का प्रयोग करते समय, गुणांकों को गुणा करें और समान चरों की घातों को जोड़ें।

 

Question 7. \( (2x + 3) (x + 5) \)
Answer:
\( (2x + 3) (x + 5) \)
\( = 2x \times (x + 5) + 3 \times (x + 5) \)
\( = 2x^2 + 10x + 3x + 15 \)
\( = 2x^2 + 13x + 15 \)
In simple words: हमने पहले कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया, फिर एक जैसे पदों को जोड़ा।

🎯 Exam Tip: दो द्विपद (binomials) गुणा करने के लिए, हमेशा एक पद को दूसरे पूरे द्विपद से गुणा करें, फिर दूसरे पद को भी दूसरे पूरे द्विपद से गुणा करें।

 

Question 8. \( (x - 7) (x + 9) \)
Answer:
\( (x - 7) (x + 9) \)
\( = x \times (x + 9) - 7 \times (x + 9) \)
\( = x^2 + 9x - 7x - 63 \)
\( = x^2 + 2x - 63 \)
In simple words: हमने \( x \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर -7 को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया। इसके बाद हमने समान पदों \( (9x \text{ और } -7x) \) को जोड़कर सरल किया।

🎯 Exam Tip: ऋणात्मक चिह्नों का सावधानी से उपयोग करें, खासकर जब एक पद नकारात्मक हो। \( -7 \times 9 \) का गुणनफल \( -63 \) होता है।

 

Question 9. \( (5x - 6y) (4x - 3y) \)
Answer:
\( (5x - 6y) (4x - 3y) \)
\( = 5x \times (4x - 3y) - 6y \times (4x - 3y) \)
\( = 20x^2 - 15xy - 24xy + 18y^2 \)
\( = 20x^2 - 39xy + 18y^2 \)
In simple words: हमने \( 5x \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर \( -6y \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया। इसके बाद, हमने \( xy \) वाले समान पदों को जोड़ा।

🎯 Exam Tip: \( xy \) और \( yx \) दोनों समान पद होते हैं। ऋणात्मक चिह्नों का ध्यान रखते हुए ऐसे पदों को सही ढंग से संयोजित करें।

 

Question 10. \( (x + a) (x + b) \)
Answer:
\( (x + a) (x + b) \)
\( = x \times (x + b) + a \times (x + b) \)
\( = x^2 + bx + ax + ab \)
\( = x^2 + (a+b)x + ab \)
In simple words: हमने \( x \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया, फिर \( a \) को दूसरे कोष्ठक से गुणा किया। इसके बाद, हमने \( x \) वाले पदों को एक साथ रखा।

🎯 Exam Tip: यह \( (x+a)(x+b) \) सर्वसमिका है। इसे याद रखने से ऐसे गुणनफल आसानी से हल हो जाते हैं: \( x^2 + (a+b)x + ab \).

 

Question 11. (i) \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) तथा (ii) \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) के सर्वसमिका होने की जाँच कीजिए।
Answer:
(i) \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) में \( x = 1 \) तथा \( y = 2 \) रखने पर,
बायां पक्ष \( (x + y)^2 = (1+2)^2 = (3)^2 = 9 \)
दायां पक्ष \( x^2 + 2xy + y^2 = (1)^2 + 2 \times 1 \times 2 + (2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9 \)
अतः बायां पक्ष = दायां पक्ष। इसलिए \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) एक सर्वसमिका है।
(ii) \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) में \( x = 1 \) तथा \( y = 2 \) रखने पर
बायां पक्ष \( (x - y)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1 \)
दायां पक्ष \( x^2 - 2xy + y^2 = (1)^2 - 2 \times 1 \times 2 + (2)^2 = 1 - 4 + 4 = 1 \)
अतः बायां पक्ष = दायां पक्ष। इसलिए \( (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \) एक सर्वसमिका है।
In simple words: सर्वसमिका वह समीकरण होता है जो चरों के हर मान के लिए सही होता है। हमने \( x \) और \( y \) के कुछ मान रखकर दोनों सर्वसमिकाओं की जाँच की। चूंकि हर बार बायां पक्ष दायां पक्ष के बराबर आया, इससे पता चलता है कि ये सर्वसमिकाएँ हैं।

🎯 Exam Tip: सर्वसमिका को सिद्ध करने के लिए, आप चरों के कुछ मान रखकर दोनों पक्षों की बराबरी दिखा सकते हैं। यदि दोनों पक्ष बराबर आते हैं, तो यह एक सर्वसमिका है।

सर्वसमिकाओं के प्रयोग से निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।

 

Question 12. \( (2x + 5)^2 \)
Answer:
\( (2x + 5)^2 \)
\( = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 5 + (5)^2 \)
\( = 4x^2 + 20x + 25 \)
In simple words: हमने \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ \( a = 2x \) और \( b = 5 \) है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)^2 \) सूत्र को याद रखें और \( a \) और \( b \) को सही ढंग से पहचानें। \( (2x)^2 \) का मतलब \( 2^2 \times x^2 = 4x^2 \) होता है, सिर्फ \( 2x^2 \) नहीं।

 

Question 13. \( (2x + 3y)^2 \)
Answer:
\( (2x + 3y)^2 \)
\( = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3y + (3y)^2 \)
\( = 4x^2 + 12xy + 9y^2 \)
In simple words: हमने फिर से \( (a+b)^2 \) सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( a = 2x \) और \( b = 3y \) है।

🎯 Exam Tip: जब \( a \) और \( b \) दोनों में चर हों, तो उन्हें भी ठीक से वर्ग करना सुनिश्चित करें (जैसे \( (3y)^2 = 9y^2 \)).

 

Question 14. \( (x - 7)^2 \)
Answer:
\( (x - 7)^2 \)
\( = (x)^2 - 2 \times x \times 7 + (7)^2 \)
\( = x^2 - 14x + 49 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ \( a = x \) और \( b = 7 \) है।

🎯 Exam Tip: \( (a-b)^2 \) में बीच वाला पद \( -2ab \) होता है, इसे याद रखें। अक्सर छात्र यहाँ ऋणात्मक चिह्न भूल जाते हैं।

 

Question 15. \( (3m - 4n)^2 \)
Answer:
\( (3m - 4n)^2 \)
\( = (3m)^2 - 2 \times 3m \times 4n + (4n)^2 \)
\( = 9m^2 - 24mn + 16n^2 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( a = 3m \) और \( b = 4n \) है।

🎯 Exam Tip: \( (3m)^2 \) का मतलब \( 3m \times 3m = 9m^2 \) होता है, सिर्फ \( 3m^2 \) नहीं। गुणांक और चर दोनों का वर्ग करें।

 

Question 16. \( (mx - ny)^2 \)
Answer:
\( (mx - ny)^2 \)
\( = (mx)^2 - 2 \times mx \times ny + (ny)^2 \)
\( = m^2x^2 - 2mnxy + n^2y^2 \)
In simple words: हमने \( (a-b)^2 \) सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( a = mx \) और \( b = ny \) है।

🎯 Exam Tip: जब \( a \) और \( b \) में कई चर हों, तो प्रत्येक चर की घात को सही ढंग से बढ़ाना याद रखें।

 

Question 17. \( (7 + 3x) (7-3x) \)
Answer:
\( (7 + 3x) (7-3x) \)
\( = (7)^2 - (3x)^2 \)
\( = 49 - 9x^2 \)
In simple words: हमने \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) का सूत्र इस्तेमाल किया, जहाँ \( a = 7 \) और \( b = 3x \) है।

🎯 Exam Tip: \( (a+b)(a-b) \) सर्वसमिका पहचानना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह गुणनफल को बहुत तेजी से \( a^2 - b^2 \) में बदल देती है।

 

Question 18. \( (4a + 3b) (4a - 3b) \)
Answer:
\( (4a + 3b) (4a - 3b) \)
\( = (4a)^2 - (3b)^2 \)
\( = 16a^2 - 9b^2 \)
In simple words: हमने फिर से \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) सूत्र का उपयोग किया, जहाँ \( a = 4a \) और \( b = 3b \) है।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप \( (4a)^2 = 16a^2 \) और \( (3b)^2 = 9b^2 \) जैसी शर्तों को सही ढंग से वर्ग करें, न कि केवल \( 4a^2 \) या \( 3b^2 \).

 

Question 19. निम्नलिखित को सरल कीजिए:
(i) \( a (b - c) + b (c-a) + c (a - b) \)
(ii) \( x (2y-3z) + y (3z-2x) + 3z (x - y) \)
Answer:
(i) \( a (b - c) + b (c-a) + c (a - b) \)
\( = ab - ac + bc - ba + ca - cb \)
\( = ab - ac + bc - ab + ac - bc \)
\( = 0 \)
(ii) \( x (2y-3z) + y (3z-2x) + 3z (x - y) \)
\( = 2xy - 3xz + 3yz - 2xy + 3xz - 3yz \)
\( = 0 \)
In simple words: हमने पहले वितरण नियम का उपयोग करके हर कोष्ठक को खोला। फिर हमने एक जैसे पदों को एक साथ इकट्ठा किया और उन्हें जोड़ा या घटाया। इस मामले में, सभी पद एक दूसरे को काट देते हैं, और उत्तर 0 आता है।

🎯 Exam Tip: ऐसे सवालों में वितरण नियम को ध्यान से लागू करें और समान पदों को जोड़ते या घटाते समय चिह्नों का ध्यान रखें।

 

Question 20. यदि \( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \), तो \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है \( x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 \)
\( x^2 + 2 \times x \times \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{100}{9} \)
\( x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = \frac{100}{9} \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{100}{9} - 2 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{100 - 18}{9} \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{82}{9} \)
In simple words: \( x + \frac{1}{x} \) का मान दिया गया है। \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान निकालने के लिए, हमने दिए गए समीकरण के दोनों तरफ वर्ग किया और फिर इसे सरल किया।

🎯 Exam Tip: इस प्रकार के प्रश्नों में, \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) या \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) सर्वसमिका का उपयोग करने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करना एक सामान्य तकनीक है।

 

Question 21. यदि \( x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \), तो \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer:
हमें दिया गया है \( x - \frac{1}{x} = \frac{3}{2} \)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
\( \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \)
\( x^2 - 2 \times x \times \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{9}{4} \)
\( x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = \frac{9}{4} \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{9}{4} + 2 \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{9 + 8}{4} \)
\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \frac{17}{4} \)
In simple words: हमें \( x - \frac{1}{x} \) का मान दिया गया है। \( x^2 + \frac{1}{x^2} \) का मान निकालने के लिए, हमने दिए गए समीकरण के दोनों तरफ वर्ग किया और फिर उसे सरल किया।

🎯 Exam Tip: यह याद रखें कि \( (x - \frac{1}{x})^2 \) में बीच वाला पद \( -2 \) होता है, जबकि \( (x + \frac{1}{x})^2 \) में यह \( +2 \) होता है।

 

Question 22. दिखाइये ।
(a) \( \left(\frac{4}{3} m + \frac{3}{4} n\right)^2 - 2mn = \frac{16}{9} m^2 + \frac{9}{16} n^2 \)
(b) \( (4mn + 3n)^2 - (4mn - 3n)^2 = 48 mn^2 \)
(c) \( (a-b) (a + b) + (b-c) (b + c) + (c-a) (c+a) = 0 \)
Answer:
(a) \( \left(\frac{4}{3} m + \frac{3}{4} n\right)^2 - 2mn = \frac{16}{9} m^2 + \frac{9}{16} n^2 \)
बायां पक्ष:
\( \left(\frac{4}{3} m + \frac{3}{4} n\right)^2 - 2mn \)
\( = \left(\frac{4}{3} m\right)^2 + 2 \times \frac{4}{3} m \times \frac{3}{4} n + \left(\frac{3}{4} n\right)^2 - 2mn \)
\( = \frac{16}{9} m^2 + 2mn + \frac{9}{16} n^2 - 2mn \)
\( = \frac{16}{9} m^2 + \frac{9}{16} n^2 \)
दायां पक्ष \( = \frac{16}{9} m^2 + \frac{9}{16} n^2 \)
इसलिए, बायां पक्ष = दायां पक्ष।

(b) \( (4mn + 3n)^2 - (4mn - 3n)^2 = 48 mn^2 \)
बायां पक्ष:
\( (4mn + 3n)^2 - (4mn - 3n)^2 \)
यह \( (A+B)^2 - (A-B)^2 \) के रूप में है, जिसका मान \( 4AB \) होता है।
यहाँ \( A = 4mn \) और \( B = 3n \)
\( = 4 \times (4mn) \times (3n) \)
\( = 48 mn^2 \)
दायां पक्ष \( = 48 mn^2 \)
इसलिए, बायां पक्ष = दायां पक्ष।

(c) \( (a-b) (a + b) + (b-c) (b + c) + (c-a) (c+a) = 0 \)
बायां पक्ष:
\( (a-b) (a + b) + (b-c) (b + c) + (c-a) (c+a) \)
\( = (a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - a^2) \)
\( = a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2 \)
\( = 0 \)
दायां पक्ष \( = 0 \)
इसलिए, बायां पक्ष = दायां पक्ष।
In simple words: हमने हर उप-प्रश्न में बाईं ओर के समीकरण को सरल किया। भाग (a) में, हमने वर्ग की सर्वसमिका का उपयोग किया और पदों को काटा। भाग (b) में, हमने एक विशेष सर्वसमिका \( (A+B)^2 - (A-B)^2 = 4AB \) का उपयोग किया। भाग (c) में, हमने \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग किया और देखा कि सभी पद एक दूसरे को काट देते हैं, जिससे शून्य प्राप्त होता है।

🎯 Exam Tip: सिद्ध करने वाले प्रश्नों में, एक पक्ष से शुरू करें (आमतौर पर अधिक जटिल वाला) और बीजगणितीय नियमों का उपयोग करके इसे दूसरे पक्ष में बदल दें।