UP Board Solutions Class 7 Maths Chapter 9 Vyanjako Ka Gunankhand

अभ्यास 9 (a)

Question 1. दिए गए पदों के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड लिखिए।
(i) \( 7xy, 35x^2y^2 \)
(ii) \( 4m^2, 6m^2, 8m^3 \)
(iii) \( 3a, 21ab \)
Answer:
(i) पहले \( 7xy \) के गुणनखण्ड \( = 7 \times x \times y \) लिखते हैं। फिर \( 35x^2y^2 \) के गुणनखण्ड \( = 5 \times 7 \times x \times x \times y \times y \) लिखते हैं। दोनों में जो अंक और अक्षर एक जैसे हैं, उन्हें एक साथ लिखो। इस तरह, उभयनिष्ठ गुणनखण्ड \( = 7 \times x \times y = 7xy \) मिलता है। जब हमें किसी व्यंजक के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकालने होते हैं, तो हम उन सभी पदों में मौजूद समान कारकों को देखते हैं।
(ii) पहले \( 4m^2 \) के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times m \times m \) लिखते हैं। फिर \( 6m^2 \) के गुणनखण्ड \( = 2 \times 3 \times m \times m \) लिखते हैं। आखिर में \( 8m^3 \) के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times m \times m \times m \) लिखते हैं। सभी में जो अंक और अक्षर एक जैसे हैं, वे उभयनिष्ठ गुणनखण्ड \( = 2 \times m \times m = 2m^2 \) हैं।
(iii) पहले \( 3a \) के गुणनखण्ड \( = 3 \times a \) लिखते हैं। फिर \( 21ab \) के गुणनखण्ड \( = 3 \times 7 \times a \times b \) लिखते हैं। दोनों में जो अंक और अक्षर एक जैसे हैं, वे उभयनिष्ठ गुणनखण्ड \( = 3 \times a = 3a \) हैं।
In simple words: हम हर पद के गुणनखंडों को अलग-अलग लिखते हैं और फिर देखते हैं कि कौन से गुणनखंड सभी पदों में एक जैसे हैं। वही उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होते हैं।

🎯 Exam Tip: उभयनिष्ठ गुणनखण्ड निकालते समय, संख्यात्मक गुणनखंडों (अंकों) और चर गुणनखंडों (अक्षरों) दोनों पर ध्यान दें। केवल वे ही गुणनखंड लें जो सभी दिए गए पदों में मौजूद हों।

Question 2. व्यंजक \( 7pq + 8qr + 3qs \) का एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा:
(i) q
(ii) r
(iii) p+q+r
(iv) 3s
Answer: (i) q
\( 7pq \) के गुणनखण्ड \( = 7 \times p \times q \)
\( 8qr \) के गुणनखण्ड \( = 2 \times 2 \times 2 \times q \times r \)
\( 3qs \) के गुणनखण्ड \( = 3 \times q \times s \)
इन सभी पदों में \( q \) उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि उभयनिष्ठ गुणनखण्ड वह चर या संख्या होती है जो दिए गए सभी पदों में मौजूद हो।
In simple words: व्यंजक के सभी हिस्सों को देखो. उनमें जो अक्षर एक जैसा सब में है, वही उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है. यहाँ 'q' तीनों हिस्सों में है.

🎯 Exam Tip: किसी व्यंजक के उभयनिष्ठ गुणनखण्ड का पता लगाने के लिए, सभी पदों के गुणनखंडों को सूचीबद्ध करें और फिर पहचानें कि कौन सा चर या स्थिरांक सभी पदों में मौजूद है।

Question 3. व्यंजक \( b(6a - b) + 2c(6a + b) \) के पदों का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा
(i) b
(ii) 2c
(iii) (6a – b)
(iv) a - b
Answer: (iii) (6a – b)
पहले पद \( b(6a - b) \) के गुणनखण्ड हैं \( b \) और \( (6a - b) \)।
दूसरे पद \( 2c(6a - b) \) के गुणनखण्ड हैं \( 2c \) और \( (6a - b) \)।
यहाँ, दोनों पदों में \( (6a - b) \) उभयनिष्ठ है। इसलिए, उभयनिष्ठ गुणनखण्ड \( = (6a - b) \) है। जब भी दो या दो से अधिक पदों में एक पूरा व्यंजक उभयनिष्ठ हो, तो उसे एक इकाई के रूप में लेते हैं।
In simple words: दिए गए व्यंजक में, \( (6a - b) \) वाला हिस्सा दोनों जगह एक जैसा है. इसलिए, यही इसका उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है.

🎯 Exam Tip: कोष्ठक (ब्रैकेट) में दिए गए व्यंजक को एक इकाई के रूप में देखें। यदि यह इकाई सभी पदों में समान है, तो यह उभयनिष्ठ गुणनखण्ड होगा।

Question 4. निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए:
(i) \( 5x^2 - 25xy \)
(ii) \( 9a^2 - 6ax \)
(iii) \( 36a^2b - 60a^2bc \)
(iv) \( 6P + 8P^2 - 4P^3 \)
(v) \( 3a^2bc + 6ab^2c + 9abc^2 \)
Answer:
(i) \( 5x^2 - 25xy \)
दोनों पदों में \( 5x \) उभयनिष्ठ है।
\( = 5x(x - 5y) \)
यह गुणनखण्ड विधि में पहला और सबसे आसान कदम होता है, जिसमें हम उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालते हैं।
(ii) \( 9a^2 - 6ax \)
दोनों पदों में \( 3a \) उभयनिष्ठ है।
\( = 3a(3a - 2x) \)
(iii) \( 36a^2b - 60a^2bc \)
दोनों पदों में \( 12a^2b \) उभयनिष्ठ है।
\( = 12a^2b(3 - 5c) \)
(iv) \( 6P + 8P^2 - 4P^3 \)
सभी पदों में \( 2P \) उभयनिष्ठ है।
\( = 2P(3 + 4P - 2P^2) \)
(v) \( 3a^2bc + 6ab^2c + 9abc^2 \)
सभी पदों में \( 3abc \) उभयनिष्ठ है।
\( = 3abc(a + 2b + 3c) \)
In simple words: हम हर सवाल में से जो भी कॉमन निकाल सकते हैं, उसे बाहर निकालते हैं. बचे हुए को कोष्ठक में रखते हैं.

🎯 Exam Tip: गुणनखण्ड करते समय, सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखण्ड (HCF) को बाहर निकालना सुनिश्चित करें, ताकि परिणामी व्यंजक आगे और सरल न हो सके।

Question 5. निम्नलिखित के गुणनखण्ड कीजिए:
(i) \( x(x - 2) + 3(x - 2) \)
(ii) \( 7(a - 4) + 7(4 - a) \)
(iii) \( 2y(y + 5) - 3(y + 5) \)
(iv) \( (d - 7)^2 + 7(d - 7) \)
(v) \( a(a - 5) + 9(5 - a) \)
(vi) \( (z - 2)^2 - 3(z - 2) \)
(vii) \( 17(a + 3) + 17(3 - a) \)
Answer:
(i) \( x(x - 2) + 3(x - 2) \)
यहाँ, \( (x - 2) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (x - 2)(x + 3) \)
यह एक बहुत ही सामान्य गुणनखण्ड विधि है जहाँ एक पूरा व्यंजक ही उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में बाहर आ जाता है।
(ii) \( 7(a - 4) + 7(4 - a) \)
ध्यान दें कि \( (4 - a) = -(a - 4) \)।
तो, \( 7(a - 4) - 7(a - 4) \)
\( = 0 \)
(iii) \( 2y(y + 5) - 3(y + 5) \)
यहाँ, \( (y + 5) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (y + 5)(2y - 3) \)
(iv) \( (d - 7)^2 + 7(d - 7) \)
यहाँ, \( (d - 7) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (d - 7)((d - 7) + 7) \)
\( = (d - 7)(d) \)
\( = d(d - 7) \)
(v) \( a(a - 5) + 9(5 - a) \)
यहाँ, \( (5 - a) = -(a - 5) \)
तो, \( a(a - 5) - 9(a - 5) \)
\( = (a - 5)(a - 9) \)
(vi) \( (z - 2)^2 - 3(z - 2) \)
यहाँ, \( (z - 2) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (z - 2)((z - 2) - 3) \)
\( = (z - 2)(z - 5) \)
(vii) \( 17(a + 3) + 17(3 - a) \)
यह सवाल थोड़ा पेचीदा लग सकता है, लेकिन \( 17 \) दोनों जगह उभयनिष्ठ है।
\( = 17((a + 3) + (3 - a)) \)
\( = 17(a + 3 + 3 - a) \)
\( = 17(6) \)
\( = 102 \)
In simple words: हम दिए गए सवालों में से समान हिस्सों को एक साथ लेते हैं और उन्हें बाहर निकाल लेते हैं. बचे हुए हिस्सों को दूसरे कोष्ठक में रखते हैं. अगर कोई पद उल्टा दिया है तो उसे माइनस साइन लगाकर सीधा कर लेते हैं.

🎯 Exam Tip: यदि व्यंजक में \( (x - y) \) और \( (y - x) \) जैसे पद हों, तो याद रखें कि \( (y - x) = -(x - y) \)। इस पहचान का उपयोग करके आप अक्सर उभयनिष्ठ गुणनखंड बना सकते हैं।

अभ्यास 9 (b)

Question 1. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए, जबकि व्यंजकों के प्रत्येक पद में एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है
(i) \( x(y - z) + 4(y - z) \)
(ii) \( 2(5 + b) - 7(5 + b) \)
(iii) \( y(a^2 + x) - a^2 = x \)
(iv) \( a(a + 3) - 5(3 + a) \)
Answer:
(i) \( x(y - z) + 4(y - z) \)
यहाँ, \( (y - z) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (y - z)(x + 4) \)
ऐसे प्रश्नों में, कोष्ठक के अंदर के पद को एक इकाई के रूप में देखें।
(ii) \( 2(5 + b) - 7(5 + b) \)
यहाँ, \( (5 + b) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (5 + b)(2 - 7) \)
\( = (5 + b)(-5) \)
\( = -5(5 + b) \)
(iii) \( y(a^2 + x) - (a^2 + x) \)
यहाँ, \( (a^2 + x) \) एक उभयनिष्ठ पद है। (ध्यान दें कि \( -a^2 = x \) को \( -(a^2 + x) \) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ \( a^2 + x \) उभयनिष्ठ है।)
\( = (a^2 + x)(y - 1) \)
(iv) \( a(a + 3) - 5(3 + a) \)
यहाँ, \( (a + 3) \) और \( (3 + a) \) एक ही हैं। इसलिए \( (a + 3) \) एक उभयनिष्ठ पद है।
\( = (a + 3)(a - 5) \)
In simple words: इन सभी सवालों में, एक पूरा कोष्ठक वाला हिस्सा (जैसे \( (y - z) \) या \( (a + 3) \)) सभी पदों में एक जैसा होता है। हम उसी हिस्से को बाहर निकाल लेते हैं और बाकी बचे हुए को दूसरे कोष्ठक में डाल देते हैं।

🎯 Exam Tip: सुनिश्चित करें कि आप सभी पदों में सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालते हैं, चाहे वह एक चर हो, एक संख्या हो, या एक पूरा व्यंजक हो। कोष्ठक में दिए गए पद को एक ही इकाई मानें।

Question 2. निम्नलिखित के गुणनखण्ड ज्ञात कीजिए।
(i) \( x^3 + 2x^2 - 5x - 10 \)
(ii) \( 3ax - 6xy + 8by - 4ab \)
(iii) \( ax^2 + cx^2 + ay^2 - by^2 - bx^2 + cy^2 \)
(iv) \( ab^2 - (a - c)b - c \)
(v) \( p^2q - pr^2 - pq + r^2 \)
Answer:
(i) \( x^3 + 2x^2 - 5x - 10 \)
पहले दो पदों से \( x^2 \) को उभयनिष्ठ लें, और अगले दो पदों से \( -5 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = x^2(x + 2) - 5(x + 2) \)
अब, \( (x + 2) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (x + 2)(x^2 - 5) \)
यह समूह बनाकर गुणनखण्ड करने का एक तरीका है।
(ii) \( 3ax - 6xy + 8by - 4ab \)
पदों को फिर से व्यवस्थित करें ताकि समूह बनाना आसान हो:
\( = 3ax - 6xy - 4ab + 8by \)
पहले दो पदों से \( 3x \) और अगले दो पदों से \( -4b \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = 3x(a - 2y) - 4b(a - 2y) \)
अब, \( (a - 2y) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (a - 2y)(3x - 4b) \)
(iii) \( ax^2 + cx^2 + ay^2 - by^2 - bx^2 + cy^2 \)
पहले \( x^2 \) वाले पदों को एक साथ और \( y^2 \) वाले पदों को एक साथ समूह करें:
\( = ax^2 - bx^2 + cx^2 + ay^2 - by^2 + cy^2 \)
पहले तीन पदों से \( x^2 \) और अगले तीन पदों से \( y^2 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = x^2(a - b + c) + y^2(a - b + c) \)
अब, \( (a - b + c) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (a - b + c)(x^2 + y^2) \)
(iv) \( ab^2 - (a - c)b - c \)
पहले कोष्ठक को खोलें:
\( = ab^2 - ab + cb - c \)
पहले दो पदों से \( ab \) और अगले दो पदों से \( c \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = ab(b - 1) + c(b - 1) \)
अब, \( (b - 1) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (b - 1)(ab + c) \)
(v) \( p^2q - pr^2 - pq + r^2 \)
पदों को फिर से व्यवस्थित करें:
\( = p^2q - pq - pr^2 + r^2 \)
पहले दो पदों से \( pq \) और अगले दो पदों से \( -r^2 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = pq(p - 1) - r^2(p - 1) \)
अब, \( (p - 1) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (p - 1)(pq - r^2) \)
In simple words: इन सभी सवालों में हम पदों को सही ढंग से एक साथ रखते हैं, ताकि उनमें से कुछ कॉमन निकाला जा सके। जब हम कॉमन निकाल लेते हैं, तो अक्सर एक और कॉमन गुणनखंड मिल जाता है जिससे पूरा व्यंजक गुणनखंडित हो जाता है।

🎯 Exam Tip: समूह बनाकर गुणनखण्ड करते समय, पदों को ऐसे व्यवस्थित करें कि पहले दो पदों और अगले दो पदों में उभयनिष्ठ गुणनखंड मिल सके। यदि सीधे नहीं मिलता है, तो पदों का क्रम बदल कर देखें।

Question 3. व्यंजक \( 50x^2y + 10y^2x + 30xy + 6y^2 \) का गुणनखण्ड कीजिए। यदि \( x = 1, y = 2 \) हो तो दिये गये व्यंजक के गुणनखण्ड का मान ज्ञात करें।
Answer:
व्यंजक है: \( 50x^2y + 10y^2x + 30xy + 6y^2 \)
पहले हम पदों को व्यवस्थित करते हैं ताकि आसानी से गुणनखण्ड किया जा सके:
\( = 10y^2x + 50x^2y + 6y^2 + 30xy \)
पहले दो पदों से \( 10xy \) को और अगले दो पदों से \( 6y \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = 10xy(y + 5x) + 6y(y + 5x) \)
अब, \( (y + 5x) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (y + 5x)(10xy + 6y) \)
यह गुणनखण्ड रूप है। अब \( x = 1 \) और \( y = 2 \) रखने पर:
\( = (2 + 5 \times 1)(10 \times 1 \times 2 + 6 \times 2) \)
\( = (2 + 5)(20 + 12) \)
\( = (7)(32) \)
\( = 224 \)
गुणनखण्ड करने से पहले पदों को सही ढंग से समूहबद्ध करना महत्वपूर्ण होता है।
In simple words: पहले व्यंजक के हिस्सों में से कॉमन निकाल कर उसे छोटा करते हैं। फिर जहां-जहां \( x \) और \( y \) हैं, वहाँ उनकी दी हुई संख्याएँ डालते हैं और जोड़-घटाकर उत्तर निकालते हैं।

🎯 Exam Tip: ऐसे प्रश्नों में पहले व्यंजक का सही ढंग से गुणनखण्ड करना महत्वपूर्ण है। उसके बाद ही दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें, क्योंकि इससे गणना सरल हो जाती है।

Question 4. उस समकोण त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात करें, जिसका क्षेत्रफल है।
Answer:
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)।
यदि हमें समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल एक व्यंजक के रूप में दिया गया हो, जैसे कि \( ab^2 + b^2 \), तो हम उसे गुणनखण्ड करके भुजाएँ ज्ञात कर सकते हैं।
क्षेत्रफल \( = ab^2 + b^2 = b(a + b) \)
इसे सूत्र \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \) के बराबर रखने पर, अगर हम \( \frac{1}{2} \) को भी गुणनखण्ड में शामिल करें, तो हम आधार और ऊँचाई के संभावित मान प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि क्षेत्रफल \( \frac{1}{2} \times b \times 2(a + b) \) है, तो आधार \( b \) और ऊँचाई \( 2(a + b) \) हो सकती है, या आधार \( 2b \) और ऊँचाई \( (a + b) \) हो सकती है। बिना दिए गए क्षेत्रफल के सटीक व्यंजक के, हम केवल यह बता सकते हैं कि भुजाएँ गुणनखण्डों से प्राप्त होंगी।
In simple words: समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई को गुणा करके आधा करने से मिलता है। अगर हमें क्षेत्रफल का कोई व्यंजक दिया हो, तो हम उसके गुणनखंड करके आधार और ऊँचाई पता कर सकते हैं।

🎯 Exam Tip: समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र को याद रखें और जानें कि यदि क्षेत्रफल को एक बीजीय व्यंजक के रूप में दिया जाए, तो गुणनखण्ड विधि से उसकी भुजाओं के संभावित व्यंजक कैसे निकाले जा सकते हैं।

दक्षता अभ्यास 9

Question 1. निम्नलिखित व्यंजकों के गुणनखण्ड कीजिए :
(i) \( 4a - 12 \)
(ii) \( ac - bc + c + cb \)
(iii) \( 36P + 45P^3 \)
(iv) \( y^2 - 8ay \)
(v) \( 7a + 7b \)
(vi) \( 3a^3x - 45a^2x - 18a \)
Answer:
(i) \( 4a - 12 \)
दोनों पदों में से 4 को उभयनिष्ठ लें।
\( = 4(a - 3) \)
संख्यात्मक मान को उभयनिष्ठ लेना सबसे पहला कदम होता है।
(ii) \( ac - bc + c + cb \)
पदों को थोड़ा व्यवस्थित करें:
\( = ac - bc + c + bc \)
पहले दो पदों से \( c \) को उभयनिष्ठ लें, और अगले दो पदों से भी \( c \) को उभयनिष्ठ लें (या इसे ऐसे ही देखें):
\( = c(a - b) + c(1 + b) \)
अगर सभी में \( c \) उभयनिष्ठ है, तो \( = c(a - b + 1 + b) = c(a + 1) \)
(iii) \( 36P + 45P^3 \)
दोनों पदों में से \( 9P \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = 9P(4 + 5P^2) \)
(iv) \( y^2 - 8ay \)
दोनों पदों में से \( y \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = y(y - 8a) \)
(v) \( 7a + 7b \)
दोनों पदों में से \( 7 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = 7(a + b) \)
(vi) \( 3a^3x - 45a^2x - 18a \)
सभी पदों में से \( 3a \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = 3a(a^2x - 15ax - 6) \)
In simple words: इन सभी सवालों में, हम हर पद में से जो सबसे बड़ा हिस्सा कॉमन निकाल सकते हैं, उसे कोष्ठक के बाहर लिखते हैं और बचे हुए को कोष्ठक के अंदर रखते हैं।

🎯 Exam Tip: हमेशा चर और संख्याओं दोनों के सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड (HCF) को बाहर निकालें। यदि कोई पद पहले से ही गुणनखंडित रूप में है, तो उसे एक इकाई के रूप में देखें।

Question 2. निम्नलिखित को गुणनखंड की सहायता से सरल कीजिए
(i) \( \frac{3x - 15yx}{5y - 1} \)
(ii) \( \frac{a^2b + b^2a}{a + b} \)
(iii) \( \frac{6x^4 + 10x^3 + 8x^2}{2x^2} \)
Answer:
(i) \( \frac{3x - 15yx}{5y - 1} \)
अंश में से \( 3x \) को उभयनिष्ठ लें:
\( = \frac{3x(1 - 5y)}{5y - 1} \)
हम जानते हैं कि \( (1 - 5y) = -(5y - 1) \), तो इसे ऐसे लिखें:
\( = \frac{3x(-(5y - 1))}{5y - 1} \)
\( = -3x \)
भिन्न को सरल करते समय, अंश और हर में समान गुणनखंडों को रद्द करना महत्वपूर्ण है।
(ii) \( \frac{a^2b + b^2a}{a + b} \)
अंश में से \( ab \) को उभयनिष्ठ लें:
\( = \frac{ab(a + b)}{a + b} \)
\( = ab \)
(iii) \( \frac{6x^4 + 10x^3 + 8x^2}{2x^2} \)
अंश में से \( 2x^2 \) को उभयनिष्ठ लें:
\( = \frac{2x^2(3x^2 + 5x + 4)}{2x^2} \)
\( = 3x^2 + 5x + 4 \)
In simple words: इन सवालों में, हम भिन्न के ऊपर वाले हिस्से (अंश) में से कॉमन निकाल कर उसे गुणनखंडित करते हैं। फिर, अगर अंश और नीचे वाले हिस्से (हर) में कोई एक जैसा गुणनखंड हो, तो उसे काट देते हैं, जिससे सवाल सरल हो जाता है।

🎯 Exam Tip: भिन्न को सरल करते समय, हमेशा अंश और हर दोनों में से सबसे बड़े उभयनिष्ठ गुणनखंड को बाहर निकालकर रद्द करने का प्रयास करें। विपरीत पदों जैसे \( (x-y) \) और \( (y-x) \) पर विशेष ध्यान दें, क्योंकि वे केवल एक माइनस चिन्ह से भिन्न होते हैं।

Question 3. निमनलिखिते व्यंजनों के गुणनखंड कीजिए
(i) \( xy(z^2 + a^2) - x^2za - y^2za \)
(ii) \( p^3 + p + q - 1 - p^2 - pq \)
(iii) \( 2ab^2 - aby + 2cby - cy^2 \)
(iv) \( x^2 + y^3 + xy(y + 1) \)
Answer:
(i) \( xy(z^2 + a^2) - x^2za - y^2za \)
पहले कोष्ठक को खोलें और पदों को व्यवस्थित करें:
\( = xyz^2 + xya^2 - x^2za - y^2za \)
\( = xyz^2 - x^2za + xya^2 - y^2za \)
पहले दो पदों से \( xz \) को और अगले दो पदों से \( ya \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = xz(yz - xa) + ya(xa - yz) \)
ध्यान दें कि \( (xa - yz) = -(yz - xa) \)
\( = xz(yz - xa) - ya(yz - xa) \)
अब, \( (yz - xa) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (yz - xa)(xz - ya) \)
इस प्रकार के प्रश्नों में पदों को सही ढंग से समूहित करना ही सफलता की कुंजी है।
(ii) \( p^3 + p + q - 1 - p^2 - pq \)
पदों को व्यवस्थित करें:
\( = p^3 - p^2 - pq + p + q - 1 \)
पहले दो पदों से \( p^2 \) को, अगले दो पदों से \( p \) को और आखिरी दो पदों से \( 1 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = p^2(p - 1) - pq + p + q - 1 \)
इसको ऐसे समूह करें:
\( = (p^3 - p^2) + (p - 1) + (q - pq) \)
\( = p^2(p - 1) + (p - 1) + q(1 - p) \)
\( = p^2(p - 1) + 1(p - 1) - q(p - 1) \)
अब, \( (p - 1) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (p - 1)(p^2 + 1 - q) \)
(iii) \( 2ab^2 - aby + 2cby - cy^2 \)
पहले दो पदों से \( ab \) को और अगले दो पदों से \( cy \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = ab(2b - y) + cy(2b - y) \)
अब, \( (2b - y) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (2b - y)(ab + cy) \)
(iv) \( x^2 + y^3 + xy(y + 1) \)
पहले कोष्ठक खोलें और पदों को व्यवस्थित करें:
\( = x^2 + y^3 + xy^2 + xy \)
\( = x^2 + xy + xy^2 + y^3 \)
पहले दो पदों से \( x \) को और अगले दो पदों से \( y^2 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = x(x + y) + y^2(x + y) \)
अब, \( (x + y) \) उभयनिष्ठ है।
\( = (x + y)(x + y^2) \)
In simple words: इन सवालों में, हम व्यंजकों के पदों को ऐसे बांटते हैं कि हर समूह में से कुछ कॉमन निकाला जा सके। जब हम कॉमन निकाल लेते हैं, तो अक्सर हमें एक और कॉमन गुणनखंड मिल जाता है जिससे पूरा व्यंजक गुणनखंडित हो जाता है। कभी-कभी पदों का क्रम बदलना पड़ता है।

🎯 Exam Tip: समूह बनाकर गुणनखण्ड करते समय, यदि प्रारंभिक समूहीकरण काम नहीं करता है, तो पदों को पुनर्व्यवस्थित करके विभिन्न संयोजनों का प्रयास करें। ध्यान रखें कि \( (a-b) \) और \( (b-a) \) में केवल एक माइनस का अंतर होता है।

Question 4. निम्नलिखित के मान गुणनखंड की सहायता से ज्ञात कीजिए
(i) \( 23 \times 72 + 77 \times 72 \)
(ii) \( 56 \times 25 - 25 \times 39 - 25 \times 17 \)
(iii) \( 27 \times 47 + 55 \times 8 + 27 \times 53 + 45 \times 8 \)
Answer:
(i) \( 23 \times 72 + 77 \times 72 \)
यहाँ, \( 72 \) एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
\( = 72(23 + 77) \)
\( = 72(100) \)
\( = 7200 \)
गुणनखण्ड विधि से गणना सरल हो जाती है।
(ii) \( 56 \times 25 - 25 \times 39 - 25 \times 17 \)
यहाँ, \( 25 \) एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
\( = 25(56 - 39 - 17) \)
\( = 25(56 - (39 + 17)) \)
\( = 25(56 - 56) \)
\( = 25(0) \)
\( = 0 \)
(iii) \( 27 \times 47 + 55 \times 8 + 27 \times 53 + 45 \times 8 \)
पहले समान गुणनखंडों वाले पदों को एक साथ समूह करें:
\( = (27 \times 47 + 27 \times 53) + (55 \times 8 + 45 \times 8) \)
पहले समूह से \( 27 \) को और दूसरे समूह से \( 8 \) को उभयनिष्ठ लें।
\( = 27(47 + 53) + 8(55 + 45) \)
\( = 27(100) + 8(100) \)
\( = 2700 + 800 \)
\( = 3500 \)
In simple words: इन सवालों में, हम देखते हैं कि कौन सी संख्या बार-बार आ रही है। उसे बाहर निकाल लेते हैं और बाकी संख्याओं को कोष्ठक में जोड़ या घटा देते हैं। इससे बड़ी गुणा करना आसान हो जाता है।

🎯 Exam Tip: गणना को सरल बनाने के लिए हमेशा उभयनिष्ठ गुणनखंडों को बाहर निकालने का प्रयास करें। ऐसे प्रश्नों में, पहले समान गुणनखंडों वाले पदों को समूहित करना एक प्रभावी रणनीति है।

Question 5. रिक्त स्थान भरिए
(i) \( ut + (at^2) = (u + at)(t) \)
(ii) \( a^3 - a^2b^2 - ab + b^3 = (a - b)(a^2 - b) \)
(iii) \( 3x^2 + 6x^2y + 9xy^2 = (3x)(x + 2xy + 3y^2) \)
Answer:
(i) \( ut + at^2 \)
यहां, \( t \) एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
\( = t(u + at) \)
तो, रिक्त स्थान में \( t \) आएगा। यह गुणनखण्ड का मूल सिद्धांत है।
(ii) \( a^3 - a^2b^2 - ab + b^3 \)
\( = a^2(a - b^2) - b(a - b^2) \)
\( = (a - b^2)(a^2 - b) \)
तो, रिक्त स्थान में \( (a^2 - b) \) आएगा। पदों को समूहबद्ध करके गुणनखण्ड करने का यह एक अच्छा उदाहरण है।
(iii) \( 3x^2 + 6x^2y + 9xy^2 \)
यहां, \( 3x \) एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
\( = 3x(x + 2xy + 3y^2) \)
तो, रिक्त स्थान में \( 3x \) आएगा।
In simple words: हर सवाल में हमें देखना है कि दिए गए व्यंजक को गुणनखंडित करने पर कौन सा पद खाली जगह में आएगा। हम बचे हुए पदों में से कॉमन निकाल कर पता करते हैं।

🎯 Exam Tip: रिक्त स्थान वाले प्रश्नों को हल करते समय, या तो दिए गए गुणनखंड को व्यंजक में से विभाजित करके या व्यंजक को स्वयं गुणनखंडित करके अज्ञात पद का पता लगाएं।